formule logica computationala

8/12/2019 Formule Logica Computationala

http://slidepdf.com/reader/full/formule-logica-computationala 1/15

Aceste definiţii pot fi concentrate în urmǎtoarele tabele de adevǎr.

conjuncţia disjuncţia

implicaţia echivalenţa

Negaţia

v( p) v(q) v( p∧q)

1 1 1

1 0 00 1 00 0 0

v( p) v(q) v( p∨q)

1 1 1

1 0 10 1 10 0 0

v( p) v(q) v( p⇒q)1 1 11 0 0

0 1 10 0 1

v( p) v(q) v( p⇔q)1 1 11 0 00 1 00 0 1

v(p) v( ¬ p)

1 00 1



Urmǎtoarele propoziţii sunt adevǎrate, pentru orice propoziţii p, q, r :

1. ( p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)!. ( p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)". #( p ∨ q) ∨ r $ ⇔ # p ∨ (q ∨ r )$%. #( p ∧ q) ∧ r $ ⇔ # p ∧ (q ∧ r )$

". ( p ∨ p) ⇔ p%. ( p ∧ p) ⇔ p&. # p ∧ (q ∨ r )$ ⇔ #( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )$'. # p ∨ (q ∧ r )$ ⇔ #( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )$. # p ∨ ( p ∧ q)$ ⇔ p. # p ∧ ( p ∨ q)$ ⇔ p*. p ∨ ¬ p10. ¬( p ∧ ¬ p)11. ¬( p ∧ q) ⇔ (¬ p ∨ ¬q)1!. ¬( p ∨ q) ⇔ (¬ p ∧ ¬q)1". ( p ∨ q) ⇔ ¬(¬ p ∧ ¬q)1%. ( p ∧ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q)1&. ¬¬ p ⇔ p1'. ( p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)1. ( p ⇔ q) ⇔ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)1. ¬( p ⇒ q) ⇔ (¬q ∨ ¬ p)

+emplu

1.-a se arate ca este adevarata urmatoarea epresie:v(¬( p∧q))⇔v(¬ p∨¬q)emonstratie:

v( p) v(q) v( p∧q) v(¬( p∧q)) v(¬ p) v(¬q) v(¬ p∨¬q) v(¬( p∧q))⇔v(¬ p∨¬q)1 1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 0 1 1



0 0 0 1 1 1 1 1

Exemplul 1. /onsiderm în mulţimea

Ln

−

−

−− 1,

1

!...,

1

!,

1

1,0

n

n

nn

urmtoarele operaţii:

x ∨ y max( x, y ) x ∧ y min( x, y )

¬ x 1 − x.efinim funcţiile σ1,2, σn31 : L → L prin urmtorul tablou:

x σ1( x) σ!( x) ........ σn3!( x) σn31( x)0 0 0 ........ 0 0

1

1

−n

0 0 22. 0 1

1

!

−n

0 0 22. 1 1

.

.

.

0 2.. 22. 1 1

1

!

−

−

n

n 0 1 22.. 1 1

1 1 1 ......... 1 1

-e poate verifica u4or c Ln este o al5ebr 6ucasie7icz n3valent.

8. 8n baza eemplului 1, lecţia !.!, para5raful !.!, detaliem cazul n ".Rezolvare:/onsiderm în mulţimea

L" {0, ½ , 1 }operaţiile lui L" scrise sub form de tabele:

x

y

0 ½ 1 x

y

0 ½ 1 x ¬ x x σ1( x) σ!( x)

0 0 ½ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0



½ ½ ½ 1 ½ 0 ½ ½ ½ ½ ½ 0 11 1 1 1 1 0 ½ 1 1 0 1 1 1

x ∨ y x ∧ y ¬ x

-e poate verifica u4or c L" , cu aceste operaţii, este o al5ebr 6ucasie7icz "3valent.

9odulul ":Definiţia 3.3.7 propoziţie ; din !" este logic adevărată# sau tautologie, dac pentru

orice valorizare de adevr V , V (;) a. Acest lucru se noteaz ⊨;. <om scrie ⊭; ca sindicm c ; nu este o tautolo5ie, adic eist o valorizare de adevr V pentru care V (;) f .

