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Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
1
Adolfo Chapuz Benítez Presenta:
MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES.
Contenido:
π Introducción
π 3 tipos generales de descomposición
π Ejemplos de Descomposición: caso I
π Ejemplos de Descomposición: caso II
π Ejemplos de Descomposición: caso III
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
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π Introducción
En esta sección vamos a entender que significa DESCOMPONER EN
FRACCIONES PARCIALES.
IDEA: Consiste en desmenuzar, descomponer, desintegrar, partir una fracción
en partes más simples (fáciles de utilizar).
Por ejemplo:
3
1
2
1
)3)(2(
5
6
5
OBSERVACIÓN: El numerador es MENOR que el denominador (fracción impropia).
Pregunta: ¿Cómo se puede descomponer en fracciones más simples 8
3?
IDEA: Primero debemos descomponer (factorizar) el denominador 8.
...)1)(8(
)2)(4(8
8
42
24)2)(4(
3
8
3 BABA
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
3
BA
BA
423
8
42
8
3
Podriamos tomar A=-1/2 y B=1, y concluir que :
2
1
8
1
2
1
4
21
8
3
Muy bien!
La descomposición en fracciones Parciales (FP) sólo se aplica a funciones
RACIONALES )(
)(
xQ
xPen donde P(x) y Q(x) son polinomios en la variable x,
tales que:
)( )( xQdegradoxPdegrado .
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Ejemplos de integrales en las que se puede aplicar la descomposición:
dxxx
x
dxxx
x
dxxxx
x
dxxx
x
dxxx
2
2
23
2
2
)4)(2(
23.5
1.4
34
1.3
910
75.2
34
1.1
π 3 Tipos generales de descomposición
IDEA DEL MÉTODO: La idea consiste en DESCOMPONER toda la fracción en
fracciones más simples (parciales) que sean fáciles de integrar.
PROCEDIMIENTO:
1.- Verificar que el grado del Numerador sea MENOR que el denominador. 2.-Factorizar el denominador en factores de tipo lineal y/o cuadrático IRREDUCIBLE (más adelante te explico que es eso). 3.-Realizar la descomposición en fracciones más sencillas, esto va a depender de la factorización hecha anteriormente. Esto implica encontrar ciertas constantes A, B, C,etc. dependiendo de cuantos factores hayan. 4.-Sustituir la descomposición en la integral 5-Calcular cada integral (muy simple) resultante.
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5
π 3 tipos generales de descomposición
Caso I: El denominador se puede descomponer en factores lineales diferentes.
a).El Denominador contiene un término de grado cero, en este caso es la constante 1.
Lo importante aquí es la factorización del denominador:
13)1)(3(
1
x
B
x
A
xx
La descomposición consiste en escribir la fracción original como fracciones más sencillas.
Cada fracción parcial se genera escribiendo una constante (desconocida, por el momento) y
dividendo entre el factor correspondiente.
Ojo: El objetivo consiste en encontrar A y B.
b). Aquí el denominador es un poquito más elaborado, contiene un término lineal. Pero la
descomposición es igual de simple, una fracción para cada factor.
19)1)(9(
75
x
B
x
A
xx
x
c).En este ejemplo tenemos que el denominador tiene 3 factores lineales, por lo que se
agrega un término mas, el que contiene la constante C.
31)3)(1(
1
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Notemos igualmente que el numerador –x+1 no contribuye en nada a la descomposición
del lado derecho, sólo se escriben las constances A,B y C.
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d).En este ejemplo podemos observar que en el numerador tenemos un término cuadrático
y que esto no modifica la forma en que se hace la descomposición.
Tenemos 3 fracciones parciales (porque son 3 factores) y 3 constantes A,B y C.
266213)26)(62)(13(
54 2
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Caso II: El denominador se puede descomponer en factores lineales IGUALES.
Que haya factores repetidos significa que existe una potencia de ese factor.
a).
22233)3)(3(
62
)3(
62
96
62
x
B
x
A
xx
x
x
x
xx
x
Puedes ver que originalmente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto que, como
sabes, se factoriza como un binomio al cuadrado, significa que el factor x+3 parece 2
veces.
