fracciones parciales
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Contenido y ejercicios de fracciones parcialesTRANSCRIPT
CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.1FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"SEMANA N 12:(04 HORAS CTEDRA)UNIDADV :POLINOMIOS Y TEORA DE ECUACIONES TEMA 5:FRACCIONES PARCIALESOBJETIVO OPERACIONAL:Reconocer en una fraccin racional cuando el gradodel numerador es MENOR, IGUAL o MAYOR que el grado del denominador.OBJETIVO OPERACIONAL:Escribir una fraccin racional en la formaTB VBUB UB GB > cuando el grado del numerador sea mayor o igual que el grado del denominador.OBJETIVO OPERACIONAL: Factorizar en , el denominador en expresiones del tipo:+B >, +B >, +B>,B >- +B>,B >- 8 8 # # 8 o; DOBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la descomposicin en fracciones parcialesque le corresponde aTBUBsegn sea la factorizacin del denominador enexpresiones:+B >, +B >, +B>,B >- +B>,B >- 8 8 # # 8 o; DOBJETIVO OPERACIONAL: Determinar las constantes que correspondan para caracterizar una fraccin racional como escrita en una suma de fracciones parciales.(5.1): GENERALIDADES1 )Se llama fraccin racional a una expresin algebraica formadapor dos polinomios ytal que. TB UBTBUB(5.1.1): EJEMPLO3 $B >&B?# BB ?B >B?" B >#B >#B>"# $$ # $ #33 333B >$BB ?"%#(NOTARqueelgradodelnumeradoresMENOR,IGUALyMAYORqueelgrado del denominado eny respectivamente). 3 33 3332)El grado del polinomio dividendoes decir el que est TB enelnumerador);debeserqueelgradodelpolinomiodivisor menorUB es decir el que est en el denominador) . En caso de no ocurrir esto,simplementesehaceladivisindepolinomios;reexpresandolafraccinracional en la forma TB VBUB UB GB >dondeeselpolinomiocuociente;yeslafraccin GBVBUBracionalenlostrminosrequeridos,esdecirqueelgradodelpolinomiodividendo debe ser que el grado del polinomio divisor. menorCURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.2FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"(5.1.2): EJEMPLOEn (5.1.1):3 $B >&B?#B ?B >B?"#$ #cumple lo requerido.NO cumple lo requerido. 33BB >#B >#B>"$$ # POR LO TANTO, dividamos los polinomios:B B>#B>#B >" "$ $ # ?B?#B?#B ?"$ #?#B?#B ?"#LO CUAL SIGNIFICA QUE: BB >#B >#B>"#B >#B>"B >#B >#B>"$$ ##$ # " ?(en la expresin aplicamos el criterio)#B >#B>"B >#B >#B>"#$ #
333B >$BB ?"%# NO cumple lo requerido.POR LO TANTO, dividamos los polinomios:B>$B B?" B>"% # #?B>B% #B>$B#?B>"#$B >"LO CUAL SIGNIFICA QUE: B >$B $B>"B ?" B ?"#%# # B>" >(en la expresin aplicamos el criterio)$B>"B ?"#
3)Elpolinomiodivisoreneldenominadordebeser UBfactorizable en expresiones del tipo +B >, +B >, +B>,B >- +B>,B >- 8 8 # # 8D(5.1.3): EJEMPLO3 B?" B ?"B >"# 33 B?B?B >" B ?" B >"$ # #333 B>$B>$B >" B >"$ # $3@B?B>B ?" B ?"B>"$ # # @ B?$B>(B ?& B ?"B?#B >&$ # # @3 B?$B>&B?