Astfel, pentru propoziţiile compuse ¬ A, A ∨ B, A ∧ B, A = B 4i A > B, avem

urmtoarele tabele de adevr:

A ¬ A A B A ∨ B A B A ∧ B

a f a a a a a a

f a a f a a f f

f a a f a f

f f f f f f

A B A= B A B A> B

a a a a a a

a f f a f f f a a f a f

f f a f f a

Exemplul 3.$.3%i& ?ropoziţia (( A = B ) = A ) = A este o tautolo5ie:

A B A= B

((A= B)= A )

((A= B)= A)= A

a a a a a

a f f a a

f a a f a

f f a f a

%ii& propozitia ( P = Q ) ∧ ( P ∧ ¬Q ) este nerealizabil:

P Q ¬Q P = Q P ∧ ¬Q ( P = Q) ∧ ( P ∧¬Q)



a a @ a @ @

a @ a @ a @ @ a @ a @ @ @ @ a a @ @

'(servaţia 3.$.$ ?e baza definiţiei ".". avem:(i) propoziţie este tautolo5ie dac 4i numai dac ne5aţia ei nu este realizabil(ii) propoziţie este realizabil dac 4i numai dac ne5aţia ei nu este o tautolo5ie(iii) propoziţie care este tautolo5ie este realizabil în timp ce o propoziţie realizabil nu

este neaparat tautolo5ie(iv) +ist anumite tautolo5ii de baz ce sunt frecvent utilizate:

(1) ¬( A ∧ B) > (¬ A ∨ ¬ B) 6e5ea lui e 9or5an(!) ¬( A ∨ B) > (¬ A ∧ ¬ B) 6e5ea lui e 9or5an(") ¬(¬ A) > A 6e5ea dublei ne5aţii(%) ( A = B) > (¬ B = ¬ A) 6e5ea contrapoziţiei(&) ( B = C ) = (( A = B) = ( A = C )) ?rima le5e a silo5ismului(') ( A = B) = (( B = C ) = ( A = C )) A doua le5e a silo5ismului() ( A = ( B = C )) > (( A ∧ B) = C ) 6e5ea transportrii

() A ∨ ¬ A 6e5ea terţului eclusDefiniţie ?ropoziţia ecivalent ce rezult se spune a fi Forma ormal !i"#unctivă

( F!). Bie F o propoziţie astfel încCt atomii lui F sunt A1,2, An. Borma 5eneral a lui F în F! este:

F!( F ): ( 11 A ∧2∧ 1n

A ) ∨ ( !1 A ∧2∧ !n

A ) ∨ 2∨ ( $ A

1∧2∧ $ n A ),

unde i # A ∈D A1,2, AnE sau i #

A ∈(¬ A1,2,¬ An), adic i # A

sunt atomi sau ne5area unor atomi

din F 4i în fiecare component conFuctiv a F!( F ), fiecare atom a lui F apare numai osin5ur dat, ne5at sau nene5at.

/onceptul dual al lui F! este numit Formă ormal Con#unctivă ( FC ) 4i areurmtoarea form:

FC ( F ): ( 11 A ∨2∨ 1n

A ) ∧ ( !1 A ∨2∨ !n

A ) ∧ 2∧ ( $ A

1∨2∨ $ n A ).

Exemplul 3.).3 - se 5seasc F! a propoziţiei F cunoscCndu3se tabela de adevrredus a lui F :

A B C F 1 a a a a

! a a f f

" a f a f

% a f f f

& f a a a

' f a f f



f f a f

f f f a

<om urma metoda descris în teorema ".'.!:

Pa"ul 1: Gsim toate liniile care au un a în ultima coloan. Aceste linii sunt 1,&,.

Pa"ul !: F!( F ) H t 1 ∨ t & ∨ t H ( A ∧ B ∧ C ) ∨ (¬ A ∧ B ∧ C ) ∨ (¬ A ∧ ¬ B ∧ ¬C ).<om enunţa acum dou corolare interesante 4i utile referitoare la diverse mulţimi adecvate deconectori lo5ici.

