FÍSICA GENERALFac. Cs. Exactas - UNCPBA

Cursada 2018

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Nota importante:En este documento se presentan las diapositivas proyectadas durante las clases teóricas. El material no es riguroso ni completo, y no incluye todos los contenidos dados en clase.Se pone a disposición de los estudiantes como material de estudio suplementario. Para tratamientos detallados de los diferentes temas, se recomienda utilizar la bibliografía sugerida en la página web de la cátedra.

F. LanziniOctubre 2018

CátedraTeoría/Práctica (Comisión 1):

Dr. Fernando LanziniDr. Matías Quiroga

Teoría/Práctica (Comisión 2):Dr. Sebastián TognanaProf. Olga Garbellini

Clases de Laboratorio:Dr. Marcos ChaparroLic. Pablo CorreaLic. Pablo RavazzoliLic. Adán FaramiñanSr. Juan Staneck

OSCILACIONESMovimiento periódico: El objeto en movimiento regresa regularmente a la misma posición cada intervalos fijos de tiempo. Ejemplos: cuerpo unido a un resorte, péndulo, ondas mecánicas (en cuerdas, en la superficie del agua), vibraciones moleculares, …

Dentro de los movimientos periódicos, el que presenta mayor interés es el movimiento armónico simple (MAS), del que veremos dos ejemplos en esta unidad: el movimiento de un cuerpo unido a un resorte, y el movimiento de un péndulo

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte

El movimiento es periódico:

x = 0

Física Gral. - UNCPBA - 2018 3

El cuerpo va desde la posición de equilibrio (𝑥 = 0)…,

…hasta su máximo desplazamiento positivo (𝑥 = +𝐴),…

…invierte su movimiento pasando nuevamente por 𝑥 = 0…,

…hasta su máximo desplazamiento negativo (𝑥 = −𝐴),…

…y vuelve a pasar por la posición de equilibrio (𝑥 = 0)…,

…y este movimiento se repite indefinidamente

Al movimiento básico anterior, que ocurre entre que el cuerpo está en ciertaposición con cierta velocidad en un dado instante 𝑡 hasta que el cuerpo vuelve ala misma posición con igual velocidad en un instante 𝑡 + 𝜏 se lo llama oscilación.

Al tiempo 𝜏 que dura una oscilación se lo denomina período

La cantidad 𝐴 es la amplitud de la oscilación

Pregunta: ¿Qué distancia recorrerá un resorte en MAS de amplitud 𝐴 en un ciclocompleto?

Respuesta: 4𝐴

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Descripción matemática

𝐹 = −𝑘𝑥Sabemos que la fuerza del resorte está dada por la Ley de Hooke:

Y si esta es la única fuerza interviniente a lo largo del eje horizontal 𝑥:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥Usando la definición de aceleración:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘

𝑚𝑥Dividendo ambos lados por la masa:

Y llamando 𝑘

𝑚= 𝜔2: 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑥

La anterior es una ecuación diferencial de segundo grado. Lo que debemos buscar es una función 𝑥(𝑡) tal que, al ser derivada dos veces, sea igual a la función original multiplicada por −𝜔2

La solución a la ecuación anterior tiene la forma: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝐴 es la amplitud del movimiento 𝜔 =𝑘

𝑚es la frecuencia angular. Se mide en 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜙 es la fase inicial(se mide en 𝑟𝑎𝑑)

𝑚𝑎𝑥 = −𝑘𝑥

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Descripción matemática

Ejercicio 1: Verificar que la función 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 es solución de la ecuación diferencial𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑥

Respuesta. Si la función 𝑥(𝑡) es solución de la ecuación, cuando reemplacemos en la misma se debe cumplir la igualdad. Veamos…

𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝐴 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

−𝜔2𝑥 = −𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

Podemos verificar, entonces, que si 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 ,

entonces 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑥

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Descripción matemática

Ahora que ya sabemos que la ecuación del MAS para un oscilador masa-resorte está dada por:

𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 ,

analicemos el significado de los diferentes parámetros:

• 𝐴 es la amplitud del movimiento. Para el sistema masa-resorte es el desplazamiento máximo de la masa desde su

posición de equilibrio, y se mide en 𝑚.

• 𝜔 es la frecuencia angular, e indica la velocidad con que ocurre la oscilación. Se mide en 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Para el caso particular del sistema masa-resorte:

𝜔 =𝑘

𝑚

• 𝜙 es el ángulo de fase inicial del movimiento, y se mide en 𝑟𝑎𝑑. Está determinado por las condiciones iniciales del problema (por ejemplo, por la posición inicial de la masa)

𝜔 está relacionada con la frecuencia 𝑓(número de oscilaciones por segundo):

𝑓 =𝜔

2𝜋

𝜔 está relacionada con el período 𝜏(tiempo que tarda cada oscilación):

𝜏 =1

𝑓=2𝜋

𝜔

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Descripción matemática

¿Cómo es la representación gráfica de 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 ? ¿Qué representa cada parámetro (𝐴, 𝜔, 𝜙)?

