FYZIKAPhysics (from Ancient Greek: φυσική (ἐπιστήμη) phusikḗ (epistḗmē) “knowledge of nature”, from φύσις phúsis "nature") is the natural science that involves the study of matter and its motion through space and time, along with related concepts such as energy and force. More broadly, it is the general analysis of nature, conducted in order to understand how the universe behaves.

Ide teda o porozumenie svetu okolo nás, ako „funguje“. Načo je to dobré?

• intelektuálne potešenie (zažiť „aha-pocit“)

• lepšie prežitie v džungli okolitého sveta

StavZáznam o stave:

súbor hodnôt relevantných fyzikálnych veličín

Hodnoty veličín potrebné pre záznam stavu systému v danom okamihu získavame spravidla meraním

Fyzikálna veličina

• číselná hodnota• fyzikálna jednotka• postup ako získať hodnotu veličiny v určitom stave (návod na použitie

meracieho prístroja)

Jednotky SI

Sekunda je doba trvania 9192631770 periód žiarenia medzi dvoma hyperjemnými hladinami atómu cézia 138.Meter je dĺžka dráhy prejdenej svetlom vo vákuu za dobu 1/299792458 sekundy.Z týchto dvoch definícií vyplýva, že rýchlosť svetla sa už nedá merať, lebo je definované, že má hodnotu 299792458 m/s.Kilogram je hmotnosť medzinárodného prototypu kilogramu.

Jednotky SI

Ampér je hodnota prúdu, ktorý keď prechádza dvoma priamymi paralelnými rovnobežnými nekonečne dlhými vodičmi vo vzdialenosti 1 m vo vákuu, vyvolá medzi vodičmi silu N na meter dĺžky Mol množstvo látky, obsahujúce taký počet častíc ako je v 12 g uhlíka 𝐶6

12. (Mol je de-facto číslovka!)Candela Kandela je svietivosť zdroja, ktorý v danom smere vysiela monochromatické žiarenie s frekvenciou 540x1012 Hz, a ktorého žiarivosť v tomto smere je 1/683 wattu na steradiánKelvin je určený tak, že termodynamická teplota trojného bodu vody je 273,16 K

Príkladom náhodnej chyby je nepresné urobenie značky (napríklad bodka

ceruzkou na papieri), kde mám priložiť dĺžkový etalón, keď tento postupne

prikladám pre zistenie celkovej dĺžky. Chyba zahŕňa chvenie ruky, neostrosť

hrotu ceruzky, nepriloženie etalónu presne na značku.

Nepresnosť „jedného priloženia“ si môžeme predstaviť ako nejakú náhodnú

dĺžku (kladnú alebo aj zápornú).

Predstavme si, že chcem odmerať dĺžku záhrady (zhruba 30 m) pomocou

metrovej tyče, čo nie je veľmi dobrý nápad. Jedno priloženie tyče bude

znamenať dĺžku

1m ± 3 cm

keď sme náhodnú chybu odhadli na 3 mm. Odhadnite celkovú chybu merania,

keď priložím meraciu tyč 30-krát. Odhad urobte pomocou počítača simuláciou

(akoby experimentom). Predpokladajte, že chyba jedného priloženia tyče je

náhodné číslo rozložené rovnomerne na intervale −3𝑐𝑚,+3𝑐𝑚 . Vygenerujte 30 takých náhodných čísel, sčítajte ich a dostanete celkovú chybu. Zopakujte

celý počítačový experiment niekoľkokrát.

Nebuďte prekvapení, že úloha je zadaná ako počítačová.

A neplašte sa, ak „neviete programovať“. To, čo budeme potrebovať je

programovanie na úrovni škôlkara a naučíte sa to za víkend. Pripravené sú

mikroskriptá

http://davinci.fmph.uniba.sk/~cerny1/mechanika/Python.pdf

Je tam napísané, čo si máte nainštalovať na svoj notebook. Potom čítajte a

ťukajte do klávesnice.

Nútiť vás na počítač nie je samoúčelné. Cieľom nie je naučiť sa programovať.

To sa ani „naozaj“ nenaučíte. Cieľom je lepšie pochopiť ako svet okolo nás

funguje, teda fyziku. Učenie sa vzorcov samo nevedie k pochopeniu.

Naprogramovať, nasimulovať virtuálnu realitu znamená, že musím vedieť

„vysvetliť počítaču“ čo má robiť. A počítač je totálny hlupák. Ak mu to budete

schopní vysvetliť, nepochopí to počítač, ale vy!

Nepôjde ale len o počítač.

Celý tento predmet sa bude dať zvládnuť, ale nie tak, že „naučím sa to

počas týždňa pred skúškou“. Garantovane nie tak. Garantovane.