(1) 8n conformitate cu definiţia inductiv a propoziţiilor, tablourile sematice atomice ale propoziţiilor ;, ;1, ;! sunt cele prezentate în tabelul urmtor:

aA @ A a(;1∧;!) @(;1 ∧ ;!) I J K a;1 @;1 @;!

Ia;!

1a) 1b) !a) !b)

a( ¬; ) %( ¬; ) a(;1∨;!) @(;1∨ ;!)I I L K I@; a; a;1 a;! @;1

I @;!

"a) "b) %a) %b)

a(;1 =;! ) @(;1 =;! ) a(;1>;! ) @(;1>;! )L K I L K L K

@;1 a;! a;1 a;1 @;1 a;1 @;1

I I I I I@;! a;! @;! @;! a;!

&a) &b) 'a) 'b)

Definiţia 3.7.3%1& odurile unui tablou semantic sunt toate formulele cu semn care apar în tablou.%*&

Un nod al unui tablou semantic se nume4te folo"it

dac apare ca ori5ine a unuitablou semantic atomic în caz contrar, nodul se nume4te nefolo"it&%3& ramur a unui tablou semantic se nume4te contradictorie dac pentru o anumit

propoziţie ;, a; 4i @σ sunt noduri ale ramurii respective.%$& Un tablou semantic se nume4te complet dac nici una din ramurile

necontradictorii din tablou nu are noduri nefolosite în caz contrar se nume4te tablou incomplet&

Un tablou semantic este contradictoriu dac toate ramurile sale sunt contradictorii



Definiţia 3.7.) ' demon"traie Bet a unei propoziţii * este un tablou semanticcontradictoriu complet cu ori5inea @ * . Un tablou semantic contradictoriu complet cu ori5ineaa* se nume4te o re"pingere Bet a lui * .

Defini+ia 3.,.1 Un literal este orice atom sau ne5aţia acestuia.

e eemplu: ¬ A+ B+ ¬C sunt literali.

Mtim c putem dezvolta orice propoziţie din !" într3o form normal conFunctiv -N,

care este ecivalent cu propoziţia iniţial. component a -N este de fapt o disFuncţie deliterali, astfel c în fiecare disFuncţie nici un literal nu apare mai mult decCt o dat.?rezentm acum un al5oritm pentru construcţia unei -N pentru o propoziţie dat, care

este mult mai rapid decCt construirea tabelei de adevr a propoziţiei, urmat de ale5ereacoloanelor etc..

Acest al5oritm rezult a fi o aplicaţie bazat pe:%i& le5ile lui e 9or5an:

¬ ( A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B 4i ¬ ( A ∨ B) ↔ ¬ A ∧ ¬ B

%ii& proprietţile de asociativitate ale lui ∧ 4i ∨:( A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ ( B ∧ C ) 4i ( A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ ( B ∨ C )

%iii&

proprietţile de comutativitate ale lui∧

4i∨

: A ∧ B ↔ B ∧ A 4i A ∨ B ↔ B ∨ A%iv& proprietţile de distributivitate ale lui ∧ faţ de ∨ 4i ale lui ∨ faţ de ∧:

A ∧ ( B ∨ C ) ↔ (A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ) 4i A ∨ ( B ∧ C ) ↔ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C )

%v& propoziţiile: A ∨ A ↔ A A ∧ A ↔ A A ∧ ( B ∨ ¬ B) ↔ A

A ∨ (B ∧ ¬ B) ↔ A 4i ¬¬ A ↔ A

precum 4i pe teorema substituţiei ecivalenţelor. (/a eerciţiu demonstraţi c propoziţiile de maisus sunt tautolo5ii.)

Aceast metod va fi prezentat cu aFutorul unui eemplu.