&B>$B?B BB ?"' & % $ #B?B >"##4)Una expresin del tipo en el denominador tiene una +B >,descomposicinracionaldeltipodondeesunaconstanteaE+B>, Edeterminar.CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.3FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"(5.1.4): EJEMPLOAunafraccinracionaldeltipodondeelgradodelTBB?"B>"numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBE FB?" B>" B?"B>" >5)Una expresin del tipo (en el denominador tiene +B >,)8una descomposicin racional del tipo.E E E E+B>, +B>, +B>, +B>," # $ 8# $ 8> > > >dondeson constantes a determinar. E E E E" # $ 8(5.1.5): EJEMPLO3AunafraccinracionaldeltipodondeelgradodelTBB?" B>"#numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBE F GB?" B?" B>" B?" B>"# > >#33AunafraccinracionaldeltipodondeelgradodelTBB>"$numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBE F GB>" B>" B>" B>"$ > ># $6)Unaexpresindeltipoeneldenominador +B>,B >-#tiene una descomposicin racional del tipodondey EB>F+B >,B>-# E Fson constantes a determinar.(5.1.6):EJEMPLO3AunafraccinracionaldeltipodondeelgradodelTBB?"B >"#numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBE FB>GB?" B?"B >" B >"# # >33AunafraccinracionaldeltipodondeelgradodelTBB?"B ?#B>numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBE FB>GB?" B?"B ?#B>& B ?#B> # > CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.4FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"7)Unaexpresindeltipoenel ( ) +B>,B >-# 8denominador tiene una descomposicin racional del tipo .E B>F E B>F E B>F E B>F+B >,B>- +B >,B>- +B >,B>- +B >,B>- " " # # $ $ 8 8# # # # $ # 8 > > > >dondesonconstantesa E F E F E F E F" " # # $ $ 8 8determinar.(5.1.7): EJEMPLOA una fraccin racional del tipo donde el grado delTBBB?"B ?B>"# #numeradoresmenorqueelgradodeldenominador,lecorrespondeladescomposicin TBB B B?" E F GB>H IB>JB?"B ?B>" B ?B>" B ?B>"# # # # # > > >(5.2):EJEMPLO(5.2.1): PARA CASO EN EL DENOMINADOR +B >, TB+B>,-B>./B>0 +B>, -B>. /B>0E F G > >" " "donde son constantes a determinar. E F G" " "(5.2.2)#B?"B ?$B>##SOLUCIN:1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso.2)Factorizamos el denominador del polinomio:B?$B ># B ?"B ?##3)De lo anterior se tiene que: #B?" #B?" E FB ?$B># B?"B?# B?" B?## > EB?#>FB?" E>FB?#E?FB?"B?# B?"B?#4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que , #B ?" E>FB ?#E?Fes decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F E>F #?#E?F ?"Sumando las ecuaciones obtenemos:?E " F $Luego:yE ?" F $5)Por lo tanto: #B?" ?" $B ?$B># B?" B?## >CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.5FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"(5.2.3)BB ?"B>#%#SOLUCIN:1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: no se cumple en este caso;por lo tanto hacemos la divisin de polinomios:B B>#B?B ?# B ?#% $ #: ?B?#B>B>#B% $ #?#B>B>#B$ #>#B>%B?#B ?%$ #&B?%#Luego: B &B ?%B ?"B># B ?"B>#% ## # B ?# > Aplicamos el criterio a&B ?%B ?"B>###2)Factorizamos el denominador del polinomio:B?"B ># B ?"B >"B >##3)De lo anterior se tiene que: &B ?% &B ?% E F GB ?"B># B?"B>"B># B?" B>" B>## ## > > EB>"B>#>FB?"B>#>GB?"B>"B?"B>"B># EB >$B>#>FB >B?#>GB ?"B?"B>"B>## # # E>F>GB >$E>FB>#E?#F?GB?"B>"B>##4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que , &B?