frekvencijski odziv

3. Frekvencijski odziv 44

3. Frekvencijski odziv

3.1 Uvod

Periodina funkcija je ona koja zadovoljava uslov

( ) ( )nTtftf += , K,3,2,1 =n , (3.1) za svako t , gde je T perioda ponavljanja (slika 3.1).

Slika 3.1

3.2 Razvoj periodine funkcije u Furijeov red

Iz matematike je poznato da se svaka periodina funkcija, koja zadovoljava Dirihleove uslove, moe predstaviti u obliku beskonanog reda ortogonalnih trigonometrijskih funkcija koji se naziva Furieov red.

3.2.1 Trigonometrijski oblik Furijeovog reda

Prema tome, periodina funkcija (3.1) moe se predstaviti Furieovim redom u obliku sume prostoperiodinih funkcija

( ) +

=

+

=++=

110 sincos

nn

nn tnBtnAAtf , (3.2)

gde je T/2= uestanost osnovnog harmonika. Red dat relacijom (3.2) naziva se trigonometrijski oblik Furieovog reda. Pojedini lanovi Furieovog reda nazivaju se harmonici. lan uestanosti naziva se osnovni harmonik,


lan uestanosti n je n ti harmonik, dok je 0A nulti harmonik i predstavlja jednosmernu komponentu. nn BAA i,0 su realne veliine i nazivaju se koeficijenti Furievog reda.

Ako je poznat analitiki izraz za periodinu funkciju ( )tf , koeficijenti Furievog reda se izraunavaju po formulama:

( )+

=Tt

t

ttfT

A0

0

d10 , (3.3)

( ) ( ) ttntfT

ATt

tn dcos

2 0

0

= +

i (3.4)

( ) ( ) ttntfT

BTt

tn dsin

2 0

0

= +

. (3.5)

Poetni trenutak 0t bira se proizvoljno.

Koristei identitet

( ) ( ) ( )nnnn tnDtnBtnA +=+ cossincos gde je

22nnn BAD += i

n

nn A

B1tan= , (3.6)

dobija se ekvivalentni oblik Furieovog reda za funkciju ( )tf u trigonometrijskom obliku,

( ) ( )+

=++=

10 cos

nnn tnDAtf . (3.7)

Koeficijent nD predstavlja amplitudu, a n fazu n tog harmonika. Prvi harmonik, za 1=n ,

)(cos 11 +tD , (3.8)

naziva se osnovni harmonik i njegova perioda jednaka je periodi sloeno-periodine veliine. Ostali harmonici nezivaju se vii harmonici i oni predstavljaju celobrojni umnoak osnovnog harmonika, n .


Kada su u kolu svi naponi i struje samo jedne uestanosti, n tog harmonika, kaemo da u kolu vlada prostoperiodini reim. Meutim ako postoji vie razliitih harmonika onda se radi o sloenoperiodinom reimu koji vlada u kolu.

Ako je kod periodine funkcije ispunjen uslov

( ) ( )tftf = , (3.9) funkcija je parna i njena kriva je simetrina u odnosu na vertikalnu osu, kao na slici 3.2. U ovom sluaju u trigonometrijskom redu ne mogu postojati neparne funkcije pa su koeficijenti nB jednaki nuli,

0=nB .

Slika 3.2

Odrediemo koeficijent 0A Furieovog reda (3.2) u skladu sa uslovom (3.9). Ako se odabre da je 2/0 Tt = jednaina (3.3), postaje

( ) ttfT

AT

T

d12/

2/0

= ,

i moe se napisati u obliku zbira dva integrala

( ) ( ) ttfT

ttfT

AT

T

d1d12/

0

0

2/0 +=

.

Ako se u prvi integral uvede smena xt = , pa je ( ) ( )xfxf = i xt dd = i granice integrala promene od 2/Tx = do 0=x , onda je

( )( ) ( ) =+= ttfTxxfTAT

T

d1d12/

0

0

2/0

( ) ( ) =+= ttfTxxfTTT

d1d12/

0

2/

0


( ) ttfT

Td2

2/

0= (3.10)

I drugi koeficijenti Furieovog reda se odreuju na slian nain. Polazei od izraza za izraunavanje koeficijenta nA , (3.4),

( ) ( ) ( ) ( ) ttntfT

ttntfT

AT

Tn dcos

2dcos22/

0

0

2/

+=

(3.11)

i reevanjem integrala koristei smene kao pri odreivanju koeficijenta 0A , dobija se