Nepríďte na to neskoro! Boli ste varovaní!

http://davinci.fmph.uniba.sk/~cerny1/mechanika/Python.pdf

Podrobnejšie v http://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_%28length%29

Typické hodnoty dĺžok na rôznych škálach okolitého sveta

Keď sa učím o nejakej fyzikálnej veličine mám si súčasne budovať pocit pre

typické hodnoty veľkosti tej veličiny v rôznych situáciách.

http://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_(length)

Súčasne sa ale mám zaujímať aj o to, „ako sa to nameralo“.

A to nielen tak že „napätie sa udáva vo voltoch a teda sa meria voltmetrom“.

Ale aj to, ako ten voltmeter vnútri funguje. Dôvod je jednoduchý. Nie každé

napätie sa dá zmerať každým voltmetrom. V niektorých situáciách treba použiť

voltmeter založený na istom princípe, lebo voltmeter založený na nevhodnom

princípe síce na displeji niečo ukáže, ale údaj môže byť veľmi rôzny od skutočnej

hodnoty napätia, ktoré chcem zmerať.

Dĺžky na úrovni niekoľko metrov môžeme merať postupným prikladaním metrovej

tyče.

Praktický je taký nápad: urobím koleso s obvodom presne pol metra a počítam

otáčky (policajti tak merajú vzdialenosti na mieste autonehody).

Vzdialenosti na úrovni milimetrov meriam pomocou metrovej tyče rozdelenej

(napríklad skusmo) na 1000 rovnakých dielikov.

Čo tak mikrometre (typicky ľudský vlas). Šikovný nápad je skrutka.

Nie je problém vyrezať na sústruhu, v ktorom sa nôž posúva synchronizoane

s otáčkami vretena, rovnomerný závit so stúpaním napríklad 0.5 mm na

jednu otáčku (nastavím posuv noža tak, aby sa posunul o 10 cm na 200

otáčok vretena).

Keď potom otočím maticu o stotinu otáčky, posunie sa 0.005 mm teda 5

mikrometrov. Na lepšom sústruhu sa to dá aj jemnejšie, takže sa dá urobiť

mikrometer.

Zlomky mikrometra môžem určiť pod mikroskopom. Objekt posúvam na vozíku

ovládanom mikrometrickou skrutkou a pozerám, o akú časť zorného poľa sa

posunie pri posune o 1 mikrometer a porovnám s časťou zorného poľa, ktorú zaberá

meraný objekt.

Čo tak rozmer atómu. Odkiaľ vieme, že rozmer atómu vodíka je približne 50

pikometrov (50 pm = 0.05 nm = 0.5 angstromov)?

Vieme to z rôznych nepriamych meraní (a následných výpočtov). Jednoduchý

a veľmi hrubý odhad by mohol vyzerať takto:

Ionizačná energia atómu vodíka je 13.6 eV. Potenciálna energia elektrónu v

poli protónu sa teda dá očakávať na rádovo takej úrovni. Potenciálna energia

elektrónu vo vzdialenosti 𝑟 je1

4𝜋𝜀0

𝑒2

𝑟Po dosadení hodnôt permitivity a elementárneho náboja dostaneme, že 13.6

eV vyjde pre r=0.1 nm, čo je rádovo správna hodnota.

Pozrime sa naopak na veľké vzdialenosti, napríklad vzdialenosť Zeme od Mesiaca.

Na obrázku je zatmenie Mesiaca v neúplnej fáze. Na mesiaci vidno približne

hranicu tieňa Zeme ako časť kružnice. Doplníme na úplnú kružnicu a dostaneme

ako by sa javilo teleso rovnako veľké ako Zem, keby sa nachádzalo vo vzdialenosti

Mesiaca (na ďalšom slajde)

Je zrejmé, že priemer Zeme je zhruba 3-krát väčší ako priemer Masiaca. Je to

len približné „meranie“, lebo Slnko nie je v nekonečnej vzdialenosti a teda tieň

Zeme sa nepremieta na Mesiac paralelne.

Priemer Zeme poznáme, teda vieme priemer Mesiaca. Potom stačí „trocha

trigonometrie“ zmerať uhol pod ktorým vidíme priemer Mesiaca zo Zeme a

vypočítať vzdialenosť

Poloha na Zemi Mesiac

D

Rα

Ešte jeden ilustračný príklad:

Určovanie najväčších vzdialeností vo vesmíre

Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Type_Ia_supernova

O supernovách typu Ia máme dosť dobré teoretické znalosti a vieme,

že všetky majú rovnakú úroveň svietivosti, používajú sa preto ako

„štandardné sviečky“.

Stačí si uvedomiť, že svetelný tok klesá so štvorcom vzdialenosti od

zdroja svetla. Ak porovnáme zachytávaný svetelný tok od supernovy Ia,

ktorá sa nachádza v známej vzdialenosti so svetelným tokom od

supernovy Ia, ktorá sa nachádza v neznámej vzdialenosti, vieme určiť tú

neznámu vzdialenosť. Takto sa určujú najväčšie vzdialenosti vo

vesmíre.

