freiträger © prof. dr. remo ianniello biegung von freiträgern

Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

Biegung von Freiträgern

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In diesem Foliensatz geht es um:

Inhalt

Freiträger

Biegemoment

Schnittgrößen

Mehrere Einzelkräfte

Streckenlasten

Mischlasten

Folie 2© Prof. Dr. Remo Ianniello© Prof. Dr. Remo Ianniello

Einleitung

© Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger Folie 3

Freiträger

Freiträger Folie 4 © Prof. Dr. Remo Ianniello© Prof. Dr. Remo Ianniello

Worum geht es?

Freiträger

Ein Freiträger soll so stabil ausgelegt werden, dass er der Belastung stand hält.Dicke, Höhe und Länge des Trägers sollen ausreichend dimensioniert sein, abhängig von

a) dem verwendeten Material (hier: Stahl)

b) der zu erwartenden Belastungsart (hier: Biegung)

c) dem zu erwartenden Lastfall (hier: statisch)

Folie 5 © Prof. Dr. Remo Ianniello© Prof. Dr. Remo Ianniello

I N T

R

O

Herausforderung


Wie die maximale Belastung ermitteln ?Wie daraus die Abmessungen berechnen ?Zu groß dimesionert

→ zu viel Material → zu teuer

Zu klein dimensioniert → instabil → gefährlich

I N T

R

O

Lösungs-Strategie


Der Träger wird auf Zug/Biegung belastet.Die Kraft erzeugt ein Biegemoment Mb.

Mb erzeugt eine Biegespannung σb.

σb ist abhängig vom Widerstandsmoment W.Die Gleichung dazu ist:

W muss so groß sein, dass σb ≤ σb zul .W ist abhängig von den Abmessungen des Träger-Querschnitts.Die Abmessungen sind passend zu wählen.

σb zul ist je nach Werkstoff und Lastfall in Tabellen zu finden.

W ist je nach Trägergröße und Werkstoff in

Tabellen zu finden.

Mb max bestimmen

σb zul aus Tabelle suchen

Mb max und σb zul in Werf = Mb/ σb zul setzen

Formel von Werf Maße

WM=σ b

b

Zug/

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I N T

R

O

Biegemoment

Folie 8 Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello© Prof. Dr. Remo Ianniello

Qui

z

Biegemoment


60°

F

rx

Ein “Freiträger” istein einseitig eingespannter Träger.

MomentEin Junge versucht, eine Sechskant-Mutter mit Hilfe eines Schraubenschlüssels anzuziehen.Er greift den Schlüssel in der Mitte (r = 20 cm) und zieht unter einem Winkel von 30° zum Lot.a)Wie groß ist das Moment, das der Junge mit

seiner Kraft von 120 N auf die Mutter ausübt?M = r x F = r F sin(φ) = 20,78 Nm

b)Wirkt ein Moment nur auf die Mutter oder auch im Schaft zwischen Hand und Mutter?An jeder Stelle x im Schaft wirkt ein Mb = rxxF

c)An welcher Stelle ist das Drehmoment maximal?An der Stelle mit dem größten Hebelarm: in der Mutter.


Qui

z

Biegemoment


Momentd).Die Mutter sitzt sehr fest; sie kann vom Jungen nicht gelöst werden. Wie lässt sich das Moment an der Schraube vergrößern?Arnold S. holen, Kraft vergrößern, Verlängerung des Hebelarms rWinkel zwischen Wirklinie F und r auf 90° bringen.


Auf

gabe

Biegemoment


SprungbrettEin stämmiger Herr steht im Schwimmbad auf dem Einer. Durch seine Gewichtskraft von 0,8kN übt er ein Moment auf die Querschnitte des Sprungbretts aus.a) Formulieren Sie eine allgemeine

Gleichung, mit der sich das Moment berechnen lässt, das im Abstand L vom sportlichen Herrn im Querschnitt wirkt.

b) An welcher Stelle wirkt das größte Moment?

c) Durch das Moment wird das Sprungbrett verformt. Welcher Art ist die Verformung? Um was für eine Art von Moment handelt es sich?