0

x (

t) [m

]

t [s]0

+A

-A

𝜏

𝜏

−𝜙/𝜔

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Descripción matemática

¿Cómo varían la velocidad y la aceleración?

0

0

0

0

x (

t) [m

]

v(t

) [m

/s]

a(t

) [m

/s2]

t [s]

𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑎 𝑡 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑥 = +𝐴, 𝑣 = 0 y 𝑎 = −𝐴𝜔2

𝑥 =0, 𝑣 = −𝐴𝜔 y 𝑎 = 0

Note que 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐴

Note que 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔

Note que 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔2

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Ejemplos

Ejemplo 1. Un cuerpo de masa m oscila horizontalmente sin rozamiento sujeto a un resorte de constante elástica 𝑘 = 5000 𝑁/𝑚. Si el período de oscilación es de 0.4 s, ¿Cuál es la masa del cuerpo?

Respuesta. Sabemos que 𝜔 = 𝑘/𝑚 y que el periodo está relacionado con la frecuencia angular mediante 𝜏 = 2𝜋/𝜔

𝜔 =2𝜋

𝜏=2𝜋

0.4 𝑠= 15.71 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑘

𝑚= 15.71 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑚 =5000 𝑁/𝑚

15.71 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2= 20.26

𝑁 𝑠2

𝑚= 20.26 𝑘𝑔

Ejemplo 2. Obtener la ecuación de movimiento para un cuerpo de masa 𝑚 = 2 𝑘𝑔 sujeto a un resorte de constante elástica𝑘 = 1000 𝑁/𝑚 cuya amplitud de movimiento es de 10 cm. Inicialmente el cuerpo se encuentra en su posición de máximaamplitud positiva.

Respuesta. La ecuación de movimiento es 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

Con los datos del problema obtenemos rápidamente: 𝐴 = 10 𝑐𝑚 = 0.1 𝑚 𝜔 =𝑘

𝑚=1000 𝑁/𝑚

2 𝑘𝑔= 22.36 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Para averiguar la fase inicial 𝜙utilizamos el dato de la posición inicial:

𝑥 0 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ⋅ 0𝑠 + 𝜙 = 𝐴 cos𝜙

𝑥 0 = 0.1 𝑚 cos𝜙 = 0.1 𝑚

cos𝜙 = 0.1𝑚/0.1𝑚 = 1

Y obtenemos la ecuación completa:

𝑥 𝑡 = 0.1𝑚 cos 22.36𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡

𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 cos 1 = 0 𝑟𝑎𝑑

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Ejemplos

Ejemplo 3. Para el sistema masa-resorte del Ejemplo 2, hallar la posición, la velocidad y la aceleración cuando 𝑡 = 3 𝑠.

Respuesta. Ya obtuvimos la ecuación de movimiento completa (con todos los parámetros, ver Ejemplo 2):

𝑥 𝑡 = 0.1𝑚 cos 22.36𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡

de la cual podemos derivar expresiones para la velocidad y la aceleración en función del tiempo:

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −0.1𝑚 ⋅ 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠⋅ sen 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡 = −2.236

𝑚

𝑠⋅ sen 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡

𝑎 𝑡 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −0.1𝑚 ⋅ 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠

2

⋅ cos 22.36𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡 = −50

𝑚

𝑠2⋅ cos 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑡

Y solamente resta evaluar estas expresiones en el instante 𝑡 = 3 𝑠 :

𝑥 3 𝑠 = 0.1𝑚 cos 22.36𝑟𝑎𝑑

𝑠⋅ 3𝑠 = −0.0448 𝑚 = −4.48 𝑐𝑚

𝑣 3𝑠 = −2.236𝑚

𝑠⋅ sen 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠⋅ 3𝑠 = 2 𝑚/𝑠

𝑎 3𝑠 = −50𝑚

𝑠2⋅ cos 22.36

𝑟𝑎𝑑

𝑠⋅ 3𝑠 = 22.38 𝑚/𝑠2

Podemos observar que, a los 3s de iniciado el movimiento, el cuerpo se encuentra aproximadamente a 4.5 cm a la izquierda del punto de equilibrio, y que se está moviendo hacia la derecha (velocidad positiva de 2 m/s). La aceleración es, obviamente, hacia la derecha, ya que el resorte está comprimido.

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Energía Mecánica

En un sistema masa-resorte que se mueve por una superficie horizontal sin fricción, se esperaría que la energía mecánica se mantenga constante (recuerde que Δ𝐸𝑀 = 𝑊𝑓𝑧𝑎𝑠.𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠. +𝑊𝑒𝑥𝑡, y para un sistema asilado en el que

todas las fuerzas son conservativas como este, Δ𝐸𝑀 = 0 )

Se puede llegar a este resultado de la conservación de la energía a partir de las expresiones analíticas para el MAS: Recordando que:

𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑣 𝑡 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙

𝐸𝑀 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃,𝑒𝑙 =1

2𝑚𝑣2 +

1

2𝑘𝑥2 =

1

2𝑚 −𝐴𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 2 +

1

2𝑘 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 2

= =1

2𝑚𝜔2𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 +

1

2𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

Y, reemplazando con 𝜔2 = 𝑘/𝑚 en el primer término:

𝐸𝑀 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃,𝑒𝑙 =1

2𝑘𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 +

1

2𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙 =

1

2𝑘𝐴2 𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2 = 𝑐𝑡𝑒.