Uviedli sme si niekoľko ilustračných príkladov merania dĺžok na rôznych

škálach. Príklady neboli na to, aby ste sa ich „učili na skúšku“. Mal by vám

po nich ostať nejaký aha-pocit. Hmlistá znalosť, ktorú si v prípade potreby

viete oživiť na Googli. Hmlistá predstava zabezpečí, že budete vedieť, čo

asi hľadáte. Nie pri všetkých témach si budeme môcť dovoliť toľko

ilustračných príkladov. Iniciatívne si vždy niečo „vygoolite“ sami.

http://en.wikipedia.org/wiki/Type_Ia_supernova

Fyzikálna veličina

• číselná hodnota

• fyzikálna jednotka

• postup ako získať hodnotu veličiny v určitom stave (návod na použitie

meracieho prístroja)

Podstatné je, že hodnota fyzikálnej veličiny nie je len samotné číslo, ale číslo

spolu s udaním jednotky, čomu sa v tomto kontexte hovorí fyzikálny rozmer.

Fyzikálny rozmer veličiny A sa značieva [A].

Sústava SI určuje fyzikálny rozmer siedmim základným veličinám: dĺžka, čas,

hmotnosť, elektrický prúd, teplota, množstvo látky, svietivosť.

Rozmery ostatných veličín sa „vyskladajú“ z rozmerov základných veličín tak, že

nájdem nejaký vzorec, kde naľavo je veličina, ktorej rozmer chcem určiť a

napravo iba veličiny, ktorých rozmer už poznám

Príklad: rýchlosť. Vzorec je Preto rozmer rýchlosti bude

Rozmerová analýza

Je pozoruhodné na „babylonskej stavbe fyziky“ to, že to funguje. Teda to, že keď sa

k nejakému vzorcu pre rýchlosť dostanem celkom inou cestou, tak to bude

„rozmerovo sedieť“. Napríklad vzorec pre rýchlosť dopadu pri voľnom páde z výšky

h je 2ℎ𝑔 a rozmerovo je to v poriadku

Mimochodom, viete „po stredoškolsky“ odvodiť ten vzorec. Napríklad takto. Hore

má teleso len gravitačnú energiu 𝑚𝑔ℎ. Dolu len kinetickú energiu. . Zákon zachovania energie dá .

Detaily, ako a prečo rozmerová analýza funguje, nie sú celkom triviálne, kto chce

nech si prečíta text

http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA_unified.pdf

prípadne referencie tam uvedené.

Rozmerovú analýzu môžeme často úspešne použiť i naopak, ak chceme „uhádnuť“

vzorec bez jeho detailného odvodenia len na základe požiadavky, že „to musí mať

správny rozmer“.

http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA_unified.pdf

Majme teda úlohu určite rýchlosť dopadu pri voľnom páde z výšky h.

Je zjavné, že zadané je len h a ešte to môže závisieť od „niečoho

gravitačného“, zjavne od gravitačného zrýchlenia g.

Skúsme teda vzorec zložený z neznámych mocnín

porovnaním mocnín dostaneme

a teda vzorec

Vo vzorci chýba bezrozmerné číslo 2, ale to zjavne nemôžeme dúfať určiť

pomocou rozmerovej analýzy. Ale skúsenosť hovorí, že vo vzorcoch sa

málokedy vyskytujú príliš veľké alebo príliš malé bezrozmerné konštanty,

preto vzorec nájdený len pomocou rozmerovej analýzy býva celkom dobrý

„až na malý číselný faktor“. Ak potrebujeme len rádový odhad, rozmerová

analýza často stačí.

Zdôraznime, že rovnica pre porovnanie mocnín typu, ako sme dostali tu,

nemusí mať niekedy jednoznačné riešenie. Rozmerová analýza poskytne niekedy

niekoľko alternatívnych vzorcov, ktoré sú rozmerovo správne. Často medzi nimi

vieme vybrať ten správny pomocou dodatočných úvah „len z hlavy“. Napríklad

poznáme riešenie v nejakom špeciálnom prípade a len jeden z alternatívnych

vzorcov s tým súhlasí. Alebo vieme, ako sa má chovať riešenie v asymptotickom

prípade, keď sa niektorá zo zadaných veličín blíži k hraničnej hodnote (nula,

nekonečno, 𝜋 a podobne). Alebo žiadame, aby vzorec mal nejakú vlastnosť symetrie. A mohli by sme vyhútať i ďalšie kritériá.

Pri niektorých úlohách bezrozmerné konštanty nie sú dôležité, vtedy rozmerová

analýza poskytne presné riešenie. Napríklad:

Ako sa zmení rýchlosť dopadu, keď výška pádu narastie dvakrát?