b) In der Wand am linken Ende

a) Schnittgrößen: Mb = -(L-x) FG

c) Verformung = Biegung → Biegemoment


Auf

gabe

Biegemoment


Sprungbrettd) In den Randfasern des Sprungbretts

wirkt die Biegespannung. Die obere Randfaser wird gestreckt, die untere gestaucht. Wie ist der formelmäßige Zusammenhang zwischen dem Moment Mb und der Spannung b ?

e) Würde sich die Spannung in der Randfaser ändern, wenn das Brett dicker oder dünner wäre?

f) Ändert sich das Widerstandsmoment im Brettquerschnitt mit wachsender Entfernung vom sportlichen Herrn?

e) Ja. Dicker → kleinere Spannung

f) Nein. W ist von der Querschnitts-Geometrie abhängig.


Auf

gabe

Abmessungen


Der Gabelstapler- Kranarm hat eine L1 = 2 m lange Verlängerung mit dem Querschnitt 20 x 50. An ihm hängt eine beladene Palette mit 203,874 kg. L2 = 2,3 m.

a) Wie groß ist das Biegemoment Mb

an der Stelle A?b) Wie groß ist die Biegespannung σb bei A?

c) Wie groß ist für S235 JR die zulässige Biegespannung σb zul?

d) Wie groß muss demnach Werf sein?

e) Wie groß sollte die Höhe h gewählt werden?


F

Biegemoment

Freiträger Folie 14

Tabelle erstellenWie groß sind die Biege-a) -momente in den Abschnitten 1 bis 5 ?b) -spannungen in den Abschnitten ?c) erstellen Sie eine Momentengleichung,

damit man das Moment an einer beliebigen Stelle x auf Anhieb bestimmen kann.

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Beim Freiträger trittMb max an der

Einspannstelle auf.

Biegemoment und Biegespannung steigen über die

Trägerlänge linear an.

Auf

gabe

Abmessungen


QuadratstahlEin Freiträger soll bei l = 350 mm und quadratischem Querschnitt eine Einzellast von 4,2 kN aufnehmen. Die zulässige Biegespannung soll 120 N/mm² betragen.Gesucht:

a) das maximale Biegemoment, Mb max = 1.470 Nm

b) das erforderliche Widerstandsmoment, W = 12.250 mm³

c) die Seitenlänge a des flachliegendenQuadratstahles, a = 41,89 mm

d) die Seitenlänge a1 eines über Eck ge-

stellten Quadratstahles. a1 = 47 mm

e) welche Ausführung ist wirtschaftlicher?Die Ausführung mit a erfordert weniger Material. Wirtschaftlicher ist ein flach liegender Quadratstahl.


Schnittgrößen


Schnittmethode


Biege-Moment

Normalkraft,Längskraft

Querkraft Querkraft


Qui

z

Schnittmethode

Freiträger

Wenden Sie die Schnittmethode an folgendem Träger an, indem Sie den linken Teil des Trägers frei schneiden:

LageplanTräger

Schnittgrößen

Momenten-Verlauf

Querkraft-Verlauf

© Prof. Dr. Remo Ianniello© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18

Auf

gabe

Schnittmethode

Freiträger

Freiträger mit Einzellasta) Machen Sie den Freiträger frei.b) Bestimmen Sie die Auflagergrößen.

F = 130 N, l = 2mc) Schneiden Sie den Freiträger an

einer beliebigen Stelle x und tragen Sie die Schnittgrößen Mb(x) und FQ(x) an das linke Schnittufer an.

d) Gesucht ist eine allgemeine Gleichung für den Verlauf des Momentes Mb; erstellen Sie dazu eine Momenten-Bilanz.

e) Erstellen Sie eine Gleichung für den Verlauf der Querkraft FQ(x).

f) Stellen Sie den Verlauf von Mb(x) und FQ(x) graphisch dar.