Debido a esa repetición la descomposición tiene una ligera forma: se empieza con el factor
x+3 y se van aumentado las potencias hasta llegar a la potencia máxima que en este caso es
2.
b).Ahora una potencia cubica:
323444)4(
5
x
C
x
B
x
A
x
x
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Caso III: El denominador se puede descomponer en factores cuadráticos irreducibles.
IRREDUCIBLES=”NO SE PUEDEN FACTORIZAR EN TÉRMINOS LINEALES”
= SUS RAICES SON COMPLEJAS CONJUGADAS.
Recuerda que una ecuación cuadrática 02 cbxax se dice que es IRREDUCIBLE
si el discriminante D<0, donde
acbD 42
a).Denominador=Producto de 2 factores cuadráticos irreducibles.
13)1)(3(
12222
x
DCx
x
BAx
xx
Tenemos 2 factores cuadráticos irreducibles1y 3 22 xx
:
En el primero: 12)3)(1(40Dy 3,0,1 2 cba .
En el segundo factor: 4)1)(1(40Dy 1,0,1 2 cba .
¡IMPORTANTE!
La forma del numerador cambia, de tener las constantes solas
A,B,C, etc a escribir numeradores de tipo lineal Ax+B, Cx+D,
Ex+F, …
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.b).Aquí tenemos 2 factores irreducibles, pero uno de ellos se repite
2222222884)8)(4(
103
x
FEx
x
DCx
x
BAx
xx
x
La descomposición para el primer factor es 42
x
BAx
Pero para al factor repetido le corresponden 2 términos: 22288
x
FEx
x
DCx.
Caso IV: Combinación de todos los casos anteriores.
4)5()5(513)4()5)(13(
110523223
2
x
FEx
x
D
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
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Ejemplo 1.
dxxx 34
1.1
2
Desarrollo:
Primero vemos que el grado del numerador es menor que el del denominador (cero y uno,
respectivamente).
Ahora intentamos factorizar y notamos que obtenemos factores lineales distintos, así la
descomposición queda de la siguiente manera (caso I) :
13)1)(3(
1
34
12
x
B
x
A
xxxx
Procedemos a encontrar las constantes A y B, de la siguiente manera:
)3()1(1
)3)(1(
)3()1(
1334
12
xBxA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
)3()1(1 xBxA
Para encontrar A, tomamos x=-3:
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10
2
1
21
)0()2(1
)33()13(1
A
A
BA
BA
Para encontrar B, tomamos x=-1:
2
1
21
)2()0(1
)31()11(1
B
B
BA
BA
Tenemos que :
2
1,
2
1 BA
.
Antes de sustituir estos valores notemos que:
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11
cxBxA
x
dxB
x
dxA
dxx
Bdx
x
A
dxx
B
x
Adx
xx
)1ln()3ln(
13
13
1334
12
Resultado provisional.
cxBxAdxxx
)1ln()3ln(
34
12
Sustituyendo A=-1/2 y B=1/2:
Conclusión.
cxxdxxx
)1ln(
2
1)3ln(
2
1
34
12
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Ejemplo 2.
dxxx
x
910
752
.
Desarrollo:
19)1)(9(
75
910
752
x
B
x
A
xx
x
xx
x
)9()1(75
)1)(9(
)9()1(
19910
752
xBxAx
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
Identidad Base:
)9()1(75 xBxAx
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13
Para encontrar A, tomamos x=-9:
4
19
8
38
838
)0()8(745
)99()19(7)9(5
A
A
BA
BA
Para encontrar B, tomamos x=-1:
4
1
8
2
82
)8()0(75
)91()11(7)1(5
B
B
BA
BA
Tenemos que :
4
1,
4
19 BA
.
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14
Ahora regresamos a la integral.