Cit pre veľkosť, rádové odhady

Hneď na začiatku našich stretnutí s fyzikou by som chcel zdôrazniť úlohu numerických odhadov a vôbec úlohu číselných hodnôt veličín vo fyzike.

Pamätám si z mladosti zaklínaciu formulku fyzikálnych olympiád: „Riešte najprv všeobecne, potom pre hodnoty...“ Nie zlé pravidlo, ale určite nie absolútne. Vo fyzike je dôležité zvážiť, čo do úvahy nad problémom nezahrniem ako zanedbateľné. Ale bez číselnej hodnoty sa nedá zanedbávať!

Osobitnú pozornosť zasluhuje vyčísľovanie medzivýsledkov. Musím sa ešte v priebehu riešenia zoznámiť s číselnými hodnotami relevantných veličín, aby ma divné hodnoty včas upozornili, že nie som na správnej ceste.

Na skúške sa pričasto stáva, že študent dvakrát podčiarkne výsledok: „hustota vzduchu je približne 2500 kg/m3 “ , a nič ho „nekopne“, lebo nemá „cit pre číselné hodnoty“.

Aby nás niečo mohlo „kopnúť“ musíme si pestovať cit pre veľkosť fyzikálnych veličín „okolo nás“. Treba chodiť s otvorenými očami a „všímať si čísla“.

Veľký Enrico Fermi začínal prednášku v úvodnom kurze fyziky úlohou

„Odhadnite, koľko ladičov pián je v Chicagu!“

Študent, naplnený nadrilovanými vedomosťami má tendenciu povedať „To sme sa

neučili“ alebo „A čo je zadané?“

Naozajstná fyzika nie je školská „Veda o dosadzovaní do vzorcov“. Schopný

študent na strednej škole vie vyriešiť väčšinu fyzikálnych príkladov takto:

• pozrie sa, čo je „zadané“

• preskenuje svoju pamäť a nájde vzorec, do ktorého sa dá akurát dosadiť všetko

to, čo je zadané

• do kalkulačky naťuká číselné hodnoty podľa toho vzorca a prečíta si výsledok

Fermi chcel naučiť študentov, aby sami zhodnotili, čo sú relevantné veličiny pre

vyriešenie problému. Potom odhadnúť číselné hodnoty na základe bežnej

skúsenosti. Potom vyriešiť úlohu, nie exaktne, ale s dostatočnou prakticky

zaujímavou presnosťou. S rádovou presnosťou „na faktor 10“ sa dá rýchlo

odhadnúť takmer všetko.

Vedeli by ste rýchlo zdôvodniť, že „hustota vzduchu je približne 2500 kg/m3 “

nebude to pravé orechové?

Napríklad prázdna fľaša nie je prázdna, obsahuje liter vzduchu. Keď sa naplní

litrom vody, je (zo skúsenosti) oveľa ťažšia. Nadľahčovaná okolitým vzduchom

podľa Archimedovho zákona je rovnako, ako keď bola naplnená vzduchom.

Záver: voda ma oveľa väčšiu hustotu ako vzduch. Liter vody má hmotnosť 1 kg.

Hustota vody je teda

Všimnite si, ako som menil jednotky. Nepokúšal som sa manipulovať s

trojčlenkou v hlave, nechal som pracovať matematiku. Namiesto „liter“ som

napísal „tisícina metra kubického“, ostatné bol matematický automat. Komu

trojčlenka dobre funguje „v hlave“ to môže považovať za obludný postup.

Ale skúste premeniť anglickú tlakovú jednotku PSI (pounds per square inch) na

atmosféry. Možno predsa oceníte matematický automat. (Na bicyklových

kolesách býva uvedený správny tlak v PSI, kompresor na pumpe je kalibrovaný

v atmosférach resp. v stovkách hektopascalov. Je fakt, že sa to dá aj vygoogliť

na mobile s Internetom.)

2500 kg/m3 je ako hustota vzduchu určite priveľa.

Uveďme azda prvý príklad z histórie vedy, kde jednoduchý číselný odhad zohral

kľúčovú úlohu pri významnom objave: objav krvného obehu.

Anglický lekár William Harvey vydal v roku 1628 knihu De Motu Cordis. Publikoval v nej

jednoduchý číselný odhad minútového prietoku krvi srdcom. Objem srdca odhadol na 1.5

kráľovských objemových uncí (43 ml), ďalej že taká 1/8 tohto objemu sa vypudí do ciev s

každým sťahom srdca. Poznajúc typický počet úderov srdca za minútu, vyšlo mu, že za deň

srdce vytlačí do ciev 540 libier krvi. V tom čase ale systémy ciev a žíl boli považované za dva

nesúvislé systémy. Podľa antického lekára Galéna sa krv vytlačená srdcom v tele vstrebe a telo

(v pečeni) vyrobí novú krv, ktorá sa dostane žilami do srdca. Keď sa to povie bez čísel,

kvalitatívna myšlienka o neustálej tvorbe krvi v pečeni môže prežiť tisíc rokov. Ak sa doplní

číselným odhadom, neprežije ani minútu. Nik nemôže uveriť, že pečeň za deň vyrobí 540 libier

čerstvej krvi.

