formule matematica bac m2
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
1/16
Formule de analiz matematic
Asimptote
Asimptote orizontalePentru a studia existena asimptotei orizontale spre + la graficul unei funcii se
calculeaz lim ( )x f x+ .
Cazul 1. Dac aceast limit nu exist sau este infinit atunci graficul nu are asimptot
orizontal spre + .Cazul 2. Dac aceast limit existi este finit,egal cu un numr real l,atunci graficul
are asimptot orizontal spre + dreapta de ecuaie y= l.Analog se studiaz existena asimptotei orizontale spre
Asimptote obliceAsimptota oblic spre + (dac exist) are ecuaia y=mx+n unde m i n se calculeaz cuformulele:
[ ]
( )lim
lim ( )
x
x
f xm
x
n f x m x
+
+
=
=
Analog se studiaz existena asimptotei oblice spre
Asimptote verticaleSe calculeaz
0
0
lim ( )x x
x x
f x
.
Dac una din aceste limite este infinit atunci graficul are asimptot vertical dreapta de
ecuaie 0x x= .
Derivata unei funcii intr-un punct:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) limx xf x f x
f x x x
=
Tangenta la graficul unei funcii in punctul de abscis x0:
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x =
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
2/16
Reguli de derivare:
2
( )
( )
( )
( )
f g f g
f g f g
c f c f
f g f g f g
f f g f g
g g
+ = +
=
=
= +
=
Tabel cu derivatele unor funcii uzuale Tabel cu derivatele funciilor compuse
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3
1
2
0
1
( ) 2
( ) 3
( ) 4
( )
1 1
1
2
ln
n n
x x
x x
x x
c
x
x x
x x
x x
x n x
x x
xx
e e
e e
a a a
=
=
=
= =
=
=
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1ln
1log
ln
sin cos
cos sin
1
cos
1
sin
1arcsin
1
1arccos
1
1
1
1
1
a
xx
xx a
x x
x x
tgxx
ctgxx
xx
xx
arctgxx
arcctgxx
=
=
=
=
=
=
=
=
=+
= +
( )
( )( )
( )
2
3 2
4 3
1
2
( ) 2
( ) 3
( ) 4( )
1
2
ln
n n
u u
u u
u u
u u u
u u u
u u u
u n u u
u
u u
uu
u
e e u
e e u
a a a u
=
=
= =
=
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
ln
logln
sin cos
cos sin
cos
sin
arcsin1
arccos1
1
1
a
uu
u
uu
u a
u u u
u u u
utgu
u
uctgu
u
uu
u
uu
u
uarctgu
u
uarcctgu
u
=
=
=
=
=
=
=
=
=+
= +
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
3/16
Tabel cu integrale nedefinite
2
32
43
1
1
2
3
4
1
1ln
ln
nn
x x
x x
xx
dx x C
xxdx C
xx dx C
xx dx C
xx dx C
n
dx x C x
e dx e C
e dx e C
aa dx C
a
+
= +
= +
= +
= +
= ++
= +
= +
= +
= +
( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos
cos sin
1
cos
1sin
1 1
1 1ln
2
1ln
1 ln
1arcsin
xdx x C
xdx x C
dx tgx C x
dx ctgx C x
xdx arctg C
x a a a
x adx C
x a a x a
dx x x a C x a
dx x x a C x a
xdx C
aa x
= +
= +
= +
= +
= ++
= +
+
= + + ++
= + +
= +
Formula de integrare prin pri pentru integrale nedefinite este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx =
Formula de integrare prin pri pentru integrale definite este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b
b
aa a
f x g x dx f x g x f x g x dx =
Aplicaii ale integralei definite
Aria subgraficului unei funciiDac : [ , ]f a b este o funcie continu pozitiv atunci avem:
( ) ( )b
fa
A f x dx = Volumul unui corp de rotaie
Dac : [ , ]f a b este o funcie continu atunci avem:
2( ) ( )b
fa
V C f x dx=
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
4/16
2
32
43
1
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2
( )( ) ( )3
( )( ) ( )
4
( )( ) ( )
1
( )ln ( )( )
( )
( )
( )ln
nn
u x u x
u x u x
u xu x
u x dx u x C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx C
