Vysoká škola chemicko-technologická v Praze

Fakulta chemické technologie

Ústav kovových materiálů a korozního inženýrství

FYZIKA KOVŮ

prof. Ing. Pavel Lejček, DrSc.

Ing. Pavel Novák, Ph.D.

Praha 2008

Studijní materiál pro předmět „Fyzika kovů“ pro obor

Chemická technologie kovových a speciálních anorganických materiálů

1

OBSAH

OBSAH ................................................................................................................................. 1 I. ÚVOD ............................................................................................................................. 4 II. STRUKTURA KOVŮ A SLITIN ............................................................................... 5

II.1. Struktura pevných látek ........................................................................................ 5

II.1.1. Krystalová struktura pevných látek ............................................................... 5 II.1.2. Popis krystalografických směrů a ploch........................................................ 9 II.1.3. Typické krystalové struktury čistých kovů ................................................. 10 II.1.4. Polymorfie ................................................................................................... 14

II.2. Krystalová struktura slitin, základní fázové přeměny v kovových materiálech . 14

II.2.1. Substituční tuhé roztoky .............................................................................. 18 II.2.2. Intersticiální tuhé roztoky............................................................................ 21

II.2.3. Elektrochemické valenční sloučeniny ......................................................... 21 II.2.4. Elektronové sloučeniny (Hume-Rotheryho fáze) ........................................ 22 II.2.5. Intersticiální fáze a Lavesovy sloučeniny ................................................... 22

II.2.5.1 Intersticiální fáze ..................................................................................... 22

II.2.5.2 Lavesovy fáze .......................................................................................... 22

II.2.6. σ–fáze ve slitinách s přechodnými kovy ..................................................... 23

II.3. Amorfní kovy a nanokrystaly ............................................................................. 24 II.4. Kvazikrystaly ...................................................................................................... 25

III. ELEKTRONOVÁ STRUKTURA KOVŮ A SLITIN ............................................... 28 III.1. Model atomu ....................................................................................................... 28

III.2. Kvantová mechanika .......................................................................................... 28 III.2.1. Základy kvantové mechaniky...................................................................... 28 III.2.2. Ohyb vln ...................................................................................................... 30

III.2.3. Elektrony v atomech.................................................................................... 31 III.2.4. Periodická soustava prvků ........................................................................... 33

III.2.5. Elektronová struktura a chemická povaha .................................................. 33 III.2.6. Meziatomové síly ........................................................................................ 34

III.2.7. Původ meziatomových sil ........................................................................... 36 III.2.8. Kovová vazba .............................................................................................. 36

III.3. Elektronová teorie kovů...................................................................................... 36 III.3.1. Kvantová teorie volného elektronu pro jednorozměrný případ .................. 37

III.3.2. Kvantová teorie volného elektronu pro trojrozměrný případ ...................... 38 III.4. Pásová teorie kovů .............................................................................................. 41

III.4.1. Základní úvahy ............................................................................................ 41 III.4.2. Brillouinovy zóny ........................................................................................ 43 III.4.3. Kovy a nekovy ............................................................................................ 45

III.4.4. Hustota kvantových stavů ........................................................................... 46

III.4.5. Energetické pásy a energetické hladiny elektronů v atomech ..................... 47

III.4.6. Elektronová struktura přechodných kovů ................................................... 48 III.5. Aplikace elektronové teorie ................................................................................ 48

III.5.1. Elektrická vodivost ...................................................................................... 49 III.5.2. Feromagnetismus ........................................................................................ 50 III.5.3. Koheze ......................................................................................................... 52

III.6. Pásová teorie slitin .............................................................................................. 55 IV. KRYSTALOVÉ PORUCHY KOVŮ A SLITIN ................................................... 58

IV.1. Klasifikace krystalových poruch ........................................................................ 58

2

IV.2. Bodové poruchy .................................................................................................. 58

IV.2.1. Druhy bodových poruch .............................................................................. 58 IV.2.2. Rovnováţná koncentrace bodových poruch ................................................ 59 IV.2.3. Migrace bodových poruch ........................................................................... 62

IV.2.4. Vznik a zánik bodových poruch .................................................................. 63 IV.2.5. Nerovnováţná koncentrace bodových poruch ............................................ 63

IV.3. Čárové poruchy – dislokace ............................................................................... 64 IV.3.1. Definice dislokace ....................................................................................... 66 IV.3.2. Burgersova smyčka a Burgersův vektor...................................................... 66

IV.3.3. Typy dislokací ............................................................................................. 67 IV.3.4. Hustota dislokací ......................................................................................... 67 IV.3.5. Metody pozorování dislokací ...................................................................... 68

IV.3.5.1 Metoda leptových a termálních důlků ................................................... 69 IV.3.5.2 Metody difrakce záření na dislokacích .................................................. 69

IV.3.5.3 Zviditelnění dislokací pomocí iontové mikroskopie ............................. 71 IV.3.6. Dislokace v kontinuu ................................................................................... 71

IV.3.6.1 Šroubová dislokace ................................................................................ 71 IV.3.6.2 Hranová dislokace ................................................................................. 73

IV.3.7. Energie dislokace ........................................................................................ 74 IV.3.7.1 Existence sloţených dislokací ............................................................... 75

IV.3.7.2 Termodynamický rozbor dislokací ........................................................ 75 IV.3.8. Síla působící na dislokace ........................................................................... 75

IV.3.9. Tah v dislokační čáře................................................................................... 76 IV.3.10. Vzájemné působení mezi dislokacemi ........................................................ 77 IV.3.11. Pohyb dislokací ........................................................................................... 79

IV.3.11.1 Skluz dislokací ..................................................................................... 79 IV.3.11.2 Šplhání dislokací .................................................................................. 81

IV.3.11.3 Příčný skluz ......................................................................................... 81

IV.3.11.4 Napětí ke skluzu dislokace .................................................................. 81

IV.3.12. Protínání dislokací....................................................................................... 82 IV.3.13. Vznik dislokací ........................................................................................... 85

IV.3.13.1 Frankův–Readův zdroj dislokací ......................................................... 85

IV.3.13.2 Opakovaný příčný skluz ...................................................................... 86 IV.3.14. Interakce dislokací s bodovými poruchami ................................................ 86

IV.3.14.1 Interakce dislokace s atomy příměsí .................................................... 87 IV.3.14.2 Interakce dislokace s vakancemi ......................................................... 87

IV.3.15. Interakce dislokací s precipitáty .................................................................. 88

IV.3.15.1 Koherentní precipitáty ......................................................................... 88 IV.3.15.2 Nekoherentní precipitáty ..................................................................... 89

IV.3.16. Dislokace v kovových strukturách .............................................................. 90 IV.3.16.1 Dislokace v kubické plošně centrované struktuře. .............................. 90

IV.3.16.2 Dislokace v kubické prostorově centrované struktuře ......................... 93 IV.3.16.3 Dislokace v hexagonální těsně uspořádané struktuře .......................... 94

IV.4. Plošné poruchy ................................................................................................... 95 IV.4.1. Hranice zrn .................................................................................................. 95 IV.4.2. Popis a typy hranic zrn ................................................................................ 96

IV.4.3. Maloúhlové hranice zrn ............................................................................... 97 IV.4.4. Struktura velkoúhlových hranic zrn ............................................................ 98 IV.4.5. Termodynamický popis hranic zrn ............................................................ 100 IV.4.6. Interakce hranic zrn s atomy příměsí ........................................................ 102

3

IV.4.7. Interakce hranic zrn s dislokacemi ............................................................ 104

IV.4.8. Pohyb hranic zrn........................................................................................ 104 IV.4.8.1 Mechanismus migrace hranic zrn ........................................................ 104 IV.4.8.2 Pohyblivost hranice ............................................................................. 105

IV.4.9. Fázová rozhraní ......................................................................................... 108 IV.4.10. Povrch ....................................................................................................... 108

V. PROJEVY EXISTENCE KRYSTALOVÝCH PORUCH ...................................... 111 V.1. Difuze ............................................................................................................... 111

V.1.1. Kvantitativní popis difuze ......................................................................... 112

V.1.2. Mechanismus difuze .................................................................................. 114 V.1.3. Korelační jevy ........................................................................................... 115 V.1.4. Vliv krystalových poruch na difuzi ........................................................... 117 V.1.5. Difuze v binární soustavě .......................................................................... 120

V.2. Deformace kovů a slitin .................................................................................... 121

V.2.1. Elastická deformace .................................................................................. 121 V.2.2. Plastická deformace monokrystalů............................................................ 122

V.2.2.1 Geometrie plastické deformace ............................................................. 122 V.2.2.2 Skluzové napětí ..................................................................................... 122 V.2.2.3 Křivka zpevnění .................................................................................... 124

V.2.3. Tepelně aktivované procesy ...................................................................... 125

V.2.3.1 Aktivační objem a aktivační energie ..................................................... 126 V.2.3.2 Druhy aktivačních procesů.................................................................... 127

V.2.4. Kritické skluzové napětí ............................................................................ 128 V.2.5. Teorie zpevnění ......................................................................................... 129

V.2.5.1 Zpevnění fcc kovů ................................................................................ 130

V.2.5.2 Zpevnění hcp kovů ................................................................................ 137 V.2.5.3 Zpevnění bcc kovů ................................................................................ 137

V.2.6. Deformace slitin ........................................................................................ 138

V.2.6.1 Interakce mezi dislokací a cizím atomem ............................................. 139

V.2.6.2 Zpevnění v materiálech se dvěma fázemi ............................................. 140 V.2.7. Plastická deformace polykrystalů.............................................................. 143

V.2.8. Superplasticita ........................................................................................... 145

V.2.9. Tečení (creep) polykrystalů ....................................................................... 145 V.2.10. Únava materiálu ........................................................................................ 149

V.2.11. Lom polykrystalů ...................................................................................... 152 V.2.11.1 Křehký lom ......................................................................................... 152 V.2.11.2 Griffithovo kritérium mikrotrhlin ....................................................... 154

V.2.11.3 Vznik mikrotrhlin plastickým skluzem ............................................... 155 V.3. Zotavení a rekrystalizace .................................................................................. 157

Pouţitá a další doporučená literatura: ............................................................................... 162

4

I. ÚVOD

V posledních letech došlo k obrovskému vývoji nových materiálů a technologií. Jsou

vyvíjeny nové slitiny, ať jsou to lehké materiály na bázi hořčíku a hliníku, materiály

s tvarovou pamětí vyuţívající vratné martenzitické transformace pro řiditelné změny tvaru a

tudíţ s velkým rozsahem moţných aplikací jako funkční či dokonce inteligentní materiály,

intermetalické slitiny s vysokým poměrem pevnosti a měrné hmotnosti pro konstrukční

pouţití při vysokých teplotách, nové kompozitní materiály, kvazikrystalické slitiny, nemluvě

o nových ocelích, litinách a niklových superslitinách. Moderní technologie jsou zaloţeny

např. na produkci ultrajemnozrnných či „nanokrystalických“ materiálů (metodami práškové

metalurgie včetně explozivní kompaktizace, prudkým zakalením taveniny nebo vysokou

deformací) či na produkci materiálů se zlepšenými uţitnými vlastnostmi řízením jejich

struktury (kontrolovanou velikostí, tvarem a rozloţením disperzí, či charakterem a

uspořádáním jednotlivých defektů v materiálech). A to se omezujeme jen na konstrukční

kovové materiály, v jiných oblastech nalezneme další řady příkladů. Při zvaţování aplikace

jednotlivých materiálů pak začínají hrát roli taková hlediska, jako moţnost snadné recyklace

či bezkonfliktnost pro ţivotní prostředí.

Zaměření metalurgie a technologie výroby kovových materiálů se tedy změnilo od

klasického přístupu kvantitativní produkce na více či méně empirické úrovni k navrhování

nových technologií na základě vědeckých poznatků. Vedle masivní produkce ocelí, které

budou rozhodně i nadále nejpouţívanějším konstrukčním materiálem, nebude produkce

nových materiálů progresivními technologiemi sice zatím tak rozsáhlá, ale bude zaměřena na

dosaţení poţadovaných vlastností potřebných pro speciální aplikace. Současně se také mění

přístup k teoretické přípravě budoucích technologů, která se více zaměřuje na základní

fyzikální poznatky o strukturních sloţkách materiálu, jejich vlastnostech a vlivu na jeho

chování. V tomto směru se k sobě přibliţují všechny směry technologie anorganických

materiálů, vedle kovů se jedná o keramiky, polovodiče, vysokoteplotní supravodiče a další

perspektivní materiály.

Moderní absolvent oborů materiálového inţenýrství by tedy měl mít potřebný fyzikální

základ pro úspěšné zapojení do technologické problematiky v praxi, aby se mohl úspěšně

podílet na vývoji nových kovových materiálů a optimálních technologií. Tento fyzikální

základ by však měl být dostatečně široký, aby se mohl snadno a rychle adaptovat i na

podobnou problematiku v jiných oblastech inţenýrství pevných látek. Naopak, studenti

„nekovových“ směrů by měli získat základní informace o chování kovových materiálů:

úspěch v inovaci dost často záleţí i na informacích získaných v jiných oborech.

5

II. STRUKTURA KOVŮ A SLITIN

První otázkou, na kterou si na začátku musíme odpovědět, je „Co jsou to kovové

materiály a proč se vlastně liší od ostatních pevných látek?“

Z hlediska klasické chemie jsou kovy ty prvky, které tvoří stabilní oxidy a hydroxidy a

reakcemi s kyselinami tvoří soli. Pojem „kov“ tedy směřuje k chování (reaktivitě)

jednotlivých atomů. V metalurgii se pojem „kovový“ vztahuje na určitý makroskopický

předmět, tedy na určité velké seskupení atomů a existuje v určitém stavu, který můţeme

specifikovat jako kovový stav látky s určitými fyzikálními a mechanickými vlastnostmi, jako

je např. velká tepelná a elektrická vodivost, lesk, kujnost apod. Jako příklad si můţeme uvést

cín: cín v pevném stavu existuje ve dvou modifikacích, které se liší pouze svým atomárním

uspořádáním. V jedné z nich (bílý cín) má typické kovové vlastnosti, ve druhé (šedý cín) je

nekovový.

Vlastnosti spojené s kovovým stavem tedy nezávisí přímo na jednotlivých atomech, ale

souvisí s jejich strukturou jako celku. Strukturu v obecném smyslu budeme v dalším uvaţovat

na různých úrovních:

na úrovni uspořádání atomů či molekul v hmotném tělese, a to jak jejich více či méně

pravidelného řazení, tak i rozloţení příměsí, existence a typu fází, hustoty a

uspořádání poruch pravidelného uspořádání atomů či molekul,

na úrovni elektronového stavu jednotlivých atomů a elektrického chování daného

uspořádání atomů či molekul.

Vzhledem k tomu, ţe největší aplikace mají kovové materiály v pevném stavu, budeme se

v dalším věnovat pouze tomuto stavu.

II.1. Struktura pevných látek

Pevné látky jsou charakterizovány těsnou blízkostí jednotlivých částic (atomů či molekul)

a existencí vazeb mezi nimi, které umoţňují, aby si takový soubor částic uchovával svůj tvar

bez ohledu na své okolí (tj. na tvar nádoby, ve které je uchováván). Z hlediska uspořádání

atomů na dlouhou vzdálenost rozlišujeme látky

krystalické, v nichţ jsou jednotlivé atomy uspořádány pravidelně v tzv. krystalových

strukturách tak, ţe se určitý jednoduchý motiv pravidelně opakuje ve všech směrech, a

amorfní, kde uspořádání na dlouhou vzdálenost chybí.

Nejedná se samozřejmě o zcela odlišné kategorie, ale o struktury, které do sebe vzájemně

přecházejí. Přechodem mezi látkami krystalickými a amorfními jsou látky nanokrystalické,

které představují shluky tvořené desítkami aţ stovkami částic s pravidelným „krystalickým“

uspořádáním, avšak vzájemně různě orientovanými, takţe sledovat opakování základního

motivu na dlouhou vzdálenost je obtíţné.

II.1.1. Krystalová struktura pevných látek

Za dva krajní stavy pevných látek tedy můţeme povaţovat na jedné straně ideální amorfní

látku, u níţ nenajdeme ţádné opakování jakéhokoli motivu ani na krátkou vzdálenost, a na

druhé straně ideální krystal, který je symetrický a nekonečně periodický.

Symetrie (souměrnost) je základní vlastností krystalů. Symetrie se rozlišuje na translační,

která je pro krystal nezbytná, a rotační. Pro popis symetrie se zavádí pojmy prvek symetrie a

operace symetrie. Operace symetrie představuje transformaci převádějící objekt do polohy

nerozlišitelné od výchozí polohy. Operacemi symetrie jsou rotace, inverze, zrcadlení, rotační

inverze, a operace na skluzné rovině nebo šroubové ose. Operace symetrie se provádějí

vzhledem k prvkům symetrie (přímka, rovina, bod).

6

Při operaci rotace je objekt otáčen kolem osy, která buď prochází, nebo neprochází

objektem. Prvkem symetrie je tedy rotační osa. Vlastností rotační osy je její četnost, udávající

o jaký podíl kruhu lze objekt otočit, aby se dostal do pozice ekvivalentní s výchozí. V krystalu

se mohou vyskytovat pouze jednočetné (rotace o 360°, tzv. identita), dvojčetné (rotace o

180°), trojčetné (rotace o 120°), čtyřčetné (rotace o 90°) a šestičetné rotační osy (rotace o

60°). Označují se symbolem n, kde n=1,2,3,4,6 - tedy například 1 (jednočetná), 2 (dvojčetná).

Operace inverze představuje transformaci objektu přes střed symetrie a označuje se 1

.

Kaţdý bod, který leţí na přímce, procházející středem, má svůj obraz na druhé straně přímky

za středem symetrie.

Při operaci zrcadlení buď prochází rovina symetrie středem objektu, nebo jsou dva

objekty vůči sobě orientovány jako zrcadlové obrazy. Tato operace symetrie se označuje

symbolem m.

Při rotační inverzi se objekt pootočí o část kruhu a poté se promítne přes střed symetrie.

Jedná se tedy o kombinaci rotace a inverze. Pricipiálně existují jednočetné (1

), dvojčetné (2

),

trojčetné (3

), čtyřčetné (4

) a šestičetné (6

) rotačně inverzní osy. Jednočetná rotačně inverní

osa je však totoţná se středem symetrie a dvojčetná je ekvivalentní s rovinou symetrie.

Operace na skluzné rovině jsou kombinací zrcadlení s translací o vzdálenost menší neţ

mříţkový parametr. Obdobně operace na šroubové ose spojují otáčení a nemříţkovou

translaci.

Pro geometrický popis krystalu se vyuţívá prostorová mřížka. Jedná se o geometrickou

abstrakci, která nahrazuje atomy nebo jiné částice (ionty, molekuly) nehmotnými body. Tyto

body tvoří tzv. uzlové body mříţky. Nejjednodušší motiv, jehoţ pravidelným trojrozměrným

opakováním (translací) vznikne hledaný ideální krystal, se nazývá základní (elementární)

buňka, která se musí mít stejnou symetrii jako celá struktura, maximální počet pravých úhlů a

minimální objem. Základní buňky je moţné charakterizovat velikostí jejich stran a, b, c,

protilehlými úhly , , a jejich symetrií. Podle těchto parametrů dělíme prostorové mříţky

do sedmi krystalografických soustav, které jsou uvedeny v tabulce 2.1.

Elementární buňky dále mohou existovat ve čtyřech variantách. Primitivní (prostá)

struktura (P) má obsazené pouze vrcholy základní buňky, bazálně centrovaná struktura (C)

má kromě vrcholů obsazené i průsečíky úhlopříček základen, plošně centrovaná (F) má

obsazeny průsečíky úhlopříček všech ploch a tělesově centrovaná (I) má obsazen průsečík

tělesových úhlopříček, viz tab. 2.1 a obr 2.1. Principiálně však existuje jen omezený počet

moţných elementárních buněk. Toto omezení je dáno především moţnostmi pravidelného

řazení základních motivů tak, aby byl zcela vyplněn daný prostor. Budeme-li uvaţovat

vyplnění plochy rovinnými útvary, existuje pět vzájemně odlišných motivů, které takovou

plochu beze zbytku zaplní: kosodélník, obdélník, kosočtverec, čtverec a rovnostranný

trojúhelník. Podobně lze nalézt systematiku zaplnění trojrozměrného prostoru (tedy při

vrstvení takových motivů) tak, aby byla zachována příslušná symetrie rovinné mříţky. Lze

ukázat, ţe existuje pouze 14 nezávislých základních motivů – tzv. Bravaisových mřížek

(obr.2.1). Tyto mříţky zachovávají maximální symetrii a minimální vzdálenosti uzlových

bodů. V některých případech můţeme mít dojem, ţe musí existovat i jiná varianta, např. vedle

struktury čtverečné prosté a prostorově centrované bychom logicky mohli očekávat i strukturu

plošně centrovanou. Dá se však ukázat, ţe taková struktura je – při jiné volbě souřadného

systému – ekvivalentní uspořádání prostorově centrovanému, a proto se takové uspořádání

neuvádí mezi základními krystalovými mříţkami.

7

Tabulka 2.1: Krystalografické soustavy

Soustava Prvky symetrie Elementární buňka Varianty

I. trojklonná

(triklinická) a b c,

90°

prostá

II. jednoklonná

(monoklinická)

jedna osa nebo jedna

rovina a b c,

= = 90°

(a) prostá

(b) bazálně centrovaná

III. kosočtverečná

(ortorombická)

tři navzájem kolmé

dvojčetné osy nebo dvě

roviny protínající se

v této ose

a b c,

= = = 90°

(a) prostá

(b) bazálně centrovaná

(c) plošně centrovaná

(d) prostorově

centrovaná

IV. klencová

(trigonální,

romboedrická)

jedna trojčetná osa a = b = c,

= = 90°

prostá

V. čtverečná

(tetragonální)

jedna čtyřčetná osa

nebo jedna čtyřčetná

inverzní osa

a = b c,

= = = 90°

(a) prostá

(b) prostorově

centrovaná

VI. krychlová

(kubická)

čtyři trojčetné osy a = b = c,

= = = 90°

(a) prostá

(b) plošně centrovaná

(c) prostorově centrovaná

VII. šesterečná

(hexagonální)

jedna šestičetná osa a = b c,

= = 90°,

= 120°

prostá

8

z

I.

c

ba

y

x

II.(a) II.(b)

III.(d)III.(c)III.(b)III.(a)

IV.

V.(a) V.(b)

VI.(a) VI.(b) VI.(c)

VII.

c

a

aa

Obr. 2.1. Elementární buňky základních krystalografických soustav. Označení I. – VII. (a) – (d) viz

Tabulka 2.1.

9

II.1.2. Popis krystalografických směrů a ploch

Pro obecné vyjádření různých procesů v krystalové struktuře je vhodné zavést popis

krystalografických směrů a rovin, nezávislý na volbě souřadného systému. Zvolme soustavu

souřadnic tak, ţe její jednotlivé osy x, y a z jsou vzájemně nezávislé spojnice počátku

(zvoleného uzlového bodu) se sousedními uzlovými body primitivní buňky (při zachování

„pravotočivé konvence“). Směr v krystalové mříţce následně popíšeme pomocí vektoru, který

má tyto vlastnosti:

Má počátek ve zvoleném bodě [0,0,0] a končí v jenom z uzlů elementární buňky a

vzdálenosti dvou nejbliţších uzlových bodů na jedné ose jsou jednotkové.

Průměty vektoru do jednotlivých os jsou rovny celistvému násobku rozměrů elementární

buňky a, b a c. Pokud je směr s danou osou rovnoběţný, je hodnota indexu v tomto směru 0.

Získaná tři čísla se po vydělení největším společným dělitelem zapíší do hranaté závorky

[u v w]. Pro opačné směry se pouţívají záporné hodnoty, které se označují pruhem nad

příslušnou číslicí, např. ]001[ .

Tedy např. v prosté krychlové soustavě (obr. 2.2) je směr uzlového bodu na ose x popsán

jako 100. Podobně směr podél osy y je 010 a směr podél osy z je 001. Tyto indexy tedy

udávají směry rovnoběţné s hranami krychle. Stranová úhlopříčka spojuje počátek souřadné

soustavy s bodem se souřadnicemi „1“ na ose x a „1“ na ose y a její označení je tedy 110.

Podobně indexy tělesové úhlopříčky jsou 111.

Protoţe volba počátku souřadného systému je libovolná, lze směry [100], [010], atd.

povaţovat za rovnocenné. Tvoří tedy skupinu, kterou lze zapsat výběrem jednoho zástupce

této skupiny, kterého zapíšeme do lomených závorek, např. 100.

Obr. 2.2. Indexy krystalových směrů

K popisu rovin se vyuţívají Millerovy indexy (h k l). Volba souřadnic je stejná jako při

určování směrů. Millerovy indexy dané roviny potom určíme takto:

Úseky, které vytíná daná rovina na jednotlivých osách, se vyjádří jako podíly mříţkových

parametrů a,b,c, tedy hodnoty od 0 do 1. Pro roviny rovnoběţné s danou osou je hodnota

příslušného indexu ∞.

Převrácené hodnoty těchto čísel se zapíší jako Millerovy indexy (h k l) dané roviny.

10

Například rovina rovnoběţná s osami y a z, procházející bodem x = 1, má se souřadnými

osami průsečíky 1, , . Jako Millerovy indexy popisující tuto rovinu se v tomto případě

pouţívají převrácené hodnoty uvedených průsečíků, tedy 1, 0, 0, a zápis je (100).

Podobně jako v případě směrů jsou roviny s různými kombinacemi Millerových indexů

ekvivalentní (v uvedeném případě označují stěny krychle) a obecně se zapisují jako hkl.

V krychlové soustavě navíc platí zajímavý vztah – rovina a směr, popsané stejnou konkrétní

kombinací stejných symbolů, jsou navzájem kolmé. Tento zápis se pouţívá pro všechny

krystalografické soustavy s výjimkou hexagonální. U hexagonální soustavy se pro

přehlednost pouţívají čtyři souřadné osy: x1, x2, x3 a z. Osy x1, x2 a x3 leţí v jedné rovině a

svírají vzájemně úhel 120° a proto nejsou nezávislé. Výsledkem jsou čtyři Millerovy indexy,

h, k, i a l, vztaţené k uvedeným osám. První tři indexy určíme podle trojúhelníkové sítě

v rovině os x1, x2 a x3. Čtvrtý index je určen stejně jako u nehexagonálních struktur. Směr

podél osy z bude tedy popsán symbolem 0001, směr podél osy x1 symbolem 0112 .

Podobně základní (bazální) rovina je popsána jako (0001) a jedna z bočních stěn

šestihranného útvaru (prizmatická rovina 1. druhu) jako )0110( . Díky závislosti souřadných

os jsou i Millerovy indexy vzájemně závislé, takţe i = –(h + k).

Pro praktické určování krystalových struktur je významným údajem vzdálenost rovin se

stejnými Millerovými indexy. Tento parametr se nazývá mezirovinná vzdálenost a označuje

se d(hkl). Vztahy pro výpočet mezirovinných vzdáleností ve vybraných krystalografických

soustavách jsou uvedeny v tab. 2.2.

Tabulka 2.2: Výpočet mezirovinných vzdáleností d (h k l) ve vybraných

krystalografických soustavách

Soustava 1/d2

kubická

2

222

a

lkh

čtverečná 2

2

2

22

c

l

a

kh

kosočtverečná 2

2

2

2

2

2

c

l

b

k

a

h

hexagonální

2

2

2

22

3

4

c

l

a

khkh

II.1.3. Typické krystalové struktury čistých kovů

Kovy mají nejčastěji struktury vzniklé nejtěsnějším uspořádáním iontů v krychlové nebo

hexagonální struktuře:

Struktura kubická plošně centrovaná (k.pl.c., anglicky face-centred cubic, fcc) je

charakterizována primitivní buňkou ve tvaru krychle, která obsahuje atomy nejen v rozích, ale

i ve středech jejích stran (obr. 2.3). Je charakterizována koordinačním číslem 12 (kaţdý atom

má 12 nejbliţších sousedů). Jednotková buňka obsahuje 4 atomy. Strukturu si také můţeme

představit jako vrstvení jednotlivých rovin typu {111} v pořadí ABCABC… Aby totiţ vzniklo

nejtěsnější moţné uspořádání, jsou jednotlivé vrstvy vzájemně posunuty o vektor 1126

1.

Taková posunutí jsou maximálně tři rozdílná, proto se uvaţují tři výše uvedené vrstvy A, B a

11

C. Nejmenší vzdálenost dvou sousedních atomů je a2

2 (a je mříţková konstanta). Takovou

strukturu mají např. Al, Cu, Ni, Pb, Ag, Au, Pt, Pd, Fe. I v takto těsném uspořádání však

existuje určitý volný prostor, zejména v polohách charakterizovaných souřadnicemi (0,0,2

1 ),

(2

1 ,2

1 ,2

1) nebo (

4

1,

4

1,

4

1). Tyto polohy nazýváme intersticiální, protoţe mohou přijímat atomy

prvků s malým poloměrem (N, C, B, H). V prvních dvou případech se jedná o oktaedrické

intersticiální polohy, poslední je tetraedrická. Tyto polohy jsou ukázány na obrázku 2.4.

Oktaedrická poloha je větší neţ tetraedrická: např. v Fe je v oktaedrické poloze místo pro

atom o poloměru 0,052 nm zatímco v tetraedrické pouze pro atom o poloměru 0,028 nm.

C

CC

B B

B

A

AAA

AA

A

a

(111)

Obr. 2.3. Kubická plošně centrovaná struktura a sekvence uspořádání rovin (111) ABC…

(a) (b)

Obr. 2.4. Oktaedrická (a) a tetraedrická (b) intersticiální poloha v kubické plošně centrované

struktuře.

Struktura hexagonální s těsným uspořádáním (h.t.u., anglicky hexagonal close packed,

hcp) je charakteristická pro takové kovy, jako jsou Zn, Mg, Cd, -Ti, Co, Be, Zr. Tato

struktura nepatří mezi základní krystalografické soustavy, ale je odvozená od primitivní

hexagonální buňky tak, ţe v mezipoloze mezi dvěma základními rovinami (0001) je vloţena

další rovina tohoto typu. Obě sousední roviny jsou přitom vzájemně posunuty o vektor

½,0,½,½. Zajímavé je to, ţe bazální rovina (0001) je co do uspořádání identická s rovinou

(111) k.pl.c. struktury, obě struktury se ale liší sekvencí jejich uspořádání. Na rozdíl od

uvedené krychlové struktury můţeme h.t.u. strukturu popsat jako střídání dvou typů rovin

(111), ABABAB…Koordinační číslo je 12 a nejbliţší sousední atomy jsou ve vzdálenosti a.

V ideálním případě (tuhé koule) by poměr os ac měl být roven 633,138 . Poměr c/a se

však u reálných kovů liší od ideálního (např. 1,86 pro Zn nebo 1,58 pro Ti), coţ ukazuje na to,

ţe atomy nejsou kulové. Stejně jako u jiných struktur můţeme i zde pozorovat větší

oktaedrické a menší tetraedrické intersticiální polohy

12

BB

B

AA

AA

AAA

Obr. 2.5. Hexagonální těsně uspořádaná struktura a sekvence uspořádání rovin (0001) ABAB….

Další typickou strukturou kovů je kubická prostorově centrovaná struktura (k.pr.c.,

anglicky body-centred cubic, b.c.c.). V tomto případě se jiţ nejedná o nejtěsnější uspořádání

atomů v prostoru. Je charakterizována primitivní buňkou obsahující atomy v rozích krychle a

další atom uprostřed (struktura VI.(c) v obr. 2.1). Její koordinační číslo je 8. Jednotková

buňka obsahuje 2 atomy. Nejmenší vzdálenost dvou atomů je a2

3. V této struktuře

krystalizují např. alkalické kovy (Li, Na, K, Rb, Cs), Nb, Mo, V, Ta, Cr a především -Fe a -

Fe. Větší intersticiální polohy jsou opět oktaedrické (2

1,

2

1,0) a (

2

1,0,0), které jsou schopny

v případě -Fe přijmout atomy o poloměru aţ 0,036 nm. Menší prostor mají intersticiální

tetraedrické polohy se souřadnicemi typu (2

1,

4

1,0), kam lze umístit atom o poloměru 0,019

nm. Intersticiální polohy jsou ukázány na obrázku 2.6.

(a) (b)

Obr. 2.6. Oktaedrická (a) a tetraedrická (b) intersticiální poloha v kubické prostorově centrované

struktuře.

Vedle těchto nejčastějších krystalových struktur se kovy vyskytují i v jiných krystalových

soustavách, např. Mn v prosté krychlové soustavě, In a Sn ve čtverečné, Ga a U

v kosočtverečné. Některé příklady jsou patrné i z tabulky 2.3.

13

Tabulka 2.3. Přehled alotropických forem kovů

Prvek Struktura Obor teplot (°C)

Ca fcc

hcp 440

440

La – hcp

– fcc

350

350

Tl – hcp

– fcc

234

234

Ti – hcp

– bcc

882

882

Zr – hcp

– bcc

852

852

Hf – hcp

– bcc

1950

1950

Sn diamantová

tetragonální 16

16

U – ortorombický

– tetragonální

– bcc

662

662–770

770

Fe – bcc

– fcc

– bcc

911

911–1392

1392

Co – hcp

– fcc

1122

1120

Pu – monoklinická,

– pr.c. monoklinická

– pl.c. ortorombická

– fcc

’ – tetragonální pr.c.

– bcc

120

120–210

210–300

300–450

450–470

470–640

14

II.1.4. Polymorfie

Řada kovových prvků se můţe vyskytovat v různých krystalových soustavách v závislosti

na teplotě a tlaku, vykazuje tedy různé alotropické formy. Tento jev se nazývá polymorfie.

Jako klasický příklad můţe slouţit ţelezo: při pokojové teplotě je stabilní bcc -Fe. Při

teplotě 911°C struktura přechází na fcc -Fe. Tím však výčet ještě nekončí. Další zvyšování

teploty vede k rozpadu -Fe a vzniku bcc -Fe (1392°C). Podobně můţe dojít k polymorfní

změně při působení vysokých tlaků. Příčinou polymorfie je výhodnější energetický stav jedné

či druhé alotropické formy za daných vnějších podmínek (teplota, tlak). Některé prvky, které

vykazují teplotní polymorfii, jsou uvedeny v tabulce 2.3.

II.2. Krystalová struktura slitin, základní fázové přeměny v kovových materiálech

Za slitiny povaţujeme homogenní tuhou fázi dvou resp. více prvků s převahou kovů, ve

kterém různé atomy sdílejí společnou krystalovou strukturu. Pro popis sloţení slitin se

vyuţívá atomových a hmotnostních zlomků. Atomový zlomek definuje vztah:

N

ANAX

)()( (2.1)

kde N(A) je počet atomů látky A a N je celkový počet atomů ve slitině. Hmotnostní zlomek je

definován podle rovnice:

m

AmAw

)()( (2.2)

kde m(A) a m jsou hmotnost sloţky A ve slitině a celková hmotnost slitiny. Hmotnostní

zlomky se pouţívají především v technické praxi.

Pro některé úvahy se zavádějí tzv. elektronové koncentrace ce vyjadřující poměr

valenčních elektronů k celkovému počtu atomů v systému.

V principu kombinace všech kovů vykazují existenci výše uvedených tuhých fází, tedy

vzájemnou rozpustnost. Otázkou však je, jaký je rozsah této rozpustnosti, která závisí nejen

na typu systému, ale i na teplotě a tlaku. Například Bi má maximální rozpustnost v Cu jen

0,02 at.%, kdeţto Mo a W tvoří souvislou řadu tuhých roztoků od čistého molybdenu

k čistému wolframu, aniţ by došlo ke změně krystalové struktury (obr. 2.7). Obrázek 2.7

dokumentující vzájemnou rozpustnost resp. existenční rozsahy fází představuje tzv.

rovnovážný fázový diagram v souřadnicích sloţení – teplota.

15

Obr. 2.7. Rovnováţný fázový diagram systém Mo–W

Při překročení rozpustnosti příměsového prvku dochází ke vzniku fáze s odlišnou

strukturou. Vznikající struktura můţe být jiný tuhý roztok nebo intermediální fáze.

V systémech s omezenou rozpustností složek v pevném stavu můţe docházet k následujícím

fázovým přeměnám:

Při eutektické přeměně (obr.2.8) dochází při ochlazování taveniny o určitém sloţení při

tzv. eutektické teplotě k její transformaci na dva koexistující tuhé roztoky, případně

intermediální fáze podle vztahu:

L (2.3)

Bod, popsaný eutektickým sloţením a eutektickou teplotou TE, se nazývá eutektický bod

(E). Slitiny o eutektickém sloţení vykazují zpravidla niţší teploty tání neţ obě komponenty,

tvořící slitinu. Toho, společně s velmi nízkým krystalizačním intervalem, se vyuţívá ve

slévárenství nebo při pájení. Typické systémy s eutektickou přeměnou jsou Sn–Pb, Al–Si

nebo Fe–C s eutektickou přeměnou v oblasti litin (obr. 2.9).

16

Obr. 2.8. Fázový diagram s eutektickou přeměnou

Obdobně dochází i k eutektoidní přeměně s tím rozdílem, ţe probíhá bez přítomnosti

kapalné fáze - taveniny. Při ochlazování tedy dochází k transformaci pevné fáze na dvě

koexistující pevné fáze s odlišnou strukturou a sloţením (obr.2.9).

Obr. 2.9. Fázový diagram Fe–C

17

Další fázovou transformací, ke které při krystalizaci slitin dochází, je peritektická

přeměna. Při ní při ochlazování tavenina v reakci s jednou fází vytváří jinou fázi (obr. 2.9,

2.10), jak ukazuje následující rovnice:

L (2.4)

Obr. 2.10. Fázový diagram s peritektickou přeměnou

Pokud přeměna probíhá bez přítomnosti kapalné fáze, tedy kapalnou fázi nahrazuje

v diagramu jiná pevná fáze, jedná se o přeměnu peritektoidní.

Další jev, ke kterému dochází v tuhých roztocích, je spinodální rozpad. Jedná se o

přeměnu, při které se homogenní tuhý roztok rozpadá na dva koexistující tuhé roztoky stejné

struktury a různého sloţení.

V případě omezené mísitelnosti v kapalném stavu dochází k monotektické přeměně. Při

této přeměně dochází při ochlazování taveniny k jejímu rozpadu na dvě koexistující kapalné

fáze o různém sloţení (obr. 2.11). Při monotektické teplotě potom koexistují tyto dvě kapalné

fáze se vznikající pevnou fází. Monotektickou přeměnu tedy lze zapsat rovnicí:

21 LL (2.5)

18

Obr. 2.11. Fázový diagram s monotektickou přeměnou

Z hlediska struktury lze slitiny rozlišovat podle následujícího klíče:

Tuhé roztoky se strukturou odvozenou od základního kovu:

substituční, ve kterých oba druhy atomů obsazují uzlové body, a

intersticiální, kde minoritní sloţka obsazuje intersticiální polohy ve struktuře

základního kovu,

Intermediální fáze s vlastní strukturou:

valenční (elektrochemické) sloučeniny,

elektronové sloučeniny (Hume–Rotheryho fáze)

intermediální fáze na bázi rozdílného rozměru atomů (intersticiální sloučeniny,

Lavesovy fáze)

-fáze ve slitinách s přechodnými kovy.

Je-li koncentrační oblast existence intermediální fáze tvořené kovy úzká, nazýváme je

intermetalickými sloučeninami. Intermediální fáze se širokou oblastí existence jsou také

nazývány sekundární tuhé roztoky – proto se skupina tuhých roztoků uvedená pod (A) také

nazývá primární tuhé roztoky.

II.2.1. Substituční tuhé roztoky

Jak jiţ bylo uvedeno v systemizaci, substituční tuhé roztoky jsou slitiny sloţené z atomů A

a B. Atomy obou typů jsou uloţeny v uzlových bodech struktury základního (matričního)

kovu. Na základě tzv. Hume–Rotheryho pravidel závisí rozpustnost

na rozdílu atomových poloměrů r obou sloţek,

na rozdílu elektronegativity obou sloţek, a

na změně elektronové koncentrace při směšování.

Obecně lze říci, ţe mez rozpustnosti klesá s rostoucím r a s rostoucím rozdílem

v elektronegativitě. Prvky s vyšším mocenstvím se naopak lépe rozpouštějí v kovech s niţším

mocenstvím. Např. pro r/rA 0,15 je jiţ existence substitučního tuhého roztoku obvykle

nevýhodná.

Uspořádání atomů v krystalové struktuře tuhého roztoku můţe být různé. Jsou-li atomy

obou typů rozloţeny ve struktuře náhodně, tj., neexistuje-li ţádné uspořádání na dlouhou či

krátkou vzdálenost, hovoříme o neuspořádaných tuhých roztocích. Na druhé straně je ale

19

moţné, ţe jsou atomy ve struktuře umístěny pravidelně. V tom případě hovoříme o

uspořádaných tuhých roztocích.

V případě neuspořádaných tuhých roztoků je charakteristickou struktura matričního kovu.

Díky přítomnosti jiného typu atomů sice můţe dojít ke změně mříţkového parametru a, ale

typ krystalové soustavy se nemění.

U uspořádaných tuhých roztoků je situace poněkud sloţitější. Díky pravidelnému

uspořádání různých typů atomů v takovém materiálu lze obvykle pozorovat sloţitější

krystalovou strukturu. Často se jedná o strukturu sloţenou ze dvou nebo více navzájem se

prostupujících struktur atomů A a B. Vzniká tak superstruktura (superlattice) která je

charakteristická pro dané uspořádání. Má-li systém tendenci k uspořádání, dochází k němu při

relativně niţších teplotách a ve většině případů se superstruktura vztahuje k roztokům o

sloţení AB, A3B, AB3 apod. K uspořádání primárních tuhých roztoků obvykle dochází

postupně při dosaţení určité koncentrace nebo teploty. Při vyšších teplotách můţe být roztok

neuspořádaný. Sniţujeme-li teplotu, začnou se při určité kritické teplotě Tc atomy ve struktuře

uspořádávat a stupeň uspořádání roste s klesající teplotou. I při teplotách nad Tc však můţe

být patrné určité uspořádání mezi nejbliţšími sousedy. Nelze sice hovořit o superstruktuře, ale

o uspořádání na krátkou vzdálenost.

Základem většiny uspořádaných tuhých roztoků jsou krychlové a hexagonální struktury.

Ukaţme si některé z nich na klasickém případě systému Fe–Al (obr. 2.12). Tuhé roztoky Al

v -Fe jsou při nízkých koncentracích hliníku neuspořádané. Při koncentracích nad zhruba 21

at.% Al dochází ke vzniku uspořádání na dlouhou vzdálenost. V oblasti vyšších teplot a

koncentrací existuje uspořádání na dlouhou vzdálenost, které se vztahuje k superstruktuře

typu FeAl. Základem této superstruktury je bcc uspořádání v němţ jsou „rohy“ základní

krychle obsazeny ţelezem a „centrující“ atom je hliník (obr. 2.13). Pokud si představíme i

okolní buňky se stejným uspořádáním, bude nám jasné, ţe si takovou superstrukturu můţeme

představit jako dvě vzájemně prostoupené prosté krychle a kaţdá z nich je obsazená stejným

typem atomů. Taková struktura se označuje B2 a je stabilní pro koncentrace hliníku 27–50

at.%. U niţších koncentrací hliníku (v rozsahu 21–33 at.% Al) existuje jiný typ uspořádání

tuhého roztoku, který si můţeme představit tak, ţe „krychle“ struktury B2 je obsazená atomy

ţeleza zůstane beze změny, ale v „krychli“ obsazené původně atomy hliníku se bude

pravidelně střídat atom hliníku s atomem ţeleza. Taková struktura stechiometricky odpovídá

sloţení Fe3Al a uvedená superstruktura je označována jako D03. Jak je patrné z obrázku 2.12,

není existence uvedených uspořádaných tuhých roztoků omezena pouze na stechiometrická

sloţení FeAl a Fe3Al, ale v obou případech existují tato uspořádání přes poměrně široký obor

koncentrací. Při určitém sloţení dokonce můţe roztok existovat v uspořádání D03 (při niţších

teplotách) nebo B2 (při vyšších teplotách). V případě nestechiometrických tuhých roztoků

zůstává základem příslušná superstruktura, v jednotlivých podstrukturách jsou však – podle

sloţení tuhého roztoku – atomy jedné sloţky systematicky nahrazovány druhým typem

atomů. V některých případech se odchylky od stechiometrie řeší tím, ţe některé uzlové body

příslušné podstruktury zůstávají prázdné (vakance).

20

Obr. 2.12: Rovnováţný fázový diagram systému Fe–Al

Fe

Al

Al

Fe

D03

B2

Al

Fe

Obr. 2.13. Superstruktury uspořádaných fází ve slitině Fe–Al: typ FeAl (B2), typ Fe3Al (D03).

Podobné struktury mají i další uspořádané tuhé roztoky, např. Cu3Al, Cu3Sb, Fe3Si, FeSi,

Cu2MnAl, Cu2NiAl apod.

21

II.2.2. Intersticiální tuhé roztoky

Intersticiální (někdy také adiční) tuhé roztoky vznikají ukládáním atomů do

intersticiálních poloh těsně uspořádaných krychlových a hexagonálních struktur. Vzhledem

k malému volnému prostoru těchto poloh je jen malý počet prvků, jejichţ atomy mohou být

do takových poloh umístěny bez většího pnutí. Jedná se zejména o H, B, C, N a O. Vzhledem

k tomu, ţe největší intersticiální poloha je v fcc struktuře oktaedrická (např. poloměr atomu,

který můţe být takto umístěn v -Fe, je 0,052 nm), většina intersticiálně umístěných atomů

působí určitou expanzi mříţkového parametru, která bude záviset na koncentraci intersticiálně

rozpuštěných atomů. Rozpustnost uhlíku s atomem o poloměru 0,077 nm v -Fe je kolem 8,8

at.%.

Přesto někdy dochází i k přednostnímu obsazování menších poloh, jako jsou tetraedrické

polohy v bcc struktuře. Pro to jsou především energetické důvody: zatímco při obsazení této

polohy dochází k posunutí dvou sousedních atomů ze stabilních uzlových bodů, obsazování

oktaedrických poloh vede k posunu čtyř nejbliţších sousedů. Tím se ale také sniţuje

rozpustnost příměsi v matrici základního kovu. Např. mezní rozpustnost C v -Fe je tak

pouze 0,096 at.%. Pak se struktura deformuje na tetragonální prostorově centrovanou

strukturu, která je schopná přijmout větší mnoţství uhlíku a můţe vzniknout přesycený tuhý

roztok C v Fe, tzv. martenzit. Takovou strukturu lze získat rychlým ochlazením austenitu –

tuhého roztoku uhlíku v -Fe, ve kterém je rozpustnost uhlíku výrazně vyšší neţ v -Fe.

II.2.3. Elektrochemické valenční sloučeniny

Přes omezenou rozpustnost příměsi v základním kovu můţe nastat situace, ţe je vznik

nové fáze energeticky výhodnější neţ koexistence dvou tuhých roztoků na bázi primárních

tuhých roztoků B v A () a A v B (). Příčinou mohou být (i) niţší energie elektronů v nově

vzniklé intermediální fázi, (ii) částečně iontový nebo kovalentní charakter vazby mezi oběma

typy atomů, (iii) výhodná geometrie struktury intermediální fáze. Charakteristické je, ţe

všechny takové fáze jsou odvozeny od stechiometrického poměru obou sloţek, tedy

chemickým vzorcem. Oblast existence takové sloučeniny však není striktně omezena na určité

stechiometrické sloţení, ale obvykle se jedná o širší oblast v jeho okolí. Tuto oblast si

můţeme představit jako tuhý roztok přebytečné sloţky ve stechiometrické sloučenině. Někdy

jsou takové fáze označovány jako sekundární tuhé roztoky.

Jedním z reprezentantů intermediálních sloučenin jsou valenční sloučeniny silně

elektronegativních a elektropozitivních atomů. Jedná se většinou o stechiometrie AB nebo AB2

a díky značnému rozdílu v elektronegativitě u nich převládá kovalentní nebo iontová vazba.

Příkladem takových sloučenin jsou fáze PbSe, PbTe, SnTe, MnSe (struktura NaCl), AgMg,

AcNi, BeCu, ’-CuZn (struktura CsCl), Mg2Si, Mg2Pb, Cu2Se (struktura CaF2), ZnTe, CdTe,

InSb, ZnSe (struktura ZnS), FeS, FeTe, NiTe, CuSn, NiSn, NiSb, InPb (struktura NiAs).

Z nich nejjednodušší krystalovou strukturu má skupina typu CsCl, která je zaloţena na

kubické prostorově centrované struktuře s atomy jedné sloţky v uzlech prosté krychle a atomy

druhé sloţky ve středech této krychle. Tato superstruktura je tedy sloţena ze dvou vzájemně

prostoupených prostých krychlových struktur. Jedná se o podobnou strukturu, jako uspořádání

B2 u uspořádaného tuhého roztoku typu FeAl diskutovaného výše. Struktura typu CaF2 je

rovněţ krychlová sloţená ze dvou prostoupených krychlových struktur – jedné prosté (atomy

typu Ca) a jedné plošně centrované (atomy typu F). Struktura typu NaCl je prostá kubická

s pravidelným střídáním různých typů atomů v uzlových bodech. I struktura typu ZnS je

v principu kubická prostorově centrovaná, ale nemá obsazené všechny uzly: Jeden typ atomů

obsadí čtyři uzlové body základní prosté kubické struktury, druhý typ atomů obsazuje kaţdý

druhý centrální bod této struktury. Struktura typu NiAs je hcp s plně obsazenými

22

oktaedrickými intersticiálními polohami a je uspořádána střídavým vrstvením obou druhů

atomů.