Resultado provisional.
cxBxAdxxx
x
)1ln()9ln(
910
752
Sustituyendo A=19/4 y B=1/4:
Conclusión.
cxxdxxx
x
)1ln(
4
1)9ln(
4
19
910
752
cxBxA
x
dxB
x
dxA
dxx
Bdx
x
A
dxx
B
x
Adx
xx
x
)1ln()9ln(
19
19
19910
752
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15
Ejemplo 3.
dx
xxx
x
34
1223
Desarrollo:
31)3)(1(
12
)34(
12
34
12223
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
xxx
x
)1()3()3)(1(12
)3)(1(
)1()3()3)(1(
3134
1223
xCxxBxxxAx
xxx
xCxxBxxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Identidad Base:
)1()3()3)(1(12 xCxxBxxxAx
Para encontrar A, sustituímos x=0:
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16
3
1
31
)3)(1(1
)10)(0()30)(0()30)(10(1)0(2
A
A
A
CBA
Para encontrar B, tomamos x=1:
2
1
2
1
21
)0()2()2)(0(12
)11)(1()31)(1()31)(11(1)1(2
B
B
B
CBA
CBA
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Para encontrar C, tomamos x=3:
6
5
65
)2)(3()0)(3()0)(2(16
)13)(3()33)(3()33)(13(1)3(2
C
C
CBA
CBA
Tenemos que :
6
5,
2
1,
3
1 CBA
.
Ahora regresamos a la integral.
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18
cxCxBxA
dxx
Cdxx
Bdxx
A
dxx
Cdx
x
Bdx
x
A
dxx
C
x
B
x
Adx
xxx
x
)3ln()1ln()ln(
3
1
1
11
31
3134
1223
Resultado provisional.
cxCxBxAdxxxx
x
)3ln()1ln()ln(
34
1223
Sustituyendo A=1/3 , B=1/2 y C=-5/6:
Conclusión.
cxxxdxxxx
x
)3ln(
6
5)1ln(
2
1)ln(
3
1
34
1223
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19
Ejemplo 4.
dxxxx
x
)2)(62)(13(
54 2
Desarrollo:
)62)(13()2)(13()2)(62(54
)2)(62)(13(
)62)(13()2)(13()2)(62(
26213)2)(62)(13(
54
2
2
xxCxxBxxAx
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Tenemos nuestra identidad base:
)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx
Encontrando A, con x=-1/3:
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20
100
41
9
100
9
41
)3
5)(
3
20(
9
41
)3
20)(0()
6
5)(0()
3
5)(
3
18
3
2(5
9
4
)6)3
1(2)(1)
3
1(3()2)
3
1)((1)
3
1(3()2)3/1)((6)3/1(2(5)
3
1(4 2
A
A
A
CBA
CBA
Encontrando B, con x=3:
)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx
50
31
5031
)0)(10(50)5)(0(31
)66)(10()5)(10()5)(66(536
)6)3(2)(1)3(3()2)3)((1)3(3()2)3)((6)3(2(5)3(4 2
B
B
CBA
CBA
CBA
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21
Encontrando C, con x=-2:
)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx
50
11
5011
)10)(5()0()0)(10(11
)64)(5()0)(5()0)(64(516
)6)2(2)(1)2(3()2)2)((1)2(3()2)2)((6)2(2(5)2(4 2
C
C
CBA
CBA
CBA
Tenemos los valores de las constantes:
50
11,
50
31,
100
41 CBA
cxCxBxA
dxx
Cdxx
Bdxx
A
dxx
C
x
B
x
Adx
xxx
x
)2ln()62ln(2
1)13ln(
3
1
2
1
62
1
13
1
26213)2)(62)(13(
54 2
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22
Sustituyendo los valores de las constantes,
50
11,
50
31,
100
41 CBA
Conclusión:
cxxxdxxxx
x
)2ln(
50
11)62ln(
100
31)13ln(
300
41
)2)(62)(13(
54 2
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23
CASO II: RAÍCES REPETIDAS
Ejemplo 5:
dxxxx
x
96
6223
Desarrollo:
2
2
23
2
2223
3
)3(3
96
62
33
3
62
)3)(3(
62
)96(
62
96
62
xx
CxxBxxA
xxx
x
x
C
x
B
x
A
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
Identidad Base:
CxxBxxAx )3(3622
Para encontrar A, hacemos x=0:
3
1
9
6
96
)0()30)(0(306)0(22
A
A
CBA
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24
Para encontrar C, hacemos x=-3
CxxBxxAx )3(3622
4
43
12
312
3)0()0(66
)3()33)(3(336)3(22
C
C
C
CBA
CBA
Para encontrar B, hacemos x =1:
CxxBxxAx )3(3622
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
25
3
8
12
32
3
324
3
161244
1243
164
)4(34)3
1(164
41662
)1()31)(1(316)1(22
BB
B
B
B
CBA
CBA
Tenemos los siguientes valores de las constantes:
4,3
8,
3
1 CBA
Resolviendo la integral:
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
26
cx
CxBxA
cu
CxBxA
cu
CxBxA
uduuCxBxA
x
dxC
x
dxB
x
dxA
dxx
C
x
B
x
Adx
xxx
x
3)3ln()ln(
)3ln()ln(
1)3ln()ln(
)3ln()ln(
33
3396
62
1
2
2
223
Sustituyendo los valores de las constantes:
4,3
8,
3
1 CBA
Conclusión.
