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Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel

1


(Adaptado Excel 2016)

Actualizado Noviembre 2018

Alfonso Rodríguez Sandiás

Grupo Valoración Financiera Aplicada

www.usc.es/valfinap

www.usc.es/modeleva

Universidad de Santiago de Compostela

Este documento está acompañado de tres ficheros:

• Leyes.xls

• Rentas.xls

• Préstamos.xls

Objetivo cero errores: Aunque han sido revisados, tanto el documento que tiene en sus

manos como los XLS de apoyo pueden contener algún error, ya sea técnico, ya sea de

transcripción de la hoja de cálculo al texto, o también errores en la redacción o tipográficos. No

dude en ponerse en contacto con el autor para alertar de dichos errores y ayudar a mejorar este

trabajo.

[email protected]


2

TABLA DE CONTENIDOS

1. LEYES FINANCIERAS ....................................................................................................................... 4

1.1. Ley de Capitalización Simple ................................................................................................. 4

1.2. Ley de Capitalización Compuesta ......................................................................................... 7

1.3. Ley de Capitalización Simple vs Compuesta........................................................................ 10

1.4. Ley de Descuento Simple .................................................................................................... 12

1.5. Ley de Descuento Comercial ............................................................................................... 15

1.6. Ley de Descuento Compuesto ............................................................................................. 17

1.7. Ley de Descuento Simple vs Comercial ............................................................................... 20

1.8. Ley de Descuento Simple vs Compuesto ............................................................................. 21

1.9. Ley de Descuento Simple vs Comercial vs Compuesto ........................................................ 23

1.10. Tasas de Interés ................................................................................................................ 25

2. RENTAS..................................................................................................................................... 28

2.1. Valor Actual de Rentas Constantes ..................................................................................... 28

2.1.1. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable ................................................................. 28

2.1.2. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable ................................................................. 30

2.1.3. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable, diferida .................................................. 30

2.1.4. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable, diferida ................................................... 31

2.1.5. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable .............................................................. 32

2.1.6. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable .............................................................. 32

2.1.7. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable, diferida ................................................ 33

2.1.8. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable, diferida ................................................ 33

2.2. Valor Final de Rentas Constantes ....................................................................................... 34

2.2.1. Valor Final de una Renta Constante Finita pospagable ................................................................... 34

2.2.2. Valor Final de una Renta Constante Finita prepagable ................................................................... 35

2.3. Otros Datos Rentas Constantes .......................................................................................... 35

2.3.1. Valor Actual de una Renta Constante y un posible Pago Final ........................................................ 36

2.3.2. Valor Final de una Renta Constante y un posible Pago Inicial ......................................................... 37

2.3.3. Determinación del Pago, dadas el reto de variables ....................................................................... 37

2.3.4. Determinación del número de pagos, dadas el reto de variables ................................................... 38

2.3.5. Determinación de la tasa de interés, dadas el reto de variables ..................................................... 39

2.4. Valor Actual de Rentas Variables Geométricas .................................................................. 39

2.4.1. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable .............................................................. 39

2.4.2. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable .............................................................. 41

2.4.3. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable, diferida ................................................ 41

2.4.4. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable, diferida ................................................ 42

2.4.5. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable ............................................................ 43

2.4.6. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable ............................................................ 43

2.4.7. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable, diferida ............................................. 44

2.4.8. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable, diferida .............................................. 44


3

2.5. Valor Final de Rentas Variables Geométricas ..................................................................... 45

2.5.1. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita pospagable .............................................................. 45

2.5.2. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita prepagable............................................................... 46

2.6. Valor Actual de Rentas Variables Aritméticas .................................................................... 47

2.6.1. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable ................................................................ 47

2.6.2. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable ................................................................ 48

2.6.3. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable, diferida .................................................. 49

2.6.4. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable, diferida .................................................. 50

2.6.5. Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable .............................................................. 50

2.6.6 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita prepagable ............................................................... 51

2.6.7 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable, diferida ................................................ 51

2.6.7 Valor Actual de una Renta Artimética Infinita prepagable, diferida ................................................. 52

2.7. Valor Final de Rentas Variables Aritméticas ....................................................................... 52

2.7.1. Valor Final de una Renta Aritmética Finita pospagable ................................................................... 53

2.7.2. Valor Final de una Renta Aritmética Finita prepagable ................................................................... 53

3. PRÉSTAMOS ............................................................................................................................... 55

3.1. Préstamo Italiano ............................................................................................................... 55

3.1.1. Préstamo italiano, vencimiento prefijado ....................................................................................... 55

3.1.2. Préstamo italiano, vencimiento flexible .......................................................................................... 56

3.1.3. Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable ............................................................... 57

3.1.4. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización ................................................ 58

3.1.5. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses .............................. 59

3.1.6. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable ... 60

3.2. Préstamo Francés ............................................................................................................... 61

3.2.1. Préstamo francés, vencimiento prefijado ....................................................................................... 61

3.2.2. Préstamo francés, vencimiento flexible .......................................................................................... 64

3.2.3. Préstamo francés, vencimiento flexible, interés variable ................................................................ 65

3.2.4. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización ................................................ 66

3.2.5. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses .............................. 67

3.2.6. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable ... 68

3.3. Préstamo Americano .......................................................................................................... 70

3.3.1. Préstamo americano, vencimiento prefijado .................................................................................. 70

3.3.2. Préstamo americano, vencimiento flexible ..................................................................................... 71

3.3.3. Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable .......................................................... 72

3.3.4. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses ................................................. 72

3.3.5. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés variable ....................... 74

3.4. Modelos de Préstamo ......................................................................................................... 75

3.4.1. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia ......................................................... 75

3.4.2. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible, carencia e interés variable ............................... 78

3.4.3. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia, formulación con nombres .............. 80


4

El texto que desarrollamos a continuación no pretende ser una lección exhaustiva de

Cálculo Financiero. Nos hemos limitado a describir las cuestiones esenciales de cálculo

financiero básico, utilizando como herramienta de comunicación un programa de hoja de cálculo,

Excel, en su versión 2016. No obstante, las cuestiones que desarrollamos son perfectamente

extrapolables a otros programas similares y aversiones previas del programa. Nos ocuparemos

de hacer un repaso a las leyes financieras, a los cálculos de valoración relacionados con las

rentas y a los préstamos en sus diferentes variantes.

En los diferentes apartados haremos una pequeña introducción de los conceptos que se

analizan. Aconsejamos a aquellos interesados en profundizar en las diferentes cuestiones y en

conocer cómo se derivan las diferentes formulaciones que acudan a un manual de cálculo

financiero.

En las diferentes figuras hemos tratado de mostrar las fórmulas incorporadas para que

el lector pueda seguir mejor el desarrollo de los ejemplos. Para ello hemos usado funciones

personalizadas y la función FORMULATEXTO, disponible en Excel 2016.

En la elaboración de los ficheros de Excel que han servido de soporte para la redacción

de este texto se han usado cuestiones de Excel referidas a formatos, validaciones, funciones,

TABLAS, etc. Si el lector desconoce estas cuestiones le recomendamos el texto Fundamentos

de Excel para Finanzas, disponible en www.usc.es/modeleva.

1. Leyes Financieras

Las leyes financieras son las que nos permiten trasladar un capital, una cuantía, de un

momento a otro del tiempo. Cuando se trata de trasladar un capital hacia el futuro, hacia un

momento posterior, hablamos de leyes de capitalización. Cuando se trata de trasladar un capital

hacia el presente, hacia un momento anterior, hablamos de leyes de descuento. En cada uno de

los casos tendremos diferentes variantes en función de las hipótesis que se estén manejando, y

que darán lugar a diferentes expresiones matemáticas, que son, en sí mismas, las leyes

financieras.

1.1. Ley de Capitalización Simple

La Ley de Capitalización Simple estipula que un Capital Inicial (C0) al trasladarse hacia

el futuro durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa de interés (r), se

convertiría en un Capital Final en el momento t (Ct) de:

�� = �� × (� + × �) Veamos un ejemplo:


5

Tenemos un capital inicial de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada

periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Capitalización Simple es

de 15.000. Observar que no hemos mencionado si los periodos son anuales, mensuales, o

semanales, etc. Lo relevante es que la tasa de interés periódica se corresponda al periodo

considerado. En este caso podríamos suponer que los periodos son anuales y la tasa de interés

también es anual. Pero observe el siguiente ejemplo:

En este caso los periodos podrían ser mensuales, y la tasa de interés, mensual, podría

ser ese 1%.

Como podemos observar en los dos ejemplos, la Ley de Capitalización Simple asume

que en cada periodo se generan intereses por la cuantía depositada en el momento inicial. En

nuestro primer ejemplo, se generan 1.000 euros de intereses cada año, el 10% sobre las 10.000

iniciales.

En la siguiente tabla podemos comprobar cómo le afecta al valor del Capital Final el

número de periodos que se esté considerando.

Hemos elaborado la tabla de dos formas alternativas (columnas C y D). En ambos casos

usamos como referencia los periodos establecidos en la columna B. La alternativa de la columna

C está realizada con la herramienta TABLA. En C10 vinculamos el resultado desde C6. Hemos

personalizado el formato de número de la celda C10 para que aparezca el texto “Capital Final”.

Al hacer la TABLA le hemos indicado que la columna entra en la celda C4, la que contiene el

número de periodos. En la columna D, alternativa, simplemente introducimos en D11 la fórmula

que se puede ver en E12 en la figura, bloqueando el capital inicial y la tasa de interés periódica,

y dejando sin bloquear la referencia al número de periodos tomada desde la columna B. Dicha

fórmula se puede copiar hacia abajo y ya obtenemos el mismo resultado que con la herramienta

TABLA.


6

En la figura podemos observar cómo cada año que pasa el capital final aumenta en

1.000, que es justamente la cuantía de intereses sobre el capital inicial que se corresponden a

cada periodo. La siguiente figura ilustra la evolución del Capital Final:

A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Final la consideración

de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Inicial y al

número de periodos.

En la columna C la TABLA se establece indicando que el input (de la columna B) entra

en la celda C5, la tasa de interés periódica. En la columna D, el elemento que dejamos sin

bloquear en la fórmula es la tasa de interés referenciada desde la columna B. También en este

caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo:

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Euro

s

Periodos

Evolución de un Capital según la Ley de

Capitalización Simple

0

5.000

10.000

15.000

20.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

Euro

s

Tasa de interés

Capital Final con la Ley de Capitalización Simple, según tasa de

interés


7

Por último, queremos ver el impacto sobre el Capital Final de modificaciones simultáneas

en la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Esta

cuestión podría resolverse usando una fórmula con bloqueos parciales, pero hemos preferido

laborar una tabla de doble entrada con la herramienta TABLA:

En la celda C51 vinculamos el Capital Final de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la

TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de periodos) y la columna en C5 (la tasa

de interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en

el Capital Final según la Ley de Capitalización Simple.

1.2. Ley de Capitalización Compuesta

La Ley de Capitalización Compuesta estipula que un Capital Inicial (C0) al trasladarse

hacia el futuro durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa de interés (r), se

convertiría en un Capital Final en el momento t (Ct) de:

�� = �� × (� + )� Veamos un ejemplo:

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

40.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Final con la Ley de Capitalización Simple, según tasa de interés y número de periodos

0% 5% 10% 15% 20% 25%


8

Tenemos un capital inicial de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada

periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Capitalización Compuesta

es de 16.105. Como en el caso anterior lo relevante es que la tasa de interés periódica se

corresponda al periodo considerado.

Hemos establecido dos formas alternativas para la determinación del Capital Final. La

primera de ellas es la simple transposición de la expresión matemática de la Ley de

Capitalización Compuesta que hemos mostrado anteriormente. La segunda alternativa usa la

función VF. En dicha función debemos indicar los siguientes argumentos y en el siguiente orden:

la tasa de interés (C5), el número de periodos (C4), el pago anual, si lo hubiera, y que en nuestro

caso es 0 (este 0 no puede ser omitido, es necesario ponerlo en la fórmula), y el capital inicial

(C3). Observe que el Capital Inicial lo hemos puesto en negativo (-C3). Ello es debido a que

Excel asume que para que recibamos un Capital en el futuro (entrada de caja), es preciso que

invirtamos en el presente (salida de caja). Otra alternativa sería poner C3 en positivo y poner el

signo menos antes de VF en la fórmula.