Exemplul 3.,.* : ezvoltaţi propoziţia , într3o -N unde:, : ¬ (( A ∨ B) ∧ (¬ A ∨ ¬ B) ∧ C

Pa"ul 1 : 9utm ne5aţiile spre interiorul parantezelor folosind le5ile lui e 9or5an:a: , ↔ #¬ ( A ∨ B) ∨ ¬ (¬ A ∨ ¬ B)$ ∧ C



b: , ↔ # (¬ A ∧ ¬ B) ∨ (¬¬ A ∧ ¬¬ B)$ ∧ C

Pa"ul ! : Bolosim proprietţile de asociativitate 4i comutativitate pentru a aduce la un locliteralii aceluia4i atom. Apoi putem simplifica dublele ne5aţii, termenii dubli de forma A ∨ A 4i A ∧ A precum 4i termenii inutili de forma B ∧ ¬ B sau B ∨ ¬ B folosind teorema substituţieiecivalenţelor:

- ↔ #(¬ A ∧ ¬ B) ∨ ( A ∧ B)$ Pa"ul " /onform proprietţilor de distributivitate avem:

, ↔ #((¬ A ∧ ¬ B) ∨ A) ∧ ((¬ A ∧ ¬ B) ∨ B)$ ∧ C

/ontinum prin repetarea pa4ilor al doilea 4i al treilea. pCn ce stabilim -N final: Pa"ul 1N : , ↔ ((¬ A ∧ ¬ B) ∨ A) ∧ ((¬ A ∧ ¬ B) ∨ B) ∧ C

Pa"ul "O : ↔ (¬ A ∧ A) ∧ ( ¬ B ∨ A) ∧ (¬ A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ B) ∧ C

Pa"u- !O : ↔ (¬ B ∨ A) ∧ (¬ A ∨ B) ∧ C

care este -N a lui , pe care o cautm.Ultima form a lui , este o conFuncţie de disFuncţii de literali 4i este ecivalent cu

formula iniţial. Acest al5oritm se termin în 5eneral cCnd se obţine urmtoarea forma a lui , :( A11∨ A!

1∨2.∨ AP1)∧2.∧( A1

ν∨ A! ν∨2.∨ AP

ν) (∗)unde elementele lui D A1

1, A!1,2., A$

1,2., A1 ν, A!

ν,2., A$ νE sunt literali.

8n contetul metodei de demonstraţie prin rezoluţie, eprimarea unei propoziţii ca omulţime de literali se vde4te foarte util. e eemplu, propoziţia din prima parantez din (Q)devine:

D A1, A!,2, A νE/onsiderm c o astfel de mulţime reprezint o disFuncţie de literali 4i anume, o

propoziţie din !".<om da acum definiţia ri5uroas a formei unei propoziţii eprimat pe baza teoriei

mulţimilor.

Defini+ia 3.,.3 isFuncţia unui numr finit de literali poate fi reprezentat conformteoriei mulimilor ca o mulţime ale crei elemente sunt literalii în cauz. Aceast mulţime senume4te clau.ă. Astfel, o clauz este ecivalent cu o propoziţie disFunctiv din !".

in motive tenice vom introduce 4i noţiunea de clau.ă vidă, o clauz care nu conţineliterali 4i este întotdeauna neverifica/ilă& /lauza vid se noteaz prin .

Definiţia 3.,.$ /onFuncţia unui numr finit de clau.e poate fi reprezentat conformteoriei mulimilor ca o mulţime ale crei elemente sunt aceste clauze. Aceasta mulţime senume4te mulime de clau.e. mulţime de clauze constituie astfel o conFuncţie de disFuncţii, înspeţ o propoziţie conFunctiv din !".

Exemplul 3.,./ 9ulţimea de clauze:

D 1

E,D B A , !

E,D C B ¬¬ ,"

ED ! E

reprezint propoziţia:

1

)(( B A∨ ∧

!

)( C B ¬∨¬ ∧

"

! )



Exemplul 3.,.11 - considerm urmtoarele clauze:D¬ A, BED A, C E

AplicCnd rezoluţia, putem deduce: D B, C EExemplul 3.,.1$ Bie , o mulţime de clauze:

- D 1

E,,D C B A ¬¬ , !

