Formule de analiză matematică

Asimptote

• Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se calculează lim ( )

xf x

→+∞.

Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice

Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:

[ ]

( )lim

lim ( )x

x

f xmx

n f x m x→+∞

→+∞

=

= − ⋅

Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale

Se calculează 0

0

lim ( )x xx x

f x→<

şi 0

0

lim ( )x xx x

f x→>

.

Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie 0x x= .

Derivata unei funcţii intr-un punct:

0

00

0

( ) ( )( ) limx x

f x f xf xx x→

−′ =−

Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x′− = −

Reguli de derivare:

2

( )( )( )( )

f g f gf g f gc f c ff g f g f g

f f g f gg g

′ ′ ′+ = +′ ′ ′− = −

′ ′⋅ = ⋅′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′ ′ ′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale Tabel cu derivatele funcţiilor compuse

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3

1

2

01

( ) 2( ) 3( ) 4( )

1 1

12

ln

n n

x x

x x

x x

cxx xx xx xx n x

x x

xx

e e

e e

a a a

−

− −

′ =′ =

′ =

′ =

′ =

′ = ⋅

′⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

′ =

′ =

′ = −

′ = ⋅

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1ln

1logln

sin cos

cos sin1

cos1

sin1arcsin

11arccos

11

11

1

a

xx

xx a

x x

x x

tgxx

ctgxx

xx

xx

arctgxx

arcctgxx

′ =

′ =⋅

′ =

′ = −

′ =

′ = −

′ =−

′ = −−

′ =+

′ = −+

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3

1

2

( ) 2( ) 3( ) 4( )

1

2

ln

n n

u u

u u

u u

u u uu u uu u uu n u u

uu u

uuu

e e u

e e u

a a a u

−

− −

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅ ⋅

′ ′⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

′′ =

′ ′= ⋅

′ ′= − ⋅

′ ′= ⋅ ⋅

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

ln

logln

sin cos

cos sin

cos

sin

arcsin1

arccos1

1

1

a

uuu

uuu a

u u u

u u uutgu

uuctgu

uuu

uuu

uuarctgu

uuarcctgu

u

′′ =

′′ =⋅

′ ′= ⋅

′ ′= − ⋅

′′ =

′′ = −

′′ =−

′′ = −−

′′ =+

′′ = −+

Tabel cu integrale nedefinite

2

32

43

1

1

2

3

4

11 ln

ln

nn

x x

x x

xx

dx x C

xxdx C

xx dx C

xx dx C

xx dx Cn

dx x Cxe dx e C

e dx e C

aa dx Ca

+

− −

= +

= +

= +

= +

= ++

= +

= +

= − +

= +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

sin cos

cos sin

1cos

1sin

1 1

1 1 ln2

1 ln

1 ln

1 arcsin

xdx x C

xdx x C

dx tgx Cx

dx ctgx Cx

xdx arctg Cx a a a

x adx Cx a a x a

dx x x a Cx a

dx x x a Cx a

xdx Caa x

= − +

= +

= +

= − +

= ++

−= +

− +

= + + ++

= + − +−

= +−

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫ Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb

aa af x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫

Aplicaţii ale integralei definite

• Aria subgraficului unei funcţii Dacă : [ , ]f a b → este o funcţie continuă pozitivă atunci avem:

( ) ( )b

f aA f x dxΓ = ∫

• Volumul unui corp de rotaţie Dacă : [ , ]f a b → este o funcţie continuă atunci avem:

2( ) ( )b

f aV C f x dxπ= ∫

2

32

43

1

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )2( )( ) ( )3( )( ) ( )4

( )( ) ( )1

( ) ln ( )( )

( )

( )

( )ln

nn

u x u x

u x u x

u xu x

u x dx u x C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx Cn

u x dx u x Cu x

e u x dx e C

e u x dx e C

aa u x dx Ca

+

− −

′ = +

′⋅ = +

′⋅ = +

′⋅ = +

′⋅ = ++

′= +

′ = +

′ = − +

′ = +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

2

2

2 2

2 2

2

2 2

sin ( ) ( ) cos ( )

cos ( ) ( ) sin ( )

