geometrie computationala

Upload: totoreanf

Post on 14-Jul-2015

196 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

GEOMETRIECOMPUTATIONALAMihai-SorinStupariuSem. I,2007-2008Cuprins1 Materialpregatitor 31.1 Elementedealgebraliniar a,geometriean a sieuclidiana . . . 31.2 Curbeparametrizate. Curbepolinomiale. Schimbaridepara-metru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Vectortangent,vectoraccelerat ie. Regularitate . . . . . . . . 61.4 Racorddeclas a ckal unorarcedecurb a. Continuitategeo-metric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Curbeplane(curbe2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Curbe3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Interpolarepolinomiala 132.1 Segmente. Interpolareliniar a(ana) . . . . . . . . . . . . . . 132.2 AlgoritmulluiAitken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 CurbeBezier 163.1 AlgoritmuldeCasteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 FormaBernsteinacurbelorBezier . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Proprietat ialecurbelorBezier 224.1 Propriet at ielementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 DerivateleuneicurbeBezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 ModicareauneicurbeBezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Generareaunei curbeBeziercupoligoanedecontrol diferite(m arireagradului) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5 Subdivizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Cubicespline 285.1 Racorduladouaarcedecurb aBezier . . . . . . . . . . . . . . 2815.2 Cubicespline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31AProiecte 35Bibliograe 382Capitolul1Materialpregatitor1.1 Elemente de algebra liniara, geometrieanasieuclidianaNot iuni dealgebraliniara: spat iuvectorial, vector, combinat ieliniar a,liniar(in)dependent a, sistemdegeneratori, baza, reper, dimensiuneaunuispat iuvectorial,componenteleunuivector ntr-unreper,matricedetrecerentre repere, repere orientate la fel (opus), reper drept (stramb), produs sca-lar, norma unui vector, versorul unui vector nenul, spat iu vectorial euclidian,vectoriortogonali,bazaortonormat a,reperortonormat.Not iuni de geometrie ana:vectorul determinat de dou a puncte, combinat iean a, an (in)dependent a, acoperirea an a a unei mult imi de puncte, dreaptadeterminat ade douapuncte distincte, reper cartezian, coordonatele unuipunct ntr-un reper cartezian, sistem de axe asociat unui reper cartezian dinRn, raportul atrei punctecoliniare, segmentul determinatdedou apuncte,mult ime convex a, nchiderea (nfasuratoarea) convex a a unei mult imi, aplicat iean a(exemple: translat ie,omotetie,proiect ie,simetrie).Not iuni de geometrie euclidiana: distant adintredou apuncte, repercartezianortonormat,izometrie,proiect iecentrala.Detaliipotgasite n[5],[7],[12][13].1.2 Curbe parametrizate. Curbe polinomi-ale. SchimbarideparametruDenit ia1.1FieI Runinterval. Ocurbaparametrizatadeclas ackeste datade oaplicat ie ck-diferent iabil ac : IRn. Aplicat iac senumesteparametrizare, iar mult imeaM:=Im(c) senumesteimaginegeometricaacurbei.3Dac an = 2curbasenumesteplana(curba2D),iardac an = 3curbasenumestestramba(curba3D).Exemplul1.2(i)Curbelec1: R R2, c1(t) = (2 + 4t + 1, 2 4t);c2: R R2, c2(t) = (4 3 cos t, 3 + 2 sin t);c

2: R R2, c

2(t) = (4 3 cos 3t, 3 + 2 sin 3t);c

2: R R2, c

2(t) = (4 3 cos(1 t), 3 + 2 sin(1 t));c3: R R2, c3(t) = (2 t + t2 t3+ 6t4, 1 + t + 2t2+ 3t3);c4: R R2, c4(t) = (t2 2t + 2, 2t2 6t + 4) == t2(1, 0) + 2t(1 t)(1, 1) + (1 t)2(2, 4);c5: [0, 1] R2, c5(t) = (t3+ 3t, 3t2+ 3t) == t3(4, 0) + 3t2(1 t)(2, 1) + 3t(1 t)2(1, 1) + (1 t)3(0, 0)suntcurbeparametrizateplanedeclasa c.(ii)Curbac6: [1, 1] R2,c6(t) = (t, t[t[)estedeclasa c1,darnuestedeclas a c2, iarcurbac

