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Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Funções Crescentes e Funções Decrescentes

1.Funções crescentes e funções decrescentes

2.Pontos críticos e sua utilização

3.Uma aplicação: lucro, receita e custo

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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes

Uma função é crescente se seu gráfico sobequando x se desloca para a direita, e édecrescente se seu gráfico desce quando x sedesloca para a direita. A definição a seguirconstitui um enunciado mais formal.

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Definição de Função Crescente e FunçãoDecrescente

Uma função f é crescente em um intervalo se, paraqualquer x1 e x2 no intervalo,

x2 > x1 implica f(x2) > f(x1)

Uma função f é decrescente em um intervalo se,para qualquer x1 e x2 no intervalo,

x2 > x1 implica f(x2) < f(x1).

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x1 x2

f(x1)

f(x2)

x

y

Função Crescente

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x1 x2

f(x2)

f(x1)

x

y

Função Decrescente

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A função da figura a seguir é decrescenteno intervalo (-∞, a), constante no intervalo (a, b) ecrescente no intervalo (b, ∞). Na realidade, peladefinição de função crescente e funçãodecrescente, a função exibida na figura édecrescente no intervalo (-∞, a] e crescente nointervalo [b, ∞). No presente texto, entretanto,restringimos nosso estudo à determinação deintervalos abertos, nos quais a função é crescenteou decrescente em um intervalo.

Pode-se utilizar a derivada de uma funçãopara determinar se a função é crescente oudecrescente em um intervalo.

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Teste para Funções Crescentes e FunçõesDecrescentes

1. Se f’ (x) >0 para todo x em (a, b), f é crescenteem (a, b).

2. Se f’ (x) < 0 para todo x em (a, b), f é decres-cente em (a, b).

3. Se f’ (x) = 0 para todo x em (a, b), f é constanteem (a, b).

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Exemplo 1: Mostre que a função

é decrescente no intervalo aberto (-∞, 0) ecrescente no intervalo aberto (0, ∞).

A derivada de f é

2( )f x x=

'( ) 2f x x=

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No intervalo aberto (-∞, 0), o fato de x sernegativo implica que f ’(x) = 2x é também negativa.Logo, pelo teste para uma função decrescente,podemos concluir que f é decrescente nesseintervalo. Analogamente, no intervalo (0, ∞), comox é positivo, também o é 2x. Logo, concluímos que fé crescente nesse intervalo, como pode serobservado na figura a seguir.

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Exemplo 2: De 1970 a 1980, o consumo C de aves(em libras sem osso por pessoa por dia) admitecomo modelo

C = 33,5 + 0,074t 2, 0 ≤ t ≤ 20,

onde t = 0 corresponde a 1970. Mostre que oconsumo de aves cresceu de 1970 a 1980.

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A derivada deste modelo é dC/dt = 0,148t.Para t positivo, a derivada é positiva. Portanto, afunção é crescente, o que implica que o consumo deaves aumentou de 1970 a 1980.

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2. Pontos críticos e sua utili-zação

No Exemplo 1, foram dados dois intervalos –um em que a função era decrescente e um em queera crescente. Suponhamos agora que tivéssemosde determinar esses intervalos. Para isto,poderíamos ter levado em conta o fato de que,para uma função contínua, f ‘(x) só pode mudar desinal em valores de x para os quais f ‘(x) = 0 ou emvalores de x para os quais f ‘(x) não é definida,conforme mostra a figura a seguir. Esses doistipos de números são chamados pontos críticos def.

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Definição de Ponto Crítico

Se f é definida em c, então c é um pontocrítico de f se f ’(c) = 0 ou se f ‘ não é definida em c.

Nota: Esta definição exige que o ponto crítico estejano domínio da função.

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Diretrizes para Determinar os Intervalos deCrescimento e Decrescimento

1. Achar a derivada de f.

2. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-lospara estabelecer os intervalos de teste; isto é,achar todos os valores de x para os quaisf ‘(x) = 0 ou f ‘(x) não é definida.

3. Testar o sinal de f ‘(x) para um valor arbitrárioem cada um dos intervalos de teste.

4. Utilizar o teste das funções crescentes oudecrescentes para decidir se é crescente oudecrescente em cada intervalo.

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Exemplo 3: Ache os intervalos abertos em que afunção

é crescente ou decrescente.

3 23( )

2f x x x= −

20


Comecemos calculando a derivada de f. Emseguida, igualemos a derivada a zero e resolvamosa equação para achar os pontos críticos.

' 2

2

( ) 3 3 Diferenciando a função original

3 3 0 Igualando a zero a derivada

3( )( 1) 0 Fatorando

0, 1 Pontos críticos

f x x x

x x

x x

x x

= −− =− =

= =

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Como não há valores de x para os quais f ‘

não seja definida, decorre que x = 0 e x = 1 são osúnicos pontos críticos. Assim, os intervalos quedevem ser testados são (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞). Atabela abaixo apresenta o resultado do testedesses três intervalos.