William Harvey

1578 - 1657

. Záver: žily a cievy musia byť prepojené, krv obieha dokola.

(Poznamenajme, že používanie mikroskopu na štúdium biologických materiálov

sa datuje až po roku 1650, preto Galénova hypotéza mohla prežiť tak dlho.)

Pestujte si umenie číselného odhadu!

• okamih (stav systému) možno zaznamenať a na základe záznamu ho zrekonštruovať

• časový vývoj systému je časová postupnosť stavov (okamihov)• časový vývoj systému je možné predpovedať, vychádzajúc zo

znalosti počiatočného stavu. • Technológiou predpovede budúcnosti sú matematické pohybové

rovnice. Časový vývoj hľadáme ako riešenie pohybových rovníc, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku (stav na začiatku je známy počiatočný stav)

Programové vyhlásenie fyziky

Systém, stav, zmena stavu, časový vývoj

Stav

Záznam o stave:súbor hodnôt relevantných fyzikálnych veličín

Koľko čísel treba na dostatočné zachytenie stavu záleží na systéme, o ktorý sa zaujímame.

Príklady (na potrebné stavové veličiny):

• kondenzátor: na zadanie stavu stačí jedno číslo, veľkosť náboja na doskách

• častica: treba 6 čísel, 3 súradnice polohy, 3 zložky rýchlosti• zvuková vlna v oceľovej tyči: veľa (v princípe spočítateľne nekonečne

veľa) dvojíc čísel, amplitúda a fáza n-tého normálneho módu pre každé prirodzené číslo n (nech vás teraz netrápi, ak neviete, čo je normálny mód a jeho amplitúda a fáza)

• elektromagnetické pole vo voľnom priestore: veľa (v princípe nespočítateľne veľa) šestíc čísel, 3 zložky elektrického poľa a 3 zložky magnetického poľa v každom bode priestoru

Zmena stavu

Príklady:

• kondenzátor: na zadanie stavu stačí jedno číslo, veľkosť náboja na doskách

• častica: treba 6 čísel, 3 súradnice polohy, 3 zložky rýchlosti• zvuková vlna v oceľovej tyči: veľa (v princípe spočítateľne nekonečne

veľa) dvojíc čísel, amplitúda a fáza n-tého normálneho módu pre každé prirodzené číslo n (nech vás teraz netrápi, ak neviete, čo je normálny mód a jeho amplitúda a fáza)

• elektromagnetické pole vo voľnom priestore: veľa (v princípe nespočítateľne veľa) šestíc čísel, 3 zložky elektrického poľa a 3 zložky magnetického poľa v každom bode priestoru

Ak sa stav s časom mení, znamená to, že stavové veličiny menia s časom svoje hodnoty. Vizualizovať si to môžeme tak, že stav v každom okamihu znázorníme ako bod v stavovom priestore. Stavový priestor kondenzátora je jednorozmerný, pre časticu 6-rozmerný, pre zvukovú vlnu v tyči má stavový priestor spočítateľne veľa rozmerov ...Hovoriť o vizualizácii napríklad pri 6-rozmernom priestore je symbolické, nakresliť to nevieme. Iba si to abstraktne (virtuálne) predstavujeme.

Pri kondenzátore je vizualizácia možná a celkom poučná

Stav: Q

U0 = 20 V, R = 10000 Ω, C = 100 μFPočiatočný stav: t = 0, Q = 0

Ľahko sa dala vizualizovať aj časová závislosť stavu, lebo stav je jediné číslo

(náboj), na znázornenie stavu stačí jednorozmerný priestor (jedna os), na druhú os

môžeme nanášať čas a máme graf závislosti stavu na čase.

Teleso padajúce z výšky h s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Priestor

stavov je tu dvojrozmerný, stav je dvojica hodnôt

Stav je bod v dvojrozmernom priestore. Časový priebeh sa kreslí horšie,

ale dá sa. Tu je jedna možnosť.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 2 4 6 8 10 12

v z[m

/s]

z [m]

Zobrazovacia rovina je dvojrozmerný priestor stavov, body grafu sú stavy v

rôznych časoch, etiketa pri stavovom bode označuje čas v sekundách

POZOR!

Toto nie je graf dráhy v

priestore!

Teleso padá po

priamke (po osi z)

zvislo dolu voľným

pádom!

Pozrime si ešte iný graf časovej závislosti stavu padajúcej častice. Priestor stavov je

dvojrozmerný, čas budeme nanášať na tretiu os a vizualizáciu spravíme ako 3D graf:

3D graf sme znázornili v takom pohľade, že priestor stavov ako dvojrozmerná

rovina leží akoby v rovine slajdu a do hĺbky pod slajd ide časová os. 2D graf z

predchádzajúceho slajdu je vlastne priemetom 3D krivky do roviny stavov.

vz [m/s]

z [m]

Nevšímajte si drobné chyby

grafiky na koncoch 3D krivky

Zamyslime sa ešte nad tým, prečo je priestor stavov padajúcej častice

dvojrozmerný. Prečo nestačí jeden údaj, napríklad súradnica v danom

okamihu.

Povedali sme si že:

• okamih (stav systému) možno zaznamenať a na základe záznamu ho zrekonštruovať

• časový vývoj systému je časová postupnosť stavov (okamihov)• časový vývoj systému je možné predpovedať, vychádzajúc zo

znalosti počiatočného stavu. • Technológiou predpovede budúcnosti sú matematické pohybové

rovnice. Časový vývoj hľadáme ako riešenie pohybových rovníc, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku (stav na začiatku je známy počiatočný stav)

Jeden údaj, poloha častice v danom okamihu, nestačí na predpoveď

budúcnosti. Častica, ktorá má v danom okamihu nulovú rýchlosť bude padať

inak, ako častica ktorá už má v tom okamihu nejakú rýchlosť (napríklad preto,

že začala padať z vyššieho bodu) a má v danom okamihu rovnakú polohu

Nehanbite sa, ak je pre vás neprirodzený pojem abstraktného priestoru, kde

napríklad na jednej osi je poloha a na druhej rýchlosť. Alebo pojem

mnohorozmerného priestoru. Predumajte znovu, čo je na predchádzajúcich

obrázkoch nakreslené.

Explicitne vyslovte, čo na obrázkoch vidíte. Napríklad na časovom zázname

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

11.1

1.21.3

1.4

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 2 4 6 8 10 12

v z[m

/s]

z [m] zmeny stavu padajúcej častice si uvedomte, že

postupne klesá výška (súradnica z) a narastá

rýchlosť. Uvedomte si, prečo je z-ová zložka

rýchlosti záporná. Je to priemet rýchlosti na os

z, ktorá smeruje nahor, kým rýchlosť smeruje

dolu.

Na grafe nabíjania kondenzátora si

uvedomte, že na začiatku náboj narastá

rýchlo, potom pomalšie, nakoniec

nekonečne pomaly a až v nekonečnom

čase sa priblíži k teoretickej konečnej

hodnote 2 miliCoulomby.

Čo mám garantovane vedieť

• Poznať definíciu mechanických veličín v SI (bez učenia sa desatinných čísel na

mnoho platných cifier)

• Vedieť rýchlosť svetla na jednu platnú cifru

• Spoľahlivo vedieť meniť jednotky na ľubovoľné jednotky

• Byť schopný skontrolovať rozmerovú správnosť výsledku nejakého príkladu

• Pomocou rozmerovej analýzy nájsť výsledný vzorec v jednoduchých úlohách (s

presnosťou do číselnej konštanty)

• Rozumieť pojmu stav fyzikálneho systému ako súboru hodnôt zvolených veličín

na základe ktorého sa už dá odvodiť výsledok merania ľubovoľnej inej veličiny v

tom stave

• Chápať „predpovedanie budúcnosti“ ako nájdenie časovej závislosti stavu

systému na základe znalosti stavu v istom okamihu

• Rozumieť, že okrem „obyčajného priestoru“ má zmysel uvažovať abstraktné aj

mnohorozmerné priestory, a vedieť „čítať“ grafické vizualizácie v takých

priestoroch

Mechanika hmotného bodu

• Stav je bod vo viacrozmernom priestore• Časový vývoj je druhého rádu v konfiguračnom

priestore• Časový vývoj je prvého rádu v stavovom priestore

33

Program na najbližšie prednášky

Stav a jeho časový vývoj

Poznanie našej (západnej) civilizácie:

• okamih (stav systému) možno zaznamenať a na základe záznamu ho zrekonštruovať

• časový vývoj systému je časová postupnosť stavov (okamihov)• časový vývoj systému je možné predpovedať, vychádzajúc zo znalosti

počiatočného stavu. • Technológiou predpovede budúcnosti sú matematické pohybové

rovnice. Časový vývoj hľadáme ako riešenie pohybových rovníc, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku (stav na začiatku je známy počiatočný stav)

Opakovanie

34

Stav a jeho zmena

Veci okolo nás sa menia

Nejaká vec sa neustále mení, ale zostáva tou istou vecou„Nevstúpiš dvakrát do tej istej rieky?“

Fyzikálny objekt a jeho stav

Stav fyzikálneho objektu sa s časom mení, ale ostáva tým istým fyzikálnym objektom

Najjednoduchší príklad je mechanický pohyb

Achilles a korytnačka

Achilles nepredbehne korytnačku:

kým dobehne tam, kde je korytnačka teraz, korytnačka je už o kúsok ďalej

• Ako môže objekt niekde byť a súčasne sa aj hýbať?• Ako môže byť objekt v nejakom stave a súčasne

svoj stav meniť?