( ) ( )( ) ( ) ( ) =+= ttntfTxxnxfTAT

Tn dcos

2dcos22/

0

0

2/

( ) ( ) ( ) ( ) =+= ttntfTxxnxfTTT

dcos2dcos22/

0

2/

0

( ) ( ) ttntfT

Tdcos4

2/

0

= (3.12)

Koeficijenti nB odreuju iz jednaine

( ) ( ) ( ) ( ) ttntfT

ttntfT

BT

Tn dsin

2dsin22/

0

0

2/

+=

,

odakle se nakon sreivanja izraza dobija

( ) ( )( ) ( ) ( ) =+= ttntfTxxnxfTBT

Tn dsin

2dsin22/

0

0

2/

( ) ( ) ( ) ( ) =+= ttntfTxxnxfTT

T

dsin2dsin22/

0

0

2/

( ) ( ) ( ) ( ) 0dsin2dsin22/

0

2/

0

=+= ttntfTxxnxfTTT

(3.13)


S obzirom da je sinus neparna funkcija koeficijenti nB su jednaki nuli, kao to smo i pretpostavili.

Za neparne funkcije, kao na slici 3.3, kada je kriva simetrina u odnosu na koordinatni poetak je

( ) ( )tftf = , (3.14) pa u trigonometrijskom redu (3.2) ne mogu postojati parne funkcije. Zato su svi parni koeficijenti, 0A i nA jednaki nuli,

0i00 == nAA .

Koeficijenti nB izraunavaju se po formuli

( ) ( ) ttntfT

BT

n dsin4 2/

0

= . (3.15)

Slika 3.3.

U sluaju polu-talasne simetrije, kada je negativna polovina ciklusa sloenoperiodine funkcije lik pozitivne polovine ciklusa u odnosu na apscisnu osu (slika 3.4), funkcija se moe opisati uslovom

( ) ( )2/Ttftf = . (3.16)

Slika 3.4

U ovom sluaju su konstantni lan i svi parni koeficijenti jednaki nuli,

0,0 20 == nAA i 02 =nB .


Furijeov red ine samo neparni harmonici koji se izraunavaju po formulama:

( ) ( ) ttntfTAT

n d12cos4 2/

012 += + (3.17)

i

( ) ( ) ttntfTBT

n d12sin4 2/

012 += + . (3.18)

Ukoliko je funkcija pored polu-talasnog uslova simetrije (3.16) jo i simetrina u odnosu na koordinatni poetak, odnosno neparna, slika 3.5, to e njen Furieov red imati samo neparne sinusne lanove koji se raunaju po formuli

( ) ( ) ttntfTBT

n d12sin8 2/

012 += + . (3.19)

Slika 3.5.

3.2.2 Kompleksni oblik Furijeovog reda

Kompleksni oblik Furijeovog reda moe se dobiti polazei od Furijeovog reda u trigonometriskom obliku. Ako se iskoriste identiteti

( )2jeesin

jj tntntn

=

( )2eecos

jj tntntn

+= ,

periodina funkcija (3.2) moe se prikazati u obliku Fourijeovog reda u kompleksnom obliku


( ) { }+

=

+

=

+=+=1

j0

0

j0 eRe2e

n

tnn

nn

tnn CACAtf . (3.20)

Samo je koeficijent 0A , koji je definisaan jednainom (3.3), realna veliina, dok su ostali koeficijenti u optem sluaju kompleksne veliine i izraunavaju se iz relacije

( )+

=Tt

t

tnn ttfT

C0

0

de1 j . (3.21)

3.3 Srednja i efektivna vrednost sloenoperodine struje

U linearnim elektrinim kolima vai zakon superpozicije i ako je pobuda sloenoperiodina i odziv e biti sloenoperiodina funkcija vremena.

Neka u kolu deluje sloenoperiodini naponski generator elektromotorne sile

,)()( )2()1()0(0

)( L+++===

=eeetetee

n

n (3.22)

gde je

( ))()()()( cos2)( nnnn tnEtee +== (3.23) n ti harmonik sloenoperiodine pobude, efektivne vrednosti )(nE i

poetnog faznog stava )(n , pri emu je T/2= uestanost osnovnog harmonika. Broj harmonika emo oznaavati u eksponentu u zagradi. Jednaina (3.22) predstavlja matematiki zapis Furieovog reda, odnosno sloenoperiodine pobude, meutim, u elektrinom smislu sloeno-periodini naponski generator moe se posmatrati kao redna veza beskonanog broja elektromotornih sila prostoperiodine pobude, kao to je prikazano na slici 3.6.