La Ley de Capitalización Compuesta asume que en cada periodo se generan intereses

por la cuantía acumulada al inicio de cada periodo, es decir, calcula intereses sobre el principal

depositado más los intereses previos acumulados. Como podemos observar, en nuestro ejemplo

se consigue un valor final de 16.105 frente a las 15.000 de la Ley de Capitalización Simple.

En la siguiente tabla podemos comprobar cómo le afecta al valor del capital final el

número de periodos que se esté considerando.

El proceso de elaboración es el mismo del caso anterior. La única salvedad es que la

fórmula en D11 que se debe copiar a lo largo de la columna D, es ahora la que se corresponde

a la Ley de Capitalización Compuesta.

En la siguiente figura podemos observar el crecimiento exponencial en el capital final a

medida que consideramos un mayor número de periodos.


9

A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Final la consideración

de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Inicial y al


También en este caso se reproducen las dos técnicas ya indicadas con anterioridad para

la obtención de los resultados. En cuanto al gráfico:

Por último, la siguiente tabla, elaborada como en el apartado anterior, muestra el impacto

sobre el Capital Final de modificaciones simultáneas en la tasa de interés periódica y en el

número de periodos que se estén considerando.

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Euro

s

Periodos

Evolución de un Capital según la Ley de

Capitalización Compuesta

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

16.000

18.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

Euro

s

Tasa de interés

Capital Final con la Ley de Capitalización Compuesta,

según tasa de interés


10

El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en el Capital Final

según la Ley de Capitalización Compuesta. Dicho impacto es mucho más acusado que con la

Ley de Capitalización Simple.

El siguiente apartado compara ambas leyes.

1.3. Ley de Capitalización Simple vs Compuesta

En los dos apartados anteriores hemos podido constatar que la Ley de Capitalización

Compuesta genera un Capital Final, ceteris paribus, superior a la Ley de Capitalización Simple.

En el presente apartado ilustramos esta cuestión.

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

90.000

100.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Final con la Ley de Capitalización Compuesta, según tasa de interés y número de periodos

0% 5% 10% 15% 20% 25%


11

He aquí nuestro ejemplo, un Capital Inicial de 10.000, 5 periodos y una Tasa de Interés

Periódica del 20%. Mientras con Capitalización Simple el Capital Final asciende a 20.000 con

Capitalización Compuesta son 24.883.

Para que se pueda visualizar perfectamente la diferencia entre ambas leyes vamos a

analizar el impacto sobre el resultado de cada una de ellas de considerar diferentes horizontes

temporales manteniendo la tasa de interés del 20%. Lo haremos usando una TABLA con un input

(el número de periodos) y dos outputs (el capital final con cada una de las dos leyes).

En la fila 12 situamos los periodos alternativos que queremos analizar, desde 0 a 10. En

C13 vinculamos el resultado de la Ley de Capitalización Simple desde C6 y en C14 el resultado

de la Ley de Capitalización Compuesta desde C7. Al elaborar la TABLA le indicamos que el input

(en este caso una fila) entra en la celda C4, la del periodo en el modelo. En este caso el gráfico,

que vemos a continuación, es especialmente ilustrativo.

La evolución del Capital Final es exponencial con la ley Compuesta frente a la linealidad

de la ley Simple. Cuántos más años dure la operación más diferencia habrá entre los resultados

de ambas leyes.

De forma similar podemos ver la diferencia entre ambas leyes en función de la tasa de

interés, manteniendo el periodo inicialmente considerado de cinco años. Realizamos una TABLA

como la anterior, pero ahora en la fila 18 situamos diferentes tasas de interés. Para que el efecto

visual del gráfico sea más notorio hemos establecido tasas de interés desde el 0% hasta el 50%.

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Final con la Ley de Capitalización simple y Compuesta, según número de periodos

Simple Compuesta


12

En la Ley de Capitalización Simple el aumento de los tipos de interés tiene un efecto

lineal mientras que con la Ley Compuesta el impacto es muy superior.

1.4. Ley de Descuento Simple

La Ley de Descuento Simple estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o

actualizarse hacia el presente durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa

de interés (r), se convertiría en un Capital Actual (o Capital Inicial) en el momento 0 (C0) de:

�� = ��(� + × �) Veamos un ejemplo:

Tenemos un capital final de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada

periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Simple es de

6.667. Como en los casos anteriores debe haber coherencia entre la tasa de interés periódica y

el tipo de periodos (anuales, mensuales, etc.) usados.

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

Euro

s

Tasa

Capital Final con la Ley de Capitalización simple y Compuesta, según tasa de interés

Simple Compuesta


13

En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados referidos a las leyes de

capitalización, podemos comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de

periodos que se esté considerando.

La siguiente figura ilustra la evolución del capital actual:

Observar que, dada su formulación matemática, no es una recta, como sí lo era la figura

de la Ley de Capitalización Simple. El paso del tiempo, atenúa poco a poco su impacto.

A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Actual la consideración

de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Final y al


0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Evolución de un Capital según la Ley de Descuento

Simple


14

También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo, en el que, como en el

gráfico anterior se observa la pérdida de la linealidad respecto a la Ley de Capitalización Simple:

Por último, vemos el impacto sobre el Capital Actual de modificaciones simultáneas en

la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Recurrimos

de nuevo a una TABLA de doble entrada:

En la celda C41 vinculamos el Capital Actual de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la



el Capital Actual según la Ley de Descuento Simple.

Cuánto más alta sea la tasa de interés (líneas inferiores del gráfico) más acusado es el

efecto del paso del tiempo.

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

Euro

s

Tasa de interés

Capital Actual con la Ley de Descuento Simple, según

tasa de interés

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Actual con la Ley de Descuento Simple, según tasa de interés y número de periodos

0% 2% 4% 6% 8% 10%


15

1.5. Ley de Descuento Comercial

La Ley de Descuento Comercial estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o



�� = �� × (� − × í�� ) Esta ley se usa para operaciones a corto plazo, inferiores a un año. Hemos puesto 360

en la fórmula, pero podría ponerse también 365.

Veamos un ejemplo:

Tenemos un capital final de 100.000 euros, 90 días de plazo y una tasa de interés anual

del 8%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Comercial es de 98.000.

En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados anteriores, podemos

comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de días que se esté considerando.

La siguiente figura ilustra la evolución del Capital Actual:

88.000

90.000

92.000

94.000

96.000

98.000

100.000

102.000

1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Euro

s

Días

Capital Actual según la Ley de

Descuento Comercial


16



número de días.

También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo:


la tasa de interés periódica y en el número de días que se estén considerando. Recurrimos de

nuevo a una TABLA de doble entrada:


TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de días) y la columna en C5 (la tasa de

interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en el

Capital Actual según la Ley de Descuento Comercial.

96.000

96.500

97.000

97.500

98.000

98.500

99.000

99.500

100.000

100.500

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

Euro

s

Tasa de interés

Capital Actual con la Ley de Descuento Comercial,



17

1.6. Ley de Descuento Compuesto

La Ley de Descuento Compuesto estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o



�� = ��(� + )� Veamos un ejemplo:

Tenemos un capital final de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada

periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Compuesto

es de 6.209. Como en los casos anteriores debe haber coherencia entre la tasa de interés

periódica y el tipo de periodos (anuales, mensuales, etc.) usados. Además de realizar el cálculo

aplicando directamente la fórmula matemática (B6), también hacemos un cálculo alternativo

usando la función VA que requiere como argumentos la tasa de interés periódica, el número de

periodos, el pago periódico si lo hubiera (y que en nuestro caso es 0, y que no puede omitirse) y

el valor del capital final, que hemos de poner en negativo para que el resultado de la función sea

positivo.

En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados anteriores, podemos

comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de periodos que se esté

considerando.

86.000

88.000

90.000

92.000

94.000

96.000

98.000

100.000

102.000

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

Euro

s

Días

Capital Actual con la Ley de Descuento Comercial, según tasa de interés y número de días

0% 2% 4% 6% 8% 10%


18

La siguiente figura ilustra la evolución del capital actual:

Observar que, dada su formulación matemática, tiene una forma con una pendiente más

acusada que la referida a la Ley de Descuento Simple. El paso del tiempo, no obstante, atenúa

poco a poco su impacto.




0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Euro

s

Periodos

Evolución de un Capital según la Ley de Descuento

Compuesto


19

También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo, en el que, como en el

gráfico anterior se observa la mayor pendiente respecto a la Ley de Descuento Simple:


la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Recurrimos

de nuevo a una TABLA de doble entrada:




el Capital Actual según la Ley de Descuento Compuesto.

Cuánto más alta sea la tasa de interés (líneas inferiores del gráfico) más acusado es el

efecto del paso del tiempo.

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

Euro

s

Tasa de interés

Capital Actual con la Ley de Descuento Compuesto,


0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Actual con la Ley de Descuento Compuesto, según tasa de interés y número de periodos

0% 5% 10% 15% 20% 25%


20

1.7. Ley de Descuento Simple vs Comercial

En este apartado vamos a ver una comparativa entre la Ley de Descuento Simple y la

Ley de Descuento Comercial. Tenemos el siguiente ejemplo:

Tenemos un Capital Final de 100.000, un plazo de 90 días y una Tasa de Interés Anual

del 8%. Aplicamos directamente las fórmulas para cada caso:

�� , �� = �� + × í��

�� , �� = �� × (� − × í�� )

Y constatamos que el Capital Actual es inferior cuando sea plica la Ley de Descuento

Comercial.

En la siguiente TABLA podemos ver la evolución del Capital Actual según ambas leyes

y el número de días en consideración.

Como nos pone de manifiesto también el siguiente gráfico, el paso del tiempo aumenta

la diferencia entre el resultado de ambas leyes.

88.000

90.000

92.000

94.000

96.000

98.000

100.000

102.000

1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Euro

s

Días

Descuento Simple vs Descuento Comercial, según número de días

Simple Comercial


21

En la siguiente TABLA podemos ver la evolución del Capital Actual según ambas leyes

y la tasa de interés en consideración.

El siguiente gráfico ilustra la diferencia entre ambas leyes que es significativa a tasa de

interés muy elevadas.

1.8. Ley de Descuento Simple vs Compuesto

Comparamos ahora la Ley de Descuento Simple con la Ley de Descuento Compuesto.

Ambas leyes se reflejan en la siguiente formulación:

�� , �� = ��(� + × �)

�� , �� = ��(� + )� En ambos casos es necesaria la concordancia entre la tasa de interés periódica y el tipo

de periodo considerado.

Veamos nuestro ejemplo:

80.000

85.000

90.000

95.000

100.000

105.000

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

Euro

s

Tasa

Descuento Simple vs Descuento Comercial, según tasa de interés

Simple Comercial


22

Tenemos, un Capital Final de 10.000, 5 periodos y una Tasa de Interés Periódica del

10%. Mientras con Descuento Simple el Capital Inicial asciende a 6.667 con Descuento

Compuesto son 6.209.

Para que se pueda visualizar perfectamente la diferencia entre ambas leyes vamos a

analizar el impacto sobre el resultado de cada una de ellas de considerar diferentes horizontes

temporales manteniendo la tasa de interés del 10%. Lo haremos usando una TABLA con un input

(el número de periodos) y dos outputs (el capital inicial con cada una de las dos leyes).

En la fila 12 situamos los periodos alternativos que queremos analizar, desde 0 a 10. En

C13 vinculamos el resultado de la Ley de Descuento Simple desde C6 y en C14 el resultado de

la Ley de Descuento Compuesto desde C7. Al elaborar la TABLA le indicamos que el input (en

este caso una fila) entra en la celda C4, la del periodo en el modelo. El gráfico, que vemos a

continuación, ilustra mejor la comparativa.

La evolución del Capital Actual con la ley Compuesta presenta una caída mucho más

acusada que la ley Simple. Cuántos más años dure la operación más diferencia habrá entre los

resultados de ambas leyes.