cx
xxdxxxx
x
3
4)3ln(
3
8)ln(
3
1
96
6223
dxduxu ,3
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
27
CASO II: RAÍCES REPETIDAS
Ejemplo 6:
dxxx
x
23 )3()4(
1
Desarrollo:
332222
23
332222
23223
)4()3()4()3()3)(4()3()4(1
)3()4(
)4()3()4()3()3)(4()3()4(
)3(3)4()4(4)3()4(
1
xExxDxCxxBxxAx
xx
xExxDxCxxBxxA
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
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28
Identidad Base:
332222 )4()3()4()3()3)(4()3()4(1 xExxDxCxxBxxAx
Ok! Para encontrar los valores de A,B, C,D Y E, vamos a dar 5 valores a la x (porque son 5
incógnitas).Usamos los más fáciles:
4,2,1,1,0 xxxxx Al sustituir obtenemos las siguientes 5 ecuaciones lineales
con 5 incógnitas, las cuales podemos resolver usando un software de matemáticas. X=0:
164192936144 EDCBA
X=1:
0271081648144 EDCBA X=-1:
2125250420100 EDCBA X=2:
18402550100 EDCBA . X=4:
349 C Este sistema lo voy a resolver usando el software MATLAB, y definiendo las siguientes matrices:
004900
8402550100
125250420100
271081648144
64192936144
A
3
1
2
0
1
b
La solución del sistema está dada por:
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
29
A= -0.1165 B=-0.1501 C=0.0612 D=-0.1335 E=0.2157 Ahora vamos con la integral:
02
232
23223
)3ln(2
)4ln(
)3ln()4ln(
)3(
1
3
1
)4(
1
)4(
1
4
1
)3(3)4()4(4)3()4(
1
232
Cw
ExD
u
C
u
BxA
dwwExDduuCduuBxA
dxx
Edxx
Ddxx
Cdxx
Bdxx
A
dxx
E
x
D
x
C
x
B
x
Adx
xx
x
Tenemos nuestra integral en términos de u y de las constantes A,B,C,D y E.
0223)3ln(
2)4ln(
)3()4(
1C
w
ExD
u
C
u
BxAdx
xx
x
Sustituyendo la variable u y regresando a la variable x:
0223 3)3ln(
424)4ln(
)3()4(
1C
x
ExD
x
C
x
BxAdx
xx
x
Ahora lo que resta por hacer es sustituir los valores de las constantes.
0223 3
2157.0)3ln(1335.0
4
306.0
4
1501.0)4ln(1165.0
)3()4(
1C
xx
xxxdx
xx
x
Conclusión.
dxduxu ,4
dxdwxw ,3
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30
CASO III: FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES.
NOTA IMPORTANTE:
Un término cuadrático irreducible es aquel que no se puede factorizar o
escribir como producto de términos lineales. Simple y sencillamente no se
puede “descomponer”.
