funksjoner forelesning i matematikk 1 tma4100 - wiki.math ...19 inverse funksjoner definisjon (den...
TRANSCRIPT
FunksjonerForelesning i Matematikk 1 TMA4100
Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag
19. august 2011
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
2
Stigende og avtagende funksjonerDefinisjonEn funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f (x1) < f (x2) nårx1 < x2 i I
f (x) = |x |er stigende på [0,∞ >
1−1
1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
2
Stigende og avtagende funksjonerDefinisjonEn funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f (x1) < f (x2) nårx1 < x2 i I
DefinisjonEn funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f (x1) > f (x2)når x1 < x2 i I
f (x) = |x |er avtagende på < −∞, 0]
1−1
1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
3
Jevne og odde funksjoner
Definisjon (Odde)En funksjon f (x) kalles for enodde funksjon hvis
f (−x) = −f (x)
for alle x idefinisjonsmengden.
EksempelPotensfunksjonen:
f (x) = x3
1−1
1
−1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
4
Jevne og odde funksjoner
Definisjon (Jevn)En funksjon f (x) kalles for enjevn funksjon hvis
f (−x) = f (x)
for alle x idefinisjonsmengden.
EksempelPolynomet:
f (x) = x4 + x2 − 1
1−1
1
−1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
5
Horisontal og vertikal forskyvning
1 Horisontal forskyvningmot høyre
2 Horisontal forskyvningmot venstre
3 Vertikal forskyvning opp4 Vertikal forskyvning ned
1 2−1−2
1
−1
f (x − 1)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
5
Horisontal og vertikal forskyvning
1 Horisontal forskyvningmot høyre
2 Horisontal forskyvningmot venstre
3 Vertikal forskyvning opp4 Vertikal forskyvning ned
1 2−1−2
1
−1
f (x + 1)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
5
Horisontal og vertikal forskyvning
1 Horisontal forskyvningmot høyre
2 Horisontal forskyvningmot venstre
3 Vertikal forskyvning opp4 Vertikal forskyvning ned
1 2−1−2
1
−1
f (x) + 1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
5
Horisontal og vertikal forskyvning
1 Horisontal forskyvningmot høyre
2 Horisontal forskyvningmot venstre
3 Vertikal forskyvning opp4 Vertikal forskyvning ned
1 2−1−2
1
−1
f (x) − 1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
12 f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
f (2 x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
2 f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
f (12x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
−f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
6
Skalering og refleksjon
1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon
1 2−1−2
1
−1
f (−x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
7
Vinkler
Grader
90◦
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
7
Vinkler
Grader
90◦
og Radianerθ = π/2 ≈ 1,5708
r = 1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
8
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = cos(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = cos(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sin(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = tan(x)
xa
bh
cos x = a/hsin x = b/htan x = b/a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
8
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = cos(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = sin(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sin(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = tan(x)
xa
bh
cos x = a/hsin x = b/htan x = b/a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
8
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = cos(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sin(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = tan(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = tan(x)
xa
bh
cos x = a/hsin x = b/htan x = b/a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
9
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = sec(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sec(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = csc(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = cot(x)
xa
bh
sec x = h/bcsc x = h/bcot x = a/b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
9
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sec(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = csc(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = csc(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = cot(x)
xa
bh
sec x = h/bcsc x = h/bcot x = a/b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
9
Trigonometriske funksjoner
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = sec(x)
1 2−1−2−3
1
−1
f (x) = csc(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = cot(x)
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = cot(x)
xa
bh
sec x = h/bcsc x = h/bcot x = a/b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
10
Periodisitet
En funksjon er periodisk med periode T hvis
f (x + T ) = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
10
Periodisitet
En funksjon er periodisk med periode T hvis
f (x + T ) = f (x)
Eksempel:
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
−1
f (x) = sin(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
11
Trigonometriske identiteter
1−1
1
−1
b(cos θ, sin θ)
cos2 θ + sin2 θ = 1
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
12
Cosinus-loven
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
C A
B
ca
b
θ
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
13
Eksponensiell oppførsel
Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse erproposjonal med størrelsen
1 2−1−2−3
1
−1
−2
f (x) = 2x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
14
EksponensialfunkjsonerDefinisjonEn funksjon på formen y = ax kalles for en eksponensialfunksjon .