Slika 3.6 Elelektrina ema sloenoperiodiog naponskog generatora


Ukoliko se radi o sloenoperiodinom strujnom generatoru, gi , on se u elektrinom kolu moe predstaviti kao paralelna veza prostoperiodinih strujnih generatora, kao to je prikazani na slici 3.7.

Slika 3.7 Elelektrina ema sloenoperiodiog strujnog generatora

Za sloenoperiodinu pobudu, prema zakonu superpozicije, sve struja u kolu su takoe sloenoperiodine veliine, oblika

( ) ( ) ( ) ( ) L+++==

=

210

0iiiii

n

n , (3.24)

kao i naponi na pojedinim elementima kola

( ) ( ) ( ) ( ) L+++==

=

210

0uuuuu

n

n , (3.25)

gde je

( ))()()()( cos2)( nnnn tnItii +== (3.26) trenutna vrednost struje n tog harmonika, a

( ))()()()( cos2)( nnnn tnUtuu +== , (3.27) trenutna vrednost napona n tog harmonika.

Poto su harmonici napona i struja prostoperiodine veliine oni se mogu prikazati preko kompleksnih predstavnika, tako da je

)(j)()( ennn II = (3.28)

kompleksni predstavnik n tog harmonika struje, a )(j)()( e

nnn UU = (3.29) kompleksni predstavnik n tog harmonika napona. Treba napomenuti da su kompleksni predstavnici izraeni preko efektivnih vrednosti.


Slino kao kod prostoperiodine struje i kod sloenoperiodine struje se definiu srednja i efektivna vrednost.

Srednja vrednost sloenoperodine struje jednaka je onoj stalnoj struji srI , koja u toku jedne periode sa vremenskom osom gradi istu povrinu kao

i sloenoperodina struja. Iz jednakosti ovih povrina dobija se izraz za izraunavanje srednje vrednosti sloenoperodine struje,

=T

sr ttiTI

0

d)(1 . (3.30)

Efektivna vrednost sloenoperodine struje jednaka je onoj stalnoj struju, efII = , koja u toku jedne periode na otporniku otpornosti R razvija istu

snagu kao i sloenoperodina struja.

Iz jednakosti ovih snaga

=T

tiRTIR0

22 d

sledi da je efektivna vrednost sloenoperiodine struje

==T

ef tiTII

0

2 d1 . (3.31)

Kod prostoperiodine struje, ( )+= tIti m cos)( , efektivna i maksimal-na vrednost su povezane relacijom

2m

efIII == . (3.32)

Polazei od izraza za sloenoperodinu struju

( )

==

0n

nii

i imajui u vidu da je

( ) ( ) ( ) ( )k

knkn

n

n

n

n

n iiiii +=

=

=

=

= 0,0

22

0

2 , (3.33)


sledi da je

( ) ( ) ( ) tiiT

tiT

tiT

IT

k

knkn

nT

n

nT

d1

d1

d1

0 ,0,0 0

2

0

22 + ==

=

=.

Ako se u zadnji izraz uvede smena ( ) ( ))()( cos2 nnn tnIi += , gde je sa ( )nI obeleena efentivna vrednost struje n tog harmonika, a matematike

operacije sabiranje i integraljenje zamene mesta, dobija se ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) .dcoscos21

dcos2

,0, 0

)()(

0 0

)(222

+++

++=

=

=

knkn

Tknkn

n

Tn

n

ttktnIIT

ttnT

II

(3.34)

Kako je drugi sabirak u jednaini (3.34) jednak nuli zbog ortogonalnosti funkcije kosinus za ,

, (3.35)

to je kvadrat efentivne vrednosti sloenoperiodine struje jednak prvom sabirku,

( ) ( )( ) ( ) ( ) = =

++=

=

=

= 0

2

0 0

2

0 0

22 d

2d

22cos12

n

n

n

Tn

n

T nnIt

TI

ttn

TI

I

odakle je,

. (3.36)

Prema tome, efektivna vrednost sloenoperodine struje jednaka je kvadratnom korenu zbira kvadrata efektivnih vrednosti pojedinih harmonika struje. Efektivna vrednost jednosmerne komponente struje jednaka je samoj vrednosti jednosmerne struje.