( ) ( )cos ( )

( ) ( )sin ( )

( ) 1 ( )( )

( ) 1 ( )ln( ) 2 ( )

( ) ln ( ) ( )( )

u x u x dx u x C

u x u x dx u x C

u x dx tgu x Cu x

u x dx ctgu x Cu x

u x u xdx arctg Cu x a a a

u x u x adx Cu x a a u x a

u x dx u x u xu x a

′⋅ = − +

′⋅ = +

′= +

′= − +

′= +

+

′ −= +

− +′

= ++

∫∫

∫

∫

∫

∫

( )2

2 2

2 2

2 2

( ) ln ( ) ( )( )

( ) ( )arcsin( )

a C

u x dx u x u x a Cu x a

u x u xdx Caa u x

+ +

′= + − +

−′

= +−

∫

∫

∫

Formule de algebră

Ecuaţia de gradul doi

• Ecuaţia 2 0ax bx c+ + = .Se calculează 2 4b acΔ = − • Dacă 0Δ > atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula

1 2,2

bx xa

− ± Δ=

• Dacă 0Δ = atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula

1 2 2bx xa

= = −

• Dacă 0Δ < atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula

1 2,2

b ix xa

− ± −Δ=

• 2

1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − − • Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi 2 0ax bx c+ + = :

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

⎧ = + = −⎪⎪⎨⎪ = ⋅ =⎪⎩

• Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: 2 2 21 23 3 31 2

2

3

x x S P

x x S SP

+ = −

+ = −

Funcţia de gradul doi

:f R →R 2( )f x ax bx c= + +

Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul ,2 4bVa a

Δ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este min 4f

aΔ

= −

Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este max 4f

aΔ

= −

Progresii aritmetice

• Formula termenului general:

1 ( 1)na a n r= + − ⋅

• Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:

1( )2

nn

n a aS +=

• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

2a c b+

=

Progresii geometrice

• Formula termenului general: 1

1n

nb b q −= ⋅ • Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:

1( 1)1

n

nb qS

q−

=−

• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: 2b a c= ⋅

Numere complexe z a bi= + este forma algebrică a unui număr complex

( )cos sinz r iθ θ= + este forma trigonometrică a unui număr complex unde:

• 2 2r a b= + este modulul numărului complex

• [0,2 )θ π∈ este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia btga

θ =

2

2 2

1i

a bi a b

z a bi

= −

+ = +

= −

Formula lui Moivre ( ) ( )cos sin cos sinni n i nθ θ θ θ+ = +

Elemente de combinatorică

! 1 2 3 ....!

!( )!

!!( )!

n

kn

kn

n nP n

nAn k

nCk n k

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

=−

=−

Binomul lui Newton:

Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.

0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n k n k k n nn n n n na b C a C a b C a b C a b C b− − −+ = + + + + + +

Formula termenului general din binomul lui Newton este 1k n k k

k nT C a b−+ =

Formule cu logaritmi loga b există dacă 0, 1, 0a a b> ≠ > log c

a b c a b= ⇔ = Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm log 1 0log 1ln1 0ln 1lg1 0lg10 1log log log ( )

log log log

log loglogloglog

1loglog

a

a

a a a

a a a

na a

ca

c

ab

a

e

A B A BAA BB

A n Abba

ba

==

====+ = ⋅

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅

=

=

Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula:

.( ).nr cazuri favorabileP E

nr total cazuri posibile=

Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.

• Legea * este asociativă dacă ( ) ( )x y z x y z∗ ∗ = ∗ ∗ , ,x y z∀ ∈M • Legea * este comutativă dacă x y y x∗ = ∗ ,x y∀ ∈M • Legea * are element neutru e dacă x e e x x∗ = ∗ = x∀ ∈M • Un element x∈M se numeşte simetrizabil dacă x′∃ ∈M astfel incât x x x x e′ ′∗ = ∗ =

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă 3 2 0ax bx cx d+ + + = are rădăcinile 1 2 3, ,x x x atunci avem:

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

bx x xa

cx x x x x xa

dx x xa

⎧ + + = −⎪⎪⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎨⎪⎪ ⋅ ⋅ = −⎪⎩

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă 4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + = are rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x atunci avem:

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4

bx x x xa

cx x x x x x x x x x x xadx x x x x x x x x x x xa

ex x x xa

⎧ + + + = −⎪⎪⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎪⎨⎪ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −⎪⎪⎪ ⋅ ⋅ ⋅ =⎩

Formule de trigonometrie

[ ]

[ ]

2 2

2 2

2 2

sin cos 1sin : 1,1sin( ) sincos : 1,1cos( ) cos

sin cos2

cos sin2

( )( )

sin 2 2sin cos sin 2sin cos2 2

cos2 cos sin1 cos2cos2 2cos 1 cos

2

cos2

x x

x x

x x

x x

x x

tg x tgxctg x ctgx

x xx x x x

x x xxx x x

π

π

+ =

→ −

− = −

→ −

− =

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠− = −− = −

= ⇒ =

= −+

= − ⇒ =

( )

( )

2 2

2

2

1 cos21 2sin sin2

sin 3 sin (3 4sin )cos3 cos (4cos 3)

sin( ) sin cos sin cossin( ) sin cos sin coscos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin

1

xx x x

x x xx x x

a b a b b aa b a b b aa b a b a ba b a b a b

tga tgbtg a btga tgb

tgatg a b

−= − ⇒ =

= −

= −

+ = +− = −+ = −− = +

++ =

− ⋅

− =1

sincoscossin

tgbtga tgb

xtgxxxctgxx

−+ ⋅

=

=

formula fundamentală a trigonometriei

funcţia sin este impară

funcţia cos este pară

Formule pentru transformarea sumelor in produse

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2sin cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

p q p qp q

p q p qp q

p q p qp q

p q p qp q

+ −+ =

− +− =

+ −+ =

+ −− = −

Formule pentru transformarea produselor in sume

sin( ) sin( )sin cos2

cos( ) cos( )cos cos2

cos( ) cos( )sin sin2

x y x yx y

x y xx y y

x y xx y

+ + −⋅ =

+ + −⋅ =

− − +⋅ =

y

3

2

3

2

331 3

333 1

tgx tg xtg xtg x

ctg x ctgxctg xctg x

−=

−

−=

−

2

2

2

2

2

2sin11cos12

11

2

txttxt

ttgxttctgxt

⎧ =⎪ +⎪

−⎪ =⎪ +⎨⎪ =⎪ −⎪ −⎪ =⎩

unde 2xt tg=

2

2

2

2

2

2sin 211cos2122

112

2

tgxxtg xtg xxtg x

tgxtg xtg xtg xctg xtgx

⎧ =⎪ +⎪⎪ −

=⎪ +⎪⎨⎪ =⎪ −⎪

−⎪ =⎪⎩

Ecuaţii trigonometrice fundamentale 1)Ecuaţia sin x a= are soluţii dacă şi numai dacă [ ]1,1a∈ − . In acest caz soluţiile sunt

{ }( 1) arcsin /kx a kπ∈ − + ∈k .

2)Ecuaţia cos x b= are soluţii dacă şi numai dacă [ ]1,1b . ∈ −In acest caz soluţiile sunt

{ }arccos 2 /x b k kπ∈ ± + ∈ . 3)Ecuaţia are soluţii ∀ ∈ . tgx c= cSoluţiile sunt { }arc /x tgc k kπ∈ + ∈ . 4)Ecuaţia are soluţii ∀ ∈ . ctgx d= dSoluţiile sunt { }arc /x ctgd k kπ∈ + ∈ .

[ ]2

2

sin(arcsin )

sin(arccos ) 11.1

cos(arccos )

cos(arcsin ) 1

x x

x xx

x x

x x

= ⎫⎪

= − ⎪∀ ∈ −⎬= ⎪⎪= − ⎭

Formule de geometrie

1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:

2 2 2cateta cateta ipotenuza+ = 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ ⋅

3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este: 2 34

lAria =

4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):

sin2

AB AC AAria ⋅ ⋅=

5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): ( )( )( )S p p a p b p c= − − − formula lui Heron

unde 2

a b cp + += este semiperimetrul.