6:[1, 1] R2, c

6(t)=(t, [t[)estedeclas a c0, darnuestedeclas a c1.(iii)Curbelec7: R R3,c7(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) sic8: [0, 1] R3, c8(t) = (2t3+ 3t2, 4t3 6t2+ 3t, t3) == t3(1, 1, 1) + 3t2(1 t)(1, 0, 0) + 3t(1 t)2(0, 1, 0) + (1 t)3(0, 0, 0)suntcurbestr ambedeclas a c.Denit ia1.3(i)Ocurbapolinomialadegraddesteocurb adenit adeoparametrizarepolinomial a, i.e. deoaplicat iec=(c1, . . . , cn):I Rncu proprietatea c a c1, . . . , cnsunt funct ii polinomiale de grad cel mult d si celput inunadintreelearegradexactd.(ii) O curb a data de o aplicat ie c : [u0, uL] Rnse numeste polinomialapeport iunidac aexist aodiviziuneu0< u1< . . . < ui< ui+1< . . . < uLa intervalului [u0, uL] astfel ca pentru orice i = 0, . . . , L1, restrict ia c[[ui,ui+1]aaplicat ieiclaintervalul[ui, ui+1]saepolinomiala.Exemplul1.4(i)Curbelec1,c3,c4sic5dinexemplul1.2suntcurbepoli-nomialedegrade1,4,2,respectiv3.(ii)Oricecurbapolinomialac:[a, b] Rnesteocurbapolinomialapeport iuni.4(iii)Curbelec6sic

6dinexemplul1.2suntcurbepolinomialepeport iunicarenusuntcurbepolinomiale,deoareceavemc6(t) =_(t, t2), dac at [1, 0](t, t2), dac at [0, 1].c

6(t) =_(t, t), dac at [1, 0](t, t), dac at [0, 1].Denit ia1.5Fiec : IRnsi c :IRndou acurbeparametrizate.Spunemcac si cdifer aprintr-oschimbaredeparametru(sauca cafostobt inuta din c printr-o schimbare de parametru) dac a exist a un difeomorsm :I I(numitreparametrizare)astfelca c = c .Oreparametrizarepastreaza(schimba)orientareadac aestestrictcresc atoare(respectivstrictdescrescatoare).Observat ia1.6Printr-o reparametrizare imaginea geometric a a curbei con-sideratenusemodic a,seschimbadoarmodulincareparcurgemcurba.Denit ia1.7Oschimbareanadeparametru(reparametrizareana)esteoaplicat iedeforma : [c, d] [a, b], (t) =b ad ct +ad bcd c,unde[a, b], [c, d] Rsuntdou aintervale(carenusereduclaunpunct).Observat ia1.8Schimbarileanedeparametrusuntsingurelecarement inocurbapolinomial a nclasacurbelorpolinomialedeacelasigrad.Exemplul1.9(i) Aplicat iile c2, c

2 si c

2din exemplul 1.2 sunt parametriz aridiferite ale elipsei de ecuat ie(x14)29+(x23)24= 1. Schimb arile de parametruutilizatesuntt 3t,respectivt 1 t.(ii) Aplicat ia : [0, 1] [0, 1], (t) = 1 t este o schimbare ana de pa-rametrucareschimb aorientarea. Aplic andaceastaschimbaredeparametrucurbei polinomiale de gradul 2 data de c : [0, 1] R2, c(t) = (t2+4t+1, t+2)obt inem curba parametizata c : [0, 1] R2, c(t) = (t26t +6, t +3). Ima-ginea geometrica a celor dou a curbe este un arc al parabolei x1x22 +3 = 0,careunestepuncteleA=(1, 2)si B=(6, 3). ParametrizareacparcurgeacestarcdelaAlaB, nvremece cparcurgeacestarc nsensinvers.Denit ia1.10O curb a dat a de o parametrizare injectiva se numeste curbasimpla.Exemplul1.11Inexemplul 1.2curbac1estesimpl a, iarcurbac2nuesteocurbasimpl a.51.3 Vectortangent, vectoraccelerat ie. Reg-ularitateDenit ia1.12Fiec : I Rn,c = (c1, . . . , cn)oparametrizaredeclasa ck(k 1)auneicurbe sit0 Ixat.(i) Vectorul c

(t0) :=(c

1(t0), . . . , c

n(t0)) se numeste vector tangent(vectorviteza)lacurba npunctul corespunzatorlui c(t0). Dreaptacaretrece prinpunctul c(t0) si are direct iadatade vectorul c