% E>F >GB>$E>FB >#E?#F ?G# #es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F G E>F>G &$E>F !#E?#F ?G ?%Sumando las ecuacionesobtenemos:; M C MMM $E?F "y sumando esta con la ecuacinMM 'E "E F ? G " " "'' # $5)Por lo tanto:&B ?%B ?"B># B?" B>" B>#?##" " "'' # $ > >(5.2.4): PARA CASO EN EL DENOMINADOR +B >,8a) TB+B>, -B>. +B>, +B>, -B>.E F G# #" " " > >donde son constantes a determinar. E F G" " "b) TB+B>, +B>,E F G H+B>, +B>, +B>,% %" " " "# $ > > >dondeson constantes a determinar. E F G H" " " "CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.6FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"(5.2.5)"B?" B?##SOLUCIN:1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso2)Factorizamoseldenominadordelpolinomio;elcualyaestfactorizado: B ?" B ?##3)De lo anterior se tiene que: " E F GB?" B?# B?" B?" B?## # > > EB?"B?#>FB?#>GB?"B?" B?### EB ?$B>#>FB?#>GB ?#B>"B?" B?## ## E>GB >?$E>F?#GB>#E?#F>GB?" B?###4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que " E>GB> ?$E>F ?#GB >#E?#F >G#es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F G :: M E >G !MM ? $E >F?#G !MMM #E ?#F > G "Sumando las tres ecuaciones obtenemos:; es decir ? ? F " F "reemplazando enel sistema nos queda: MM C MMM : : M E >G !MM ? $E ?#G "MMM #E > G ? "restandoMMM M E ?" ?reemplazando enM G " Luego:E ?" F ?" y G "5)Por lo tanto:" ?" ?" "B?" B?# B?" B?" B?## # > >(5.2.6): PARA CASO EN EL DENOMINADOR +B>,B >-# TB+B >,B>-.B>/ +B >,B>- .B>/E >E B F# #" # " >donde son constantes a determinar. E E F" # "(5.2.7)#B ?$B?$B?" B ?#B>#SOLUCIN:1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este casoCURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.7FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"2)Aplicando descomposicin en fracciones parciales a: #B ?$B?$B?" B ?#B>& B ?#B>& B?" B ?#B>&B ?#B># # ## > E F>GBB?"E >F>GBB?"#B?$B ?$# EB?#EB >&E>FB ?F >GB?GB# # E>GB> ?#E>F ?GB >&E?F#Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G # G # ?E?#E>F ?G ?$&E?F ?$Reemplazando y sumando las dos ltima:%E ?% E ?" F ?# G $3)Finalmente:#B ?$B?$B?" B ?#B>& B ?#B># # >?" ?#>$BB?" (5.2.8)B > $BB ?B >B?"%$ #SOLUCIN:1)Como; hacemos previamente la 1 $B1B ?"% $ # divisin sinttica:B > $B B?B>B ?" B >"% $ #?B>B?B>B% $ #B?B>%B$ #?B>B?B >"$ #$B >"Por lo tanto:B > $B $B>"B ?B >B?" B ?B >B?"%$ # $ # B >" >2)Factorizando el denominador en : B?B>B ?" B B ?" >B ?" B ?"B>"$ # # #3)Luego; aplicando descomposicin en fracciones parciales a: $B>" $B>" E F>GBB ?B >B?" B?"B >" B?" B >"$ # # # > EB >">F>GBB?"B?"B >"##$B >" E>GB>F ?GB >E?F#Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G ! G ?EF ?G $E?F "Reemplazando y sumando las dos ltimas:#E % E # F " G ?#4)Finalmente:B > $B # "?