6)Aria triunghiului dreptunghic este:

2cateta catetaAria ⋅

=

7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

2sin sin sin

a b c RA B C= = =

unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:

2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= − + −

9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este

1 2 1 2,2 2

x x y yM + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10)Vectorul de poziţie al unui punct:

Dacă A(x,y) atunci OA x i y j= ⋅ + ⋅uuur r ur

http://matematica.noads.biz11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB

uuur este dat de formula:

2 1 2 1( ) ( )AB x x i y y j= − + −uuur r r

12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:

1 1

2 1 2 1

x x y yx x y y− −

=− −

sau cu formula:

1 1

2 2

11 01

x yx yx y

=

13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul 0 0( , )A x y şi are panta dată m Este dată de formula:

0 0( )y y m x x− = −

14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă

1 1

2 2

3 3

11 01

x yx yx y

=

15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula

12ABCAΔ = ⋅ Δ

unde Δ este următorul determinant 1 1

2 2

3 3

111

x yx yx y

Δ =

16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă 0 0( , )A x y este un punct şi : 0d ax by c+ + = este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula:

0 0

2 2( , )

ax by cdist A d

a b

+ +=

+

17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:

2 1

2 1

y ymx x−

=−

18)Condiţia de coliniaritate a doi vectori in plan: Fie 1 1 1v a i b j= +

ur r r şi 2 2 2v a i b j= +

uur r r doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor 1v

ur şi 2v

uur este:

1 1

2 2

a ba b

=

19)Condiţia de perpendicularitate a doi vectori in plan: Fie 1 1 1v a i b j= +

ur r r şi 2 2 2v a i b j= +

uur r r doi vectori in plan.Avem:

1 2 1 2 1 2 0v v a a b b⊥ ⇔ ⋅ + ⋅ =ur uur

(produsul scalar este 0) 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte 1d şi 2d sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică:

1 21 2 d dd d m m⇔ = Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: 1 1 1 1: 0d a x b y c+ + = şi 2 2 2 2: 0d a x b y c+ + =

atunci dreptele sunt paralele dacă 1 1

2 2

a ba b

= .

21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte 1d şi 2d sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu 1− adică:

1 21 2 1d dd d m m⊥ ⇔ ⋅ = −

Funcţia cosinus cos:R [ 1;1]→ − Exemple:

1cos3 2

cos 1cos0 1

cos 02

π

π

π

=

= −=

=

3 2cos4 2

3cos 02

cos2 1

7 3cos6 2

π

π

π

π

= −

=

=

= −

2250= 54π

00

3600= 2π -1

900=2π

1

3150= 74π

3000= 53π

2700= 32π

2400= 43π

3300= 116π 2100= 7

6π

1800=π

1500= 56π

1350= 34π

1200= 23π

600=3π

450=4π

300=6π

0

12

22

32

12

− 22

− 32

−

Funcţia sinus

sin:R [ 1;1]→ − Exemple:

3sin3 2

sin 0sin 0 0

sin 12

π

π

π

=

==

=

3 2sin4 2

3sin 12

sin 2 07 1sin6 2

π

π

ππ

=

= −

=

= −

00

3600= 2π

-1

900=2π

1

3150= 74π

3000= 53π

2700= 32π

2400= 43π

2250= 54π

3300= 116π 2100= 7

6π

1800=π

1500= 56π

1350= 34π

1200= 23π

600=3π

450=4π

300=6π

0

12

22

32

12

−

22

−

32

−

Funcţia tangentă

1500= 56π

450=4π

300=6π

3300= 116π

3150= 74π

00

3600= 2π

900=2π

3000= 53π

2700= 32π

2400= 43π

2250= 54π

2100= 76π

1800=π

1350= 34π

1200= 23π

600=3π

1

33

33

−

1−

3−

0

: \ /2

tg k kπ π⎧ ⎫+ ∈ →⎨ ⎬⎩ ⎭

Exemple: 3

6 3

33

tg

tg

π

π

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2tg π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nu are sens

5 33 3

0

tg

tg

π

π

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠=

3