Slino, efektivna vrednost sloenoperodinog napona je

. (3.37)

kn

( ) ( ) 0dcoscos0

)()( =++T

kn ttktn

( ) ( ) ( ) ( ) L+++==

=

222120

0

2 IIIIIn

n

( ) ( ) ( ) ( ) L+++==

=

222120

0

2UUUUU

n

n


3.4 Snage u sloenoperodinom reimu

U kolima u kojima vlada sloenoperiodini reim se pored aktivne, reaktivne i prividne snage, koje postoje i u kolima u kojima vlada prostoperiodini reim, moe odrediti i snaga izoblienja koja je posledica postojanja viih harmonika.

Osim toga, u kolima u kojima vlada sloenoperiodini reim postoje samo kompleksni predstavnici pojedinih harmonika (ne postoji kompleksni predstavnik sloenoperiodine veliine), pa se i kompleksna snaga rauna za svaki harmonik posebno.

3.4.1 Trenutna snaga

Trenutna snaga je proizvod trenutnih vrednosti napona i struje,

. (3.38)

Ovaj proizvod suma moe da se rastavi na zbir dva sabirka. Jedan sabirak je proizvod trenutnih vrednosti napona i struja harmonika istog reda a drugi sabirak proizvod napona i struja harmonika razliitog reda,

. (3.39)

3.4.2 Aktivna snaga

Aktivna snaga u sloenoperiodinom reimu jednaka je srednjoj vrednost trenutne snage u toku jedne periode,

. (3.40)

Kada se u izraz za srednju snagu (3.40) uvrsti trenutna snaga napisana u ubliku (3.39), dobija se

( ) ( ) ( )==

===m

n

nm

n

n iuiutpp00

( ) ( ) ( ) ( )

=+=

m

knkn

knn

n

n iuiup,0

( )=T

ttpT

P0

d1


,

a kada funkcije sabiranje i integraljenje zamene mesta, on postaje

.

Zamenom trenutnih vrednosti napona i struje, u izraz za srednju snagu dobija se jednaina

,

u kojoj je shodno uslovu ortogonalnosti (3.35) svaki lan druge sume jednak je nuli, pa je

( ) ==

=

= 0

)()(

0

)( cosn

nnn

n

n PIU , (3.41)

aktivna snaga sloenoperiodinih struja jednaka zbiru aktivnih snaga pojedinih harmonika ukljuujui i snagu jednosmerne komponente. Sa obeleen je fazni stav impedanse tog harmonika,

. (3.42)

( ) ( ) ( ) ( )

=+=

T m

knkn

knT

n

n

n tiuT

tiuT

P0 ,0 0

d1d1

( ) ( ) ( ) ( )

=

=+=

knkn

Tkn

n

Tnn tiu

Ttiu

TP

0, 00 0

d1d1

( ) ( ) ( ) ( )

=+++=

0 0

)()( dcoscos2

n

Tnn

nnttntn

TIU

P

( ) ( ) ( ) ( )

=

+++

knkn

Tkn

knttktn

TIU

0, 0

)()( dcoscos2

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

==++++=

0 0

)()()()( dcoscosn

Tnnnn

nnttntntntn

TIUP

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

==++=

0 0

)()()()( d2coscosn

Tnnnn

nnttn

TIU

( )nn

( ) ( ) ( )nnn =


3.4.3 Reaktivna snaga

Analogno definiciji za aktivnu snagu i reaktivna snaga sloeno-periodinih struja jednaka je zbiru reaktivnih snaga pojedinih harmonika napona i struja istog reda,

. (3.43)

Treba naglasiti da ova snaga ne ukljuuje snagu jednosmerne komponente napona i struje.

Ne postoji kompleksna snaga sloenoperiodinih veliina, jer ne postoje kompleksni predstavnici sloenoperiodinog napona i sloenoperiodine struja, ve samo njihovih harmonika. Kompleksna snaga tog harmonika odreuje se iz relacije

. (3.44)

Kada se u prethodnu jednainu (3.44) uvrste jednaine (3.28) i (3.29) dobija se da je

(3.45)

gde je

(3.46)

prividna snaga harmonika, a

i (3.47)

(3.48)

aktivna i reaktivna snaga tog harmonika, respektivno.

Prema tome, aktivna i reaktivna snaga u sloenoperiodinom reimu mogu se odrediti preko kompleksnih snaga pojedinih harmonika. Ukupna aktivna snaga jednaka je zbiru realnih delova svih kompleksnih snaga harmonika,

( )=

=0n

nPP ,

( )n

n

nn

n

n IUQQ ==

=

=sin

1

)()(

1

)(

n

( ) ( ) ( )*nnn IUS =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnn QPSIUSnnn

jee j)(pj )()( +===

( ) ( )nnn IUS =)(p

n t og

( ) { } ( )nnnn SSP == cosRe )(p)(( ) { } ( )nnnn SSQ == sinIm )(p)(

n


a ukupna rektivna snaga jednaka je zbiru imaginarnih delova kompleksnih snaga svih harmonika,

( )=

=1n

nQQ .