De forma similar podemos ver la diferencia entre ambas leyes en función de la tasa de

interés, manteniendo el periodo inicialmente considerado de cinco años. Realizamos una TABLA

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodos

Capital Actual con la Ley de Descuento simple y Compuesto, según número de periodos

Simple Compuesta


23

como la anterior, pero ahora en la fila 20 situamos diferentes tasas de interés. Para que el efecto

visual del gráfico sea más notorio hemos establecido tasas de interés desde el 0% hasta el 50%.

En la Ley de Descuento Simple el aumento de los tipos de interés tiene un efecto menos

penalizador que con la Ley Compuesta, que muestra un impacto muy superior.

1.9. Ley de Descuento Simple vs Comercial vs Compuesto

Por último, vamos a realizar una comparativa entre las tres leyes de descuento. Es una

comparativa que puede parecer innecesaria en tanto que la ley de descuento compuesto se usa

básicamente para operaciones a largo plazo y la simple y la comercial para operaciones a corto

plazo.

Usaremos las siguientes formulaciones:

�� , �� = ��(� + × �) �� , �� = �� × (� − × í�� )

�� , �� = ��(� + ) �� ! Asumimos en este caso que r es una tasa de interés anual. De esta forma, la Ley de

Descuento Compuesto en su exponente pondrá la fracción de año (dividiendo en este caso entre

360) que representa el periodo considerado. Será inferior a 1 cuando el periodo sea de menor

de 360 días y superior cuando sea un periodo superior a un año (360 días).

Veamos nuestro ejemplo:

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%

Euro

s

Tasa

Capital Actual con la Ley de Descuento simple y Compuesto, según tasa de interés

Simple Compuesta


24

Como vemos la ley que más penaliza la actualización del capital final es la comercial,

después la simple y después la compuesta. Esta situación se da para plazos inferiores a un año.

Veamos una TABLA que nos muestra esta cuestión.

El gráfico en este caso es difícil de “leer”.

Hemos realizado un análisis similar para periodos superiores a un año. En este caso la

ley compuesta penaliza más que la simple tal como ya vimos en el epígrafe anterior.

92.000

93.000

94.000

95.000

96.000

97.000

98.000

99.000

100.000

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Euro

s

Días

Simple vs Comercial vs Compuesto, según número de días, inferior a un año

Simple Comercial Compuesto


25

El gráfico, en este caso, es más ilustrativo.

1.10. Tasas de Interés

Dedicamos este último epígrafe del bloque de leyes financieras a mostrar la relación

entre los tipos de interés y el periodo de capitalización cuando nos estamos refiriendo a leyes de

descuento o capitalización compuestas.

Debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

"��é� ��ó �� = %�� &�� ñ�

%�� (��)� �� = �� + %�� *�� +��&�� ñ� &�� ñ� − � =

(� + "��é� ��ó ��)&�� ñ� − �

"��é� ��ó �� = (� + �� (��)� ��)� &�� ñ�! − �

Veamos nuestro ejemplo. Asumimos un 10% de tasa nominal que se compondrá en

cuatro periodos anuales, es decir, trimestralmente.

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

0 360 720 1.080 1.440 1.800 2.160 2.520 2.880 3.240 3.600

Euro

s

Tasa

Simple vs Comercial vs Compuesto, según número de días, superior a

un año

Simple Comercial Compuesto


26

Calculamos la tasa de interés periódica dividiendo la tasa nominal del 10% entre 4, lo

que implica un 2,5% trimestral.

Para calcular la tasa efectiva anual usamos directamente las expresiones indicadas con

anterioridad, en las celdas C7 y C8, o bien usamos la función de Excel INT.EFECTVO, a la cual

habrá que incorporar dos argumentos, la tasa nominal y el número de periodos por año.

Para determinar de nuevo, a partir de la tasa efectiva anual el interés periódico

recurrimos, en C10, a la expresión indicada anteriormente.

De la tasa periódica podríamos pasar de nuevo a la tasa nominal anual multiplicando por

4, en este caso, o bien usando la función de Excel TASA.NOMINAL, que exige como argumentos

la tasa efectiva anual y el número de periodos por año. Y de esta forma se cierra el círculo, a

través del cual se ven las relaciones entre las diferentes tasas de interés.

Veamos a continuación el impacto en la tasa efectiva anual de diferentes periodos de

composición (periodos por año) y de diferentes tasas nominales:

Cuanto mayor sea el número de periodos por año mayor será la tasa efectiva anual

correspondiente. Este efecto es mayor a mayor tasa nominal. Veamos un gráfico:

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 2 3 4 6 12 25 50 365

Tasa

efe

ctiv

a

Periodos por año

Tasa efectiva anual según tasa nominal y periodos por año

5% 10% 15% 20%


27

En nuestra tabla hemos llegado a 365 periodos por año, es decir, periodos de

composición de un día. Podríamos seguir fraccionando el año y establecer periodos de

composición por hora, por minuto, etc. En el límite tendríamos un periodo de composición

continuo. Cuando se llega a esa situación se calcula el tipo de interés con composición o

capitalización continua a partir de la siguiente expresión:

%�� (��)� ��í�� = � − �

Siendo “e” el número e (2,71828) y r la tasa nominal

Y también.

%�� = ,* (� + �� (��)� ��í��) Indicando LN el logaritmo neperiano.

Veamos la aplicación a nuestro ejemplo de un 10% de tasa nominal.

Observe que la tasa continua alcanza el 10,5171%. En la tabla anterior vimos que un

10% nominal con composición diaria llegaba a 10,516%. La diferencia es muy pequeña.

Quizás usted piense que el suponer que la composición de intereses se realiza de forma

continua es poco útil en la práctica. Bueno, cuando estudie la valoración de opciones verá que

está equivocado.


28

2. Rentas

Nos referimos con la expresión “Renta” a una sucesión de cuantías a lo largo del tiempo.

Para valorar de forma conjunta dichas cuantías podrían valorarse una a una y posteriormente

sumarlas o bien usar alguna expresión matemática que haga el cálculo del conjunto.

Las rentas pueden ser finitas (con un horizonte temporal limitado) o infinitas (con un

horizonte temporal ilimitado). Las rentas pueden ser constantes (la misma cuantía en cada

momento del tiempo) o variables. Dentro de las variables podemos distinguir aquellas que siguen

una progresión geométrica de las que siguen una progresión aritmética. Las rentas pueden ser

inmediatas, es decir con inicio en el primer periodo, o diferidas, con un inicio posterior. Por último,

las rentas pueden ser pospagables (se sitúan al final de cada uno de los periodos considerados)

o prepagables (se sitúan al inicio de cada uno de los periodos). Estas características que

acabamos de indicar dan lugar a una gran casuística que trataremos de mostrar a lo largo de los

siguientes apartados, determinando el Valor Actual y el Valor Final de los distintos tipos de rentas.

2.1. Valor Actual de Rentas Constantes

Las rentas constantes son aquellas que tienen la misma cuantía a lo largo del horizonte

temporal, sea finito (n) o infinito (denominaremos a dicha cuantía α). Denotaremos por i la tasa

de interés aplicada a la valoración. Dicha tasa de interés deberá corresponderse al periodo

usado, es decir, si la renta es anual, si se produce con lapsos temporales de un año, la tasa de

interés debe ser anual, si la renta es mensual, se produce con lapsos temporales de un mes, la

tasa de interés debe ser mensual.

2.1.1. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable

Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos

al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor

Actual puede establecerse con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:

-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>?

Los elementos entre paréntesis son variantes del denominado factor de anualidad. En

este caso, factor de anualidad a n periodos y tasa de interés i por periodo.

@:¬B= 71 − 1(1 + 9):9 ; = <19 − = 19 × (1 + 9):>?

Vamos a establecer diferentes formas de cálculo. Algunos de dichos cálculos precisan

que se expliciten en la hoja de cálculo las rentas en los periodos correspondientes. Es por ello

que limitamos a 10 periodos nuestro modelo, bien entendido que en muchas de las variantes de

cálculo no existe ninguna limitación. Esta misma consideración es aplicable al resto de ejemplos

de rentas finitas que iremos desgranando en los siguientes apartados.


29

En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta de 8.000 con cuatro periodos de duración

y una tasa de interés del 10%.

En la fila 9, apoyándonos en una condicional situamos la renta en los cuatro periodos.

Con formato condicional hemos difuminado las columnas que se correspondan con periodos

superiores a 4.

En la fila 10 calculamos el factor de descuento usando la siguiente expresión:

C.3401 DE DEF35EG40H = 1(1 + 9)H En la fila 11 multiplicamos cada elemento de la renta por el factor de descuento

correspondiente.

Usamos hasta 8 variantes para determinar el valor de la renta.

La primera y última variantes se corresponden con las dos alternativas de la fórmula

antes indicada.

La variante 2 suma los elementos de la fila11, los valores actuales de cada elemento de

la renta.

La variante 3 usa la función SUMAPRODUCTO para determinar la suma de los

elementos de la renta multiplicados por sus correspondientes factores de descuento.

La variante 4 usa la función VNA. Dicha función exige que se le indique la tasa de interés

y el rango de valores. Situamos el rango de valores máximo que en nuestro ejemplo alcanza

hasta la columna L (diez periodos).

La variante 5 usa la función VA. Dicha función requiere que se le indique la tasa de

interés, el número de periodos y el pago o renta constante. Si queremos que el resultado sea

positivo debemos poner un signo menos en el pago o bien poner “- VA”.

La variante 6 multiplica el valor de la renta por el factor de anualidad. El factor de

anualidad se calcula con la función VA indicando que el pago es “- 1”.

La variante 7 usa una fórmula array. Le indicamos que sume el rango de la renta dividido

entre 1 más la tasa de interés y elevado al rango de periodos. Las fórmulas array se validan con

CONTROL + SHIFT + ENTER.


30

2.1.2. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable


al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su

Valor Actual puede establecerse con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:

-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9) = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9) Es la fórmula de la renta constante pospagable multiplicada por (1+i). Para su

determinación podemos usar cualquiera de las variantes del apartado anterior y multiplicarlas

por (1+i). Eso es lo que hemos hecho en las variantes 1, 6 y 8.

Las variantes 2 y 3 son las mismas que antes, pero con el matiz de que el factor de

descuento de la fila 30 responde a la siguiente fórmula:

C.3401 DE DEF35EG40H(I1EI.J.K/E) = 1(1 + 9)HLM

En las variantes 4 y 5, en la función VA, añadimos dos argumentos. Un 0 para indicar

que no hay un pago final y un 1 para indicar que los pagos periódicos son prepagables. No se

puede omitir el 0 del pago final pues “marca posición”.

Por último, la variante 7, la fórmula array, simplemente resta 1 en el rango de los

exponentes.

2.1.3. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable, diferida


al final de cada uno de dichos periodos y cuyo primer elemento se producirá dentro de “d”

periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede establecerse

con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:

-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)LN = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)LN


31

Se podría calcular multiplicando por (1 + 9)LNcualquiera de las variantes de valoración

de la renta constate pospagable que hemos visto antes. En nuestro ejemplo hemos hecho 7

variantes.

En la fila 50 nuestra condicional comprueba que el periodo no sea inferior al diferimiento

ni superior al diferimiento más la duración de la renta. En ambos casos pone un 0, y en los

periodos correspondientes a la renta pone su cuantía. En nuestro caso es una renta de cuatro

periodos y dos de diferimiento, por lo cual empieza en el periodo 3 y acaba en el 6. El formato

condicional oculta el resto de periodos.

La variante 1 aplica la fórmula antes mostrada directamente.

Las variantes 2, 3, 4, 7, son idénticas a las anteriores.

En la variante 5 dividimos el resultado de la función VA por (1+C46)^C47

Como curiosidad hemos hecho la variante 6. En este caso calculamos con VA el valor

actual de un valor final (que es el VA de una renta pospagable, tal como ya ha sido calculado

con anterioridad) que se producirá dentro de d periodos. En la VA que aparece inicialmente en

la fórmula es preciso indicarle que el pago periódico es 0. Esta VA sólo se ocupa de la

actualización del valor de la renta pospagable, para aplicar el efecto del diferimiento.