1 2 3−1−2−3
1
2
3
y = 2x
y = 4x
y = (12 )x
y = (14)x y = ex
Tangenten til ex
igjennom punktet(0,1) har stignings-grad 1.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
15
Egenskaper til eksponensial funksjoner
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4 axbx = (ab)x
5 ax/bx = (a/b)x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
15
Egenskaper til eksponensial funksjoner
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4 axbx = (ab)x
5 ax/bx = (a/b)x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
15
Egenskaper til eksponensial funksjoner
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4 axbx = (ab)x
5 ax/bx = (a/b)x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
15
Egenskaper til eksponensial funksjoner
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4 axbx = (ab)x
5 ax/bx = (a/b)x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
15
Egenskaper til eksponensial funksjoner
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4 axbx = (ab)x
5 ax/bx = (a/b)x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
16
En-entydige funksjoner (en-til-en)
Definisjon (En-entydighet)En funksjon kalles en-entydig hvis det for hver y i vedimengdenfinnes en og bare en x i definisjonsmengden som har verdienf (x) = y .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
17
Vertikal linjetestHorisontal linjetestEn funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje harmer enn ett punkt felles med grafen.
f (x) = x2 er ikke 1-1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
17
Vertikal linjetestHorisontal linjetestEn funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje harmer enn ett punkt felles med grafen.
f (x) = x2 er ikke 1-1 Eksponensialfunksjonen ex
er en-entydig
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
18
Speiling av graf om linjen y = xSpeiling av grafen til 1 − 1-tydig funksjon om x = y .
Om vi speiler grafen til en 1 − 1-tydig funksjon f (x) om linjen x = yfår vi grafen til en funksjon
1 2−1−2
1
2
−1
−2
18
Speiling av graf om linjen y = xSpeiling av grafen til 1 − 1-tydig funksjon om x = y .
Om vi speiler grafen til en 1 − 1-tydig funksjon f (x) om linjen x = yfår vi grafen til en funksjon
1 2−1−2
1
2
−1
−2
Hor. linjetest
18
Speiling av graf om linjen y = xSpeiling av grafen til 1 − 1-tydig funksjon om x = y .
Om vi speiler grafen til en 1 − 1-tydig funksjon f (x) om linjen x = yfår vi grafen til en funksjon
1 2−1−2
1
2
−1
−2
Hor. linjetest
Ver
.lin
jete
st
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
19
Inverse funksjoner
Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
19
Inverse funksjoner
Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
19
Inverse funksjoner
Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
19
Inverse funksjoner
Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f (x).
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
19
Inverse funksjoner
Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f (x).5 Vi skriver den inverse til f som
f−1(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
20
Inverse funksjoner
Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
20
Inverse funksjoner
Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Den inverse til f er funksjonen f−1 med egenskapen:
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
20
Inverse funksjoner
Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Den inverse til f er funksjonen f−1 med egenskapen:3 Hvis f (a) = b så er f−1(b) = a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
21
LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)
Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver
loga x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
21
LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)
Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver
loga x
Løsning av likninger
Løsningen av likningen ax = b er
x = loga b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
21
LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)
Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver
loga x
Løsning av likninger
Løsningen av likningen ax = b er
x = loga b
Regneregler1 loga bc = loga b + loga c
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
21
LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)
Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver
loga x
Løsning av likninger
Løsningen av likningen ax = b er
x = loga b
Regneregler1 loga bc = loga b + loga c2 loga bc = c loga b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
21
LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)
Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver
loga x
Løsning av likninger
Løsningen av likningen ax = b er
x = loga b
Regneregler1 loga bc = loga b + loga c2 loga bc = c loga b3 loga b/c = loga b − loga c
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
22
Den naturlige logaritmen
Definisjon (Den naturlige logaritmen)Den naturlige logaritmen er logarimen med e = 2,71828 . . . somgrunntall.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
23
Tilpassing av funksjonerFunksjoner som ikke er 1 − 1-tydige kan bli det ved å forandre pådefinisjonsmengden
Eksempel
Funksjonen f (x) = x2 , x ≥ 0 er 1 − 1.Den inverse er f−1(x) =
√x
1 2−1
1
2
−1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.2 Løs likningen x = y2 ⇔ y =
√x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
24
Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse
Å finne den inverse til f (x)
1 Bytt om x og y i y = f (x)
2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).