#BB ?B >B?" B?" B >"%$ # # B >" > >CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.8FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"(5.2.9) : PARA CASO EN EL DENOMINADOR +B>,B >-# 8a) TB+B >,B>- .B>/ +B >,B>- +B >,B>- .B>/E >E B F >F B G# # # # #" # " # " > >donde son constantes a determinar. E E F F G" # " # "b) TB+B >,B>- +B >,B>- +B >,B>- +B >,B>-E >E B F >F B G >G B( ) ( ) ( )# $ # # # # $" # " # " # > >dondeson constantes a determinar. E E F F G G" # " # " #(5.2.10) %B ?)BB?" B >"## # #SOLUCIN:1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso2)Factorizamoseldenominadordelpolinomio; elcualyaestfactorizado: B ?" B>"# # #3)De lo anterior se tiene que:%B ?)B E F GB>H IB>JB?" B >" B?" B?" B >" B >"## # # # # # # > > > EB?"B >" >FB >" >GB>HB?" B >">IB>JB?"B?" B >"# # # # # # ## # #TERMNELOUSTEDCONHARTA PACIENCIA !!(5.3):OBSERVACINEncadaunodeloscasos,elprocedimientoparadeterminarlasconstantes respectivas es como se indica a continuacin:1)Verificarqueelgradodeldividendo(enelnumerador)seamenorque el grado del divisor (en el denominador).2)Factorizar en el denominador en expresiones del tipo o; +B >, +B >, +B>,B >- +B>,B >- 8 8 # # 8D3)Escribirladescomposicinenfraccionesparcialesquelecorrespondealafraccinracional,segnseanlosfactoresdeldenominador.4)Enelladoderechodelaigualdadsesacadenominadorcomn(elcualeselmismoqueeldenominadordelladoizquierdo),yseobtieneelnumerador del lado derecho.5)Formar el polinomio del numerador del lado derecho.6)Igualar el polinomio del numerador del lado izquierdo con el TBpolinomio formado en el punto5); con lo cual se determina un sistema deecuaciones cuyas incgnitas son las constantes a determinar.7)Resolverelsistemadeecuacionesparadeterminarlasconstatesque correspondan.8)ReescribirlafraccinracionaloriginalcomounaSUMADEFRACCIONES PARCIALES segn sea el caso. CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTE PG.9FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICA SEMANA 12: (02 HORAS EJERCICIO)GUA DE ESTUDIO N 121.Descomponer en sumas de fracciones parciales.(1.1) (1.2) B &B?'B ?" B?$# #(1.3)(1.4) B>" #B>"!B?" B># #B >B# $ (1.5)(1.6) B >$B > >"B ?" > ?"% %# %2.La descomposicin en fracciones parciales de(2.1)(2.2) (2.3)B B >#B>" $B >&B?#B >#B >#B>" B >" B ?B >B?"$ $ #$ # # # $ #Resp: " ? ? > >" B B ">B & $B>" B >B>" B >" B >" B >" B?"# # # # # 3.Descomponer en sumas de fracciones parciales.(3.1) #B?" ?" $B ?$B># B?" B?##SOLUCIN: >(3.2) BB ?"B># B?" B>" B>#?%#" " "'' # $SOLUCIN: B ?# > > >(3.3) " ?" ?" "B?" B?# B?" B?" B?## #SOLUCIN: > >(3.4) #B ?$B?$ ?" $B?#B?" B ?#B>& B?" B ?#B># #SOLUCIN: >(3.5)encuntrela !!%B ?)BB?" B >"## # #SOLUCIN:(3.6)(3.7) B B >B ?)B>"B>$B>& B ?%B & %$(3.8)(3.9) B?) BB ?%B >%B B># B>%$ # # ##
(3.10) $B># "B B>" B >B$ $(3.11) (3.12)(3.13) B ?' "B >'B >) B >"$% #
3(3.14)(3.15) B >B?" "B >#B ?B B ?B>"$# ## ## (CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.10FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICA SEMANA 12: (02 HORAS EJERCICIO)TALLER DE ESTUDIO N121.Descomponer en sumas de fracciones parciales.(1.1) B ?&B>"B >%B?###(1.2) $B >&B?#B ?B >B?"#$ #(1.3) "-9= >?-9= >$ #CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.11FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPRUEBA DE AUTOEVALUACIN N 12:PROBLEMA 1: GUA N 12: (3.1)RESPUESTA: ?" $B?" B?#>SOLUCIN: 1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso.2)Factorizamos el denominador del polinomio:B?$B ># B ?"B ?##3)De lo anterior se tiene que:
#B?" #B?" E FB ?$B># B?"B?# B?" B?## > EB?#>FB?" E>FB?#E?FB?"B?# B?"B?#4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que , #B ?" E>FB ?#E?Fes decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F I :I I: E >F #?#E ?F ?"Sumando las ecuaciones obtenemos:?E "Luego:yE ?" F $5)Por lo tanto:#B?" ?" $B ?$B># B?" B?## >PROBLEMA 2: GUA N 12: (3.2)RESPUESTA:B ?# > > >" " "'' # $B?" B>" B>#?SOLUCIN: 1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: no se cumple en este caso;por lo tanto hacemos la divisin de polinomios:B B>#B?B ?# B ?#% $ #: ?B?#B>B>#B% $ #?#B>B>#B$ #>#B>%B?#B ?%$ #&B?%#Luego:B &B ?%B ?"B># B ?"B>#% ## # B ?# > CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.12FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"2)Factorizamos el denominador del polinomio:B?"B ># B ?"B >"B >##3)De lo anterior se tiene que: &B ?% &B ?% E F GB ?"B># B?"B>"B># B?" B>" B>## ## > > EB>"B>#>FB?"B>#>GB?"B>"B?"B>"B># E>F>GB >$E>FB>#E?#F?GB?"B>"B>##4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que , &B?% E>F >GB>$E>FB >#E?#F ?G# #es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes y :: E F G M E >F >G &MM $E >F !MMM #E ? #F ? G ?%Sumando las ecuacionesobtenemos:; M C MMM E?F "y sumando esta con la ecuacinMM 'E " E "'reemplazando enMM F ? "#reemplazando enM G "'$Luego:E F ? C G " " "'' # $5)Por lo tanto: &B ?% E F GB ?"B># B?" B>" B># B?" B>" B>#?##" " "'' # $ > > > >6)Finalmente,BB ?"B># B?" B>" B>#?%#" " "'' # $ B ?# > > >PROBLEMA 3: GUA N 12: (3.3)RESPUESTA: ?" ?" "B?" B?" B?#> >#SOLUCIN: 1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso2)Factorizamoseldenominadordelpolinomio;elcualyaestfactorizado: B ?" B ?##3)De lo anterior se tiene que: " E F GB?" B?# B?" B?" B?## # > > EB?"B?#>FB?#>GB?"B?" B?### E>GB >?$E>F?#GB>#E?#F>GB?" B?###4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que " E>GB> ?$E>F ?#GB >#E?#F >G#es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F G CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.13FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web" :: M E >G !MM ? $E >F?#G !MMM #E ?#F > G "Sumando las tres ecuaciones obtenemos:; es decir ?F " F ?"reemplazando enel sistema nos queda: MM C MMM : : M E >G !MM ? $E ?#G "MMM #E > G ? "restandoMMM M E ?" ?reemplazando enM G "Luego:y E ?" F ?" G "5)Por lo tanto:" ?" ?" "B?" B?# B?" B?" B?## # > >PROBLEMA 4: GUA N 12: (3.4)RESPUESTA: ?" $B?#B?" B ?#B>&>#SOLUCIN: 1)Verificamosqueelgradodelpolinomioenelnumeradoresmenorque el grado del polinomio en el denominador: se cumple en este caso2)Factorizamoseldenominadordelpolinomio; elcualyaestfactorizado: B ?" B?#B >)De lo anterior se tiene que: #B ?$B?$ E FB>GB?" B ?#B>& B?" B ?#B># # > EB ?#B>&>FB ?FB>GB?GB?" B ?#B> ## E>FB >?#E?F>GB>&E?GB?" B ?#B>#4)Por lo tanto, igualando polinomios se tiene que #B?$B ?$ E>FB> ?