Intervalo (-∞∞∞∞, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = -1 x = ½ x = 2

Sinal de f ‘(x) f ‘(-1) = 6 >>>> 0 f ‘(½) = -¾ <<<< 0 f ‘(2) = 6 >>>> 0

Conclusão Crescente Decrescente Crescente

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A função do Exemplo 3 não somente écontínua em toda a reta real, mas tambémdiferenciável ali. Para tais funções, os únicospontos críticos são aqueles para os quais f ‘(x) = 0.O próximo exemplo considera uma função contínuaque tem ambos os tipos de ponto crítico – osnúmeros para os quais f ‘(x) = 0 e os que f ‘(x) não édefinida.

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Exemplo 4: Determine os intervalos abertos emque a função

é crescente ou decrescente.

( )22 3( ) 4f x x= −

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Comecemos achando a derivada da função.

Vemos que a derivada é zero quando x = 0 eque não é definida para x = ± 2. Assim, os pontoscríticos são

x = -2, x = 0 e x = 2. Pontos críticos

( )

( )

1' 2 3

12 3

2( ) 4 (2 ) Diferenciar

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Simplificar3 4

f x x x

x

x

−= −

=−

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Isto implica que os intervalos de teste são

(-∞, -2), (-2, 0), (0, 2) e (2, ∞) Intervalos de teste

A tabela abaixo resume os resultados doteste nesses quatro intervalos; a figura a seguirexibe o gráfico da função.

Intervalo (-∞∞∞∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = -3 x = -1 x = 1 x = 3

Sinal de f ‘(x) f ‘(-3) <<<< 0 f ‘(-1) >>>> 0 f ‘(1) <<<< 0 f ‘(3) >>>> 0

Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

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Nota: Na tabela anterior, não é necessário calcularf ‘(x) para os valores de teste – basta determinarseu sinal. Assim é que podemos determinar o sinalde f ‘(-3) como segue:

'13

4( 3)( 3)

3(9 4)

negativof negativo

positivo−− = = =−

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As funções nos Exemplos 1 a 4 são contínuasem toda a reta real. Se há valores isolados de xpara os quais a função não seja contínua, taisvalores devem ser utilizados, juntamente com ospontos críticos, para determinar os intervalos deteste.

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Por exemplo, a função

não é contínua quando x = 0. Como a derivada de f,

é zero quando x = ± 1, devemos tomar os seguintesvalores para determinar os intervalos de teste:

x = -1, x = 1 (Pontos críticos)

x = 0 (Descontinuidade)

4

2

1( )

xf x

x+=

4

3

2( 1)'( )

xf x

x−=

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Intervalo (-∞∞∞∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = -2 x = -½ x = ½ x = 2

Sinal de f ‘(x) f ‘(-2) <<<< 0 f ‘(-½) >>>> 0 f ‘(½) <<<< 0 f ‘(2) >>>> 0

Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

Após testar f ‘(x), constatamos que a funçãoé decrescente nos intervalos (-∞, -1) e (0, 1), ecrescente nos intervalos (-1, 0) e (1, ∞), conformemostra a figura a seguir.

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Exemplo 5: Mostre que a função f(x) = x3 – 3x2 +3x é crescente em toda a reta real.

Pela derivada de f,

f ‘(x) = 3x2 – 6x + 3 = 3(x – 1)2,

podemos ver que o único ponto crítico é x = 1.Assim, os intervalos de teste são (-∞, 1) e (1, ∞). Atabela a seguir resume o teste nesses doisintervalos. Pela figura a seguir, vemos que f écrescente em toda a reta real – mesmo quef ‘(1) = 0.

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Intervalo (-∞∞∞∞, 1) (1, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = 0 x = 2

Sinal de f ‘(x) f ‘(0) = 3(0-1)2 >>>> 0 f ‘(2) = 3(2-1)2 >>>> 0

Conclusão Crescente Crescente

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3. Uma aplicação: lucro, recei-ta e custo

Exemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedosestabelece os seguintes modelos de custo ereceita para um de seus jogos.

C = 2,4x – 0,0002x2, 0 ≤ x ≤ 6.000

R = 7,2x – 0,001x2, 0 ≤ x ≤ 6.000

Determine o intervalo em que a função lucroé crescente.

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O lucro na produção de x unidades é

P = R – C

= (7,2x – 0,001x2) – (2,4x – 0,0002x2)

= 4,8x – 0,0008x2.

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Para achar o intervalo em que o lucro écrescente, façamos o lucro marginal P ’ igual a zeroe resolvamos em relação a x.

'

'

4,8 0,0016 Diferenciando a função lucro

4,8 0,0016 0 Fazendo P igual a 0.

0,0016 4,8 Subtraindo 4,8 de ambos os me

P x

x

x

= −− =− = − mbros

4,8 Dividindo ambos os membros por -0,0016

0,0016 3.000 unidades Simplificando

x

x

−=−

=

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No intervalo (0, 3.000), P ‘ é positiva e olucro é crescente. No intervalo (3.000, 6.000), P ‘ énegativa e o lucro é decrescente. A figura abaixoilustra os gráficos das funções custo, receita elucro.

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