E,D ! B , "

E,D ! A ¬¬ E

AplicCnd re5ula rezoluţiei perecilor de clauze ale lui , , avem:1 D A, ¬ B, ¬C E ! D B, !E " D¬ A, ¬ !E! D B, !E " D¬ A, ¬ !E 1 D A, ¬ B, ¬C E% D A, !, ¬C E & D B, ¬ AE ' D¬ B, ¬C , ¬ !E

4i, în final:

0(, ) D 1

E,,D C B A ¬¬ , !

E,D ! B , "

E,D ! A ¬¬ , %

E,,D C ! A ¬ , &

E,D A B ¬ , '

E,,D !C B ¬¬¬ E

Exemplul 3.,.1, -e d urmtoarea propoziţie:-: (( A ↔ ( B → C )) ∧ ( A ↔ B) ∧ ( A ↔ ¬C )

emonstraţi c , nu este verificabil.Demons+raţie Pa"ul 1 : -e stabile4te -N a lui , :

, ↔ (( A→( B→C ))∧(( B→C )→ A)∧( A→ B)∧( B→ A)∧( A→¬C )∧(¬C → A)

↔ ( 1

C B A ∨¬∨¬ ) ∧ ( !

A B∨ ) ∧ ( "

AC ∨¬ ) ∧ ( %

B A∨¬ ) ∧ ( &

A B∨¬ ) ∧

∧ ( '

C A ¬∨¬ )∧(

AC ∨ )

Pa"ul

!

: -e alctuie4te mulţimea de clauze corespunztoare: , DD 1

,, C B A ¬¬ E,D!

, A B E,D "

, AC ¬ E,D %

, B A¬ E,D &

, A B¬ E,D '

, C A ¬¬ E,D

, AC

EE

Pa"ul " : -e stabilesc feluriţii rezolvenţi:. D AE din ! 4i &

*. D¬ A, ¬ BE din 1 4i '10.D ¬ AE din % 4i *11. din 4i 10

(vezi 4i definiţia ".*.". 6iteralul ¬ A este eliminat, iar clauza 11 nu conţine nici

un literal). 8ntrucCt clauza vid aparţine rezolventului conform 11, mulţimea de clauze ,nu este verificabil. Astfel, propozitia , nu este verificabilExemplul 3.10.) Aflaţi o valorizare de adevr V astfel încCt:

f (( A → B) ↔ ( A ∨ B))



a( A → B) f ( A → B)

f ( A ∨ B) a( A ∨ B)

fA aB aA

fA fA fB

fB fB aA aB

* 1 * "

⊗ ⊗ * ! * %

Ramurile * ! 1i * % sunt contradictorii. ?utem folosi oricare din ramurile necontradictorii * 1 4i * " pentru a aplica lema lui SintiPPa. Avem, de eemplu, valorizrile de adevr V 1 4i V "cu:

V 1( A) f V 1( B) f 4i V "( A) a V "( B) f astfel încCt:

V 1(( A → B) ↔ ( A ∨ B)) V "(( A → B) ↔ ( A ∨ B)) f

Asta înseamn c am 5sit dou valorizri de adevr care dau propoziţiei( A → B) ↔ ( A ∨ B) valoarea de adevr f&

1. Bie propoziţiile:A1: T" este numr primA!: T1& se împarte cu "A": T! se împarte cu "A%: T1" se împarte cu ".a) -tabiliţi o valorizare V pentru propoziţiile de mai sus.

b) Bie 2 valorizarea de adevr care îl etinde pe V . - se calculeze( ).)()( %"!1 A A A A2 ∨→∧

Rezolvare:a) Bie V ( A1)a, V ( A!)a, V ( A") f 4i V ( A%) f . b) ( ) ( )

!1%"!1 )()( A A2 A A A A2 ∧=∨→∧ VW ( )" %2 A A∨ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )%"!1%" V AV AV AV AV A A2 ∪>∩=∨ ( ) ( ) .VV f f a f f aa =>=∪>∩=