Eksempel (Finne den inverse)
Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.2 Løs likningen x = y2 ⇔ y =
√x .
3 Løsningen vi får er f−1(x) =√
x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
25
Andre trigonometriske funksjoner1 Tangens: tan x = sin x
cos x
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
1
2
−1
−2
y = tan x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
25
Andre trigonometriske funksjoner1 Tangens: tan x = sin x
cos x2 Cotangens:cot x = cos x
sin x
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
1
2
−1
−2
y = cot x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
25
Andre trigonometriske funksjoner1 Tangens: tan x = sin x
cos x2 Cotangens:cot x = cos x
sin x3 Secant: sec x = 1
cos x
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
1
2
−1
−2
y = sec x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
25
Andre trigonometriske funksjoner1 Tangens: tan x = sin x
cos x2 Cotangens:cot x = cos x
sin x3 Secant: sec x = 1
cos x4 Cosecant: csc x = 1
sin x
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
1
2
−1
−2
y = csc x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = cos x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = cos−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = sin x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = sin−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = tan x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = tan−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = cot x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = cot−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x5 arcsec x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = sec x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = sec−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
26
Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x5 arcsec x6 arccsc x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = csc x
1 2 3 4−1−2−3
1234
−1−2−3
y = csc−1 x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
27
Sammensatte funksjonerDefinisjonLa f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g ◦ f erdefinert ved g ◦ f (x) = g(f (x)).
Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f (x)er i definisjonsmengden til g.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
27
Sammensatte funksjonerDefinisjonLa f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g ◦ f erdefinert ved g ◦ f (x) = g(f (x)).
Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f (x)er i definisjonsmengden til g.
Eksempel
La f (x) = 1 − ex og g(x) =√
x .Definisjonsmengden til g er x ≥ 0.Definisjonsmengden til g ◦ f er derfor bestemt av f (x) ≥ 0.Dvs 1 − ex ≥ 0.Dvs x ≤ 0.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
28
Transendentale funksjoner
DefinisjonFunksjoner som ikke er algebraiske kalles for transendentalefunksjoner.
Eksempler er de trigonometriske funksjonene og deres inverse,eksponentsial funksjoner og logaritmer.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
29
Gjenomsnitlig endring∆x = b − a
∆y = f (b)− f (a)
Gjennomsnittlig endringav f (x) på intervallet [a, b]:
∆y∆x
=f (b)− f (a)
b − a
b
b
∆x
∆y
a b
Eksempel: Gjennomsnittlig fart
v̄ =tilbakelagt vei
brukt tid
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
30
Sekanters stigningstall
b
b
P
Q
Stigningstallet til sekantentil y = f (x) igjennom punktene
P(a, f (a)) og Q(b, f (b))er lik gjennomsnittlig endringsrate
til f (x) på [a, b]
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
31
Stigningstallet til en kurve
b
b
P
Q
Stigningstallet til kurven i Per lik stigningstallet til tangenten i P
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
32
Momentan endringsrate
Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a
er likstigningstallet til tangenten til
y = f (x) i P(a, f (a))
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
32
Momentan endringsrate
Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a
er likstigningstallet til tangenten til
y = f (x) i P(a, f (a))
y = x2
Eksempel: f (x) = x2
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
32
Momentan endringsrate
Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a
er likstigningstallet til tangenten til
y = f (x) i P(a, f (a))
y = x2
b
b
P
Q
Eksempel: f (x) = x2
Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h2)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
32
Momentan endringsrate
Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a
er likstigningstallet til tangenten til
y = f (x) i P(a, f (a))
y = x2
b
b
P
Q
1 1 + h
2h + h2
h
Eksempel: f (x) = x2
Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h2)
Har stigningstall2h + h2
h= 2 + h.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
32
Momentan endringsrate
Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a
er likstigningstallet til tangenten til
y = f (x) i P(a, f (a))
y = x2
b
b
P
1 1 + h
2h + h2
h
Eksempel: f (x) = x2
Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h2)
Har stigningstall2h + h2
h= 2 + h.