3.4.4 Prividna snaga

Prividna snaga u kolu sloenoperiodine struje definie se kao proizvod efektivnih vrednosti napona i struje,

( ) ( ) ===

=

= 0

2

0

2

n

n

n

nP IUIUS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++++= 222120222120 IIIUUU . (3.49)

3.4.5 Snaga izoblienja

Iz trougla snage poznato je da izmeu aktivne, reaktivne i prividne snage u prostoperiodinom reimu, za ti harmonik vai sledea jednakost,

,

to nije sluaj kod sloenoperiodinih snaga, jer za njih vai jednakost 2222

p DQPS ++= , (3.50)

gde je D snaga izoblienja (snaga deformacije) koja je posledica meusobnog uticaja napona i struja razliitih harmonika i moe se odrediti iz relacije (3.30) ako su poznate prividna, aktivna i reaktivna snaga,

222p QPSD = . (3.51)

Da bi izveli izraz za izraunavanje snage izoblienja preko efektivnih vrednosti napona i struje treba potraiti kvadrat prividne snage date izrazom (3.49)

.

Nita se nee promeniti ako se predhodna jednaina pomnoi sa

n2)(2)(2)(

pnnn QPS +=

( ) ( )

=

==

0

2

0

22

n

n

n

np IUS


pa je

.

Kada se Lagraneov identitet

,

primeni na prvi i drugi sabirak u predhodnoj jednaini dobija se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

+

=

=

=

2

0

2

0

2 sincos nn

nnn

n

nnp IUIUS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ ++ =kn

kn

nnkkkn IUIU0,

2coscos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] }2coscos nnkkkn IUIU +

. (3.52)

Uporeujui jednaine (3.50) i (3.52) i imajui pri tom u vidu definicije aktivne i reaktivne snage, sledi da je snaga izoblienja

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ += =kn

kn

nnkkkn IUIUD0,

22 coscos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] }2coscos nnkkkn IUIU +

. (3.53)

Ako se u jednaini (3.53) razvije kvadrat binoma i iskoriste trigonometrijski identiteti, izraz za izraunavanje snage izoblienja postaje

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ].cos20,

2222 +=

=kn

kn

nkknknknkn IUIIUUIUD

(3.54)

1sincos )(2)(2 =+ nn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n

n

n

nn

n

n

n

np IUIUS +=

=

=

=

=

2

0

2

0

22

0

2

0

22 sincos

( )

==

=

=

=+

=

knkn

nkknnn

nn

nn

n babababa

.0,0

22

00

2

0

2


Snaga izoblienja je uvek pozitivna veliina, posledica je dejstva vie razliitih harmonika i predstavlja meru izoblienja krive odziva u odnosu na krivu pobude. Meri se u VAD-ima (Volt Amper Deformacije).

Po analogiji sa faktorom snage kod prostoperiodinog reima, faktor snage u kolima sa sloenoperiodinim reimom definie se kao kolinik aktivne i prividne snage,

( )

==

=

=

=

0 0

2)(2)(

)(

1

)( coscos

n n

nn

nn

n

n

P IU

IU

SP

. (3.55)

3.5 Faktori koji karakteriu oblik sloenoperiodinog signala

U kolima sa sloenoperiodinom pobudom uvode se razliiti faktori koji definiu stepen izoblienosti, odnosno stepen odstupanja sloenoperiodine veliine od prostoperiodine.

Kolinik efektivne i srednje vrednosti sloenoperiodine veliine naziva se faktor oblika,

. (3.56)

Za prostoperiodione funkcije faktor oblika iznosi .

Amplitudski faktor predstavlja odnos maksimalne i efektivne vrednosti sloenoperiodine veliine

. (3.57)

U sluaju prostoperiodione pobude , a u sluaju sloeno-periodine struje uzima neku drugu vrednost.

Klir faktor (faktor distorzije) se definie za sluaj kada je jednosmerna komponenta jednaka nuli, kao kolinik efektivne vrednosti viih harmonika

srf I

Ik =

11.14

2=

=fk

IIk ma =

2=ak


sloenoperiodine struje (bez osnovnog harmonika, n=1) i efektivne vrednosti sloenoperiodine struje,

. (3.58)

Kolinik izmeu amplitude osnovnog (prvog) harmonika i efektivne vrednosti sloenoperiodinog signala naziva se faktor izolienja,

(3.59)

i za prostoperiodinu pobudu on iznosi .