II.2.4. Elektronové sloučeniny (Hume-Rotheryho fáze)

Hume–Rothery a Westgren zjistili, ţe se v různých systémech tvoří fáze s podobnými

krystalovými strukturami, je-li ve sloučenině podobný poměr valenčních elektronů k počtu

atomů. Tyto fáze byly nazvány elektronové sloučeniny a pozorují se pro specifické

elektronové koncentrace, uvaţujeme-li, ţe kovy mají mocenství dané jejich příslušností ke

skupině v periodické soustavě a přechodné kovy 8. skupiny mají nulové mocenství. Jednotlivé

typy mají následující krystalové struktury:

I.A. Kubická prostorově centrovaná struktura (-mosaz) s elektronovou koncentrací 3/2

(CuZn, AgZn, AuZn, CuBe, AgMg, Cu3Al, Cu5Sn, CoAl, NiAl.

I.B. Sloţitá kubická struktura (-Mn) s elektronovou koncentrací 3/2 (Ag3Al, Au3Al, Cu5Si,

CoZn3.

I.C. Hexagonální těsně uspořádaná struktura s elektronovou koncentrací 3/2 (AgCd, Cu5Ge,

Ag7Sb).

II. Sloţitá kubická struktura (-mosaz) s elektronovou koncentrací 21/13 ((Cu, Ag nebo

Au)5(Zn nebo Cd)8, Cu9Al4, Cu31Sn8, (Fe, Co, Ni, Pd nebo Pt)5Zn21).

III. Hexagonální těsně uspořádaná struktura s elektronovou koncentrací 7/4 ((Cu, Ag nebo

Au)(Zn nebo Cd)3, Cu3Sn, CuBe3, Ag5Al3).

Elektronové sloučeniny můţeme nalézt i mezi ternárními slitinami a obecně mohou

existovat v úzkém koncentračním oboru v okolí sloţení odpovídajícímu přesné elektronové

koncentraci. Rozloţení atomů můţe být uspořádané i neuspořádané.

II.2.5. Intersticiální fáze a Lavesovy sloučeniny

II.2.5.1 Intersticiální fáze

Intersticiální fáze (sloučeniny) vznikají legováním přechodných kovů atomy H, B, C, N a

S. Tyto sloučeniny si ponechávají základní vlastnosti kovů, ale jsou navíc velmi tvrdé a mají

obecně vysoké teploty tání. Jako disperzní částice značně zvyšují pevnost ocelí. Vzhledem

k vysoké tvrdosti se tvarují metodami práškové metalurgie a pouţívají se k výrobě

rychlořezných nástrojů s vysokou ţivotností.

Je-li poměr mezi poloměry atomů intersticiálu X a základního kovu M menší neţ 0,59,

vzniká jednoduchá fcc nebo hcp struktura s intersticiály uloţenými ve stejných polohách jako

u primárních tuhých roztoků. Stechiometricky lze popsat takové sloučeniny jako MX, M2X,

M4X a MX2. Šířka koncentračního oboru existence takových sloučenin závisí na počtu

obsazovaných intersticiálních poloh. Nitridy, karbidy a hydridy MX, např. ZrN, TiN, VN,

ZrC, VC, ZrH, TiH, mají většinou fcc strukturu. Pro sloučeniny M2X (Fe2N, Cr2N, Mn2N,

W2C, Ti2C, V2C, Nb2C) je naopak charakteristická hcp struktura.

Při poměru poloměrů větším neţ 0,59 vznikají sloţitější struktury. Karbidy ţeleza (Fe3C,

Fe5C2, Fe7C3) mají strukturu trojbokého hranolu s nesymetricky uloţeným uhlíkovým

atomem. Různé kombinace takových hranolů vedou ke vzniku ortorombické nebo

hexagonální struktury. Struktury karbidů M23C6 a M6C můţeme charakterizovat jako

deformované kubické struktury.

II.2.5.2 Lavesovy fáze

Lavesovy fáze jsou také slitiny dvou prvků s rozdílnými poloměry atomů, ale zde se jedná

v případě obou sloţek o kovy a poměr poloměrů je konstantní, rA/rB = 1,225. Základní typy

23

jsou popsány vzorcem AB2 (typy MgCu2, MgZn2, MgNi2). Struktura těchto sloučenin je velice

zajímavá. Zatímco atomy Mg tvoří u typu MgCu2 diamantovou strukturu, jsou atomy Cu

umístěny v rozích pravidelných čtyřstěnů (obr. 2.14). Spojíme-li středy 12 atomů Cu

obklopujících atom Mg, dostaneme polyedr ve tvaru čtyřstěnu se zkosenými rohy. Takovou

strukturu mají sloučeniny jako AgBe2, TiBe2, NiAu2, NbCr2, ZrU2. Elementární buňka MgZn2

se skládá ze čtyř skupin MgZn2 a atomy Mg vytvářejí uspořádání typu ZnS. Stejné uspořádání

mají i CaMg2, NbMn2, UNi2, MoFe2 nebo WFe2. Struktura MgNi2 (NbZn2, UPt2, CoTi2) není

tak častá a skládá se z osmi skupin MgNi2. I tyto struktury jsou ukázány na obrázku 2.14.

MgCu2 MgNi

2MgZn

2

Obr. 2.14. Struktury Lavesových fází AB2.

II.2.6. –fáze ve slitinách s přechodnými kovy

Tzv. fáze typu FeCr se vyskytují v řadě různých systémů a jejich přítomnost ve slitině

podstatně ovlivňuje mechanické vlastnosti materiálu. Přítomnost fáze v legovaných ocelích

je např. příčinou jejich značné křehkosti. Tyto fáze se vyskytují jen ve slitinách přechodných

kovů a vyznačují se tím, ţe vznikají v systémech s velmi malými rozdíly poloměrů atomů

sloţek (max. 8%). Koncentrační rozsahy jejich existence jsou poměrně široké, pohybují se

okolo 5–20%. Jejich struktura je tetragonální a podobá se struktuře U. Elementární buňka

je poměrně veliká, např. u FeCr obsahuje 30 atomů. Koordinační číslo se pohybuje mezi 12 a

15 podle polohy atomu v elementární buňce. Charakteristické jsou pro tyto fáze i celkové

koncentrace s a d elektronů (6,5–7 elektronů na atom). Kromě systému Fe–Cr lze najít

podobné fáze v systémech V–Mn, V–Fe, V–Ni, Cr–Mn či Cr–Co.

Vedle fází typu AB můţeme nalézt i fáze typu AB3. Tyto fáze jsou většinou kubické

(typ Cr3Si) a mají naopak úzký rozsah existence. Prvky A jsou obvykle Ti, Al, Si a P. Mezi

těmito slitinami jsou supravodiče s relativně vysokými kritickými teplotami (kolem 18 K):

Nb3Sn (18,05 K), V3Si (17,1 K), Nb3Ga (14,5), Nb3Al (17,5 K).

24

II.3. Amorfní kovy a nanokrystaly

Jak bylo naznačeno v kapitole 2.1, mohou některé materiály existovat i v nekrystalické

formě, tedy tak, ţe atomy jsou uspořádány – ač stále v pevném stavu – mimo jakoukoli

krystalovou strukturu. Takové materiály nazýváme amorfními látkami. Známým příkladem

amorfních materiálů jsou ztuhlé taveniny silikátů známé jako skla. Podobné struktury existují

i v dalších pevných látkách včetně slitin kovů.

Vzhledem k podobnosti struktury s kapalinami

jsou někdy tyto látky povaţovány za kapaliny

s extrémní viskozitou.

Amorfní struktury, schematicky ukázané na

obrázku 2.15 jsou ovšem termodynamicky

nerovnováţné a je moţné je převést do

krystalického stavu vhodným tepelným

zpracováním. Nicméně jsou takové struktury

často dostatečně stabilní při pokojových či mírně

zvýšených teplotách a mají i své technické

vyuţití a proto je vhodné je v systematice

struktur pevných látek zmínit.

Vzhledem k tomu, ţe se jedná o

nerovnováţné struktury, které připomínají

zatuhlé uspořádání atomů v kapalinách, je

evidentní, ţe jednou z metod, jak takové struktury získáme, je rychlé chlazení taveniny

vhodného materiálu. Pokud jsme zmínili silikátová skla, je jejich stabilita poměrně vysoká a

sklo získáme i při pomalejším ochlazování, např. při rychlostech řádově 100 K/min.

V případě čistých kovů je však tendence atomů uspořádávat se do krystalové struktury

poměrně značná a proto je potřeba velmi vysokých rychlostí ochlazování taveniny, řádově

1010

–1012

K/s. Navíc je tepelná stabilita amorfních kovů velice nízká a při zvýšených

teplotách ochotně přecházejí do krystalového uspořádání.

Existují však slitiny, které lze připravit v amorfním stavu i při „niţších“ rychlostech

ochlazování, řádově 106 K/s, a které jsou stabilní aţ do teplot 400°C. Jedná se především o

slitiny přechodných kovů (Fe, Mn, Ni, Co) s metaloidy (Si, P, B, C), resp. o sloţitější slitiny

na této bázi. Příkladem mohou být slitiny Fe80B20, Fe80P15C5, Fe72Cr8P13C7,

Ni36Fe32Cr14P12B6, ale i Cu57Zr43 nebo Pd80Si20. Amorfní stav těchto materiálů má za

následek řadu výhodných fyzikálních, chemických i mechanických vlastností, jako jsou

vysoká plasticita, feromagnetismus, vysoká korozní odolnost apod. Klasické je jejich vyuţití

jako magneticky měkkých materiálů pro jádra transformátorů. Uvaţovalo se i o jejich vyuţití

jako vláken v kompozitních materiálech a do kordů pneumatik a zejména jako speciální

korozivzdorné materiály. Toto pouţití však nebylo šíře vyuţito.

Při zahřátí nad tzv. teplotu skelného přechodu začínají amorfní materiály krystalizovat a

ztrácejí uvedené výhodné vlastnosti. Krystalizace je nevratný proces, opětovně lze amorfní

stav vyvolat pouze přetavením materiálu a rychlým zchlazením taveniny.

Jak bylo zmíněno, připravují se slitiny v amorfním stavu rychlým zatuhnutím taveniny

při teplotních gradientech řádově 106 K/s. Toho lze dosáhnout několika způsoby:

- válcováním proudu taveniny mezi válci,

- kontinuálním litím taveniny na rychle rotující a intenzivně chlazený buben,

- tryskáním taveniny na chlazenou desku,

- rozbíjením kapek taveniny mezi dvěma deskami.

První dva způsoby jsou ukázány na obrázku 2.16.

Obr. 2.15. Schématické znázornění struktury

amorfní slitiny typu A80B20.

25

Obr. 2.16. Způsoby výroby amorfních slitin válcováním proudu taveniny (a), kontinuálním litím

taveniny na rotující chlazený buben (b).

Je zcela evidentní, ţe tímto způsobem získáme materiál ve formě jemného prášku

nebo plechu o tloušťce maximálně desítek mikrometrů. Alespoň jeden velmi malý rozměr je

totiţ potřebný pro zajištění dostatečného odvodu tepla z vnitřku materiálu a dosaţení

potřebných gradientů teploty pro ochlazování. Pokud bychom chtěli získat materiál

objemnější, je v současné době zřejmě jedinou cestou kompaktizace amorfního prášku do

ţádaného tvaru. Kompaktizace je ovšem komplikována tím, ţe ji nelze provádět za zvýšených

teplot kvůli moţné krystalizaci amorfního materiálu.

Amorfní stav na jedné straně a dokonalé uspořádání atomů v celém objemu v jediné

krystalové struktuře (ideální monokrystal) na straně druhé jsou však krajní (a těţko

dosaţitelné) stavy kovových materiálu. Vzhledem k obtíţné přípravě amorfních materiálů

v nich obvykle existuje určitý stupeň uspořádání, minimálně tzv. uspořádání na krátkou

vzdálenost. Často se při procesu rychlého ochlazování taveniny můţe dosáhnout i jiného

zajímavého stavu – nanokrystalického materiálu. Z hlediska struktury představuje takový stav

soubor velice malých (nano)krystalů obsahujících řádově desítky nebo stovky atomů.

Jednotlivé nanokrystaly jsou vůči sobě různě orientovány a v prvním přiblíţení lze povaţovat

přechodové oblasti mezi nimi za amorfní uspořádání. Tyto oblasti obsahují řádově stejná

mnoţství atomů jako vnitřek krystalické fáze. Nanokrystalické materiály se principiálně

připravují stejně jako amorfní, jejich příprava však nevyţaduje tak vysoké gradienty teploty

při tuhnutí. Navíc vzhledem k moţnosti existence určitého podílu krystalické fáze je moţné

při kompaktizaci nanokrystalických prášků pouţívat mírně zvýšených teplot. Kromě produkce

z kapalné fáze stejnými metodami, jaké byly uvedeny pro produkci amorfních látek, lze

nanokrystalické materiály připravit i pomocí extrémní plastické deformace materiálů. Je

evidentní, ţe vzhledem k mírnějším podmínkám přípravy a širšímu spektru různých

výrobních metod lze ve formě nanokrystalů produkovat mnohem širší spektrum materiálů

včetně klasických konstrukčních materiálů. Jako zajímavý příklad aplikace objemných

nanokrystalických materiálů si uveďme hlavici golfové hole připravované kompaktizací

prášků z nanokrystalických pásků hliníkových slitin.

II.4. Kvazikrystaly

V kapitole II.1.1. bylo ukázáno, ţe pro dokonalé zaplnění prostoru primitivními buňkami

musíme dodrţovat určité zásady symetrie a pouţité motivy mohou mít dvoj-, troj- čtyř- nebo

šestičetnou symetrii. V 80tých letech minulého století však byly nalezeny slitiny vykazující

systematicky pěti- resp. desetičetnou symetrii. Vzhledem k této „nekrystalografické“ symetrii

byly tyto látky nazvány kvazikrystaly. Příklad takových „ikosaedrálních“ struktur je ukázán na

obrázku 2.17.

26

Obr. 2.17. Monokrystal s pětičetnou morfologií (a) a polohy atomů v dokonalé ikosaedrální

struktuře (b).

(W. Steuerer, ve: Physical Metallurgy, 4. vyd., editoři R.W. Cahn, P. Haasen, str. 371, North-Holland, Amsterdam, 1996).

Co je příčinou „nekrystalografické“ symetrie kvazikrystalických struktur? Podívejme se

na klasický příklad rovinného „Penrosova dláţdění“ (obr. 2.18). Struktura vykazující

evidentně pětičetnou symetrii vznikla z určitého uspořádání dvou typů kosočtverců, většího

charakterizovaného úhly 72° a 108°, a menšího s úhly 36° a 144°. Toto uspořádání nám můţe

poslouţit jako ukázka toho, jak lze pomocí krystalograficky symetrických buněk získat dojem

pětičetné symetrie. V trojrozměrném uspořádání bychom si takovou strukturu mohli

představit jako uspořádání trojrozměrných útvarů. Např. základem struktury kvazikrystalické

slitiny Al12W je bcc struktura tvořená atomy W. Okolo kaţdého atomu je pravidelný ikosaedr

sloţený z hliníkových atomů, jednotlivé ikosaedry jsou spojeny pravidelnými osmistěny (obr.

2.19). Z uvedených příkladů vyplývá, ţe kvazikrystalické struktury se dají popsat jako řezy

vícerozměrných periodických struktur. Lze ukázat, ţe pětičetná symetrie, která je nepřijatelná

v trojrozměrném prostoru, můţe být operací symetrie ve čtyřrozměrném prostoru.

Nekrystalografické struktury ve trojrozměrném prostoru se tak stanou krystalografickými ve

vícerozměrných prostorech. Objevení kvazikrystalů tedy vyvolalo nutnost přehodnotit

přístupy klasické krystalografie k symetriím atomárního uspořádávání. Detailní popis

jednotlivých struktur je však poměrně sloţitý a přesahuje rámec zaměření tohoto předmětu,

proto se jím zde nebudeme podrobně zabývat.

27

Kvazikrystaly byly nejdříve pozorovány

jako metastabilní fáze ve slitinách hliníku

s přechodnými kovy, připravených

metodami rychlého tuhnutí, které se

pouţívají pro přípravu amorfních a

nanokrystalických slitin. Ukázalo se však, ţe

tyto fáze mohou být stabilní, tedy popsány

v rovnováţných fázových diagramech a

mohou z nich být připravovány – i kdyţ

zatím pouze malé – monokrystaly (řádově

centimetrové velikosti). Stabilní

kvazikrystaly lze vyrobit běţnou krystalizací

a vhodným tepelným zpracováním určitých

slitin, např. Al65Cu15Co20, Al65Cu20Fe15,

Al70Ni15Co15, Al75Fe10Pd15.

Charakteristická nízká tepelná vodivost a

nízké smáčení kvazikrystalů v porovnání

s jinými slitinami kovů vedlo k jejich

aplikaci jako výborných povlaků na

kuchyňské pánve. Jiným praktickým

uplatněním mohou být povlaky součástí

s výrazně niţším třením apod. Nevýhodou je

ovšem jejich křehkost za pokojové teploty.

Obr. 2.19. Mříţka kvazikrystalické fáze Al12W.

Obr. 2.18. Penrosovo „dláţdění“: uspořádání

dvou typů kosočtverců, většího

charakterizovaného úhly 72° a 108°, a menšího

s úhly 36° a 144°, které vede k pětičetné symetrii

sloţeného obrazce.

28

III. ELEKTRONOVÁ STRUKTURA KOVŮ A SLITIN

III.1. Model atomu

Základní představou moderního pojetí teorie atomu je Rutherfordův model. Atom se podle

něj skládá z malého jádra (řádově 1011

mm), tvořeného protony a neutrony, a z elektronů,

obíhajících kolem něj ve vzdálenosti řádově 107

mm. Protony, neutrony a elektrony se

souhrnně označují jako elementární částice. Proton má kladný elektrostatický náboj o

velikosti 4,8x1010

elektrostatických jednotek, elektron má záporný náboj téţe velikosti.

Neutrony jsou elektricky neutrální.

Zopakujme zde základní znalosti o struktuře atomu. Nejjednodušším prvkem z hlediska

elektronové struktury je vodík. Jeho atom tvoří jeden proton a jeden elektron. Ostatní atomy

obsahují větší shluky protonů a přibliţně stejného počtu neutronů i sloţitější elektronový obal.

Elementární částice v jádře jsou drţeny pospolu jadernými silami, jejichţ povaha ještě není

přesně známá. Kromě těchto základních elementárních částic však existují ještě mnohé další.

Všechna jádra atomů daného prvku obsahují stejný počet protonů Z. Z je také atomové číslo

prvku. Uspořádání prvků podle rostoucího atomového čísla sleduje periodickou tabulku

prvků, budeme-li postupovat v horizontálním směru. Některá jádra mají stejný počet protonů,

ale liší se počtem neutronů: taková jádra se nazývají izotopy, všechny však náleţí témuţ

chemickému prvku s daným atomovým číslem Z. Izolovaný atom je elektricky neutrální:

elektrostatický náboj jádra je +Ze, elektronu e, elektricky neutrální atom tedy obsahuje Z

elektronů. Odstraněním některého z elektronů se zbytek stává kladným, v tomto stavu

hovoříme o kationtu, naopak přidáním elektronu k atomu dostáváme záporný aniont.

III.2. Kvantová mechanika

III.2.1. Základy kvantové mechaniky

Selhání v popisu stability atomů a ostrosti spektrálních čar vedly k vybudování nového

přístupu v popisu chování elementárních částic – kvantové mechanice. Kvantová mechanika

představuje rozšíření klasické mechaniky v tom, ţe vysvětluje i ty jevy, kde klasická

mechanika selhává.

Základním předpokladem kvantové mechaniky je, ţe ke změnám energie nedochází

spojitě, ale po určitých kvantech: při změně pohybového stavu elektronu se totiţ vyzáří nebo

absorbuje kvantum elektromagnetického záření (foton)

Eh , (3.1)

kde h = 6,6261034

Js je Planckova konstanta a je kmitočet fotonu. To dále znamená,

ţe energie elektronů není spojitá, ale jsou dovolené jen určité časově neměnné pohybové

stavy, tzv. stacionární stavy.

Dalším rozdílem je problém stanovení pohybových parametrů. Naše představy jsou totiţ

hluboce sţité s klasickou mechanikou. Ukaţme si to na příkladu kulečníkové koule:

Uvaţujeme-li její pohyb, pak nám jako přirozené připadá, ţe v určitém okamţiku má přesně

určenou polohu i hybnost, a ani si neuvědomíme, ţe je to vlastně předpoklad jejího pohybu, a

přímo pouţíváme Newtonův pohybový zákon. Takový předpoklad je však nesprávný. Přesná

analýza ukazuje, ţe principiálně není moţné současně přesně určit polohu i hybnost tělesa.

Libovolně přesně můţeme určit pouze jednu z těchto veličin, se zvyšující se přesností se

současně zmenšuje přesnost měření druhé veličiny. Tato skutečnost se nazývá Heisenbergův

29

princip neurčitosti a je platná pro všechny částice. Jsou-li proměnnými poloha x a hybnost p,

pak minimálně moţné nepřesnosti určení polohy x a hybnosti p jsou dány vztahem

2

hpx , (3.2)

kde h je Planckova konstanta. Měříme-li energii E a čas t, příslušný vztah lze psát jako

2

htE . (3.3)

Tato formulace je významná pro stacionární stavy, při nichţ i po libovolně dlouhé době

trvá stejný pohybový stav. Při dostatečně velkém t můţe být E velmi malé a elektrony ve

stacionárních stavech mají přesně definované hodnoty energie. Prakticky však není třeba

princip neurčitosti aplikovat na hmotné částice řádově větší neţ atomy.

Na obrázku 3.1 je

srovnáno chápání pohybu

elektronu podle klasické a

kvantové mechaniky. Protoţe

nemůţeme současně určit

přesnou polohu a hybnost,

pouţívá se k popisu

mechaniky elektronů

v atomech pravděpodobnost

výskytu hodnoty těchto

veličin v určitých mezích. Při

popisu je vyuţívána vlnová

funkce . Hodnota se mění

s polohou částice, výše

zmíněná pravděpodobnost

výskytu elektronu mezi body

x a x + dx je určená členem

2dx, kde se hodnota

vztahuje k bodu x. Hodnota

2 v daném bodě x představuje vlastně střední hodnotu elektrického náboje v bodě x.

Výhodou zavedení vlnové funkce – místo pravděpodobnosti přímo – je to, ţe vlnová rovnice,

ze které se počítá (tzv. Schrödingerova rovnice), je běţným typem vlnové rovnice známé

v různých odvětvích fyziky. Vlnová funkce musí být spojitá a můţe nabývat kladné, záporné i

komplexní hodnoty, ale pravděpodobnost, která se z ní počítá, musí mít vţdy pouze reálné a

kladné hodnoty, protoţe je měřitelnou vlastností fyzikálního systému.

Vlnová délka, která charakterizuje křivky závisí na rychlosti elektronů v podle de

Broglieho rovnice

mv

h , (3.4)

kde m je hmotnost elektronu a mv je pak jeho hybnost. Experimentálně bylo potvrzeno, ţe

nejen pohyb elektronů, ale i dalších hmotných částic (atomová jádra) se řídí zákony, které

vyplývají z vlnové rovnice.

Obr. 3.1. Poloha elektronu pohybujícího se podle zákonů

klasické (a) a kvantové mechaniky (b).

30

III.2.2. Ohyb vln

V případě, ţe se svazek elektronů odráţí nebo prochází určitou pravidelnou mříţkou,

vytváří difrakční obrazec: v některých směrech je jeho intenzita silná, jinde slabá. To proto,

ţe se v kaţdém elementu mříţky odráží dopadající záření ve formě nové vlny šířící se dále

radiálně. Vlny z různých částí mříţky se v některých místech překrývají s vlnami stejného

znaménka (interference) a pravděpodobnost výskytu elektronu je úměrná čtverci jejich součtu.

Ukaţme si vznik

difrakčního obrazu na

následujícím schématu (obr.

3.2). Paprsek záření o vlnové

délce dopadá pod úhlem

na systém krystalografických

rovin vzdálených o d. Na

těchto rovinách nastává

odraz, přičemţ úhel dopadu

je roven úhlu odrazu.

Difrakce paprsku nastane jen

tehdy, kdyţ dráhový rozdíl

mezi paprsky odraţenými od

jednotlivých sousedních rovin

je celým násobkem vlnové

délky: jen v takovém případě

se odraţené vlny zesilují, jinak se ruší. Dráhový rozdíl paprsku odraţeného v bodech N a R je

sin 2 sinRN sinRNRQPR dθθ (3.5)

Tento rozdíl se musí rovnat celému násobku vlnové délky, n., tedy podmínka pro reflexi

je

sin2dn , (3.6)

kde n je celé číslo, udávající řád reflexe. Rovnice (3.5) se nazývá Braggovou rovnicí a

kritické hodnoty , pro které je tento zákon splněn, jsou Braggovy úhly.

V praxi se tohoto jevu vyuţívá k identifikaci krystalových struktur. Krystalický materiál

se postupně natáčí vůči dopadajícímu rentgenovému záření a zazamenává se intenzita

difraktovaného záření v závislosti na úhlu 2θ. Na základě uvedeného vztahu (3.6) je

z difrakčního záznamu (obr. 3.3) moţno vyhodnotit mezirovinné vzálenosti v přítomných

fázích a porovnáním s databází vyhodnotit fázové sloţení materiálu. Na materiálu amorfním

k difrakci nedochází.

dR

QP

N

Obr. 3.2. Difrakce záření (Braggova rovnice).

31

Obr. 3.3. RTG difraktogram slitiny MgNi48.

III.2.3. Elektrony v atomech

Různé stacionární stavy pohybu elektronu v atomu jsou vyjádřeny různými tvary funkce

okolo jádra. Kaţdý tvar pak odpovídá určitému dovolenému pohybovému stavu elektronu.

Kdyţ poznáme tento tvar, můţeme získat důleţité údaje o příslušném pohybu, např. o energii

elektronu, momentu hybnosti či magnetickém momentu. Tvar funkce však přesně

nevypovídá o tom, kde se nachází elektron v daném časovém okamţiku, ale – jak jiţ bylo

uvedeno dříve – udává střední hodnotu doby, po kterou se elektron nalézá v dané oblasti

atomu, protoţe tato doba je úměrná hodnotě 2 v této oblasti.

Všeobecně funkce nabývá vysokých hodnot do vzdálenosti ca 107

mm od jádra, coţ

naznačuje, ţe zde se elektron nachází nejdéle. S rostoucí vzdáleností pak funkce rychle

klesá a v nekonečnu má nulovou hodnotu. Je to tím, ţe elektron je elektrostaticky přitahován

k jádru, ale čím je menší oblast kolem jádra, kde je funkce velká, tím kratší jsou vlnové

délky, které ji ohraničují a určují funkci . Z rovnice (3.4) vyplývá, ţe krátké vlnové délce

odpovídá velká hybnost a tedy i vysoká kinetická energie elektronu mv2/2. Ve vzdálenosti

oněch asi 107

mm je pokles elektrostatické energie v rovnováze se vzrůstem kinetické

energie.

Uvnitř této oblasti je tvar funkce pro jednotlivý stacionární stav sloţitý, takţe hustota

prostorově rozloţeného náboje elektronu je v určitých místech velká a jinde malá.

Nejnápadnějšími vlastnostmi tvarů takových funkcí jsou uzly, tedy místa, kde = 0, kde se

elektron nemůţe nalézat. Tyto uzly, analogické uzlům při kmitání strun, které charakterizují

všechny problémy týkající se vlnění, leţí v příslušných plochách okolo atomu a nazývají se

uzlovými plochami. Poloţíme-li uzlovou plochu = 0, do nekonečna, je celkový počet uzlů

patřících témuţ danému pohybovému stavu n (= 1, 2, 3, …) coţ nazveme hlavní kvantové

číslo stavu. Pro daný pohybový stav je tím víc uzlů, čím je větší energie elektronu v tomto

stavu. To proto, ţe v kaţdém uzlu atomu přechází funkce z kladných do záporných hodnot.

Čím víc je uzlů, tím ostřeji se musí křivka ohýbat, aby se přizpůsobila kladnými či

zápornými amplitudami svému správnému průběhu uvnitř atomu, tudíţ má krátkou vlnovou

délku a tedy vysokou kinetickou energii.

Pohybový stav s nejniţší energií, pro který je n = 1, se nazývá základním stavem.

Tento stav se nevyznačuje ţádnými uzly uvnitř atomu. Vlnová funkce je nulová jen

v nekonečnu. Je tedy sféricky symetrická, tj. ve všech směrech od středu atomu je stejně velká

a se vzdáleností exponenciálně klesá. Hladina energie elektronu v tomto základním stavu není

32

nulová, protoţe elektron má elektrostatickou potenciální energii danou svou vzdáleností od

jádra a odpovídající kinetickou energii.

Při změně jednoho pohybového stavu na druhý se musí počet uzlů změnit o celé číslo,

protoţe můţe nastat jen jeden případ a to buď, ţe daný uzel existuje nebo neexistuje. Stejně

tak můţe energie elektronu nabývat jen jednu hodnotu energie z řady pevných hodnot, tzv.

energetických hladin, z nichţ kaţdá je spjata s určitým pohybovým stavem. Tím se např.

vysvětlují ostré spektrální čáry.

Stavy s vyšší energií, neţ je energie základního pohybového stavu, mají uvnitř atomu

uzly. Tyto uzlové plochy jsou dvojího duhu: sférické se středem v jádře a rovinné procházející

jádrem, a označují se druhým kvantovým číslem l, které můţe nabývat hodnot 0, 1, 2, … (n –

1). Stavy, které neobsahují uzlové roviny, se nazývají stavy s a jsou sféricky symetrické,

protoţe všechny jejich uzlové plochy jsou sférické. Stavy, které mají uzlové roviny, nejsou

sféricky symetrické a hustota prostorového náboje elektronu je v určitých směrech od středu

atomu větší neţ v jiných směrech, a právě tyto stavy jsou základem směrových vazeb

v některých molekulách. Stavy s 1, 2 a 3 uzlovými rovinami se nazývají stavy p, d a f. Podle

tohoto označení by např. stav 3d měl mít celkem tři uzly, z toho dvě uzlové roviny a jednu

sférickou plochu v nekonečnu. Toto označení, kdy se pouţívá kombinace hlavního

kvantového čísla a za ním písmeno označující druhé kvantové číslo, se pouţívá nejběţněji.

Abychom úplně stanovili pohybový stav elektronu v atomu, jsou však potřeba ještě dvě

další kvantová čísla. První vyjadřuje skutečnost, ţe v atomu mohou existovat uzlové roviny

s určitými orientacemi a kaţdá dovolená orientace přísluší určitému pohybovému stavu. Pro

jednu rovinu stavů p existují tři orientace, a to jedna pro kaţdou ze tří os x, y, z pravoúhlého

souřadnicového systému (který lze definovat např. magnetickým polem), na který můţe být

tato rovina kolmá. Pro stavy d existuje pět orientací a pro stavy f sedm orientací. Počet

takových orientací je daný kvantovým číslem m, které můţe nabývat hodnot od +l do –l

včetně nuly. Např. pro všechny stavy s (l = 0) je m = 0, kdeţto pro stavy d(l = 2) můţe m

nabývat kteroukoli hodnotu v řadě +2, +1, 0, –1, –2.

Čtvrté kvantové číslo s se liší od ostatních. Je zaváděno proto, ţe se elektron chová tak,

jakoby se otáčel okolo vlastní osy. S tímto spinem jsou spojené magnetické vlastnosti. Číslo

s tak můţe nabývat dvou hodnot, 2

1 a

2

1 .

Určíme-li všechna čtyři kvantová čísla, můţeme přesně charakterizovat pohybový stav

elektronu v atomu a tedy jeho kvantový stav, který je definován souborem kvantových čísel.

Takto jsme definovali různé dovolené pohybové stavy elektronu v atomu, ale je otázkou,

který z těchto kvantových stavů je skutečně obsazen. O tom rozhodují dva principy. První je

princip přednostního obsazení stavu s nejniţší energií. Tím je zřejmě stav 1s (n = 1, l = 0, m =

0, s = ½) a ten by měly obsadit všechny elektrony. Ve skutečnosti tomu tak není, protoţe

podle Pauliho vylučovacího principu nemohou být v atomu či molekule dva elektrony se

stejnými kvantovými čísly.

Ve stavu 1s se tedy mohou nacházet jen dva elektrony, které se liší svým spinovým

číslem. Ostatní elektrony – pokud v atomu existují – musí být ve stavech s vyšší energií. Zde

je třeba odlišovat kvantové stavy od energetických hladin: energetickou hladinou rozumíme

energii elektronu v kvantovém stavu. V určitých případech mohou různé kvantové stavy

příslušet stejné energetické hladině. V tom případě nazýváme takové stavy degenerované.

Kdyţ hovoříme o obsazování kvantových stavů, je vhodné si představit, ţe jádro má

postupně rostoucí atomové číslo, a uvaţovat který stav si vybere kaţdý elektron vyvaţující

náboj jádra. Pořadí kvantových stavů, které je současně pořadím energetických hladin, je toto:

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, (4s, 3d), 4p, (5s, 4d), 5p, (6s, 5d, 4f), 6p, (7s, 6d). Stavy uvedené

v závorkách mají téměř stejné energetické hladiny za předpokladu, ţe představují nejvyšší

obsazené hladiny v atomu, jejich obsazování je tedy sloţité.

33

III.2.4. Periodická soustava prvků

Při pohledu na uspořádání prvků podle vzrůstajícího atomového čísla se ukazuje, ţe

dochází k určitému periodickému opakování vlastností těchto prvků. To je patrné z periodické

tabulky, kde jsou ve sloupcích skupiny chemicky podobných prvků, např. alkalické kovy

v prvním sloupci, halogeny v sedmém, inertní plyny v posledním.

Je zřejmé, ţe tato periodicita souvisí s elektronovou strukturou atomu. Prvním prvkem je

H, který má jeden proton a tedy jeden elektron ve stavu 1s. Následující atom He má dva

elektrony rovněţ ve stavu 1s, které se liší svým spinovým číslem.

Všechny stavy v prvním obalu (n = 1) jsou tím tedy zaplněny a třetí elektron v atomu Li

uţ musí zaujmout stav s nejniţší energií druhého obalu (n = 2), který je jedním ze stavů 2s.

Další prvky po Ne zaplňují postupně tento obal v následující sekvenci:

Prvek Li Be B C N O F Ne

Počet elektronů v 1s 2 2 2 2 2 2 2 2

Počet elektronů v 2s 1 2 2 2 2 2 2 2

Počet elektronů v 2p 0 0 1 2 3 4 5 6

Prvek, který začíná budovat nový obal, začíná současně vytvářet novou řádku periodické

tabulky. Z toho vyplývá, ţe všechny takové prvky (alkalické kovy) mají ve svém vnějším

obalu jediný elektron. Osm prvků patří i do třetí periody, neboť stavy 3d zůstávají

neobsazené, protoţe energetická hladina stavů 4s je niţší, a tak se začíná budovat čtvrtý obal.

Postup zaplňování je 4s – 3d – 4p atd.

III.2.5. Elektronová struktura a chemická povaha

Je tedy nasnadě, ţe periodicita chemických vlastností prvků souvisí s počtem elektronů ve

vnějším obalu. Na druhé straně neexistuje korelace mezi chemickým chováním prvků a

elektronovou strukturou jejich vnitřních obalů (kromě částečně zaplněných stavů d u

přechodných prvků, kde rozdílnost stavů vnitřních a vnějších elektronů je méně zřetelná).

Chemickou povahu prvků určují především elektrony ve stavech s a p vnějšího obalu, tyto

elektrony se nazývají valenční.

Vysvětlení chemické povahy jednotlivých prvků najdeme u inertních plynů, které

prakticky nejeví sklon k chemickému slučování. Elektronová struktura jejich vnějšího obalu

je velice stabilní a má nízkou energii. Mnoho aspektů chemické reaktivity atomů ostatních

prvků lze pak interpretovat na základě představy, ţe tyto atomy se při styku s jinými snaţí

upravit svou vnější elektronovou strukturu do podoby vnější elektronové struktury atomu

nejbliţšího inertního plynu. Například sodík můţe odevzdat svůj jediný valenční elektron a

získat tak elektronovou strukturu neonu. Podobně hořčík by mohl takto odevzdat dva valenční

elektrony. Naopak chlor má o jeden valenční elektron méně neţ argon a snaţí se ho tedy

získat.

Z tohoto hlediska je zřejmá velká afinita mezi prvky, jako jsou sodík a chlor. Jestliţe se

takové atomy k sobě přiblíţí, valenční elektron sodíku přejde k atomu chloru a tak si oba dva

atomy upraví svou elektronovou strukturu vnějšího obalu na elektronovou strukturu jim

nejbliţšího inertního plynu. Přechod elektronu tak změní atom sodíku na kladný iont a atom

chloru na záporný. Oba ionty mají opačné elektrostatické náboje a jsou přitahovány

elektrostatickou silou, působící mezi ionty. Tím vytvoří stabilní molekulu. Tento proces se

objevuje u velké skupiny tzv. iontových nebo heteropolárních sloučenin.

Prvky tak můţeme rozdělit do dvou tříd, na elektropozitivní, které odevzdávají své

valenční elektrony, a na elektronegativní, které je přijímají. Kovy jsou elektropozitivní prvky,

protoţe mají málo valenčních elektronů a snadněji je uvolňují. S rostoucím počtem valenčních

34

elektronů se kovová vazba stává méně výraznou a prvky jako je Al (3 valenční elektrony), Sn

(4), Bi (5) vykazují při reakcích amfoterní charakter.

III.2.6. Meziatomové síly

Systémy atomů mohou koexistovat ve třech základních stavech – plynném, kapalném a

pevném. Zatímco v plynech je vzdálenost atomů poměrně velká, je v kapalinách a pevných

látkách kaţdý atom těsně obklopen svými sousedy. Proto se kapaliny a pevné látky označují

jako kondenzované systémy. Stav seskupení atomů závisí na povaze a velikosti

meziatomových sil, teplotě a tlaku.

U většiny kovů jsou meziatomové síly velké a spojují atomy do velkých celků. Mezi

atomy působí jak síla přitaţlivá tak síla odpudivá. Přitaţlivá síla způsobuje chemickou afinitu

a můţeme ji popsat jako EP = /xn. Současně jsou však atomy odpuzovány na krátkou

vzdálenost díky nemoţnosti prostupu hmoty: EO = /xm. Výsledná interakční energie (křivka

3, obr. 3.4) je

mn xxxE

)( , (3.7)

(, a n < m jsou konstanty (často n 1 a m 2) a x je meziatomová vzdálenost) a závisí

na vzdálenosti obou atomů. Předpokládejme, ţe potenciální energie dvou atomů nekonečně

vzdálených je nulová a mění se jen nepatrně při jejich přibliţování ve vzdálenostech větších

neţ několik atomových poloměrů. Další přibliţování atomů vede k nárůstu přitaţlivé síly

(křivka 2, obr. 3.4), odpudivá síla krátkého dosahu (křivka 1, obr. 3.4) je stále zanedbatelná.

Potenciální energie dvojice atomů tak klesá k záporným hodnotám, protoţe při pohybu pod

vlivem přitaţlivé síly vlastně atomy konají práci. Při menších vzdálenostech však odpudivá

síla rychle roste a představuje kladný přírůstek k potenciální energii – atomy se pohybují proti

působení této síly a spotřebovávají práci. Nutně tedy musí existovat minimální potenciální

energie dvojice atomů, E = D, odpovídající rovnovážné vzdálenosti atomů r

0d

)(d

rxx

xE. (3.8)

35

3

2

1

x

D

(+)

0r

PO

TE

NC

IÁL

NÍ

EN

ER

GIE

Obr. 3.4. Potenciální energie dvojice atomů. 1: odpuzování, 2: přitahování, 3: celková potenciální

energie dvojice atomů.

Existence atomů v plynném nebo kondenzovaném stavu závisí nejen na hodnotě

minimální potenciální energie D, ale i na povaze sil. Jestliţe se při interakci dvou atomů

nasytí meziatomové síly a jejich zbytková afinita pro ostatní atomy je velice nízká, pak taková

dvojice atomů můţe existovat v molekulární formě a takové látky jako H2, O2 či N2 jsou pak

plynné. Nasycení je kvantově-mechanický stav a znamená, ţe určitý atom můţe tvořit silné

vazby s jedním nebo několika málo sousedy a taková skupina pak má onu nízkou zbytkovou

afinitu pro ostatní atomy či molekuly. Tak vlastně vzniká mocenství (valence), tedy stav,

který se vyznačuje tím, ţe určitý atom je schopný se vázat jen s určitým malým počtem jiných

atomů. Zbytková afinita však není úplně nulová a proto mohou molekulové plyny

kondenzovat za nízkých teplot a vytvářet molekulové krystaly, v nichţ právě tyto slabé síly

drţí molekuly pohromadě, zatímco síly mezi jednotlivými atomy v molekulách jsou velmi

silné. Slabé vazby tedy snadno překonáme ohřátím, při němţ se materiál odpařuje, zatímco

disociace molekuly na jednotlivé atomy vyţaduje mnohem vyšší teploty.

Jestliţe při interakci dvou atomů nedochází k nasycení vazeb, mohou tyto celky narůstat

přibliţováním dalších a dalších atomů a můţeme tak získat velké a silně vázané skupiny

atomů. Příkladem takových skupin mohou být kovové materiály v pevném či kapalném stavu.

Díky homogennímu rozloţení vazeb je odpařování slabé, avšak při dostatečně vysokých

teplotách dochází k odpařování i v těchto látkách, páry jsou však tvořeny jednotlivými atomy.

Jak uţ bylo naznačeno v předchozích odstavcích, stav systému (kondenzovaný či plynný)

je ovlivňován i vnějšími podmínkami. Vnější tlak sniţuje objem systému a tím dochází ke

zmenšení vzdáleností mezi jednotlivými atomy nebo molekulami. Tlak tedy vykonává práci

proti odpudivé síle. Malá stlačitelnost souvisí s velkými meziatomovými silami.

Teplota je mírou střední hodnoty kinetické energie částice v systému, která souvisí s jejím

tepelným pohybem. Dodáváme-li teplo dvěma atomům, které jsou vzájemně spojené vazbou,

mohou nastat různé jevy. Samostatná molekula se pohybuje jako celek plynule rotačním a

translačním pohybem. Atomy či molekuly v pevném systému kmitají, případně rotují a

v určité míře se mohou pohybovat i translačně. Uvnitř systému atomy kmitají, tj. jejich

okamţitá poloha „osciluje“ okolo rovnováţné polohy s frekvencí, která je téměř konstantní a

amplitudou, která s teplotou roste. Jestliţe energie kmitavého pohybu převýší hodnotu D (obr.

36

3.4), poruší se meziatomová vazba, protoţe atomy se od sebe vzdálí a stávají se volnými. Čím

je vazba silnější, tím je samozřejmě potřebná vyšší teplota. Vysoký bod varu i tání tedy svědčí

o velkých meziatomových silách v kapalinách a pevných látkách.

III.2.7. Původ meziatomových sil

Meziatomové síly mohou mít různou povahu a původ v závislosti na tom, jaké atomy (a

tedy elektronové obaly) vzájemně interagují.

Jestliţe při přiblíţení dvou atomů dojde k přechodu elektronu nebo elektronů z jednoho

atomu na druhý, stávají se oba atomy opačně nabitými ionty a jsou přitahovány

elektrostatickou přitaţlivou silou. Odpudivá síla, která je v určité malé vzdálenosti

v rovnováze s přitaţlivou silou, je způsobená zejména tím, ţe dochází k překrývání vnějších

zcela zaplněných obalů iontů a je krátkého dosahu. Taková vazba se nazývá iontová.

Nedochází-li při přiblíţení dvou atomů k přechodu elektronů z jednoho atomu na druhý,

protoţe by při tom nevznikly dva zcela zaplněné obaly (a tedy z atomů ionty), začínají se

elektrony sdílet. To znamená, ţe jednotlivý elektron uţ nemůţeme povaţovat za příslušný

původnímu atomu, ale elektron současně přísluší oběma atomům a tedy molekule jako celku.

Samozřejmě, ţe pohyb a energie elektronů v takových společných obalech stále splňují

podmínky kvantových zákonů a Pauliho vylučovací princip. Počet sdílených elektronů je

obvykle takový, ţe jsou zaplněny všechny elektronové stavy obalu a obal tak svým způsobem

můţeme povaţovat za zcela zaplněný. Existuje řada stabilních molekul a látek tvořených

atomů s takovou kovalentní vazbou. Jako příklad si uveďme molekuly tvořené stejnými

atomy: Cl2, H2 nebo uhlík v diamantové struktuře. V těchto látkách samozřejmě není moţné,

aby jeden atom odebral elektrony atomu druhému. Elektrony v takových molekulách musí

přecházet i do vyšších energetických stavů a zvýšení energie je zdrojem odpudivé síly bez

ohledu na povahu přitaţlivé síly.

V případě, ţe ještě nedochází k překryvu elektronových obalů atomů nebo molekul,

existuje mezi nimi slabá přitaţlivá tzv. van der Waalsova síla. Ta je způsobená tím, ţe i

elektrostatické pole neutrálního atomu vykazuje fluktuace, které vznikají při oběhu elektronů

okolo jádra změnami poloh záporných nábojů vůči centrálnímu kladnému náboji. Vzniklá

vazba se nazývá molekulární. V případě, ţe k vazbě dochází prostřednictvím vodíkového

atomu ve skupinách typu NH, OH, SH či FH, vzniká tzv. „vodíkový můstek“, N–H…N atd. a

vodíková vazba. Taková vazba je silně polarizovaná a tedy silnější neţ klasická van der

Waalsova, ale slabší neţ čistě kovalentní či iontová vazba.

III.2.8. Kovová vazba

U prvků s malým počtem valenčních elektronů, jako jsou kovy, je obtíţné dosáhnout

takového účinného sdílení elektronů, aby bylo moţné povaţovat elektronový obal za

zaplněný. Proto u takových látek vzniká vazba, v níţ jeden nebo několik valenčních elektronů

nepřísluší určitému atomu nebo jejich skupině, ale celému krystalu. Atomy tak jsou

ionizovány a celek (kov) můţe být povaţován za soubor kladných iontů a mraku elektronů.

Elektrony jsou poměrně volné a pohybují se rychle materiálem tak, ţe elektronová hustota

mezi ionty je všude stejná. Soudrţnost materiálu je dána elektrostatickou přitaţlivostí mezi

záporně nabitým mrakem elektronů a kladně nabitými ionty. Tím, ţe nejsou směrové, se

vazby v kovech podstatně liší od vazeb v nekovových látkách.

III.3. Elektronová teorie kovů

Existence volných elektronů v kovech je vlastně příčinou „kovového“ charakteru těchto

látek a je zodpovědná za nejvýznačnější vlastnosti těchto látek. Pro pochopení jejich chování

a důsledků popíšeme nejprve jednorozměrné chování volného elektronu (volný elektron

v tenkém drátě).

37

III.3.1. Kvantová teorie volného elektronu pro jednorozměrný případ

Předpokládejme, ţe se volný elektron pohybuje v jednorozměrném vzorku kovu, např.

v tenkém drátě délky L. Pro tento případ můţeme formulovat Schrödingerovu rovnici

0)(8

d

d

2

2

2

2

VEh

m

x, (3.9)

kde druhá mocnina vlnové funkce v bodě x kovu udává čas, po který elektron zůstává

v tomto bodě, h je Planckova konstanta, E je celková energie elektronu, V je potenciální

energie elektronu a m je hmotnost elektronu. Rovnici (3.9) můţeme dále upravit jako

).(konstd

d

2

2

EVx

. (3.10)

Je-li např. V > E, je pravá strana rovnice (3.10) kladná a d2/dx

2 > 0, kdyţ > 0 a naopak.

Uvnitř vyšetřovaného drátu je V = konst. a pro jednoduchost můţeme uvaţovat V = 0. Mimo

drát má V vyšší hodnotu Vm. Je-li celková energie E > Vm, můţe elektron z kovu uniknout,

jako například při termoemisi. V případě E < Vm, lze řešit diferenciální rovnici (3.9) při určení

dvou okrajových podmínek. Budeme-li uvaţovat průběh potenciální energie tak, jak je ukázán

na obrázku 3.4, zvolíme jako okrajové podmínky hodnoty: (1) funkce pro polohu x = 0 a (2)

směrnici funkce (tj. d/dx) v tomto bodě tak, aby 0, kdyţ x . Je-li E = E', je V >

E a d2/dx

2 > 0 v kaţdém bodě drátu. To ovšem vede k tomu, ţe hodnota roste se

vzdáleností a interpretace 2 jako hustota elektronu nemá smysl. Proto můţeme akceptovat,

ţe hodnota E = E' je pro elektron zakázaná.

Je-li kinetická energie elektronu

E = E'' jen o málo vyšší neţ V, je

sice d2/dx

2 < 0 a tedy tvar

závislosti na vzdálenosti se stane

konkávní, ale v zásadě stále ještě

zůstává podobný jako

v předchozím případě, tedy roste

se vzdáleností. I tento energetický

stav tedy není dovolen. Rostoucí

energie E a tím se zvyšující vliv

konkavity však působí ohyb

závislosti E vs. x tak, ţe při určité

hodnotě E = E0 je dosaţeno stavu,

kdy (0) = (L). To je první

přijatelné řešení a představuje

základní stav elektronu, tj. stav s nejniţší energií. Vedle něj existují další diskrétní energetické

stavy mezi hodnotami energie E0 a Vm, které splňují výše uvedenou podmínku (0) = (L).

Tyto hodnoty označme jako E1, E2, … En.

Ukaţme si jednoduchý příklad výpočtu dovolených hodnot kinetické energie. Pro

jednoduchost uvaţujme, ţe hodnota Vm je extrémně vysoká (ačkoli tento případ neodpovídá

E0

L

Vm

E''

E'x0

V

Obr. 3.5. Potenciální energie volného elektronu v kovu.

38

situaci v kovech) a hodnota V = 0. Jako okrajovou podmínku můţeme akceptovat (0) = 0.

Protoţe E = ½mv2, kde v je rychlost, a = h/mv, platí vztah

2

2

2 m

hE . (3.11)

Dosadíme-li tento výraz do rovnice (3.9) a pouţijeme-li V = 0 uvnitř drátu, přejde vlnová

rovnice na tvar

02

d

d 2

2

2

x (3.12)

s řešením

xB

xA

2sin

2cos , (3.13)

kde A a B jsou konstanty. Protoţe cos(0) = 1 a sin(0) = 0 a podle předpokladu (0) = 0, musí

být A = 0. Pro určení konstanty B připomeňme, ţe pravděpodobnost výskytu elektronu kdekoli

musí být jednotková,

L

x0

2 1d . (3.14)

Pak dostaneme LB 2 . Chceme-li určit energetické hladiny, musíme uváţit, ţe = 0

pro x = L, tj. sin (2L/) = 0. Toto platí pro hodnoty vlnových délek

n

LLLL

2,...

3

2,

2

2,2 , (3.15)

kde n (= 1, 2, 3, …) je kvantové číslo. Příslušné energetické hladiny jsou pak

2

2

2

8n

mL

hE . (3.16)

III.3.2. Kvantová teorie volného elektronu pro trojrozměrný případ

V kovovém tělese se elektrony pohybují ve třech základních směrech a je tedy třeba

rozšířit rovnici (3.16) tak, aby byl respektován tento trojrozměrný stav, tedy pouţít tři

kvantová čísla nx, ny, nz, charakterizující pohyb podél os x, y a z,

)(8

222

2

2

zyxnnn

mL

hE , (3.17)

39

kde kaţdé z čísel nx, ny a nz můţe být libovolné přirozené číslo bez ohledu na hodnoty

zbývajících dvou kvantových čísel.

Při zaplňování energetických hladin, daných jednotlivými kvantovými čísly, obsazují

elektrony stavy s nejniţší energií při teplotě 0 K, a to po dvou elektronech s opačným spinem

v kaţdém stavu. Kaţdý kvantový stav je definován třemi čísly nx, ny a nz. Při teplotě 0 K jsou

obsazeny všechny stavy aţ po mezní hodnotu Emax a ostatní kvantové stavy jsou prázdné.

Hodnota Emax závisí na na počtu volných elektronů. Tato skutečnost je reprezentována

Fermiho distribuční

křivkou (obr. 3.6),

která udává

pravděpodobnost, ţe

kvantový stav o dané

energii je obsazen. Na

obrázku 3.6 je pouţita

spojitá křivka, přestoţe

jsou povolené pouze

diskrétní energetické

hladiny – dovolené

hladiny však jsou na

sebe nahuštěné a jej

jich tolik, ţe by nebylo

moţné je jednotlivě

v diagramu znázornit.

V tomto případě

říkáme, ţe energetické

spektrum je

kvazispojité.

Při vyšších teplotách (křivka T 0 K na obr. 3.6.) absorbují některé elektrony tepelnou

energii a přecházejí do vyšších kvantových stavů. Podle Pauliho vylučovacího principu můţe

elektron vstoupit jen do prázdného elektronového stavu, takţe tepelně excitovné elektrony

musí přecházet do stavů, které leţí nad hodnotou Emax. Protoţe průměrná hodnota tepelné

energie připadající na částici daného systému při teplotě T je řádu kT, mohou tepelnou energii

absorbovat jen ty elektrony, jejichţ kvantové stavy leţí v intervalu kT okolo hodnoty Emax. To

není moţné pro elektrony, které leţí v niţších hladinách, protoţe v jejich blízkosti se jen

velice zřídka nachází volný kvantový stav.

Hustota moţných stavů N(E) v jednotkovém intervalu energie představuje kvadratickou

závislost

21)( CEEN , (3.18)

kde konstanta úměrnosti C roste s objemem. Počet stavů skutečně obsazených elektrony je

dán Fermiho funkcí

1]/)exp[(

1)(

kTEEEF

F

, (3.19)

0

1

kT

T > 0 K

T = 0 K

Emax

PR

AV

DE

PO

DO

BN

OS

T

OB

SA

ZE

NÍ

HL

AD

IN

ENERGIE E

Obr. 3.6. Fermiho distribuční křivka při teplotě T = 0 K a při T > 0 K.

40

kde EF je Fermiho energie a je definována jako energie, mající pravděpodobnost ½. Jedná se

vlastně o energii Emax

ukázanou na obrázku

3.6. Vzhledem ke své

důleţitosti, plynoucí

z obrázku 3.5. se také

nazývá Fermiho mez.

Hustota stavů plynoucí

z rov. (3.18) a

z obrázku 3.6. je

znázorněna na obrázku

3.7.

Řešení udané rov.

(3.17) je však poněkud

zjednodušené, tím, ţe

jsme uvaţovali pouze

reálné hodnoty

konstant A a B. Obecně

tyto konstanty mohou

nabývat i komplexní

hodnoty a tím nabízí další řešení pro rov. (3.13). Taková moţnost nastane, kdyţ vlnová

funkce bude mít imaginární hodnoty, např. = x + iy, kde i = 1 . Pak 2 = (x + iy) (x iy)

= x2 + y

2, coţ je vţdy reálné číslo a význam 2

jako pravděpodobnosti výskytu elektronu je

zachován. Jedno z komplexních řešení rov. (3.13) je B = iA. Pak

)Θexp( )sin(cos ii AA (3.20)

nebo

)exp( xA ki (3.21)

kde

nL

22k (3.22)

je vlnový vektor, který udává směr i vlnovou délku šíření vln. Pak energie volných elektronů

bude dána vztahem

2

2

2

8k

m

hE

, (3.23)

jak je ukázáno na obrázku 3.8.

E0

T > 0 K

T = 0 K

Emax

H

US

TO

TA

OB

SA

ZE

NÍ

EN

ER

GE

TIC

KÝ

CH

HL

AD

IN,

N(E

)

ENERGIE E

Obr. 3.7. Obsazení energetických stavů při teplotě T = 0 K a při T > 0 K.

41

00

5

10

15

20

25

30

k

E

Obr. 3.8. Závislost energie E na vlnovém vektoru k volného elektronu.

III.4. Pásová teorie kovů

III.4.1. Základní úvahy

Přiblíţí-li se k sobě atomy na malou vzdálenost, dojde ke změně energetických stavů

valenčních elektronů. Hladiny vnitřních elektronů však při takovém přiblíţení zůstávají

v podstatě neovlivněné. Na valenční elektrony při přibliţování začínají – vedle vlastního jádra

– působit i jádra sousedních atomů. Vazba mezi jádrem a valenčním elektronem se zeslabuje a

potenciální energie elektronu klesá. Valenční elektron tak principiálně můţe opustit „své“

jádro a pohybovat se vzniklým souborem atomů. Pokud bude uspořádání přiblíţených atomů

periodické, tedy atomy budou zaujímat uzlové body v krystalové struktuře, nebude se elektron

pohybovat v takovém prostředí v konstantním potenciálovém poli, ale v periodickém.

Budeme-li pro jednoduchost uvaţovat téměř volné elektrony, pohybující se v potenciálovém

poli se střední hodnotou potenciálu rovnou nule, bude výsledná závislost energie E na

vlnovém vektoru k prakticky shodná s chováním volného elektronu, a pro určení energie

elektronu můţeme pouţít rovnici (3.23). Při určitých hodnotách k je však tato parabolická

závislost úplně přerušená, i když je periodický člen potenciálu V extrémně malý. Při této

kritické hodnotě k je rychlost téměř volného elektronu nulová a jeho energie se liší od energie

volného elektronu. Vysvětlení tohoto jevu je následující. Při průchodu krystalem dochází

k částečnému rozptylu záření na kaţdém atomu. Toto rozptýlené záření od daného atomu

můţe interferovat s podobným zářením od dalších atomů. Tím se vytvářejí dvě vlny téhoţ

typu, jako je dopadající záření (rovinné vlny). Jedna z těchto vln postupuje dopředu ve fázi

s dopadající vlnou a proto je nemůţeme odlišit. Druhá postupuje obráceným směrem.

Představíme-li si pod „zářením“ elektron, je jasné, ţe za této situace se pohybuje směrem

zpět. Jestliţe spolu interferují vlny jdoucí zpět od různých atomových rovin, které nejsou ve

fázi, ruší se, a elektron tedy prochází krystalem nerušeně, tedy jako „volný elektron“.

Nabývá-li však k takové hodnoty, ţe při odrazu od rovin vzdálených od sebe 2a se rovná

celému násobku vlnové délky, n, zesilují se postupně odraţené vlny a vytvářejí silný

odraţený paprsek. Tato Braggova podmínka (rov. (3.5)) vyjádřená pomocí vlnového vektoru

je

42

na

k , (3.24)

kde n = 1, 2, 3, … Tyto hodnoty jsou tedy kritickými hodnotami k, při nichţ bude odraţené

záření stejně intenzivní, jako dopadající. Dopadající záření se tedy bude v podstatě odráţet

bez ohledu na to, jak hluboko proniká do materiálu. Pro hodnoty k dané rovnicí (3.24) tedy

vlnová funkce není reprezentovaná jedinou funkcí exp(ikx), která popisuje elektron

pohybující se v určitém směru. Je třeba zavést funkce, které budou respektovat skutečnost, ţe

dopadající a odraţené záření je stejně intenzivní. Protoţe odraţenému záření přísluší funkce

exp(ikx), budou tyto funkce

xxx kkk cos2)exp()exp( ii a xxx kkk sin2)exp()exp( ii . (3.25)

Lze ukázat, ţe tyto funkce reprezentují stojaté vlny. To znamená, ţe pro kritické hodnoty

k platí

elektron pohybující se krystalem má výslednou rychlost nulovou, protoţe se postupně

odráţí sem a tam,

hustota elektronu v krystalu se mění periodicky.

0

0

5

10

15

20

25

30

(b)(a)

E

DD

CC

BB

AA

2k-2k k-k

k

E

Obr. 3.9. Závislost energie E na vlnovém vektoru k pro elektrony, pohybující se v krystalu (a) a

příslušný energetický pás pro tento směr (b).

Druhý závěr je důleţitý pro stanovení energie elektronu. Sinusová funkce má své nulové

hodnoty tam, kde kosinusová maxima a naopak. Důsledkem toho je, ţe jedna ze stojatých

vlnových funkcí poskytuje největší elektronovou hustotu pro nejmenší hodnoty potenciálu V.

V tom případě je energie elektronu menší neţ pro volný elektron. Druhá funkce se chová

opačně, v tom případě je energie vyšší neţ pro volný elektron. Vliv periodického pole je

takový, ţe pro kaţdou kritickou hodnotu k se hladina volného elektronu rozpadá na dvě

rozdílné hladiny, např. A a B pro funkční závislost (E,k), které jsou odděleny intervalem

43

energie, ve kterém není pro elektron dovolen ţádný pohybový stav (obr. 3.8). Šířka

energetického pásu mezi body A a B závisí na amplitudě periodického členu ve výrazu pro v a

mizí, je-li V = konst.

Na obrázku 3.9 jasně vidíme, ţe pro většinu hodnot k se závislost mezi E a k kryje

s parabolickou závislostí pro volný elektron (obr. 3.8), ale v okolí kritických hodnot nk se od

této závislosti odchyluje aţ dojde k jejímu přerušení (A a B, C a D atd). Z toho vyplývá, ţe

existují určité intervaly energie, které jsou zakázané pro pohyb elektronů v krystalu v daném

směru. Zvyšujeme-li tedy postupně hodnotu vlnového vektoru k, energie postupně roste do

hodnoty A. V tomto bodě nepatrné zvýšení k způsobí přeskok energie elektronu na hodnotu B.

Zakázané intervaly typu A–B rozdělují energetické spektrum na střídající se pásy dovolených

a zakázaných oblastí, jak je rovněţ patrné z obrázku 3.9. U vodičů se dovolené pásy často

nazývají vodivostní pásy. Oblasti, v nichţ se energie mění spojitě v závislosti na vlnovém

vektoru k, se nazývají Brillouinovy zóny. Jsou to vlastně oblasti dovolených energií elektronů.

V kaţdé Brilouinově zóně jsou energetické hladiny těsně u sebe a vytvářejí tak kvazispojité

spektrum.

Z obrázku 3.9. je patrné, ţe odklon od ideální parabolické závislosti nenastává pouze při

kritických hodnotách nk, ale i v jejich okolí. V jejich blízkosti se totiţ vlny rozptýlené na

sousedních atomech liší pouze nepatrně ve fázi a dochází k jejich zesílení při interferenci.

III.4.2. Brillouinovy zóny

Jak bylo jiţ zmíněno v předchozí kapitole, oblasti dovolených energií E se nazývají

Brillouinovy zóny. První zóna obsahuje všechny hladiny od nulové energie po energii danou

první nespojitostí závislosti energie na vlnovém vektoru k, druhá všechny hladiny mezi první

a druhou nespojitostí atd. Kritické hodnoty k lze poměrně snadno určit pomocí Braggovy

podmínky a tak lze pásovou teorii rozšířit na trojrozměrný prostor. Budeme-li pro

jednoduchost uvaţovat dvourozměrný prostor, v němţ se pohybuje elektron pod úhlem

k rovině hustě uspořádaných atomů, dojde k odrazu elektronů s vlnovou délkou

n

a

sin2 , (3.26)

tedy pro vlnové vektory

na

sin

k . (3.27)

Hranice první Brillouinovy zóny, tj.poloha první nespojitosti křivky (E,k) pro obecný směr

elektronu je dána výrazem

sina

k . Protoţe kx = k sin , bude první nespojitost pro

ak

x. Analogicky dostaneme i podmínku pro

ak

y. Graficky můţeme Brillouinovy

zóny znázornit jako čáry konstantní energie (vrstevnice) v k–prostoru, v našem

dvourozměrném případě pak v souřadnicích kx a ky (obr. 3.9). Kaţdý bod závislosti

představuje určitý pohybový stav elektronu. První nespojitost nastává, je-li splněna alespoň

jedna z podmínek a

k

yx,

. Je evidentní, ţe v obrázku 3.10 je vyznačena čtvercem ABCD.

44

Tento čtverec tedy představuje

hranici první Brillouinovy zóny pro

danou strukturu. Podobně můţeme

dostat hranice dalších nespojitostí pro

vyšší hodnoty n (rov. (3.27)), coţ

odpovídá odrazu na jiných

krystalových rovinách. Hranice zóny

jsou rovnoběţné s rovinami krystalu,

kterým přísluší tato zóna: to je obecná

vlastnost, která přímo vyplývá

z Braggova zákona.

Jak je patrné z obrázku 3.10,

jsou vrstevnice s nízkou energií (1, 2,

3), které jsou daleko od hranice zóny,

soustředné kruţnice se středem

v počátku souřadného systému. To

souvisí s tím, ţe elektrony s nízkou

energií se podobají volným elektronům

a v libovolném směru se chovají tak,

jako by nebyly ve vlivu periodického

pole krystalu. Ve větší vzdálenosti od

počátku, tedy pro vyšší velikosti

vlnového vektoru k, ztrácejí tyto vrstevnice kruhový tvar a stávají se vypouklými směrem

k nejbliţším oblastem hranic Brillouinových zón (vrstevnice 4). To je důsledkem odchylek

křivky (E,k) od parabolického průběhu (viz obr. 3.9). V těchto oblastech k–prostoru je

přírůstek energie od jedné vrstevnice ke druhé spojen s mimořádně velkým vzrůstem velikosti

k. Další vrstevnice (5, 6) přetínají hranice Brillouinovy zóny. Tyto vrstevnice však

nepokračují za hranicemi Brillouinovy zóny, protoţe v bodech na její hranici má energie

nespojitost.

Skutečné kovy mají

Brillouinovy zóny trojrozměrné, tedy

ve tvaru mnohostěnů, jejichţ plochy

jsou rovnoběţné s příslušnými

difrakčními rovinami v krystalu. Na

obrázku 3.11 je znázorněna první

Brillouinova zóna pro fcc strukturu.

Jednotlivé plochy této zóny jsou

rovnoběţné s rovinami 111

(šestiúhelníky) a 200 (čtverce).

Brillouinovy zóny tedy nejsou

částí krystalu ve skutečném prostoru.

Jejich tvar a velikost závisí jen na

druhu krystalové struktury, nikoli na

počtu atomů. Dá se ukázat, ţe kaţdá

zóna v fcc a bcc strukturách obsahuje

přesně jeden kvantový stav (dva

elektrony s opačným spinem) pro

kaţdý uzlový bod v krystalu. To

v případě jednoelektronových kovů

(Ia a Ib podskupiny) znamená, ţe je

Obr. 3.10. První Brillouinova zóna pro

dvourozměrnou čtvercovou strukturu.

Obr. 3.11. První Brillouinova zóna pro kubickou plošně

centrovanou strukturu.

45

zaplněno N/2 kvantových stavů o nejniţší energii (N je počet atomů v kovu). Protoţe na

kaţdý uzlový bod připadá jeden atom, znamená to, ţe první Brillouinova zóna je zaplněna jen

z poloviny. U prvků s vyšším počtem elektronů záleţí obsazení Brillouinových zón na tom,

zda se tyto zóny překrývají nebo ne. Pokud dochází k překrývání, začne se zaplňovat sousední

zóna dřív, neţ se kompletně zaplní základní zóna. V takových krystalech pak vţdy existují

částečně zaplněné zóny bez ohledu na koncentraci elektronů. Pokud se zóny nepřekrývají, je

moţné se při určité koncentraci elektronů vyhnout částečně zaplněným zónám. Podmínkou

pro všechny elektrony ovšem je to, aby energie na hranici obsazené oblasti – Fermiho ploše –

byla ve všech jejích bodech stejná.

III.4.3. Kovy a nekovy

Volné elektrony se mohou pohybovat celou oblastí, ve které je potenciální energie

konstantní. Mohou se však také pohybovat v periodickém poli: jsou-li dvě oblasti s nízkou

potenciální energií oddělené oblastí s vysokou potenciální energií, můţe elektron tuto

energetickou bariéru překonat tzv. tunelováním.

K tunelovému jevu dochází proto, ţe vlnová funkce reprezentující elektron neklesne na

nulu ihned po dosaţení bariéry, ale klesá postupně, čím víc proniká za hranici bariéry. Pokud

neklesne vlnová funkce na nulu po dosaţení druhé strany bariéry, můţe se znovu rozprostřít

v této nové oblasti. Frekvence, se kterou elektron při tunelovém jevu přeskakuje bariéru,

prudce klesá se vzrůstem šířky nebo výšky bariéry. Například v plynu tunelování prakticky

nepřichází v úvahu. Na druhé straně v pevné látce, kde se atomy vzájemně „dotýkají“ a

potenciální bariéry mezi nimi jsou poměrně malé, mohou valenční elektrony tunelovat

poměrně snadno. Vnitřní elektrony mají nízkou kinetickou energii a energetické bariéry mezi

atomy jsou pro ně téměř nepřekonatelné.

V důsledku tunelového jevu se mohou valenční elektrony pohybovat od atomu

k atomu principiálně ve všech pevných látkách. Jestliţe akceptujeme fakt, ţe v elektrickém

poli se pohybují volné elektrony od záporného pólu ke kladnému a výsledkem toho je

průchod elektrického proudu, měly by všechny pevné látky být díky tunelovému jevu vodivé,

tedy mít tuto základní „kovovou“ vlastnost. Proč tedy existují nekovy?

Vlivem vnějšího elektrického pole dochází k urychlování elektronů v odpovídajícím

směru a k posunu distribuční křivky (obr. 3.6) v tomto směru k vyšším hodnotám energie. Je-

li však Brillouinova zóna zcela zaplněná a nedochází-li k vzájemnému překrývání sousedních

zón, není moţné posunutí Fermiho distribuční křivky bez přenesení některých elektronů do

další Brillouinovy zóny. Jinými slovy: energetická bariéra je tak mohutná, ţe k tunelování

nedojde. Aby bylo moţné převést některé elektrony do „vyšší“ Brillouinovy zóny, bylo by

potřebné obrovské elektrické pole. Zůstávají-li všechny elektrony v zaplněné zóně,

neprochází při působení elektrického pole pevnou látkou ţádný proud. Látky se zcela

zaplněnými Brillouinovými zónami jsou izolátory, tj. nekovy.

Jsou-li zóny jen částečně zaplněné, je posuv Fermiho distribuční křivky moţný díky

moţnosti přechodu elektronů do sousedních stavů uvnitř téţe zóny, protoţe energetické

hladiny těchto stavů si jsou vzájemně velmi blízké. Přechod elektronů s energií blízkou

Fermiho mezi do sousedních hladin lze pak dosáhnout působením libovolně malého pole. Tím

je zaručena vysoká elektrická vodivost. Kovy jsou tedy pevné látky s částečně zaplněnými

Brillouinovými zónami.

Existuje ještě třetí skupina látek, tzv. polovodiče, pro které je charakteristická slabá

elektrická vodivost. V tomto případě se zóny nepřekrývají, ale protoţe zakázané pásy mezi

nimi jsou úzké, nebo se v pevné látce vyskytují buď nečistoty, nebo krystalové poruchy, můţe

nastat přechod několika elektronů do prázdné zóny nebo jejich odstranění ze zaplněné zóny.

46

Ukazuje se však, ţe ne všechny pevné látky s částečně zaplněnými Brillouinovými

zónami musí být nutně kovy. Např. NiO má částečně zaplněné zóny, ale je typickým

izolátorem. Důvodem je to, ţe rozdělení elektronů není ve všech molekulách stejné.

III.4.4. Hustota kvantových stavů

Z mnoha důvodů je ţádoucí znát rozloţení a energii jednotlivých elektronů, tzv. hustotu

kvantových stavů. Jedním z takových důvodů je např. otázka stability jednotlivých fází.

Hustotu stavů označujeme jako N(E). Součin N(E).dE pak udává počet kvantových stavů

v jednotce objemu krystalu v intervalu energie od E do E + dE. Zanedbáme-li vliv hranic zón,

snadno určíme hustotu stavů pro volné elektrony. Je-li maximální energie volného elektronu

v krystalu o objemu V s N elektrony

32

2

3

8

V

N

m

hE

, (3.28)

pak počet obsazených stavů v objemové jednotce je V

Nn

2 , takţe

23

23

3

)2(3

4Em

hn

.

(3.29)

Derivací dostaneme

EEmh

n d)2(2

d 21

23

3

.

(3.30)

Protoţe dn = N(E).dE, je hustota stavů dána výrazem

21

23

3

)2(2

)( Emh

EN

. (3.31)

Závislost hustoty kvantových stavů volných elektronů na energii je tedy parabolická (obr.

3.12).

0

N(E

)

E

0D

C

B

A

N(E

)

E Obr. 3.12. Hustota kvantových stavů pro volné elektrony (a) a pod vlivem struktury Brillouinovy

zóny (b).

47

V krystalech je však tato křivka ovlivněna existencí Brillouinových zón. Při jejich

zaplňování elektrony dochází přednostně k obsazování stavů s nízkými energiemi. Jak jiţ bylo

zmíněno dříve, chování takových elektronů je podobné chování volných elektronů a křivka

N(E) má zpočátku parabolický průběh. V blízkosti hranice zóny (úsek AB na obr. 3.12(b))

však dochází k odchylce od parabolického průběhu a hustota stavů se s rostoucí energií

zvyšuje mnohem rychleji, neţ odpovídá rov. (3.31). Bod B představuje dosaţení hranice zóny.

Zóna však zůstává nezaplněná a v důsledku omezeného počtu zbývajících kvantových stavů

(v rozích zóny) klesá prudce hustota kvantových stavů (úsek BCD, obr. 3.12(b)).

Jestliţe se Brillouinovy zóny překrývají, je výsledná křivka dána vzájemnou

superpozicí křivek N(E) pro jednotlivé zóny (obr. 3.13). V důsledku superpozice se výsledná

závislost N(E) stává sloţitou v oblasti vysokých energií elektronů. Experimentálně se hustota

kvantových stavů určuje metodami rentgenové spektrální analýzy.

0

ZÓNA 2

ZÓNA 1

N(E

)

E Obr. 3.13. Hustota kvantových stavů překrývajících se zón, vyjádřená výslednou křivkou N(E) (plná

čára), která je superpozicí křivek N(E) jednotlivých zón.

III.4.5. Energetické pásy a energetické hladiny elektronů v atomech

Uvaţujme

krystal, ve kterém jsou

všechny atomy

správně uloţené, ale

jejich vzájemná

vzdálenost je tak

velká, ţe atomy na

sebe vůbec nepůsobí.

Kaţdý atom tak má

své elektrony

uspořádané ve

vlastních

energetických

hladinách. Budeme-li

atomy postupně

přibliţovat,

energetické hladiny se

rozštěpí, jakmile se

začnou elektronové

r0

HLADINA

VNITRNÍCH

ELEKTRONU

HLADINA

VALENCNÍCH

ELEKTRONU

VYŠŠÍ

NEOBSAZENÉ

HLADINY

MEZIATOMOVÁ VZDÁLENOST

EN

ER

GIE

Obr. 3.14. Rozšiřování energetických hladin a jejich překrývání při

přibliţování atomů do rovnováţné vzdálenosti r0.

(

a)

(

b)

48

oblaky příslušných hladin překrývat. Počet hladin (kvantových stavů), do nichţ se hladina

rozštěpí, je dán počtem zúčastněných atomů. V případě dvou atomů by se hladina rozštěpila

do dvou hladin, v případě krystalu však kaţdá původní energetická hladina poskytuje

kvazispojitý pás hladin. Přibliţují-li se atomy i dále, šířka pásů vzrůstá a tím nastává resp. se

zvětšuje i jejich překrývání. K rozštěpení a rozšíření dochází zejména u valenčních elektronů,

neboť ty jsou ve vnějších oblastech atomu. Tento jev je ukázán na obrázku 3.14. V kovech je

rozšíření hladin valenčních elektronů v rovnováţné vzdálenosti atomů takové, ţe nastává

značné překrytí energetických pásů. Uvedený přístup se pouţívá v řadě výpočtů a je nazýván

metoda těsné vazby. Zatímco pásová teorie se úspěšně pouţívá pro řešení problémů kovů

s téměř volnými elektrony, jako jsou alkalické kovy, Cu, Ag a Au, metoda těsné vazby je

výhodnější k popisu chování elektronů, které jsou těsně vázané s vlastním atomem, např. pro

d–elektrony v přechodných kovech.

III.4.6. Elektronová struktura přechodných kovů

Zvláštní vlastnosti přechodných kovů jsou spojeny s částečným zaplněním d–obalu,

který se nachází pod valenčními elektrony. V krystalu se energetické hladiny d–obalu

rozšiřují do částečně zaplněných pásů. Na obrázku 3.15. je schematicky ukázána hustota

kvantových stavů niklu a mědi. Valenční pásy 4s v obou kovech jsou poměrně široké, ale

hustota stavů je nízká, protoţe obsahují pouze dva elektrony na atom. Pás 3d je celkem úzký a

skládá se z pěti překrývajících se pásů odpovídajících pěti stavům 3d v atomu, takţe můţe

obsahovat celkem 10 elektronů na atom. Hustota stavů je v tomto páse extrémně vysoká.

(a)

4s

3d

N(E)

E

(b)

4s

3d

N(E)

E

Obr. 3.15. Zaplňování energetických hladin v tranzitivním kovu (niklu) (a) a v mědi (b).

Pro kompletní zaplnění pásu 3d je třeba deset aţ jedenáct elektronů na atom

v hladinách 3d a 4s, protoţe pás 3d není moţné zaplnit bez toho, aby se nezačala zaplňovat

překrývající se část pásu 4s. V niklu a mědi má tato část pásu 4s asi 0,6 elektronu na atom.

V přechodných kovech v pevném stavu je tedy pás 3d jen částečně zaplněný, jak je to

naznačeno na obrázku 3.15. pro nikl. V mědi s jedenácti elektrony na atom v hladinách 3d a

4s se však pás 3d zcela zaplňuje a zbývající jeden elektron zaplňuje dolní polovinu pásu 4s.

III.5. Aplikace elektronové teorie

Mnohé vlastnosti přechodných kovů souvisí s částečně zaplněným pásem d, např.

feromagnetismus (Fe, Ni, Co), velká pevnost, vysoký bod tání a relativně vysoká elektrická

vodivost. V této kapitole se budeme tímto vztahem krátce zabývat.

49

III.5.1. Elektrická vodivost

Působí-li na kov vnější elektrické pole, vodivostní elektrony se urychlují směrem ke

kladnému pólu. Z experimentu je však zřejmé, ţe elektrický proud je stacionární při určité

hodnotě napětí. To naznačuje, ţe se elektrony při pohybu kovem setkávají s určitým odporem,

který působí proti urychlujícímu vlivu pole. Nejpravděpodobnější vysvětlení spočívá v tom,

ţe odpor je způsoben sráţkami elektronů s uzlovými body kovu a zvýšenou rychlost, kterou

dosáhne mezi dvěma následujícími sráţkami, ztratí při další sráţce. Střední volná dráha l je

definovaná jako průměrná vzdálenost mezi sráţkami. Dá se ukázat, ţe odpor kovu je dán

výrazem

lne

mvR

2

, (3.32)

kde n je počet vodivostních elektronů v jednotce objemu, v je rychlost vodivostních elektronů,

m je hmotnost elektronu a e jeho náboj. Z předchozích odstavců víme, ţe na vodivosti se

podílí výhradně elektrony, které leţí v blízkosti Fermiho meze Emax, symboly n a v se tedy

vztahují pouze na tyto elektrony. Fermiho distribuce se však jen málo mění s teplotou, takţe

obě zmíněné veličiny mohou být povaţovány za teplotně nezávislé. m a e jsou konstanty.

Značná teplotní závislost odporu kovu (obr. 3.16) proto bude dána teplotní závislostí střední

volné dráhy l. S klesající teplotou l roste: rychlost jeho nárůstu je velká při nízkých teplotách,

blíţících se 0 K. Při nízkých teplotách totiţ střední volná dráha vzroste natolik, ţe elektrony

mohou projít (tenkým) vzorkem bez jakékoli sráţky. Při 0 K tedy prochází elektron krystalem

bez odchylek nebo jakéhokoli porušení svého pohybu. V tom případě je střední volná dráha

určena jen příčnými rozměry. Velkou střední volnou dráhu nemůţeme vysvětlovat klasickým

způsobem, protoţe v tom případě by l muselo být vţdy téhoţ řádu jako meziatomová

vzdálenost. Chceme-li určit přesné hodnoty l, musíme vypočítat rozptyl vln a dedukovat

pohyby elektronů z tohoto rozptylu. Podle teorie by tedy měl být odpor při teplotě 0 K

nulový.

Odpor vzniká nekoherentním

rozptylem vln, který se objevuje na

místech, kde je porušená periodicita

krystalu, protoţe nekoherentně rozptýlená

vlna v sobě zahrnuje moţnost odchýlení

elektronu na příslušném místě. Poruchy

s velikostí, která je srovnatelná s velikostí

atomu, mají vliv na nekoherentní rozptyl

vodivostních elektronů. Rozptyl tedy můţe

vznikat například vlivem tepelných kmitů,

které narušují pravidelné uspořádání atomů.

Při nízkých teplotách je však amplituda

kmitů atomů malá a proto je malý i rozptyl

a tedy i elektrický odpor. Kdyţ vzrůstá

teplota, rostoucí neuspořádanost atomů

působí větší rozptyl a tím i větší elektrický

odpor. Tak je moţné vysvětlit teplotní

závislost elektrického odporu.

Elektrický odpor také zvyšují krystalové poruchy (vakance, dislokace, hranice zrn…,

které budou blíţe diskutovány v dalších kapitolách), které působí nepravidelnosti v atomovém

00

5

10

15

20

25

30

100

T (K)

R (W

)

Obr. 3.16. Závislost elektrického odporu na

teplotě.

50

uspořádání. Stejně tak neuspořádané tuhé roztoky s náhodným uspořádáním obou sloţek mají

vyšší odpor neţ čisté kovy. Uspořádáním se však elektrický odpor slitin prudce sniţuje.

Rozdíly ve vodivosti jednotlivých kovů lze vysvětlit na základě pásové teorie. Je-li

zóna téměř prázdná, je vodivost malá, protoţe kov má málo elektronů pro vedení elektrického

proudu. Je-li v zóně větší počet elektronů, posunuje se čelo Fermiho distribuční křivky do

střední části zóny, kde je větší hustota kvantových stavů (viz obr. 3.12(b)): tak je větší počet

elektronů schopen vést proud a vodivost roste. Je-li ovšem zóna téměř plná, vodivost opět

klesá, a je-li zóna zcela zaplněná, vodivost klesá na nulu.

Některé kovy, jako např. Pb, Sn nebo Hg, které nejsou za normální teploty příliš

dobrými vodiči, vykazují za nízkých teplot tzv. supravodivost. Jestliţe je ochladíme pod

určitou kritickou teplotu (obvykle těsně nad 0 K), ztrácejí zcela elektrický odpor. Tato změna

je reverzibilní. Experimenty na různých izotopech ukázaly, ţe kritická teplota supravodivého

přechodu je úměrná M1/2

(M je atomová hmotnost izotopu). Protoţe amplituda kmitů atomů

v krystalu vykazuje stejnou závislost na atomové hmotnosti, lze dobře předpokládat, ţe

supravodivost je způsobená interakcí elektronů s kmity atomů v krystalu. Vzhledem

k přitaţlivosti elektronů a kationů bude energie elektronů klesat, pohybují-li se tak, ţe jejich

hustota fluktuuje od místa k místu v souhlase s tepelnými fluktuacemi atomů.

III.5.2. Feromagnetismus

Vloţíme-li předmět do magnetického pole a toto pole na něj působí silou, říkáme, ţe

se předmět stává magnetickým. Intenzita jeho magnetizace I se měří intenzitou působící síly a

její poměr k intenzitě magnetického pole H závisí na susceptibilitě , která je materiálovou

konstantou látky. Platí vzájemný vztah

H

I . (3.33)

Susceptibilita je silně závislá na typu materiálu. Podle její velikosti dělíme materiály do tří

tříd:

diamagnetické materiály s nízkými negativními hodnotami . Tyto látky jsou

magnetickým polem odpuzovány (Cu, Ag, Au, Bi),

paramagnetické materiály s nízkými pozitivními hodnotami . Tyto látky jsou

magnetickým polem slabě přitahovány. Do této skupiny patří většina kovů (alkalické

kovy, alkalické zeminy, přechodné kovy a feromagnetické kovy při teplotách nad

svým Curieho bodem),

feromagnetické materiály, charakterizované vysokými pozitivními hodnotami . Tyto

látky jsou silně přitahovány magnetickým polem (Fe, Co, Ni, Gd). Některé slitiny a

sloučeniny obsahující tyto kovy nebo i Mn a Cr jsou také feromagnetické. Jejich

důleţitou vlastností je to, ţe si mohou podrţet svou magnetizaci i po ukončení

působení magnetického pole a stávají se trvalými magnety.

Zdrojem feromagnetismu je spin elektronu. Pro jednoduchost si můţeme elektron

představit jako malou elektricky nabitou kouli, která rotuje okolo své osy a při této rotaci

vzniká magnetické pole, které se orientuje podle osy spinu. V magnetickém poli se pak

dokáţe otáčet – podle svého spinu – ve směru pole nebo v jeho protisměru.

Pro zmagnetování předmětu je potřeba, aby existovala převaha elektronů s jedním směrem

spinu. Tím bude existovat nadbytek „elementárních magnetů“ v jednom směru. Je-li počet

opačných spinů vyrovnaný, jejich magnetické pole se ruší a systém jako celek nevykazuje

ţádnou magnetizaci. Vnější pole však můţe převést některé spiny do určitého směru a porušit

původně vyváţený stav. Tak dochází k magnetizaci předmětu. Existence trvalé magnetizace u

51

feromagnetických materiálů naznačuje, ţe tyto materiály mají vlastní sklon elektronů

orientovat se v jednom směru.

Ačkoli si můţeme „rotující“ elektrony představit jako „tyčové“ magnety, které na sebe

působí magnetickou silou, je tato síla příliš malá na to, aby udrţela souhlasnou orientaci

spinů. Dostatečně velké síly by mohla poskytnout výměnná interakce: Jestliţe se při

konstrukci vlnové funkce uvaţuje výměna elektronů mezi dvěma kvantovými stavy, výsledné

rozdělení elektronů se poněkud liší od rozdělení získaného předpokladem, ţe tyto distribuce

přísluší nezávisle dvěma stavům. Velikost elektrostatických interakcí elektronů mezi sebou a

jádry atomů se při této výměnné interakci mění, protoţe tyto interakce závisí na středních

vzdálenostech mezi nabitými částicemi. Podle této úvahy by měla být celková výměnná

interakce pro elektrony, které působí feromagnetismus, kladná, tedy mají-li elektrony

souhlasné spiny, měla by se výměnná energie sníţit. Typy distribucí elektronů, které

podporují pozitivní výměnnou interakci, můţeme určit tak, ţe zjistíme vliv různých distribucí

na relativní hodnoty elektrostatických interakcí mezi částicemi. Zjistilo se, ţe meziatomová

vzdálenost musí být větší neţ poloměr iontu a ţe atomová vlnová funkce musí být relativně

malá v blízkosti jádra. Z tohoto hlediska jsou velmi důleţité elektrony d a f.

I kdyţ je v daném případě výměnná interakce důleţitá, neznamená to, ţe by elektrony

musely mít nutně souhlasné spiny. Nesouhlas spinů je ale jedním ze základních principů

atomové stavby hmoty. Jsou-li spiny souhlasné, kvantový stav můţe obsadit jen jeden

elektron, jsou-li spiny nesouhlasné, mohou v kaţdém stavu existovat dva elektrony. Při

reorientování spinů tedy musí elektrony přecházet do stavu s vyšší energií. Tak můţeme

formulovat dvě podmínky feromagnetismu:

Elektrony působící feromagnetismus musí pocházet z částečně zaplněných obalů

volných elektronů, aby energetické pásy, které jsou tvořené těmito obaly, měly

prázdné kvantové stavy vhodné pro obsazování při reorientaci spinů elektronů,

Hustota kvantových stavů musí být tak velká, aby vzrůst kinetické energie excitací

elektronů při reorientaci spinů byl menší neţ pokles energie výměnných interakcí.

Elektrony vnitřních hladin se nemohou účastnit feromagnetismu, protoţe hladiny

jejich obalů jsou zcela zaplněny. Ani vnější (valenční) elektrony nemohou přispívat

k feromagnetismu, protoţe hustota jejich stavů není dostatečně velká. U přechodných kovů

však existují částečně zaplněné pásy d, které mají vysokou hustotu stavů. Takové podmínky

jsou příznivé a přechodné kovy jsou feromagnetické nebo alespoň silně paramagnetické.

Dělítkem mezi těmito dvěma typy magnetického chování je meziatomová vzdálenost. Jsou-li

atomy vzdálenější, je výměnná interakce slabá na to, aby odolala tepelným kmitům. Jsou-li

však atomy dostatečně blízko sebe, je kinetická energie dominantním faktorem. Zdá se, ţe

nejpříznivější podmínky nastávají v případě, kdy je atomový poloměr ca 1,5 – 2krát větší neţ

poloměr d–obalu. Jak je ukázáno v Tabulce 3.1, takový poměr existuje právě pro kovy

skupiny ţeleza. Později byl uvedený Heisenbergův přístup upřesněn v tom smyslu, ţe

feromagnetismus je způsoben interakcemi d a s elektronů. Právě výměnná interakce spojená

s reorientací spinů d–elektronů má řádově potřebnou velikost.

Tabulka 3.1: Poměr atomového poloměru k poloměru d–obalu.

Kov Ti Cr Mn Fe Co Ni

Poměr 1,12 1,18 1,47 1,63 1,82 1,98

Ačkoli jsou spiny elektronů ve feromagnetických materiálech souhlasné, mohou být

takové materiály v nemagnetickém stavu. Je to tím, ţe materiál obsahuje tzv. magnetické

domény. V kaţdé doméně jsou spiny elektronů souhlasné a tato oblast je trvale ve

zmagnetovaném stavu. V různých doménách je směr magnetizace různý a magnetická pole se

52

tak vzájemně ruší, takţe látka se navenek jeví jako nemagnetická. Hranice mezi doménami se

nazývají Blochovy stěny. Začne-li působit magnetické pole, magnetická energie domén

orientovaných ve směru pole se sníţí, energie domén orientovaných proti směru pole se zvýší.

Výhodně orientované nízkoenergetické domény pak začnou růst na úkor ostatních, měně

výhodně orientovaných (a tedy vysokoenergetických) domén migrací svých hranic. Za

určitých okolností, jako např. velice intenzivní pole, však nepříznivě orientované domény

mohou prudce „přeskočit“ do výhodnějšího stavu. Výsledkem tedy je zvýšené mnoţství

domén se spiny orientovanými do jednoho směru a vzorek se stává magnetickým.

Doménová struktura je zcela odlišná od metalografické struktury materiálu.

Monokrystal feromagnetického kovu ve skutečnosti obsahuje řadu domén: tyto domény

mohou být zviditelněné např. nanesením koloidní suspenze magnetitu (Fe3O4) na povrch

vzorku. Schematicky je moţné znázornit doménovou strukturu (Bitterovy obrazce) tak, jak je

ukázáno na obrázku 3.17. Šířka domén závisí na magnetických vlastnostech materiálu.

Typická hodnota ve slitině Fe–4at.%Si je asi 0,1 mm. Dolní hranice velikosti je daná

(kladnou) povrchovou energií Blochových stěn. S rostoucím počtem hranic domén roste i

celková povrchová energie krystalu nad hodnotu, kterou by měl při větších rozměrech domén.

(a)

(b)

Obr. 3.17. Doménová struktura ve slitině Fe–Si. (a) Schema: šipky ukazují směr magnetizace

v doménách. (b) Domény (m) a uzávěrové domény (um) na povrchu (001) slitiny Fe–6at.%Si.

(V. Valvoda, M. Polcarová, P. Lukáč, Základy strukturní analýzy, UK, Praha, 1992).

III.5.3. Koheze

Technologické vlastnosti kovů téměř bezprostředně souvisí s povahou kohezních sil

mezi atomy. Výsledkem velké kohezní síly mezi atomy je vysoká elastická konstanta, vysoký

bod tání či malý koeficient teplotní roztaţnosti. Skutečnost, ţe atomy kovů mají sklon vázat

se s co největším počtem okolních sousedů, vede k jednoduchým krystalovým strukturám.

Vztah mezi mechanickou pevností a plastickými vlastnostmi kovů na jedné straně a

kohezí na straně druhé však není jednoduchý. Pozorovaná mez kluzu a lomová pevnost jsou

mnohem niţší neţ síly potřebné pro vzájemné posunutí atomů nebo pro jejich vzájemné

odtrţení. To je způsobené přítomností krystalových poruch, které vyvolávají „předčasné“

porušení materiálu. O poruchách a jejich vlivu v tomto smyslu budeme hovořit v dalších

částech. Přesto však lze říci, ţe kovy s vysokými kohezními silami jsou současně

charakterizovány velkou mechanickou pevností.

Podívejme se teď na problematiku koheze z hlediska elektronové struktury kovů.

Nejjednodušší případ koheze poskytují alkalické kovy, protoţe mají jeden valenční elektron

na atom a tyto elektrony se chovají velmi podobně jako volné elektrony v pevné látce. Kromě

53

toho je poměr iontu k poloměru atomu v těchto kovech v porovnání např. s Cu, Ag či Au

malý:

Kov Li Na K Cu Ag Au

Poměr 0,39 0,51 0,59 0,75 0,88 0,95

To obecně znamená, ţe ionty alkalických kovů se vzájemně nedotýkají. Nazýváme je

proto otevřenými kovy, kdeţto Cu, Ag či Au jsou tzv. uzavřené (plné) kovy. V otevřených

kovech prakticky odpadají sloţité interakce překrývajících se iontových nábojů, tzv. interakce

ion–ion. Pro alkalické kovy tedy můţeme pouţít teorii volného elektronu a představit si jejich

strukturu jako prostorové uspořádání kladně nabitých koulí, které jsou od sebe vzájemně

oddělené a plavou v homogenním „moři“ volných elektronů. Vazebná síla vzniká

elektrostatickým přitahováním kladných iontů a negativně nabitých elektronů. Potenciální

energie elektronu ve vzdálenosti r od středu pozitivně nabitého iontu je e2/r, kde +e je náboj

iontu a e je náboj elektronu. Předpokládáme-li, ţe r úměrné meziatomové vzdálenosti,

můţeme potenciální energii krystalu popsat jako A/r, kde A je konstanta.

Jak jsme zmínili dříve, nedochází v alkalických kovech k vykompenzování odpudivé

síly interakcemi ion–ion, které jsou velmi malé, ale je způsobeno kinetickou energií elektronů,

která vzrůstá, kdyţ se jejich vzdálenost zmenšuje. Nejdůleţitějším příspěvkem ke kinetické

energii je Fermiho distribuce. Existuje však i jiný příspěvek, který je malý, jsou-li atomy

v rovnováţné vzdálenosti. Tento příspěvek budeme specifikovat později. Abychom našli

průměrnou hodnotu kinetické energie připadající na elektron podle Fermiho distribuce (tj. tzv.

střední Fermiho energii), budeme uvaţovat celkovou Fermiho energii všech volných

elektronů v pevné látce s objemem V jako max

0

d)(2

E

EEVEN , kde N(E) je hustota kvantových

stavů. Dosadíme-li za N(E) výraz z rov. (3.31) a 3

22

max

3

8

V

N

m

hE

, dává výše uvedený

integrál střední Fermiho energii rovnou max5

3 E . Protoţe Emax je úměrné 3/2VN , tj. r2

,

můţeme Fermiho energii vyjádřit jako Br2

, kde B je konstanta. Celková energie krystalu je

tedy dána výrazem

r

A

r

BU

2

. (3.34)

Závislost energie na atomové vzdálenosti je ukázána na obrázku 3.18. Při velkých

vzdálenostech atomů převládá člen potenciální energie a atomy se přitahují. Naopak v malých

vzdálenostech roste kinetická energie tak, ţe se atomy začnou odpuzovat. Existuje tedy

minimum odpovídající stabilnímu atomovému poloměru r0. Hloubka energetické jámy D se

rovná práci spotřebované na to, aby krystal při teplotě 0 K expandoval na plyn kladných iontů

a volných elektronů. Odečteme-li od D ionizační potenciál – práci potřebnou na rozpad atomů

plynu na kladné ionty a volné elektrony – dostaneme práci, potřebnou na přeměnu krystalu při

0 K na plyn neutrálních volných atomů: to je tzv. sublimační teplo, jehoţ hodnotu lze určit

experimentálně.

54

Ze závislosti U(r) lze určit elastickou stlačitelnost materiálu. Malá objemová

deformace změní r0 na r0 + dr a podobně se změní U(r0) na U(r0+ dr). Pomocí Taylorova

rozvoje dostaneme

...)(dd

d

2

1d

d

d)()d( 2

0rr

2

2

0rr

00

rr

Ur

r

UrUrrU (3.35)

Při malých deformacích lze členy s vyššími mocninami zanedbat. V rovnováze (r = r0) je

0dd rU , jak je patrné z obrázku 3.18, takţe můţeme psát

2

0

2

2

00)(d

d

d

2

1)()d(d r

r

UrUrrUU

rr

. (3.36)

(ATOMOVÝ OBJEM)1/3

r0

D

0

CE

LK

OV

Á E

NE

RG

IE

Obr. 3.18. Celková energie kovového krystalu jako funkce mezirovinné vzdálenosti.

Pak síla F potřebná na vyvolání deformace je

rr

U

r

UF

rr

dd

d

2

1

d

d

0

2

2

. (3.37)

Je zřejmé, ţe pro malé deformace )1(d rr je síla úměrná deformaci a faktorem úměrnosti

je 22 dd rU . To je vlastně elastická konstanta a odtud plyne Hookův zákon. Pouţijeme-li rov.

(3.34), dostaneme

232d

d ArBrr

U. (3.38)

V rovnováze samozřejmě platí 0

/2 rBA . Odpor krystalu proti stlačení (roztaţení) je pak

dán výrazem

55

0

4

0

3

0

4

0

2

2

3d

d

2

1

BrArBrr

U

rr

. (3.39)

Pomocí uvedeného postupu jsme si ukázali fyzikální principy koheze alkalických kovů,

ale pro vlastní výpočet koheze není tento přístup přesný. Obvykle se v takovém případě

pouţívá řešení Schrödingerovy rovnice pro určení energie elektronu v základním stavu

Fermiho distribuce jako funkce vlnového objemu (metoda Wignerova–Seitzova). V této

metodě se člen Ar1

v rov. (3.34) nahrazuje členem, který je přibliţně Ar1

+ Cr3

, kde Cr3

představuje kinetickou energii a v rovnováţné vzdálenosti má malou hodnotu. Za kohezi je

pak hlavně zodpovědná potenciální energie Ar1

.

Kovy Cu, Ag a Au se liší od alkalických tím, ţe mají zaplněné dobaly a jejich ionty jsou

mnohem větší neţ meziatomová vzdálenost. V rovnováţné vzdálenosti se náboje sousedních

iontů dostatečně překrývají, takţe meziatomová vzdálenost je určována především

odpuzováním zaplněných dobalů. Ionty těchto kovů můţeme povaţovat za tuhé koule, které

jsou drţeny ve vzájemném dotyku elektrostatickým přitahováním k valenčním elektronům,

které se mezi nimi pohybují. Při stlačování takových koulí roste prudce energie a tedy

0

22 ddrr

rU

je vysoké. To znamená, ţe i elastické konstanty jsou vysoké.

Protoţe meziatomová vzdálenost Cu, Ag a Au je dána především iontovým poloměrem, je

vzdálenost, při které mají volné elektrony minimální energii, menší neţ rovnováţná

vzdálenost. Energie volných elektronů však nezávisí přímo na meziatomové vzdálenosti, ale

na atomovém objemu. Pro pevnou meziatomovou vzdálenost lze tento objem sníţit na

minimum co nejtěsnějším uspořádáním iontů v krystalu. Proto krystalizují tyto kovy (i další

přechodné kovy, jako Fe, Co, Ni, Rh, Pd, Ir, Pt, …) ve strukturách s těsným uspořádáním

atomů.

V jiných neţ alkalických kovech se zdroje koheze identifikují mnohem obtíţněji.

Porovnání hodnot bodů tání a meziatomové vzdálenosti, shrnuté v tabulce 3.2, ukazuje

velikost síly vazby v přechodných kovech první skupiny. Silná koheze se tedy váţe k pásu d.

Tabulka 3.2. Bod tání (Tm) a meziatomová vzdálenost (a) v přechodných kovech.

Kov K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn

Tm

[°C] 63 810 1400 1800 1710 1830 1260 1535 1490 1452 1083 419

a

[nm] 0,462 0,393

0,32

0,33 0,293 0,263

0,249

0,296

0,224

0,296 0,248 0,251 0,249 0,255

0,266

0,291

III.6. Pásová teorie slitin

V kapitole III.4.4. jsme ukázali, ţe křivka N(E) pro hustotu kvantových stavů volných

elektronů jako funkce těchto stavů je parabola, a ţe se tato křivka od paraboly odchyluje

v blízkosti Brillouinovy zóny (obr. 3.12). K takové odchylce dochází tehdy, kdyţ je

koncentrace elektronů dostatečná k tomu, aby se plocha Fermiho meze (tj. obal s nejvyššími

obsazenými kvantovými stavy), blíţící se k hranici Brillouinovy zóny, rozšířila v bodech

nejblíţe této zóně. Hustota stavů pak nabývá maxima, kdyţ se plocha Fermiho meze dotkne

hranice zóny. Předpokládejme teď, ţe máme slitinu s dvěma moţnými fázemi, 1 a 2, jejichţ

křivky N(E) jsou ukázány na obrázku 3.19, přičemţ základní kov je jednomocný a jeho

vlastní krystalová struktura je strukturou fáze 1. Jeho elektronová struktura je příliš nízká na

56

to, aby Emax (tj. energie nejvyšší obsazené hladiny) dosáhla bod A na obrázku 3.19. Přidejme

k tomuto základnímu kovu druhý kov s vyšším mocenstvím a předpokládejme, ţe spolu

vytvoří primární tuhý roztok. Přidáváme-li druhého kovu víc a víc, elektronová koncentrace

stále roste a v průměru tak roste i Emax. Pokud Emax leţí pod bodem A, je zaplňovaná jen

parabolická část křivky N(E) a fáze 1 a 2 mají stejnou pravděpodobnost existence z hlediska

vztahu mezi Fermiho energií a

krystalovou strukturou, protoţe

hodnota Emax je pro obě fáze

stejná. Za bodem A však křivka

N(E) pro fázi 1 roste k maximu B,

protoţe se v této krystalové

struktuře dosáhla hranice zóny.

Vzrůst do bodu C ve druhé

struktuře se objevuje později po

dosaţení vyšší elektronové

koncentrace. V intervalu A–B je

pak křivka N(E) fáze 1 vyšší neţ

v případě fáze 2. Protoţe je teď

křivka N(E) vyšší, můţe se do

všech stavů aţ po danou hodnotu

Emax umístit víc elektronů, takţe

pro stejnou elektronovou

koncentraci bude Emax niţší pro strukturu s vyšší křivkou N(E). Pro takové sloţení tedy bude

fáze 1 stabilnější neţ fáze 2.

Za bodem B Fermiho energie fáze 1 začíná rychle vzrůstat vlivem velkého poklesu

veličiny N(E), kdyţ se zaplňují rohy Brillouinovy zóny. Současně je však interval B–C

příznivější pro fázi 2, pokud jde o její Fermiho energii. Elektronová koncentrace tedy

způsobuje vzrůst Emax za bod B a fáze 1 začíná být méně stabilní v porovnání s fází 2. Proto

sloţení, pro které Emax dosahuje bod B, je kritickým sloţením slitiny. Za tímto bodem

můţeme očekávat tvorbu směsi fází, skládající se z fází 1 o sloţení příslušejícímu bodu B a

z fáze 2 o sloţení příslušejícímu bodu C.

Ukaţme si teď zjednodušený odhad kritické elektronové koncentrace. Pro téměř volné

elektrony a prakticky kulovou hranici zóny porovnáme dva výrazy pro vlnovou délku

elektronů s nejvyšší energií, min. V tomto případě je min dostatečně krátká pro vznik

Braggovy reflexe v místech, kde se plocha Fermiho meze dotýká hranice zóny. min souvisí

s počtem elektronů v objemové jednotce a tuto závislost udává rovnice

21

min 32

N

V , (3.40)

kterou lze získat z rov. (3.11) dosazením výrazu za Emax. N je počet volných elektronů

v objemu V kovu. Druhý výraz pro min souvisí s počtem atomů v objemové jednotce.

V k.pl.c. struktuře jsou roviny s největší mezirovinnou vzdáleností d nejhustěji obsazené

roviny {111}. Od těchto rovin dochází nejprve k reflexi při = 2d; toto = min, které přísluší

maximu B na obr. 3.19. Je-li a mříţková konstanta, pak 3ad a 32min

a . Objem

strukturní buňky je a3 a v fcc struktuře tato buňky obsahuje 4 atomy. Je-li N0 počet atomů

v objemu V kovu, pak 0

3 /4/ NVa . Z toho 3/1

0)/4( NVa a tedy

0

(2)(1)

CB

A

N(E

)

E

Obr. 3.19. Hustota stavů dvou fází 1 a 2 téţe binární slitiny.

57

31

0

min

4

3

2

N

V . (3.41)

Porovnáním rov. (3.40) a (3.41) dostaneme vztah pro elektronovou koncentraci N/N0, nad níţ

je struktura nestabilní, tj.

36,14

3

0

N

N. (3.42a)

Podobná analýza pro bcc strukturu (reflexe na rovinách {110}, kde 2min

a , 2 atomy na

strukturní buňku) dává pro kritickou elektronovou koncentraci

48,13

2

0

N

N. (3.42b)

Kubická plošně centrovaná struktura by tedy měla být stabilní pro elektronové

koncentrace niţší neţ 1,36 a kubická prostorově centrovaná struktura pro elektronové

koncentrace vyšší neţ 1,48. Uvnitř tohoto intervalu by měly koexistovat obě fáze ve formě

dvoufázové slitiny. Obdobně lze vysvětlit stabilitu dalších elektronových sloučenin.

58

IV. KRYSTALOVÉ PORUCHY KOVŮ A SLITIN

Dokonale se opakující uspořádání atomů, tak jak bylo uvedeno např. v kapitole II.1.1, se

vyskytuje jen v ideálních krystalech. V reálných krystalech ale existuje řada lokálních poruch

tohoto uspořádání, které však nemění vlastní krystalografické struktury materiálů tak, jak byly

klasifikovány v části II. V této kapitole se budeme věnovat poruchám krystalové struktury a

jejich vlivu na chování kovů a slitin.

IV.1. Klasifikace krystalových poruch

Krystalové poruchy jsou poruchy atomárního uspořádání krystalu v porovnání

s ideálním krystalem resp. dokonalým uspořádáním atomů v krystalové struktuře. Krystalové

poruchy mohou mít různý charakter a rozměr, proto je rozdělujeme z hlediska toho, v kolika

dimenzích jsou jejich rozměry větší neţ atomární. Můţeme tedy rozlišovat poruchy:

bezrozměrné (bodové). Patří sem např. vakance, intersticiály, ale i jednotlivé cizí

atomy,

jednorozměrné (čarové). Jejich reprezentanty jsou dislokace či disklinace,

dvojrozměrné (plošné). Takovými poruchami jsou např. hranice zrn či fázová rozhraní,

ale i volný povrch, a

trojrozměrné (objemové). Mezi tyto poruchy patří póry, vměstky, precipitáty apod.

Vedle tohoto základního dělení můţeme rozlišovat poruchy z hlediska jejich

termodynamické stability jako

rovnovážné, jejichţ přítomnost odpovídá stavu termodynamické rovnováhy, a

nerovnovážné, u kterých nelze nalézt koncentraci, která by odpovídala

termodynamické rovnováze.

Poruchy krystalové struktury existují nejen v kovových materiálech, ale v pevných

materiálech obecně. My se však v dalším omezíme na kovové materiály. Existence

krystalových poruch se projevuje na řadě vlastností, které z tohoto hlediska můţeme označit

jako vlastnosti strukturně citlivé. Tyto vlastnosti, jako jsou např. mez skluzu, mez pevnosti,

magnetická permeabilita či elektrický odpor, jsou silně závislé na přítomnosti krystalových

poruch. Na druhé straně existují tzv. strukturně necitlivé vlastnosti, jakými jsou např. měrné

teplo, mříţkové konstanty, měrná hmotnost, koeficient tepelné roztaţnosti či elastické

konstanty, které se jen málo mění vzorek od vzorku.

IV.2. Bodové poruchy

IV.2.1. Druhy bodových poruch

Mezi základní typy bodových poruch zahrnujeme

vakance, která představuje neobsazený uzlový bod struktury,

intersticiál, jakoţto atom vlastního kovu v neuzlové poloze,

intersticiál příměsi (adice), kterým je cizí atom v neuzlové poloze, a

substituce, coţ je atom příměsi, nahrazující atom základního kovu v uzlové poloze.

Vedle základních typů bodových poruch existují i shluky bodových poruch, které však

mají rozměr srovnatelný s atomárním a jsou proto stále povaţovány za bodové poruchy:

komplexy vakancí (dvojvakance, trojvakance, …)

Frenkelův pár (dvojčlenný komplex vakance + intersticiál)

komplex vakance + adice

Schottkyho porucha (komplex aniontové a kationové vakance v iontových krystalech).

59

Jednotlivé typy bodových poruch jsou schematicky znázorněny na obrázku 4.1. Ve

skutečnosti se však existence bodové poruchy projeví i na svém okolí: Kaţdá bodová porucha

způsobuje posunutí středních poloh okolních atomů z uzlových bodů a tedy pruţnou

deformaci. S ní souvisí vznik lokálního napěťového pole, které však zasahuje do vzdálenosti

nejvýše několika atomů. Proto mluvíme o napěťovém poli krátkého dosahu.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Obr. 4.1. Bodové poruchy krystalové struktury.

(a) vakance, (b) intersticiál, (c) substituční atom příměsi, (d) intersticiální atom příměsi

(adice),

(e) divakance, (f) trivakance, (g) Frenkelův pár, (h) komplex vakance – adice.

atom základního kovu, atom příměsi, □ vakance.

IV.2.2. Rovnováţná koncentrace bodových poruch

Mnoţství bodových poruch obsaţených v krystalové struktuře závisí na řadě faktorů

jako jsou typ materiálu (čistý kov, slitina, intermetalická sloučenina…), typ bodové poruchy,

rovnováţný stav apod. Ukaţme si termodynamický přístup k problematice existence vakancí

v krystalové struktuře.

Uvaţujme přítomnost (mono)vakancí v struktuře čistého kovu. Krystal obsahuje N

identických atomů a N1V (mono)vakancí. Tomuto systému přísluší při dané teplotě T a tlaku P

v termodynamické rovnováze hodnota Gibbsovy volné energie G. Celková Gibbsova volná

energie systému bude záviset na počtu vakancí a na aktivační Gibbsově volné energii vzniku

vakance, gf1V. Je-li Pk počet rozlišitelných konfigurací náhodného uspořádání N1V vakancí a N

atomů v uzlových bodech

!!

)!(

V1

1

NN

NNP V

k

,

(4.1)

60

pak na základě statistické termodynamiky je konfigurační entropie takového souboru, sk1V,

kV

k Pks ln1 . (4.2)

Gibbsova volná energie systému M

ii

iGGnG , kde G

M = Ts

k1V je směšovací

Gibbsova volná energie, je pak

,lnlnln

ln

V1V1V1V1V1V1

V1V1

NgNNNNNNNNkTgN

NgPkTgNG

f

k

f

(4.3)

kde g je Gibbsova volná energie atomu a pro rozvoj logaritmu faktoriálu (za předpokladu 1

<< N1V) byl pouţit Stirlingův vzorec AAAA ln!ln . Rovnováţný počet monovakancí N+

1V

při dané teplotě a tlaku pak lze určit z podmínky minima G jako funkce N1V,

0

,V1

TPN

G (4.4)

Z této podmínky dostaneme

kT

g

NN

N f

V1

V1

V1exp . (4.5)

Za předpokladu N+

1V << N můţeme levou část rov. (4.5) nahradit výrazem pro rovnováţný

atomární zlomek vakancí X+

1V = N+

1V/N,

kT

gX

f

V1

V1exp . (4.6)

V literatuře se někdy setkáme se vztahem

kT

uAX

f

f V1

V1V1exp , (4.6a)

Porovnáním rov. (4.6) a (4.6a) a předpokladem, ţe uf1V h

f1V, (g

f1V = h

f1V – Ts

f1V), kde h

f1V a

sf1V jsou aktivační entalpie a entropie vzniku vakance, dostaneme

61

k

sA

f

f V1

V1exp . (4.7)

Číselné hodnoty veličin hf1V a s

f1V lze určit jak experimentálně, tak teoreticky modelovými

výpočty. Jejich příklad je spolu s hodnotami atomárních zlomků vakancí uveden v tabulce

4.1.

Tabulka 4.1. Vakanční charakteristiky některých prvků. X

+1V(Tt) je atomární

zlomek vakancí při teplotě tání, uf1V a u

m1V jsou aktivační entalpie vzniku a

migrace vakance, sf1V je aktivační entropie vzniku vakance.

Kov X+

1V(Tt)104 u

f1V [kJ/mol] u

m1V [kJ/mol] s

f1V/k

Al 9 68 68 0,7

Au 8 87 87 0,7

Cu 2 125 77 2,4

Cd 5 39 39 0,4

W 1 347 174 2

Existence rovnováţné koncentrace vakancí potvrzuje, ţe se jedná o rovnováţnou poruchu,

ţe tedy za kaţdé nenulové teploty existuje určité mnoţství uzlových bodů neobsazených.

Podobně jako v případě monovakancí můţeme určit i rovnováţnou koncentraci divakancí

či dalších komplexů vakancí. Vznik divakance si můţeme představit jako „chemickou reakci“

mezi dvěma vakancemi,

VVV 2 . (4.8)

Podle zákonů chemických reakcí je vztah rovnováţných zlomků monovakancí, X+

1V, a

divakancí, X+

2V, dán vztahem

kT

g

X

X b

V2

2

V1

V2exp , (4.9)

kde gb

2V je volná energie vazby divakance. Jestliţe existuje z/2 rozlišitelných poloh

divakance, dostáváme pro rovnováţný zlomek divakancí vztah

kT

ggzX

bf

V2V1

V2

2exp

2 (4.10)

a pro úhrnný rovnováţný atomární zlomek vakancí, X+

V, platí

V2V1V2 XXX . (4.11)

62

Stejným postupem lze odvodit i rovnice pro rovnováţnou koncentraci monointersticiálů,

diintersticiálů, Frenkelových párů a pod.

Jediným typem bodových poruch, které mohou existovat v koncentracích

přesahujících hodnoty 1at.% jsou příměsové atomy. V jejich případě lze totiţ jako

rovnováţnou označit koncentraci odpovídající mezi rozpustnosti cizího prvku v základním

kovu. Zpravidla závisí i v tomto případě rovnováţný atomový zlomek, XB, na teplotě

exponenciálně,

kT

uAX

B

BBexp , (4.12)

kde index B označuje cizí prvek.

III III III

III

gm

1V

G

VZDÁLENOST

Obr. 4.2. Pohyb vakance v krystalu.

IV.2.3. Migrace bodových poruch

Významnou vlastností bodových poruch je moţnost jejich pohybu krystalem. Tento pohyb

se děje diskrétními skoky: v případě vakancí z jednoho uzlového bodu do druhého, v případě

intersticiálů z jedné meziuzlové polohy do druhé. Jedná se o náhodný proces, při němţ se

z existujících přeskoků uskuteční ten, který vyţaduje nejniţší aktivační volnou energii gm

1V.

Tento tepelně aktivovaný proces je schematicky naznačený na obrázku 4.2.

Frekvenci přeskoků vakance z uzlové polohy I do polohy II je moţné popsat vztahem

63

kT

gA

m

V1

Vexp . (4.13)

Konstanta A závisí na koordinačním čísle struktury Z (to udává počet nejbliţších sousedů

vakance, které připadají v úvahu pro přeskok) a na vibrační frekvenci atomů.

Obsahuje-li krystal rovnováţné mnoţství vakancí, je celkový počet úspěšných přeskoků

dán vztahem

kT

g

kT

gAX

fm

V1V1

VVVexpexp . (4.14)

IV.2.4. Vznik a zánik bodových poruch

Z rov. (4.6) je zřejmé, ţe koncentrace bodových poruch závisí na teplotě: jejich mnoţství

klesá s klesající teplotou. U kovu tedy musí existovat místa, kde tyto poruchy vznikají – tzv.

zdroje – a kde zanikají – tzv. nory. Takovými místy jsou např. volný povrch, ale i další

krystalové poruchy, jako jsou dislokace, jak uvidíme dále. Pro vznik bodové poruchy postačí

dodat aktivační volnou energii. Samozřejmě mohou vznikat bodové poruchy i uvnitř krystalu:

v tomto případě se však vytváří Frenkelův pár – vakance a intersticiál – a volná energie,

potřebná k jeho vzniku bude mnohem vyšší, neţ v případě samostatné bodové poruchy.

Vedle zdrojů a norů existují v krystalech i místa, kde se mohou migrující bodové poruchy

dočasně zachytit. Taková místa se nazývají pasti. Jsou to například atomy příměsí nebo

shluky poruch. Příčinou zachycení bodové poruchy v pasti (např. vakance na atomu příměsi

B) je sníţení volné energie vzniklého komplexu gfVB ve srovnání s volnou energií samotného

atomu gf1B a vakance g

f1V o volnou energii jejich vazby g

bVB,

VB1B1VVB

bfff gggg . (4.15)

Vazebná volná energie v tomto případě dosahuje aţ desítek kJ/mol. Podobně mohou vznikat

divakance, trivakance a další shluky a jejich „kondenzace“ do diskových agregátů.

IV.2.5. Nerovnováţná koncentrace bodových poruch

Dodáme-li kovu potřebnou aktivační energii vzniku bodové poruchy, můţe dojít ke

vzniku nadbytečných, tedy nerovnováţných bodových poruch. Takový nerovnováţný stav

můţeme dosáhnout třemi základními způsoby:

prudkým zakalením z vysoké teploty,

plastickou deformací,

ozářením.

Dosaţené nerovnováţné koncentrace bodových poruch mohou být velice vysoké.

Ukaţme si vznik nerovnováţných vakancí na příkladu zakalení (prudkého ochlazení)

materiálu z teplot kolem bodu tání na pokojovou teplotu. Rovnováţná koncentrace vakancí při

vysoké teplotě T0 je podle rovnice (4.6) rovna

00V10V1/)(exp)( kTTgTX f , zatímco při

64

teplotě kalení, TK,

KK

f

KkTTgTX /)(exp)(

V1V1. Nadbytečná (nerovnováţná)

koncentrace vakancí po zakalení bude tedy

)()(V10V1V1 K

TXTXX . (4.16)

Návrat k rovnováţné koncentraci nastává migrací vakancí k norům.

Při ozařování materiálu dochází k interakci záření (neutrony, elektrony, záření, ionty...)

s atomy v uzlových bodech. Záření proniká do krystalu a předává energii atomům v uzlových

bodech. Převáţná část této energie se přímo mění v energii tepelných kmitů atomů. Za

vhodných podmínek můţe dojít i k tomu, ţe předaná energie postačí k vyraţení částice

z uzlového bodu. Při této primární srážce vznikne vakance a intersticiál. Ten buď můţe zůstat

„uvězněn v krystalu“, nebo – má-li dostatečnou kinetickou energii – můţe při další

sekundární sráţce vytvořit další bodovou poruchu. Tento proces se můţe několikrát opakovat.

V kaţdém případě vzniká stejný počet vakancí i intersticiálů. Proces ozařování elektrony a

neutrony je ukázán na obrázku 4.3.

e

(a)

n

(b)

Obr. 4.3. Vznik bodových poruch při ozáření elektrony e (a), a neutrony n (b).

Při ozařování elektrony obvykle dochází k primárním sráţkám a vzniku Frenkelova páru.

Při aplikaci silnějšího záření resp. větších částic se začnou uplatňovat i sekundární sráţky a

v důsledku interakce jedné částice (např. neutronu) dojde k celé kaskádě sráţek a vzniku více

Frenkelových párů.

IV.3. Čárové poruchy – dislokace

Čárové poruchy představují porušení pravidelného uspořádání krystalu v blízkém okolí

určité čáry, přičemţ oba další rozměry poruchy jsou lokalizovány do vzdálenosti nejvýše

několika atomových vzdáleností. Nejvýznamnějšími čárovými poruchami jsou dislokace.

Tento pojem byl zaveden v roce 1934 Taylorem a Orowanem pro vysvětlení mechanismu

deformace kovů a vysvětlení řádového nesouhlasu mezi teoretickým skluzovým napětím

krystalu bez poruch a experimentálně zjištěnými hodnotami této veličiny v reálných

krystalech. Obě veličiny se liší aţ o 8 řádů. Blíţe bude srovnání ukázáno v části IV.3.11.4.

Experimentálně byla existence dislokací prokázána o téměř dvacet let později.

Při plastické deformaci dochází k přesunu materiálu, který si v atomárním měřítku

můţeme představit tak, jak je ukázáno na obrázku 4.4: působením napětí se část krystalu

posune o jednu atomovou vzdálenost. Pokud by proces probíhal tak, jak je naznačeno na

65

obrázku 4.4, musela by být překonána obrovská energetická bariéra a kritické napětí, potřebné

pro takový proces, by bylo velice vysoké, protoţe se současně přemísťuje obrovský počet

atomů. Pokud by však v krystalu existovala porucha, představující jednu „nadbytečnou“

polorovinu atomů, mohlo by k deformaci docházet i při mnohem niţších napětích. Celou

záleţitost si můţeme jednoduše představit na případu posunování koberce po podlaze (obr.

4.5): Budeme-li chtít táhnout celý koberec po podlaze, musíme vynaloţit velkou sílu na

posunutí byť jen o malý kousek. Jestliţe si však na jednom konci vytvoříme „ohyb“, který

budeme přesouvat podél koberce, bude síla pro takové posunutí velmi malá. Podobné úvahy,

které vedly k zavedení pojmu dislokace, se ukázaly být správnými.

Obr. 4.4. Představa deformace krystalu posunutím celého bloku atomů.

(b)

(a)

Obr. 4.5. Posouvání koberce po podlaze (a) jako celku, (b) pomocí „poruchy“.

(V. Paidar, ve: Fyzika na zítřek, editor Z. Kluiber, str. 23, SPN, Praha, 1992.)

66

IV.3.1. Definice dislokace

Představme si krystal, který

rozřízneme podél plochy ABCD

(obr. 4.6). Pak část krystalu nad

řezem stlačíme o vzdálenost, kterou

budeme charakterizovat vektorem b

a řez opět spojíme. Dislokace

(dislokační čára) tvoří rozhraní

mezi částí krystalu, v níž došlo

k deformaci, a nedeformovanou

částí. V případě ukázaném na

obrázku 4.6 je dislokační čarou čára

AB. Atomární uspořádání okolí

dislokace si můţeme představit

podle obrázku 4.7. Ve stlačené části

jsou atomy blíţ u sebe, neţ

odpovídá nedeformovanému

krystalu (obr. 4.7(a)). Vazby mezi uzlovými body jsou také značně zdeformované, zejména ty

na kraji vzorku. Z energetického hlediska je mnohem výhodnější, jestliţe se vazby

„přeuspořádají“ tak, jakoby v horní – deformované – části krystalu existovala (v daném

uspořádání obr. 4.7(b)) jedna nadbytečná polorovina atomů. Hrana této poloroviny pak

představuje dislokační čáru.

(a)

b

(b)b

Obr. 4.7. Uspořádání atomů v okolí dislokační čáry (a) po stlačení, (b) po relaxaci vazeb.

IV.3.2. Burgersova smyčka a Burgersův vektor

Dislokace je určena dislokační čarou a vektorem vzájemného posunutí b. Pro jeho určení

si provedeme následující konstrukci. Veďme v dokonalém krystalu uzavřenou smyčku (obr.

4.8(a)). Taková smyčka bude mít ni kroků daných vzdáleností uzlových bodů v kaţdém směru

i a konečný bod smyčky bude totoţný s výchozím bodem. Povedeme-li stejnou smyčku

v krystalu obsahujícím dislokaci (obr. 4.8(b)), budeme potřebovat ještě jeden krok tak,

abychom uzavřeli smyčku. Vektor, který odpovídá tomuto “nadbytečnému“ kroku, b,

nazveme Burgersův vektor, a celou smyčku v porušeném krystalu Burgersovou smyčkou.

Burgersův vektor tak charakterizuje směr vzájemného posunutí dvou částí krystalu.

Burgersův vektor dislokace se nemění s polohou Burgersovy smyčky, je konstantní pro

celou dislokační čáru. Dislokace nemůţe v krystalu končit, můţe tvořit pouze uzavřené

smyčky. Končit můţe pouze na stěnách krystalu nebo na jiných poruchách, jako jsou hranice

b

C

B

DA

Obr. 4.6. Model vedoucí k definici hranové dislokace.

67

zrn či jiné dislokace. Součet Burgersových vektorů všech dislokací setkávajících se v uzlu je

nulový: musí tedy platit 0i

b .

(a)

8

8

3 3

b

(b)

8+b

8

3 3

Obr. 4.8. Burgersova smyčka v dokonalém krystalu (a) a v krystalu s hranovou dislokací (b). Uzávěr

smyčky v porušeném krystalu (v porovnání s dokonalým krystalem) je Burgersův vektor b.

IV.3.3. Typy dislokací

Podle vztahu mezi směrem dislokační čáry n a Burgersovým vektorem b můţeme

rozlišovat dislokace

hranové, pro které platí b n (dislokace se také označuje ),

šroubové, kde b || n (dislokace se někdy označuje ), a

smíšené, kde oba vektory nejsou ani kolmé ani rovnoběţné.

Hranová dislokace je ukázána na obrázcích 4.6 a 4.7, šroubová dislokace je naznačena na

obrázku 4.9.

b

C

B

DA

Obr. 4.9. Model vedoucí k definici šroubové dislokace.

IV.3.4. Hustota dislokací

Jak bylo uvedeno dříve, jednotlivá dislokace je určena dislokační čarou a Burgersovým

vektorem. Pro popis souboru dislokací je výhodné zavést některé další veličiny, které jej

charakterizují. Nejjednodušší z takových veličin je hustota dislokací , která udává celkovou

délku dislokačních čar l v objemové jednotce V, tedy

V

l . (4.17)

68

Hustotu dislokací můţeme odhadnout z počtu průsečíků dislokačních čar s povrchem,

které můţeme zviditelnit vhodným způsobem (viz dále). Předpokládejme, ţe pozorujeme

čtvercovou plochu aa, kde nalezneme n výstupů dislokací na povrch (obr. 4.10). Budeme-li

předpokládat, ţe dislokace jsou kolmé na povrch a ţe mohou být rovnoměrně rozděleny do tří

základních směrů, pak můţeme hustotu dislokací odhadnout jako

22

33a

n

la

nl .

(4.17)

V případě vyţíhaných polykrystalických

kovových materiálů se hustota dislokací

pohybuje kolem 1012

m2

, v případě

monokrystalů klesá hustota dislokací aţ

k hodnotám 1010

m2

. Byly však vypěstovány i

monokrystaly mědi s hustotou 106 m

2.

Deformované materiály mají naopak hustotu

dislokací zvýšenou aţ k hodnotám 1016

–1017

m2

. V případě nekovových materiálů lze

získat materiály s velmi nízkou hustotou

dislokací: např. křemíkové monokrystaly

pouţívané v elektronickém průmyslu jsou

„bezdislokační“.

IV.3.5. Metody pozorování dislokací

S existencí dislokací je spojena řada vlastností, jako je zvýšená energie v okolí jádra

dislokace či existence napěťového pole okolo dislokace. Tyto vlastnosti, které budou popsány

v kapitolách IV.3.6.–7., mohou být úspěšně vyuţity ke studiu jednotlivých dislokací i jejich

seskupení. Metody zviditelnění dislokací pak umoţňují určit rozloţení a chování dislokací

v krystalech včetně jejich vzájemné působení s dalšími poruchami. V zásadě můţeme

způsoby zviditelnění dislokací rozdělit do dvou základních skupin:

přímé metody, které zviditelní jednotlivé dislokace. Takovými metodami jsou např.

vytváření leptových důlků na povrchu krystalu působením vhodného chemického

činidla nebo tepelným působením, rentgenová a elektronová difrakce, iontová

mikroskopie apod.,

nepřímé metody, při nichţ se usuzuje na hustotu případně uspořádání dislokací a jejich

vlastnosti z integrálních vlastností krystalů. Mezi tyto metody patří např. studium

deformačních křivek, vnitřního tlumení, mikrofraktografie lomových ploch apod.

Vzhledem k tomu, ţe dnes existuje řada přímých metod ke zviditelnění jednotlivých

dislokací, ukáţeme si několik příkladů těchto metod.

n

l

a

a

z

y

x Obr. 4.10. Určení hustoty dislokací z počtu

výstupů dislokací na volný povrch.

69

IV.3.5.1 Metoda leptových a termálních důlků

Budeme-li působit na povrch krystalu vhodným způsobem – buď chemickým nebo

tepelným leptáním – budou se z povrchu krystalu uvolňovat atomy, protoţe se přitom

porušuje vazba mezi povrchovými atomy a atomy v krystalu. Pokud budou na povrchu

krystalu existovat místa se zvýšenou energií, bude k odstraňování atomů z těchto míst potřeba

niţší aktivace. Výsledkem stálého působení činidla pak bude systematické odstraňování

materiálu z těchto míst a tvorba reliéfu, kopírujícího energetický stav povrchu. Jak uvidíme

v kapitole IV.3.7., má právě atomární uspořádání v okolí dislokačního jádra zvýšenou volnou

energii. Proto se při leptání budou v místech výstupu dislokace vytvářet leptové důlky. Podle

charakteru krystalu budou mít tyto důlky různý tvar a podle charakteru dislokací i různou

hloubku. V případě izotropních kovových krystalů jsou většinou leptové důlky na dislokacích

kuţelovité. Příklad leptových důlků na povrchu (001) monokrystalu slitiny Fe–6at.%Si je

ukázán na obrázku 4.11(a). Při leptání nekovových krystalů s vyšší anizotropií mají důlky

spíše krystalografický charakter, tj. kopírují nízkoenergetické krystalografické roviny. Např.

leptání povrchu (001) krystalů NaCl či LiF vytváří jehlanovité důlky s plochami podél rovin

111. V tomto případě je pak moţné vyuţít tvaru leptových důlků i k poměrně přesnému

určení orientace povrchu neboť při odchylce orientace povrchu krystalu od (001) jsou vzniklé

důlky orientovány šikmo k povrchu – stejně jako roviny 111.

Obr. 4.11. Korelace mezi různými technikami zviditelnění dislokací: leptové důlky v místě výstupu

dislokací na volný povrch (a) a rentgenová difrakční topografie (b). Monokrystal (001) slitiny Fe–

6at.%Si.

(S. Kadečková, J. Brádler, J. Crystal Growth 43 (1978) 301)

IV.3.5.2 Metody difrakce záření na dislokacích

Metody difrakce záření na dislokacích jsou zaloţeny na existenci napěťových polí v okolí

dislokací. Naznačme si je na příkladu hranové dislokace (obr. 4.12).

70

D

D

P

Obr. 4.12. Schematické znázornění vzniku extinkčního kontrastu na hranové dislokaci při difrakci

záření (RTG, elektrony) a znázornění výsledného difrakčního obrazu.

Difraktované záření z dokonalého krystalu má

rovnoměrnou intenzitu z celého objemu a

poskytuje tak jednotné „zčernání“ detekčního

materiálu (fotografické desky ap.). Na krystalové

poruše (např. na dislokaci) však dochází

k distorzi a záření dopadající do této oblasti není

difraktováno pod stejným úhlem jako okolní část

vzorku (tzv. extinkční kontrast). Jestliţe

dostatečně úzkou štěrbinou dovolíme procházet

jen záření difraktované dokonalým krystalem pod

určitým Braggovým úhlem a odfiltrujeme

paprsky odraţené pod jiným úhlem z dislokací,

pak na detekční desce bude v místě odpovídající

dislokaci jiná intenzita zčernání, jak je naznačeno

na obrázku 4.12. Nejznámější metodou

pouţívanou pro taková zviditelnění je Langova

metoda. Detaily této techniky však zde nebudeme

probírat. Příklad zviditelněných dislokací

Langovou metodou rentgenové difrakční

topografie je ukázán na obrázku 4.11(b).

Podobně jako v uvedeném případě difrakce rentgenového záření lze vyuţít ke

zviditelnění dislokací difrakčního kontrastu elektronů a tedy pozorovat dislokace

v elektronovém mikroskopu. Příklad takto zviditelněných dislokací je ukázán na obrázku 4.13.

Obr. 4.13. Dislokační čáry ve slitině Fe–

6at.%Si pozorované prozařovací

elektronovou mikroskopií.

(F. Jandoš, R. Říman, A. Gemperle, Využití moderních

laboratorních metod v metalografii, SNTL, Praha,

1985)

71

IV.3.5.3 Zviditelnění dislokací pomocí iontové mikroskopie

Další zajímavou technikou zviditelnění

krystalových poruch na atomární úrovni je

iontová mikroskopie. Tato metoda spočívá

v zobrazení povrchu vzorku ve tvaru

tenkého hrotu prostřednictvím

ionizovaných atomů inertního plynu (Ar),

které jsou odraţeny od povrchu hrotu

v důsledku silného elektrického pole v jeho

okolí. Odraţené atomy plynu dopadají na

stínítko a znázorňují atomární strukturu

hrotu. Silnými elektrickými pulsy lze

postupně „odpařovat“ jednotlivé atomární

vrstvy a analyzovat je v hmotovém

spektrometru. Je-li zařízení schopné

lokalizovat jednotlivé analyzované atomy,

můţeme tak dostat trojrozměrný obraz

chemického sloţení určitého objemu a na

jeho základě určit i strukturu materiálu a

detekovat jednotlivé krystalové poruchy.

Na obrázku 4.14 je ukázána struktura řezu

intermetalickou slitinou Fe–40at.%Al

obsahující bór, kde je patrná hranová

dislokace.

IV.3.6. Dislokace v kontinuu

Ačkoli je zcela zřejmé, ţe dislokace jsou poruchy atomárního uspořádání krystalu a měly

by být popisovány na základě atomárního modelování, pro základní popis energie dislokací a

sil působících na ně lze s úspěchem vyuţít matematické metody pružnosti (teorie kontinua).

V takovém případě se zavádějí dislokace v kontinuu, které jsou dobrou analogií dislokací

v krystalu, tzv. Volterrovy dislokace.

Uvaţujme dutý válec, který v jednom místě rozřízneme podél osy. Pak obě plochy řezu

navzájem posuneme jako tuhé (obr. 4.15), přebytečný materiál odstraníme resp. chybějící

doplníme a materiál opět spojíme. V takto vzniklém útvaru tak evidentně existuje vnitřní

pnutí.

IV.3.6.1 Šroubová dislokace

Nejprve se zaměříme na šroubovou dislokaci, vytvořenou v dutém válci s vnitřním

poloměrem r0, s vnějším poloměrem r1 a s Burgersovým vektorem b ve směru osy z (obr.

4.15(a)).

Obr. 4.14. Atomární uspořádání slitiny Fe–

40at.%Al(B). Patrné je uspořádání rovin (001)

vyznačené (ţlutými) atomy Al. Burgersova smyčka

naznačuje existenci nadbytečné poloroviny a tedy

hranové dislokace (označena šipkou).

(D. Blavette, E. Cadel, A. Fraczkiewicz, A. Menand, Science,

286 (1999) 2317)

72

Obr. 4.15. Volterrovy dislokace v kontinuu. (a) šroubová dislokace, (b) hranová dislokace.

Prostředí budeme charakterizovat modulem pruţnosti ve smyku, G. Vzhledem k tomu, ţe

napětí, které působí na krystal, je obecně tenzor, můţeme v pravoúhlém systému souřadnic x,

y, z rozlišit 6 sloţek napětí xx, yy, zz, xy, xz, yz. Řešení problému v takové soustavě

souřadné je však komplikované a mnohem jednodušší bude přejít na polární souřadnice r, ,

z. V takových souřadnicích dochází pouze k posunutí o b ve směru osy z, které vyvolá

smykovou deformaci

rzz

2

b , (4.19)

představující zkosení rozvinutého prstence. Odpovídající napětí je

r

Gzz

2

b . (4.20)

Ostatní sloţky napětí v polárních souřadnicích jsou nulové. Napěťové pole šroubové dislokace

má tedy pouze dvě smykové sloţky, které závisí na vzdálenosti od dislokační čáry, r, a je s ní

osově souměrné. Pro r blíţící se nule roste podle rov. (4.20) napětí z k nekonečnu.

Vzhledem k předpokladu „kontinua“ lze takový model pouţít pouze pro vzdálenosti větší neţ

ca r0 0,5 – 1 nm. Oblast kolem dislokační čáry v menší vzdálenosti se nazývá jádro

dislokace. V této oblasti neplatí předpoklad kontinua a model jádra musí vycházet

z atomových představ.

V pravoúhlých souřadnicích (x = r cos, y = r sin) je napěťové pole šroubové dislokace

určeno sloţkami

73

222 yx

yGzxxz

b

(4.21a)

222 yx

xGzyyz

b.

(4.21b)

Ostatní sloţky jsou nulové.

IV.3.6.2 Hranová dislokace

V případě hranové dislokace (obr. 4.15(b)) je určení napěťového pole komplikovanější,

protoţe deformace není symetrická podél dislokační čáry. Ukaţme si zde proto jen výsledné

vztahy pro jednotlivá napětí.

V polárních souřadnicích je

r

Grr )1(2

sin

b (4.22a)

a

r

Gr )1(2

cos

b (4.22b)

kde ])32(2[)]32(1[ EGEG je Poissonův poměr a E je modul pruţnosti v tahu.

V pravoúhlých souřadnicích pak můţeme psát

222

22

))(1(2

)3(

yx

yyxG

xx

b, (4.23a)

222

22

))(1(2

)(

yx

yyxG

yy

b (4.23b)

a

222

22

))(1(2

)(

yx

xyxG

xy

b. (4.23c)

74

IV.3.7. Energie dislokace

Při elastické deformaci se koná práce proti vnitřním napěťovým polím. V deformovaném

tělese se tak ukládá energie. Celková energie ce

EEE se skládá ze dvou příspěvků,

pružné energie dislokace, Ee, která odpovídá zvýšení volné energie celého systému o

deformační energii v okolí dislokace, a

energie jádra dislokace, Ec, která je dána zvýšením celkové energie díky změně

atomárního uspořádání v jádře dislokace ve srovnání s neporušeným krystalem.

Pruţnou energii dislokace v jednotce objemu, Ee0, můţeme vyjádřit pomocí tenzoru napětí,

ik, a sloţek deformace ik,

ikki

ikeE

3

1,

0

2

1 (4.24)

Energie příslušející celému pruţně deformovanému okolí dislokace o objemu V – tedy pruţná

energie dislokace – bude

)(

0 dv

eeVEE . (4.25)

Pruţná energie ovšem závisí na délce dislokační čáry. Proto je vhodné zavést tzv. „měrnou“

energii, tedy pruţnou energii, vztaţenou na jednotku délky dislokační čáry, Ee1d

. Hodnotu této

energie pro šroubovou dislokaci, Ee1s

, získáme z rov. (4.24) a (4.25) pouţitím vztahů pro

napětí okolo šroubové (screw) dislokace a odpovídající deformaci (rov. (4.19) a (4.20)),

0

2

0

1 ln4

d22

1

r

rG

rrE

r

r

zze

s

b (4.26)

Obdobně pro hranovou (edge) dislokaci dostaneme

0

2

1 ln)1(4 r

rG

Ee

e

b. (4.27)

Z porovnání rov. (4.26) a (4.27) je zřejmé, ţe pruţná energie hranové dislokace je vyšší

neţ šroubové.

Pro určení celkové měrné energie dislokace, c

d

e

dd EEE 111 musíme určit energii jádra

dislokace. Tento příspěvek se odhaduje na základě atomárních modelů struktury jádra,

nicméně je poměrně malý v porovnání s pruţnou energií (ca 1/10 Ee1d

). Pro jednoduchost

můţeme celkovou energii dislokace vyjádřit jako

21 bGE d , (4.28)

75

kde je konstanta v rozmezí 0,5 – 1. Mezním případem je 21 bGE d .

Dosadíme-li do rov. (4.26) typické hodnoty pro kovy, r = 1 mm, r0 = 1 nm, G = 4104

MPa, b = 0,25 nm, dostaneme pruţnou energii šroubové dislokace Ee1s

= 4109

J/m (6

eV/atom dislokace), coţ je poměrně vysoká energie.

IV.3.7.1 Existence složených dislokací

Vztah (4.28) je vlastně kritériem pro uskutečnitelnost reakcí mezi dislokacemi (vznik

sloţených dislokací či štěpení na neúplné dislokace). Dislokace s Burgersovým vektorem b se

rozštěpí na dvě dislokace s Burgersovými vektory b1 a b2 (b = b1 + b2), jestliţe její energie E1d

je větší, neţ součet energií jednotlivých dislokací, E11d

+ E21d

, tedy kdyţ b2 > b1

2 + b2

2. Platí-li

opačný vztah, dislokace s menšími Burgersovými vektory se slučují v jednu velkou dislokaci.

IV.3.7.2 Termodynamický rozbor dislokací

Při úvahách o termodynamické stabilitě dislokací vyjdeme ze základního vztahu G = H

– TS. Zavedením dislokace do krystalu se zvýší entalpie systému o H = Ed. Příspěvek ke

změně entropie lze rozdělit na konfigurační sloţku, Scd, a frekvenční sloţku, Sfr

d. Pak

fr

d

c

dd SSTEG . (4.29)

Jak bylo zmíněno výše, hodnota prvního členu rov. (4.29) se pohybuje kolem 4109

J/m,

hodnota druhého členu je i při vysokých teplotách řádově niţší. Pravá strana rov. (4.29) je

tedy stále kladná a zavedení dislokace do krystalu tak za všech podmínek zvyšuje celkovou

volnou energii systému. Dislokace tedy patří

k termodynamicky nerovnovážným poruchám.

IV.3.8. Síla působící na dislokace

Uvaţujme dislokaci s Burgersovým vektorem

b, která se pohybuje ve skluzové rovině vlivem

homogenního smykového napětí (obr. 4.16).

Kdyţ se element o délce ds posune o vzdálenost

dl v rovině (dsdl), je průměrné posunutí, které

vznikne v této rovině b(dsdl)/A, kde A je plocha

roviny, na kterou působí tečná (smyková) síla F.

Přitom na dislokaci působí vnější síla A. Práce

vykonaná vnější silou při elementárním pohybu

(skluzu) v této rovině je

b

A

lsAdW

dd (4.30)

a síla působící na dislokaci jednotkové délky je

dlds

b

Obr. 4.16. Pohyb dislokace v rovině za

působení vnějšího napětí.

76

bF ls

W

dd

d. (4.31)

Tato síla je v kaţdém bodě dislokační čáry kolmá k dislokační čáře a míří do nedeformované

části roviny.

IV.3.9. Tah v dislokační čáře

Protoţe energie dislokace závisí na její délce, má prodlouţení dislokační čáry za následek

vzrůst energie. Definujme proto tah v dislokační čáře, FL, jako vzrůst energie dislokace při

jejím prodlouţení o jednotku délky,

2bGFL

. (4.32)

Tah v dislokační čáře vlastně odpovídá síle, která se snaţí dislokaci narovnat, a tak sníţit

její energii. Směr této síly je kolmý na dislokační čáru a míří do středu její křivosti o

poloměru (obr. 4.17).

Často je třeba znát i napětí, které je třeba k prohnutí dislokace (obr. 4.17). Vnější síla,

působící na element dislokace o poloměru ve směru OA, je 0b ds. Proti ní působí vnitřní

síla související s tahem v dislokaci,

A

dO

ds

FL

FL

Obr. 4.17. Tah v dislokační čáře.

sFF

LL

d)2/dsin(2 . (4.33)

77

Rovnováha nastává pro

ss

FL

dd

0b

(4.34)

a tedy

b

b

GF

L

0. (4.35)

IV.3.10. Vzájemné působení mezi dislokacemi

Existence napěťového pole musí nutně vyvolat otázku, jak budou spolu interagovat dvě

dislokace, kdyţ se dostanou do vzájemné blízkosti. Jednoduše si můţeme představit dvě

dislokace se stejným Burgersovým vektorem a rovnoběţnými dislokačními čarami ve stejné

atomární rovině. Při velké vzdálenosti bude celková energie systému 2Gb2 na jednotku

délky dislokace. Budou-li dislokace velice blízko sebe, budeme moci celý útvar chápat jako

„superdislokaci“ s Burgersovým vektorem 2b a celková energie systému bude 2G(2b)2,

která je větší neţ v prvním případě. Z toho vyplývá, ţe takové dislokace budou tedy mít

tendenci se od sebe vzdalovat.

V případě, ţe Burgersovy vektory obou takových dislokací budou opačné, tedy +b a –b,

bude energie po jejich přiblíţení 2G(+b) + (–b))2 = 0: V tomto případě dojde k anihilaci

dvou dislokací a výsledkem bude dokonalý krystal. Takový stav je samozřejmě

termodynamicky výhodnější a dislokace s opačnými znaménky budou mít tendenci se k sobě

přitahovat.

Nyní diskutujme případ, kdy dvě dislokace budou na různých rovnoběţných rovinách.

Opět budeme uvaţovat dva případy – (i) dislokace se souhlasnými Burgersovými vektory a

(ii) dislokace s opačnými Burgersovými vektory.

Pro první případ je

uspořádání naznačeno na

obrázku 4.18. Budeme

předpokládat, ţe dislokace

umístěná v počátku

souřadného systému se

nepohybuje. Sílu působící

mezi dislokacemi můţeme

vypočítat podle rov. (4.31),

kde za napětí dosadíme

parametry jedné dislokace a

násobíme Burgersovým

vektorem druhé dislokace.

Pro chování dislokací je

nejdůleţitější sloţka Fx, která

působí ve směru snadného

pohybu dislokace (pohyb

(x,y)F

x

Fy

x

y

0

Obr. 4.18. Uspořádání dvou dislokací v různých atomárních

rovinách.

78

dislokací bude diskutován později), daná výrazem

222

222

)(

)(

)1(2 yx

yxxGF

x

b. (4.36)

Průběh síly Fx v závislosti

na poměru x/y je ukázán na

obrázku 4.19. Šipky ukazují

směr působení síly na

pohybující se dislokace, který

se mění se změnou jejího

znaménka. V oblasti x/y mezi 0

a 1 je síla působící na dislokaci

v rovině y = konst. kladná a

směřuje do polohy x = 0.

Naopak v oblasti x/y mezi 0 a

1 je síla působící na dislokaci

v rovině y = konst. záporná a

směřuje do opačného směru neţ

v předchozím intervalu, ale také

polohy x = 0. Dislokace, která

se nachází ve vzdálenosti menší

neţ x = y je tedy v kaţdém

případě přitahována do polohy

x = 0. Poloha x = 0 je tedy pro dvojici dislokací stabilní a síla působící na dislokaci je nulová.

Kaţdé vychýlení z této polohy pak vyvolá sílu, která působí tak, aby se dislokace vrátila do

stabilní polohy. Zajímavý je také případ pro vzdálenosti okolo x = y: Pro x = y je působící

síla také nulová, ale nepatrné vychýlení dislokace z této polohy vede ke vzniku síly, která

působí další vzdálení dislokace z této polohy. Polohy x = y tedy představují polohu lokální

stability dislokace, nikoli „rovnováţnou“ polohu.

V případě dislokací s opačnými znaménky Burgersových vektorů bude působit síla Fx

opačná neţ v případě dislokací se souhlasným znaménkem. Průběh síly vzájemného působení

bude tedy mít opačný průběh oproti závislosti ukázané na obrázku 4.19 a je ukázán na

obrázku 4.20. V tomto případě je v oblasti x/y mezi 0 a 1 síla působící na dislokaci v rovině y

= konst. záporná a v oblasti x/y mezi 0 a 1 kladná: v obou případech směřuje od polohy x =

0. Protoţe v bodě x = 0 je síla nulová, avšak při nepatrném vychýlení bude působit síla ve

směru od této polohy, je v případě dislokací opačného znaménka poloha x = 0 metastabilní.