2.1.4. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable, diferida


al inicio de cada uno de dichos periodos y cuyo primer elemento se producirá dentro de “d”

periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede establecerse

con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:

-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)LN × (1 + 9) = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)MLN

Se podría calcular multiplicando por (1 + 9)LNcualquiera de las variantes de valoración

de la renta constate prepagable que hemos visto antes. O Bien multiplicando por (1+i) alguno de

los resultados de la renta pospagable diferida. En nuestro ejemplo hemos hecho 7 variantes,

teniendo en cuenta que el factor de descuento de la fila 71 ha sido desarrollado como prepagable.


32

La variante 1 aplica la fórmula antes mostrada directamente.

Las variantes 2 y 3 son idénticas a las anteriores.

La variante 4 aplica el diferimiento (dividiendo entre (1+i) ^d) al resultado obtenido con

VA, en la que se ha indicado en el último argumento que es prepagable (1).

La variante 5, como la variante 6 del ejemplo anterior, aplica VA (para tener en cuenta el

diferimiento) al resultado obtenido de otra VA (que es la que calcula el valor de la renta

prepagable).

La fórmula array de la variante 6 resta 1 en el rango de los exponentes, para tener en

cuenta que la renta es prepagable.

Por último, la variante 7, usa de nuevo dos VA, pero en este caso, la segunda VA en vez

de calcular el valor de la renta prepagable calcula el de la renta pospagable y lo multiplica por

(1+i).

2.1.5. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable

Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número infinito de

periodos al final de cada periodo. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual

puede establecerse con la expresión que mostramos a continuación:

-./01 2345./ = 6 × 19

El cálculo del Valor Actual es inmediato aplicando directamente la formula indicada.

2.1.6. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable


periodos al inicio de cada periodo. La fórmula matemática para la determinación de su Valor

Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a continuación:


33

-./01 2345./ = 6 × (1 + 19 ) Simplemente es preciso añadir a la renta constante infinita pospagable un primer término,

un α.

Elaboramos dos pequeñas variantes. La primera de ellas se corresponde a sumar a la

renta pospagable el nuevo término (el inicial e inmediato) y la segunda variante es la que aplica

directamente la fórmula indicada anteriormente.

2.1.7. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable, diferida


periodos al final de cada periodo y comenzando dentro de d periodos. La fórmula matemática

para la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a

continuación:

-./01 2345./ = 6 × 19 × (1 + 9)LN

Hemos hecho tres variantes. La primera y la segunda aplican directamente la fórmula.

En un caso situando la actualización causada por el diferimiento en el denominador y en el otro

caso multiplicando por (1 + 9)LN tal como se mostraba en la fórmula.

La tercera variante usa VA para aplicar el diferimiento a un único pago final calculado

dividiendo la renta entre la tasa de interés.

2.1.8. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable, diferida


periodos al inicio de cada periodo y comenzando dentro de d periodos. La fórmula matemática

para la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a

continuación:

-./01 2345./ = 6 × (1 + 19 ) × (1 + 9)LN


34

Hemos hecho tres variantes. La primera y la segunda aplican directamente la fórmula.

En un caso situando la actualización causada por el diferimiento en el denominador y en el otro

caso multiplicando por (1 + 9)LN tal como se mostraba en la fórmula.

La tercera variante usa VA para aplicar el diferimiento a un único pago final calculado

añadiendo el término inicial al resultado de dividir la renta entre la tasa de interés, para que así

se tenga en cuenta que es prepagable.

2.2. Valor Final de Rentas Constantes

Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas constantes.

Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor final.

Por otro lado, el valor final de una renta es independiente de si la renta comienza en el

primer periodo o si tiene diferimiento. En todo caso, dicho valor final, que será el mismo, se

situará al final de dicha renta. De esta forma sólo hemos de establecer los valores finales de

rentas constantes finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.

2.2.1. Valor Final de una Renta Constante Finita pospagable


al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor

Final puede establecerse como mostramos a continuación:

-./01 C9G./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9): = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9):

Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta.

Podríamos hacer un gran número de variantes apoyándonos en las variantes vistas para

determinar el Valor Actual de la renta, pero vamos a limitarnos a cuatro variantes:


35

La primera variante simplemente aplica la fórmula indicada con anterioridad.

La segunda variante usa la función VF. En este caso los argumentos son la tasa de

interés, el número de periodos y el pago periódico (en negativo, para que el resultado sea

positivo).

La tercera variante calcula el factor de anualidad del valor final (para ello como

argumento de pago ponemos -1) y lo multiplica por la renta.

La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se

multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final.

2.2.2. Valor Final de una Renta Constante Finita prepagable


al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su

Valor Final puede establecerse como mostramos a continuación:

-./01 C9G./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)MO: = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)MO:

Se trata de añadirle un 1 en el exponente en el momento de pasar el Valor Actual a Valor

Final, es decir, multiplicamos por (1 + 9)MO:.

Hemos hecho las siguientes variantes de cálculo.

La primera aplica directamente la fórmula antes mostrada.

La segunda y la tercera, que se apoyan en VF, le indican con el argumento final (1) que

la renta es prepagable.

En la fórmula array restamos un 1 en el rango de los exponentes de la actualización para

aplicar la prepagabilidad y posteriormente multiplicamos por (1 + 9): para determinar el Valor

Final.

2.3. Otros Datos Rentas Constantes

En este apartado vamos a describir el uso de una serie de funciones que trabajan, de

algún modo, sobre la misma base. Por un lado, veremos las funciones VA y VF, ya vistas para

rentas constantes finitas, en las que se puede añadir, además, un último pago (en VA) o un pago


36

inicial (en VF). A continuación, veremos las funciones PAGO, NPER y TASA, que nos permiten

determinar la renta, el número de periodos y la tasa de interés, dados unos valores para el resto

de variables de una renta constante, pos o prepagable y con posibilidad de un valor inicial y otro

final.

2.3.1. Valor Actual de una Renta Constante y un posible Pago Final

La función VA permite calcular el valor actual de una renta constante, dada una tasa de

interés y un número de periodos. Como ya vimos anteriormente, también se le puede añadir un

argumento para indicar que es prepagable (1), que en caso de no incluirse se asume que es un

0, pospagable. Pero antes de dicho argumento también se puede añadir un argumento con el

valor de un posible pago final. Veamos nuestro ejemplo:

Se trata de una renta constante de 8.000 durante cuatro periodos a final de cada periodo

y con una tasa del 10%. En este caso, además, al final del cuarto periodo hay un pago más, de

4.000. Hemos puesto la función VA en negativo, para que el resultado sea positivo. Los

argumentos obligados son la tasa, el número de periodos y el pago periódico. Los argumentos

opcionales (y que Excel sustituirá por 0 en caso de no incluirlos) son el posible pago final (en

nuestro caso las 4.000) y un 0 para indicar que los pagos periódicos son pospagables (como es

nuestro caso) o un 1 para indicar que los pagos periódicos son prepagables. El posible pago final

es, en todo caso, pospagable.

Si en C8 ponemos un 1, para indicar que los pagos periódicos son prepagables:

Supongamos ahora que el pago final, opcional, no existe, siendo los otros pagos

prepagables:


37

El cero de C7 debe figurar en la fórmula pues “marca la posición”, para que Excel

interprete que el 1 se refiere al argumento final.

2.3.2. Valor Final de una Renta Constante y un posible Pago Inicial

La función VF permite calcular el valor final de una renta constante, dada una tasa de

interés y un número de periodos. Como ya vimos anteriormente, también se le puede añadir un

argumento para indicar que es prepagable (1), que en caso de no incluirse se asume que es un

0, pospagable. Pero antes de dicho argumento también se puede añadir un argumento con el

valor de un posible pago inicial. Veamos nuestro ejemplo:

Se trata de una renta constante de 8.000 durante cuatro periodos al inicio de cada

periodo y con una tasa del 10%. En este caso, además, al inicio del primer periodo hay un pago

más, de 1.000. Hemos puesto la función VF en negativo, para que el resultado sea positivo. Los

argumentos obligados son la tasa, el número de periodos y el pago periódico. Los argumentos

opcionales (y que Excel sustituirá por 0 en caso de no incluirlos) son el posible pago inicial (en

nuestro caso las 1.000) y un 0 para indicar que los pagos periódicos son pospagables o un 1

para indicar que los pagos periódicos son prepagables, como es nuestro ejemplo. El posible pago

inicial es, en todo caso, prepagable.

Se pueden hacer las mismas consideraciones respecto a la necesidad de “marcar

posición” en los argumentos que hicimos en el epígrafe anterior.

2.3.3. Determinación del Pago, dadas el reto de variables

En este caso se trata de buscar la cuantía de la renta constante que, dados una tasa de

interés y un número de periodos consigue un determinado valor actual, permitiendo

opcionalmente añadir un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.

En nuestro ejemplo la tasa de interés es el 10%, la renta o pago se producirá durante 6

periodos, con un Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos

periódicos deben ser prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento

para indicar si el pago periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El

resultado nos indica que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más un pago


38

final de 10.000 al finalizar el sexto periodo equivale a un valor actual de 40.000 siendo la tasa de

interés el 10%.

Los argumentos de la función PAGO son: la tasa de interés, el número de periodos, el

valor actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual

lo ponemos en negativo y el pago final en positivo y obtenemos un valor de la función PAGO

positivo. Si el pago final fuese del mismo signo que el Valor Actual la renta (PAGO) necesaria

para obtener el mismo Valor Actual debería ser más alta.

2.3.4. Determinación del número de pagos, dadas el reto de variables

En este caso se trata de buscar el número de pagos necesarios, dados una tasa de

interés y la cuantía de un pago periódico, necesarios para obtener un valor actual, permitiendo

opcionalmente añadir un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.

En nuestro ejemplo la tasa de interés es el 10%, la renta o pago es de 7.171, con un

Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos periódicos deben ser

prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento para indicar si el pago

periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El resultado nos indica que

hacen falta seis periodos para que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más

un pago final de 10.000 al finalizar el sexto periodo, consiga un valor actual de 40.000 siendo la

tasa de interés el 10%.

Los argumentos de la función NPER son: la tasa de interés, el pago periódico, el valor

actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual lo

ponemos en negativo y el pago final en positivo, con el mismo signo que el pago periódico.

Veamos el siguiente ejemplo:

No nos da un número entero de años. El resultado nos está indicando que serían

precisos seis pagos periódicos y aproximadamente el 0,55 del pago del séptimo año, además

del pago final de 10.000.


39

2.3.5. Determinación de la tasa de interés, dadas el reto de variables

En este caso se trata de buscar la tasa de interés dados un número de pagos y la cuantía

de un pago periódico, necesarios para obtener un valor actual, permitiendo opcionalmente añadir

un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.

En nuestro ejemplo el número de periodos es de 6, la renta o pago es de 7.171, con un

Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos periódicos deben ser

prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento para indicar si el pago

periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El resultado nos indica que

la tasa de interés para que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más un

pago final de 10.000 al finalizar el sexto periodo, consiga un valor actual de 40.000, es el 10%.

Los argumentos de la función TASA son: el número de periodos, el pago periódico, el

valor actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual

lo ponemos en negativo y el pago final en positivo, con el mismo signo que el pago periódico.

2.4. Valor Actual de Rentas Variables Geométricas

Las rentas variables en progresión geométrica son aquellas en las que cada término de

la renta aumenta en un porcentaje constante sobre el término anterior. Dicho porcentaje lo

denotaremos por “g”. Así: 6POM = 6P × (1 + J)

O, de forma general, también: 6P = 6M × (1 + J)PLM

Siendo α1 el primer término de la renta.

2.4.1. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable

Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo

de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número

finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la

determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a

continuación:

-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ;

Cuando i sea igual a g es preciso usar una formulación alternativa, pues de no ser así la

fórmula planteada no tendrá solución:


40

-./01 2345./, (Fó/0 35.GD0 9 = J), = 6M × G × (1 + 9)LM

Vamos a establecer diferentes formas de cálculo. Algunos de dichos cálculos precisan

que se expliciten en la hoja de cálculo las rentas en los periodos correspondientes. Es por ello

que limitamos a 10 periodos nuestro modelo, bien entendido que con la aplicación directa de la

fórmula mostrada esta precaución no es necesaria. Esta misma consideración es aplicable al

resto de ejemplos de rentas finitas que iremos desgranando en los siguientes apartados.