n
u xdx u x C u x
e u x dx e C
e u x dx e C
aa u x dx C
a
+
= +
= +
= +
= +
= ++
= +
= +
= +
= +
2
2
2 2
2 2
2
2 2
sin ( ) ( ) cos ( )
cos ( ) ( ) sin ( )
( )
( )cos ( )
( )( )
sin ( )
( ) 1 ( )
( )
( ) 1 ( )ln
( ) 2 ( )
( ) ln ( ) ( )( )
u x u x dx u x C
u x u x dx u x C
u x
dx tgu x C u x
u xdx ctgu x C
u x
u x u xdx arctg C
u x a a a
u x u x adx C
u x a a u x a
u x dx u x u xu x a
= +
= +
= +
= +
= +
+
= +
+
= ++
( )2
2 2
2 2
2 2
( )ln ( ) ( )
( )
( ) ( )arcsin
( )
a C
u xdx u x u x a C
u x a
u x u xdx C
aa u x
+ +
= + +
= +
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
5/16
Formule de algebr
Ecuaia de gradul doi
Ecuaia 2 0ax bx c+ + = .Se calculeaz 2 4b ac = Dac 0 > atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale diferite date de formula
1 2,2
bx xa
=
Dac 0 = atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale egale date de formula1 2
2
bx x
a= =
Dac 0 < atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini complexe diferite date de formula1 2,
2
b ix x
a
=
2 1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul doi 2 0ax bx c+ + = :
1 2
1 2
bS x x
a
cP x x
a
= + =
= =
Alte formule folositoare la ecuaia de gradul doi:2 2 2
1 23 3 3
1 2
2
3
x x S P
x x S SP
+ =
+ =
Funcia de gradul doi
:f R R2( )f x ax bx c= + +
Graficul funciei de gradul doi este o parabol cu varful in punctul ,2 4
bV
a a
.
Dac a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minim a funciei este min4
fa
=
Dac a
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
6/16
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:1( )
2
nn
n a aS
+=
Condiia ca trei numere a,b,c s fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:2
a cb
+=
Progresii geometrice
Formula termenului general:1
1
n
nb b q=
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:1( 1)
1
n
n
b qS
q
=
Condiia ca trei numere a,b,c s fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:2
b a c=
Numere complexe
z a bi= + este forma algebric a unui numr complex
( )cos sinz r i = + este forma trigonometric a unui numr complex unde:
2 2r a b= + este modulul numrului complex [0,2 ) este argumentul redus al numrului complex i se scoate din relaia btg
a =
2
2 2
1i
a bi a b
z a bi
= + = +
=
Formula lui Moivre
( ) ( )cos sin cos sinn
i n i n + = +
Elemente de combinatoric
! 1 2 3 ....!
!
( )!
!
!( )!
n
k
n
k
n
n nP n
nA
n k
nC
k n k
=
=
=
=
Binomul lui Newton:
Calculeaz numrul de submulimi ordonate cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente
Calculeaz numrul de submulimi cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente.
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
7/16
0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n k n k k n nn n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b + = + + + + + +
Formula termenului general din binomul lui Newton este 1k n k k
k nT C a b+ =
Formule cu logaritmi
loga b exist dac 0, 1, 0a a b> > log ca b c a b= = Aceast echivalen transform o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fr logaritm
log 1 0
log 1
ln1 0
ln 1
lg1 0
lg10 1
log log log ( )
log log log
log log
loglog
log
1loglog
a
a
a a a
a a a
n
a a
ca
c
a
b
a
e
A B A B
AA B
B
A n A
bb
a
ba
=
=
=
=
=
=+ =
=
=
=
=
Probabilitatea unui eveniment
Se calculeaz cu formula:
.( )
.
nr cazuri favorabileP E
nr total cazuri posibile=
Legi de compoziie
Fie M o mulime nevid pe care s-a dat o lege de compoziie notat *.
