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Fundamentos de RobóticaCuaterniones
http://3dgep.com/?p=1815
Ricardo-Franco [email protected]
Escuela Universitaria de Ingeniería MecánicaUniversidad de Tarapacá
Arica, Chile
June 9, 2014
R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, 2014 1 / 25
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1 Introducción
2 Números ComplejosDefiniciónOperacionesEl plano complejoRotores
3 Cuaterniones
4 Referencias
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Introducción
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1 Introducción
2 Números ComplejosDefiniciónOperacionesEl plano complejoRotores
3 Cuaterniones
4 Referencias
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Introducción
IntroducciónLos cuaterniones permiten representar rotaciones con menosparámetros que las matrices de rotación. También permiten larepresentación de traslaciones.Debido a que su manejo computacional demanda menosmemoria que las matrices de transformación homogéneas, sonuna herramienta matemática común en la implementación dealgoritmos de control de robots.Aunque son más abstractos que las transformaciones, sonrelativamente fáciles de entender remarcando sus analogías connúmeros complejos.
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Números Complejos
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1 Introducción
2 Números ComplejosDefiniciónOperacionesEl plano complejoRotores
3 Cuaterniones
4 Referencias
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Números Complejos Definición
DefiniciónEl conjunto de números complejos, C, se define como: z = a + bi ;a, b ∈ <; i2 = −1
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Números Complejos Operaciones
Suma(a1 + b1i) + (a2 + b2i)⇒ (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Resta(a1 + b1i)− (a2 + b2i)⇒ (a1 − a2) + (b1 − b2)i
Multiplicación por un escalarλ(a + bi)⇒ λa + λbi
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Números Complejos Operaciones
Multiplicación de números complejos
z1 = (a1 + b1i)z2 = (a2 + b2i)
z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + b1a2i + b1b2i2
= (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i
Cuadrado de un número complejo
z = (a + bi)z2 = (a + bi)(a + bi)
= (a2 − b2) + 2abi
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Números Complejos Operaciones
Conjugado de un número complejo (z∗)
z = (a + bi)z∗ = (a− bi)
La multiplicación de un complejo por su conjugado da un resultadoespecial:
Multiplicación de un complejo por su conjugado
z = (a + bi)z∗ = (a− bi)
zz∗ = (a + bi)(a− bi)= a2 − abi + abi + b2
= a2 + b2
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Números Complejos Operaciones
Valor absoluto de un número complejo
z = (a + bi)|z| =
√zz∗
=√
(a + bi)(a− bi)=√
a2 + b2
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Números Complejos Operaciones
Cociente de dos números complejos
z1 = (a1 + b1i)z2 = (a2 + b2i)
z1
z2=
a1 + b1ia2 + b2i
=(a1 + b1i)(a2 − b2i)(a2 + b2i)(a2 − b2i)
=a1a2 − a1b2i + b1a2i − b1b2i2
a22 + b2
2
=a1a2 + b1b2
a22 + b2
2+
b1a2 − a1b2
a22 + b2
2i
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Números Complejos Operaciones
Potencias de “i”
i0 = 1i1 = ii2 = −1i3 = ii2 = −ii4 = i2i2 = 1i5 = ii4 = ii6 = ii5 = i2 = −1
Luego, se repite un patrón: (1, i ,−1,−i ,1, . . . )
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Números Complejos Operaciones
. . . y un patrón similar se repite al incrementar potencias negativas:
Potencias de “i”
i0 = 1i−1 = −ii−2 = −1i−3 = ii−4 = 1i−5 = −ii−6 = −1
Luego, se repite un patrón: (1,−i ,−1, i ,1, . . . )
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Números Complejos El plano complejo
El plano cartesiano
Se repite un patrón similar rotando en sentido anti-horario:(x , y ,−x ,−y , x , . . . )
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Números Complejos El plano complejo
El plano complejo
Se repiten las potencias de “i" girando en sentido anti-horario:(1, i ,−1,−i ,1, . . . )
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Números Complejos El plano complejo
Ejemplo de rotación: p = 2 + iq = p × i resulta en:p = 2 + iq = pi
= (2 + i)i= 2i + i2
= −1 + 2i
r = q × i resulta en:q = −1 + 2ir = qi
= (−1 + 2i)i= −i + 2i2
= −2− is = r × i resulta en:r = −2− is = ri
= (−2− i)i= −2i − i2
= 1− 2i
t = s × i resulta en:s = 1− 2it = si
= (1− 2i)i= i − 2i2
= 2 + i
. . . luego se repite la secuencia.
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Números Complejos El plano complejo
El plano complejo
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Números Complejos Rotores
RotoresSe pueden hacer rotaciones arbitrarias, θ, mediante la multiplicaciónpor un número complejo: q = cos θ + i sin θ
. . .
p = a + biq = cos θ + i sin θ
pq = (a + bi)(cos θ + i sin θ)a′ + b′i = a cos θ − b sin θ + (a sin θ + b cos θ)i
O mediante representación matricial. . .
. . .[a′ −b′
b′ a′
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [a −bb a
]
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Cuaterniones
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Cuaterniones
DefinicionesLos cuaterniones están compuestos de 4 elementos: uno real, q0, ytres imaginarios, q1, q2 y q3. La parte imaginaria se puede considerarun vector 3D.
Para rotar vectores 3D utilizando cuaterniones, se utiliza el siguienterotor:
. . . aplicado de la siguiente forma:
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Cuaterniones
DefinicionesUna rotación Q1 seguida de una rotación Q2 se compone simplementecomo:
,. . . en ese orden. La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.
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Cuaterniones
DefinicionesAdemás:
Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación:
Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia móvil.
Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación:
Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia fijo.
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Referencias
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