(t0) se numestetangentalacurbac npunctulc(t0).(ii)Dreaptacaretreceprinpunctul c(t0)si esteperpendicular alatan-gentalacurbanacest punct senumestenormalalacurbacnpunctulc(t0).Observat ia1.13Ecuat iile parametrice ale tangentei la curba c prin punctulc(t0)sunt___x1= c1(t0) + sc

1(t0). . . . . . . . . . . . . . .xn= cn(t0) + sc

n(t0)s R.Denit ia1.14Fiec : I Rn,c = (c1, . . . , cn)oparametrizaredeclasa ck(k 1)auneicurbe(i)Punctulc(t0)senumestepunctregulatdac ac

(t0) ,= 0.(ii)Punctulc(t0)senumestepunctsingulardac ac

(t0) = 0.(iii) O curb a se numeste regulata dac a toate punctele sale sunt regulate.Denit ia1.15Fiec : I Rn,c = (c1, . . . , cn)oparametrizaredeclasa ck(k 2)auneicurbesit0 Ixat. Vectorulc

(t0) := (c

1(t0), . . . , c

n(t0))senumestevectoraccelerat ielacurba npunctulcorespunz atorluic(t0).Propozit ia1.16Fiec : I Rnsi c :I Rndou aparametrizarideclas ack(k 2) ale unei curbe, astfel ca c = c, unde :I Ieste o schimbaredeparametru. Pentruorices Iaulocrelat iile c

(s) =

(s)c

((s)), c

(s) =

(s)2 c

((s)) +

(s)c

((s)).In particular, regularitatea unei curbe este o proprietate intrinseca a acesteia,nsensulc anudepindedeparametrizareaaleasa.Denit ia1.17Fiec : I Rn,c = (c1, . . . , cn)oparametrizaredeclasa ck(k 1)auneicurbe si[a, b] Iuninterval.(i)c|[a,b]: [a, b] Rnsenumestearcalcurbeic;(ii)lungimeaarculuidecurbac|[a,b]esteL(c|[a,b]) =_ba |c

(t)|dt.Propozit ia1.18Lungimeaunui arcdecurb aesteinvariant alaschimb arideparametru.61.4 Racorddeclasa ckalunorarcedecurba.ContinuitategeometricaDenit ia1.19Fie c1: [a, b] Rnsi c2: [b, c] Rndou a parametriz ari aleunorarcedecurb a.(i) Dac a c1(b) = c2(b) =: P, spunem c a cele doua arce sunt racordate npunctulP.(ii)Racordul senumestedeclasa ckdac ac(l)1(b)=c(l)2(b), oricarearl = 0, . . . , k.Exemplul1.20Curbeledatedeparametriz arilec1: [2, 0] R2, c1(t) = (2t + 1, t + 2),c2: [0, 3] R2, c2(t) = (t3 3t2+ 2t + 1, t2+ t + 2)au npunctulP= (1, 2)unracorddeclas a c1carenuestedeclas a c2. Maiprecis,avem:c1(0) = c2(0) = (1, 2); c

1(0) = c

2(0) = (2, 1);c

1(0) = (0, 0) ,= c

2(0) = (6, 2).Observat ia1.21Fiec1:[a, b] Rnsic2:[b, c] Rndou aparametriz arialeunorarcedecurbacareau nP=c1(b)=c2(b)unracorddeclasa ck(k 1). Fie:[ a, b] [a, b]oschimbaredeparametruastfelca(b)=b,dar

(b) ,= 1(spreexemplu,oschimbareanadeparametru ntreintervalede lungimi diferite) si e c1:= c1 curba obt inut a n urma reparametrizarii.Atunci c

1(b) =

(b)c

1(b) ,= c

2(b),ceeacearatac a,ngeneral, racordul declasa cknusepastreaz a nurmaschimb arilordeparametru. Vectoriitangent isuntcoliniari,darnuidentici.Concret, considerandcurbelec1si c2dinexemplul 1.20, schimbareadeparametru: [1, 0][2, 0], (s) =2ssi curba c1: [1, 0]R2, c1:= c1 ,i.e. c1(s) = (4s + 1, 2s + 2),avem c1(0) = c2(0) = (1, 2); c1(0) = (4, 2) ,= c2(0) = (2, 1).Asadar, desi parametriz arile c1si c1suntechivalente, elenuauacelasi tipderacordcuc2 npunctul(1, 2): c1areunracorddeclasa c0,iarc1areunracorddeclas a c1. Remarc amfaptulc aavem c1(0) = 2c2(0).Pentruapermiteomaimareexibilitate nracordulunorarcedecurb asi pentruanupierdeproprietateaderacorddeclas a cknurmarepa-rametriz ariloresteintrodusanot iuneadecontinuitategeometric a(denit ia1.23).7Observat ia1.22Exist a o clasa importanta de schimb ari de parametru carep astreazaracorduldeclas a ck: translat iile,i.e. reparametrizariledeforma : [a, b] [a , b ], (t) = t , (a, b, R, a < b),deoarece,ncazul unei translat ii, avem

(t) =1, (l) =0, pentruoricet [a, b] sipentruoricel 2.Inparticular, pentruastudiaproblemaracordului declas a ckestesu-cients aalegemintervalelepecaresuntdeniteparametrizariledeforma[a, 0], respectiv[0, b], deoarece, printr-oschimbare de tiptranslat ie, oricedou aintervalearbitrarepottransformate nintervaledeacesttip.Denit ia1.23Fiec1: [a, 0] Rnsi c2: [0, b] Rndou aparametriz arialeunorarcedecurbaastfel cac1(0)=c2(0)=: Psi c

1(0) ,=0, c

2(0) ,=0.Celedou aarceaunpunctul P unracordde clasaGckdac aexistaoreparametrizare(carepastreaz aorientarea): [ a, 0] [a, 0] cu(0)=0,astfel nc at parametriz arile c1 si c2s a verice condit iile de racord de clasack.Inacestcazspunemcaparametrizareac : [a, b] Rn, c(t) =_c1(t), dac at [a, 0]c2(t), dac at [0, b]arecontinuitategeometricadeclasaGcknt = 0.Observat ia1.24InCAGDsuntutilizatemai alescondit iilederacorddeclas aGc1siGc2,carepotvericateastfel: ec1sic2dou aparametriz arica ndenit ia1.23. Atunci:(i)arceledenitedeceledou aparametriz ari auunracorddeclasaGc1dac a sinumaidac aexist aoconstantapozitiva > 0astfelcac

2(0) = c

1(0)(i.e. vectoriitangent ilaceledou acurbesuntcoliniari siauacelasisens);(ii)arceledenitedeceledouaparametriz ariauunracorddeclas aGc2dac a sinumaidac aexist aoconstante > 0, Rastfelcac

2(0) = c

1(0)c

2(0) = 2 c

1(0) + c

1(0).Exemplul1.25Fiecurbelec1: [2, 0] R2, c1(t) = (3t3 2t2+ 2t + 2, t2 2t + 1),c2: [0, 1] R2, c2(t) = (6t + 2, 6t + 1),c3: [0, 1] R2, c3(t) = (3t3 10t2+ 4t + 2, 6t2 4t + 1).8Cumc1(0) =c2(0) =c3(0) =(2, 1), neputempuneproblemaracorduluicurbei c1cu c2 si cu c3 n t = 0. Pentru a stabili ce clas a au aceste racorduri,calcul amc

1(0) = (2, 2), c

2(0) = (6, 6), c

3(0) = (4, 4);c

1(0) = (4, 2), c

2(0) = (0, 0), c

3(0) = (20, 12).Avemc

2(0)=3c

1(0), iarc

2(0) 9c

1(0)=(36, 18). Acestvectornuestecoliniarcuc

1(0)=(2, 2), deci curbelec1si c2auunracorddeclas aGc1carenuestedeclasaGc2n(2, 1) = c1(0) = c2(0).Inschimb,c

3(0) = 2c

1(0), c

3(0) 4c

1(0) = (4, 4) = 2c

1(0),ceeacearat acac1sic3auunracorddeclasaGc2nP= c1(0) = c3(0).1.5 Curbeplane(curbe2D)Denit ia1.26Fiec : I R2,c = (c1, c2)ocurb aplana.(i)Curburaluic ntr-unpunctregulatc(t)estec(t) :=c

1(t)c

2(t) c

1(t)c

2(t)(c

1(t)2+ c

2(t)2)32=det(c

(t), c

(t))|c

(t)|3.(ii) In cazul n care c(t) ,= 0, razadecurburaaluic nc(t) este, prindenit ie,1|c(t)|.Exemplul1.27(i)Curburaunei drepteesteegalacu0 noricepunctaldreptei: ec : R R2, c(t) = (a1 + t(b1 a1), a2 + t(b2 a2))o parametrizare a unei drepte. Atunci c

(t) = (b1a1, b2a2), c

(t) = (0, 0),decic(t) = 0pentruoricet R.(ii) Curbura unui cerc de raz a reste, la r andul sau constant a, ind egal acu1rnoricepunct: ec : R R2, c(t) = (a1 + r cos t, a2 + r sin t)oparametrizareacerculuidecentru(a1, a2) sideraz ar. Avemc

(t) = (r sin t, r cos t), c

(t) = (r cos t, r sin t), t R,deundededucemc adet(c

(t), c

(t)) = det_ r sin t r cos tr cos t r sin t_= r2; |c

(t)| = r;9rezult andimediatc aavemc(t) =1rpentruoricet R.(iii)Fiec: R R2,c(t)=(a cos t, b sin t)cua>b>0oparametrizareaelipseidecentruOsisemiaxea sib. Avemc

(t) = (a sin t, b cos t); c

(t) = (a cos t, b sin t);det(c

(t), c

(t)) = ab; |c

(t)| =_a2sin2t + b2cos2t.In acest caz curbura nu mai este constant a, ci avem c(t) =ab(a2sin2t+b2cos2t)32.Observat ia1.28(i)Fiec : I R2oparametrizareauneicurbe2Dregu-latesi e:I Ioschimbaredeparametru. Oricarears Iarelocegalitateac(s) = sgn()c((s)),undesgn()esteegal cu1sau 1, dupacumestecresc atoaresaudes-cresc atoare (i.e. curbura unei curbe 2Deste invariant a, pan a la semn, laschimb arideparametru).(ii)Fiec : I R2ocurb a2DsiF: R2 R2oizometrie. Pentruoricet IarelocegalitateaFc(t) = (F)c(t),unde (F) este 1sau 1, dup acumF p astreazasauschimbaorientarea(i.e. curburauneicurbe2Desteinvariant a,p an alasemn,laizometrii).(iii) Exemplele (i) si (ii) din 1.27 arat a ca dreptele si cercurile sunt curbecucurburaconstant a(nul a, respectivnenula). Reciproc, dac aocurba2Dc : IR2cuIRinterval conexarecurburaconstantac(t) =norice punct c(t), atunci imaginea sa geometrica este e inclus a ntr-o dreapta(c and = 0),e ntr-uncercderaza1(c and ,= 0).(iv) In general, se poate pune problema n ce m asura dat a curbura putemreconstituicurba(existent a, unicitate). R aspunsul estedat deteoremafundamental aacurbelorplane(vezi,deexemplu,[8,capitolul6]).1.6 Curbe3DDenit ia1.29Fie c : I R3, c = (c1, c2, c3) o curb a 3D de clasa ck(k 3)cu proprietatea ca vectorii c

(t) si c

(t) sunt liniar independent i, oricare ar t I.(i)Curburaluic npunctulc(t)estedat ade(t) := |c

(t)c

(t)||c

(t)|3.(ii)Torsiunealuic npunctulc(t)estedat ade(t) := c

(t)c

(t), c

(t))|c

(t)c

(t)|2.10Exemplul1.30(i)Consideramcurbac : (0, ) R3, c(t) = (2 + t + t3, t t3, 5 + t3).Avem,pentruoricet (0, ),c

(t) = (1 + 3t2, 1 3t2, 3t2), |c

(t)| =_2(1 + 3t2)2+ 9t4;c

(t) = (6t, 6t, 6t), c

(t) = (6, 6, 6),c

(t)c

(t) = (6t, 6t, 0); |c

(t)c

(t)| = 62t;(t) =62t(_2(1 + 3t2)2+ 9t4)3, (t) = 0.(ii)Consideramcurbac : R R3, c(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b ,= 0,numit aelicecircularadreapta.Inacestcazavemc

(t) = (a sin t, a cos t, b), |c

(t)| =a2+ b2;c

(t) = (a cos t, a sin t, 0), c

(t) = (a sin t, a cos t, 0);c

(t)c

(t) = (ab sin t, ab cos t, a2), |c

(t)c

(t)| = aa2+ b2;(t) =aa2+ b2, (t) =ba2+ b2.Remarc amc afunct iilecurbura sitorsiunesuntconstante.(iii)Consideramcurbac : R R3, c(t) = (t, t2, 2t33).Pentruaceast acurbaaulocegalit at ilec