*. emonstraţi c urmtoarea propoziţie este o tautolo5ie: P ( ) A A A →¬∧

RezolvareBormm tabloul:

A A¬ A A ¬∧ P

a f f a

f a f a

3. emonstraţi c urmtoarea propoziţie este o contradicţie:



P3 A A ¬∧

Rezolvare:Bormm tabloul:

A A¬ P3 A A ¬∧

a f f f a f

$. !emon"trai că următoarele propo.iii "unt logic ecivalente4( ) B A∧¬ 1i B A ¬∨¬ 5

Rezolvare

Bormm tabloul: A B ( ) B A∧¬ B A ¬∨¬

a a f f

a f a a

f a a a

f f a a

/. ac , D C A B A →∨ , E s se demonstreze c , C B∨ .

Rezolvare propoziţie ; este consecinţ a unei mulţimi de propoziţii , ∈6? dac 4i numai dac

pentru orice valorizare de adevr 2 a lui , 4i pentru orice X∈, , astfel încCt 2 (X)a, 2 (;)a.Adic: pentru fiecare valorizare de adevr a propoziţiilor lui , pentru care ele sunt simultan

adevrate, ; este adevrat. A B C B A∨ (6 7 ) C A→ (6 8 ) C B∨ (9)

a a a a a a

a a f a f a

a f a a a a

a f f a f f

f a a a a a

f a f a a a

f f a f a a

f f f f a f

). !acă ,3D ( ) ( ) !C B A ! BC A ∨∧∨↔↔ ,, E "ă "e demon"tre.e că

, ( ) ( ) !C B A ∧∨∧ &

RezolvareBormm tabloul:



A B C ! C A↔ ! B ↔ B A∨ !C ∨( )

( ) !C

B A

∨

∧∨

B A∧ !C ∧( )

( ) !C

B A

∧

∨∧

a a a a a A a a a a a a

a a a f a F a a a a f a

a a f a f A a a a a f a

a a f f f F a f f a f aa f a a a F a a a f a a

a f a f a A a a a f f f

a f f a f F a a a f f f

a f f f f A a f f f f f

f a a a f A a a a f a a

f a a f f F a a a f f f

f a f a a A a a a f f f

f a f f a F a f f f f f

f f a a f F f a f f a a

f f a f f A f a f f f f

f f f a a F f a f f f f

f f f f a A f f f f f f

7. -a se determine forma normal disFunctiva pentru o propoziţie 4tiind ca tabela sa deadevr (redusa) este:

A B C ,

a a a a

a a f f

a f a f

a f f f

f a a a

f a f f

f f a f

f f f a

RezolvareAvem conform tabelei de adevr redus (liniile 1, & 4i ):

BY(, ) ( A ∧ B ∧ C ) ∨ ( ¬ A ∧ B ∧ C ) ∨ ( ¬ A∨ ¬ B ∨ ¬ C )

8. -a se determine forma normal conFunctiva pentru propoziţia:

P 3 ¬ ((A∨ B) ∧ ( ¬ A∨ ¬ B)) ∧ C



Rezolvare

P3 ¬ ((A∨ B) ∧ ( ¬ A∨ ¬ B)) ∧ C

# ¬ (A∨ B) ∨ ¬ ( ¬ A∨ ¬ B)$ ∧ C

#( ¬ A ∧ ¬ B) ∨ ( A ∧ B)$ ∧ C

#( ¬ A ∧ ¬ B) ∨ A$ ∧ #( ¬ A ∧ ¬ B) ∨ B$ ∧ C

( ¬ A ∧ ¬ B ∧ C ) ∨ ( A ∧ B ∧ C ) BY( P )

( ¬ A ∨ A) ∧ ( ¬ B∨ A ) ∧ ( ¬ A ∨ B) ∧ ( ¬ B ∨ B) ∧ C

( ¬ B∨ A ) ∧ ( ¬ A ∨ B) ∧ C BY/( P )

eci BY/( P ) D D ¬ A+B E,D ¬ B+AE,DC E E

,. -a se construiasc tablourile semantice pentru propoziţia: -: (A ∧ ¬ A) ∨ (Z∨ (/ ∧ ))