Tangentens stigningstall får vi ved å sette h = 0. Hvorfor???Stigningstallet i x = 1 er lik 2
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
33
Grensen av en funksjon
1 2−1
1
2
1 2−1
1
2
1 2−1
1
2
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
34
Når grenser ikke eksisterer
1 Brudd2 Vokser for
mye3 Svinger for
mye
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
34
Når grenser ikke eksisterer
1 Brudd2 Vokser for
mye3 Svinger for
mye
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
34
Når grenser ikke eksisterer
1 Brudd2 Vokser for
mye3 Svinger for
mye
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
35
Grenselover
L = limx→c
f (x) M = limx→c
g(x)
1 limx→c
(f (x) ± g(x)) = L ± M
2 limx→c
(f (x)g(x)) = LM
3 limx→c
(k f (x) = k L
4 limx→c
(f (x)/g(x)) = L/M
5 limx→c
(f (x)r/s) = Lr/s
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
35
Grenselover
L = limx→c
f (x) M = limx→c
g(x)
1 limx→c
(f (x) ± g(x)) = L ± M
2 limx→c
(f (x)g(x)) = LM
3 limx→c
(k f (x) = k L
4 limx→c
(f (x)/g(x)) = L/M
5 limx→c
(f (x)r/s) = Lr/s
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
35
Grenselover
L = limx→c
f (x) M = limx→c
g(x)
1 limx→c
(f (x) ± g(x)) = L ± M
2 limx→c
(f (x)g(x)) = LM
3 limx→c
(k f (x) = k L
4 limx→c
(f (x)/g(x)) = L/M
5 limx→c
(f (x)r/s) = Lr/s
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
35
Grenselover
L = limx→c
f (x) M = limx→c
g(x)
1 limx→c
(f (x) ± g(x)) = L ± M
2 limx→c
(f (x)g(x)) = LM
3 limx→c
(k f (x) = k L
4 limx→c
(f (x)/g(x)) = L/M , når M 6= 0
5 limx→c
(f (x)r/s) = Lr/s
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
35
Grenselover
L = limx→c
f (x) M = limx→c
g(x)
1 limx→c
(f (x) ± g(x)) = L ± M
2 limx→c
(f (x)g(x)) = LM
3 limx→c
(k f (x) = k L
4 limx→c
(f (x)/g(x)) = L/M , når M 6= 0
5 limx→c
(f (x)r/s) = Lr/s Når s er odde må L ≥ 0
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
36
Polynomer og rasjonale funksjoner
Grensen til et polynom P(x) = anxn + · · · + a1x + a0
limx→c
P(x) = P(c) = ancn + · · · + a1c + a0.
Grensen til en rasjonal funksjon P(x)/Q(y) er
limx→c
P(x)/Q(x) = P(c)/Q(c).
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
= limx→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
= limx→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
= limx→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)= lim
x→1
x(x + 1)
=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
= limx→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)= lim
x→1
x(x + 1)
=
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
37
Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner
limx→1
x2 − xx2 − 1
= limx→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)= lim
x→1
x(x + 1)
=12
Faktoriser teller og nevner
Forkort brøken
Finn grensen av teller og nevner
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner
38
Sandwich-teoremet
1 2 3−1−2−3
1
A g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) i nærheten av x = c
B limx→c
g(x) = limx→c
h(x) = L
Ergo limx→c
f (x) = L
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner