funzioni trigonometriche - users · 14 funzioni trigonometriche: senx e cosxv x y a b d c p il...
TRANSCRIPT
10/01/13 1
2
definizione intuitiva: funzione continua ↔ curva continua
3
Funzioni trigonometriche}
4
o
5
6
7
8
1)
2)
3)
Le
9
successione
La successione converge a “e”
10
y=ex
11
Si dice logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x , cioe': ne segue che
I logaritmi e la funzione logaritmo
x=a y y=loga x
Proprieta'loga x⋅y =loga xloga y loga
xy=loga x−loga y
loga xk =k loga x logb x =
logk x
logk b
1 2
3 4
y= f x=loga x
loga a=1
loga 1=0
aloga x=logaax=x
10/01/13 12
10/01/13 13
14
VFunzioni trigonometriche: senx e cosx
x
y
A
B
D
C
P Il punto P si sposta partendo da A in senso antiorario
Posizione Angolo Seno CosenoA 0 0 1B π/2 1 0C π 0 -1D 3/2π -1 0A 2π 0 1
- le funzioni seno e coseno sono limitate tra -1 e 1- dopo un giro (2π) riassumono lo stesso valore funzioni periodiche→
15
Funzioni trigonometriche: senx e cosx
Le funzioni seno e coseno sono uguali, solo sfasate di π/2
16
Il
10/01/13 17
10/01/13 18
Formule di prostaferesi
In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
cos−=coscossin sin
cos=coscos−sin sin
sin =cos 90−=sin cos cossin
sin −=cos 90−−=sin cos−cossin
Caso particolare cos(2β)=cos2
(β)−sin2(β)
=
sin 2=2sin cos
10/01/13 19
Teorema di Carnot
Dato un triangolo qualsiasi ABC, e' possibile determinare un lato AB se si conoscono gli altri due lati AC e BC e L'angolo tra essi compreso usando la relazione:
AB2=AC2 + BC2 -2AC·BC cos(γ)
A B
C
γ
20
Limiti: Caso 1Data una funzione ƒ(x) definita in un intervallo di si dice che il limite di ƒ(x) al tendere di x a c e' il numero reale α e si scrive
limxc
f x=
se per ogni intorno di α esiste un intorno J di c tale che per ogni x
appartenente a J valori assunti dalla funzione ƒ(x) sono tali da verificarela disuguaglianza: α−ε<ƒ(x)<α+ε
ℝ
o x
y
c
J
α
α+ε
α−ε
o x
y
c
αα+εα−ε
J
21
Limite di una funzione continua:
Se abbiamo una funzione continua: cioe' il limite per x che tende al valore c della funzione ƒ(x) e' ilvalore ƒ(c) che la funzione assume in c
limx c
f x = f c
Esempi:
limx0
e x=e0=1
limx1
3x−1=3⋅1−1=2
Se la funzione non e' continua caso per caso si deve calcolare il limitese esiste.
22
Limiti: Caso 2Una funzione ƒ(x) definita in un intervallo di ha per limite infinitopositivo o l'infinito negativo per x che tende c e si scrive
limx c
f x =∞
se scelto M arbitrariamente grande esiste un intorno di c, J tale che per ogni x appartenente a J sia verificato per la funzione: ƒ(x)>M o rispettivamente ƒ(x)<−M
ℝ
o x
y
c
J
M J
limx c
f x =−∞
o x
y
c
-M
/\/\
/\/\
23
Esempi:
limx1
xx−1
=∞
limx/2
tan x=∞
In particolare per la tangente di un angolo dobbiamo specificare se tende a π/2 da sinistra o da destra. Infatti:
limx/2
tan x =∞
limx/2
tan x =−∞
-
+
24
Limiti: Caso 3Una funzione ƒ(x) definita in un campo di esistenza illimitato a destra o sinistra ha per limite un numero reale α per x che tende a ±∞
e si scrive limx∞
f x=
se per ogni intorno di α esiste un numero reale K tale che attribuendo a x valori x>K o x<-K i valori assunti dalla funzione ƒ(x) cadono nell'intorno di α
α−ε<ƒ(x)<α+ε
ℝ
o x
y
K
α
α+ε
α−ε
limx−∞
f x=
o x
y
-K
α
α+ε
α−ε
/\/\ /\/\
e/o
25
Esempi:
limx∞
2x−1x1
=2xx
=2
limx−∞
e x=0
limx∞
e−x= limx∞
1
e x=
1∞
=0
26
Limiti: Caso 4Una funzione ƒ(x) definita in un campo di esistenza illimitato a destra o sinistra si dice che per x che tende a ±∞ ha per limite infinitopositivo o negativo e si scrive
limx∞
f x=±∞
se in corrispondenza di un numero M arbitrariamente grande esiste unnumero reale K tale che attribuendo a x valori x>K o x<-K la funzione assume valori ƒ(x)>M o rispettivamente ƒ(x)<−M
ℝ
o x
y
K
limx−∞
f x=±∞
o x
y
-K
M
-M
M
-M
/\/\ /\/\
/\/\
/\/\
/\/\
/\/\
27
Esempi:
limx∞
x=∞
limx−∞
x=−∞
y
x-∞
-∞
+∞
+∞
y
x
-∞+∞
-∞ +∞
limx∞
−x=−∞
limx−∞
x=∞
28
Esempi di calcolo di limiti:
limx3
x2−9x−3
f x =x2−9x−3
Definita su eccetto x=3. Cosa possiamo dire Per x=3?
ℝ
Se si sostituisce x=3 otteniamo 0/0 forma indeterminata
Per studiare il comportamento delle funzione in 3 osserviamo che:
x2−9x−3
= x−3x3
x−3=x3 si considera questa come nuova funzione
che approssima la nostra funzione in x=3
limx3
x2−9x−3
=limx3
x3=6
1) Funzione che si dimostra essere continua
Quindi la funzione per x=3 e' continua e il suo valore e' 6
29
Esempi di calcolo di limiti:
limx1/2
x21
2x−1=∞
f x =x212x−1
Definita su eccetto x=1/2. Cosa possiamo dire per x=1/2?
ℝ
2) Calcolo degli asintoti
In questo caso il limite destro e sinistro non sono uguali
limx1/2
x212x−1
=−∞-
Se mi avvicino a ½ da sinistra ho valori inferiori a½ quindi χ≤1 che significa “0 negativo”
limx1/2
x 21
2x−1=∞+
Se mi avvicino a ½ da destra ho valori superiori a½ quindi χ≥1 che significa “0 positivo”
Quindi x=1/2 e' un asintoto verticale
o x
y
30
Esercizi
1) Calcolare il limite per x->0, 2, ∞ delle funzioni:
f x =3x2−5x
4−x2 f x =x3−64
32 x−2
2) Calcolare il limite per x->-1, 0, 1, ∞ della funzione
f x =2x3x2−x
x31
3) Calcolare il limite per x->-2, 0, 2, ∞ della funzione
f x = x25−x
31
Studio di funzioni
Usiamo come esempio la funzione:
1) Determinare il campo di esistenza Nel nostro caso: escluso x=-d/c2) Determinare il comportamento all'infinito:
3) Determinare i possibili asintoti verticali (o orizzontali)
4) Intersezioni con gli assi - Si pone x=0 f(x)=b/d e' l'ordinata del punto di intersezione con Asse y, se b=0 l'intersezione e' l'origine. - Si pone f(x)=0 x=-b/a, ascissa del punto di intersezione con l'asse x
f x =axbcxd
ℝ
ℝ
limx∞
f x =ac
limx
−dc
f x=∞
32
5) Determinare di massimi e/o minimi Questo lo faremo studiando la derivata della funzione 6) Disegnare il grafico della funzione
x=-d/c
y=a/cAsintotoorizzontale
Asintotoverticale
y=b/d
x=-b/a