Druhou polohou, pro kterou je působící síla nulová, je poloha x =y. Nyní však síla působí

tak, ţe vychýlení z této polohy vrací dislokaci zpět: v případě dislokací s opačným

znaménkem je stabilní uspořádání x/y = 1, tedy dislokace jsou v jednotlivých rovinách

lokalizovány pod úhlem 45°, jak je patrné z obrázku 4.20.

-6 -4 -2 0 2 4 6

0 x

y

x/y

Fx

Obr. 4.19. Průběh síly vzájemného působení mezi dvěma

rovnoběţnými hranovými dislokacemi stejného znaménka a

jejich stabilní uspořádání.

Obr. 4.19. Průběh síly

vzájemného působení mezi

dvěma rovnoběţnými

hranovými dislokacemi

stejného znaménka a jejich

stabilní uspořádání.

79

Stabilní konfigurací

hranových dislokací stejného

znaménka v různých rovinách

je tedy uspořádání „nad sebou“.

V případě, ţe máme takových

dislokací větší mnoţství,

nazveme jejich uspořádání

dislokační stěnou. Protoţe

kaţdá „vsunutá“ polorovina

způsobuje určitou distorzi

krystalu a při takovém

uspořádání dislokací se tento

efekt sčítá, můţe dojít

k poměrně značnému natočení

obou sousedních oblastí

(subzrn). Zatímco napěťové

pole dislokace je

dalekodosahové (tj. je patrné i

ve značné vzdálenosti od jádra

dislokace, jak plyne z rov. (4.21)–(4.23)), v případě dislokační stěny se dá ukázat, ţe je

lokalizované a v podstatě rozsahu srovnatelného se vzdáleností jednotlivých dislokací ve

stěně.

V případě šroubových dislokací je situace jednodušší, protoţe napěťové pole má radiální

symetrii. Mezi dvěma šroubovými dislokacemi leţícími rovnoběţně s osou z působí jediná

sloţka síly, a to podél spojnice obou dislokací v rovině z = konst.,

R

GF

zR

2

2bb , (4.37)

kde R je vzdálenost obou dislokací. Síla je přitaţlivá pro dislokace s opačným znaménkem a

odpudivá pro dislokace souhlasné. Situace je obdobná jako pro hranové dislokace, leţící ve

stejné rovině y. Pro šroubové dislokace je totiţ takovou rovinou kaţdá rovina, protoţe v jejich

případě je Burgersův vektor rovnoběţný s dislokační čarou a jejich kombinací nelze vymezit

jedinou rovinu.

IV.3.11. Pohyb dislokací

Jednou z nejdůleţitějších vlastností dislokace je její schopnost pohybu. Dislokace se můţe

pohybovat jako celek nebo se mohou pohybovat různou rychlostí její části, při tom se nutně

mění tvar dislokační čáry. U dislokace rozlišujeme dva druhy pohybu:

skluz, tedy pohyb ve skluzové rovině dané směrem Burgersova vektoru a směrem

dislokační čáry, a

šplhání, coţ je pohyb v jiné neţ skluzové rovině.

IV.3.11.1 Skluz dislokací

Uvaţujme posunutí dz úseku dislokace dl s Burgersovým vektorem b. Při tomto pohybu

dojde k přemístění objemu materiálu dV = (dzdl).b. Protoţe se skluzový pohyb odehrává ve

skluzové rovině definované směry l a b, je změna objemu dV = 0. Skluzový pohyb tedy není

-6 -4 -2 0 2 4 6

= /4

0 x

y

x/y

Fx

Obr. 4.20. Průběh síly vzájemného působení mezi dvěma

rovnoběţnými hranovými dislokacemi opačného znaménka a

jejich stabilní uspořádání.

80

spojen s přesunem hmoty a takový pohyb se nazývá konzervativní. V případě šroubové

dislokace, pro kterou je l b, je podmínka dV = 0 splněna vţdy a ke skluzu takové dislokace

můţe docházet v kterékoli rovině obsahující Burgersův vektor šroubové dislokace.

Tabulka 4.2. Skluzové systémy v typických kovových strukturách.

Struktura Příklad Skluzový systém

Směr rovina

fcc Cu, Ag, Au, Ni, -mosaz, -Fe, Al 110 111

bcc -Fe, Mo, Ta, W, Nb 111 110, 112

hcp Cd, Zn, Mg 0112 (0001)

Be 0112 (0001), 0110

Ti, Zr 0112 0110

Skluzové roviny hranových dislokací jsou obvykle roviny s největší hustotou atomů.

Burgersův vektor, určující směr skluzu, je obvykle atomárně nejhustší směr. Skluzová rovina

a skluzový směr určují tzv. skluzový systém. Přehled skluzových systémů v typických

strukturách je uveden v Tabulce 4.2.

Počet skluzových systémů můţe být velký: např. v k.pl.c. soustavě rozlišíme 3 směry typu

110 v kaţdé ze 4 rovin typu 111, celkem tedy existuje 12 kombinací, ve kterých můţe ke

skluzu hranové dislokace docházet.

Jak jiţ bylo naznačeno výše, mohou

se různé úseky dislokace pohybovat

různou rychlostí. Pak musí nutně dojít k

„deformaci“ dislokační čáry, kterou

jsme se dosud tiše uvaţovali jako

přímku. Na dislokační čáře tak vzniká

schod neboli ohyb (angl. kink). Celá

situace je schematicky znázorněna na

obrázku 4.21. Ohyb dislokace má

v tomto případě směr dislokační čáry

rovnoběţný s Burgersovým vektorem

dislokace (který zůstává konstantní

podél celé dislokační čáry!), má tedy

šroubový charakter. Vzhledem k tomu,

ţe leţí (díky svému charakteru) ve

skluzové rovině, můţe se také

pohybovat skluzem a to buď ve stejném

směru jako zbytek dislokační čáry, nebo

ve směru příčném. Pak se ohyb

pohybuje podél dislokační čáry.

b

b

b

B

A

Obr. 4.21. Ohyb na hranové dislokaci. Úsek AB má

šroubový charakter a můţe se pohybovat v dané

skluzové rovině buď spolu s celou dislokační čarou (ve

směru Burgersova vektoru b) nebo ve směru příčném

(modré šipky).

81

IV.3.11.2 Šplhání dislokací

Jak vyplývá z úvahy na začátku části

IV.3.11.1., je pohyb dislokací v jiné neţ

skluzové rovině nekonzervativní, tedy

spojen s přemísťováním hmoty. Při

takovém pohybu dochází u hranové

dislokace vţdy ke zkracování nebo

prodluţování „vsunuté“ poloroviny. To

se stane tehdy, kdyţ se k hraně

poloroviny, tedy dislokační čáře,

přemístí vakance nebo atomy. Pak

dislokace „šplhá“ do jiných

(rovnoběţných) skluzových rovin.

Stejně jako v případě skluzu dislokací i

v tomto případě nemusí docházet

k rovnoměrnému pohybu celé

dislokační čáry, ale i po částech. V tom

případě vznikají na dislokaci stupně

(angl. jog). Situace je schematicky ukázána na obrázku 4.22. Šplhání je evidentně podmíněno

pohybem bodových poruch, který je tepelně aktivován: ke šplhání dislokací tedy dochází při

dostatečně vysokých teplotách (nad 0,3Tm). Rychlost šplhání tak závisí nejen na vloţeném

napětí, ale i na teplotě a typu struktury.

IV.3.11.3 Příčný skluz

Jak jsme zjistili, dislokace nemusí být nutně přímka, ale její tvar můţe být poměrně

sloţitý. Jedním z často pozorovaných tvarů je uzavřená dislokační smyčka. Představme si

takovou smyčku ve skluzové

rovině (111) (obr. 4.23).

Narazí-li při pohybu

šroubová dislokace na

překáţku, můţe vybočit do

jiné skluzové roviny )111(ρ ,

pro níţ existuje dostatečné

napětí pro skluzový pohyb.

Pak se dislokace můţe nadále

pohybovat ve skluzové rovině

. V tomto případě hovoříme

o příčném skluzu dislokace.

K příčnému skluzu můţe

docházet několikanásobně,

dislokace můţe takto

přecházet do různých skluzových rovin nebo se vrátit do roviny odpovídající původní

skluzové rovině.

IV.3.11.4 Napětí ke skluzu dislokace

Z výše uvedené diskuse by mělo vyplynout, ţe k tomu, aby se dislokace začala pohybovat

skluzem, je potřebné určité napětí. Toto napětí musí způsobit pravidelné změny konfigurace

atomů v jádře dislokací, jak je naznačeno na obrázku 4.24.

DCBA

Obr. 4.22. Šplhání hranové dislokace (ve směru

modré šipky) a vznik stupňů (AB a CD) při přísunu

atomů ke „vsunuté“ polorovině.

(c)

(b)

(a)

(1-11)

(111)

[-101]

b

Obr. 4.23. Příčný skluz dislokace z roviny do roviny .

Dislokační smyčka v rovině (a) narazí na překáţku (b) a její

šroubová sloţka se začne pohybovat do jiné roviny (c).

82

D

(a)

D

(b)

Obr. 4.24. Schéma změn v jádře dislokace při skluzu: díky lokálním posunům atomů se dislokační

čára posouvá z původní polohy (a) do sousední (b).

Velikost posunutí atomů se zmenšuje se vzdáleností od jádra dislokace. Jako šířku

dislokace w budeme uvaţovat vzdálenost, v níţ jsou posunutí atomů větší neţ ¼b. Její

hodnota se pohybuje v rozmezí od 2 do 10 atomových vzdáleností.

Uspořádání atomů v jádře dislokace se při pohybu mění periodicky. Spolu s tím se mění i

energie dislokace, tzv. Peierlsův potenciál. Ten se vypočte jako součet příspěvků ke změně

energie od všech posunutých atomů. Tato energie se vlastně rovná práci, potřebné k vysunutí

atomu z rovnováţné uzlové polohy. Výpočet ukazuje, ţe napětí, potřebné ke skluzu dislokace,

tzv. Peierlsovo–Nabarrovo napětí, je dáno vztahem

b

wG

PN

2exp2 . (4.38)

Zvolíme-li např w = 3b, je PN o osm řádů niţší neţ teoretické skluzové napětí

2

G

at

b (4.39)

v dokonalém krystalu bez dislokací.

IV.3.12. Protínání dislokací

Dislokace však není v krystalu samotná, jak se v mnoha případech, např. při určování

teoretických hodnot, předpokládá. V minulých kapitolách jsme si také řekli, ţe dislokace se

pohybují v určitých skluzových systémechch a ţe těchto systémů můţe být v krystalu větší

mnoţství (např. 12 v fcc struktuře). Je nasnadě, ţe pohybující se dislokace můţe při skluzu

narazit na jinou dislokaci. Pak se dislokace vzájemně protínají. Vzhledem k tomu, ţe si

dislokace, které jsou protínány, můţeme představit jako nepohybující se „stromy“, hovoříme

o protínání dislokačního lesa.

83

(a)

b2

D2

b1

D1

(b)

b1

b2

D2

b1

D1

Obr. 4.25. Schéma protnutí hranových dislokací se vzájemně kolmými vektory b. Výchozí poloha

(a), poloha po protnutí (b).

Uvaţujme nejprve případ protínání dvou hranových dislokací, D1 a D2 se vzájemně

kolmými Burgersovými vektory b1 a b2, které jsou ve vzájemně kolmých skluzových rovinách

(obr. 4.25). Dislokace D1 se pohybuje ve své skluzové rovině a protne dislokaci D2.

Průchodem D1 se část krystalu nad rovinou posunula ve směru pohybu o Burgersův vektor b1.

Vznik tohoto posunutí je zřejmý, představíme-li si pohyb dislokace krystalem jako pohyb

nadbytečné poloroviny. Tím na dislokaci D2 vznikne stupeň o délce b1, který leţí ve skluzové

rovině dislokace D1 a tedy mimo skluzovou rovinu dislokace D2. Protoţe však stále patří

dislokaci D2, má Burgersův vektor b2. Burgersův vektor je v tomto případě kolmý na

dislokační čáru a tento úsek má proto hranový charakter. Vzhledem k tomu, ţe b2 je v tomto

případě rovnoběţný s dislokační čárou D1, nedochází při protnutí obou dislokací ke vzniku

ţádného stupně na D1. I to je zřejmé z představy o pohybu nadbytečné poloroviny, která

představuje hranovou dislokaci.

(a)

b2

D2

b1

D1

(b)

b1b

2

b2

D2

b1

D1

Obr. 4.26. Schéma protnutí dvou hranových dislokací s rovnoběţnými vektory b. Výchozí poloha

(a), poloha po protnutí (b).

Vznikem stupně na jedné z dislokací dochází k jejímu prodlouţení a při tom se evidentně

zvyšuje energie této dislokace a tedy volné energie celého systému.

Mají-li obě dislokace rovnoběţné Burgersovy vektory (obr. 4.26), je situace poněkud

komplikovanější. Při protnutí dislokací totiţ vzniknou na obou dislokacích ohyby (skoky)

leţící ve skluzových rovinách vlastních dislokací. Tyto ohyby mají Burgersovy vektory

84

rovnoběţné s dislokační čárou a mají šroubový charakter. Jak jiţ bylo ukázáno dříve, můţe se

dislokace dále pohybovat s tímto ohybem buď jako celek nebo se během dalšího pohybu ohyb

pohybuje „do strany“ a tím dojde nakonec k jeho vymizení. Vznik ohybu – stejně jako

v případě stupně v předchozím případě – totiţ vede ke zvýšení energie dislokace a jeho

vymizení samozřejmě k redukci energie.

Protíná-li hranová dislokace dislokaci šroubovou (obr. 4.27), vzniká na obou dislokacích

skok s hranovým charakterem. U šroubové dislokace tento skok představuje buď ohyb, nebo

stupeň podle směru případného pohybu šroubové dislokace. V případě pohybující se hranové

dislokace se vţdy jedná o stupeň.

(a)

b2

D2

b1

D1

(b)

b2

b1

b2

D2

b1

D1

Obr. 4.27. Schéma protnutí hranové a šroubové dislokace. Výchozí poloha (a), poloha po protnutí

(b).

Posledním příkladem je protnutí dvou šroubových dislokací se vzájemně kolmými

Burgersovými vektory (obr. 4.28).

(a)

b2

D2

b1

D1

(b)

b2

b1

b2

D2

b1

D1

Obr. 4.28. Schéma protnutí dvou šroubových dislokací s kolmými vektory b. Výchozí poloha (a),

poloha po protnutí (b).

85

V takovém případě vzniká na obou

dislokacích skok, který je významnou

překáţkou dalšího pohybu šroubové

dislokace v počátečním směru: tento

skok je totiţ stupeň s hranovým

charakterem a v uvedeném směru se

můţe pohybovat výlučně šplháním (obr.

4.29). Rychlost takového pohybu je

významně pomalejší, a proto dochází

k opoţďování pohybu tohoto stupně za

dislokací a tedy k jejímu brţdění. Na

rozdíl od konzervativního pohybu

šroubových úseků je pro šplhání

potřebný přísun vakancí nebo

intersticiálů, který je tepelně aktivován.

IV.3.13. Vznik dislokací

Dislokace představuje poměrně sloţité uspořádání atomů v krystalu – například hranovou

dislokaci jsme si představovali jako hranu nadbytečné poloroviny, pro její vznik je tedy třeba

zavést takovou polorovinu do krystalové struktury. Jak vlastně dislokace vznikají?

Dříve jsme si také ukázali, ţe hustota dislokací je rozdílná v „dokonalém“ monokrystalu a

v deformovaném materiálu. To naznačuje, ţe dislokace vznikají během plastické deformace

kovu. Bylo navrţeno několik základních mechanismů vzniku dislokaci, které byly rovněţ

experimentálně ověřeny.

IV.3.13.1 Frankův–Readův zdroj dislokací

Frankův–Readův model představuje základní mechanismus vzniku dislokací v krystalu. Je

zaloţen na představě, ţe zdrojem dislokací je dislokační segment zakotvený na obou koncích

na nějaké překáţce ve skluzové rovině. Takovou překáţkou mohou být např. disperzní částice

jiné fáze, dislokace lesa apod. Uvaţujme úsek dislokační čáry AB (obr. 4.30) délky L, který

leţí ve skluzové rovině, kde působí smykové napětí . Účinkem smykového napětí se začne

dislokační čára zakřivovat (poloha 2). Napětí potřebné pro zakřivení na poloměr r je podle

rovnic (4.32) a (4.31) s pouţitím hodnoty = 0,5 (obr. 4.17)

r

G

2

b . (4.40)

Poloměr zakřivení se během dalšího zvyšování napětí a tedy prohýbání dislokační čáry

zmenšuje: minimální hodnotu r = L/2 dosáhne v poloze 3 (obr. 4.30). Napětí, které je pro

takové zakřivení potřebné, je

L

Gk

b . (4.41)

Pokračující působení napětí můţe způsobit další pohyb dislokace do polohy 4. V tomto úseku

se ale poloměr dislokace opět zvyšuje, takţe ke zvětšování dislokační čáry do polohy 5

dochází spontánně. Všimněme si polohy 6: zde dojde k dotyku obou větví zakřivené hranice.

B A

b

Obr. 4.29. Pohyb šroubové dislokace s nepohyblivým

hranovým stupněm. Výchozí poloha je naznačena

čárkovaně, poloha po dalším pohybu dislokace plně.

Je naznačen vznik bodových poruch při šplhání

hranového stupně.

86

Z energetického hlediska je teď výhodnější, aby vznikla samostatná smyčka 6 a zbylá část 6

přejde do polohy 1. Celý děj se pak můţe opakovat. Tímto procesem můţe vzniknout řada

smyček. Napětí k je tedy kritické skluzové napětí nutné pro činnost Frankova–Readova

zdroje.

Frankův–Readův mechanismus lze modifikovat i pro dislokaci zakotvenou v jednom

bodě. Zachycená dislokace se v tomto případě zakřivuje do spirály, která se prodluţuje a

vytváří další závity kolem záchytného bodu: nevytváří se tedy nové dislokace, ale závity.

Nové dislokace se ale mohou tvořit z této spirály při kontaktu s jinými krystalovými

poruchami (např. s volným povrchem).

6

6'

6"

5

4

3

2

1

BA

(a)

(b)

Obr. 4.30. Frankův –Readův zdroj. Jednotlivé polohy dislokační čáry jsou označeny číslicemi (a).

Naleptaný zdroj na rovině (111) Si (b).

(W.C. Dash: Dislocations and Mechanical Properties of Crystals, Wiley, New York, 1957.)

IV.3.13.2 Opakovaný příčný skluz

Dalším mechanismem produkce

dislokací je opakovaný příčný skluz.

Tento proces je schematicky naznačen

na obrázku 4.31. Úsek AB dislokace

produkuje dislokační smyčky

Frankovým–Readovým mechanismem.

Na vzniklé smyčce dojde v úseku CD

k příčnému skluzu a v jiné rovnoběţné

skluzové rovině zakotvený úsek CD

začne opět produkovat dislokační

smyčky. Proces se můţe opakovat

dalším příčným skluzem a další produkcí

dislokačních smyček.

IV.3.14. Interakce dislokací s bodovými poruchami

Dislokace mohou interagovat i s jinými krystalovými poruchami. V této části se budeme

krátce věnovat interakcím dislokací s atomy příměsi v tuhém roztoku a interakcím dislokací

s vakancemi.

F'

E'

FE

D'

C'

D

CB

A

Obr. 4.31. Schematické znázornění postupu vzniku

dislokačních smyček opakovaným příčným skluzem. 5

0m

87

IV.3.14.1 Interakce dislokace s atomy příměsí

Podle povahy vzájemného působení rozlišujeme interakci

pružnou,

chemickou,

elektrickou a

geometrickou.

Pružná interakce je nejvýznamnější. Její mechanismus závisí na velikosti atomů a na

pruţných vlastnostech obou sloţek tvořících tuhý roztok. Při rozdílné velikosti atomů vzniká

okolo příměsového atomu distorze krystalu a napěťové pole, s nímţ reaguje napěťové pole

dislokace. Hovoříme o pružné rozměrové interakci. Je-li velikost atomů stejná, ale obě sloţky

mají odlišné smykové moduly, nevznikne sice lokální distorze krystalu, ale oblast okolo

cizího atomu se jeví „tvrdší“ či „měkčí“ a klade tím větší či menší odpor pohybu dislokace

neţ ostatní krystal. V tom případě hovoříme o pružné modulové interakci.

Interakce cizího atomu a dislokace je z termodynamického hlediska výhodná, neboť se

tím sniţuje pruţná deformační energie krystalu. Velikost interakce dislokace a příměsového

atomu se pak rovná rozdílu volných energií při jeho umístění v neporušeném krystalu a

v napěťovém poli dislokace a je nepřímo úměrná velikostnímu součiniteli = (R – R0)/R0, kde

R a R0 jsou poloměry atomu příměsi a matričního prvku. Výhodnost umístění různých atomů

příměsí ve stlačených a roztaţených oblastech okolo hranové dislokace, a tedy jejich interakce

s normálovými sloţkami jejího napěťového pole, je zřejmá. Substituční atomy větší neţ

atomy základního kovu a všechny intersticiální atomy jsou přitahovány do roztaţených

oblastí, kdeţto pro substituční atomy menší neţ atomy matrice je výhodné, nahradí-li atomy

ve stlačené oblasti. V obou případech tak dochází u nepohybující se dislokace k hromadění

atomů okolo dislokační čáry, tedy k segregaci příměsí na dislokacích. Tento jev můţeme

dokumentovat na segregaci boru na hranové dislokaci ve slitině Fe–40at.%Al (obr. 4.14).

Vzniklé shluky příměsových atomů se někdy nazývají Cottrellovy atmosféry a i pruţná

interakce se nazývá Cottrellova.

Cottrellovy atmosféry vznikají ve zvýšené míře na hranových a smíšených dislokacích,

kde existují normálové sloţky napětí. Dislokace pak můţe být atmosférou „zakotvena“. Můţe

se pohybovat tak, ţe se od atmosféry odtrhne, nebo ji vleče za sebou. Odtrţení dislokace od

atmosféry vyţaduje vyšší napětí neţ skluz volné dislokace, neboť práce vykonaná napětím

musí uhradit energii vazby atomů atmosféry s dislokací. Rychlost pohybu dislokace

s atmosférou je určena difuzním pohybem atmosféry a závisí tedy na teplotě.

Chemická interakce nastává mezi rozštěpenými dislokacemi resp. pásy příslušné vrstevné

chyby, kterými se budeme zabývat v další kapitole, a atomy příměsí, které se hromadí u této

vrstevné chyby. V tomto případě hovoříme o segregaci na vrstevné chybě, často o Suzukiho

segregaci a vzniklá atmosféra se nazývá Suzukiho atmosféra. Protoţe zde uţ vlastně dochází

k interakci plošných poruch s atomy příměsí, budeme se touto problematikou zabývat později.

Elektrická interakce spočívá v interakci iontu příměsi s elektrostatickým polem dislokace,

vyvolaným distorzí krystalu.

Geometrická interakce se pak týká dislokací v uspořádaných tuhých roztocích.

Obě poslední interakce jsou oproti prvním dvěma poměrně slabé.

IV.3.14.2 Interakce dislokace s vakancemi

Interakce hranových a smíšených dislokací s vakancemi především umoţňuje šplhání

dislokací. Tím se dislokační čára přesouvá do jiných rovnoběţných skluzových rovin a to

umoţňuje dislokaci překonávat překáţky ve skluzovém pohybu a při uspořádávání dislokací

do stěn, coţ je důleţitým mechanismem tzv. polygonizace.

88

IV.3.15. Interakce dislokací s precipitáty

Další překáţkou pohybu dislokací, která se můţe objevit v kovových strukturách, jsou

precipitáty. Budeme-li diskutovat vliv těchto precipitátů na pohyb dislokací, musíme rozlišit,

jedná-li se o

koherentní precipitáty, které můţe dislokace překonat skluzem, nebo

nekoherentní precipitáty, kterými dislokace neprojde.

IV.3.15.1 Koherentní precipitáty

Koherentní precipitát je částice jiné fáze (jiného sloţení neţ základní materiál), ale jeho

krystalografické roviny a směry jsou rovnoběţné s rovinami a směry matrice. Dislokace je

tedy principiálně schopna takovým precipitátem projít skluzovým pohybem. Takový proces je

znázorněn na obrázku 4.32. Ačkoli dislokace projde koherentním precipitátem skluzovým

pohybem podobně jako základním materiálem (homogenním roztokem), vidíme, ţe

v precipitátu došlo k určité změně v pravidelnosti řazení jednotlivých atomů. Po průchodu

hranové dislokace se totiţ posunula horní část precipitátu vůči spodní o Burgersův vektor,

který je v daném uspořádání roven mříţkovému vektoru. Tím se na skluzové rovině v části

AB (obr. 4.32b) setkávají vţdy dva atomy jednoho typu, zatímco ve zbytku precipitátu se

atomy pravidelně střídají. V úseku AB tedy vzniklo tzv. antifázové rozhraní, které má vyšší

volnou energii neţ střídavé uspořádání atomů v precipitátu. Samozřejmě, ţe průchodem další

dislokace antifázové rozhraní vymizí. V kaţdém případě však dochází ke zvětšení plochy

precipitátu o 2r0b, kde r0 je poloměr precipitátu. Tomu odpovídá zvýšení volné energie

b0

2 rGPM

, (4.42)

kde PM je měrná energie rozhraní mezi matricí M a precipitátem P.

M

(a)

DP

(c)

0,1

m

Obr. 4.32. Znázornění pohybu dislokace D

precipitátem P v matrici M pod napětím .

Odlišné barvy atomů naznačují jejich odlišný

chemický charakter. Na rozdíl od počátečního

stavu (a) vzniká po průchodu dislokace

v precipitátu antifázové rozhraní AB (b).

Experimentálně pozorovaný průchod dislokace

precipitáty ve slitině Ni–19%Cr–6%Al (b).

(H. Gleiter, E. Hornbogen, Phys. Stat. Sol. 12 (1965) 235.)

B

A

M

(b)

DP

89

IV.3.15.2 Nekoherentní precipitáty

V případě nekoherentního precipitátu s jinak orientovanými směry a rovinami a jinou

mříţkovou velikostí, dislokace nemůţe pokračovat ve skluzu a na precipitátu se zastaví.

Působí-li však na ni dostatečně velké napětí, můţe dislokace i tuto překáţku překonat. Existují

dva způsoby překonání nekoherentního precipitátu dislokací:

Orowanův mechanismus a

Friedelův mechanismus.

Orowanův mechanismus (obr. 4.33) spočívá v tom, ţe během překonávání precipitátu

dislokace zůstává v jedné skluzové rovině. Působením dostatečného napětí se dislokace ohýbá

okolo precipitátu tak, jak je naznačeno na obrázku 4.33b, ale ve vzdálenějších oblastech se

dislokace snaţí pohybovat jakoby neovlivněna přítomností precipitátu. Ohnutý úsek ji ovšem

brzdí v dalším pohybu. Ohnuté úseky se dále prohýbají podobně jako v případě Frankova–

Readova zdroje (obr. 4.33c) a jakmile se k sobě přiblíţí, dislokace se rozdělí na dvě části –

dislokační smyčku okolo precipitátu a dislokační čáru podobnou původní dislokaci.

Dislokační smyčka okolo precipitátu leţí ve skluzové rovině původní dislokace a má stejný

Burgersův vektor (obr. 4.33d).

Friedelův mechanismus je poněkud komplikovanější, protoţe v tomto případě nezůstává

dislokace v jediné skluzové rovině (obr. 4.34). Podobně jako v případě Orowanova

mechanismu se dislokace ohýbá okolo precipitátu (obr. 4.34a). V těsné blízkosti precipitátu

však dojde k příčnému skluzu dislokačních úseků AB a CD. V nové skluzové rovině nad

precipitátem se k sobě tyto úseky přiblíţí, spojí se a vytvoří tak smyčku, která zůstane za

precipitátem. Nově spojená dislokace před precipitátem se můţe pohybovat dále. Dislokační

smyčka před precipitátem, však neleţí v původní skluzové rovině a na nově vzniklé

pohybující se dislokaci se vytvořil stupeň mimo skluzovou rovinu, který se dále pohybuje

šplháním a brzdí tak vlastní dislokaci, která se můţe pohybovat skluzem v původní skluzové

rovině.

Oba uvedené mechanismy překonávání nekoherentních precipitátů byly prokázány i

experimentálně (viz např. obr. 4.33).

90

(a)

(b)

(c)

bb

(d)

(e)

Obr. 4.33. Schematické znázornění překonání

precipitátu dislokací pod napětím Orowanovým

mechanismem. Jednotlivé fáze jsou označeny (a)–

(d). Experimentální pozorování Orowanovy

smyčky zanechané okolo neprůchodného

precipitátu v mědi.

(P.B. Hirsch, F.J. Humphreys, v: Physics of Strength and

Plasticity, A.S. Argon, Ed., MIT Press, Cambridge (1969), str.

189.)

DC

BA

(a)

DC

BA

(b)

DC

B

A

(c)

Obr. 4.34. Schematické znázornění překonání precipitátu dislokací pod napětím Friedelovým

mechanismem. Jednotlivé fáze jsou označeny (a)–(c).

IV.3.16. Dislokace v kovových strukturách

IV.3.16.1 Dislokace v kubické plošně centrované struktuře.

Jak jsme uvedli dříve (Tabulka 4.2), základní skluzový systém v fcc struktuře je

110111. To znamená, ţe skluzová rovina je obvykle krystalografická rovina typu 111 a

základní hranová dislokace má Burgersův vektor 2

a110. Podíváme-li se na řazení rovin typu

91

110 v fcc struktuře (obr. 4.35), zjistíme, ţe se střídají dvě roviny vzájemně posunuté o

2

a111 (srovnej s obr. 2.3). Tyto roviny označíme a a b a řazení rovin tedy bude abababab.

Vnesení základní hranové

dislokace do této struktury tedy

bude znamenat zavedení dvou

polorovin a a b, protoţe řazení

zbývajících rovin nad i pod

dislokační čarou musí být stejné.

Z energetického hlediska však

není nutné, aby se obě

poloroviny pohybovaly společně

(viz část IV.3.7.1.): ve

skutečnosti se kaţdá pohybuje

samostatně. Vzniklé dislokace

však mají Burgersův vektor

menší neţ nejkratší vzdálenost

atomů v krystalu, navíc způsobí

určitou změnu atomárního

uspořádání ve skluzové rovině, tzv. vrstevnou chybu. Takové dislokace se nazývají neúplné

(parciální).

V fcc struktuře se vyskytují dva typy

neúplných dislokací:

Shockleyho neúplná skluzová dislokace a

Frankova neúplná zakotvená dislokace.

Vznik Shockleyho neúplné dislokace

pochopíme snadno z obrázku 4.36. Skluz

v rovině (111) znázorněné atomy A by měl

probíhat ve směru 110, tedy mezi atomy B,

jak je znázorněno šipkou. Tento skluz

představuje pohyb dislokace sloţené ze dvou

polorovin ab jak je ukázán na obrázku 4.35.

Energeticky mnohem výhodnější je však

pohyb přes polohy C nebo A, tedy B–C–B

nebo B–A–B. Dislokace b1 = 1/2110 (v

dalším budeme uvádět Burgersův vektor bez

udání mříţkového parametru) se tedy

rozkládá na dvě neúplné dislokace bp2 a bp3,

321 ppbbb , (4.43a)

tedy

1122111106

1

6

1

2

1 . (4.43b)

[110]

(111)

b b b b b b

b b b b b b

b

a a

a a a a a a

a a a a

a

Obr. 4.35. Hranová dislokace a/2110 v fcc struktuře.

C

CC

B B

B

A

AAA

AA

A

Obr. 4.36. Vznik Shockleyho neúplné dislokace

1/6112.

92

Ve skluzové rovině se mezi neúplnými dislokacemi vytvoří pás vrstevné chyby. Zatímco

v řádné fcc struktuře je totiţ vrstvení rovin typu …ABCABCABC…, bude mezi neúplnými

dislokacemi vrstvení …ABCACABC…

Rozštěpení úplné dislokace na dvě parciální je tedy spojeno se vznikem vrstevné chyby,

která má určitou energii. Poţadavek minimalizace celkové volné energie systému se projeví

v nastavení rovnováţné vzdálenosti mezi neúplnými dislokacemi, tedy šířky rozštěpené

dislokace. Je-li měrná energie vrstevné chyby, je to zároveň síla, kterou působí vrstevná

chyba na jednotkovou délku dislokace. Při rovnováţné vzdálenosti dvou neúplných dislokací

je odpudivá síla mezi nimi rovna síle vyvolané vrstevnou chybou. Šířka rozštěpené dislokace

je dána vztahem

2

32

0

ppbGb

d . (4.44)

Šířka rozštěpené dislokace je tedy nepřímo úměrná měrné energii vrstevné chyby . Např. Al

0,21 J/m2 dává šířku rozštěpení dislokace ca 2 Burgersovy vektory zatímco v případě mědi

(Cu 0,08 J/m2) je šířka rozštěpení dvakrát větší.

Neúplné šroubové dislokace mohou tvořit stejnou konfiguraci, na rozdíl od nerozštěpené

šroubové dislokace však má rozštěpená zcela určitou skluzovou rovinu, která je totoţná

s rovinou vrstevné chyby. Přesto však můţe docházet k příčnému skluzu, pokud se vytvoří na

rozštěpené dislokaci zaškrcení, tj. místo, kde rozštěpení vymizí. V takovém případě se můţe

úsek šroubové dislokace pohybovat do ostatních skluzových rovin. K vytvoření zaškrcení je

třeba určitá energie a proto k němu dochází nejsnáze u materiálů s vyšší energií vrstevné

chyby. Zaškrcení se většinou vytváří lokálně u překáţek (zakotvené dislokace, nekoherentní

precipitáty apod.). Průběh příčného skluzu je naznačen na obrázku 4.37.

Frankova neúplná zakotvená dislokace 1/3[111] vznikne vsunutím nebo vyjmutím jedné

těsně uspořádané roviny atomů. Takové dislokace často vznikají kondenzací shluku vakancí

či precipitací intersticiálů. Vzhledem k tomu, ţe Burgersův vektor neleţí v ţádné rovině

skluzu, nemůţe se Frankova dislokace pohybovat skluzem, je tedy zakotvená. Můţe však

reagovat se Shocklyho dislokací za vzniku úplné skluzové dislokace

1101112112

1

3

1

6

1 . (4.45)

Zajímavý případ nastane při skluzu rozštěpených dislokací v různých skluzových

systémech. Představme si uspořádání, které je ukázáno na obrázku 4.38. Dvě úplné dislokace

1/2[ 101 ] a 1/2[101] v různých skluzových rovinách typu 111 se rozštěpí a vytvoří po dvou

neúplných dislokacích. Při jejich setkání dojde k reakci dvou čelních neúplných dislokací

0112111216

1

6

1

6

1 . (4.46)

Vzniklá dislokace podél průsečnice má čistě hranový charakter a nazývá se koutová (angl.

stair-rod) dislokace nebo Lomerova–Cottrellova neúplná dislokace. S ní je spojen pás

vrstevné chyby ve tvaru klínu, leţícího podél směru [0 1 1], který je rozloţen v rovinách (111)

a ( 1 11). Koutová dislokace je zakotvena, protoţe její Burgersův vektor neleţí v ţádné z rovin

jejich vrstevných chyb (111) a ( 1 11). Celé seskupení se nazývá Lomerova–Cottrellova

bariéra.

Obr. 4.36. Vznik Shockleyho neúplné dislokace

1/6112.

93

(a)

1/2[101]

1/2[-110]

(-111)

(111)

[011]

1/6[-211]

1/6[-12-1]

1/6[1-12](b)1/6[211]

1/6[011]

1/6[-211]

(c) 1/6[211]

Obr. 4.38. Vznik Lomerovy–Cottrellovy

zakotvené dislokace 1/6011.

IV.3.16.2 Dislokace v kubické prostorově centrované struktuře

V bcc kovech (-Fe, Mo, Ta, V, Cr, Nb a tuhé roztoky na jejich bázi, např. feritické oceli)

dochází ke skluzu ve směrech 111 a ve skluzových rovinách 110, 112 případně 123.

Základní Burgersův vektor je 1/2111. Je zajímavé poznamenat, ţe podél jednoho směru

111 se protínají tři roviny 110, tři 112 a šest rovin 123. Dislokace tak mají relativně

velkou volnost ve volbě skluzové roviny. Jestliţe dislokace často přeskakuje z jedné takové

roviny do jiné, bývá výsledná rovina na makroskopické úrovni obtíţně krystalograficky

charakterizovatelná.

Skluzový systém závisí na sloţení materiálu, teplotě deformace a deformační rychlosti.

Navíc je v těchto materiálech pozorována i výrazná asymetrie skluzu: skluzová rovina pro

deformaci v tahu je odlišná od skluzové roviny v tlaku, smykové napětí potřebné k pohybu

dislokace jedním směrem se liší od napětí potřebného k pohybu opačným směrem apod. To

můţe být způsobeno tím, ţe je dislokace rozštěpena nebo jsou atomy v jádře dislokace

uspořádány asymetricky. K příčnému skluzu dochází poměrně snadno neboť energie vrstevné

chyby je vysoká.

V bcc struktuře dochází k řadě rozštěpení dislokace 1/2111. Nejdůleţitější z nich vedou

k vytvoření dislokací 1/6111 a jsou doprovázeny vznikem vrstevné chyby na rovinách

112. První z nich můţe být popsáno jako

1111111116

1

3

1

2

1 . (4.47)

Další moţností je rozštěpení na tři parciální dislokace, které leţí ve třech různých rovinách

112,

94

1111111111116

1

6

1

6

1

2

1 . (4.48)

Tato konfigurace je však vzhledem k asymetrické konfiguraci atomů v jádře nestabilní a

pohyb takové dislokace závisí na směru pohybu ve skluzové rovině. Uvedená rozštěpení jsou

ukázána na obrázku 4.39.

(b)(a)

(-1-12)

(2-1-1)

(-12-1)

1/6[111]

1/6[111]

1/6[111]

(-12-1)

1/3[111]1/6[111]

Obr. 4.39. Rozštěpení šroubové dislokace v bcc struktuře na rovině 112.

Předpokládá se i existence rozštěpení dislokací v rovinách 110,

1101121101118

1

4

1

8

1

2

1 , (4.49a)

která se můţe pohybovat skluzem, a

1110011011101114

1

2

1

8

1

8

1

2

1 . (4.49b)

Tato skupina dislokací představuje šroubové dislokace rozštěpené ve třech rovinách 110.

Vzniklá konfigurace je nepohyblivá a ke skluzu můţe dojít výlučně po zaškrcení.

IV.3.16.3 Dislokace v hexagonální těsně uspořádané struktuře

V hcp struktuře můţeme rozlišit

6 dislokací v bazální rovině s Burgersovým vektorem rovnoběţným s hranou hexagonální

základny, b =

02113

1,

2 dislokace kolmé k rovině (0001), b =

0001 ,

12 dislokací typu b =

32113

1,

parciální Shockleyho dislokace typu b =

00113

1,

parciální dislokace kolmá k rovině (0001), b = 00012

1.

95

Z parciálních dislokací jsou důleţité ty, které leţí v rovině (0001). Tyto dislokace jsou

buď skluzové nebo jsou to zakotvené dislokace vzniklé kondenzací vakancí nebo precipitací

intersticiálů.

Vzhledem k podobnosti roviny (0001) s rovinou (111) fcc struktuře je i skluzový pohyb

dislokací v rovině (0001) podobný pohybu dislokací v fcc kovech. Dislokace 3

1

0211 se

rozštěpí podobným způsobem na

0101011002113

1

3

1

3

1, (4.50)

spojené pásem vrstevné chyby. Na rozdíl od k.pl.c. struktury dochází k vrstvení jednotlivých

rovin typu (0001), které lze popsat jako ABABCABAB, kde jednotlivé symboly označují

polohy vrstev jak byly popsány v kapitole IV.3.16.1.

V materiálech s hcp strukturou dochází ke skluzu téměř výlučně v rovině (0001), protoţe

ve struktuře neexistuje jiná těsně uspořádaná rovina. Příčný skluz je tedy obtíţný.

V některých případech však dochází i ke skluzu v jiných skluzových systémech, jako

pyramidální skluz v systému

01211110 nebo

prizmatický skluz

01210110 .

K takovému skluzu můţe dojít po příčném skluzu. Nerozštěpené šroubová dislokace

3

1

0121 se můţe pohybovat do prizmatické nebo pyramidální roviny, pokud je pohyb

v rovině (0001) zablokován. Protoţe však přitom musí dojít k zaškrcení vrstevné chyby, je

tento způsob pohybu dislokací nejpravděpodobnější u materiálů s vysokou energií vrstevné

chyby.

IV.4. Plošné poruchy

Jak lze jednoduše usoudit, plošné poruchy budou krystalové poruchy dvourozměrného

charakteru, zatímco třetí rozměr zůstává v řádu atomárních vzdáleností. Základními plošnými

poruchami jsou

vrstevné chyby,

hranice zrn,

mezifázová rozhraní a

volný povrch.

O vrstevných chybách jsme se jiţ zmínili v předchozích oddílech. V této kapitole se budeme

věnovat hranicím zrn a mezifázovým rozhraním.

IV.4.1. Hranice zrn

Téměř všechny kovové materiály pouţívané v technické praxi jsou polykrystalické. To

znamená, ţe jsou sloţeny z velkého mnoţství malých krystalů (zrn) vzájemně odlišné

krystalografické orientace. Proč k tomu můţe dojít, si snadno odvodíme z následující úvahy.

Představme si, ţe budeme připravovat slitinu odléváním do kokily. Roztavená vsázka bude

v kokile rychle tuhnout, to znamená, ţe se v ochlazované tavenině vytvoří velké mnoţství

zárodků tuhých krystalů, které při ochlazování materiálu začnou růst na úkor taveniny. Různé

krystalky budou mít i vzájemně různou krystalografickou orientaci: Není totiţ důvod, aby

tomu bylo jinak. Pokud rostou krystaly v tavenině, mohou volně růst do všech směrů, jakmile

však dojde k dotyku dvou nejbliţších krystalů, jejich růst ve směru do druhého krystalu se

zastaví a mezi oběma krystaly se vytvoří hranice. Přes hranici evidentně dochází k poruše

v uspořádání atomů, neboť obě sousední zrna jsou vzájemně různě orientovaná a řazení

96

uzlových bodů jednoho zrna tak nemá obecně za hranicí pokračování. Hranice zrn tak

představují přechodovou oblast, ve které dochází k napojení dvou krystalů téhoţ materiálu.

Dříve se uvaţovalo, ţe struktura hranice má amorfní charakter, tedy ţe uspořádání atomů

v této oblasti je podobné uspořádání v kapalinách (viz část II.3). Tato představa ale není

správná, protoţe v případě amorfního charakteru hranic by jejich chování bylo izotropní, coţ

neodpovídá realitě. Dnes je jiţ experimentálně i teoreticky zcela dokázáno, ţe hranice zrn

mají „krystalický“ charakter, to znamená, ţe atomy v nich jsou rovněţ uspořádány s určitou

pravidelností.

IV.4.2. Popis a typy hranic zrn

Abychom mohli hranice zrn

geometricky popsat, musíme nejprve

určit, jaké proměnné jsou pro takový

popis důleţité. Jak jsme si řekli

v předchozím oddíle, mají dvě sousední

zrna A a B odlišnou krystalografickou

orientaci. To bude jedna z důleţitých

informací pro popis hranic zrn. Mezi

dvěma zrny však můţe být hranice

v různých polohách, je proto potřebné

uvaţovat i orientaci hranice.

Představíme-li si hranici schematicky

podle obrázku 4.40, musíme určit takové

vzájemné natočení obou krystalů,

abychom převedli jedno zrno do

krystalograficky identické polohy

s druhým zrnem. Pro takové natočení

potřebujeme najít společnou osu rotace o

a úhel natočení . K určení osy natočení

potřebujeme dva údaje: pro úhel jeden,

tedy dohromady tři parametry. Abychom

určili orientaci hranice, musíme najít dva parametry pro charakterizaci normály n. Celkem

tedy musíme určit pět parametrů, abychom kompletně geometricky charakterizovali hranici

zrn. Obráceně můţeme říci, ţe hranice zrn má pět stupňů volnosti. Kromě toho se rozlišují

ještě další mikroskopické stupně volnosti, které jsou však důleţité pro vlastní atomární

strukturu hranice a nikoli pro její geometrický popis a nebudeme se jimi zde zabývat.

Hranici zrn tedy můţeme popsat pomocí osy vzájemné rotace [hkl], úhlu natočení okolo

této osy a orientace hranice pqr relativně k jednomu ze zrn. Prakticky se však orientace

hranice vyjadřuje pomocí údajů o obou rovinách obou zrn, setkávajících se v hranici. Hranice

se tedy popisuje výrazem °[hkl], (pqr)A/(pqr)B.

Díky zmíněným pěti stupňům volnosti se však značně komplikuje popis strukturní

závislosti vlastností hranic zrn: Pro takový popis bychom museli pouţít šestirozměrný prostor

(pět parametrů hranice + vlastnost), coţ je poněkud komplikované. Proto se problém často

zjednodušuje tím, ţe uvaţujeme různé dvojrozměrné řezy tímto prostorem a dělíme hranice

podle jednoduchých kritérií.

Podle úhlu natočení obou zrn dělíme hranice na

maloúhlové ( 10–15°) a

velkoúhlové( 10–15°).

ZRNO A HRANICE ZRNO B

ROVINA

xA

zA

yA

n

o

zB

xB

yB

Obr. 4.40. Geometrické proměnné charakterizující

hranici zrn. o a jsou osa a úhel rotace, kterou se

převede jedno zrno do identické krystalografické

polohy s druhým zrnem. Jednotkový normálový vektor

n určuje orientaci roviny hranice zrn (normálu

k ploše).

97

Toto dělení je zaloţeno na rozdílné struktuře jednotlivých hranic zrn a protoţe v

„přechodové“ oblasti 10–15° přechází struktura z jednoho typu na druhý nepříliš ostře,

není ani mez tohoto přechodu zcela definována.

Podle vztahu osy rotace o a normály n dělíme hranice na

sklonové (o n),

zkrutové (o n) a

smíšené, kterými jsou všechna ostatní rozhraní.

Z hlediska symetrie dělíme hranice na

symetrické, jestliţe rovina hranice představuje rovinu zrcadlové symetrie obou sousedních

zrn, a

nesymetrické, které tuto podmínku nesplňují.

Poslední dělení hranic zrn je spojeno s jejich energetickými vlastnostmi. Na libovolném

řezu strukturní závislosti energie můţeme rozlišit

singulární hranice zrn, které vykazují ostré minimum (singularitu) na strukturní závislosti

energie hranice,

obecné hranice zrn, které mají vysokou energii, a

přilehlé hranice zrn (anglicky vicinal), které představují přechod mezi singulárními a

obecnými hranicemi.

Velmi často se můţeme v literatuře setkat s pojmem speciální hranice. To je hranice,

vykazující minimum strukturní závislosti jiné vlastnosti neţ energie. V principu platí, ţe

kaţdá singulární hranice je speciální, ale neplatí to naopak. Jestliţe si uvědomíme, ţe energie

hranice je „nadbytečná“ energie souboru atomů uspořádaných v hranici v porovnání se

stejným počtem atomů v krystalu, je jasné, ţe singulární resp. speciální hranice se svým

chováním více přibliţují objemovému chování neţ hranice obecné.

IV.4.3. Maloúhlové hranice zrn

V kapitole o vzájemném působení dislokací stejného znaménka, leţících v různých

rovinách (IV.3.10) jsme si ukázali, ţe v rovnováze jsou takové dislokace uspořádány „nad

sebou“. Představíme-li si, ţe se takto uspořádá velké mnoţství dislokací, bude v jedné části

krystalu velký počet nadbytečných polorovin. Celkový efekt bude podobný, jako bychom

materiál rozřízli, vloţili úzký klín materiálu a opět spojili. V důsledku existence nadbytečných

polorovin atomů dojde k tomu, ţe oblasti vzdálené od stěny dislokací budou vzájemně

skloněny, různě natočeny. Dislokační stěna tedy představuje maloúhlovou hranici zrn.

Mnoho vlastností maloúhlových hranic zrn lze odvodit z vlastností dislokací a jejich

uspořádání do stěny. Je-li D vzdálenost mezi dislokacemi s Burgersovým vektorem b (obr.

4.41) pak úhel natočení obou sousedních zrn lze určit ze vztahu

2sin

2D

b. (4.51)

Nahrazení sinusové funkce prostým úhlem platí samozřejmě pouze pro velmi malé úhly

natočení. Představíme-li si, ţe rovina hranice na obrázku 4.41 je totoţná se stěnou sloţenou

z hranových dislokací, je osa rotace obou krystalů kolmá na rovinu obrázku, tedy i na hranici.

Jedná se tedy o sklonovou hranici: Sklonová maloúhlová hranice je tvořena stěnou hranových

dislokací. Podobně seskupení šroubových dislokací tvoří zkrutovou maloúhlovou hranici.

98

Zvyšujeme-li úhel mezi oběma zrny, jednotlivé dislokace se

vzájemně přibliţují a nakonec ztrácejí svůj dislokační charakter. K tomu

dochází, je-li D 5b. Pak dochází ke změně charakteru struktury hranic

zrn a dále hovoříme o velkoúhlových hranicích zrn.

IV.4.4. Struktura velkoúhlových hranic zrn

U velkoúhlových hranic zrn tedy nemůţeme hovořit o dislokační

struktuře. Tyto hranice mají vlastní strukturu popsanou tzv. modelem

strukturních jednotek. Podle tohoto modelu je kaţdá velkoúhlová hranice

sloţena z určitého uskupení relativně malého počtu atomů, tzv. strukturní

jednotky, které se opakuje podél hranice. Tento model byl teoreticky

zaveden Suttonem a Vitkem a v poslední době také experimentálně

prokázán (obr. 4.42). Ukazuje se, ţe principiálně existuje jen omezený

počet strukturních jednotek a hranice, tvořené výlučně jedinou strukturní

jednotkou mají výrazně niţší energii neţ ostatní – jedná se tedy o

singulární hranice. Struktura ostatních – obecných – hranic zrn je tvořena

kombinací dvou sousedních strukturních jednotek. Protoţe kaţdé

strukturní jednotce přísluší určité jasně dané natočení, bude struktura

obecných hranic mezi dvěma singulárními hranicemi tvořena

kombinacemi různě zastoupených strukturních jednotek singulárních

hranic zrn. U přilehlých hranic je situace trochu jiná – jejich struktura je

kombinací strukturní jednotky blízké singulární hranice a maloúhlové

hranice (dislokační stěny), vyrovnávající úhlovou odchylku od ideální

orientace singulární hranice. V okamţiku ztráty identity dislokací se pak

ve struktuře hranice objevuje vedle základní strukturní jednotky uvedené

singulární hranice i jednotka sousední singulární hranice a přilehlá

hranice se tak mění v obecnou.

Ačkoli by měl existovat jen malý počet základních strukturních

jednotek, a tedy i singulárních hranic zrn, nebyly dosud všechny

singulární hranice jednoznačně specifikovány. Vzhledem k tomu, ţe se vlastnosti těchto

hranic výrazně liší od vlastností obecných hranic zrn, coţ je důleţité pro mnohé aplikace,

hledají se alespoň přibliţná geometrická kritéria, která by pomohla takové hranice vyhledat.

Jedním z takových kritérií je model koincidenčních poloh (coincidence site lattice (CSL)

model).

a

b

(a)

(b)

Obr. 4.42. Struktura 70.5°[110]{112}

symetrické sklonové hranice zrn v

molybdenu. Počítačové simulace (a) a

experimentální pozorování transmisní

elektronovou mikroskopií s vysokým

rozlišením (HR TEM) (b). Ostřejší světlý pás

v obrázku (b) je počítačová simulace.

(T. Vystavěl, PhD dizertace, Univ. J. Fouriér, Grenoble

1999.)

D

b

Obr. 4.41. Stěna

hranových

dislokací

s Burgersovým

vektorem b,

vzdálených o D.

je výsledný úhel

natočení obou

sousedních zrn.

99

Uvaţujme bikrystal se

vzájemně natočenými zrny a

hranicí mezi nimi, ukázaný např.

na obrázku 4.43. Ačkoli jsou

uzlové body obou zrn vzájemně

natočené, můţeme najít body,

které odpovídají uzlovým

bodům obou zrn. Uzlové body

nazveme koincidenčními

polohami a superstrukturu,

sloţenou z koincidenčních bodů

nazveme koincidenční mřížkou.

Taková struktura je v kubických

systémech tetragonální a hustota

koincidenčních bodů závisí na

vzájemném natočení obou zrn.

Můţeme si zavést parametr

reciproká hustota

koincidenčních poloh, . Při

vysoké hustotě koincidenčních

poloh je hodnota je nízká.

Předpokládá se, ţe vysoká

koincidence znamená malé

odchylky chování hranic od

objemu a ţe nízké hodnoty

indikují speciální hranici.

Hodnotu parametru můţeme jednoduše určit pro symetrické sklonové hranice jako

)( 222 rqp , (4.52)

kde p, q a r jsou Millerovy indexy roviny symetrické hranice. = 1, je-li výraz v závorce

lichý a = ½, je-li sudý. Pro natočení ukázané na obrázku 4.43 (symetrické hranice jsou

{012} a {013}) je = 5, tedy kaţdý pátý atom je v koincidenci.

V mnoha případech však tento prostý model selhává. Hlavním důvodem je to, ţe parametr

charakterizuje natočení hranice, nikoli její aktuální orientaci. Jak je patrné i z obrázku 4.43,

všechny tři úseky hranice – oba symetrické i nesymetrický – jsou charakterizovány jedinou

hodnotou . Přitom ale různé hranice v tomtéţ natočení mohou mít různý charakter. Přesto se

stále často pouţívá pro praktickou specifikaci speciálních hranic.

Existují i jiná geometrická kriteria, např. mezirovinná vzdálenost hranice ap., které však

rovněţ nejsou univerzální a selhávají při charakterizaci některých typů hranic zrn. Důvodem

je právě to, ţe nejsou nijak vázána na skutečnou strukturu hranice. Univerzální kriterium,

které by nám umoţnilo spolehlivě identifikovat jednotlivé singulární hranice zrn, stále chybí.

Obr. 4.43. Geometrický model (model tuhých koulí)

představující 36.87°100 sklonový bikrystal v prosté kubické

struktuře. Uzlové polohy jednotlivých zrn jsou odlišeny

barevně. Bílé polohy jsou koincidenční polohy. Hranice mezi

krystaly je tvořena dvěma symetrickými úseky AB 013 a CD

012, a nesymetrickým úsekem BC (001)/(034).

100

IV.4.5. Termodynamický popis hranic zrn

Pro termodynamický popis hranic zrn pouţijeme model, naznačený na obrázku 4.44.

V zásobníku je bikrystal (materiál obsahující dva krystaly oddělené hranicí zrna). Bude-li

tento bikrystal za konstantní teploty a tlaku narůstat ve směru šipky, bude narůstat jak objem

obou zrn, tak hranice zrn. Tím se bude zvyšovat vnitřní energie systému

HRANICEZRNO BZRNO A

Obr. 4.44. Model k zavedení termodynamického popisu

hranic zrn. Bikrystal skládající se ze zrn A a B roste ve

směru šipky přídavkem materiálu za konstantní teploty a

tlaku.

AnVPSTUi

iiddddd , (4.53)

kde T je teplota, S entropie systému, P tlak, V objem systému, i chemický potenciál sloţek i

při T a P, ni počet částic jednotlivých sloţek v systému, měrná energie hranice zrn na

jednotku plochy („povrchová“ energie) a A plocha hranice zrn. Povrchová energie hranice je

tedy definována jako

inVS

A

U

,,

. (4.54)

Termodynamické veličiny hranice zrn jsou pak definovány na základě obecných

termodynamických vztahů, např.

inPT

A

G

,,

. (4.55)

Energie hranice zrn tedy představuje práci potřebnou k vytvoření rozhraní v dokonalém

krystalu.

Uvedený způsob se liší od původního Gibbsova odvození, které uvaţovalo rozhraní jako

jinou fázi: v tom případě totiţ bylo problematické odvodit jednotlivé veličiny bez toho, aby

bylo nutné uvaţovat další rozhraní mezi hraniční fází a objemem materiálu. Závěr, který

z uvedeného modelu vyplývá je ten, ţe pro hranice platí stejné termodynamické vztahy jako

v případě objemu, tedy v klasické termodynamice.

Vzhledem k nenulové hodnotě povrchové energie je podle vztahu (4.55) nenulová i

změna volné energie spojená s přírůstkem hranice zrn. Systém s hranicí zrn má tedy vyšší

101

volnou energii neţ systém bez hranice a stejně jako dislokace, i hranice zrn je nerovnovážná

krystalová porucha.

Podíváme-li se na závislost energie hranic zrn na úhlu natočení (obr. 4.45), vidíme, ţe

v případě maloúhlových hranic zrn energie roste s úhlem natočení. To je dáno tím, ţe

s rostoucím natáčením obou sousedních zrn přidáváme do hranice další a další dislokace. Jak

Read a Shockley odvodili z dislokačního modelu hranic zrn,

)ln(0

BE , (4.56)

kde E0 a B jsou konstanty. V případě velkoúhlových hranic zrn je úroveň jejich energie téměř

nezávislá na úhlu natočení s výjimkou několika singulárních hranic zrn, které tvoří ostrá

minima (obr. 4.45).

V úvodu této části jsme si

řekli, ţe kovové materiály se

většinou pouţívají v technické

praxi jako polykrystaly. To

znamená, ţe se v nich mohou

vzájemně potkávat 2, 3 nebo 4

zrna. Jiţ jsme si řekli, ţe

v případě setkání dvou zrn

vzniká mezi nimi hranice.

Setkají-li se zrna tři, vzniká

trojný styk (angl. triple

junction) tří hranic. Trojný

styk je vlastně jednorozměrný

objekt, který má své

specifické vlastnosti a

v poslední době je předmětem

intenzivního studia.

V podstatě bychom ho mohli

také chápat jako čárovou krystalovou poruchu. Pro úplnost ještě dodejme, ţe setkání čtyř zrn

se můţe uskutečnit v jednom bodě, nazývaném čtverný bod (angl. quadruple point), coţ

představuje bodovou poruchu.

Vraťme se problému setkání tří hranic v trojném styku. Pro jednoduchost si takový styk

znázorníme na obrázku 4.46, kde hranice jsou kolmé k rovině nákresu. Mechanická podmínka

rovnováhy můţe být vyjádřena jako

2

13

1

23

3

12

sinsinsin

, (4.57)

kde n jsou úhly svírané stěnami zrna n (tedy jeho hranicemi) a mn energie hranice mezi zrny

n a m. Zanedbáme-li anizotropii energie hranic zrn (12 = 23 = 13), bude platit 1 = 2 = 3 =

120°. To vysvětluje, proč lze v jednofázové struktuře očekávat v rovnováze v trojných stycích

úhly blízké 120°.

maloúhlové

hranice

singulární hranice

obecné velkoúhlové hranice

Obr. 4.45. Schematické znázornění závislosti energie hranic zrn

na úhlu natočení

102

3

2

1

23

13

12

ZRNO 3

ZRNO 2

ZRNO 1

Obr. 4.46. Styk tří zrn v jednofázovém materiálu.

IV.4.6. Interakce hranic zrn s atomy příměsí

Stejně jako ostatní krystalové poruchy mohou i hranice zrn interagovat s jinými

poruchami. Hranice můţe fungovat jako nor nebo past pro vakance či pro intersticiály.

Podívejme se teď na interakci hranic zrn a atomů příměsí. Podobně jako v případě jádra

dislokace je i struktura hranice poněkud „volnější“ neţ objem krystalu a proto se v ní cizí

atomy snadno umístí – ať v substitučních polohách nebo v intersticiálních. Hromadění atomů

příměsí na hranicích zrn je tedy energeticky výhodné a můţe dosáhnout poměrně značného

rozsahu. Proto hovoříme o segregaci příměsí na hranicích zrn.

Určení koncentrace příměsí na hranicích zrn je poměrně jednoduché. Uvaţujme segregaci

jako vratnou chemickou reakci, při níţ si vyměňují místa atomy matričního kovu M a příměsi

I na hranici HZ a v objemu:

HZHZ IMIM . (4.58a)

Tuto reakci můţeme v rovnováze popsat pomocí chemických potenciálů ,

I

HZ

MIM

HZ . (4.58b)

Za předpokladu ideálního chování tuhého roztoku můţeme dosadit iii

XRT ln0 a XM

= 1 – XI, a psát

RT

G

X

X

X

XI

I

I

I

HZ

I

HZ 0

exp11

, (4.59)

kde

MM

HZ

II

HZ

IG 0,00,00 je standardní molární Gibbsova volná energie

segregace příměsi na hranici zrn a je tvořena kombinací standardních chemických potenciálů

jednotlivých (čistých) sloţek za teploty a tlaku systému. Je tedy zřejmé, ţe G0

I je nezávislé

na objemovém sloţení systému. Rov. (4.59) je obdobou Langmuirovy izotermy pro adsorpci

plynů či kapalin k volnému povrchu a proto je nazývána Langmuirova–McLeanova

segregační izoterma a segregace často nazývána vnitřní adsorpcí. Langmuirova–McLeanova

segregační izoterma je aplikovatelná pro řadu systémů, např. pro popis segregace fosforu na

103

hranicích zrn ve feritických ocelích apod. V mnoha případech však není chování systému

ideální, pak je třeba ve výrazu pro chemické potenciály uvaţovat místo prostých koncentrací

aktivity sloţek a ve výsledku doplnit v čitateli exponenciálního členu rov. (4.59) k G0

I ještě

molární dodatkovou Gibbsovu volnou energii segregace GE

I. Vzhledem k obtíţnosti

přesného určení aktivitních koeficientů sloţek na hranici zrn se pro vyjádření tohoto členu

pouţívají vhodné modely.

Rozsah rovnováţné segregace příměsí do

hloubky od hranice je velice úzký: obvykle jsou

koncentrační změny v okolí hranice zrn

kumulovány do vzdálenosti 1–2 atomární

vzdálenosti od hranice. I to však způsobuje – při

vyšších koncentracích segregantů na hranicích

zrn – chemickou změnu povahy vazeb na hranici

zrn. Zejména v případě segregace metaloidů (P,

S, Sn, Bi, …) dochází ke vzniku silné směrové

vazby s kovalentním charakterem. Tím se

oslabují vazby mezi okolními matričními atomy a

při působení napětí – zejména při niţších

teplotách – dojde k lomu materiálu podél hranic

zrn. Kdyţ si uvědomíme, ţe hranice zrn

v polykrystalických materiálech tvoří souvislou

plošnou síť v celém výrobku, můţe tak dojít ke

kompletní degradaci celého materiálu. Příkladem

můţe být roztrţení rotoru turbíny elektrárny

Hinkley Point ve Velké Británii koncem 60. let

minulého století (obr. 4.47).

Podobně jako další vlastnosti hranic zrn je i segregace příměsí závislá na orientaci hranic

zrn. Například speciální (=3) koherentní dvojčatové hranice zrn ve slitině Cu–Bi neobsahují

ţádný vizmut, zatímco obecné hranice vykazují aţ 100%ní koncentraci příměsi. Na obrázku

4.48 je ukázáno, jak jednotlivé hranice zrn reagují na působení deformace: zatímco u

segregovaných obecných hranic došlo k lomu podél hranic zrn, deformují se nesegregované

dvojčatové hranice plasticky podobně jako okolní zrna.

Obr. 4.48. Deformace polykrystalu slitiny Cu–Bi in-situ v SEM.

(T. Watanabe, Res Mech. 11 (1984) 47.)

Obr. 4.47. Roztrţený a znovu sloţený rotor

turbíny (3Cr½Mo feritická ocel) z elektrárny

Hinkley Point (Velká Británie).

(D. Kalderon, Proc. Instn. Mech. Engrs. 186 (1972)

341.)

104

IV.4.7. Interakce hranic zrn s dislokacemi

Hranice zrn mohou interagovat i s čárovými poruchami – dislokacemi. Tato interakce je

však sloţitá a nelze ji jednoznačně charakterizovat. Hranice zrn je schopna určité dislokace

přijímat. K tomu dochází zejména v případě maloúhlových hranic zrn, tedy vlastně stěn

dislokací, při ţíhání materiálu. Při přijímání dislokací s Burgersovým vektorem téhoţ

znaménka dochází ke změně koncentrace dislokací v dislokační stěně a tedy ke změně úhlu

natočení obou sousedních zrn. Tak vlastně dochází k rotaci zrn: pokud stěna přijímá dislokace

takového typu, ţe dochází ke

zmenšování hustoty dislokací

ve stěně a tedy ke zmenšování

úhlu natočení mezi zrny,

můţe dojít i k „vyrovnání“

orientací obou sousedních zrn

a k vytvoření jednoho velkého

zrna. Tento proces byl

pozorován a je jedním

z mechanismů vzniku zárodků

nových zrn při polygonizaci.

Působením napětí se

dislokace pohybují

materiálem a mohou narazit

na hranici zrn. Hranice zrn

obecně představuje překáţku

pohybu dislokací, protoţe při

přechodu přes hranici dochází

většinou ke zlomu skluzové

roviny a změně směru skluzu.

Dislokace se tedy zastaví u

hranice zrn. Pokud přichází

další a další dislokace, vzniká

u hranice tzv. nahromadění

dislokací (angl. dislocation

pile-up). Napěťová pole

jednotlivých dislokací se sčítají a na hranici tak působí velké napětí. Při dosaţení dostatečně

velkého napětí se vytvoří ve druhém zrně dislokace, které se začnou pohybovat od hranice

(obr. 4.49).

IV.4.8. Pohyb hranic zrn

Podobně jako je dislokační čára určitým seskupením atomů, představuje atomární

seskupení i hranice zrn. Lze tedy očekávat, ţe i hranice zrn bude schopna se pohybovat.

V této kapitole se budeme zabývat mechanismem tohoto procesu za různých podmínek.

IV.4.8.1 Mechanismus migrace hranic zrn

Mechanismus pohybu (migrace) hranice zrn závisí na jejím typu. V případě jednoduché

maloúhlové sklonové hranice se pohyb uskutečňuje koordinovaným skluzovým pohybem

celého souboru dislokací a můţe k němu docházet při pouhém působení napětí. Jedná-li se o

sloţitější maloúhlové hranice, tvořené několika soustavami dislokací, je potřeba k pohybu jak

skluz tak šplhání, a proto dochází k takovému pohybu při vhodné tepelné aktivaci.

Obr. 4.49. Interakce dislokací s hranicí zrn ve slitině Fe–4at.%Si

znázorněná pomocí Bergovy–Barrettovy rentgenové difrakční

topografie. Výstupky na hranici nejsou strukturní, ale odráţejí

napětí vytvořené nahromaděním dislokací.

(M. Polcarová, J. Brádler, J. Gemperlová, A. Jacques, A. George, J.

Phys. D: Appl. Phys. 32 (1999) A109.)

105

Velkoúhlová hranice zrn však jiţ nemá

dislokační charakter a mechanismus jejího

pohybu je zcela odlišný. V tomto případě je

základním krokem migrace přeskok atomu

z uzlové polohy „pohlcovaného“ zrna do

uzlové polohy „rostoucího“ zrna. Situaci si

můţeme znázornit pomocí obrázku 4.50.

K tomuto pohybu potřebujeme dostatečnou

tepelnou aktivaci.

Otázkou však můţe být, jakým směrem

se hranice bude pohybovat. Směr migrace

hranice zrn je určován sniţováním celkové

volné energie systému. Bude-li např. hranice

zakřivená, bude docházet k migraci ve směru

do středu její křivosti. Představíme-li si

modelově hranici jako kouli umístěnou v

materiálu, pak bude při migraci pohlcováno

zrno uvnitř koule. V konečném výsledku

bude toto zrno pohlceno a hranice zrn

vymizí. Vzhledem k tomu, ţe hranice zrn

představuje nerovnováţnou krystalovou

poruchu (IV.4.5), dojde při tomto procesu

migrace ke sníţení energie systému o

nadbytečnou energii hranice zrn. V deformovaném materiálu se můţe hranice pohybovat tak,

aby při její migraci došlo k odstraňování deformační energie (tedy dislokací) apod.

IV.4.8.2 Pohyblivost hranice

Uvaţujme migraci hranice

v bikrystalu. Předpokládejme,

ţe atomy na rozhraní obu zrn

přeskakují z poloh jednoho

zrna do poloh druhého zrna.

Přitom musí překonat určitou

energetickou bariéru (obr.

4.51). Je-li frekvence přeskoků

z jedné polohy do druhé ,

vzdálenost obou poloh , a

energetická bariéra Gm

1

z polohy 1 do polohy 2 a Gm

2

z polohy 2 do polohy 1, bude

rychlost migrace hranice zrn

dána vztahem

Obr. 4.50. Migrace obecné velkoúhlové hranice

zrn. Jednotlivé atomy přeskakují z uzlových poloh

„pohlcovaného“ (pravého) zrna do uzlových

poloh „rostoucího“ (levého) zrna. Délka posunutí

je naznačena červenou šipkou.

G

G2

m

G1

m

2

1

E

x

Obr. 4.51. Energetické schéma přeskoku atomu z uzlové polohy

jednoho zrna do uzlové polohy druhého zrna.

106

RT

G

RT

Gv

mm

21

0expexp (4.60)

kde 0 je frekvence přeskoků při 0 K. Zavedením G = Gm

2 Gm

1 a pouţitím Taylorova

rozvoje pro výraz exp(x) = 1 – x/1! + x2/2! + x

3/3! + … při zanedbání členů s druhou a vyšší

mocninou dostaneme

RT

G

RT

Gv

m

1

0exp . (4.61)

Označíme-li

RTGM m

10exp jako pohyblivost hranice zrn, M, a

)/)(( 4 VGRTP m , kde V je objem, jako hybnou sílu migrace, P, můţeme v souladu

s teorií absolutních reakčních rychlostí psát

MPv . (4.62)

Tento vztah však beze zbytku platí pouze pro migraci čisté hranice zrn tedy hranice, která

se svým sloţením neliší od sloţení objemu materiálu. V kapitole IV.4.6. jsme si však ukázali,

ţe ve slitinách dochází k segregaci příměsí na hranicích zrn a ţe se tedy chemické sloţení

hranic zrn můţe výrazně lišit od sloţení objemu materiálu. Podobně jako u dislokací tak okolo

hranice vzniká atmosféra příměsí. Jestliţe se má hranice pohybovat, její vzdalování od

atmosféry příměsí vede ke zvýšení přitaţlivé síly mezi hranicí a atmosférou, která má

tendenci pohybovat se společně s hranicí. Protoţe se však hranice zrn pohybuje poměrně

rychle díky nepatrným posunům jednotlivých atomů z polohy uzlového bodu jednoho zrna do

uzlového bodu zrna druhého, ale atomy příměsí se musí pohybovat na dlouhou vzdálenost

difuzním pohybem, je tento pohyb mnohem pomalejší. Proto atmosféra příměsí brzdí pohyb

hranice.

Matematicky si můţeme tento brzdící vliv vyjádřit jako změnu hybné síly migrace hranic

zrn,

)(0

PPMv , (4.63)

kde P0 je brzdná síla atmosféry příměsí. Tato brzdná síla je závislá na koncentraci příměsí, ale

i na hybné síle migrace: jestliţe je totiţ hybná síla dostatečně vysoká, můţe se hranice

„utrhnout“ od atmosféry příměsí a bude se dál pohybovat jako čistá. Celou teorii vlivu

příměsí na migraci hranic zrn vypracoval Cahn a je moţné si ji kvalitativně vyloţit pomocí

obrázku 4.52. Je vidět, ţe při vyšší koncentraci příměsí (např. X3) a při dostatečně velké hybné

síle P přejde brţděný pohyb hranice skokem v nebrţděný (body 1,2) díky odtrţení hranice od

atmosféry příměsí a naopak při sniţování pohyblivosti bude pohyb hranice prudce zabrţděn

vytvořením atmosféry příměsí (body 3,4). Rychlost migrace hranice se přitom můţe měnit aţ

o několik řádů.

107

4

3

2

1

X3

X2

X1

X = 0

v

P

Obr. 4.52. Závislost rychlosti migrace v

velkoúhlové hranice zrn na hybné síle P pro různé

koncentrace tuhého roztoku X1 X2 X3.

108

IV.4.9. Fázová rozhraní

Fázová rozhraní představují další typ plošné poruchy. Jestliţe se v případě hranic zrn

jednalo o rozhraní mezi dvěma krystaly téhoţ sloţení, typu a parametrů struktury, které se liší

pouze krystalovou orientací, je fázové rozhraní rozhraním mezi dvěma krystaly odlišného

sloţení. Orientace obou krystalů se mohou nebo nemusí lišit, mohou se však lišit i krystalové

struktury a mříţkové parametry.

Podle návaznosti krystalů v rovině rozhraní lze dělit rozhraní na koherentní,

semikoherentní a nekoherentní. Schematicky jsou tato rozhraní naznačena na obrázku. U

koherentního rozhraní je souvislost krystalů oddělených hranicí plně zachována. Při různosti

mříţkových parametrů je rozsah koherentního rozhraní omezen napětím, které vyvolává

distorze nezbytné k jejich návaznosti. Při překročení mezního napětí, které závisí na

součiniteli mříţkové neshody = |a1 – a2|/a2, se koherence částečně nebo úplně poruší.

V prvním případě se napětí v hranici sníţí soustavou dislokací a vznikne semikoherentní

rozhraní. Druhý případ odpovídá obecnému nekoherentnímu rozhraní. Podobně jako hranice

zrn můţe i fázové rozhraní slouţit jako místo akumulace (segregace) příměsí nebo se

pohybovat (v procesu růstu jedné z fází).

(a)

a2

a1

(b)

a2

a1

(c)

a2

a1

(d)

a2

a1

Obr. 4.53. Schéma rozhraní různých typů: koherentní (a), (b),

semikoherentní (c) a nekoherentní (d).

IV.4.10. Povrch

Povrch je rozhraním dvou zcela rozdílných prostředí, tedy rozhraní buď mezi pevnou fází

(kovovým materiálem) a plynnou, kapalnou či pevnou fází (okolní prostředí), nebo mezi

kapalnou fází (taveninou) a plynným prostředím. V dalším se budeme zabývat jen pevným

povrchem.

Protoţe okolní prostředí má zcela odlišnou strukturu, dochází na rozhraní ke skokové

změně symetrie sil. To je především důsledkem toho, ţe počet meziatomových vazeb je u

povrchových atomů niţší díky chybějícím vazbám z povrchu do okolí. Proto dochází na

povrchu k následujícím jevům: relaxace povrchu (liší se mezirovinné vzdálenosti stejných

krystalových rovin u povrchu a v objemu materiálu – obr. 4.54a), rekonstrukce povrchu

(odlišné uspořádání atomů na povrchu – obr. 4.54b), nerovinnost povrchové vrstvy (vznikají

stabilní mikroplošky), vznik silového pole v důsledku neúplného nasycení povrchových vazeb

(vede k hromadění molekul na povrchu – adsorpci).

109

Obr. 4.54. Schématické znázornění relaxace povrchu (a) a rekonstrukce povrchu (b).

Podmínkou pro vznik stabilního povrchu je rovnováha mezi objemovou a povrchovou

energií:

0 sv dGdGdG

(4.64)

kde Gv představuje objemovou energii a Gs povrchovou energii.

Díky odlišné atomární struktuře odlišné od objemu krystalu má i povrch vyšší Gibbsovu

energii. Ta – stejně jako u hranic zrn – má tendenci se sniţovat díky nejrůznějším interakcím,

např. interakci s cizími atomy. Nejčastějším příkladem interakce povrchu s okolním

prostředím je adsorpce atomů či molekul plynu na povrchu. Rozlišují se dva případy

adsorpce: fyzikální adsorpce s vyuţitím slabších nevazebných (van der Waalsových) sil, ke

které dochází převáţně při niţších teplotách, a chemisorpce, kde jsou molekuly na povrchu

vázány chemickou vazbou. Jednovrstvá fyzikální adsorpce se popisuje např. Langmuirovou

adsorpční izotermou která je obdobná rovnici (4.59). Často však dochází i k vícevrstvé

adsorpci. Při ní se uplatňují následující jevy: vytvoření jedné vrstvy adsorbátu, vytvoření více

vrstev, inkorporace (pronikání) částic do povrchové vrstvy nebo pronikání částic do větších

hloubek – absorpce.

Při růstu vrstev na povrchu se

uplatňují tyto mechanismy (obr.

4.55): Volmerův-Weberův

mechanismus (tvorba ostrůvků

tvořených více vrstvami), Frankův-

van der Mervův mechanismus

(postupná tvorba monovrstev) nebo

Stranskiho-Krastanova proces

(nejprve se vytvoří jedna úplná

monovrstva a pak se tvoří

vícevrstevné ostrůvky).

Kromě výše uvedené adsorpce atomů či molekul z okolního prostředí můţe docházet i

k vnitřní adsorpci atomů z objemu krystalu na jeho povrch. Podobně jako v případě hranic zrn

se i zde hovoří o segregaci příměsí na povrchu a její termodynamický a kinetický popis je

obdobný popisu segregace příměsí na hranicích zrn (např. Langmuirova–McLeanova

Obr. 4.55. Mechanismy růstu vrstev na povrchu: a)

Volmerův–Weberův, b) Frankův–van der Mervův, c)

Stranskiho–Krastanova.

110

segregační izoterma, rov. (4.59)). Na rozdíl od segregace příměsí na hranicích zrn, která má

většinou negativní vliv na vlastnosti materiálu, můţe mít segregace na povrchu i výhodné

vlastnosti např. pro katalýzu, protikorozní ochranu a podobně.

111

V. PROJEVY EXISTENCE KRYSTALOVÝCH PORUCH

V předchozích částech jsme se zabývali uspořádáním atomů v krystalových

strukturách kovových materiálů a poruchami v tomto uspořádání. Jaký je však význam

krystalových poruch pro vlastnosti materiálů? Můţe chybějící či nadbytečný atom v krystalu,

který obsahuje obrovské mnoţství jiných atomů nějak ovlivnit chování materiálu? K čemu

jsou dislokace? A hranice zrn? Jaký je vlastně vztah mezi strukturou a vlastnostmi materiálů,

proklamovaný v úvodu? V případě dislokací jsme si jiţ trochu naznačili, ţe existuje vztah

mezi jejich přítomností a plastickou deformací materiálu, o hranicích zrn také víme, ţe mohou

způsobit snadný křehký lom polykrystalu a degradaci materiálu. V této kapitole se tedy

budeme věnovat projevům existence krystalových poruch v chování materiálů.

V.1. Difuze

V části IV.2.3. jsme si ukázali, ţe se jednotlivé bodové poruchy mohou pohybovat

v krystalu. K takovým pohybům dochází s vyšší či niţší frekvencí neustále avšak statisticky

náhodně, takţe v rovnováze se tyto pohyby neprojevují ţádnými změnami koncentrací.

Jestliţe však v materiálu existuje gradient chemického potenciálu, stane se pohyb bodových

poruch působením tohoto gradientu usměrněný a dochází k makroskopickému toku bodových

poruch tak, aby se vyrovnaly chemické potenciály v celém vzorku. Makroskopický tok atomů

jedné sloţky v materiálu, který lze pozorovat pomocí změn jeho koncentrací, nazýváme

difuze.

Difuze má v pevných látkách velký význam. Difuzí se totiţ umoţní přerozdělení atomů

jednotlivých sloţek tak, aby došlo k rovnováţnému stavu: buď se zhomogenizuje tuhý roztok,

dojde k uspořádání v případě uspořádaných tuhých roztoků, nebo dojde ke vzniku nové fáze.

Difuzí se přemístí atomy příměsí a nečistot k hranicím zrn nebo dislokacím a brţdění pohybu

poruch je limitováno difuzním pohybem segregovaných atomů v krystalu. Dalšími

významnými vlastnostmi, které jsou zaloţeny na difuzi atomů, je oxidace, vznik ochranných

povrchových vrstev, plastická deformace při vysokých teplotách (tečení materiálu),

superplasticita a zejména prášková metalurgie.

Základním mechanismem difuze je evidentně přeskok sledovaného atomu z jednoho

uzlového bodu do druhého nebo z jedné intersticiální polohy do druhé. Při přeskoku mezi

uzlovými body dochází k výměně polohy atomu příměsi buď s atomem základního kovu,

nebo s vakancí.

112

V.1.1. Kvantitativní popis difuze

Pro kvantitativní popis difuze si představme tenkou tyč o jednotkovém průřezu, schematicky

ukázanou na obrázku 5.1. Zvolme si

dvě sousední plochy, (n) a (n+1),

kolmé na osu tyče. Předpokládejme, ţe

gradient chemického potenciálu

můţeme reprezentovat proměnnou

objemovou koncentrací příměsi (počet

atomů v jednotkovém objemu), C.

Předpokládejme, ţe C se mění jen ve

směru osy tyče a je větší v poloze

(n+1) v porovnání s polohou (n),

přitom koncentrační rozdíl mezi

plochami (n) a (n+1) je nekonečně

malý. Dále budeme uvaţovat, ţe

frekvence náhodných přeskoků jednotlivých atomů je při konstantní koncentraci konstantní

a ţe délka skoku b (vzdálenost mezi zvolenými plochami (n) a (n+1)) je rovněţ konstantní.

Je-li koncentrace atomů I v ploše (n) rovna C(n) a v ploše (n+1) rovna C(n+1) (C(n) < C(n+1)),

jsou odpovídající počty atomů I v těchto rovinách N(n) = bC(n) a N(n+1) = bC(n+1). V malém

časovém intervalu t je počet atomů, které opustí plochu (n) do ploch (n–1) a (n+1) roven

N(n)t. V průměru připadá na kaţdý směr přeskoků polovina skoků, takţe počet atomů,

přecházejících z roviny (n) do roviny (n+1), je ½N(n)t. Podobně počet přeskoků z roviny

(n+1) do roviny (n) je ½N(n+1)t. Tok atomů J – mnoţství atomů, které procházejí mezi

plochami (n) a (n+1) za jednotku času – je dán výrazem

)(2

1)(

2

1)1()()1()(

nnnn

CCbNNJ . (5.1)

Jestliţe bx

CCC

nn

)1()(, dostaneme

x

CDJ

. (5.2)

Rov. (5.2) vyjadřuje tzv. první Fickův zákon a D = ½b2 je koeficient difuze.

První Fickův zákon popisuje stacionární tok atomů příměsí materiálem. Difuze však můţe

být časově proměnná, tedy nestacionární. Uvaţujme tok mezi dvěma rovinami, které nejsou

sousedními, ale jsou vzdálenější, jejich vzdálenost označme l. Přes větší vzdálenost však

budeme stále předpokládat, ţe l je dostatečně malé na to, abychom rozdíl v koncentraci podél

l mohli povaţovat za nekonečně malou. Je-li koncentrace v první rovině C, je koncentrace

v druhé rovině x

ClC

. Difuzní tok první rovinou je dán výrazem

... ...

......

b

C(n)

n+1

C(n+1)

n

x

Obr. 5.1. Uspořádání tyčového vzorku pro odvození

popisu difuze atomů příměsí.

113

x

CDJ

, (5.3a)

difuzní tok druhou rovinou je

x

x

CD

lx

CD

xJlJ

.

(5.3b)

Rychlost hromadění difundujících atomů v objemovém elementu je daná rozdílem těchto

dvou toků, takţe

x

x

CD

lxJl

.

(5.3c)

Tato rychlost se musí rovnat tCl , protoţe v průběhu procesu se neztrácejí ani nezískávají

ţádné atomy. Tak dostaneme druhý Fickův zákon

x

CD

xt

C. (5.4)

Je-li D konstantní podél tyče, platí vztah

2

2

x

CD

t

C

. (5.5)

Zobecnění na trojrozměrný případ je jednoduché a rov. (5.5) přechází na

z

CD

zy

CD

yx

CD

xt

Czyx

, (5.6)

kde Dx, Dy, Dz jsou koeficienty difuze podél os x, y, z. V kubických krystalech je koeficient

difuze izotropní, takţe Dx = Dy = Dz, ale v jiných případech nemusí tento vztah platit.

Řešení rov. (5.5) lze aplikovat na konkrétní případy. V případě, ţe dvě sousední oblasti

jsou dostatečně rozsáhlé (tj. během difuze nedochází ke změnám koncentrace na jejich

vzdálenějších koncích) má řešení rov. (5.5) tvar

yy

CxtC

Dt

x

dexp2

12

),(2

0

20

, (5.7)

kde C(t,x) je koncentrace v čase t ve vzdálenosti x od rozhraní, a C0 počáteční koncentrace.

114

Výraz Dt má v teorii difuze velký význam, protoţe umoţňuje určit střední dráhu, kterou

vykoná daný atom od své počáteční polohy v důsledku náhodné migrace. Z toho lze určit

vzdálenost, podél které se můţe koncentrace materiálu výrazně měnit v průběhu difuzního

ţíhání. Lze ji tedy pouţít i jako hrubý odhad doby ţíhání potřebné k dosaţení nového

rozdělení rozpuštěné sloţky, Dxt /2 .

Jak bylo uvedeno výše, D = ½b2. Obdobně rov. (4.13) je frekvence přeskoků

difundujících atomů úměrná počtu kmitů atomů v jednotce času, které mají ţádoucí směr, a

pravděpodobnosti, ţe atom má dostatečnou aktivační energii na překonání energetické bariéry

pro svůj pohyb. Veličina je pak dána přibliţně výrazem

kT

Gxexp

3

1 , (5.8)

kde faktor 1/3 se objevuje proto, ţe skoky atomů jsou stejně pravděpodobné ve všech třech

směrech. Pro koeficient difuze pak dostaneme

kT

GbD

xexp

6

1 2 . (5.9)

Obvykle se teplotní závislost difuzního koeficientu udává jako

kT

HDD exp

0, (5.10)

kde H je aktivační entalpie difuze a D0 je předexponenciální faktor. Porovnáním rov. (5.9) a

(5.10) dostaneme

k

SbD

xexp

6

1 2

0 , (5.11)

kde S je aktivační entropie difuze.

V.1.2. Mechanismus difuze

K difuzi příměsí v kovech můţe docházet pomocí různých atomárních mechanismů, které

závisí na poloze difundujících atomů. Rozeznáváme tři základní difuzní mechanismy, které

jsou zaloţeny:

na migraci vakancí,

na migraci intersticiálů, a

na výměně míst atomů v uzlových bodech.

Jednotlivé mechanismy jsou schematicky ukázány na obrázku 5.2.

Výpočty bylo prokázáno, ţe energeticky nejvýhodnější je difuze vakančním

mechanismem, při kterém si vyměňuje polohu substituční příměs s vakancí (obr. 5.2(a)). Při

pohybu intersticiálu jiţ dochází k „stlačování“ okolních atomů a zvýšení odpudivých sil mezi

atomy. Ještě větší difuzní bariéra však existuje pro výměnné mechanismy substitučních atomů

(obr. 5.2(c),(d))

115

(a)

(b)

(c)

(d)

Obr. 5.2. Mechanismy difuze: vakanční mechanismus (a), intersticiální mechanismus (b),

jednoduchá výměna dvou atomů (c), kruhová výměna čtyř atomů (c).

.

V.1.3. Korelační jevy

V kapitole V.1.1. jsme při odvozování základních vztahů pro migraci předpokládali, ţe

pravděpodobnost přeskoku atomu do různých sousedních poloh nezávisí na směru

předchozího přeskoku. Ve skutečnosti jsou ale po sobě jdoucí přeskoky vzájemně vázány

korelační závislostí, takţe atomy se nepohybují náhodně, ale provádějí korelované přeskoky.

Ke korelačnímu jevu dochází vţdy, kdyţ je třeba k uskutečnění pohybu potřeba sousedství

krystalové poruchy, jako např. při vakančním mechanismu difuze. Korelace vznikají také

tehdy, kdyţ struktura nemá kubickou symetrii sousedních poloh atomů.

Pro vysvětlení tohoto jevu uvaţujme samodifuzi (difuzi vlastních atomů čistého kovu)

vakančním mechanismem v kubické struktuře. Za těchto podmínek nemůţe ţádný atom

přeskočit, pokud v jeho sousedství není vakance. Chybí-li hybná síla, migrují vakance ze

zdrojů, jako jsou volný povrch, hranice zrn či dislokace, náhodně. Je tedy stejně

pravděpodobné, ţe se vakance přiblíţí k danému atomu z kteréhokoli směru. První přeskok

atomu do vakance je tedy náhodný. Ihned po prvním přeskoku však vakance zaujme původní

polohu přemístěného atomu. Z hlediska přemístěného atomu je tak nejpravděpodobnější

zpětný přeskok do původní polohy. Druhý přeskok tedy není náhodný, protoţe jeho

pravděpodobnost není stejná vzhledem ke všem sousedním polohám.

V důsledku korelačních jevů bude hodnota difuzního koeficientu vypočtená na základě

náhodných přeskoků vyšší neţ experimentálně změřená hodnota. Poměr obou hodnot kf se

nazývá korelační faktor. Při korelovaných přeskocích je kf 1, při náhodných přeskocích

116

bude kf = 1. Přesný výpočet kf je sloţitý, ale odhad jeho přibliţné hodnoty pro samodifuzi,

který vychází z toho, ţe kdyţ atom vykoná zpětný přeskok do vakance, udělal v okolí Z

nejbliţších sousedů dva neefektivní přeskoky, bude

ZZ

Zk

f

21

2

(5.12)

Podle tohoto odhadu bude hodnota korelačního faktoru kf = 0,83 pro fcc strukturu a kf =

0,75 pro bcc strukturu. Přesnější výpočty, uvaţující i nenulovou pravděpodobnost třetí

výměny s kterýmkoli ze Z ostatních atomů udávají poněkud niţší hodnoty kf.

S přihlédnutím ke korelačním jevům je tak třeba upravit vztah pro difuzní koeficient

v rov. (5.9) na

kT

GbkD

xfexp

6

1 2* . (5.13)

D je koeficient samodifuze, který určíme při malých gradientech koncentrace

(radioaktivních) izotopů, kdyţ nepůsobí ţádné hybné síly.

V případě binárních slitin A–B je situace poněkud komplikovanější, neboť atomy

druhé sloţky B mohou vytvářet vakance či relativně stabilní spojení s vakancemi. V takovém

případě musíme rozlišovat tři druhy frekvence přeskoků vakancí (obr. 5.3):

AA pro výměnu místa s atomem základního kovu A, který není sousedem atomu B,

takţe dojde k oddělení vakance od atomu B,

AB pro výměnu místa s atomem základního kovu A, který je sousedem atomu B, a

B pro výměnu místa s atomem B.

Pak můţeme vyjádřit korelační faktor sloţky B jako

AABAB

AAAB

fBk

2

7

2

7

. (5.14)

Je-li B AB nebo B AB, bude hodnota kf nízká.

Je-li naopak B AB nebo AA, je kf blízké jedné, ale

celkovým výsledkem je opět sníţení koeficientu DB

proti D

A. Frekvence přeskoků vakancí ve slitinách

závisí na relativní valenci a relativní velikosti atomů a

mění se v širokém rozmezí hodnot. Např. při difuzi

různých prvků vakančním mechanismem ve stříbře se

poměr DX/D

Ag pohybuje od 0,01 do10.

3

3

3

2

1

1

A

A

AA

A

B

V

Obr. 5.3. Druhy moţných přeskoků

vakance v rovině (111) fcc mříţky (A

– atom základního kovu, B – atom

příměsi, V – vakance).

117

V.1.4. Vliv krystalových poruch na difuzi

Difuze je silně závislá na přítomnosti všech

krystalových poruch – všechny její druhy totiţ

difuzi urychlují. V případě zvýšené koncentrace

vakancí je toto tvrzení evidentní – zvyšuje se

frekvence přeskoků jednotlivých atomů do

vakantních poloh. Obecně platí, ţe koeficient

difuze roste přímo úměrně s koncentrací vakancí.

Ta můţe být zvýšena i nad rovnováţnou hodnotu

(viz část IV.2.5). V případě vysokých koncentrací

vakancí však mohou vznikat i komplexy vakancí –

divakance, trivakance, atd. – které významně

urychlují difuzi, neboť jejich rychlost migrace je

vyšší neţ u monovakancí.

Více neţ vakance však urychlují difuzi

dislokace a hranice zrn. Toto urychlení si můţeme

ukázat na základě teorie náhodných přeskoků.

Jestliţe xi je velikost sloţky vektoru

odpovídajícího i–tému přeskoku atomu (obr. 5.4),

potom po n přeskocích je velikost sloţky Xn

výsledného polohového vektoru atomu rovna

n

iin

xX1

, (5.15)

odkud

1

1 11

22 2n

i

n

ijji

n

iin

xxxX . (5.16)

Uvaţujeme-li velký počet náhodných přeskoků bude pravděpodobnost přeskoku ve

směrech +x a –x stejná a součet členů xixj se blíţí nule. Pak pro střední kvadratické přemístění

atomů můţeme psát

n

iin

xX1

22 . (5.17)

Mohou-li atomy přeskakovat do omezeného počtu Z sousedních poloh, bude

Z

iiin

xnX1

22 , (5.18)

kde ni je počet přeskoků do i–té sousední polohy. Protoţe danému i odpovídá pouze určitá

velikost xi, můţeme psát iiii

xnxn 22 a také definovat frekvenci přeskoku do i–té sousední

polohy /ii

n , kde je doba potřebná pro n přeskoků. Pak

Xn

xn

Rn

rn

r3

r2

r1

y

x

Obr. 5.4. Vektory ri jednotlivých přeskoků

atomů v rovině xy krystalové mříţky a

výsledné přemístění Rn po n přeskocích (xn

a Xn jsou sloţky vektorů rn a Rn.

118

i

Z

iinxX 2

1

2

. (5.19)

U čistých kovů je i = 0 konstantní. xi si můţeme – v případě, ţe je rovnoběţný s určitou

krystalografickou osou – vyjádřit pomocí mříţkového parametru. Např. v k.pl.c. struktuře na

obrázku 5.4 je xi = a/2. Z = 12, ale 4 směry přeskoků mají nulovou sloţku ve směru x, takţe

4/)412( 22

1

axi

Z

i

. Po dosazení do rov. (5.19) dostaneme

DaXn

420

22 . (5.20)

Předpokládejme nyní, ţe z n přeskoků, které atom udělá za čas , je jich nm

v neporušeném krystalu a nd podél dislokační čáry resp. hranice zrn. Pro střední kvadratické

přemístění můţeme psát

222 )()( xxnnXddmmdmn

, (5.21)

po zavedení odpovídajících frekvencí přeskoků a doby difuze v krysatlu a podél poruchy.

Dělíme-li obě strany rov. (5.21) celkovou dobou difuze, dostaneme

22

2

xxX

d

d

m

mn

.

(5.22)

Jestliţe označíme poměrnou dobu difuze d/ = a je-li m = – d, je m/ = 1 . Pak

můţeme psát

dmDDD )1( , (5.23)

kde Dm a Dd jsou koeficienty difuze v objemu a podél krystalových poruch.

Poměrná doba , po níţ se atomy pohybují podél poruch, se rovná poměrnému počtu

uzlových bodů příslušejících jádru poruchy. V případě dislokací se jedná o počet uzlových

bodů v jádru dislokací, jejichţ hustota je , takţe

r

j

N

N , (5.24)

kde Nj a Nr jsou počty uzlových bodů jádra jedné dislokace v rovině kolmé k dislokační čáře

(Nj 10) a na plošné jednotce atomové roviny kolmé k dislokační čáře (Nj 1019

m2

). Je-li

ve vyţíhaném monokrystalu hustota dislokací řádově 1011

m2

, dostaneme 107

. Tato

hodnota je tedy velice malá a proto můţeme rov. (5.23) přepsat jako

119

m

d

mD

D

D

D 1 . (5.25)

Abychom tedy mohli určit příspěvek dislokací k celkové difuzivitě D materiálu, musíme

stanovit Dd a Dm. Jak ukazuje tabulka 5.1, je vliv difuze podél dislokací na urychlení difuze

silně teplotně závislý. Podobně to platí i pro vliv jiných krystalových poruch na celkovou

difuzivitu v systému. Urychlení samodifuze poruchami je významné při teplotách niţších neţ

0,6 Tt. Proto je nesprávné vycházet z hodnot naměřených při vysokých teplotách, kdy je Dd

D a extrapolovat je do niţších teplot.

Tabulka 5.1. Urychlení samodifuze dislokacemi v Ag.

T (K) T/Tt Dd/Dm

763 0,7 0,08

738 0,6 0,9

618 0,5 27

493 0,4 4500

V případě hranic zrn lze urychlení samodifuze popsat podobně, jako v případě dislokací.

V tomto případě pouţijeme pro výraz

rz

h

r

h

VNd

N

N

NS

2 , (5.26)

kde SV je celková plocha hranic zrn v jednotce objemu a dz velikost zrna.

Vliv teploty na urychlení difuze hranicemi

zrn je ukázán na obrázku 5.5. Z obrázku

vyplývá, ţe aktivační energie objemové

samodifuze je vyšší neţ aktivační energie

samodifuze podél poruch, přitom platí Qm ( Q)

Qd Qh Qp (index p označuje volný

povrch). Výsledná hodnota aktivační energie

difuze Q tedy v polykrystalu leţí mezi těmito

veličinami. Je třeba si uvědomit, ţe fyzikální

význam hodnoty aktivační energie difuze

v polykrystalu je kombinace aktivačních energií

samodifuze podél jednotlivých poruch

krystalové struktury.

Jednotlivé defekty vlastně slouţí jako

kanály rychlé difuze (angl. pipe diffusion) a

zajišťují rychlý přísun atomů k precipitátům

apod. Ještě rychlejší difuze pak probíhá na

volném povrchu. Hodnota aktivační energie po

volném povrchu je zhruba poloviční

v porovnání s hranicemi zrn.

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

-16

-14

-12

-10

-8

D (Q = 111)

Dm (Q

m = 193)

Dh (Q

h = 85)

Dp (Q

p = 43)

ln

D (

m2/s

)

103/T (K

1)

Obr. 5.5. Teplotní závislost koeficientu

difuze ve stříbře: Dm – monokrystal, D –

polykrystal, Dh – hranice zrn, Dp – volný

povrch. Aktivační energie difuze jsou uvedeny

v kJ/mol.

120

V.1.5. Difuze v binární soustavě

Představme si dva krystaly různých čistých kovů (difuzní článek) v dokonalém styku.

V místě styku budou skokové rozdíly v koncentraci jednotlivých sloţek a tedy i jejich

chemických potenciálů. Aby došlo k jejich vyrovnání, budou jednotlivé sloţky difundovat

přes popsané rozhraní. V nejjednodušším přiblíţení si můţeme představit, ţe tok jedné sloţky

materiálem představujícím binární tuhý roztok, bude vyrovnán opačným tokem sloţky druhé,

tedy JA = JB. Příčný průřez, kterým jsou v opačných směrech přenesena stejná mnoţství

difundujících prvků, se nazývá Matanovým rozhraním. To je v uvedeném případě samozřejmě

shodné s původním rozhraním, poloha Matanova rozhraní se tedy nepohybuje (obr. 5.6a).

Předpokladem uvedeného případu je však to, ţe vakance jsou v termodynamické

rovnováze a ţe tedy nedochází k jejich toku přes rozhraní (JV = 0). Není-li splněna tato

podmínka a přes rozhraní existuje tok vakancí, dochází i k pohybu rozhraní, definované jako

rovina, kterou bylo přeneseno stejné mnoţství difundujících prvků v obou směrech. Tento děj

se nazývá Kirkendallův jev a pohybující s rozhraní se nazývá Kirkendallovo rozhraní (obr.

5.6b). Z nerovnosti toků přes rozhraní evidentně vyplývá i nerovnost difuzních koeficientů

obou difundujících sloţek, DA DB.

Abychom vyjádřili 1. Fickův zákon, budeme předpokládat, ţe

koncentrace vakancí se nemění (coţ neznamená, ţe nedochází k jejich toku!),

toky sloţek se vzájemně neovlivňují, a

soustava se chová jako ideální.

Za těchto předpokladů lze odvodit

x

XDJ

A

AA

(5.27a)

a

x

XDJ

B

BB

. (5.27b)

Difuzní koeficienty DA a DB se určí z Darkenových vztahů

BAABDXDXD (5.28)

a

x

XDDv

B

BRK

ln)(

.., (5.29)

kde D je celkový koeficient difuze a vK.R. je rychlost pohybu Kirkendallova rozhraní.

Nechová-li se soustava ideálně, je třeba zpřesnit vztahy (5.28) a (5.29) pro transformované

difuzní toky sloţek A a B: Do jednotlivých vztahů je totiţ třeba zavést termodynamický faktor

)ln/ln( AA Xa , např.

x

X

X

aDJ A

A

AAA

ln

ln. (5.30)

121

V.2. Deformace kovů a slitin

Jednou z nejdůleţitějších charakteristik kovových materiálů je jejich pevnost. Pod tímto

pojmem rozumíme sílu, kterou je nutno vynaloţit, abychom těleso deformovali a změnili jeho

tvar. Přitom rozlišujeme, jestli se tvar mění jen při aplikaci napětí a pak se vrací do původního

tvaru (elastická deformace), deformuje se trvale (plastická deformace) nebo dochází

k separaci materiálu na dva či více kusů (lom).

V.2.1. Elastická deformace

Jestliţe působí na krystal malá síla, dochází k vychylování atomů z rovnováţných

uzlových bodů ve směru působení síly. Přitom však nedochází k trvalým změnám vazebného

stavu jednotlivých atomů. Takovou deformaci si můţeme představit schematicky podle

obrázku 4.4.

Síla natahující „drát“ o průřezu S0 ve směru jeho osy způsobí prodlouţení a současně

zúţení drátu. Jestliţe se nemění teplota a působí malé napětí, bude se materiál deformovat

elasticky. Poměrné prodlouţení drátu e

0

0

0l

ll

l

le

(5.31)

udává relativní změnu délky drátu z původní hodnoty l0 na hodnotu l za působení síly F. Mezi

poměrným prodlouţením e a napětím v tahu

0S

F

(5.32)

platí v tomto případě přímá úměrnost

E

e1

, (5.33)

kde E je Youngův modul pruţnosti. Rovnice (5.33) je matematický zápis Hookova zákona.

V obecném případě můţeme napěťový stav tělesa vzhledem k pravoúhlé soustavě

souřadnic definovat tenzorem napětí (viz část IV.3.6.). Analogicky deformační stav tělesa

můţeme charakterizovat tenzorem deformací . Vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem

malých deformací – zobecněný Hookův zákon – je pak moţno vyjádřit ve tvaru

klijklijC , (5.34)

kde veličiny Cijkl jsou sloţky tenzoru čtvrtého řádu a nazývají se elastické koeficienty. Tyto

koeficienty jsou závislé na fyzikálních vlastnostech daného materiálu. Z uvedených vztahů

vyplývá, ţe jakmile přestane napětí působit, materiál se vrací do původního tvaru.

122

V.2.2. Plastická deformace monokrystalů

Působením dostatečně velkého zatíţení dochází k plastické deformaci. Při takové

deformaci dochází k trvalým změnám ve struktuře materiálu, které zůstávají v materiálu i po

ukončení působení deformující síly a mají za následek i trvalou změnu tvaru vzorku.

V.2.2.1 Geometrie plastické deformace

Plastická deformace kovových materiálů se vyznačuje – kromě makroskopické změny

tvaru – řadou typických rysů. Krystalová

struktura materiálu se při deformaci nemění,

ale mění se postupně orientace monokrystalu

resp. jednotlivých zrn v polykrystalu

vzhledem ke směru namáhání. Na původně

hladkém povrchu zkušebního vzorku se po

deformaci objevují stupně, které lze

pozorovat i pouhým okem. Při podrobnějším

pozorování zjistíme, ţe se jedná o jednotlivé

čáry, které se nazývají skluzové čáry. Jejich

hustota závisí na stupni deformace.

Experimentálně bylo ověřeno, ţe

skluzové čáry jsou stopy rovin, na kterých

dochází k posuvu dvou částí krystalu (obr.

5.7). Plastická deformace probíhá tak, ţe se

části krystalu posunují vůči sobě podél

určitých krystalografických rovin tak, ţe se

posunou atomy o celý počet meziatomových

vzdáleností. Je zcela evidentní, ţe se v tomto

případě jedná a posuny jednotlivými

dislokacemi skluzem ve skluzových

rovinách.

K plastické deformaci můţe dojít i jiným

způsobem, tzv. mechanickým dvojčatěním.

Při dvojčatění nedojde ke skluzu dislokací,

ale dvě části krystalu se posunou tak, ţe jsou

vůči sobě podél určité roviny v zrcadlové

symetrii. Tato rovina se nazývá rovina

dvojčatění a při takové deformaci se atomy

v kaţdé jednotlivé rovině přemístí o stejnou vzdálenost vůči atomům v sousedních rovinách:

toto posunutí je vţdy menší neţ atomární vzdálenost.

V.2.2.2 Skluzové napětí

Má-li dojít ke skluzu, nebude přímo záleţet na síle F působící na vzorek, ale rozhodující

bude napětí (smykové nebo skluzové napětí), které způsobí posunutí atomových rovin ve

směru skluzu, tedy skluzový pohyb dislokací v určitém skluzovém systému. Ukaţme si jejich

vztah na jednoduchém příkladu. Uvaţujme válcový monokrystal s jedním systémem

skluzových rovin, na který ve směru osy válce působí síla F (obr. 5.8). Je-li velikost průřezu

vzorku S, pak na vzorek (ve směru osy a na rovinu kolmou k ose vzorku) působí napětí

l0

(a)

F

F

l

(b)

F

F

Obr. 5.7. Vzájemné posunutí částí krystalu podél

krystalografických rovin. Původní stav vzorku o

délce l0 (a), stav téhoţ vzorku po deformaci (b).

Délka vzorku se posuvy části vůči sobě

prodlouţila na l.

123

S

F . (5.35)

j

a

on

F

F

Obr. 5.8. K odvození skluzového napětí.

Skluzová rovina je vyznačena červeně. Směr

působící síly je totoţný s osou vzorku.

Skluzová rovina, jejíţ normála n svírá s osou úhel j, má plochu S1 = S/sin, kde = 90°

j.

Úhel je úhel mezi osou vzorku a jejím průmětem do skluzové roviny. Působící napětí na

skluzovou rovinu 1 je

sin

1

1

S

F.

(5.36)

Toto napětí má dvě sloţky,

normálové napětí kolmé na skluzovou rovinu, sin1n

, které působí na oddělení

atomů ve směru normály skluzové roviny, a

smykové napětí leţící ve skluzové rovině ve směru o, cos1s

, které způsobuje

posunutí atomů vůči sobě ve skluzové rovině a které je pro skluz rozhodující.

Skluz sice nastává ve skluzové rovině, ale ve směru skluzu, který je obecně odlišný od

směru o. Rozhodujícím bude napětí ve směru skluzu. Toto napětí se označuje jako skluzové

napětí a určí se jako

coscossin , (5.37)

kde úhel je úhel mezi směrem skluzu a a směrem o. Svírají-li tyto směry úhel , pak

můţeme psát

124

cossin , (5.38)

kde cossin je orientační nebo Schmidův faktor. Aby skluz mohl nastat, musí skluzové

napětí dosáhnout alespoň jisté minimální hodnoty. Skluz tedy nastane v daném skluzovém

systému, kdyţ skluzové napětí dosáhne určité kritické hodnoty. Přitom tato hodnota nezávisí

na velikosti tahového napětí . Toto tvrzení se nazývá zákon kritického skluzového napětí,

nebo také Schmidův zákon. Prakticky to znamená, ţe se monokrystal začne plasticky

deformovat při různém napětí podle své krystalografické orientace vůči ose namáhání.

Odpovídající skluzové napětí 0 však bude pro všechny monokrystaly stejné.

V.2.2.3 Křivka zpevnění

Podobně jako v případě napětí, kde bylo zavedeno skluzové napětí přímo vztaţené ke

skluzovému systému, je potřeba i v případě deformace zavést posunutí, které se k tomuto

systému vztahuje. Zavádí se proto skluz

h

sa , (5.39)

kde s značí vzájemné posunutí dvou skluzových rovin, jejichţ kolmá vzdálenost je h.

Představme si monokrystal ve tvaru válce, který deformujeme tahem. Pozorujeme sice, ţe

se vzorek prodluţuje, ale současně se zmenšuje jeho průřez. Ve vzorku dochází k posouvání a

natáčení skluzových rovin vůči ose namáhání: Úhel se zmenšuje a mění se i úhel .

V průběhu pokračující deformace se mění délka deformovaného vzorku. Směr působící síly F

zůstává zachován, ale v důsledku natáčení se mění orientační faktor a podle rov. (5.38) i

skluzové napětí. Výsledky získané v tahové zkoušce se proto lépe popisují vzájemným

vztahem mezi veličinami a a, tj. )(a . Takovou závislost nazýváme křivkou zpevnění.

Typické křivky zpevnění pro fcc a hcp monokrystaly jsou ukázány na obrázku 5.9. Na

těchto křivkách můţeme zřetelně odlišit tři oblasti, které označujeme I, II a III v prvním

případě a A,B a C v případě druhém.

Hodnotu získanou extrapolací skluzového napětí v oblasti I resp. A křivky zpevnění na

nulový skluz nazýváme kritickým skluzovým napětím a označujeme 0.

Z průběhu křivky zpevnění vidíme, ţe k pokračování deformace je třeba stálého zvyšování

napětí. To znamená, ţe se krystal v průběhu deformace zpevňuje a jev proto označujeme jako

zpevnění. Jak je zřejmé z křivek zpevnění, zpevňování bývá v různých stupních deformace

různé. Proto se zavádí důleţitý parametr koeficient zpevnění, charakterizující změnu

skluzového napětí se skluzem,

ad

d . (5.40)

Dalšími parametry křivky zpevnění jsou skluzová napětí, resp. skluzy na začátku či na

konci jednotlivých oblastí křivek zpevnění. Jejich definice je zřejmá z obrázku 5.9.

Jednoduché křivky zpevnění, tak jak jsou ukázány na obrázku 5.9., získáme v případě, ţe

skluz je v fcc struktuře omezen na jeden, tzv. primární skluzový systém resp. pokud skluz

probíhá v bazální rovině hcp struktury. Oblast I křivky zpevnění fcc kovů, která následuje po

dosaţení kritického skluzového napětí, je charakterizována poměrně nízkým lineárním

koeficientem zpevnění (řádově 104

G). Velikost skluzu na konci oblasti I křivky zpevnění je

125

nízká (a 0,2 – 0,3). Přechodová oblast mezi oblastmi I a II je poměrně úzká. V oblasti II

zpevnění nabývá koeficient řádově vyšších hodnot v porovnání s oblastí I u všech kovů této

struktury. Oblast III je charakterizována poklesem koeficientu zpevnění s pokračujícím

skluzem.

U hcp strutury dochází v oblasti A křivky zpevnění ke snadné deformaci charakterizované

nízkými hodnotami skluzových napětí i koeficientu zpevnění (řádově téţ 104

G), skluz však

nabývá hodnot 1–2. Skluzové napětí A je 2–3krát vyšší neţ 0. Přechodová oblast A–B je

dlouhá. Oblast B křivky zpevnění je charakterizována několikanásobně vyšší hodnotou

koeficientu zpevnění. Někdy za oblastí B následuje oblast C, ve které koeficient zpevnění

s rostoucím skluzem klesá.

(a)

III

aIII

aII

IIIIII

II

I

II

0

a

aB

B

(b)

C

aC

aA

CBA

B

A

A

0

a Obr. 5.9. Definice parametrů křivky zpevnění pro fcc kovy (a) a pro hcp kovy (b).

V.2.3. Tepelně aktivované procesy

Jak bylo uvedeno dříve, plastickou deformaci skluzem můţeme vysvětlit pohybem

dislokací. Dislokace při svém pohybu však musí nutně interagovat s dalšími poruchami, které

v krystalu existují. Pohyb dislokace je tak překáţkami brţděn. K tomu, aby se dislokace

pohybovala dál v původním směru a překonávala překáţky, musíme neustále zvyšovat sílu

působící na dislokaci a tudíţ i vnější napětí. Mikroskopicky se to projeví zpevňováním

materiálu.

Překáţky bránící pohybu dislokací můţeme rozdělit do dvou hlavních skupin podle

toho, jestli vytvářejí napěťové pole:

dalekého dosahu. Síla působící na dislokace od těchto překáţek se mění pozvolna

s polohou dislokace. Příkladem těchto překáţek jsou dislokace na rovnoběţných

skluzových rovinách, precipitáty apod., nebo

krátkého dosahu. To jsou tzv. lokální překážky, které mohou být překonány pomocí

tepelné aktivace (protínání dislokačního lesa, cizí atomy atd.).

Napětí potřebné k pohybu dislokace během plastické deformace pak můţeme rozdělit do

dvou sloţek:

napětí G, které musí působit na dislokaci, aby se pohybovala napěťovým polem

dalekého dosahu, a

napětí S, nutné k tomu, aby dislokace překonala překáţky vytvářející napěťové pole

krátkého dosahu. Toto napětí – na rozdíl od G – silně závisí na teplotě (klesá

s teplotou).

126

Existují-li v krystalu oba typy překáţek, pak napětí nutné k pohybu dislokací je sloţeno

ze dvou sloţek,

SG . (5.41)

Překonávání překáţek můţe tedy být usnadněno dodáním tepelné energie a proto se

nazývá tepelně aktivovaný pohyb dislokací nebo tepelně aktivovaný proces.

V.2.3.1 Aktivační objem a aktivační energie

Nejprve uvaţujme dislokační segment s Burgersovým vektorem b o délce 2L, který je na

obou koncích drţen lokálními překáţkami, a na který působí vnější napětí . Kdyby

nepůsobilo toto vnější napětí, musela by dislokace při svém pohybu (ve směru x překonat

energetickou bariéru charakterizovanou její Helmholtzovou volnou energií F). Jestliţe působí

napětí , jeho sloţka G musí působit proti dalekodosahovému napěťovému poli a druhá část

S proti napěťovému poli krátkého dosahu. Tato sloţka koná práci, která se rovná SbLx.

V důsledku toho se změní průběh Gibbsovy volné energie G = F – SbLx. Pohybuje-li se

dislokační segment reverzibilně a izotermicky ve směru x ze své rovnováţné polohy, musí

získat energii pro překonání lokální překáţky. Změna Gibbsovy volné energie G, která musí

být hrazena tepelnou energií, je dán vztahem

dLFGS

b , (5.42)

kde d je šířka překážky. Součin Lbd se nazývá aktivační objem. Z termodynamického hlediska

můţeme aktivační objem V* vyjádřit jako

dLG

V

TS

b

. (5.43)

Často se místo aktivačního objemu pouţívá aktivační plocha A = V

*/b,

TS

GA

b

1* . (5.44)

Překonává-li hranice při pohybu lokální překáţky, činí tak pomocí tepelné aktivace. Její

průměrná rychlost při skluzovém pohybu je pak popsána rovnicí

kT

GvvD exp

0, (5.45)

127

kde konstanta v0 závisí na frekvenci tepelných kmitů atomů a na charakteru lokální překáţky.

Je-li např. hustota pohybujících se dislokací m, jejich Burgersův vektor b a průměrná rychlost

jejich pohybu Dv , bude skluzová rychlost dána

Dmva b . (5.46)

Protoţe se obvykle pouţívá vztah

,exp0

kT

Gaa (5.47)

dostaneme

00va

mb . (5.48)

V.2.3.2 Druhy aktivačních procesů

Jaké jsou mechanismy, které by mohly určovat tepelně aktivované procesy při pohybu

dislokací? Ukaţme si některé z nich, které se nejčastěji uvaţují při vysvětlování procesu

plastické deformace:

Protínání dislokačního lesa. Jak jsme si uvedli uţ dříve, dislokace protínající aktivní

rovinu skluzu nazýváme dislokačním lesem. Velikost aktivačního objemu pak závisí na

hustotě dislokací v dislokačním lese. Jestliţe hustota dislokačního lesa roste, musí V* klesat,

současně roste S. Aktivační objem má – podle hustoty dislokačního lesa – řádově velikost

(102–10

4)b

3. Aktivační entalpie H0 má dvě sloţky, jedna z nich, H, vyjadřuje příspěvek na

zaškrcení rozštěpených dislokací, druhá, Hj, příspěvek nutný k vytvoření dislokačního

stupně.

Překonávání Peierlesova–Nabarrova napětí. Aktivační objem by měl mít nízkou hodnotu

a neměl by být závislý na skluzu. Napěťová závislost V* je vyjádřena několika modely.

Nekonzervativní pohyb šroubových dislokací se stupni (skoky). Aktivační objem můţe

nabývat hodnot (102–10

3)b

3 v závislosti na vzdálenosti mezi stupni na dislokacích. Ty mohou

vznikat jak v důsledku protínání dislokací, tak jako termální. Při pohybu dislokací se stupni

vznikají bodové poruchy: vzhledem k tomu, ţe energie vzniku intersticiálů je mnohem vyšší

neţ energie vzniku vakance, předpokládá se, ţe dislokace se stupni, které produkují

intersticiály, se pohybují tak, ţe absorbují vakance.

Interakce mezi dislokacemi a bodovými poruchami. Velikost aktivačního objemu by měla

záviset na koncentraci bodových poruch včetně cizích atomů. Na skluzu bude aktivační objem

záviset tehdy, jestliţe se v průběhu deformace bude měnit koncentrace bodových poruch.

Šplhání hranových dislokací. V tomto případě je aktivační objem řádově b3 a aktivační

energie rovna aktivační energii samodifuze.

Příčný skluz. Aktivační objem tohoto procesu, který nastává výhradně v případě

šroubových dislokací, by měl být řádově (102–10

3)b

3.

128

V.2.4. Kritické skluzové napětí

Při výpočtu kritického skluzového napětí 0 budeme předpokládat, ţe v krystalu existují

jen pravidelně uspořádané dislokace s průměrnou vzdáleností L0. Takové dislokace si

můţeme představit např. jako čtvercovou síť kolmou na Burgersův vektor. Napětí nutné

k tomu, aby se dislokace pohybovala ve skluzové rovině leţící uprostřed dvou hranových

dislokací ve stabilní poloze, je dáno vztahem

0

0 )1(2 L

bGG

. (5.49)

Pro šroubové dislokace platí

0

0 2 L

bGG

. (5.50)

Je-li L0 střední vzdálenost dislokací, je střední hustota dislokací = 1/ L02. Pak

GbG

0, (5.51)

kde je číselná konstanta.

Jsou-li v krystalu

přítomny dislokace i v jiných

skluzových rovinách, budou se

chovat jako dislokace lesa. Je-li

průměrná vzdálenost dislokací

lesa L1 a působí-li na dislokace

napětí vyšší neţ 0G, dojde

k protínání dislokací lesa

pohybující se dislokací. To je

schématicky naznačeno na

obrázku 5.10.

Aktivační volná energie

nutná k protnutí dislokace je G0. Tato energie můţe být dodána buď formou tepla nebo

napětím, působícím na pohybující se dislokaci. Působí-li na dislokaci napětí 0, pak jeho část

0G se spotřebuje na překonání napěťových polí dalekého dosahu a na protnutí dislokací zbývá

napětí 0S,

GS 00 . (5.52)

Na dislokaci o délce L1 působí síla o velikosti 0SbL1. Je-li celková šířka dislokace

z dislokačního lesa d, coţ současně vyjadřuje dráhu, po kterou působí síla 0SbL1 při protínání,

je práce vykonaná při protínání v důsledku působícího napětí 0S rovna

bdLWS 10

. (5.53)

L

1

Obr. 5.10. Pohyb dislokace dislokačním lesem. Čárkovaně je

vyznačena poloha dislokace po protnutí.

129

Součin L1bd je aktivační objem V*. Při protínání dislokací je tedy třeba dodat energii

VGGS0

0 (5.54)

Zavedeme-li tento vztah do rov. (5.47), dostaneme

kT

VHaa

G)(

exp00

0

. (5.55)

V případě tahové zkoušky s konstantní rychlostí deformace je na počátku i a = konst. Pak

V

aakTG

G

)/ln(00

00

, (5.56)

resp.

V

aakTG

S

)/ln(00

0

(5.57)

Výraz (5.56) platí pouze pro G00

. Bude tedy existovat kritická teplota T0,

)/ln(0

0

0aak

GT

, (5.58)

nad kterou bude platit 00

S .

V.2.5. Teorie zpevnění

Velikosti sloţek skluzového napětí mohou být závislé nejen na stupni deformace, tedy na

velikosti skluzu, ale i na teplotě. V mnoha případech deformace fcc kovů za nízkých teplot

převládá sloţka napětí G. To znamená, ţe zpevnění je z větší části způsobeno překáţkami

dalekého dosahu.

Nyní si ukáţeme, jaké pochody probíhají v krystalech během plastické deformace a jak

můţeme vysvětlit jednotlivá stadia křivky zpevnění, tedy jaká je teorie zpevnění. Přitom

budeme brát v úvahu experimentálně zjištěná fakta, jako jsou pozorování

skluzových čar a skluzových pásů, které nám poskytují informace o dislokacích,

vycházejících během procesu na volný povrch,

leptových důlků, vypovídajících o hustotě a uspořádání dislokací, které zůstaly

v krystalu po deformaci,

jednotlivých dislokací v transmisním elektronovém mikroskopu.

130

V.2.5.1 Zpevnění fcc kovů

Z teoretického hlediska jsou nejvíce a nejuspokojivěji vysvětleny zpevňovací děje u

monokrystalů kovů s fcc strukturou. Existuje několik modelů, které se vzájemně liší podle

toho, co povaţují za hlavní překáţku pohybu dislokací:

napěťové pole dalekého dosahu nakupených dislokací,

vnitřní napěťové pole dislokačního lesa,

dislokační stupně na pohybujících se dislokacích.

Nejuţívanější je teorie Seegerova, zaloţená na prvním předpokladu. Hlavní myšlenky této

teorie si zde uvedeme.

Oblast I křivky zpevnění.

V oblasti I křivky zpevnění má koeficient zpevnění nízké hodnoty, je však závislý na

orientaci krystalu vůči směru působícího napětí. Rovněţ délka této oblasti, aII, je ovlivněna

orientací vzorku: nejvyšší hodnoty aII jsou pro monokrystaly s orientací ze středu orientačního

trojúhelníka. Na základě pozorování skluzových čar monokrystalů s orientací blízkou okraji

orientačního trojúhelníka či jeho vrcholů lze usuzovat, ţe skluz probíhá v jiném

(sekundárním) skluzovém systému, který je však krystalograficky totoţný s primárním

systémem. Předpokládá se, ţe v tomto stadiu se dislokace pohybují ve skluzové rovině téměř

bez překážek. Základní dislokační struktura vytvoří napěťové pole dalekého dosahu. Toto

napěťové pole zachytí skluzové dislokace pohybující se v hlavním skluzovém systému jen

zřídka, a tak jejich střední volná dráha je velmi dlouhá.

Je-li objemová koncentrace dislokačních zdrojů N = konst. v oblasti I křivky zpevnění,

kaţdý zdroj pod napětím vyprodukuje n dislokačních smyček. Při zvýšení napětí o d se

zvýší počet smyček v jednotkovém objemu o dn, coţ vede k přírůstku skluzu o da,

nLbLa dd21

(5.59)

kde L1 a L2 jsou střední volné dráhy šroubových resp. hranových sloţek dislokačních smyček.

Na základě jednoduchých geometrických úvah můţeme určit střední kolmou vzdálenost

aktivních skluzových rovin y,

NLLy

21

1 .

(5.60)

Dislokace, která se proběhnutím vzdálenosti L2 od zdroje zastaví, působí zpětně na dislokační

zdroj napětím

2

1

2 L

GbL

. (5.61)

Aby zdroj mohl dál produkovat dislokační smyčky, musí na něj působit větší napětí neţ L.

Vyprodukoval-li zdroj n smyček, pak pro napětí nutné k tomu, aby zůstal v činnosti, musí

platit

131

2

1

2 L

GbL

. (5.62)

Na základě těchto úvah dostaneme vztah pro koeficient zpevnění v oblasti I křivky zpevnění

jako

2

2d

d

L

yG

aI

.

(5.63)

Přesnější výpočet, který bere v úvahu efektivní volnou dráhu nakupených dislokací, vede

k výrazu

4/3

2

9

8

L

yGI

. (5.64)

Tento výsledek je ve velmi dobré shodě s experimentálními hodnotami.

Koeficient zpevnění je velmi malý zejména pro orientace uprostřed orientačního

trojúhelníku. Protoţe zpevnění je nepřímo úměrné volné dráze dislokace (rov. (5.64)), lze

předpokládat, ţe tato dráha je dlouhá. Při přibliţování k okraji trojúhelníku nabývá zpevnění

vyšších hodnot a i délka oblasti I se zkracuje. To znamená, ţe pro takové orientace existují ve

skluzové rovině překáţky a objevují se nové, které sniţují střední volnou dráhu dislokace.

Existuje tedy mechanismus vzniku překáţek pro pohyblivé dislokace. Tímto mechanismem

by podle této teorie měla být tvorba Lomerových–Cottrellových dislokací. Střední volná dráha

pohybujících se dislokací bude potom tím kratší, čím více Lomerových–Cottrellových

dislokací bude vznikat. Tím se bude současně zvyšovat koeficient zpevnění.

Bude-li primární skluzová rovina )111( , pak Lomerovy–Cottrellovy dislokace mohou být

ve třech rozdílných krystalografických směrech, 101 , 101 a 011. Vytvoří-li se

Lomerova–Cottrellova dislokace v průběhu deformace v jednom uvedeném směru, pak pohyb

dislokačních skluzových smyček produkovaných zdrojem v rovině )111( bude silně omezen

v jednom směru, a to právě ke směru dislokační čáry Lomerovy–Cottrellovy dislokace. Ve

směru omezení pohybu dislokačních smyček se střední dráha částí dislokačních smyček bude

zkracovat, kdeţto ve směru kolmém nebude pohyb části dislokačních smyček natolik

ovlivněn (obr. 5.11).

D.S.D.Z.

LC

LC

b

Obr. 5.11. Omezení pohybu dislokačních smyček (D.S.) Lomerovými–Cottrellovými dislokacemi

132

(L–C) Rovina obrázku odpovídá skluzové rovině dislokací z dislokačního zdroje (D.Z.).

Pravděpodobnost vzniku Lomerových–Cottrellových dislokací bude tím vyšší, čím větší

bude hustota těch dislokací, které se podílejí na vzniku Lomerových–Cottrellových dislokací.

To musí být dislokace ve dvou skluzových systémech. Hustota pohybujících se dislokací

v uvaţovaných skluzových systémech bude tím větší, čím vyšší bude skluzové napětí. Je

zřejmé, ţe velikost skluzového napětí v sekundárním skluzovém systému, která je závislá na

orientaci vzorku, bude nejniţší pro orientace monokrystalů s osou leţící uprostřed

orientačního trojúhelníku. Koeficient zpevnění bude mít tudíţ nejniţší hodnotu pro orientace

monokrystalu uprostřed orientačního trojúhelníku a bude se zvyšovat směrem k jeho krajům.

To je v souhlase s experimentální skutečností.

Délka oblasti I křivky zpevnění je charakterizována veličinou aII. Její teplotní závislost je

moţno vyjádřit teplotní závislostí ostatních veličin, protoţe podle definice parametrů křivky

zpevnění musí platit

I

III

IIa

, (5.65)

S rostoucí teplotou bude klesat rozdíl napětí a protoţe I je konstantní nebo s teplotou

mírně vzrůstá, délka oblasti I s teplotou klesá.

133

Oblast II křivky zpevnění.

Typickým znakem oblasti II křivky zpevnění je

skutečnost, ţe veličina II/G prakticky nezávisí na

podmínkách deformace (orientace, teplota, rychlost

deformace) a je téměř konstantní pro všechny fcc kovy.

To lze vysvětlit následujícím způsobem:

Přechod z oblasti I do oblasti II je charakterizován

tím, ţe se začnou tvořit Lomerovy–Cottrellovy

dislokace ve všech možných směrech (obr. 5.12).

Pohybující se dislokace nemohou překonat takovou

překáţku, zastaví se před ní a dojde k jejich nakupení.

Současně se s rostoucí deformací bude zkracovat

střední volná dráha dislokací. Lze předpokládat, ţe

počet dislokací n, produkovaných dislokačním zdrojem

je konstantní. Deformace tedy bude pokračovat tehdy,

bude-li se zvyšovat počet činných zdrojů.

Předpokládáme-li, ţe střední volná dráha hranových a

šroubových částí dislokačních smyček je stejná (L1 = L2

= L), pak pro přírůstek skluzu je moţné psát

NnbLa dd 2 (5.66)

kde N je opět počet zdrojů v jednotce objemu. Pro celkový skluz dostaneme

3/12 )3( NnbaaII

, (5.67)

kde je materiálová konstanta. Napětí, které brání pohybu dislokačních smyček v primární

skluzové rovině, kde střední vzdálenost mezi skupinami n nakupených dislokací je Ln, bude

n

GL

Gnb ,

(5.68)

kde je stejná konstanta jako v rov. (5.51).

Protoţe střední vzdálenost jednotlivých skupin nakupených dislokací je moţné určit

přibliţně jako

2/1)(

1

NLL

n ,

(5.69)

je moţné napětí, které brání pohybu dislokačních smyček psát ve tvaru

2/1)(NLGnbG

. (5.70)

Obr. 5.12. Omezení pohybu

dislokačních smyček Lomerovými–

Cottrellovými dislokacemi ve třech

rovinách. Význam symbolů je stejný

jako na obrázku 5.11.

134

Protoţe S G, můţeme G povaţovat za skluzové napětí. Pouţitím empirického vztahu LS

= /(a – aII) a podle rov. (5.67) a (5.70) dostaneme vyjádření závislosti na skluzu pro oblast II

křivky zpevnění

)(3

2/1

IIaa

nbG

(5.71)

a pro koeficient zpevnění II

2/1

3

nbG

II . (5.72)

Oblast III křivky zpevnění.

Skluzové napětí III na začátku oblasti III silně závisí na teplotě deformace a skluzové

rychlosti. Na skluzovém obrazu se pozoruje příčný skluz. Koeficient zpevnění klesá s rostoucí

deformací a při tom nabývá hodnot niţších neţ v oblasti II křivky zpevnění. Tento děj také

nazýváme dynamické odpevnění.

Mechanismus odpevnění v oblasti III lze vysvětlit následujícím způsobem. V oblasti II

křivky zpevnění dojde k nakupení dislokací před překáţkami typu Lomerových–Cottrellových

dislokací. Kdyby napětí na čele nakupení dosáhlo určité hodnoty, šroubové části dislokačních

smyček mohou příčným skluzem přejít do jiné skluzové roviny typu 111 a tak obejít

překáţku. Skluzové dislokace jsou však rozštěpené a mezi vzniklými parciálními dislokacemi

existuje pás vrstevné chyby. Aby se šroubová dislokace mohla pohybovat příčným skluzem,

musí být úplná. Musí tedy dojít k zaškrcení rozštěpené dislokace. Po přechodu do jiné roviny

se můţe dislokace opět rozštěpit podle obrázku 4.37.

K zaškrcení je ovšem potřebné určité napětí. Část napětí bude pocházet z vnějšího napětí,

ale zaškrcení bude usnadněno zvýšenou koncentrací napětí u čela nakupení před překáţkou.

S rostoucím napětím budou pásy vrstevných chyb stlačovány aţ do úplného vymizení v určité

části. V tomto úseku pak dojde pomocí tepelné aktivace k příčnému skluzu. Protoţe šířka

rozštěpení závisí na energii vrstevné chyby, bude i napětí nutné k zaškrcení závislé na energii

vrstevné chyby. Proto můţeme očekávat závislost III na teplotě, skluzové rychlosti a energii

vrstevné chyby.

Při přechodu části dislokační smyčky z primární skluzové roviny do roviny příčného

skluzu dojde také k prodlouţení střední volné dráhy dislokace a tím poklesne koeficient

zpevnění. Současně se sníţí napětí, kterým nakupené dislokace působí zpět na dislokační

zdroj. Ten pak při menším napětí můţe produkovat další dislokační smyčku. To se projeví

dalším průběhem deformace s menším zpevněním.

Šroubová dislokace se můţe dalším příčným skluzem dostat do skluzové roviny

rovnoběţné s původní skluzovou rovinou. To představuje další zvětšení střední volné dráhy

pohybující se dislokace. Dislokace se tak můţe navíc přiblíţit skupině dalších nakupených

dislokací ale opačného znaménka, takţe dojde k jejich vzájemné anihilaci.

Zpevnění v oblasti II křivky zpevnění podle Hirsche.

Přes velkou shodu výše uvedeného modelu s experimentem nevysvětluje Seegerova

interpretace křivky zpevnění všechny děje. Podle tohoto modelu není např. moţné vysvětlit

vzrůst hustoty překáţek s napětím a pokles délek skluzových čar se skluzem, ani uspořádání

dislokací do shluků a dislokačních sítí. Tento problém se snaţí překonat Hirschův model.

135

I podle Hirsche je konec oblasti I křivky zpevnění charakterizován existencí překáţek,

které brání pohybu dislokací. Překáţkami ale v tomto případě mohou být dislokační dipóly a

multipóly. Primární skluzové dislokace se před takovou překáţkou nakupí. Jestliţe sloţka

napěťového pole nakupených dislokací pro sekundární skluzový systém dosáhne spolu se

sloţkou vnějšího napětí pro tentýţ skluzový systém dostatečnou hodnotu pro skluzový pohyb,

dojde v určité lokalitě k jejich pohybu v tomto systému. Tak dojde ke shlukování dislokací a

v krystalu se vytvoří oblasti s vysokou hustotou dislokací, které budou navzájem odděleny

oblastmi s nízkou hustotou dislokací. Takové struktury byly pozorovány i experimentálně.

Situaci si můţeme představit i tak, jakoby v krystalu existovaly „tvrdé“ a „měkké“ oblasti.

Hustota dislokací v „tvrdých“ oblastech bude klesat od jejich středů ke krajům. Kaţdá taková

„tvrdá“ oblast bude samozřejmě reprezentovat překáţku skluzového pohybu dislokací. Tyto

překáţky budeme charakterizovat poloměrem interakce R takovým, ţe kaţdá dislokace, která

bude probíhat kolem překáţky ve vzdálenosti menší neţ R, bude zadrţena (překáţka je na obr.

5.13 znázorněna červeným oválem).

Zvýší-li se napětí, můţe zdroj produkovat další dislokační smyčky. Zpevnění bude určeno

střední volnou dráhou dislokace, která bude záviset na hustotě překáţek a jejich poloměru R.

Se vznikem nových dislokačních smyček vzroste hustota primárních dislokací, coţ bude

napomáhat generaci sekundárních dislokací. Vzrůst primárních a sekundárních dislokací

znesnadňuje činnost zdrojů v primárním skluzovém systému a tak napětí musí neustále

vzrůstat, aby mohla pokračovat další deformace.

Skluz v malém napěťovém intervalu je moţné vysvětlit tzv. kooperativní činností zdrojů,

jak je patrné na obrázku 5.13. Tím se současně vysvětlí i vznik prvních nakupení. Působením

vnějšího napětí bude dislokační zdroj DZ 1 produkovat dislokační smyčku. Vnitřní napěťové

pole této dislokační smyčky můţe napomáhat tomu, aby vznikla dislokační smyčka činností

dislokačního zdroje DZ 2 v rovině blízké rovině DZ 1 (obr. 5.13a). Jestliţe se tato dislokační

smyčka zastaví v blízkosti zdroje 1, můţe obdobně usnadnit vznik další dislokační smyčky

činností zdroje 1 (obr. 5.13b). Celý tento proces se můţe opakovat, aţ se vytvoří páry

nakupení dislokací ve dvou skluzových rovinách (obr. 5.13c).

(a)

DZ 2

2R

DZ 1

L

(b)

DZ 2

DZ 1

(c)

DZ 2

DZ 1

Obr. 5.13. Kooperativní činnost dislokačních zdrojů.

136

Budeme-li předpokládat, ţe nakupení primárních dislokací se začíná tvořit v přechodové

oblasti mezi oblastmi I a II křivky zpevnění, bude u čela nakupení dislokací existovat oblast,

v níţ je celkové napětí v sekundárním skluzovém systému takové, aby mohly začít svou

činnost dislokační zdroje v sekundárním skluzovém systému. Tuto oblast je moţné

charakterizovat veličinami as a as, ukázanými na obrázku 5.14. Veličina as můţe být

vypočtena pro kaţdý moţný skluzový systém pomocí teorie elasticity. Počátek oblasti II

křivky zpevnění je tak moţné charakterizovat jako

0NsLa , (5.73)

kde LN0 je průměrná vzdálenost jednotlivých nakupení dislokací na počátku oblasti II.

Sekundární skluz můţe probíhat mezi sousedními skupinami nakupených dislokací.

a

s

an

DZa

s'

Obr. 5.14. Pohyb dislokací v sekundárním skluzovém systému (modrý) u čela nakupení dislokací.

Napětí potřebné pro pohyb primární dislokační smyčky ve skluzové rovině je dáno vztahem

01

if

ZL

Gb,

(5.74)

kde první člen udává napětí nutné k činnosti zdroje o délce LZ, kterou je moţno ztotoţnit

s průměrnou vzdáleností nakupení dislokací LN. f je příspěvek k napětí v důsledku interakce

primárních dislokací s dislokačním lesem, i je vnitřní napětí od primárních dislokací a 01 je

brzdící napětí krystalu (Peierlsovo–Nabarrovo napětí). Obecně lze psát

NL

k3

01 , (5.75)

kde k3 je konstanta

nGbkk 2

3 . (5.76)

Výsledkem úvah je nakonec výraz pro koeficient zpevnění v oblasti II křivky zpevnění

137

3

1Gk

II , (5.77)

kde k1 závisí na poloměru překáţky a délce nakupení dislokací.

V.2.5.2 Zpevnění hcp kovů

Jak jiţ bylo uvedeno dříve, je křivka zpevnění kovů s hcp strukturou podobná deformaci

fcc kovů.

Oblast A křivky zpevnění.

U kovů s nízkým bodem tání (Zn, Cd, Mg) je nejvýhodnější jediná skluzová rovina

bazální rovina (0001). Tím se deformace v těchto materiálech liší od deformace fcc kovů, kde

existují 4 ekvivalentní skluzové roviny 111. Pohyb skluzových dislokací v bazální rovině

tedy není omezován pohybem dislokací v jiné skluzové rovině, tj. vznikem Lomerových–

Cottrellových dislokací. Střední volná dráha pohyblivých dislokací je tak mnohem delší neţ u

fcc kovů a tedy i oblast A je mnohem větší neţ délka oblasti I křivky zpevnění. Teplotní

závislost koeficientu zpevnění A lze vysvětlit buď tím, ţe se zvyšující se teplotou dochází ke

sniţování počtu překáţek, nebo tím, ţe zvýšení teploty umoţní pohybujícím se dislokacím

obejít překáţky. K tomu můţe dojít buď příčným skluzem, nebo šplháním. V obou případech

dojde k prodlouţení střední volné dráhy pohybujících se dislokací. Který z obou mechanismů

se uplatní, bude záviset na teplotě plastické deformace.

Orientační závislost koeficientu zpevnění je pravděpodobně způsobena orientací bazální

roviny a pyramidálních rovin vůči směru namáhání. Tím se mění sloţka napětí pro jednotlivé

roviny. Dislokace 32113/1 v pyramidálních rovinách typu 2211 totiţ mohou interagovat

s bazálními dislokacemi např. podle reakce

00010003231102113

1

3

1

3

1 , (5.78)

protoţe výsledná dislokace je zakotvená a nepohyblivá. Dislokační reakce (5.78) je však

energeticky výhodná. Takové zakotvené dislokace budou samozřejmě překáţkou v pohybu

dislokací v bazální rovině. Podmínkou však je, aby napětí ve vedlejším skluzovém systému

dosáhlo potřebné hodnoty pro činnost zdrojů a hustota dislokací ve vedlejším systému nebude

příliš nízká.

Oblasti B a C křivky zpevnění.

Zpevnění v oblasti B křivky zpevnění je pravděpodobně spojeno se vznikem překáţek

v důsledku činnosti zdrojů ve vedlejších skluzových systémech. Mohou se uplatnit i další

reakce mezi dislokacemi z pyramidálního a bazálního systému, které vedou ke vzniku

komplexů dislokací spojených navzájem vrstevnou chybou. Tyto komplexy jsou silně

zakotveny a nemohou se pohybovat ani nekonzervativním pohybem. Pohyblivost dislokací

bude silně omezena, coţ se projeví zvýšením koeficientu zpevnění.

Oblast C křivky zpevnění monokrystalů hcp kovů nebyla podrobněji studována. Lze

předpokládat, ţe i zde dochází k příčnému skluzu do některé z prizmatických rovin.

V.2.5.3 Zpevnění bcc kovů

Silná závislost tvaru křivek zpevnění na teplotě naznačuje, ţe při plastické deformaci se

budou uplatňovat různé mechanismy za nízkých a vysokých teplot.

138

Šesták a Seeger vypracovali teorii, podle které při zpevnění bcc kovů hrají rozhodující

roli šroubové dislokace s Burgersovým vektorem 1/2111, jejichţ jádro má prostorovou

strukturu s trojčetnou symetrií a to tak, ţe jsou rozštěpené do tří nerovnoběţných rovin 112

(viz reakci 4.48). Pohyblivost této dislokace limituje i kritické skluzové napětí a jeho teplotní

závislost. Bude také docházet k tvorbě a pohybu dvojitých ohybů na dislokační čáře. Vznik a

pohyb těchto ohybů je však tepelně aktivovaný proces a příslušné napětí tak můţeme připsat

sloţce skluzového napětí s. Tím se vysvětluje i silná teplotní závislost kritického skluzového

napětí u bcc kovů.

Pohyb šroubové dislokace rozštěpené na třech nerovnoběţných skluzových rovinách

112 včetně vytváření a šíření dislokačních ohybů na těchto rovinách způsobuje skluz. Tím

je moţné vysvětlit skutečnost, ţe makroskopicky je skluz pozorován podél

nekrystalografických rovin a skluzové roviny jsou zvlněné. Takový skluz se nazývá tužkový

skluz (angl. pen slip).

Pohyb šroubové dislokace probíhá asymetricky a tak je moţné vysvětlit orientační

závislost parametrů křivky zpevnění.

V oblasti nízkých teplot jsou šroubové dislokace mnohem méně pohyblivé neţ hranové

dislokace. Při pohybu šroubových dislokací s nestejnými Burgersovými vektory dochází

k vzájemné interakci, která můţe vést k dislokační reakci a ke vzniku kratších dislokačních

segmentů, které jsou nepohyblivé a budou tvořit překáţku pro pohyb dalších šroubových

dislokací s Burgersovým vektorem 1/2111. V průběhu deformace dochází k příčnému

skluzu šroubových dislokací i ke vzniku dislokačních zdrojů. Hustota dislokací se bude

zvyšovat.

Pohyblivost šroubových dislokací se bude zvyšovat s rostoucí teplotou do té míry, ţe při

určité teplotě bude srovnatelná s pohyblivostí hranových dislokací. Pro teploty vyšší neţ tato

teplota pak nastávají poměry jako u fcc kovů. S rostoucí teplotou je usnadněn příčný skluz

šroubových dislokací a můţe dojít i k jejich vzájemné anihilaci. Oblasti I křivky zpevnění lze

vysvětlit analogicky jako u fcc kovů – elastickou interakcí mezi dislokacemi v primárních

skluzových systémech.

Na konci oblasti I bude skluzové napětí v sekundárnm skluzovém systému vyšší neţ

kritické skluzové napětí. Můţeme předpokládat, ţe dochází ke skluzu v sekundárním

skluzovém systému, coţ můţe vést k určitému uspořádání dislokací, které lze pozorovat

elektronovou mikroskopií. Dojde tak ke vzniku dislokačních vrstev, které vytvářejí silné

napěťové pole dalekého dosahu. Pohybující se dislokace musí překonávat toto napěťové pole

a tudíţ se musí zvyšovat působící napětí.

Oblast III křivky zpevnění bcc kovů je moţno vysvětlit analogicky jako v případě fcc

kovů, tj. příčným skluzem šroubových dislokací.

V.2.6. Deformace slitin

Vedle vlivu teploty, rychlosti deformace či orientace je v případě substitučních slitin

deformační proces ovlivněn typem a koncentrací příměsí. Jak jsme si uvedli dříve, představují

cizí atomy překáţky pro pohyb dislokací. Interakce dislokací s cizím atomem se můţe

odehrávat několikerým způsobem:

dislokace ani cizí atomy se nepohybují,

dislokace i cizí atomy jsou pohyblivé,

dislokace jsou nepohyblivé, cizí atomy s pohybují,

dislokace se pohybují, cizí atomy se nepohybují.

Přidání atomů jiného prvku do materiálu má tedy většinou za následek podstatné zvýšení

skluzových napětí.

139

V.2.6.1 Interakce mezi dislokací a cizím atomem

Cizí atom se můţe lišit od atomu základního kovu svým atomovým poloměrem a

elastickými vlastnostmi (např. modulem pruţnosti ve smyku). Mají-li atomy různé poloměry,

dojde k vysunutí nejbliţších atomů ze základní polohy. Vznikne tak kulově symetrická

porušená oblast. V tom případě hovoříme o elastické rozměrové interakci cizího atomu

s dislokací. V případě různých elastických vlastností se jedná o elastickou modulovou

interakci.

Atomy kolem čáry

hranové dislokace mohou

být rozděleny do dvou

oblastí: oblasti komprese,

kde jsou atomy stlačené

vůči atomům

v neporušeném krystalu, a

oblasti dilatace, kde jsou

atomy naopak od sebe

více vzdálené. Evidentně

by se pak atom s větším

atomovým poloměrem

snadněji umístil v oblasti

dilatace, zatímco pro

menší atom by bylo

výhodnější umístění

v oblasti komprese.

V obou případech by pak

došlo ke sníţení deformační energie. I v případě šroubové dislokace vznikne v okolí

dislokační čáry objemová změna (expanze) a dochází k její interakci s atomem příměsi.

V obou případech bude interakce mezi dislokací a příměsovým atomem představovat

překáţku v pohybu dislokace.

Jsou-li oba atomy stejné, ale elastické konstanty substitučního tuhého roztoku se liší od

elastických konstant čistých sloţek, nedojde k distorzi struktury, ale nastane porušení

původních vazeb. To si můţeme představit tak, ţe v určité oblasti je krystal „tvrdší“ nebo

„měkčí“: Pohybující se dislokace bude při svém pohybu „cítit“ tyto oblasti, dostane-li se do

jejich blízkosti. V tvrdších oblastech bude třeba na dislokace působit větší silou, aby mohla

oblastí projít. Analogická situace nastane v opačném případě.

Na základě úvah o pohybu dislokace krystalem s cizími atomy, kde dochází při

překonávání těchto překáţek skluzem v jediné skluzové rovině k relativní změně polohy

překáţek vůči dislokaci a k prohnutí dislokace, vytvořil Labusch teorii, která vede k výpočtu

kritického skluzového napětí 0 pro pohyb dislokace v substitučním tuhém roztoku. Tyto

úvahy vedou ke vztahu

ILXGZ 3/23/4

10 , (5.79)

kde XI je atomový zlomek příměsi a Z1 a L jsou konstanty charakterizující legující prvek.

Tento vztah vyjadřuje kritické skluzové napětí substitučních tuhých roztoků při T = 0 K.

S rostoucí teplotou by 0 mělo klesat díky rostoucí tepelné aktivaci, která pomáhá dislokaci

překonávat lokální překáţky za působení menších sil.

Při deformaci krystalů tuhých roztoků se často pozoruje, ţe napětí na začátku deformace

dosáhne určité hodnoty (bod B na obr. 5.15), pak ale poklesne (bod C) a další deformace se

0

J

H

G

F

E

DC

B

A

Obr. 5.15. Ostrá mez skluzu a deformační stárnutí.

140

děje při konstantním zatíţení (část CD). Aţ po dosaţení určité deformace se krystal začne

opět zpevňovat (část DE). Tento jev se nazývá ostrá mez skluzu. Přerušíme-li deformaci

(odtíţíme) a začneme znovu deformovat, mohou nastat dvě moţnosti:

vzorek se dále deformuje se stejným zpevněním (část FG),

deformace začne při vyšším napětí neţ bylo napětí, při kterém deformace byla

přerušena. Pak napětí poklesne a objeví se znovu ostrá mez skluzu (část GHJ). Tento

děj se označuje jako deformační stárnutí.

Pravděpodobnost deformačního stárnutí je vyšší, je-li přerušení deformace delší nebo

kdyţ se během přerušení deformace zvýší teplota. Abychom vysvětlili tyto jevy, budeme

uvaţovat nepohyblivou dislokaci a pohyblivé cizí atomy (tedy dostatečně vysokou teplotu pro

průběh difuze). V důsledku interakce mezi dislokací a cizími atomy vzniká síla, která působí

na cizí atomy tak, ţe budou přitahovány do blízkosti dislokace. Vznik shluku cizích atomů

(atmosféry cizích atomů) v okolí dislokace bude sniţovat deformační energii. Aby došlo

k pohybu takové dislokace, musí se uvolnit z atmosféry cizích atomů. K tomuto uvolnění je

nutné vyšší napětí neţ k jejímu dalšímu pohybu. Na křivce zpevnění se to projeví jako ostrá

mez skluzu (část ABC,

obr. 5.15).

Kdyţ se deformace

přeruší, dislokace se

přestanou pohybovat. Cizí

atomy však mohou při

vyšších teplotách

difundovat k dislokacím.

Čím déle bude deformace

přerušena, tím víc atomů

můţe dojít k dislokacím.

Tím se opakuje situace ze

začátku deformace.

K pokračování deformace

bude opět nutné uvolnit

dislokace z atmosféry

cizích atomů: na křivce

zpevnění se objeví další

ostrá mez skluzu odpovídající deformačnímu stárnutí (část GHJ, obr. 5.15).

U substitučních tuhých roztoků není křivka zpevnění od jistých hodnot skluzu ak resp.

napětí k hladká, ale objevují se na ní více či méně pravidelné skoky napětí (obr. 5.16). Toto

chování se označuje jako Portevinův–LeChatelierův jev. Opakování vzrůstu a poklesu napětí

je moţné vysvětlit tím, ţe dislokace se uvolní z atmosféry cizích atomů (pokles napětí), znovu

zakotví (vzrůst napětí) a tento děj se opakuje. To je ovšem moţné jen tehdy, je-li rychlost

difuze cizích atomů srovnatelná s rychlostí pohybu dislokací.

V.2.6.2 Zpevnění v materiálech se dvěma fázemi

Další přídavky cizích atomů do tuhého roztoku mohou vést k jeho přesycení.

Přesycený tuhý roztok se pak rozpadá a vznikají precipitáty jiné fáze. Jak bylo ukázáno v části

IV.3.15., precipitáty ve skluzových rovinách představují silnější překáţky pro pohyb

dislokací, neţ jednotlivé atomy či jejich shluky v případě tuhých roztoků. Jak bylo ukázáno

v části IV.3.15.1., zatímco koherentní precipitáty mohou být průchodné pro dislokaci,

nekoherentní precipitáty (část IV.3.15.2.) nemohou být dislokací protnuty, ale dislokace je

musí obejít tak, ţe za sebou zanechá dislokační smyčky, které obklopují precipitát ve

skluzové rovině původní dislokace (v případě Orowanova mechanismu). V případě Friedelova

ak

k

a Obr. 5.16. Portevinův–LeChatelierův jev.

141

mechanismu pak vzniká smyčka před precipitátem: tato smyčka je nepohyblivá a navíc na

dislokaci, která překonala precipitát, se vytvoří stupeň, který rovněţ neleţí ve skluzové

rovině. V obou případech je však třeba pro další pohyb dislokací a tedy pokračování

deformace vyššího napětí – dochází tedy ke zvyšování zpevnění. V případě jemných

disperzně rozptýlených precipitátů hovoříme o disperzním zpevnění, v případě následků

stárnutí po rozpadu dvou a vícesloţkových tuhých roztoků se jedná o precipitačním zpevnění

nebo stárnutí.

Materiály, které se skládají ze dvou nebo více fází, můţeme povaţovat za složené

materiály. Jednotlivé fáze v nich se liší svými fyzikálními, chemickými i mechanickými

vlastnostmi. Tyto vlastnosti závisí na

geometrii rozloţení všech fází,

sloţení a poměru jednotlivých fází,

velikosti a rozloţení částic jednotlivých fází.

Podle toho lze materiály rozdělit do dvou skupin:

sloţené materiály s jednou spojitou fází a jednou nebo více disperzními fázemi,

sloţené materiály se dvěma nebo více spojitými fázemi.

Pro posledně jmenovaný materiál se pouţívá název kompozit. Charakteristickým rysem

jeho struktury jsou fáze ve tvaru vláken nebo desek. Pro praktické pouţití je výhodné, aby

desky nebo vlákna byly rovnoběţné se směrem namáhání.

V technicky důleţitých jednosměrných kompozitech s lamelovou nebo vláknitou

strukturou lze oba materiály tvořící kompozit

rozdělit na zpevňující fázi a matrici. Zpevňující

fáze zvyšuje skluzové napětí. Matrice přenáší

zatíţení na zpevňující fázi a chrání ji před

mechanickým a chemickým poškozením a

zabraňuje šíření trhlin při případném porušení.

Materiálem matric bývají kovy jako Al, Cu, Ni,

Co, Fe apod., jako zpevňující fáze se pouţívají

buď kovy (Cr, W, Fe, Ni) nebo jiné materiály jako

oxidy (Cu–Cu2O), karbidy (Co–TaC) a

intermetalické fáze (např. Ni3Al v Ni

superslitinách, obr. 5.17). Zpevňující fáze se

vyznačuje vysokou mezí pruţnosti a pevnosti a

poměrně malou taţností, zatímco matrice je

houţevnatější a měkčí.

Pevnost jednosměrných kompozitů v tahu je

největší ve směru uloţení vláken nebo lamel.

Jsou-li objemové podíly zpevňující fáze a matrice

Vf a Vm (Vf + Vm = 1), pak celkové napětí v tahu na

průřezu kolmém ke směru namáhání je

mmffcVV , (5.80)

kde f a m jsou tahová napětí ve zpevňující fázi a v matrici.

U sloţených materiálů lze na křivce – rozlišit 3 oblasti (obr. 5.18):

I. oblast – elastická deformace matrice i zpevňující fáze

10 m

Obr. 5.17. Struktura niklové superslitiny

s destičkami Ni3Al.

142

II. oblast – plastická deformace matrice a elastická deformace zpevňující fáze (eventuálně

porušování vláken,

III. oblast – plastická deformace matrice a zpevňující fáze (tato oblast je samozřejmě

z praktického hlediska nezajímavá).

0

III

II

I

Obr. 5.18. Deformační křivka kompozitního materiálu.

V první části deformační křivky sloţeného materiálu se deformace matrice m a zpevňující

fáze f neliší, m = f = c. Platí tedy f = Eff a m = Emm, kde Ef a Em jsou efektivní moduly

pruţnosti v tahu pro obě sloţky kompozitu. Platí tedy

cccmmffcEEVEV )( , (5.81)

kde Ec je střední Youngův modul kompozitu.

V oblasti II deformační křivky se matrice deformuje plasticky a podíl plasticky

deformované matrice stoupá s deformací kompozitu. Rov. (5.81) přejde na tvar

)(mmmfffc

VEV , (5.82)

kde m(m) charakterizuje zpevnění matrice. Směrnice deformační křivky v oblasti II je

koeficient zpevnění

c

m

m

c

f

ff

c

c

II

c VEV

d

d

d

d

d

d . (5.83)

Experimentálně bylo zjištěno, ţe IIc je vţdy menší neţ VfEf. Protoţe v této oblasti je

dm/dc 0, musí být df/dc 1. Deformace vláken je tedy menší neţ deformace kompozitu

v této oblasti deformace. To lze vysvětlit tak, ţe se vlákna v průběhu deformace v oblasti II

postupně přetrhávají. V místě poruchy vznikne dutina a v jejím okolí je matrice namáhána nad

mezí skluzu.

143

V.2.7. Plastická deformace polykrystalů

Dosud jsme stále předpokládali deformaci monokrystalu. Technické materiály jsou však

vyuţívány ve formě polykrystalů. Na první pohled by se zdálo, ţe lze výsledky získané na

monokrystalech prostě aplikovat na polykrystaly – polykrystaly přece představují soubor

monokrystalů: kaţdé zrno se bude deformovat jako samostatné v závislosti na jeho orientaci.

Ve skutečnosti je však situace mnohem komplikovanější a takový jednoduchý převod nelze

provést. Jen pro ukázku – zatímco v monokrystalech probíhá deformace více či méně

homogenně, u polykrystalů je v různých zrnech různá a můţe se lišit i v jednotlivých místech

zrna.

Deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí neţ u monokrystalů, tj. hodnota meze

kluzu k odpovídající začátku plastické deformace je mnohem vyšší neţ kritické skluzové

napětí. Je zřejmé, ţe v případě polykrystalů nelze určit skluzové napětí tak, jak bylo

definováno v části V.2.2.2., ale je nutné uvaţovat napětí . U polykrystalů také často

pozorujeme horní a spodní (dolní) mez kluzu, podobně jako bylo ukázáno na obrázku 5.15.

Protoţe horní mez kluzu můţe být důsledkem existence atmosfér příměsových atomů,

povaţuje se za

charakteristickou spodní

mez kluzu. Rovněţ

zpevnění polykrystalů je

vyšší. To vše naznačuje, ţe

plastická deformace

polykrystalů bude silně

ovlivněna hranicemi zrn a

jejich vzájemnou orientací.

Rozdíl v deformačních

křivkách monokrystalu a

polykrystalu je ukázán na

obrázku 5.19.

Experimenty ukazují,

ţe deformační napětí (při

jistém stupni deformace)

závisí na velikosti zrna.

Čím je průměrná velikost

zrna menší, tím větší

deformační napětí se

pozoruje. Empiricky můţeme tuto závislost vyjádřit rovnicí

2/1

0

dK

, (5.84)

která se nazývá Hallův–Petchův vztah a platí i pro napětí na mezi kluzu. Veličiny 0 a K

v rov. (5.84) mohou být funkcí skutečného poměrného prodlouţení, deformační rychlosti,

teploty deformace a strukturních parametrů dané látky. Veličina d udává velikost (střední

průměr) zrna.

0 =

0 monokrystal

polykrystal

Obr. 5.19. Schematické znázornění deformační křivky pro

monokrystal a polykrystal.

144

Stejně jako v případě monokrystalů

probíhá deformace polykrystalů pohybem

dislokací. Při svém pohybu však dislokace

narazí na hranici zrna, která je pro ni

překáţkou. Mají-li obě zrna podobnou

orientaci, jsou-li tedy skluzové systémy

v obou zrnech rovnoběţné, je mez kluzu

mnohem niţší, neţ při větší vzájemné

disorientaci zrn. Napětí na mezi kluzu pak

závisí na velikosti disorientace obou zrn.

V obecném případě, kdy je polykrystal

sloţen z mnoha zrn nepravidelně

uspořádaných, probíhá deformace tak, ţe se

kaţdé zrno deformuje do tvaru určovaného

deformací okolních zrn. K tomu, aby došlo

k neomezené změně tvaru zrna, skluz musí

probíhat nejméně v pěti skluzových systémech. Plastická deformace polykrystalického

materiálu nastane, kdyţ se skluz bude šířit od zrna k zrnu. Platnost rov. (5.84) pro začátek

plastické deformace k polykrystalu odvodíme z následující úvahy: Předpokládejme, ţe dojde

k nakupení dislokací před hranicí zrn (obr. 5.20). Předpokládejme, ţe v zrnu (2) je ve

vzdálenosti LZ d zdroj dislokací DZ. Od čela nakupení dislokací v zrnu (1) bude na tento

zdroj (v zrnu (2)) působit napětí 2, které lze v daném přiblíţení vyjádřit vztahem

2/1

2

ZL

d, (5.85)

kde je působící napětí. Působí-li napětí k, část tohoto napětí m je nutná k tomu, aby se

dislokace mohla pohybovat krystalem. m je tudíţ napětí potřebné k pohybu dislokací ve

skluzové rovině a můţe být ovlivněno např. přítomností cizích atomů. K nakupení dojde za

působení napětí

mk . (5.86)

Aby zdroj ve druhém zrnu ve vzdálenosti LZ od hranice mohl být činný, musí působit napětí

D, kde

2/1

)(

Z

mkkDL

d . (5.87)

Převedením na deformační napětí dostaneme

DZ

DZ

LZ

(2)

(1)

Obr. 5.20. K odvození Hallova–Petchova vztahu.

145

2/1

d

LZ

Dmk . (5.88)

Porovnáním s rov. (5.84) vyplývá K = D(LZ)1/2

.

Hranice zrn tedy hrají významnou roli při zpevňování polykrystalů. Představují překáţky

pro pohyb dislokací i jako dislokační zdroje případně místa zániku dislokací.

V.2.8. Superplasticita

Za běţných podmínek se polykrystalický materiál deformuje v tahu na desítky procent

relativního prodlouţení. Existují však případy, kdy lze dosáhnout aţ několik set i tisíc

relativních procent. Tento jev se nazývá superplasticita.

Superplastické chování se pozoruje u materiálů s pravidelným jemným zrnem o velikosti

menší neţ 10 m při deformacích za teplot vyšších neţ 0,4 Tt a při určitých deformačních

rychlostech. Obvykle se dá závislost napětí na deformační rychlosti vyjádřit jako

m

sK (5.89)

kde Ks je materiálová konstanta, která závisí na teplotě, velikosti a rychlosti deformace.

Exponent m v rov. (5.89) se nazývá parametr rychlostní citlivosti napětí, pro který platí

T

m,ln

ln

(5.90)

Pro superplastické chování nabývá tento parametr hodnot m 0,25. Hodnota

deformačního napětí roste s rostoucí velikostí zrna.

Superplasticita je poměrně nedávno objevený jev a proto ještě jeho mechanismy nejsou

zcela objasněny. Vzhledem k podobnosti procesu s ustáleným tečením za vysokých teplot

jsou současné snahy o takové vysvětlení zaloţeny na modelech vysokoteplotního tečení.

Vzhledem k tomu, ţe k deformaci dochází za relativně vysokých teplot, je třeba vzít v úvahu i

pokluzy po hranicích zrn a difuzní pochody.

V.2.9. Tečení (creep) polykrystalů

Budeme-li deformovat materiál při konstantním zatíţení, poroste deformace s časem.

Tento jev se nazývá tečení nebo creep. V případě monokrystalů můţeme tento proces

znázornit závislostí skluzu na čase t při konstantním skluzovém napětí . Tato závislost,

schematicky ukázaná na obrázku 5.21 představuje křivku tečení. Na této závislosti můţeme

rozlišit tři oblasti

Přechodové tečení, při kterém rychlost tečení klesá,

Ustálené (stacionární) tečení, při kterém je rychlost tečení konstantní, a

Zrychlené tečení, při kterém rychlost tečení vzrůstá.

146

III

II

I

a

t

Obr. 5.21. Tři oblasti křivky tečení.

Tvar křivky tečení závisí na napětí a teplotě, při které dochází k tečení. Při nízkých

teplotách a napětích se pozoruje prakticky jen první oblast křivky tečení. Závislost a(t) se dá

vyjádřit jako

)1ln( vta (5.91)

a označuje se jako nízkoteplotní, logaritmické nebo – tečení.

Při vyšších teplotách nastává přechodové tečení i ustálené tečení. Křivku tečení lze v této

oblasti popsat rovnicí

Ktta n . (5.92)

Tento typ tečení se označuje jako tečení Andradeho typu. Experimentálně bylo zjištěno, ţe

exponent v rov. (5.92) nabývá hodnot n = 1/3, resp. leţí v intervalu 1/4 – 2/3.

V rov. (5.91) a (5.92) byla zanedbána počáteční deformace, kterou lze vyjádřit skluzem

a0, která se nastaví ihned, jakmile začne působit napětí. Druhý člen na pravé straně v rov.

(5.92) popisuje ustálené tečení a konstanta K vyjadřuje vlastně rychlost ustáleného tečení T

a ,

)/exp(0

RTQKKaT

, (5.93)

kde Q je aktivační energie ustáleného tečení, které při niţších napětích nezávisí na teplotě.

Veličina K0 zřejmě závisí na napětí . Při nízkých napětích je nKK 10

, kde n = 3 – 5,5.

Pro vyšší napětí můţeme psát

)/exp(320

RTKKK , (5.94)

Polykrystaly při zkouškách tečení vykazují podobné chování jako monokrystaly. Křivka

tečení má podobný charakter a podobně se projevuje i vliv deformačního napětí a teploty

deformace na průběh tečení. Experimenty naznačují, ţe rychlost ustáleného tečení

polykrystalů T

je moţno vyjádřit v obecném tvaru

147

DGd

b

RT

GbB

nn

TT

21

. (5.95)

d je rozměr zrna, konstanta BT a exponenty n1 a n2 závisí na daném materiálu a podmínkách

deformace. D je buď koeficient objemové difuze, nebo difuze po hranicích zrn.

Zatímco u přechodového tečení lze předpokládat stejné deformační procesy jako při

tahových zkouškách, u ustáleného tečení se jiţ uplatňují procesy, které vedou k zotavení a

tedy odpevnění.

K zotavení dislokační struktury můţe dojít několika mechanismy. V případě

monokrystalu se uplatňuje některý s dislokačních mechanismů, který je závislý na objemové

difuzi, případně na difuzi podél dislokací. Tyto mechanismy pak určují rychlost tečení. Podle

zvoleného dislokačního modelu můţeme určit parametr napěťové citlivosti nT

TT

an

ln

ln . (5.96)

Velmi často se jako mechanismus tečení v ustáleném stavu uvaţují dislokační

mechanismy zaloţené na předpokladu o šplhání hranových dislokací, ale i jejich skluz.

Dislokační zdroj bude produkovat dislokační smyčky, které se budou pohybovat. Tím bude

docházet ke zpevnění. Za jistých podmínek jako jsou teplota deformace a napěťové poměry,

mohou se šroubové sloţky dislokačních smyček dostat příčným skluzem z roviny

dislokačního zdroje do jiné roviny. V další rovině můţe dojít k vzájemné anihilaci

šroubových dislokací, tedy k odpevnění. Hranové sloţky dislokačních smyček se mohou

nakupit před překáţkou, tím dochází ke zpevnění. Mohou však i šplhat a v tom případě můţe

dojít k vzájemné anihilaci, coţ opět vede k odpevnění. Dislokační zdroj můţe produkovat

další smyčky a celý proces se opakuje. Dojde tak k vyrovnání mezi produkcí dislokačních

smyček a jejich anihilací, tedy k ustavení ustáleného stavu.

Jiné modely předpokládají, ţe tečení je kontrolováno pohybem šroubových dislokací se

stupni resp. nekonzervativním pohybem stupňů. Předpokládá se, ţe v krystalu se pohybují

šroubové dislokace, které obsahují nadbytek stupňů, absorbujících i emitujících vakance.

Šroubové dislokace se stupni se totiţ mohou pohybovat jen tehdy, kdyţ bude docházet ke

vzniku resp. zániku vakancí. Jestliţe se vakance pohybují krystalem, pak jejich pohyb

vyţaduje, aby aktivační energie pohybu šroubové dislokace byla blízká aktivační energii

objemové difuze. Pokud se vakance pohybují podél dislokační čáry, pak aktivační energie

pohybu dislokace bude niţší.

Budeme-li uvaţovat skluzový pohyb dislokací, bude docházet k jejich nakupení a

šplhání. Je-li = konst., je d = 0. Pro skluzovou rychlost a lze určit

r

a

ta

a

a

)/(

)/( , (5.97)

kde je zpevnění a r zotavení. Šplhají-li dislokace s průměrnou rychlostí vs a jejich hustota je

s, pak úbytek dislokací v důsledku šplhání na vzdálenost d bude

148

d

v

t

s

s

d

d. (5.98)

Jestliţe k úbytku dislokací dochází v důsledku zotavení, můţeme psát

d

v

ttr

s

s

. (5.99)

Tato rovnice je vhodná pro rozbor podmínek zotavení napětí.

Rychlost tečení lze také psát jako

d

vaa

s

s

d

d . (5.100)

Rozhodujícím členem tedy bude rychlost šplhání vs resp. vzdálenost d. Rychlost šplhání

dislokací bude určena tokem a rychlostí pohybu vakancí, která je podle Einsteinova vztahu

FkT

Dv

V

V , (5.101)

kde DV je difuzní koeficient pohybu vakancí a F síla, která můţe být různého původu:

elastického jako důsledek působení aplikovaného napětí (existuje vţdy sloţka síly kolmá

ke skluzové rovině),

chemického v důsledku nadbytečné koncentrace vakancí cV, )/ln()/(0

2

VVccbkTF ,

elastického i chemického.

Odvozené vztahy pro rychlost tečení lze aplikovat i na polykrystaly. V tom případě se

formálně nahrazuje skluzové napětí deformačním napětím a skluzovou rychlost

a deformační rychlostí . Při vysvětlení tečení polykrystalů je třeba vzít v úvahu přítomnost

hranic zrn. Hranice zrn totiţ za vysokých teplot a působení nízkých napětí efektivně změkčují

polykrystalický materiál. Důvodem je především to, ţe hranice zrn

mohou být místem vzniku a zániku vakancí a tím usnadňují difuzní procesy,

působí jako dislokační zdroje,

mohou působit jako nukleační centra k růstu nových zrn,

mohou pokluzovat (pokluzy po hranicích zrn).

Při vysokých napětích pak můţe docházet za působení napětí v polykrystalu k pohybu

vakancí z jednoho povrchu zrna na druhý a dochází tak k tzv. difuznímu tečení nebo také

Herringovu – Nabarrovu tečení. Toto tečení si můţeme představit následujícím způsobem:

Jestliţe na zrno o průměru d působí napětí kolmo na povrchy AB a CD (obr. 5.22

představuje řez zrnem), energie vzniku vakancí na těchto površích bude jiná neţ na povrchu

AD resp. BC. Vznikne rozdílná koncentrace vakancí u těchto povrchů a v důsledku tohoto

gradientu koncentrace dochází k toku vakancí od povrchů AB a CD k povrchům BC a AD

(přerušované čáry na obr. 5.22). Směrem opačným budou přecházet atomy (plné čáry na obr.

5.22). Zrno se tedy bude prodluţovat ve směru působení napětí. Lze ukázat, ţe rychlost tečení

149

kTd

bD

2

32 , (5.102)

kde D je koeficient samodifuze, d je velikost zrna a b3 je objem atomu, se mění lineárně

s napětím. K difuznímu tečení podle rov. (5.102) dochází při nízkých napětích a vysokých

teplotách.

d

D C

BA

Obr. 5.22. Difuzní tečení materiálu pod napětím

při vyšší teplotě (plná červená čára) a difuze

vakancí přes zrno (čárkovaná zelená čára).

V.2.10. Únava materiálu

Únava materiálu je proces změn vlastností a stavu materiálu, vyvolaný kmitavým

(cyklickým) namáháním. Proces únavy způsobuje vznik porušení při hodnotách napětí niţších

neţ mez pevnosti. Pro popis kmitavého (cyklického) namáhání se zavádí následující pojmy:

horní napětí σh je nejvyšší hodnota cyklického napětí, σn je nejniţší hodnota cyklického napětí

a střední napětí σm je střední hodnota horního a dolního napětí kmitu:

2

nhm

(5.103)

Amplituda napětí σa je největší hodnota proměnlivé sloţky kmitavého napětí definovaná

podle vztahu:

2

nha

(5.104)

Závislost mezi cyklickým napětím a cyklickou deformací znázorňuje obr.5.23. V ideálně

pruţné oblasti namáhání tvoří tato závist přímku spojující hodnoty σh a σn (obr.5.23a). Ve

skutečnosti dochází vilvem mikroplastických deformací a jiných nevratných procesů k tomu,

ţe zatěţování a odlehčování neprobíhá po téţe čáře, ale vytváří hysterezní smyčku

150

(obr.5.23b). Kaţdá amplituda napětí způsobí amplitudu elastické deformace εa el a plastické

deformace εa pl.

Obr.5.23. Závislost mezi cyklickým napětím a cyklickou deformací: a) ideálně pruţné chování, b)

anelastická závislost vyjádřená hysterezní smyčkou.

(P. Veles, v: Mechanické vlastnosti a zkúšanie kovov, ALFA, Bratislava 1989.)

Proces únavy materiálu se

popisuje únavovou křivkou –

závislostí amplitudy napětí na počtu

cyklů (obr.5.24). Z grafu je patrné,

ţe počet cyklů do porušení roste

s klesající amplitudou napětí. Pro

některé druhy materiálů (například

nízkouhlíkové oceli – křivka a)

existuje hranice napětí, při které

nedochází k porušení ani při

prakticky neomezeném počtu cyklů.

Toto napětí se označuje c a nazývá

se mez únavy. Křivka únavy

označená b se vyznačuje plynule

klesajícím napětím v závislosti na

počtu cyklů, takţe k porušení

dochází při konečném počtu cyklů

pro všechny hodnoty napětí.

V tomto případě není moţné

definovat mez únavy, proto se zavádí časovaná mez únavy N, definovaná určitým počtem

cyklů do porušení Nx. Toto chování je moţné pozorovat u slitin s fcc mříţkou, typicky u

hliníku. Na únavové křivce lze popsat tyto oblasti: Při amplitudě napětí blízké mezi pevnosti

dochází k porušení při velmi nízkém počtu cyklů. Lom nemá charakter únavového lomu a

obvykle se nazývá kvazistatický lom. Při počtu cyklů do 105 nebo velikosti amplitudy

plastické deformace do porušení větší neţ 103

se jedná o nízkocyklovou únavu. Vztah mezi

Obr.5.24. Únavová křivka s mezí únavy (a) a časovanou

mezí únavy (b).

(P. Veles, v: Mechanické vlastnosti a zkúšanie kovov, ALFA, Bratislava

1989.)

151

plastickou deformací a počtem cyklů do porušení při nízkocyklové únavě udává Manson-

Cofinova rovnice:

21 CN

C

fpl , (5.105)

kde Δεpl je velikost plastické deformace při jenom kmitu, Nf je počet cyklů do porušení, C1

je exponent únavové ţivotnosti a C2 představuje součinitel únavové taţnosti.

Při počtu cyklů vyšším neţ 105 se jedná o vysokocyklovou únavu.

Proces únavy se skládá ze tří stádií:

První stadium zahrnuje změny mechanických vlastností v celém objemu zatěţovaného

materiálu. V tomto stádiu dochází ke změně koncentrace a uspořádání mříţkových poruch a

v důsledku toho dochází buď k cyklickému zpevnění (ve vyţíhaných materiálech s poměrem

Rm/Re>1,4) nebo k cyklickému změkčení (ve zpevněných materiálech poměrem Rm/Re<1,2.

Z hlediska odolnosti proti porušení únavou jsou nevýhodné materiály, které se cyklicky

změkčují. U těchto kovů dochází k porušení při menším počtu cyklů neţ u cyklicky

zpevňujících materiálů.

Ve druhém stadiu dochází ke vzniku

trhlin v malé části objemu, obvykle na

povrchu nebo na jiném místě, kde dochází

ke koncentraci napětí a cyklické plastické

deformace. Při cyklickém namáhání se na

povrchu kovu vytvářejí velmi malé

výstupky nazývané extruze. Současně lze

pozorovat prohlubně – intruze (obr.5.25).

Tyto jevy vedou k nukleaci únavových

trhlin. Mechanismus vzniku těchto jevů

spočívá v nahromadění dislokací a skluzu.

Posledním stádiem je šíření trhlin

končící únavovým lomem. Zpočátku

dochází ke krystalografickému šíření trhlin

podél aktivních skluzových rovin v mříţce

v rovině působení maximálního smykového

napětí, přibliţně pod úhlem 45° ke směru

působení cyklického tahového napětí. Toto

stádium zabírá pouze malou část lomové

plochy, ale probíhá po dobu velmi

vysokého počtu cyklů – aţ do devadesáti

procent z celkového počtu cyklů do lomu.

Následuje nekrystalografické šíření trhlin

ve směru kolmém na směr zatíţení. Trhlina

se šíří transkrystalicky a podstatně rychleji, neţ v předchozí fázi. Morfologie této části lomu

je typicky ţlábkovitá, přičemţ výška ţlábků je úměrná amplitudě cyklického napětí. Typická

morfologie únavového lomu je schematicky znázorněna na obr. 5.26.

Obr. 5.25. Shematické zobrazení vzniku extruzí a

intruzí.

(P. Veles, v: Mechanické vlastnosti a zkúšanie kovov, ALFA,

Bratislava 1989.)

152

Obr.5.26. Morfologie únavového lomu

(J. Pluhař, J. Koritta v: Strojírenské materiály, SNTL, Praha 1981.)

V.2.11. Lom polykrystalů

Dojde-li k porušení soudrţnosti krystalické látky, hovoříme o lomu. K takovému procesu

dochází za různých podmínek a výsledný proces můţe mít různý charakter. V principu

můţeme rozlišit křehký lom a tvárný lom, z hlediska dráhy separace pak interkrystalický lom

a transkrystalický lom. U některých kovů a slitin existuje oblast teplot, v níţ se mění druh

lomu z tvárného na křehký, který je z praktického hlediska velice nebezpečný, neboť – na

rozdíl od tvárného – probíhá velice rychle. Pak hovoříme o teplotě přechodu ke křehkému

lomu. Příkladem interkrystalického křehkého lomu byla i degradace turbiny v elektrárně

Hinkley Point (obr. 4.47).

V.2.11.1 Křehký lom

Nebezpečnost křehkého lomu spočívá především v tom, ţe nastává zpravidla bez větší

plastické deformace, tj. po řádově 1% prodlouţení. Lom nastává tak, ţe dojde k porušení

soudrţnosti oddělením dvou částí krystalu podle krystalografických rovin. Tyto roviny jsou

obvykle nejhustěji obsazené atomy. Křehký lom nastává při nízkých teplotách. Pozoruje se, ţe

lom monokrystalů snadno nastává při těch orientacích, kdy sloţka napětí působící skluz

(smyková sloţka) je malou částí působícího napětí. Napětí, při kterém dochází k lomu

monokrystalů, je tedy orientačně závislé a ke štěpení dojde při jisté kritické hodnotě

normálové sloţky napětí.

Pro následující úvahy si zavedeme tzv. teoretickou pevnost pevné látky jako napětí m

nutné k tomu, aby došlo k oddělení dvou částí vzorku současně na celém průřezu. Napětí

nutné k vzájemnému oddělení dvou sousedních vrstev atomů nazýváme teoretické napětí

lomu. Toto napětí je moţné určit na základě jednoduchého odhadu meziatomových sil a

energie dvou nových povrchů, které vzniknou při lomu.

F

m

153

/2b

x

F

Obr. 5.27. Závislost síly vazby na meziatomové vzdálenosti.

Závislost síly vazby mezi atomy na meziatomové vzdálenosti (obr. 5.27) se dá

v počáteční fázi přibliţně vyjádřit jako

x

m

2sin . (5.106)

Práce nutná k oddělení dvou atomových rovin vztaţená na jednotku plochy je pak

m

mx

xW

d

2sin

2/

0

. (5.107)

Jestliţe se tato práce spotřebuje na vytvoření dvou nových povrchů a povrchová energie

na jednotku plochy je s, pak

s

m

2 . (5.108)

Protoţe pro malá prodlouţení platí Hookův zákon bEx / (E je Youngův modul

pruţnosti, b je atomární vzdálenost) a pro malá x plyne z rov. (5.103) /2d/dm

x ,

dostaneme

2/1

b

Es

m

. (5.109)

154

Tak jsme získali výraz pro teoretické napětí lomu. To však je mnohem vyšší neţ

experimentálně pozorované napětí lomu.

V.2.11.2 Griffithovo kritérium mikrotrhlin

Rozpory mezi teoretickou a experimentálně nalezenou hodnotou napětí lomu se snaţil

vysvětlit Griffith na základě předpokladu, ţe v krystalu existují mikrotrhliny, které se v něm

šíří a způsobují tak lom. Koncentrace napětí u čela trhliny usnadňuje postupné přerušení

vazeb mezi atomy. Šíření trhliny si můţeme představit tak, ţe postupně dochází k přerušování

atomárních vazeb. Dojde-li k přerušení všech vazeb, krystal

se rozdělí mezi dvěma atomovými rovinami a vzniknou dva

povrchy. Povrchová energie dvou oddělených rovin je

rovna práci, nutné k přerušení těchto vazeb. Na rozdíl od

případu uvaţovaného v předchozí části však k překročení

teoretické pevnosti dojde pouze v jednom bodě. To

znamená, ţe napětí lomu bude niţší neţ teoretické napětí

dané vztahem (5.106).

Dalším předpokladem Griffithova přístupu je, ţe

trhlina se bude šířit v důsledku působícího napětí jen

tehdy, kdyţ úbytek elastické deformační energie způsobený

růstem délky trhliny bude větší než přírůstek povrchové

energie způsobený vzrůstem povrchu trhliny. Tento

předpoklad se nazývá Griffithovo kritérium. Podle něj

můţeme vypočítat napětí, při kterém se bude trhlina šířit.

Předpokládejme, ţe v pruţném tělese o jednotkové tloušťce

existuje trhlina o délce 2c (obr. 5.28).

Úbytek deformační energie dWD způsobený růstem trhliny (přibliţně eliptického tvaru) o

dc je

cE

cW

Dd

2d

2 (5.110)

(trhlina sniţuje deformační energii). Přírůstek povrchové energie trhliny dWP lze přibliţně

vyjádřit jako

cWsPd4d . (5.111)

Napětí nutné k šíření trhliny c vypočteme z podmínky rovnováhy mezi oběma energiemi

(platnost Griffithova kritéria)

0d

d

d

d

c

W

c

WPD

. (5.112)

Pak

A

2c

Obr. 5.28. Šíření mikrotrhliny.

155

2/12

c

Es

c

. (5.113)

Podobný vztah lze odvodit i pro krystalickou látku. Jestliţe má trhlina délku 2c a poloměr

křivosti r, dosáhne působící napětí maximální hodnoty m (na konci hlavní osy trhliny – bod

A, obr. 5.24) podle vztahu

2/12

r

cm

. (5.114)

V krystalu lze za poloměr křivosti poloţit meziatomovou vzdálenost b,

2/12

b

cm

. (5.115)

Trhlina se však bude šířit tehdy, kdyţ m v rov. (5.115) dosáhne hodnoty odpovídající

hodnotě teoretického napětí lomu daného rov. (5.109). Porovnáním obou vztahů dostaneme

pro napětí c nutné k šíření trhliny

2/1

2

c

Es

c

. (5.116)

V.2.11.3 Vznik mikrotrhlin plastickým skluzem

Základním předpokladem Griffithova přístupu k řešení lomové problematiky je existence

mikrotrhlin v krystalu. Co je však příčinou vzniku dutin a mikrotrhlin? Ukazuje se, ţe

podstatnou roli při tvorbě těchto útvarů hraje plastická deformace, tedy skluzové dislokace.

Na základě tohoto předpokladu je moţné vysvětlit i existenci přechodové oblasti teplot, kdy

při vyšších teplotách je kov tvárný (houţevnatý) a při niţších křehký (štěpný). Stejné faktory,

které ovlivňují kritické skluzové napětí 0 (generace a pohyb skluzových dislokací), budou

ovlivňovat napětí nutné k šíření mikrotrhlin. To znamená, ţe kdyţ skluzové napětí bude menší

neţ c (0 c), pak bude materiál tvárný, v opačném případě (0 c) bude křehký.

Z několika navrţených modelů, které vysvětlují vznik mikrotrhlin pohybem skluzových

dislokací si uvedeme dva nejdůleţitější.

1. V krystalu dojde k nakupení hranových dislokací před překáţkou. Působící napětí bude

neustále stlačovat dislokace před překáţkou. Výsledkem bude vytvoření trhliny pod

skluzovou rovinou (obr. 5.29) u čela nakupení, kde je nejvyšší koncentrace napětí, protoţe

kolem hranových dislokací existuje dilatační oblast.

překážka

trhlinaDZ

Obr. 5.29. Vznik mikrotrhliny u nakupení dislokací před překáţkou (DZ = dislokační zdroj).

156

2. Druhý mechanismus aplikovaný na kovy s bcc strukturou navrhl Cottrell. Tento model

předpokládá, ţe ve dvou skluzových rovinách typu 110 se pohybují hranové dislokace

s Burgersovým vektorem typu 1/2111. Uvaţujme, ţe v rovině (101) se pohybuje dislokace

s Burgersovým vektorem typu 1/2 111 a v rovině ( 110 ) dislokace s Burgersovým vektorem

1/2111 (obr. 5.30a). V průsečíku obou rovin můţe vzniknout nová dislokace podle reakce

0011111112

1

2

1 . (5.117)

Nově vzniklou hranovou dislokaci můţeme povaţovat za klín vloţený mezi roviny (001)

o tloušťce rovné mříţkové konstantě (obr. 5.26b). Ve skluzových rovinách se však můţe

pohybovat více dislokací, bude docházet neustále k dislokační reakci (5.114) a tím n dislokací

s Burgersovým vektorem 001 vytvoří trhlinku o délce 2c (obr. 5.30c,d).

(a)(10-1)

(101)

(001)

(b)

(c) (d)

Obr. 5.30. Vznik mikrotrhliny vzájemnou reakcí skluzových dislokací.

Rov. (5.117) můţeme upravit na tvar

s

c

s E

c

2. (5.118)

Součin délky trhliny 2c a deformace c/E udává maximální posunutí mezi předními

stěnami trhliny. Toto posunutí je způsobeno n dislokacemi, z nichţ kaţdá vyvolá posunutí o

jednu mříţkovou konstantu b. To znamená, ţe celkové posunutí mezi předními stěnami

trhlinky je nb. Po úpravě rov. (5.118) dostaneme

scnb , (5.119)

157

coţ vlastně představuje obecné kritérium lomu. Fyzikálně jej lze interpretovat tak, ţe napětí

působící na n pohybujících se dislokací musí vykonat práci, která – aby mohl nastat lom – se

musí alespoň rovnat povrchové energii nově vytvořených povrchů.

Pomocí obecného kritéria lomu lze vysvětlit, proč je lom za jistých okolností křehký a

jindy tvárný. Veličina s nezávisí na teplotě. Na druhé straně jak c tak nb mohou být teplotně

závislé. c bude úměrné působícímu napětí . Konstanta úměrnosti obsahuje poměr

normálového napětí ke smykovému napětí. Také veličina nb závisí na působícím napětí. Lze

předpokládat, ţe krystal bude tvárný, jestliţe levá strana rov. (5.116) bude menší neţ pravá a

naopak, krystal bude křehký, kdyţ levá strana rov. (5.116) bude větší neţ pravá. Tím je

moţno vysvětlit, proč s klesající teplotou dochází ke změně původně tvárné látky v křehkou,

tj. vysvětlit existenci přechodu ke křehkému lomu.

V.3. Zotavení a rekrystalizace

Během tváření se část energie vynaloţená na plastickou deformaci ukládá ve formě

energie nově vznikajících krystalových poruch. Dislokační struktura, která vzniká v průběhu

deformace, je tvořena oblastmi hustých shluků dislokací, které se střídají s oblastmi o menší

hustotě dislokací. Takové uspořádání je typické a nazývá se buněčná struktura (obr. 5.31).

Deformovaný materiál má tedy

vyšší volnou energii a je méně

stabilní neţ materiál netvářený.

Přechod do stabilnějšího stavu se

uskutečňuje zotavením a

rekrystalizací. K těmto procesům

dochází, ţíhá-li se materiál po

tváření za studena (tj. při teplotách

T 0,4Tt) po určitou dobu při

zvýšené teplotě. Při tom zpravidla

klesají hodnoty deformačních

napětí aţ na výchozí hodnotu před

tvářením. Doba t, teplota ţíhání Ta

a velikost deformace určují, zda

dojde k odpevnění v důsledku

statického zotavení nebo statické

rekrystalizace. Pojem „statický“

popisuje skutečnost, ţe ke změnám

ve struktuře materiálu a

následnému odpevnění dochází za nezatíţeného stavu.

Postupujeme-li od nízkých teplot ţíhání je prvním odpevňovacím procesem zotavení. To

zahrnuje děje, při nichţ v malém měřítku (uvnitř jednotlivých zrn, jejichţ velikost se nemění)

dochází k vymizení elastických pnutí a nadbytečných bodových poruch. Zároveň v důsledku

tepelně aktivovaného šplhání a příčného skluzu dochází ke vzniku a pohybu dislokačních stěn

a maloúhlových rozhraní, případně i k anihilaci dislokací. Průběh zotavení bude různý u

materiálů s různou energií vrstevné chyby stacking fault energy (SFE). Malá šířka rozštěpení

má za následek snazší zaškrcení nutné k příčnému skluzu rozštěpených šroubových dislokací,

a proto se materiály s vysokou SFE (např. Al) zotavují snadno a dochází u nich během

zotavení k značnému odpevnění. U materiálů s nízkou SFE (např. Ag) k většímu zotavení

nedochází a v řadě případů v nich probíhá pouze rekrystalizace. Výsledná struktura

v zotaveném materiálu je charakterizována subzrny o určitém středním průměru dsz.

Obr. 5.31. Dislokační buněčná mikrostruktura.

(F. Prinz, A.S. Argon, Phys. Stat. Sol. 57 (1979) 741).

158

Pokud deformace překročí

kritickou hodnotu, dochází po

statickém zotavení ke statické

rekrystalizaci. Primární

rekrystalizace je proces, při němţ se

dislokační struktura zpevněného

materiálu nahradí novými

nedeformovanými zrny, která

vznikají nukleací a růstem. Pro

relativně velké deformace dochází u

kovů s vysokou SFE ke srůstání

subzrn a u kovů s nízkou SFE

k tvorbě nukleačních zárodků

v místech velkých lokálních hustot

dislokací. Růst rekrystalizovaného

zrna je uskutečňován migrací

velkoúhlových hranic zrn a je

doprovázen relativně velkou anihilací

dislokací (obr. 5.32). Rekrystalizací

tak můţeme dosáhnout úplného

odpevnění.

Při konstantní teplotě ţíhání roste objemová frakce zrekrystalizované látky XR s časem

podle tzv. Avramiho vztahu

)exp(1 n

RtX (5.120)

kde a n jsou materiálové konstanty. XR se zjišťuje buď metalograficky, nebo měřením meze

kluzu.

Sledujeme-li závislost odpevnění na Ta při konstantní době ţíhání, dostaneme

charakteristickou závislost (obr. 5.33), která je typická tím, ţe k odpevnění dochází v poměrně

úzkém teplotním oboru. Při Ta = konst. roste odpevnění s dobou ţíhání a probíhá tím dříve,

čím je vyšší Ta. Střední průměr zrna dz při primární rekrystalizaci závisí na deformaci. Jestliţe

ţíháme velmi málo deformovaný materiál, nedojde v něm k rekrystalizaci, neboť v něm

nebude existovat dostatečná deformační energie pro nukleaci nového zrna. Teprve po

dosaţení kritické deformace nastanou podmínky pro nukleaci jediného zrna a jeho následný

růst do deformované matrice. Ţíhání materiálu po kritické deformaci lze tedy vyuţít

k přípravě monokrystalu (metoda strain–anneal, obr. 5.34). Při ţíhání materiálu

deformovaného do vyšších stupňů, charakterizovaných např. relativním prodlouţením nebo

zmenšením tloušťky) se bude postupně zvyšovat počet nukleačních center a následným

růstem nových zrn bude klesat celková velikost zrna.

Obr. 5.32. Růst rekrystalizovaného zrna v deformované

matrici slitiny Fe–6at.%Si.

(K.T. Aust, E.F. Koch, C.G. Dunn, Trans. AIME 209 (1957) 472).

159

0

1

Ta1

> Ta2

log t

XR

Obr. 5.33. Závislost odpevnění resp. objemové frakce zrekrystalizované látky XR na době ţíhání při

dvou různých teplotách ţíhání Ta.

Silnější deformace materiálu tak vedou při ţíhání ke zjemňování zrna: roste totiţ počet

ţivotaschopných zárodků, které mohou v materiálu růst na úkor deformační energie. Jestliţe

se vytvoří plně vyvinutá primárně-rekrystalizační struktura obsahující různě orientovaná zrna

přibliţně stejné velikosti, můţe při dalším ţíhání dojít ke zvětšování střední velikosti zrn

v důsledku normálního růstu zrn (obr. 5.35). Při něm prohnuté hranice zrn migrují do středu

své křivosti a větší zrna pohlcují své menší sousedy (obr. 5.36). Hybnou silou je v tomto

případě sniţování energie hranic zrn zmenšováním jejich celkové plochy.

Obr. 5.34. Růst velkého zrna (monokrystalu) do

polykrystalického Fe deformovaného na kritický

stupeň deformace metodou strain–anneal.

(P. Lejček, ve: Fyzika na zítřek, editor Z. Kluiber, str. 19,

SPN, Praha 1992.)

160

(a)

(b)

Obr. 5.35. Růst zrn v odlitku zonálně

čištěného olova. Odlitek (a) byl ţíhán 1

hodinu při 300°C (b). Délka odlitku ca

10 cm.

(K.T. Aust, v: The art and science of growing

crystals, editor J.J. Gilman, str. 452, Wiley, New

York 1963.)

Ţíhání po deformacích do vysokého stupně poskytne velmi jemnozrnnou primární

strukturu. V průběhu silné jednosměrné deformace (nad 90%) však dochází k tvorbě výrazné

deformační textury, která při ţíhání dále vede ke vzniku zrn se silnou primárně rekrystalizační

texturou. To znamená, ţe existuje výrazná preferenční orientace jednotlivých zrn a ta jsou

tudíţ vzájemně jen málo disorientována.

Jejich hranice jsou maloúhlové a dále

nemigrují. Proces normálního růstu zrn

je tedy omezen. Jestliţe se však v takové

struktuře objeví náhodně zrno

s výrazněji odlišnou orientací, jeho

hranice jsou vůči okolní texturované

matrici velkoúhlové a mohou migrovat

tak, ţe se zvětšuje velikost jediného zrna

(nebo několika málo zrn) na úkor okolní

stabilizované matrice (obr. 5.37). Tento

proces se nazývá abnormální růst zrn

nebo sekundární rekrystalizace. Tímto

způsobem lze rovněţ připravovat

monokrystaly: na rozdíl od metody

strain–anneal, která dovoluje

připravovat monokrystaly orientované,

je orientace monokrystalů připravených

sekundární rekrystalizací silně vázaná na

původní primárně rekrystalizační

texturu.

Pro sekundární rekrystalizaci je tedy

základní podmínkou stabilizace

primárně rekrystalizační struktury. Vedle výrazné textury můţe být stabilizátorem struktury i

jemná disperze částic druhé fáze. V tom případě zrno rostoucí „abnormálně“ musí dosáhnout

určité nadkritické velikosti, která je obvykle několikanásobkem střední velikosti zrna

v matrici.

Obr. 5.36. Migrace hranic zrn z původní polohy (1)

do středu jejich křivosti (poloha (2)) ve vysoce čistém

Al ţíhaném při 600°C.

(W.G. Burgers, v: The art and science of growing crystals, editor

J.J. Gilman, str. 416, Wiley, New York 1963.)

0,1

mm

161

Výsledkem všech sekundárně

rekrystalizačních procesů je

polykrystal s poměrně velkými

zrny. Ani toto stadium však nemusí

být konečné. Ţíháme-li tenký

vzorek (o tloušťce řádově 0,1 mm)

po sekundární rekrystalizaci, můţe

dojít ke zvětšení zrna s určitou

orientací roviny povrchu na úkor

okolních zrn. V tom případě je

hybnou silou sniţování volné

energie materiálu tím, ţe se sniţuje

celková povrchová energie. Tento

proces, který se někdy nazývá

terciární rekrystalizace, lze ovlivnit

volbou ţíhacího prostředí. Ţíháme-

li např. plechy slitiny Fe–6at.%Si

v argonu obsahujícím stopy

kyslíku, rostou preferenčně zrna

s povrchovou orientací (001).

Nahradíme-li argon suchým

vodíkem nebo ţíháme-li dále

vzorky ve vakuu, porostou naopak

zrna s orientací (011).

Obr. 5.37. Růst zrn velkého sekundárně rekrystalizačního

zrna do primárně rekrystalizační textury ve slitině Fe–Si.

(K.T. Aust, v: The art and science of growing crystals, editor J.J. Gilman,

str. 452, Wiley, New York 1963.)

162

Použitá a další doporučená literatura:

P. Kratochvíl, P. Lukáč, B. Sprušil: Úvod do fyziky kovů I, SNTL, Praha 1984.

A.H. Cottrell: Theoretical Physical Metallurgy, Edward Arnold Publ., London, 1959

(slovenský překlad: Základy fyziky kovov, SVTL, Bratislava, 1959).

A.G. Guy: Essentials of Materials Science, McGraw–Hill, New York, 1976.

J. Pluhař, A. Puškár, J. Koutský, K. Macek, V. Beneš: Fyzikální metalurgie a mezní stavy

materiálu, SNTL, Praha 1987.

Physical Metallurgy, 4th ed., R.W. Cahn, P. Haasen, Eds., North-Holland, Amsterdam, 1996.

G. Gottstein: Physical Foundations of Materials Science, Springer, Berlin, 2004.