frm lecture 2
DESCRIPTION
Lectures in financial risk management, EUSP, 2011 (in Russian)TRANSCRIPT
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Управление финансовыми рискамиЗанятие 2
А.В. Сурков
Факультет экономикиЕвропейский университет в Санкт-Петербурге
18 апреля 2011 г.
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Содержание
Модели ценности под рискомМетоды расчета ценности под рискомПроверка адекватности моделей ценности под рискомРазвитие моделей ценности под рискомНедостатки моделей ценности под риском иальтернативные меры риска
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Содержание
Модели ценности под рискомМетоды расчета ценности под рискомПроверка адекватности моделей ценности под рискомРазвитие моделей ценности под рискомНедостатки моделей ценности под риском иальтернативные меры риска
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Общий обзор методов
I Аналитические методы – методы локальной оценкиI Линейные моделиI Нелинейные модели
I Численные методы – методы полной переоценкиактива
I Метод Монте-КарлоI Расчет по исторической информацииI Bootstrapping
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Локальный метод (1)
I ПустьI фактор риска S имеет какое-то распределениеI ценность инвестиции V монотонно зависит от S ,I мы можем определить изменение VaRα(δS) для
заданной доверительной вероятности α, такое что,более экстремальные значения δS , приводящие ктаким же или большим убыткам, могутреализоваться лишь с вероятностью 1− α
I Тогда
VaRα(δV ) =
∣∣∣∣∂V∂S∣∣∣∣ · VaRα(δS)
I Достоинства:I ПростотаI Распределение ценности инвестиции имеет тоже
распределение, что и фактор риска
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Локальный метод (2)
I Достоинство: в случае нормального распределениялегко обобщается портфель из нескольких активов ина несколько факторов риска – дельта-нормальныйметод
I Недостаток: локальный метод не учитываетнелинейные эффекты
I Учет следующего члена – метод дельта-гамма
VaRα(δV ) =
∣∣∣∣∂V∂S∣∣∣∣ · VaRα(δS)− 1
2
∂2V
∂S2· [VaRα(δS)]2
I Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Методы полной переоценки актива
I Локальный метод не учитывает нелинейные эффектыI Метод полной переоценки актива
δV = V (S0 + δS)− V (S0)
I Метод Монте-КарлоI Расчет по исторической информацииI Bootstrapping
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Метод Монте-Карло
I Выбираем случайный процесс, управляющийдвижением цен базового актива. Например:
dS/S = µdt + σdW
I Моделируем достаточное количество реализаций втечение интересующего периода времени
δS/S = µδt + σφ√δt, φ ∼ N(0, 1)
I Рассчитываем финальную стоимость производногофинансового инструмента для всех реализаций
I Определяем VaR для заданной доверительнойвероятности
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример: $100 в индекс РТС на 1 день
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Метода Монте-Карло: достоинства инедостатки
Достоинства:I Факторы риска могут иметь произвольное поведениеI Возможно моделирование портфелей из разных
инструментовI Допускаются нелинейные платежи и платежи,
зависящие от истории изменения ценI Возможен учет экстремальных сценариев
Недостатки:I Требовательность к вычислительным мощностямI Чувствительность к предположениям относительно
случайных процессов и их корреляций
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Расчет по исторической информации
I Ближайшее будущее похоже на прошлое!?I Предполагаем, что в будущем доходности портфеля
будут такими же, как и в прошломI Строим гистограмму и вычисляем VaRI Возможность взвешивать наблюдения: например,
если есть сезонность, можно данным из сезона, накоторый осуществляется прогноз приписыватьбольший вес
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Расчет по исторической информации:достоинства и недостаткиДостоинства:
I ПростотаI Возможность моделирования экстремальных
событий в будущем, если они уже происходили впрошлом
I Нет предположений относительно распределений икорреляций
Недостатки:I Зависимость от периода, за который имеются
данныеI Замедленная реакция на структурные сдвигиI Невозможность учета экстремальных событий, если
их еще не былоI Как быть с производными инструментами?
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Bootstrapping
I Историческая информация: доходности n базовыхактивов в определенные моменты в прошлом
I Извлекаем вектор доходностей n базовых активов вслучайный момент времени
I Используем для построения первого шагатраекторий всех n базовых активов в будущем
I Снова извлекаем вектор доходностей n базовыхактивов в случайный момент времени
I Так строим траектории цен базовых активов донужного временного горизонта
I Повторяем процесс для получения нужного числареализаций
I Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Bootstrapping: достоинства и недостатки
Достоинства:I Факторы риска могут иметь произвольное поведениеI Возможно моделирование портфелей из разных
инструментовI Допускаются нелинейные платежи и платежи,
зависящие от истории изменения ценI Нет предположений относительно распределений и
корреляцийНедостатки:
I Зависимость от периода, за который имеютсяданные
I Необходимость большого объема историческойинформации для генерации достаточного количестватраекторий, однако чем больше объем, тем большезависимость от старых данных
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Почему оценки VaR могут содержать ошибки
I Неточности в исторических данных или в оценкепараметров
I Отклонение от предположений аналитическоймодели: распределение, нелинейности
I Генерация сценариев методом Монте-Карло, несоотвествующих заявленным характеристикам
I Недостаточное количество данных для расчета поисторической информации или bootsrapping
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Backtesting
Как проверить, насколько хорошо то значение VaR, чтомы получили с помощью нашей модели?
