Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dosconjuntos finitos, donde se puede ver que  .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función  :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo   de   se cumple que existe un único   de  , tal que la función evaluada en   es igual a  .

Dados dos conjuntos   e   finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si   e   tienen el mismo número de elementos.

Teorema[editar]

Si   es una función real biyectiva, entonces su función inversa   existe y también es

biyectiva.

Ejemplo[editar]

La función:

es biyectiva.

Luego, su inversa:

también lo es.1

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es

biyectiva:

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No

sobreyectiva

Cardinalidad y biyectividad[editar]

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función biyectiva   

tienen cardinales que cumplen:

FUNCIONES

Función inyectiva 

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un

valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde

un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma

imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4

puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos,

obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que

cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación

biyectiva entre A y B

Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva.

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

Formalmente,

para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto

de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de

la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un

elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función

sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función es biyectiva.

Luego, su inversa también lo es.

Función sobreyectiva

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si

está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas,

cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".