En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta inicial de 8.000 con cinco periodos de

duración, una tasa de interés del 10% y un crecimiento de la renta entre cada periodo del 4%.

En la fila 10, con una condicional establecemos la renta a lo largo de los periodos en los

que efectivamente se produce (cinco en nuestro ejemplo), usando la siguiente expresión: 6P = 6M × (1 + J)PLM

La primera forma de cálculo aplica la fórmula directamente. Hemos incluido la función

SI.ERROR para que en caso de error, cuando i coincide con g, se establezca el cálculo

alternativo.

Las variantes 2, 3, 4 y 5 ya fueron descritas en la determinación del valor actual de rentas

constantes.

Por último, en este caso hemos incluido la variante 6. Dicha variante transforma la renta

en progresión geométrica en una renta constante. Para ello ajustamos tanto la renta como la tasa

de interés. De esta forma se puede aplicar la función VA, que vimos para las rentas constantes.

La renta ajustada a constante será:

6 .Q5F4.D. 30GF4.G4E = 6M1 + J

La tasa de interés ajustada a constante será:

R.F. 9 .Q5F4.D. . 30GF4.G4E = 1 + 91 + J − 1

Este tipo de transformación se puede aplicar también al resto de rentas en progresión

geométrica finitas que vamos a ver a continuación, aunque nosotros no lo haremos.


41

2.4.2. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable



finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la


continuación:

-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)

Es simplemente el valor que hemos calculado en el apartado anterior multiplicado por

(1+i).

En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta inicial de 7.000 con cuatro periodos de

duración, una tasa de interés del 12% y un crecimiento de la renta entre cada periodo del 4%.

En la fila 29, con una condicional establecemos la renta a lo largo de los periodos en los

que efectivamente se produce (cinco en nuestro ejemplo), usando la siguiente expresión: 6P = 6M × (1 + J)PLM

En la fila 30 establecemos el factor de descuento, teniendo en cuenta que es prepagable.

La primera forma de cálculo aplica la fórmula directamente. Hemos incluido la función

SI.ERROR para que en caso de error, cuando i coincide con g, se establezca el cálculo

alternativo que mostramos en el epígrafe anterior.

Las variantes 2, 3, 4 y 5 ya fueron descritas en la determinación del valor actual de rentas

constantes prepagables. Observe en la variante 5 cómo se le resta un 1 al rango de los

exponentes.

2.4.3. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable, diferida



finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos y a partir de un determinado periodo

de diferimiento, d. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede

establecerse con la expresión que mostramos a continuación:


42

-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)LN

Es simplemente el valor que hemos calculado para la renta geométrica pospagable e

inmediata, actualizado según el número de periodos de diferimiento. Para ello multiplicamos por (1 + 9)LN.

En nuestro caso la renta empieza en el año 3 (carencia de dos años) y tiene una duración

de cuatro años. El primer término es 7.000, el crecimiento el 2% y la tasa de interés el 4%.

En la variante 1 multiplicamos el valor de la renta inmediata por (1 + 9)LN. El resto de

variantes de cálculo son las mismas que en la renta pospagable inmediata.

2.4.4. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable, diferida



finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos y a partir de un determinado periodo

de diferimiento, d. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)MLN

La fórmula simplemente actualiza el número de periodos de diferimiento (d) el valor

obtenido con la renta prepagable e inmediata.


43

En el ejemplo es una renta de 3 años de duración, con un año de diferimiento. El primer

término es 7.000, el crecimiento el 2% y la tasa de interés el 4%.

La primera variante de cálculo recoge la fórmula que hemos mostrado anteriormente, así

como la fórmula alternativa que vimos para el caso de que la tasa de interés coincida con la tasa

de crecimiento y la fórmula resulte en un error. El resto de variantes reproducen lo ya mostrado

en los apartados anteriores.

2.4.5. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable



infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la


continuación:

-./01 2345./ = 6M9 − J

Cuando i sea igual a g esta renta no tiene solución, su Valor Actual no converge a

ninguna cifra.

En nuestro caso, el primer término de la renta es 8.000, la tasa de interés es el 12% y el

crecimiento el 2%. El resultado, 80.000, lo hemos calculado aplicando directamente la fórmula

mostrada con anterioridad.

2.4.6. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable



infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la


continuación:

-./01 2345./ = 6M × (1 + J)9 − J


ninguna cifra.


crecimiento el 2%. El resultado, 89.600, lo hemos calculado aplicando dos pequeñas variantes

de la fórmula mostrada con anterioridad.


44

La segunda variante nos permite ver cómo en la prepagable no basta con sumar a la

pospagable el término inmediato, sino que además hay que multiplicar por (1+g) pues el segundo

término de la renta incorpora ya crecimiento respecto al primero.

2.4.7. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable, diferida



infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos y con un diferimiento de d periodos

antes de comenzar. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = 6M9 − J × (1 + 9)LN


ninguna cifra.


crecimiento el 2%. La renta tiene un periodo de diferimiento. El resultado, 71.429, lo hemos

calculado aplicando directamente la fórmula mostrada con anterioridad. En un caso hemos

introducido la actualización causada por el diferimiento como un factor multiplicativo y en el otro

como un factor divisor.

2.4.8. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable, diferida



infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos y con un diferimiento de d periodos

antes de comenzar. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = 6M9 − J × (1 + 9)MLN


45


ninguna cifra.


crecimiento el 2%. La renta tiene un periodo de diferimiento. El resultado, 80.000, lo hemos

calculado aplicando directamente la fórmula mostrada con anterioridad. En un caso hemos

introducido la actualización causada por el diferimiento como un factor multiplicativo y en el otro

como un factor divisor.

2.5. Valor Final de Rentas Variables Geométricas

Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas variables

con progresión geométrica. Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor

final.




rentas variables en progresión geométrica finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.

2.5.1. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita pospagable




determinación de su Valor Final puede establecerse con la expresión que mostramos a

continuación:

-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9):


Cuando la tasa de interés coincida con la tasa de crecimiento es preciso usar la fórmula

alternativa para calcular el Valor Actual vista con anterioridad.

Vamos a ver tres variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de 8.000,

cuatro periodos de duración, una tasa de interés del 10% y un 4% de crecimiento:


46


La segunda variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente

lleva dicho valor hasta el momento n (4 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9):.

La tercera variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se


2.5.2. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita prepagable





continuación:

-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)MO:

Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta prepagable, que a

su vez multiplicaba por (1+i) el Valor Actual de la pospagable.

Cuando la tasa de interés coincida con la tasa de crecimiento es preciso usar la fórmula

alternativa para calcular el Valor Actual vista con anterioridad.

Vamos a ver tres variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de 7.000,

cinco periodos de duración, una tasa de interés del 12% y un 3% de crecimiento:



47

La segunda variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual de la renta

pospagable y posteriormente convierte dicho valor en prepagable y lo lleva hasta el final

multiplicando por (1 + 9)MO: . La tercera variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se

multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final. En la actualización se resta 1 del rango de

los exponentes para tener en cuenta que es prepagable.

2.6. Valor Actual de Rentas Variables Aritméticas

Las rentas variables en progresión aritmética son aquellas en las que cada término de la

renta aumenta en una cuantía absoluta constante sobre el término anterior. Dicha cuantía la

denotaremos por “h”. Así: 6POM = 6P + ℎ

O, de forma general, también: 6P = 6M + (G − 1) × ℎ

Siendo α1 el primer término de la renta.

2.6.1. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable


constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un

número finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para

la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a

continuación:

-./01 2345./ = @:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 = @:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9

Siendo @:¬Bel factor de anualidad a n periodos y tasa de interés i, que hemos visto ya

en las rentas constantes y que es igual a

@:¬B= 71 − 1(1 + 9):9 ; = <19 − = 19 × (1 + 9):>?

Usaremos en este caso su denotación simplificada para tratar de hacer la formulación

más asequible.


48

En nuestro caso es una renta que comienza en 8.000 y cada periodo aumenta en 1.000

hasta el periodo 5, que será 12.000. La tasa de interés es el 10%.

En la fila 10 establecemos la renta con una condicional que va sumando el término de

crecimiento de la renta en cada periodo.

Las dos primeras variantes de cálculo usan directamente las fórmulas presentadas

anteriormente. El cálculo del factor de anualidad se hace con la función VA, como ya hemos visto

en ocasiones anteriores.

Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas constantes y

geométricas.

2.6.2. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable



número finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para


continuación:

-./01 2345./ = <@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 ? × (1 + 9)= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (9 + 9)

Es decir, simplemente multiplicamos por (1 +i) el valor actual de la renta aritmética finita

pospagable, tal como ha sido calculada en el epígrafe previo.

En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 y cada periodo aumenta en 1.000

hasta el periodo 4, que será 10.000. La tasa de interés es el 10%. Los pagos se producen a inicio

de los diferentes periodos.


crecimiento de la renta en cada periodo.





49

Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas anteriores.

Observe que en la última variante se resta 1 del rango de exponentes para tener en cuenta que

la renta es prepagable.

2.6.3. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable, diferida



número finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos, y comenzando con d periodos

de diferimiento. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9)LN= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9)LN

Es decir, simplemente multiplicamos por (1 + 9)LNel valor actual de la renta aritmética

finita pospagable, tal como ha sido calculada anteriormente.

En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 en el periodo 3, pues tiene dos de

diferimiento, y cada periodo durante cinco aumenta en 1.000 hasta las 11.000, que tendrán lugar

en el periodo 7. La tasa de interés es el 10%. Los pagos se producen al final de los diferentes

periodos.


crecimiento de la renta en cada periodo, pero teniendo en cuenta que la renta empieza con

diferimiento.






50

2.6.4. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable, diferida



número finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos, y comenzando con d periodos

de diferimiento. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 1) × (1 + 9)LN= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 1) × (1 + 9)LN

Es decir, simplemente multiplicamos por (1 + 9)LN el valor actual de la renta aritmética

finita prepagable, tal como ha sido calculada anteriormente.

En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 en el periodo 2, pues tiene uno de

diferimiento, y cada periodo durante cuatro aumenta en 1.000 hasta las 10.000, que tendrán lugar

en el periodo 5. La tasa de interés es el 4%. Los pagos se producen al inicio de los diferentes

periodos.


crecimiento de la renta en cada periodo, pero teniendo en cuenta que la renta empieza con

diferimiento.





2.6.5. Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable



número infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para


51


continuación:

-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 >

En nuestro caso es una renta de 8.000 a final del primer periodo con un incremento de

1.000 en cada periodo ilimitadamente en el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C86

aplicamos directamente la fórmula indicada anteriormente.

2.6.6 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita prepagable



número infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para


continuación:

-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9)

En nuestro caso es una renta de 8.000 a inicio del primer periodo con un incremento de

1.000 en cada periodo ilimitadamente en el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C94

aplicamos directamente la fórmula indicada anteriormente.

2.6.7 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable, diferida



número infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos, pero con un diferimiento de

d periodos en su inicio. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9)LN


52

En nuestro caso es una renta de 8.000 a final del primer periodo (pero comenzando con

un diferimiento de un periodo) con un incremento de 1.000 en cada periodo ilimitadamente en el

tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C103 aplicamos directamente la fórmula indicada

anteriormente.

2.6.7 Valor Actual de una Renta Artimética Infinita prepagable, diferida



número infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos, pero con un diferimiento de

d periodos en su inicio. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede


-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9) × (1 + 9)LN

En nuestro caso es una renta de 8.000 a inicio del primer periodo (pero comenzando con

un diferimiento de dos periodos) con un incremento de 1.000 en cada periodo ilimitadamente en

el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C112 aplicamos directamente la fórmula indicada

anteriormente.

Observe que el resultado es el mismo que en el apartado anterior. En este caso tenemos

dos periodos de diferimiento en vez de uno, pero como es prepagable, ambas rentas son iguales.