(t) = (1, 2t, 2t2), |c

(t)| = 1 + 2t2;c

(t) = (0, 2, 4t), c

(t) = (0, 0, 4);c

(t)c

(t) = 2(2t2, 2t, 1), |c

(t)c

(t)| = 2(1 + 2t2);(t) =2(1 + 2t2)2, (t) =2(1 + 2t2)2.Inacestcazfunct iilecurburasi torsiunenusuntconstante, darraportulesteoconstant a.Ingeneral,ocurb apentrucareraportuldintretorsiunesicurbur aesteconstant,senumesteelice.11Observat ia1.31(i)Curburauneicurbe3Desteofunct iepozitiv a.(ii) Ocurb a3Dareimagineainclus antr-unplandacasi numai dac atorsiuneasaestenul a noricepunctalsau.(iii) Fie c : I R3oparametrizare aunei curbe 3Dregulatesi e :I Io schimbare de parametru. Oricare ar s Iau loc loc egalitat ilec(s) = c((s)); c(s) = ()c((s)).(iv)Fiec : I R3ocurb a3D siF: R3 R3oizometrie. Pentruoricet Iaulocrelat iileFc(t) = c(t), Fc(t) = (F)c(t).(v) Prin analogie cu rezultatele referitoare la curbele plane, se poate puneproblema n ce m asura putem reconstitui o curb a 3D (existent a, unicitate)pornind de la curbur a si torsiune. Raspunsul este dat de teorema fundamen-tal aacurbelorstr ambe(vezi,deexemplu,[8,capitolul10]).Denit ia1.32Fie c : I R3, c = (c1, c2, c3) o curb a 3D de clasa ck(k 3)cu proprietatea ca vectorii c

(t) si c

(t) sunt liniar independent i, oricare ar t I. TriedrulFrenet npunctulc(t)esteformatdinvectoriiT(t) :=c

(t)|c

(t)|, N(t) := B(t)T(t), B(t) :=c

(t)c

(t)|c

(t)c

(t)|.Vectorul T(t) esteversorul tangentei lacurb anpunctul c(t). VectoriiN(t)siB(t)senumescvectornormalaprincipala,respectivvectorbi-normalalacurba npunctulrespectiv.Observat ia1.33(i)TriedrulFrenetesteunreperortonormatmobil.(ii)FormuleleluiFrenet,scrisematricealsubforma___T

N

B

___ =___0 v 0v 0 v0 v 0___ ___TNB___, v= |c

|arat acumpotexprimatederivatelevectorilortriedruluiFrenet nreperulasociatacestuitriedru.12Capitolul2InterpolarepolinomialaInacestcapitol nepropunemsaindic amosolut iepentruurm atoareapro-blem a:Problema2.1Se considera un sistem de puncte p0, p1, . . . , pn (poligon decontrol)dinplanulR2,precum siun sirdenumererealet0< t1< . . . < tn.Sa se construiasca o curba polinomiala care sa interpoleze punctele date, i.e. ocurbac : R R2cuproprietateacac(t0) = p0, c(t1) = p1, . . . , c(tn) = pn.2.1 Segmente. Interpolareliniara(ana)Discut am mai nt ai cazul n care n = 1, deci pornim la drum cu dou a puncte,p0sip1.Incazulparticular ncaret0= 0 sit1= 1,curbaparametrizat ac : R R2, c(s) = (1 s)p0 + sp1,ac arei imaginegeometric aestedreaptap0p1reprezint aosolut ieaproble-mei considerate. Maimult, pentrus [0, 1], seobt inpunctelesegmentului[p0, p1], pentru s < 0 se obt in punctele p de pe dreapta p0p1cu proprietateac ap0estestrict ntrep sip1,etc.Fieacumt0 t1Av and nvederecaamutilizatcombinat ii anealepunctelorp0si p1pentruaobt inepunctelecurbeis,spunemc aaceast acurb aafostobt inut aprininterpolareana. Prinabuzdelimbaj, metodamai estenumitasiinterpolareliniar a.2.2 AlgoritmulluiAitkenInaintedeadiscutasituat iagenerala, analiz amcazul n=2. Fie, asadar,p0, p1si p2trei punctedinplan, precumsi t0