Note que aunque la energía cinética 𝐸𝑘y la potencial elástica 𝐸𝑃,𝑒𝑙 varían con el

tiempo, la suma de ambas es una constante

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Energía Mecánica

De lo desarrollado anteriormente…

𝐸𝑘(𝑡) =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑘𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙

𝐸𝑃,𝑒𝑙(𝑡) =1

2𝑘𝑥2 =

1

2𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

x(t

) [m

]

v(t

) [m

/s]

0

0

Ene

rgia

[J]

t [s]

Ek

EP, el

EM

0

𝐸𝑀 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃,𝑒𝑙 =1

2𝑘𝐴2

Gráfico que muestra cómo varían los términos energéticos en función del tiempo

Movimiento de un cuerpo unido a un resorte – Energía Mecánica

Intentemos ahora graficar los términos de energía en función de la posición…

𝐸𝑃,𝑒𝑙 𝑥 =1

2𝑘𝑥2

Parábola con coeficiente principal positivo

(ramas hacia arriba)

𝐸𝑘 𝑥 = ? ?

𝐸𝑘 𝑥 = 𝐸𝑀 − 𝐸𝑃,𝑒𝑙 𝑥 =1

2𝑘𝐴2 −

1

2𝑘𝑥2

𝐸𝑘 𝑥 =1

2𝑘 𝐴2 − 𝑥2

Parábola con coeficiente principal negativo

(ramas hacia abajo)

0 + A

EP

, e

l [J]

x [m]

EP, el

- A 0 + A

Ene

rgia

[J]

x [m]

EP, el

Ek

EM

- A

El péndulo simple

Es otro sistema que muestra movimiento periódico

Analicemos el movimiento de un pequeño cuerpo de masa 𝑚 suspendido de una cuerda inextensible de longitud 𝑙

𝑃

𝑇

¿Cuáles son las fuerzas sobre el cuerpo?

Diagrama de cuerpo libre:

r

t

𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐹𝑟 = 𝑇 −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑐

𝐹𝑡 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑡

Planteamos 2da Ley de Newton:

Aceleración centrípeta responsable de la

trayectoria circular

Aceleración tangencial al círculo

El péndulo simple

𝑎𝑡

−𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑡

−𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝛼𝑙

Cuando estudiamos movimiento circular vimos que 𝑎𝑡 = 𝛼𝑅 (𝑅 es el radio del círculo)

En este caso 𝑅 = 𝑙 (el largo de la cuerda)

−𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

Por definición, 𝛼 =𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

Aproximación de ángulo pequeño, 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃(ver ejercicio a continuación)

−𝑔

𝑙𝜃 =𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

Llamando 𝜔2 = 𝑔/𝑙

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝜔2𝜃Note que esta ecuación diferencia es similar a

la obtenida para el sistema masa-resorte sin rozamiento estudiado antes:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑥.

La solución para el sistema masa-resorte era:𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

Por analogía, la solución para el péndulo simple es de la forma:

𝜃 𝑡 = 𝜃𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

El péndulo simpleEjercicio. Verificar la aproximación de ángulo pequeño (𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃) completando la siguiente Tabla:

𝜽 (°) 𝜽 (𝒓𝒂𝒅) 𝒔𝒆𝒏 𝜽

0 0 0

1 0.0174… 0.0174…

2

3

5 0.0873… 0.0872…

10

15

Movimiento de un péndulo simple– Descripción matemática

Ahora que ya sabemos que la ecuación del MAS para un péndulo simple está dada por:

𝜃 𝑡 = 𝜃𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 ,

analicemos el significado de los diferentes parámetros:

• 𝜃𝑚es la amplitud del movimiento. Para el péndulo simple es el desplazamiento angular máximo de la masa desde su

posición de equilibrio, y se mide en 𝑟𝑎𝑑.

• 𝜔 es la frecuencia angular, e indica la velocidad con que ocurre la oscilación. Se mide en 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Para el caso particular del péndulo simple:

𝜔 =𝑔

𝑙

• 𝜙 es el ángulo de fase inicial del movimiento, y se mide en 𝑟𝑎𝑑. Está determinado por las condiciones iniciales del problema (por ejemplo, por la posición inicial de la masa)

𝜔 está relacionada con la frecuencia 𝑓(número de oscilaciones por segundo):

𝑓 =𝜔

2𝜋

𝜔 está relacionada con el período 𝜏(tiempo que tarda cada oscilación):

𝜏 =1

𝑓=2𝜋

𝜔