Legea * este asociativ dac ( ) ( )x y z x y z = , ,x y z M Legea * este comutativ dac x y y x = ,x y M Legea * are element neutru e dac x e e x x = = x M Un element x M se numete simetrizabil dac x M astfel inct x x x x e = =
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
8/16
Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul trei
Dac3 2 0ax bx cx d + + + = are rdcinile 1 2 3, ,x x x atunci avem:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
bx x x
a
cx x x x x x
a
dx x xa
+ + =
+ + =
=
Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul patru
Dac4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + = are rdcinile 1 2 3 4, , ,x x x x atunci avem:
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
bx x x x
a
cx x x x x x x x x x x x
ad
x x x x x x x x x x x xa
ex x x x
a
+ + + =
+ + + + + =
+ + + = =
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
9/16
Formule de trigonometrie
[ ]
[ ]
2 2
2 2
2 2
sin cos 1
sin : 1,1
sin( ) sin
cos : 1,1
cos( ) cos
sin cos2
cos sin2
( )
( )
sin 2 2sin cos sin 2sin cos2 2
cos2 cos sin
1 cos2cos2 2cos 1 cos
2
cos2
x x
x x
x x
x x
x x
tg x tgx
ctg x ctgx
x xx x x x
x x x
xx x x
+ =
=
=
=
=
=
=
= =
=
+= =
( )
( )
2 2
2
2
1 cos21 2sin sin
2
sin 3 sin (3 4sin )
cos3 cos (4cos 3)
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
1
xx x x
x x x
x x x
a b a b b a
a b a b b a
a b a b a b
a b a b a b
tga tgbtg a btga tgb
tgatg a b
= =
=
=
+ = +
=
+ =
= +
++ =
=1
sin
cos
cos
sin
tgb
tga tgb
xtgx
x
xctgx
x
+
=
=
formula fundamental a trigonometriei
funcia sin este impar
funcia cos este par
Formule pentru transformarea sumelor in pr
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2sin cos
2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
+ + =
+ =
+ + =
+ =
Formule pentru transformarea produselor in
sin( ) sin( )sin cos
2cos( ) cos( )cos cos
2
cos( ) cos( )sin sin
2
x y x yx y
x y xx y
y
x y xx y
+ + =
+ + =
+ =
y
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
10/16
3
2
3
2
33
1 3
33
3 1
tgx tg xtg x
tg x
ctg x ctgxctg x
ctg x
=
=
2
2
2
2
2
2sin
1
1cos
1
2
1
1
2
tx
t
tx
t
ttgx
t
tctgx
t
= +
=
+ = =
unde2
xt tg=
2
2
2
2
2
2sin2
1
1cos21
22
1
12
2
tgxx
tg x
tg xxtg x
tgxtg x
tg x
tg xctg x
tgx
= +
= + =
=
Ecuaii trigonometrice fundamentale
1)Ecuaia sinx a= are soluii daci numai dac [ ]1,1a .In acest caz soluiile sunt
{ }( 1) arcsin /kx a k + k .2)Ecuaia cosx b= are soluii daci numai dac [ ]1,1b . In acest caz soluiile sunt
{ }arccos 2 /x b k k + .
3)Ecuaia are soluii .tgx c= c
Soluiile sunt { }arc /x tgc k k + .
4)Ecuaia are soluii .ctgx d = d
Soluiile sunt { }arc /x ctgd k k + .
[ ]2
2
sin(arcsin )
sin(arccos ) 11.1
cos(arccos )
cos(arcsin ) 1
x x
x xx
x x
x x
=
=
= =
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
11/16
Formule de geometrie
1) Teorema lui Pitagora
Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaia:2 2 2cateta cateta ipotenuza+ =
2)Teorema lui Pitagora generalizat(teorema cosinusului)
Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaia:2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= +
3)Aria unui triunghi echilateral de laturl este:2 3
4
lAria =
4)Aria unui triunghi oarecare(se aplic atunci cand se cunosc dou laturi si unghiul dintre ele):
sin
2
AB AC AAria
=
5)Aria unui triunghi oarecare(se aplic atunci cand se cunosc toate cele trei laturi):
( )( )( )S p p a p b p c= formula lui Heron
unde2
a b cp
+ += este semiperimetrul.