I Пусть VaR определяется для доверительнойвероятности α.
I Тогда p0 = 1− α – вероятность превышения VaR,если VaR откалибрована правильно.
I Подсчитываем количество превышений VaR n̂ в Nнаблюдениях
I H0: VaR откалибрована правильно, p = p0.I Пусть n̂ > Np0. H1: VaR откалибрована неправильно
и p > p0I H ′1: VaR откалибрована неправильно и p 6= p0
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Биномиальное распределение
При H0 распределение количества превышений x ввыборке из N наблюдений
fN,p0(x) = C xn px0 (1− p0)
N−x
C xn =
N!
x!(N − x)!, x = 0, 1, . . . ,N
I Ex = Np0I Vx = Np0 (1− p0)
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Плотность биномиального распределения
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
N = 500, p0 = 0.05
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Функция распределения
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
N = 500, p0 = 0.05
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Квантили биномиального распределения (1)
Зададимся уровнем значимости α′ 6≡ α.I Верхняя односторонняя квантиль для уровня
значимости α′ – это B+N,p0
(α′):
N∑x=B+
N,p0(α′)
fN,p0(x) ≤ α′,
N∑x=B+
N,p0(α′)−1
fN,p0(x) > α′
I Нижняя односторонняя квантиль для уровнязначимости α′ – это B−N,p0(α
′):
B−N,p0(α′)∑
x=0
fN,p0(x) ≤ α′,
B−N,p0(α′)+1∑
x=0
fN,p0(x) > α′
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Квантили биномиального распределения (2)
I Распределение не меняется при одновременнойзамене
p0 → 1− p0, x → N − x
I B+N,p0
(α′) = N − B−N,1−p0(α′)
I Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0;α′) возвращает
B−N,p0(α′) + 1.
I B−N,p0(α′) =БИНОМ.ОБР(N; p0;α
′)− 1I B+
N,p0(α′) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1− p0;α
′) + 1
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Квантили биномиального распределения (3)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
N = 500, p0 = 0.05, B−N,p0(0.01) = 13, B+N,p0
(0.01) = 38
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительноодносторонней альтернативы H1 : p > p0
I Если n̂ ≤ B+N,p0
(α′)− 1, то H0 отвергнуть не можем.
I Если n̂ ≥ B+N,p0
(α′), то H0 отвергаем в пользу H1.I Или через p-value π
π =N∑
x=n̂
fN,p0(x)
I Если π > α′, то H0 отвергнуть не можемI Если π ≤ α′, то H0 отвергаем в пользу H1
I Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(n̂ − 1;N; p0; 1)
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительнодвусторонней альтернативы H ′1 : p 6= p0
I Если B−N,p0(α′/2) + 1 ≤ n̂ ≤ B+
N,p0(α′/2)− 1, то H0
отвергнуть не можем.I Если n̂ ≥ B+
N,p0(α′/2) или n̂ ≤ B−N,p0(α
′/2), то H0
отвергаем в пользу H ′1.I Или через p-value π (point-probability method)
π = fN,p0(n̂) +∑
x :fN,p0 (x)<fN,p0 (n̂)
fN,p0(x)
I π > α′, то H0 отвергнуть не можем.I π ≤ α′, то H0 отвергаем в пользу H1.
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример
I Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100VaR95% = 4.2.
I Пусть из N = 500 наблюдений, в n̂ = 29 случаяхпревышен порог потерь.
I Верно ли, что p = 1− 95%? Пусть α′ = 0.1.I B+
N,p0(α′) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1
отвергнуть не можемI B−N,p0(α
′/2) = 16; B+N,p0
(α′/2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0
против H ′1 отвергнуть не можем
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Борьба с отсутствием нормальности
I Использование распределения СтьюдентаI Использование смеси нормальных распределенийI Отказ от предположения i.i.d.
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Кластеризация волатильности
I Сегодняшняя волатильность положительнокоррелирует с вчерашней
I Имеет смысл рассматривать условную волатильность– волатильность при условии ближайшего прошлого
I EWMA – exponentially weighted moving averageI GARCH – generalised autoregressive conditional
heteroscedasticity
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример: дневной доходность индекса РТС
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
04.09.1995
04.09.1996
04.09.1997
04.09.1998
04.09.1999
04.09.2000
04.09.2001
04.09.2002
04.09.2003
04.09.2004
04.09.2005
04.09.2006
04.09.2007
04.09.2008
04.09.2009
04.09.2010
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
EWMA
I Сегодняшняя оценка волатильности
σ̂2t = (1− λ) r2t−1 + λσ̂2t−1, 0 ≤ λ ≤ 1
I RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данныхI Или, более практично:
σ̂2t =
n∑τ=1
(1− λ)τ r2t−τn∑τ=1
(1− λ)τ
I λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100
I Для ковариации
σ̂2ij ,t = (1− λ) ri ,t−1rj ,t−1 + λσ̂2ij ,t−1
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример: сглаженная волатильность дляиндекса РТС
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
04.09.1995
04.09.1996
04.09.1997
04.09.1998
04.09.1999
04.09.2000
04.09.2001
04.09.2002
04.09.2003
04.09.2004
04.09.2005
04.09.2006
04.09.2007
04.09.2008
04.09.2009
04.09.2010
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Отступление: RiskMetrics
I Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г.JPMorgan для продвижения VaR
I RiskMetrics Technical Document + обновляющаясяковариационная матрица для нескольких сотенфакторов риска
I Затем отдельная фирма – консалтинг и программноеобеспечение
I 2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI,http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI GlobalEquity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
GARCH
I Методом максимального правдоподобияоцениваются уравнения
rt = c+θ(L)rt−1+φ(L)εt , σ2t = ω+α(L)ε2t−1+β(L)σ2t−1
I Пример: доходность индекса РТС
r̂t(s.e.)
= 0.002(3·10−4)
+ 0.13(0.02)
rt−1
σ̂2t(s.e.)
= 1.4 · 10−5(10−6)
+ 0.15(8·10−3)
ε2t−1 + 0.84(8·10−3)
σ2t−1
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример: EWMA vs. GARCH
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
05.09.1995
05.09.1996
05.09.1997
05.09.1998
05.09.1999
05.09.2000
05.09.2001
05.09.2002
05.09.2003
05.09.2004
05.09.2005
05.09.2006
05.09.2007
05.09.2008
05.09.2009
05.09.2010
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Применение EWMA и GARCH
I Аналитическая модель VaRI Моделирование по историческим данным с
использованием стандартизированных доходностей(деленных на волатильность)
I Моделирование методом Монте-Карло ссоответствующими ковариационными матрицами
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Недостатки VaR
I Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95%
превышается в среднем в один день из 20I Не описывает распределение потерь в «хвосте»:
разные распределения могут давать одинаковыезначения VaR
I Измеряется с ошибкой и подвержена модельномуриску
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Требования к мере риска ρ(X )
I Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1) ≥ ρ(X2)
I Трансляционная инвариантность:ρ(X + k) = ρ(X )− k
I Однородность: ρ(bX ) = bρ(X )
I Субаддитивность: ρ(X1 + X2) ≤ ρ(X1) + ρ(X2)
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Почему VaR не всегда субаддитивна?
I Если доходности распределены нормально –субаддитивность есть.
I Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.События дефолта независимы.
I Для каждой из облигаций VaR99% =?
I Для каждой из облигаций VaR99% = $0
I Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Почему VaR не всегда субаддитивна?
I Если доходности распределены нормально –субаддитивность есть.
I Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.События дефолта независимы.
I Для каждой из облигаций VaR99% =?I Для каждой из облигаций VaR99% = $0
I Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример: VaR не всегда субаддитивна
Состояние Вероятность ПотериНет дефолта 0.9850749 $01 дефолт 0.0148504 $1002 дефолта 0.0000746 $2003 дефолта 0.0000001 $300
VaR99% = $100
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Альтернативные меры риска (1)
I Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающихдоверительных вероятностей
I Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, чтоони превосходят VaR.
CVaRα = E [X |X < −VaRα ] =1
1− α
−VaRα∫−∞
xf (x) dx
I СубаддитивнаI Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери
сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример
I Пусть даны 30 доходностей за период (в %):
−16,−14,−10,−7,−7,−5,−4,−4,−4,−3,−1,−1, 0,0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21
I VaR90% =?, CVaR90% =?
I VaR90% = 10, CVaR90% = 15
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Пример
I Пусть даны 30 доходностей за период (в %):
−16,−14,−10,−7,−7,−5,−4,−4,−4,−3,−1,−1, 0,0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21
I VaR90% =?, CVaR90% =?I VaR90% = 10, CVaR90% = 15
Управлениефинансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы
Альтернативные меры риска (2)
I Стандартное отклонение
SD =
√√√√ 1
N − 1
N∑i=1
(xi − EX )2
I СубаддитивнаI Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте.I Недостаток: не отличает прибыли от убытков
I Полустандартное отклонение – учитывает толькопотери
SDL =
√√√√ 1
NL
N∑i=1
[min (xi , 0)]2
I Менее популярна, чем VaR