2.7. Valor Final de Rentas Variables Aritméticas

Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas variables

con progresión aritmética. Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor final.




rentas variables en progresión aritmética finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.


53

2.7.1. Valor Final de una Renta Aritmética Finita pospagable


de una cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número



continuación:

-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9):= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9):


Vamos a ver cuatro variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de

8.000, cinco periodos de duración, una tasa de interés del 10% y un crecimiento de 1.000:

Las dos primeras variantes simplemente aplican las fórmulas indicadas con anterioridad.

La tercera variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente

lleva dicho valor hasta el momento n (5 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9):.

La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se


2.7.2. Valor Final de una Renta Aritmética Finita prepagable


de una cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número



continuación:

-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9): × (1 + 9)= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9): × (1 + 9)

Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta, o por (1 + i) el Valor

Final de la Renta pospagable.


54

Vamos a ver cuatro variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de

7.000, cuatro periodos de duración, una tasa de interés del 12% y un crecimiento de 1.000:

Las dos primeras variantes simplemente aplican las fórmulas indicadas con anterioridad.

La tercera variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente

lleva dicho valor hasta el momento n (4 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9): y se incorpora

la prepagabilidad multiplicando por (1+i).

La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA en la que se ha restado

un 1 al rango de los exponentes para tener en cuenta que es prepagable, y cuyo resultado se

multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final


55

3. Préstamos

En este bloque nos vamos a ocupar de establecer modelos de préstamos. Dedicaremos

apartados a los préstamos con sistema italiano de amortización, sistema francés y sistema

americano. En cada caso comenzaremos con un caso muy sencillo, en el que el vencimiento

estará prefijado. Posteriormente iremos dotando de flexibilidad al modelo. En un primer momento

facilitaremos que el vencimiento pueda ser establecido por el usuario dentro de un marco general.

A continuación, añadiremos la posibilidad de que el tipo de interés sea variable. También

incorporaremos un modelo con carencia en la amortización y otro con carencia en amortización

e intereses. En cada tipo de préstamo concluiremos con un modelo que permita vencimiento

flexible, carencia de amortización e intereses y tipo de interés variable.

Por último, añadiremos tres modelos generales con una gran flexibilidad en todos sus

elementos.

Muchas de las modalidades que planteamos tiene poco o ningún uso en la práctica de

la banca en estos momentos, pero creemos que es oportuno conocerlas.

3.1. Préstamo Italiano

Denominamos préstamo italiano a aquel en el cual la cuota de amortización es constante

a lo largo del horizonte temporal, siendo la cuota total a pagar decreciente, pues los intereses

también lo son. Puede denominarse préstamo de amortización constante. Es un préstamo muy

sencillo de establecer. Veámoslo.

3.1.1. Préstamo italiano, vencimiento prefijado

En este primer ejemplo vamos a preparar el cuadro de amortización de un préstamo

italiano con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro

ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódica el 10%. Como ya ha sido mencionado en

otros apartados, la tasa de interés tiene que ser coherente con el periodo utilizado, anual,

mensual, etc.

Existen diferentes estructuras para establecer el cuadro de amortización de un préstamo,

pero en general se corresponden con la que hemos planteado en la figura. En este caso hemos

establecido una estructura vertical, en la que cada fila del cuadro de amortización se corresponde

con un periodo, y en la que cada columna se refiere a un concepto. Comenzamos vinculando en


56

C8 el capital inicial del préstamo, desde C3. Los intereses a pagar en ese primer periodo serán

la tasa de interés multiplicada por ese capital inicial. Bloqueamos la tasa de interés y esta fórmula

ya puede ser copiada hacia abajo. La amortización es el resultado de dividir la cuantía inicial

entre el número de periodos. Bloqueamos ambas celdas en la fórmula y podemos copiar hacia

abajo. La cuota es la suma de intereses y amortización, que copiamos hacia bajo sin bloquear

ningún elemento. El capital al final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la

amortización del periodo. También copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para

concluir, el capital al inicio del periodo dos debe vincularse con el de final del periodo uno.

Copiamos sin bloqueos hacia abajo y el préstamo está concluido. Podemos observar cómo el

capital al final de periodo 5 es cero. También vemos cómo la amortización es constante y tanto

los intereses como la cuota son decrecientes. El siguiente gráfico resume la operación.

3.1.2. Préstamo italiano, vencimiento flexible

En el presente modelo vamos a generalizar el anterior flexibilizando el número de

periodos del préstamo que podrá establecerse en cualquier número entre 1 y 10. En el ejemplo

pondremos 8. El cuadro de amortización estará preparado para un máximo de 10 periodos. Con

formato condicional se “ocultarán” (color de fuente gris) las filas de los periodos que no se utilicen,

en nuestro caso las dos últimas. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, copiada

hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde situemos una

condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

1 2 3 4 5

Euro

s

Periodo

Préstamo italiano, vencimiento prefijado

Amortización Intereses


57

En E5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Con dicha

fórmula comprobamos si el periodo es inferior al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser

así aplica la cuota de amortización, en caso contrario pone un cero.

No es preciso retocar el resto de fórmulas pues cuando el capital final sea cero, al acabar

el periodo 8 en nuestro ejemplo, los intereses serán cero, la amortización también lo será al

actuar la condicional, y la cuota también. Todos los elementos del préstamo quedarán a cero a

partir de ese momento. Veamos el gráfico

3.1.3. Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable

En los ejemplos anteriores el préstamo generaba intereses a la misma tasa a lo largo de

los diferentes periodos. En el presente modelo vamos a incorporar al caso anterior el hecho de

que las tasas de interés aplicables puedan ser diferentes en cada periodo. En el ejemplo

pondremos una determinada tasa los cuatro primeros periodos, luego otra los tres siguientes y

otra los tres últimos. Si se desea se puede poner una tasa diferente cada periodo, o la misma en

todos los periodos.

Respecto al modelo anterior, hemos situado las diferentes tasas de interés en la columna

H. El único cambio en la formulación es en la columna de intereses. En la celda D8 establecemos

los intereses cómo el capital inicial de ese primer periodo multiplicado por la tasa de interés de

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo italiano, vencimiento flexible



58

ese primer periodo. Copiamos la fórmula hacia abajo sin bloquear ningún elemento. No es

preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de amortización. En cuanto al gráfico:

3.1.4. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización

Volvamos al caso de que la tasa de interés sea fija. En el presente modelo vamos a

incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en la amortización

durante un máximo de dos periodos. Dado que vamos a considerar que dicha carencia se suma

a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos como máximo para la

amortización, necesitamos establecer un total de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.

En nuestro ejemplo la operación es a 9 años, con dos de carencia, es decir, un total de

11 años, en los cuales en los dos primeros se pagan intereses, pero no se amortiza nada. En la

fila 7 de la figura mostramos la fórmula aplicada a la primera cuota de amortización, y que será

copiada hacia abajo, que es la única fórmula que requiere modificaciones respecto al ejemplo

sin carencia.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable



59

La condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la carencia. De ser así la

amortización será cero. La segunda función SI comprueba si el periodo menos la carencia es

inferior o igual a los periodos del préstamo (en nuestro caso entre los periodos 3 y 11, ambos

incluidos), y de ser así aplica la cuota de amortización, en caso contrario la amortización será

cero. En cuanto al gráfico:

3.1.5. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses

Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que durante los periodos de

carencia además de no amortizar principal tampoco se paguen intereses. Es decir, carencia total.

Siendo así el principal de la deuda aumentará en dichos periodos.


10 años, en los cuales en los dos primeros ni se pagan intereses ni se amortiza y el capital final

aumenta con los intereses devengados y no pagados.

En las filas 5, 6 y 7 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna

de intereses, amortización y capital final. Dichas fórmulas deben ser copiadas hacia abajo desde

el primer periodo.

En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando

el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia.


60

La amortización incorpora al modelo previo un cambio en el establecimiento de la cuota.

Dicha cuota debe amortizar no el capital inicial sino el capital incrementado con los intereses

generados en los periodos de carencia. Para ello multiplicamos el capital inicial por 1 más la tasa

de interés y elevado a la duración de la carencia.

Por último, en el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es

menor o igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para

ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés.

En cuanto al gráfico:

3.1.6. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e

intereses, interés variable

Incorporemos ahora a nuestro modelo previo, que incorpora carencia tanto de

amortización como de intereses, el hecho de que la tasa de interés sea variable. En nuestro

ejemplo el préstamo tiene dos periodos de carencia total, a partir de los cuales se amortiza en 7

periodos.



el primer periodo.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses



61


el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia. En caso de haber superado el periodo de

carencia los interese se calculan como el capital inicial del periodo por la tasa de interés de dicho

periodo.

La amortización del modelo previo no sirve pues al tener tasa de interés diferente cada

año el capital a amortizar no se puede calcular como antes aplicando 1 más la tasa de interés y

elevando a la carencia. En este caso, en los periodos de amortización lo que haremos será dividir

el capital al inicio del periodo entre el número de periodos de amortización que quedan en ese

momento. Para determinar dicho número sumamos 1 al número de periodos de la operación más

el número de periodos de carencia y le restamos el número del periodo en el que nos

encontremos. Copiamos hacia abajo con los bloqueos adecuados.



ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo en cuestión.


3.2. Préstamo Francés

Denominamos préstamo francés a aquel en el cual la cuota es constante a lo largo del

horizonte temporal, siendo la cuota de amortización creciente y los intereses decrecientes. Puede

denominarse préstamo de cuota constante. Es el tipo de préstamo más habitual. El prestatario

paga la misma cuantía a lo largo del horizonte temporal (salvo que el tipo de interés sea variable).

Al principio una gran parte del pago son intereses y se dedica muy poco a amortización. A medida

que el préstamo avanza los intereses disminuyen y la amortización aumenta. Hagamos un

recorrido similar al que hemos realizado para el préstamo italiano, aumentando poco a poco el

grado de dificultad.

3.2.1. Préstamo francés, vencimiento prefijado


francés con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro

ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódicas el 10%. Como ya ha sido mencionado en

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo italiano vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable



62


mensual, etc.

Manteniendo la estructura del cuadro de amortización vamos a realizarlo mediante tres

variantes que usan en mayor o menor medida funciones preestablecidas de Excel.

La primera variante usa las funciones PAGO, PAGOINT y PAGOPRIN, respectivamente,

para la determinación de la cuota total de los intereses y de la amortización.

Comenzamos vinculando en C9 el capital inicial del préstamo, desde C3.

Los intereses los calculamos con la función PAGOINT, que requiere como argumentos

la tasa de interés, el periodo en el que nos encontramos, el número de periodos del préstamo y

la cuantía del mismo (que ponemos con signo menos). Bloqueamos todos los elementos menos

el periodo en el que nos encontramos, y copiamos hacia abajo.

La amortización los calculamos con la función PAGOPRIN, que requiere como

argumentos la tasa de interés, el periodo en el que nos encontramos, el número de periodos del

préstamo y la cuantía del mismo (que ponemos con signo menos). Bloqueamos todos los

elementos menos el periodo en el que nos encontramos, y copiamos hacia abajo.

Calculamos la cuota total con la función PAGO, que requiere como argumentos la tasa

de interés, el número de periodos del préstamo y la cuantía del mismo (que ponemos con signo

menos). Bloqueamos todos los elementos y copiamos hacia abajo.

El capital al final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la amortización del

periodo. También copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para concluir, el capital al

inicio del periodo dos debe vincularse con el de final del periodo uno. Copiamos sin bloqueos

hacia abajo y el préstamo está concluido. Podemos observar cómo el capital al final de periodo

5 es cero. También vemos cómo la cuota es constante, los intereses son decrecientes y la

amortización creciente. El siguiente gráfico resume la operación.


63

El cuadro puede hacerse más sencillo si tenemos en cuenta que la cuota puede

calcularse simplemente sumando interese y amortización y que los intereses son la tasa de

interés aplicada al capital a inicio de periodo. Ello implica que la única función específica

necesaria es la de la amortización, PAGOPRIN. Veamos esta variante:

Mantenemos PAGOPRIN en el cálculo de la amortización y ponemos intereses y cuota

tal como ya hicimos en el italiano. Lo único que diferencia un préstamo italiano básico de un

francés básico es la forma de calcular la amortización. Esta será la variante que usaremos

nosotros en el resto de modelos.