6)Aria triunghiului dreptunghic este:
2
cateta catetaAria
=
7)Teorema sinusurilor
Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaia:
2sin sin sin
a b cR
A B C= = =
unde a,b,c sunt laturile triunghiului
A,B,C sunt unghiurile triunghiului
R este raza cercului circumscris triunghiului
8)Distana dintre dou puncte(lungimea unui segment):Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci distana dintre ele este:
2 2
2 1 2 1( ) ( )AB x x y y= +
9)Mijlocul unui segment:Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este
1 2 1 2,2 2
x x y yM
+ +
10)Vectorul de poziie al unui punct:
Dac A(x,y) atunci OA x i y j= + uuur r ur
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
12/16
http://matematica.noads11)Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci vectorul AB
uuureste dat de formula:
2 1 2 1( ) ( )AB x x i y y j= + uuur r r
12)Ecuaia unei drepte care trece prin dou puncte dateDac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci ecuaia dreptei AB se poate afla cu formula:
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
=
sau cu formula:
1 1
2 2
1
1 0
1
x y
x y
x y
=
13)Ecuaia unei drepte care trece prin punctul 0 0( , )A x y i are panta dat m
Este dat de formula:
0 0( )y y m x x =
14)Condiia de coliniaritate a trei puncte in plan
Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.Punctele A,B,C sunt coliniare daci numai dac
1 1
2 2
3 3
1
1 0
1
x y
x y
x y
=
15)Aria unui triunghiFie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.Aria triunghiului ABC este dat de formula
1
2ABCA =
unde este urmtorul determinant1 1
2 2
3 3
1
1
1
x y
x y
x y
=
16)Distana de la un punct la o dreapt
Dac 0 0( , )A x y este un punct i : 0d ax by c+ + = este o dreapt in plan atunci distana de la punctul A la dreapta
este dat de formula:
0 0
2 2( , )
ax by cdist A d
a b
+ +=
+
17)Panta unei drepteDac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci panta dreptei AB este dat de formula:
2 1
2 1
y ym
x x
=
18)Condiia de coliniaritate a doi vectori in plan:
Fie 1 1 1v a i b j= +ur r r
i 2 2 2v a i b j= +uur r r
doi vectori in plan.Condiia de coliniaritate a vectorilor 1vur
i 2vuur
este:
1 1
2 2
a b
a b=
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
13/16
19)Condiia de perpendicularitate a doi vectori in plan:
Fie 1 1 1v a i b j= +ur r r
i 2 2 2v a i b j= +uur r r
doi vectori in plan.Avem:
1 2 1 2 1 2 0v v a a b b + =ur uur
(produsul scalar este 0)
20)Condiia de paralelism a dou drepte in plan
Dou drepte 1d i 2d sunt paralele daci numai dac au aceeai pant adic:
1 21 2 d dd d m m =
Altfel,dac dreptele sunt date prin ecuaia generala: 1 1 1 1: 0d a x b y c+ + = i 2 2 2 2: 0d a x b y c+ + =
atunci dreptele sunt paralele dac 1 1
2 2
a b
a b= .
21)Condiia de perpendicularitate a dou drepte in plan
Dou drepte 1d i 2d sunt perpendiculare daci numai dac produsul pantelor este egal cu 1 adic:
1 21 21d dd d m m =
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
14/16
Funcia cosinus
cos:R [ 1;1]
Exemple:
1cos
3 2
cos 1
cos0 1
cos 02
=
=
=
=
3 2cos
4 2
3cos 0
2
cos2 1
7 3cos
6 2
=
=
=
=
2250=5
4
00
360-1
900=2
1
3150=7
4
3000=5
3
2700=3
2
2400=4
3
3300=11
6
2100=7
6
1800=
1500=5
6
1350=3
4
1200=2
3
600=
3
450=4
300=6
0
1
2 2
2
3
2
1
2 2
2
3
2
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
15/16
Funcia sinus
sin:R [ 1;1]
Exemple:
3sin
3 2
sin 0
sin0 0
sin 12
=
=
=
=
3 2sin
4 2
3sin 1
2
sin 2 0
7 1sin
6 2
=
=
=
=
00
3600=2
-1
900
= 2
1
3150=7
4
3000=5
3
2700=3
2
2400=4
3
2250=5
4
3300=11
6
2100=7
6
1800=
1500=5
6
1350=3
4
1200=2
3
60
0=
3
450=4
300=6
0
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
-
7/28/2019 Formule Matematica BAC M2
16/16