Siendo más rigurosos es aquel término que no tiene raíces reales, sino que sus
raíces son números especiales llamados complejos. Son raíces complejas
conjugadas.
Para saber si las raíces de una ecuación cuadrática son complejas conjugadas
simplemente debemos analizar una pequeña expresión que me dice fácil y
rápido como saberlo. Se llama el discriminante de la ecuación cuadrática.
Si acbDcbxax 4 como define se ntediscrimina el,0 22 .
Si D<0, entonces se dice que la cuadrática es IRREDUCIBLE.
Como ejemplos sencillos, vemos que los siguientes términos son cuadráticos irreducibles.
1). 2 xa
Considerando a=1,b=0 y c=1, es calcular fácil que D=-4.
9). 2 xb
En este caso a=1,b=0 y c=9, por lo que D=-36.
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31
Ejemplo 7:
dxxx
x
)9)(1(
122
Desarrollo:
)9)(1(
)1)(()9)((
)9)(1(
1
)9)(1(
)1)(()9)((
91)9)(1(
1
22
22
22
22
22
2222
xx
xDCxxBAx
xx
x
xx
xDCxxBAx
x
DCx
x
BAx
xx
x
Tenemos nuestra identidad de referencia:
)1)(()9)((1 22 xDCxxBAxx
Ok! Para encontrar los valores de A,B, C y D , vamos a dar 4 valores a la x (porque son 4
incógnitas).Usamos los valores más fáciles de sustituir:
2,1,1,0 xxxx Al sustituir obtenemos las siguientes 4 ecuaciones lineales con
4 incógnitas, las cuales podemos resolver usando un software de matemáticas.
X=0:
DBA
DBA
991
)1)(()9)((1
X=1:
DCBA
DCBA
2210100
)2)(()10)((0
Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez.
32
X=-1:
DCBA
DCBA
2210102
)2)(()10)((2
X=2:
DCBA
DCBA
51013261
)5)(2()13)(2(1
.
Este sistema lo voy a resolver usando el software MATLAB, y definiendo las siguientes
matrices:
199 DBA
0221010 DCBA
2221010 DCBA
15101326 DCBA .
5101326
221010
221010
1099
A
1
2
0
1
b
La solución del sistema está dada por:
A= -1.0000 B=2.1250 C=5.5000 D=-11.1250
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33
Ahora vamos con la integral:
0
22
0
2
2222
22
2222
)3
arctan(3
)9ln(2
)arctan()1ln(2
)arctan(3
)ln(2
)arctan()ln(2
132)arctan(
2
9911
91
91)9)(1(
1
cxD
xC
xBxA
czD
wC
xBuA
z
dzD
w
dwCxB
u
duA
x
dxDdx
x
xC
x
dxBdx
x
xA
dxx
DCxdx
x
BAx
dxx
DCx
x
BAxdx
xx
x
Es decir, tenemos lo siguiente:
0
22
22)
3arctan(
3)9ln(
2)arctan()1ln(
2)9)(1(
1c
xDx
CxBx
Adx
xx
x
xdxduxu 2,12 xdxdwxw 2,92
3,
3
dxdz
xz
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34
Al sustituir los valores de las constantes A,B,C y D:
A= -1.0000
B=2.1250
C=5.5000
D=-11.1250
Conclusión.
0
22
22)
3arctan(7083.3)9ln(75.2)arctan(125.2)1ln(
2
1
)9)(1(
1c
xxxxdx
xx
x
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35
Ejercicios Para Practicar:
es.irreducibl scuadrático factores )1)(16(
310.
es.irreducibl scuadrático factores )9)(4(
3.9
r.denominado del x factorizar :sugerencia 86
5.8
)4)(12)(3(
6.7
)1)(13(
15.6
.cuadrático trinomioel factorizar 23
14.5
.cuadrático trinomioel factorizar 23
3.4
)6)(1(
43.3
)8)(3(
1.2
)6)(5(
1.1
22
22
23
2
2
2
dxxx
x
dxxx
x
dxxxx
x
dxxxx
x
dxxx
x
dxxx
x
dxxx
x
dxxx
x
dxxx
dxxx
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