#E?F >GB >&E?G# #es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar lasconstantes yE F G M E >F #MM ? #E ?F> G?$MMM &E ? G ?$ :: Sumando las tres ecuaciones obtenemos:; es decir% E ?% E ?"reemplazando enM F $reemplazando enMMM G ?#Luego:y E ?" F $ G ?#5)Por lo tanto:#B ?$B?$ ?" $B?#B?" B ?#B>& B?" B ?#B># # >CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.14FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICALUNES 03 DE DICIEMBRE DE 2007: 09:45-11:05CONTROL DE ESTMULO DE AYUDANTA: LGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIN________PREGUNTA 1 23 4 NOTAPUNTAJE JUSTIFIQUE DETALLADAMENTESUS RESPUESTASPREGUNTA 1: Encuentre (SI EXISTEN) los valores de las constantes ytal que E F B>% E FB ?$B># B?" B?## >SOLUCIN:1) B>% B>% E FB ?$B># B?"B?# B?" B?## >B>%B?"B?# B?"B?#EB?#>FB?" $2)B >% EB ?# >FB ?" E >FB > ?#E ?F$3)Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >F "?#E ?F %$Sumando:?E & E ?& F '%4)Finalmente: B>% ?& 'B ?$B># B?" B?## > #CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.15FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 2: Encuentre (SI EXISTEN) los valores de las constantes ytal que E G F $B>" E F>GBB?#B >" B?# B >"# # >SOLUCIN:1) $B>" E F>GBB?#B >" B?# B >"# # > E > B?# B >" F>GBB?#B >"##$2)$B >" EB>" >F >GBB ?## EB>E >FB ?#F >GB?#GB# # E >GB>F ?#GB >E ?#F#$3)Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G ! G ?EF ?#G $E ?#F "$Reemplazando #E >F $E ?#F " &E ( E F G ?( " (& & &%4)Finalmente: $B>"B?#B >" B?# B >"B# # >( " (& & &?#CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.16FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 3: Descomponer en sumas de fracciones parciales BB >#B ?B?#%$ #SOLUCIN:1)Como;hacemospreviamenteladivisin 1#B?B ?#% $ # B B ?#?B% $ #?#B>B>#B_________________?#B>B>#B$ ## >%B?#B ?% B$ #___________________ &B?%#Por lo tanto: BB >#B ?B?# B >#B ?B?#%$ # $ # B ?# >&B ?%#%2)Factorizando el denominador en : B ># ?B ># B >#B?"$ # #>#B?B ?# B B# B >#B ?"B >" #3)Luego; aplicando descomposicin en fracciones parciales a: & & E F GB>#B?"B>" B># B?" B>"B ?% B ?%# #B >#B ?B?#$ # > > EB?"B>">FB>#B>">GB>#B?"B>#B?"B>"& EB?" >FB>$B ># >GB>B ?# B?%# # # ##Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >F >G & G ?$F$F >G !?E >#F ?#G ?%# 'F " F E G ?" "' "' $ #$4)Finalmente: BB >#B ?B?#%$ # B ?# > > ?"' " "$ ' #B># B?" B>"#CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.17FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 4: Descomponer en sumas de fracciones parciales #B ?$B?$B?" B ?#B>#1)Luego; aplicando descomposicin en fracciones parciales a: #B ?$B?$B?" B ?#B>& B ?#B># # >E F>GBB?"% E >F>GBB?" B ?#B>&B?" B ?#B>##B?$B ?$# EB?#EB >&E >FB ?F >GB?GB# # E >GB> ?#E >F ?GB >&E ?F#$Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G # G # ?E?#E >F ?G ?$&E ?F ?$$Reemplazando y sumando las dos ltima:%E ?%E ?" F ?# G $ $2)Finalmente: #B ?$B?$B?" B ?#B>& B ?#B># # >?" ?#>$BB?"# NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES:1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1TIEMPO: 80 MINUTOS.CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.18FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICASBADO 01 DE DICIEMBRE DE 2007: 11:30-13:00CONTROL DE ESTMULO DE AYUDANTA: LGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIN________PREGUNTA 1 23 4 NOTAPUNTAJE JUSTIFIQUE DETALLADAMENTESUS RESPUESTASPREGUNTA 1: Encuentre (SI EXISTEN) los valores de las constantes ytal que E F %B>" E FB ?#B?$ B?$ B>"# >SOLUCIN:1) %B>" %B>" E FB ?#B?$ B?$B>" B?$ B>"# >%B>"B?$B>" B?$B>"EB>">FB?$ $2)%B >" EB >" >FB ?$ E >FB >E ?$F$3)Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E>F %E ?$F "$Restando:%F $ F E $ "$% %%4)Finalmente: %B>"B ?#B?$ B?$ B>"#"$% >$%#CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.19FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 2: Encuentre (SI EXISTEN) los valores de las constantes ytal que E G F B>$ E F>GBB?"B ># B?" B >## # >SOLUCIN:1) B>$ E F>GBB?"B ># B?" B >## # > E > B?" B ># F>GBB?"B >###$2)B >$ EB># >F >GBB ?"# EB>#E >FB ?F >GB?GB# #
E >GB>F ?GB >#E ?F#$3)Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G ! G ?EF ?G "#E ?F $$Reemplazando y sumando las dos ltimas:$E % E %$ F ? G ?" %$ $%4)Finalmente: B>$B?"B ># B?" B >#??B# #% " %$ $ $ > #CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.20FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 3: Descomponer en sumas de fracciones parciales ++ >$+ >$+>"$$ #SOLUCIN:1)Como;hacemospreviamenteladivisin 1$+ >"$ $ # sinttica: + +>$+>$+ >"$ $ # "?+?$+?$+ ?"$ #_________________?$+?$+ ?"#Por lo tanto: ++ >$+ >$+>" + >$+ >$+>"$$ # $ # " >?$+ ?$+?"#%2)Factorizando el denominador en : +>$+>$+ >"$ # + >"+>#+ >" + >"# $#Notar que es un producto notable o bien;Notar que es raz o cero del polinomio. + ?"Por lo tantousando divisin sinttica se tiene que: ?" " $ $ "?" ?# ?"" # " !3)Luego; aplicando descomposicin en fracciones parciales a: ?$+ ?$+?" ?$+ ?$+?"# #+ >$+ >$+>"$ # > >+>" +>" +>" +>"E F G$ # $ E+>" >F+>">G+>"#$?$+?$+ ?"# E+ >" >F+ >" >G# E+>#+ >" >F+ >" >G##Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E ?$#E >F ?$E >F >G ?"# E ?$ F $ G ?" $4)Finalmente: ?$+ ?$+?"#+ >$+ >$+>"$ # " ? > ?$ $ "+>" +>" +>"# $#CURSO DE LGEBRA PARA PGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:CARLOS A. SEPLVEDA BUSTAMANTEPG.21FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPROYECTO DE FACULTAD "LGEBRA: una propuesta metodolgica de aprendizaje autnomo en pgina web"PREGUNTA 4: Descomponer en sumas de fracciones parciales %B ?)BB?" B >B>"##SOLUCIN: 1)Luego; aplicando descomposicin en fracciones parciales a: %B ?)BB?" B >B>"## >E F>GBB?" B >B>"#% EB >B>">F>GBB?"#B?" B >B>"#%B?)B# EB>EB >E >FB ?F >GB?GB# # E >GB>E >F ?GB >E ?F#$Por lo tanto se obtiene el siguiente sistema:E >G % E FE >F ?G ?)E ?F !$Reemplazando y sumando las dos ltima:$E ?%E ? F ? G % % "'$ $ $$2)Finalmente: %B ?)BB?" B >B>"## >? ?% % "'$ $ $B?" B >B>"> B## NO HAY CONSULTAS !!PONDERACIONES:1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1TIEMPO: 80 MINUTOS.