Ekvivalentna kosinusoida sloenoperiodine veliine je prostoperiodina veliina koja ima efektivnu vrednost jednaku efektivnoj vrednosti sloenoperiodine veliine, krunu uestanost jednaku osnovnoj krunoj uestanosti i fazni stav jednak faznom stavu osnovnog harmonika. Na primer, ekvivalentna kosinusoida sloenoperiodinog napona definisanog relacijom (3.25) je

, (3.60)

pri emu je efektivna vrednost definisana relacijom (3.37).

3.6 Analiza kola u ustaljenom sloenoperiodinom reimu

Posmatraemo rednu vezu otpornika, kalema i kondenzatora koja je

prikljuena na sloenoperiodini naponski izvor =

=0

)()(n

nete , slika 3.8, i

odrediemo struju u kolu u ustaljenom reimu (stacionarnom stanju).

Slika 3.8

( ) ( ) ( ) ( )

2

212423221

II

IIIIk =+++= L

IIkiz 1=

2=izk

( ) ( )( )1e cos2 += tUtuU


S obzirom da se sloenoperiodini generator moe zameniti emom prikazanom na slici 3.6 zadatak se reave primenom metoda superpozicije i analiza kola sa sloenoperiodinom pobudom svodi se na analizu kola po pojedinim harmonicima.

Veoma je vano znati da impedanse kalema i kondenzatora zavise od frekvencije. Za n ti harmonik kompleksna impedansa kalema je

)1()( j Ln

L ZnLnZ == , (3.61)

a kondenzatora

nZ

CnZ CnC

)1()(

j1

=

= . (3.62)

S obzirom da je elektrino kolo isto za sve harmonike, zgodno je da se odredi kompleksni predstavnik struje za proizvoljni, n ti, harmonik u kompleksnom domenu.

Kako je kompleksni predstavnik pobude za n ti harmonik oblika, )(j)()( e

nnn EE = , onda je

)(

)()(

n

nn

ZEI = ,

gde je

=

+=

CnLnRZ n 1j)(

)(j)(

1

arctanj22 ee1nnR

CnLn

ZCn

LnR

=

+=

kompleksna impedansa za n ti harmonik kola na slici 3.8, pa je

( ) )()()()(

)(

j)(j)(

)(

j)(

j)()( ee

ee nnn

n

n

nn

n

n

nn I

ZE

ZEI

=== .

Ovim je odreen moduo i fazni stav struje n tog harmonika pa i njegova trenutna vrednost,


( ))()()( cos2 nnn tnIi += . Kako se kondenzator u stacionarnom stanju za jednosmernu komponentu

pobude ponaa kao prekid u kolu, to je

0)0( =I . Trenutna vrednost ukupne struje jednaka je zbiru trenutnih vrednosti

struja pojedinih harmonika ukljuujui i jednosmernu komponentu,

( ))(1

)()0(

0

)( cos2 nn

n

n

n tnIIii ++==

=

=. (3.63)

Treba naglasiti da se sloenoperiodine veliine mogu sabirati samo u vremenskom domenu po harmonicima. Ne sme se napraviti greka da se sabiraju kompleksni predstavnici za razliite harmonike, jer su kompleksni predstavnici razliitih harmonika razliitih uestanosti.


Sadraj:

3. Frekvencijski odziv ............................................................................... 44

3.1 Uvod ................................................................................................... 44

3.2 Razvoj periodine funkcije u Furijeov red ......................................... 44

3.2.1 Trigonometrijski oblik Furijeovog reda.............................................................. 44

3.2.2 Kompleksni oblik Furijeovog reda ..................................................................... 49

3.3 Srednja i efektivna vrednost sloenoperodine struje ........................ 50

3.4 Snage u sloenoperodinom reimu ................................................... 54

3.4.1 Trenutna snaga ................................................................................................... 54

3.4.2 Aktivna snaga ..................................................................................................... 54

3.4.3 Reaktivna snaga .................................................................................................. 56

3.4.4 Prividna snaga .................................................................................................... 57

3.4.5 Snaga izoblienja ................................................................................................ 57

3.5 Faktori koji karakteriu oblik sloenoperiodinog signala ............... 59

3.6 Analiza kola u ustaljenom sloenoperiodinom reimu .................... 60

frekvencijski odziv

Documents