Newton (a Leibnitz) vymyslel matematickú techniku na popis meniacich sa vecí – infinitezimálny počet – derivácie a integrály

Častica (hmotný bod) ako fyzikálny systém

Stav častice:• poloha (bod v trojrozmernom priestore)• rýchlosť (vektor v abstraktnom priestore

rýchlostí)

Stav častice (hmotného bodu) viem zaznamenať pomocou šestice čísel

je to bod v abstraktom priestore stavov

37

Vektor rýchlostiVektor:• má to veľkosť a smer• je to (v trojrozmernom svete) určené priemetmi na tri zvolené osi

x

y

vx

vy

38

POZOR! Vektor nemá „počiatok“ ako svoj vlastný atribút. Je to naopak: v nejakom bode môžem zmerať vektorovú veličinu (určiť tri jej priemety). Povedané po škôlkarsky: Bod „vie“ že v ňom „sedí“ vektorová veličina, vektor „nevie“ v ktorom bode „sedí“ („pôsobí“). Na strednej škole sa často hovorí o „pôsobisku sily“, to je zavádzajúce, neskôr to prediskutujeme.

Poloha

x

y

39

Poloha častice je bod, teda nie je to vektor. Zavádzame však pojem „polohový vektor“. Je to vektor, pomocou ktorého môžem určiť polohu častice voči zvolenému fixnému referenčnému bodu. Poloha sama o sebe nemá smer. Môžem hovoriť iba o smere bodu, v ktorom sa nachádzam voči inému bodu. Veta bývam na sever od Bratislavy má zmysel. Veta bývam „na sever“ nemá zmysel.

M

O

Poloha, polohový vektor

40

Polohový vektor je vektor, ktorého priemety na osi x,y,z sú dané rozdielmi súradníc uvažovaného bodu a referenčného bodu. Ak uvažovaný bod M má súradnice 𝑥, 𝑦, 𝑧 a referenčný bod O má súradnice 𝑥𝑂, 𝑦𝑂, 𝑧𝑂 , potom polohový vektor bodu M je

Ako referenčný bod sa najčastejšie volí počiatok súradnicovej sústavy, teda bod (0,0,0), potom polohový vektor má súradnice,

Tak je to znázornená aj na obrázku.To má za následok, že v nestarostlivej reči sa pojmy „poloha“ a „polohový vektor“ zamieňajú ako ekvivalentné.

x

yM

O

Častica (hmotný bod) ako fyzikálny systém

Stav častice: (možno zadať aj pomocou dvoch vektorov)• poloha • rýchlosť

Stav častice (hmotného bodu) viem zaznamenať pomocou šestice čísel

x

y

vx

vy

41

Rýchlosť: jednorozmerný prípad

t1 t2

Δt

Δxx1

x2

Rovnomerný pohyb po priamke:(zatiaľ vystačíme s intuitívnym chápaním pojmov „rovnomerný“ a „priamka“)

42

Rovnomerný pohyb po priamke:

t1 t2

Δt

Δxx1

x2

α

43

Rýchlosť: jednorozmerný prípad

Nerovnomerný pohyb (po priamke)

rýchlosť ?

44

Newtonov trik

Ak sa pozrieme na dostatočne malý úsek grafu pri vhodnom zväčšení, vyzerá ako priamka

Opakovanie

45

Výpočet urobíme vo veľmi maličkom okienku: zvolíme Δt tak malé, aby sa do toho okienka zmestilo, nájdeme príslušné Δx a vypočítame podiel, to čo dostaneme nazvemeokamžitá hodnota rýchlostilebo okienko „pokrýva len okamih“ 46

x [m

]v

[m/s

]

Čo ukazuje tachometer?

47

x [m

]

Tachometer je fyzikálny prístroj. Meria akože okamžitú rýchlosť, ale keď bližšie analyzujeme princíp, na základe ktorého funguje, zistíme, že nemeria rýchlosť v jedinom okamihu, ale vlastne priemernú rýchlosť po dobu istého časového intervalu, pričom dĺžka toho intervalu môže byť rôzna pre rôzne typy konštrukcií, ale nikdy nie je nulová. Ilustrujme si to na príklade klasického (neelektronického) tachometra, aký sa dlho používal v automobiloch.