Auf

gabe

Schnittmethode

Freiträger

Eingeprägtes MomentSchneiden Sie den Freiträger einmal vor und einmal hinter der Mitte, wo ein Moment eingebracht wird. Für beide Schnitte ist die Querkraft- und die Momenten-Gleichung gesucht.P = 100 N, M = 800 Nm, l = 2m

a) Bestimmen Sie dazu zunächst die Randbedingungen; hier also das Halte-Moment MW der Wand.

b) Skizzieren Sie die beiden Schnitte, indem Sie den linken Teil freimachen.c) Stellen Sie die Gleichung für die beiden Querkraft-Verläufe auf.d) Wie sehen die Gleichungen für die Momenten-Veräufe aus?e) Skizzieren Sie die Verläufe von Mb(x) und FQ(x).

[Quelle: Hibbeler, Techn. Mech. Bd.1]


Auf

gabe


Freiträger

1m - BrettAn ein 1m-Brett hängen sich nacheinander mehrere Personen. Jede Person übt ein Moment Mi = Fi li aus.a) Welche Stelle des Brettes ist durch die

Gewichtsmomente am meisten belastet?

b) Wie lässt sich das maximale Gesamtmoment berechnen?


Auf

gabe

Schnittmethode

Freiträger

Eingeprägte KraftFür den Träger ist die Querkraft- und die Momenten-Gleichung gesucht.P = 400 N, F = 100 N, l = 1 m

a) Bestimmen Sie dazu zunächst das Moment MW und die Kraft FW der Wand.

b) Schneiden Sie den Freiträger links von der Stelle, an der die Kraft F eingebracht wird. Machen Sie den linken Teil frei.Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlauf auf.

c) Wie sieht der Momentenverlauf Mb(x1) aus?d) Schneiden Sie den Freiträger rechts von der Kraft F. Machen Sie den linken

Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlaufe auf.e) Wie sieht die Gleichung für den Momenten-Verauf Mb(x2) aus?f) Skizzieren Sie die kombinierten Verläufe von Mb(x) und FQ(x).


Auf

gabe

Geradengleichungen

Freiträger

Drei KräfteEin Freiträger mit einem axialen Widerstandsmoment von W

x = 64.700 mm3

wird durch drei Einzelkräfte belastet.a) Wie lautet die Geradengleichung für

diese Momente?b) Stellen Sie eine Tabelle auf, in der für

die drei Fälle die verschiedenen Steigungen m und der y-Achsen-durchgang b eingetragen ist.

m = M/x b = Mmax

3 - 2,5103 Nm/m 500 Nm

2 - 4103 Nm/m 3.600 Nm

1 - 3103 Nm/m 3.150 Nm


Auf

gabe

Geradengleichungen

Freiträger

Drei Kräftec) Verwenden Sie probeweise die Werte für

Mb1

(x) für einen Abstand von x = 10 mm. Wie groß ist das Biegemoment an dieser Stelle des Trägers?

d) Die Einzelmomente, die an einer Stelle x wirken, werden addiert und ergeben das Gesamtmoment an dieser Stelle. Wie groß ist das Gesamtmoment an der Angriffsstelle von F3 , also bei x = 200mm?

e) Wie groß ist die maximale Biegespannung ?

Mb1(10) = 3.120 Nm

Mb(20) = 5.350 Nm

b,max = 112.06 N/mm²


Auf

gabe

Geradengleichungen

Freiträger

Freiträger IPB 180Ein Freiträger IPB 180 DIN 1025-S235JR wird durch drei Einzelkräfte belastet. x-Ache = Biegeachse


Gesucht:a) die maximalen Mi und damit den Verlauf des Biegemoments.b) die Gleichungen für die Biegemomentec) die max. Biegespannung max

Querkraft-Diagramm


Querkraft-Diagramm für EinzelkräfteBeim Freimachen des Trägers wird die Wand durch die Kraft FWand ersetzt, und der Träger wird durch einen waagerechten Strich symbolisiert.

Im Achsenkreuz des Diagramms werden die Kraftvektoren an ihrem Ort x belassen.Man verfolgt von links nach rechts die Höhe der linksseitig wirkenden Kraftsumme.


Querkraft-Diagramm

Freiträger

Bedeutung des Querkraft-DiagrammsGegeben ist ein Freiträger nach DIN 1025-S235JR-I 80, der durch drei Einzelkräfte belastet wird. Es soll ein Querkraft-Diagramm erstellt werden.Man erstellt dann aus den Flächen des Querkraft-Diagramms auf folgende Weise den Momenten-Verlauf.