Otra opción es hacer el cuadro de amortización apoyándonos sólo en la función PAGO.

Es decir, en vez de calcular la cuota sumando la amortización más los intereses, calculamos la

amortización restando de la cuota los intereses:

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

1 2 3 4 5

Euro

s

Periodo

Préstamo francés vencimiento prefijado



64

3.2.2. Préstamo francés, vencimiento flexible





en nuestro caso la última. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, segunda

variante, copiada hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde

situemos una condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.

En D5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Dicha

fórmula comprueba si el periodo es inferior al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser así

aplica la cuota de amortización, usando PAGOPRIN, en caso contrario pone un cero.





0

500

1.000

1.500

2.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo francés vencimiento flexible



65

3.2.3. Préstamo francés, vencimiento flexible, interés variable






todos los periodos.


H. Hay que realizar dos cambios en la formulación de la columna de intereses y en la columna

de la amortización. En la celda D8 establecemos los intereses cómo el capital inicial de ese

primer periodo multiplicado por la tasa de interés de ese primer periodo. Copiamos la fórmula

hacia abajo sin bloquear ningún elemento.

En cuanto a la amortización, el cambio es más complejo. El tipo de interés cambia, y la

cuota total, y también la amortización, debe ajustarse a la nueva situación. No basta con indicar

el nuevo tipo de interés. Es preciso reiniciar o resetear el préstamo, es decir, en cada periodo

supondremos que es la primera amortización de un nuevo préstamo de cuantía el capital inicial

de ese periodo, tasa de interés la del periodo y duración los periodos restantes o vivos. Por ello

en PAGOPRIN ponemos la tasa de interés del periodo, ponemos periodo 1, ponemos número

de periodos el total más 1 y menos el periodo en el que nos encontremos, y cuantía el capital al

inicio del periodo. Ponemos PAGOPRIN con signo menos, también podríamos ponerlo en

positivo y poner la cuantía del préstamo en negativo. Una vez realizados los bloqueos oportunos

copiamos hacia abajo. No es preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de

amortización.

Observemos como la cuota es la misma en aquellos periodos en los que la tasa de interés

no cambia. Cuando el tipo de interés cambia la cuota debe ajustarse para poder así garantizar

que al acabar la vida del préstamo éste haya sido totalmente amortizado, cosa que podemos

comprobar que ocurre en nuestro ejemplo.



66

3.2.4. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización


incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en la amortización

durante un máximo de dos periodos. Dado que vamos a considerar que dicha carencia se suma

a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos como máximo para la

amortización, necesitamos establecer un total de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.

En nuestro ejemplo la operación es a 8 años, con uno de carencia, es decir, un total de

9 años, en los cuales en el primero se pagan intereses, pero no se amortiza nada. En la fila 7 de

la figura mostramos la fórmula aplicada a la primera cuota de amortización, y que será copiada

hacia abajo, que es la única fórmula que requiere modificaciones respecto al ejemplo sin

carencia.

La condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la carencia. De ser así la

amortización será cero. La segunda función SI comprueba si el periodo menos la carencia es

inferior o igual a los periodos del préstamo (en nuestro caso entre los periodos 2 y 9, ambos

incluidos), y de ser así aplica la cuota de amortización, en caso contrario la amortización será

0

500

1.000

1.500

2.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo francés vencimiento flexible, interés variable



67

cero. En la función PAGOPRIN el periodo de amortización será el periodo en el que nos

encontremos menos los periodos de carencia. En cuanto al gráfico:

3.2.5. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e

intereses

Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que durante los periodos de

carencia además de no amortizar principal tampoco se paguen intereses. Es decir, carencia total.

Siendo así el principal de la deuda aumentará en dichos periodos.


10 años, en los cuales en los dos primeros ni se pagan intereses ni se amortiza y el capital final

aumenta con los intereses devengados y no pagados.


de intereses capital final y amortización, respectivamente. Dichas fórmulas deben ser copiadas

hacia abajo desde el primer periodo.


el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia.

-500

0

500

1.000

1.500

2.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización



68

En el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es menor o

igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para ello el

capital inicial por 1 más la tasa de interés.

Por último, la amortización incorpora al modelo previo cambios en el establecimiento de

la cuota con PAGOPRIN. Dicha cuota debe amortizar no el capital inicial sino el capital

incrementado con los intereses generados en los periodos de carencia. Para ello multiplicamos

el capital inicial por 1 más la tasa de interés y elevado a la duración de la carencia. Además, el

periodo de amortización, como en el caso previo, será el periodo en el que nos encontremos

menos el periodo de carencia.


3.2.6. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e

intereses, interés variable

Incorporemos ahora a nuestro modelo previo, que incorpora carencia tanto de

amortización como de intereses, el hecho de que la tasa de interés sea variable. En nuestro

ejemplo el préstamo tiene dos periodos de carencia total, a partir de los cuales se amortiza en 8

periodos.


de intereses, capital final y amortización, respectivamente. Dichas fórmulas deben ser copiadas

hacia abajo desde el primer periodo.

-500

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo francés vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses



69


el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia. En caso de haber superado el periodo de

carencia los interese se calculan como el capital inicial del periodo por la tasa de interés de dicho

periodo.

En cuanto a la amortización, con dos condicionales establecemos cuando procede

amortizar. La amortización en los periodos que procede amortizar la haremos como en el modelo

con tipos de interés variable y sin carencia, es decir, necesitamos reiniciar PAGOPRIN en cada

periodo (es decir considerar cada periodo como el periodo 1 de la operación). La cuantía a

amortizar será el capital vivo a inicio de cada periodo y los periodos de amortización en cada

caso serán la suma del periodo inicial de amortización más el periodo de carencia más 1 y menos

el periodo en el que nos encontremos. Una vez que bloqueamos adecuadamente los diferentes

elementos de la fórmula, la copiamos hacia abajo.



ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo en cuestión.

En el cuadro de amortización puede comprobar como la cuota es la misma en los

periodos en los que se mantiene el mismo tipo de interés.


0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable



70

3.3. Préstamo Americano

Denominamos préstamo americano a aquel en el cual durante su horizonte temporal sólo

paga interés, amortizando todo el principal al final, es como si tuviera carencia en la amortización

en n-1 periodos. Es un préstamo muy sencillo de establecer. Veámoslo.

3.3.1. Préstamo americano, vencimiento prefijado


italiano con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro

ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódicas el 10%. Como ya ha sido mencionado en


mensual, etc.

Comenzamos vinculando en C8 el capital inicial del préstamo, desde C3. Los intereses

a pagar en ese primer periodo serán la tasa de interés multiplicada por ese capital inicial.

Bloqueamos la tasa de interés y esta fórmula ya puede ser copiada hacia abajo. La amortización

sólo se producirá en el último periodo, por importe igual al capital inicial. La cuota es la suma de

intereses y amortización, que copiamos hacia bajo sin bloquear ningún elemento. El capital al

final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la amortización del periodo. También

copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para concluir, el capital al inicio del periodo

dos debe vincularse con el de final del periodo uno. Copiamos sin bloqueos hacia abajo y el

préstamo está concluido. El siguiente gráfico resume la operación.

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

1 2 3 4 5

Euro

s

Periodo

Préstamo americano, vencimiento prefijado



71

3.3.2. Préstamo americano, vencimiento flexible





en nuestro caso las dos últimas. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, copiada

hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde situemos una

condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.

En E5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Con dicha

fórmula comprobamos si el periodo es igual al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser así

amortizamos la cuantía original de la operación, en caso contrario se pone un cero.





0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo americano, vencimiento flexible



72

3.3.3. Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable






todos los periodos.


H. El único cambio en la formulación es en la columna de intereses. En la celda D8 establecemos

los intereses cómo el capital inicial de ese primer periodo multiplicado por la tasa de interés de

ese primer periodo. Copiamos la fórmula hacia abajo sin bloquear ningún elemento. No es

preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de amortización. En cuanto al gráfico:

3.3.4. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses


incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en los intereses durante

un máximo de dos periodos. De esta forma el capital vivo al final de los periodos de carencia

tendrá que irse incrementado con los intereses generados y no pagados. En el momento del

vencimiento se amortizará el capital acumulado. Dado que vamos a considerar que dicha

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s

Periodo

Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable



73

carencia se suma a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos

como máximo para la operación, una vez superada la carencia, necesitamos establecer un total

de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.

En nuestro ejemplo la operación es a 9 años, con uno de carencia, es decir, un total de

10 años, en los cuales en el primero no se pagan intereses. En las filas 5, 6 y 7 de la figura

mostramos las fórmulas aplicadas a la columna de intereses, amortización y capital vivo final.

En el cálculo de intereses, la condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la

carencia. De ser así, los intereses serán cero y si no se aplicará la tasa de interés al capital vivo

al inicio del periodo.

En el cálculo de la amortización con una condicional le indicamos que cuando el periodo

en el que estamos menos la carencia coincida con el periodo de amortización proceda a

amortizar el capital inicial incrementado con los intereses de carencia. También se podría haber

puesto que amortice el capital al inicio del periodo en el que se produzca la amortización.

En el capital final una condicional le indica que mientras que el periodo sea igual o inferior

a la carencia el capital final será igual al capital inicial más los intereses de dicho periodo. En

cuanto al gráfico:

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses



74

3.3.5. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés

variable

Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que los tipos de interés sean

variables.


9 años, en los cuales en los dos primeros no se pagan intereses y el capital final aumenta con

los intereses devengados y no pagados.



el primer periodo.


el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia, y en caso contrario serán el producto de la

tasa de interés del periodo por el capital al inicio del periodo.

En la amortización una condicional indica que cuando el periodo menos la carencia sea

igual al vencimiento del préstamo, debe procederse a su amortización. La amortización será el

capital al inicio del periodo en el que se lleve a cabo.


menor o igual a la carencia, el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para

ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo.


0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

16.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Euro

s

Periodo

Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés variable



75

3.4. Modelos de Préstamo

En este último bloque dedicado a los préstamos mostramos tres modelos genéricos con

una gran flexibilidad. El primero de ellos se refiere a un préstamo a interés fijo, el segundo permite

que el préstamo tenga tasa de interés variable, y el tercero vuelve a ser un préstamo a interés

fijo, pero en el cual el modelo ha sido realizado usando la técnica de “nombres” de Excel.

3.4.1. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia

Este primer modelo permite escoger el tipo de amortización (sistema francés o italiano),

el número de pagos al año (1, anual, 2, semestral, 3, cuatrimestral, 4, trimestral, 6, bimensual y

12, mensual), y la existencia de carencia, pudiendo elegir si dicha carencia es parcial (sólo

amortización) o total (amortización e intereses) o ninguna y el número de años de carencia.

Comencemos mostrando la zona de entrada de datos:

Debemos indicar la cuantía (en nuestro ejemplo 100.000), el tipo de interés anual (en el

ejemplo 7%), el número de años de la operación (3 en el ejemplo), el número de pagos anuales

(2, en el ejemplo, semestral), la fecha en la que se produce la operación (en enero del 19 en el

ejemplo), el sistema de amortización (francés en el ejemplo), la existencia o no de carencia y su

tipo (Total en el ejemplo) y los años de carencia (1 en el ejemplo).

En G2 se nos muestra un chequeo que comprueba que los años de carencia son

inferiores a la duración del préstamo al menos en 1. Este chequeo está reforzado con la

validación de la celda F9, que impide que se introduzca una carencia igual o superior a los años

del préstamo.

Las celdas inputs están validadas de forma que se informe al usuario del tipo de

información que se requiere. Donde ha sido posible la validación es tipo lista, para que aparezca

un desplegable con las opciones.

A continuación, tenemos una sección de cálculos intermedios:


76

Se trata de realizar una serie de cálculos de apoyo que facilitarán posteriormente la

formulación a lo largo del modelo dentro de las diversas condicionales que serán necesarias.

En primer lugar, la tasa periódica se calcula dividiendo el tipo de interés (que se supone

es nominal) entre el número de pagos anuales.

Los periodos totales de la operación son el número de años por el número de pagos

anuales.

Los periodos de carencia de intereses se producirán sólo cuando la carencia sea total, y

se calcularán en tal caso multiplicando los años de carencia por el número de pagos anuales.

Los periodos de carencia de amortización se producirán siempre que haya carencia, y

se calcularán en tal caso multiplicando los años de carencia por el número de pagos anuales.

Los periodos de amortización serán los periodos totales menos los periodos de carencia

en la amortización. A diferencia de lo visto en los apartados anteriores, en este caso

supondremos que cuando decimos que la operación es a seis años con dos de carencia estamos

indicando que de los seis años los primeros dos son de carencia. Recordar que en los modelos

anteriores seis años con dos de carencia implicaba un total de seis más dos, igual a ocho,

periodos totales. Es simplemente una cuestión de criterio de cómo nos referimos a la duración

del préstamo y a su carencia.

Por último, el capital total a devolver será el capital inicial si la carencia no es total, y el

capital inicial incrementado con los intereses de carencia si la carencia es total.

A partir de aquí montamos el cuadro de amortización del préstamo, que hemos hecho

en este caso en horizontal para un máximo de 120 periodos (10 años y 12 pagos anuales).

En C17 vinculamos la fecha de la operación. A partir de ahí, a la derecha le añadimos

con la función FIN.MES el número de meses del siguiente periodo, y copiamos hacia la derecha.

Observar como en nuestro ejemplo tenemos un periodo de préstamo cada seis meses pues el

préstamo es semestral.

En la fila 19 tendremos el capital pendiente, será el capital pendiente a final de cada

periodo, por eso empezamos una columna a la izquierda en esta variable respecto al resto de

variables del cuadro. En C19 vinculamos el capital inicial. En D19 establecemos la fórmula que

hemos de copiar para el resto de la fila del capital pendiente. Le indicamos con una condicional

que cuando el periodo (fila 18) sea mayor al número de periodos de carencia en los intereses,

calcule el capital pendiente como el previo menos la amortización del periodo, y en caso contrario


77

(en los periodos en los que la carencia de intereses sea efectiva) que multiplique el capital previo

por 1 más la tasa de interés periódica (del cuadro auxiliar).

En cuanto a la fila de la amortización, es la fórmula más compleja. En primer lugar, con

una condicional apoyada en una función O, le indicamos que cuando el periodo sea inferior a los

periodos de carencia en la amortización o superior al número de periodos totales, la amortización

será cero. De esta forma ya gestionamos los periodos previos y posteriores a la amortización.

Una vez que se ha superado esa condicional, significa que estamos en periodo de amortización.

En tal caso una condicional nos permite dilucidar si se aplica el sistema francés de amortización

(con PAGOPRIN) o el italiano. En el sistema francés, a PAGOPRIN le indicamos que la tasa de

interés es la periódica (del cuadro auxiliar), que el periodo es el actual menos los periodos de

carencia en la amortización (del cuadro auxiliar), que el número de periodos de amortización son

los determinados en el cuadro auxiliar, y que la cuantía es la cuantía total a devolver (también

del cuadro auxiliar). En caso de que el sistema de amortización sea el italiano simplemente

dividimos la cuantía total a devolver (del cuadro auxiliar) entre el número de periodos de

amortización (del cuadro auxiliar).

El cálculo de intereses simplemente con una condicional comprueba que el periodo sea

superior al periodo de carencia de intereses para determinar la cuantía de los mismos

multiplicando la tasa de interés periódica por el capital pendiente (de la columna previa).

La cuota es la simple suma de amortización e intereses.

Además, hemos calculado los intereses que se devengan en el periodo de carencia,

aunque no se paguen. Usamos una función MAX. Si el capital pendiente baja dicha función nos

reportará un cero, no se acumulan intereses de carencia, mientras que si el capital sube dicha

función nos dará la cuantía de los intereses acumulados.

Todas las fórmulas de la columna D, con los bloqueos tal como se muestran en la figura,

deben copiarse hacia la derecha a lo largo de las 120 columnas.


78

3.4.2. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible, carencia e interés variable

Este segundo modelo permite escoger el tipo de amortización (sistema francés o

italiano), el número de pagos al año (1, anual, 2, semestral, 3, cuatrimestral, 4, trimestral, 6,

bimensual y 12, mensual), y la existencia de carencia, pudiendo elegir si dicha carencia es parcial

(sólo amortización) o total (amortización e intereses) o ninguna y el número de años de carencia,

como en el caso anterior, pero además permite escoger si el préstamo tendrá tasa de interés fija

o variable.

Comencemos mostrando la zona de entrada de datos y cuadro auxiliar:

Debemos indicar la cuantía (en nuestro ejemplo 100.000), el tipo de interés anual, en

caso de ser fijo, (en el ejemplo 7%), el número de años de la operación (3 en el ejemplo), el

número de pagos anuales (4, en el ejemplo, trimestral), la fecha en la que se produce la operación

(en enero del 19 en el ejemplo, el 14 de enero concretamente), el sistema de amortización

(francés en el ejemplo), la existencia o no de carencia y su tipo (Total en el ejemplo) y los años

de carencia (1 en el ejemplo). Además, en la columna I situamos diez posibles tasas de interés,

para el caso de que la tasa sea variable. Esas tasas de interés se aplicarán durante un año, de

enero del 19 a enero del 20, etc. Si la operación se realiza en marzo, por ejemplo, el tipo de

interés de cada año se aplicaría de marzo a marzo. Dividiendo entre el número de periodos por

año tendremos la tasa periódica variable. En D10 debemos escoger si la tasa de interés a aplicar

es la fija o la variable.

En G2 se nos muestra un chequeo que comprueba que los años de carencia son

inferiores a la duración del préstamo al menos en 1. Este chequeo está reforzado con la

validación de la celda F9, que impide que se introduzca una carencia igual o superior a los años

del préstamo.

Las celdas inputs están validadas de forma que se informe al usuario del tipo de

información que se requiere. Donde ha sido posible la validación es tipo lista, para que aparezca

un desplegable con las opciones.

En la sección de cálculos intermedios se realizan los mismos cálculos que en el modelo

anterior. La tasa de interés periódica es la que tendrá el préstamo si el tipo de interés elegido es

el fijo.


79

Llamamos la atención sobre la determinación del capital total a devolver, que en caso de

carencia total debe acumular unos intereses a tipo variable, y que resolvemos con una función

de búsqueda (DESERFE) sobre la fila dedicada al capital pendiente.

A partir de aquí montamos el cuadro de amortización del préstamo, que hemos hecho

en este caso en horizontal para un máximo de 120 periodos (10 años y 12 pagos anuales).

En C18 vinculamos la fecha de la operación. A partir de ahí, a la derecha le añadimos

con la función FECHA.MES el número de meses del siguiente periodo, y copiamos hacia la

derecha. Observar como en nuestro ejemplo tenemos un periodo de préstamo cada tres meses

pues el préstamo es trimestral.

En la fila 20, con una condicional seleccionamos el tipo de interés fijo o variable a utilizar

en cada periodo. Si el seleccionado es el variable debemos usar la función BUSCARV en el

cuadro de tipos de interés variables para determinar el que se aplica en cada caso. Observar

como en nuestro ejemplo el tipo de interés cambia cada cuatro periodos (recordar que el

préstamo es trimestral).

En la fila 21 tendremos el capital pendiente, será el capital pendiente a final de cada

periodo, por eso empezamos una columna a la izquierda en esta variable respecto al resto de

variables del cuadro. En C21 vinculamos el capital inicial. En D21 establecemos la fórmula que

hemos de copiar para el resto de la fila del capital pendiente. Le indicamos con una condicional

que cuando el periodo (fila 19) sea mayor al número de periodos de carencia en los intereses,

calcule el capital pendiente como el previo menos la amortización del periodo, y en caso contrario

(en los periodos en los que la carencia de intereses sea efectiva) que multiplique el capital previo

por 1 más la tasa de interés del periodo, de la fila 20.

En cuanto a la fila de la amortización, es la fórmula más compleja. En primer lugar, con

una condicional apoyada en una función O, le indicamos que cuando el periodo sea inferior a los

periodos de carencia en la amortización o superior al número de periodos totales, la amortización

será cero. De esta forma ya gestionamos los periodos previos y posteriores a la amortización.

Una vez que se ha superado esa condicional, significa que estamos en periodo de amortización.

En tal caso una condicional nos permite dilucidad si se aplica el sistema francés de amortización

(con PAGOPRIN) o el italiano. En el sistema francés, al tener el tipo variable debe reiniciarse o

resetearse la operación en cada periodo. A PAGOPRIN le indicamos que la tasa de interés es la

periódica (de la fila 20), que el periodo es el primero, que el número de periodos de amortización


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son los periodos totales del préstamo, del cuadro auxiliar, más 1 y menos el periodo en el que

nos encontremos, y que la cuantía es la cuantía pendiente del periodo previo.

El cálculo de intereses simplemente con una condicional comprueba que el periodo sea

superior al periodo de carencia de intereses para determinar la cuantía de los mismos

multiplicando la tasa de interés correspondiente al periodo en curso por el capital pendiente (de

la columna previa).

La cuota es la simple suma de amortización e intereses.

Además, hemos calculado los intereses que se devengan en el periodo de carencia,

aunque no se paguen. Usamos una función MAX. Si el capital pendiente baja dicha función nos

reportará un cero, no se acumulan intereses de carencia, mientras que si el capital sube dicha

función nos dará la cuantía de los intereses acumulados.

Todas las fórmulas de la columna D, con los bloqueos tal como se muestran en la figura,

deben copiarse hacia la derecha a lo largo de las 120 columnas.

3.4.3. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia, formulación

con nombres

En este último modelo del bloque de préstamos hemos reelaborado el modelo del

apartado 3.4.1 pero usando la técnica de nombres. Dicha técnica consiste, básicamente, en

definir nombres para sustituir las referencias a celdas o rangos. De esta forma, en las fórmulas

y funciones, en vez de aparecer las referencias a las celdas aparecen sus nombres. Aunque

puede ser una modelización menos transparente, y que exige un mayor dominio del programa

de hoja de cálculo, la ventaja es que es más fácil de seguir la formulación en tanto que el lenguaje

es más “textual”.

Mostramos a continuación los nombres que hemos definido en nuestro modelo:

Como vemos, en algunos casos se refieren a celdas concretas y en otros casos a rangos

de celdas. En algunos casos, también se han definido nombres con bloqueo parcial (como

CapPrevio) para facilitar su uso en el modelo.

Comencemos mostrando la zona de inputs y cálculos intermedios:

Nombres usados

Amortizacion ='P I & P F 3'!$D$20:$DS$20

Años ='P I & P F 3'!$D$8

AñosCarenc ='P I & P F 3'!$F$9

CapPendiente ='P I & P F 3'!$C$19:$DS$19

CapPrevio ='P I & P F 3'!B$19

Carencia ='P I & P F 3'!$F$8

Cuantia ='P I & P F 3'!$D$6

CuantiaTotal ='P I & P F 3'!$D$13

Intereses ='P I & P F 3'!$D$21:$DS$21

PagosAnuales ='P I & P F 3'!$D$9

PerCarAmort ='P I & P F 3'!$F$14

PerCarInt ='P I & P F 3'!$F$13

Periodo ='P I & P F 3'!$D$18:$DS$18

PeriodosAmort ='P I & P F 3'!$F$15

PerTotales ='P I & P F 3'!$F$12

Tasa ='P I & P F 3'!$D$7

TasaIntPer ='P I & P F 3'!$D$12

Tipo ='P I & P F 3'!$F$7


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Y veamos ahora como queda la zona del cuadro de amortización del préstamo:

Aunque con dificultad, por el tamaño de letra necesario para poder desarrollar las

fórmulas completas, se puede comprobar que la interpretación de la formulación es relativamente

más sencilla. Le invitamos a que lo compruebe directamente en el fichero xls vinculado a este

documento.

fundamentos de cálculo financiero con excel · 2019. 2. 26. · fundamentos de cálculo financiero...

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