48

Čo ukazuje tachometer?

Želaný princíp je taký, že otáčky kolesa sa bezo zmeny prenášajú bowdenom na rotujúci magnet. Ten rotáciou vyvoláva elektromagnetickou indukciou vírivé prúdy v kovovom „hrnčeku“, ktorý sa podľa Lenzovho pravidla snaží sledovať otáčky magnetu, ale nemôže, lebo mu bráni pružinka. Výsledkom je tým väčšie vychýlenie ručičky, čím je vyššia frekvencia otáčok magnetu. Problém je v slovách „bezo zmeny“.

49

Želaný princíp je taký, že otáčky kolesa sa bezo zmeny prenášajú bowdenom na rotujúci magnet. Problém je v slovách „bezo zmeny“.

Ak by koleso prudko menilo frekvenciu otáčok, lanko v bowdene „nebude stíhať“. Lanko má istú pružnosť a ak sa jeden jeho koniec roztočí rýchlejšie, trvá istú dobu, kým sa druhý koniec roztočí rovnako rýchlo. Namiesto toho sa lanko bowdenu bude skrúcať a to skrútenie sa ako vlna bude šíriť lankom, kým nepríde na druhý koniec. Tiež hrnčeku, ktorý má určitú hmotnosť, trvá istú dobu, kým svoje pootočenie prispôsobí otáčkam magnetu.

Záver: tachometer neukazuje okamžitú rýchlosť ale priemernú rýchlosť za dobu danú zotrvačnosťami zariadenia. Tá doba je z praktického hľadiska veľmi malá, takže šofér môže bez problémov chápať údaj tachometra ako okamžitú rýchlosť.

Newton teda „vybabral s antickými filozofmi“ (Achilles a korytnačka, Zenónov letiaci šíp): vymyslel techniku ako definovať pojem

okamžitá rýchlosť Návod znie ako ľudová reč: v okolí želaného okamihu zvolím tak malé Δt

ako je rozumné a urobím podiel

potom sa nazýva okamžitou rýchlosťou a tvárim sa tak, že tú rýchlosť pripisujem danému jednému okamihu. Ak časový interval nie je dostatočne malý, výsledok delenia sa volá priemerná rýchlosť v danom časovom intervale.

Poloha častice v istom okamihu je daná jedným bodom. Aby som určil „okamžitú“ rýchlosť častice, potrebujem dva body v dvoch veľmi blízkych okamihoch. Newton vlastne hovorí: ak sú tie dva okamihy veľmi blízko, potom sa na rýchlosť môžem z praktického hľadiska dívať ako na vec prináležiacu jednému okamihu.Význam slov „ako je rozumné“ treba zvažovať od prípadu k prípadu. Ak sledujem pohyb ťažiska lokomotívy ako keby to bol jeden hmotný bod, potom poloha ťažiska lokomotívy je sotva určená s presnosťou na nanometre. I zo stojacej lokomotívy môže odpadnúť kúsok hrdze a poloha ťažiska sa tým zmení, ale také zmeny chceme spravidla zanedbávať.

50

Neskôr exaktní matematici vybabrali s Newtonom, kritizujúc: čo to je za neexaktnú reč „tak malé Δt ako je rozumné“, to treba formulovať matematicky presne a definovali:

51

Podľa Newtona teda okamžitá rýchlosť častice je „dvojbodová“ (dvojokamihová) záležitosť, ale prakticky pripísateľná k jednému okamihu

Matematici exaktne definovali pripísateľnosť k jednému okamihu použitím koncepcie limity

Limita nepozná žiadny fixný „druhý okamih“, limita je naozaj jednookamihová záležitosť: v tom zmysle matematici „vybabrali so Zenónom“. Je otázne, či by im to Zenón uznal. Asi by sa hádal, že šíp tú limitnú okamžitú rýchlosť „nemá“, podobne ako exponenciálna funkcia „nemá nikdy“ hodnotu nula, hoci platí

52

53

Záver tejto dlhej diskusie:

Poloha častice je „jednookamihová záležitosť“, v každom okamihu častica „niekde je“.

Okamžitá rýchlosť častice je „dvojbodová“ (dvojokamihová) záležitosť, ale prakticky pripísateľná k jednému okamihu

Čo mám garantovane vedieť

• ako sa zadáva stav bodovej častice

• čo je polohový vektor

• pohyb častice ako polohový vektor v závislosti na čase

• okamžitá rýchlosť ako derivácia polohového vektora

• čo sú zložky polohového vektora a vektora rýchlosti

• ako súvisí vektor rýchlosti a dotyčnica k trajektórii

• čo sme mali na mysli, keď sme hovorili, že „rýchlosť je dvojbodová veličina“