XX

X

XMb

450 Nm 4.900 Nm4.900 Nm5.350 Nm

1.900 Nm1.900 Nm

7.250 Nm

x


Auf

gabe

Einzelkräfte

Freiträger

Freiträger IPE 140 - GeradengleichungenEin Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht:a) die Kraft FW in der Wand b) das Querkraft-Diagramm. Es sind

zwei Alternativen dazu möglich.c) die Momente an den Stellen x = 0;

400 und 900 mm. Zeichnen Sie die Werte in ein Momenten-Diagramm ein. Legen Sie dazu den Ursprung des Koordinatensystems ans linke Trägerende.

d) die Gleichungen für den jeweiligen Momentenverlauf Mb(x). Schreiben Sie die Gleichungen an die jeweilige Momentengerade.

e) Wenn die Querkraft die Ableitung des Momentes ist – was ergibt sich daraus für die Steigung m der Momenten-Geraden?

f) Und was ergibt sich daraus für die Flächen im Querkraft-Diagramm?


Überblick Schnittmethode


Aus Tabellefür den jew. Werkstoff Lastfall

Mb max

Träger frei machen

Schnittmethode

Momenten-Gleichung

Querkraft-Diagramm

Querkraft-Gleichung

Momenten-Diagramm

Gesucht: Maximale Biegespannung des TrägersUrsache für die Spannung ist das Biegemoment Mb.Das maximale Moment kann aus der Schnitt-methode bestimmt werden.


𝜎 𝑏=𝑀𝑏

𝑊

Auf

gabe

Einzelkräfte

Freiträger

Freiträger IPE 140 - SchnittmethodeEin Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht:g) Schnittmethode: Schneiden Sie

den Träger zwischen F1 und F2 und betrachten den linken Trägerteil.Bestimmen Sie• Die Querkraft-Gleichung Q(x1) • Die Gleichung für den Momentenverlauf Mb(x1)

h) Schneiden Sie den Träger zwischen F2 und der Wand. Wie sehen die Gleichungen Q(x2) und Mb(x2) in diesem Abschnitt aus?

i) Wie groß ist die maximale Biegespannung?


Streckenlast


Auf

gabe

Streckenlast

Freiträger

LagerzapfenEin Lagerzapfen wird durch eine Kraft von F = 10 kN belastet, die gleichmäßig über die Zapfenlänge verteilt ist.

a) Wie groß ist die Streckenlast q ?b) Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn

der Zapfen als Freiträger betrachtet wird, und man die Kraft F vereinfacht als Einzelkraft in Zapfenmitte angreifend betrachtet?

c) Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn man die Kräfte auf 5 gleichmäßig verteilte Einzelkräfte aufteilt?

d) Vergleichen Sie den Momenten-Verlauf in beiden Fällen b) und c).

e) Die Momenten-Bilanz ist:

Wie groß wäre demnach Mbmax ?


Querkraft-Diagramm


Querkraftdiagramm für StreckenlastenDer Querkraftverlauf erfolgt stufenweise an jeder Einzellast.Eine Streckenlast entspricht unzähligen kleinen Einzellasten, die man zu einer Geraden zusammenfassen kann.

F Q( x)=−q⋅x+ F Wand

Aus der abfallenden Gerade lässt sich eine Gleichung für 0 x L erstellen:

Die Steigung m ist die Streckenlast q, denn:


𝑚=∆ 𝑦∆ 𝑥=

∆𝐹∆ 𝑥 =𝑞

Auf

gabe

Streckenlast

Freiträger

n-TrägerEin einseitig eingespannter Träger ist durch eine Streckenlast q beansprucht. a = 3 cm;d = 1 cm; q = 10³ N/m; l = 100 cm.Gesucht ist die maximale Biegespannung.

b max = 136 N/mm²


Auf

gabe

Geradengleichungen

Freiträger

KölnEin freitragender, 3,7 m langer Stahlträger wird durch seine Gewichtskraft belastet. Es handelt sich um einen schmalen I-Träger nach DIN 1025 – S235JR – I 240, an dem eine Nebelwarnanzeige befestigt ist.

a) Zeichnen Sie ein gemeinsames Querkraftdiagramm für:den Träger ohne Schild / nur für das Schild / für beide zusammen. Bei welcher Querkraft liegen die y-Achsen-Schnitte?

b) Wie sehen die Gleichungen für die drei Geraden aus ?