Rezolvare:

a((A ∧ ¬ A) ∨ (Z∨ (/ ∧ )))

a(A ∧ ¬ A) a(Z∨ (/ ∧ ))

aA aZ a(/ ∧ )

a( ¬ A) a/

f A a

(ramura contradictorie)

4i

f (A ∧ ¬ A) ∨ (Z∨ (/ ∧ ))

f (A ∧ ¬ A)



f (Z∨ (/ ∧ )

f A f ( ¬ A)

f Z aA f (/ ∧ ) f Z

f / f f (/ ∧ )P1 P!

f / f P" P%

-unt % ramuri: P1,P!,P",P%.

10. - presupunem c urmtoarele propoziţii sunt adevrate.(1) :eorge o iu/e1te pe ;aria "au :eorge o iu/e1te pe <caterina .(!) !acă :eorge o iu/e1te pe ;aria atunci el o iu/e1te pe <caterina.?e cine iube4te Geor5e de fapt[

Rezolvare. - notm :eorge o iu/e1te pe ;aria cu ; 4i \:eorge o iu/e1te pe

<caterina cu * . Atunci,(1) H ; ∨ * 4i (!) H ; → * H ¬ ; ∨ * .

Bormm propoziţia A H ( ; ∨ * ) ∧ (¬ ; ∨ * ) H (1) ∧ (!),

care conform ipotezei, este adevrat. orim s aflm dac :eorge o iu/e1te pe <caterina sau,

ecivalent, daca*

. - presupunem c nu o iube4te, adic @ *

. Atunci putem construi arborelesemantic cu ori5inea @ * .

@ *

I a(( ; ∨ * ) ∧ (¬ ; ∨ * ))

a( ; ∨ * )

a(¬ ; ∨ * ) L K

@ ; a* L K L K

a; a* a; a*

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

8n pasul ! am adu5at a( ( ; ∨ * ) ∧ (¬ ; ∨ * )), deoarece (1) 4i (!) sunt, conform presupunerii iniţiale, adevrate. 8ncepCnd cu a* , obţinem un tablou semantic contradictoriu, ceea



ce înseman c propoziţia * este întodeauna adevrat, cu alte cuvinte :eorge o iu/e1te pe

<caterina.ac construim un tablou semantic cu ori5inea în @ ; , vom obţine un tablou semantic

necontradictoriu 4i astfel nu vom putea concluziona dac :eorge o iu/e1te pe ;aria sau nu.

11. emonstraţi c propoziţia ¬ B este demonstrabil prin rezoluţie din mulţimea:, DD A, ¬ BE, D ¬ A, ¬ B, ¬C E, D¬ A, ¬ B, C EE

Rezolvare. Avem1.D A, ¬ BE!.D¬ A,¬ B,¬C E".D¬ A, ¬ B+ C E%.D¬ A,¬ BE din ! 4i "&. D¬ BE din % 4i 1

emonstraţia prin rezoluţie pe care o cutm este succesiunea clauzelor 1,!,",% 4i &.emonstraţia ar fi putea fi înfptuit 4i dup cum urmeaz:Aplicm rezoluţia asupra lui:

, 1 DD 1

, B A ¬ E, D !

,, C B A ¬¬¬ E, D "

,, C B A ¬¬ E, D %

B EE , ∪ D BE

pentru a da:&. D AE din 1 4i %'. D¬ A, ¬ BE din ! 4i ". D¬ AE din % 4i '. din & 4i

Anume avem , ∪ D BE] 0 . 8ntrucCt re5ula rezoluţiei este o re5ul derivabil în !" dup cumam vzut în eemplul ".*.10, avem de asemenea , ∪ D BE] . ar, în acest caz, avem, conformteoremei deducţiei "..', c , ] B→ .

/onform tautolo5iei ( B → ) ↔ ¬ B+ putem concide , ] ¬ B cu alte cuvinte ¬ B estedemonstrabil din , .

formule logica computationala

Documents