Mischlasten


Mischlast

Freiträger

Der Verlauf der Querkraft lässt sich darstellen:analytisch → Gleichung Q(x) = …

zeichnerisch → Querkraftdiagramm.Streckenlast: schräge Geraden.Einzelkräfte: Stufen.

Der Verlauf des Moments lässt sich darstellen:

analytisch → Gleichung Mb(x) = …

zeichnerisch → Parabel-Abschnitte überlagern sich mit Geraden.


Auf

gabe

Mischlast

© Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger

KastenträgerEin symmetrischer Kastenträger wird durch eine gleichmäßig verteilte Streckenlast und eine Einzellast am freien Ende beansprucht.l = 5 m; q = 0,9 kN/m; F= 2 kN.Machen Sie den Träger frei, undermitteln Sie a) die Reaktionskräfte in der Wandb) die Querkraftgleichung und den

Querkraftverlaufc) die Momentengleichung und den

Momentenverlauf. d) Position x0 und Betrag des max.

Biegemoments (Mb max).

© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 41

Auf

gabe

Mischlast

Freiträger

HolzbalkenEin freitragender Holzbalken (σbzul

= 12 N/mm2 ) wird belastet durch die Einzellasten F

1 = 4 kN, L

1 = 0,8 m, F2 = 3 kN , L2 = 0,4 m und durch eine gleichmäßig über die

Balkenlänge verteilte Streckenlast von insgesamt q = 12,5 kN/m. Ermitteln Sie a) Querkraftgleichung und Querkraftverlaufb) Momentengleichung und Momentenverlauf. c) die Position x0 von Mb max.

d) den Betrag des max. Biegemomentse) das erforderliche Widerstandsmoment,f) die Querschnittsmaße b und h

für ein Bauverhältnis b/h = ¾.Mb max = 8,4 kNmd)

Werf = 7105 mm³

h = 177,6 mm, b = 133,2 mm

e)

f)


Qui

z

Verläufe FQ und Mb

Freiträger

QuizWie würden der Querkraft- und der Momenten-Verlauf des folgenden Trägers mit gemischten Lasten aussehen?


Frag

en

Fragen

Freiträger

1) Wie verläuft die Querkraft eines Freiträgers,der durch eine Streckenlast beansprucht wird? Sie ist eine nicht waagerechte Gerade.

2) Welche Form hat das Moment eines solchen Freiträgers? Es hat die Form einer Parabel.

3) Woran lässt sich die Position des maximalen Biegemoments erkennen? Sie liegt an einem Nulldurchgang des Querkraft-Verlaufs.

4) Was für eine Größe gibt eine Fläche im Querkraft-Diagramm an? Sie gibt ein Biegemoment an.

5) Wie ergibt sich dadurch das maximale Biegemoment? Man berechnet die Fläche zwischen Querkraft und x-Achse von der Nullstelle (xE) aus bis zum Trägerende.

6) Wie erhält man die Position des maximalen Biegemoments analytisch?

Durch Ableiten der Momentengleichung und anschießendem Null setzen.


Übungs-Aufgaben


Maße


GurtplattenEin vorhandener Biegeträger aus 2 U-Profilen ist durch Aufschweißen von Gurtplatten so zu verstärken, dass er ein maximales Biegemoment von 1,68 · 105 Nm bei einer zulässigen Spannung von 140 N/mm² und einer Gurtplattendicke von s = 20 mm aufnehmen kann.

Gesucht: Plattenbreite b.

{Lösung: b = 177 mm}

Lösu

ng

Maße


Tabelle schmaler I-Träger


freiträger © prof. dr. remo ianniello biegung von freiträgern

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