formulas y ejercicios de turbinas hidraulicas

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALINSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIRO DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAESCUELA SUPERIRO DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD AZCAPOTZALCOUNIDAD AZCAPOTZALCO

TURBINAS HIDRÁULICAS TURBINAS HIDRÁULICAS 1.- FORMULAS Y NOMENCLATURA:1.- FORMULAS Y NOMENCLATURA:

FORMULARIO (TURBINAS PELTÓN)

Q=V.A

Donde;Q= caudalV= velocidadA= área

A=

Donde;A= áread=diámetro del rodete

A=

Donde;A= áreadch= diámetro del chorro.

Q=V.

Donde;Q= caudaldch= diámetro del chorro.V= velocidad

U=

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabe




d= diámetro del rodeteN= rpm

Donde;Pa= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje Q= caudalH= altura neta

= peso específico del agua

nt= rendimiento total ó rendimiento global.

P=Q. H

Donde;P=Potencia teórica (potencia absorbida o potencia neta=potencia hidráulica puesta a disposición de la turbina)Q= caudal


H= altura neta

U=0.45

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabeg= fuerza de gravedadH= altura neta

=0.97

Donde;

=velocidad absoluta del fluido (a la entrada)

g=fuerza de gravedadH=altura neta




Donde;

= número específico de revoluciones

= rpm

=rendimiento total

= caudal

H= altura neta

Donde;

=potencia interna

F=fuerza tangencial

= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabe (a la entrada)

FORMULARIO (TURBINAS FRANCIS Y KAPLAN)

ηh= =

Donde;ηh= Rendimiento hidráulicoHu= Altura teóricaH= Altura neta

= Velocidad periférica ó velocidad absoluta del álabe (a la entrada)

= Componente periférica de la velocidad absoluta del fluido (a la entrada)



g= Fuerza de gravedad

Q= τ π

Q=caudal

= diámetro a la entrada del rodete

= ancho del rodete




= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido

= área útil a la entrada del rodete (ejemplo: los álabes ocupan un 8% del área útil a la entrada del

rodete, de ser así, τ es igual a 100%-8%, es decir, τ= 92%)

Q= τ π

Q=caudal

= diámetro a la salida del rodete

= ancho del rodete


= = área útil a la salida del rodete, de suponerse afilados los álabes τ=1.

m=

Donde;

= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la entrada)


= ancho del rodete

= ancho del rodete


= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la salida)

F=Q ρ ( )

Donde;F= fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas.Q= caudalρ = densidad del agua.

= componente periférica de la velocidad relativa (a la entrada)

= componente periférica de la velocidad relativa (a la salida)




U=

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodeteN= rpm

Donde;Pa= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje Q= caudal



+

Donde;

=potencia interna

= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje

= potencia de rozamiento mecánico

Donde;

=potencia interna

F=fuerza tangencial

= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabe (a la entrada)

=Q γ

Donde;Q= caudal

=potencia interna





= Altura teórica

H=

Donde;H=altura neta

=altura teórica

= Perdidas interiores

ηh=

Donde;ηh= rendimiento hidráuljcoH=altura neta

=altura teórica

ηm,=

Donde;ηm= rendimiento mecánico

=potencia interna


ηt,=

Donde;ηt= rendimiento total o global


P= potencia neta

ηi,=

Donde;




ηi= rendimiento interno

= potencia interna

P= potencia neta

=

Donde;

= radio de entrada del rodete

= radio de salida del rodete

Ecuación de Bernoulli

Donde;Pe= Presión de entradaVe= Velocidad de entradaZe= cota de entradaH= Altura netaPs= Presión de salidaZs= Cota de salidaVs= Velocidad de salidaρ= Densidad del aguag=fuerza de gravedad

Donde;

= número específico de revoluciones

= rpm

=rendimiento total

= caudal

H= altura neta

2.- EJERCICIOS RESUELTOS. 2.- EJERCICIOS RESUELTOS. 2.1. En este problema no se tendrá en cuenta la fricción en los álabes. El inyector de una turbina Peltón suministra un chorro de 70m/s con un caudal de 1500 l/min, α1=0°, el chorro es




desviado por las cucharas 170°, u=0.5 . El diámetro del rodete es 30 veces mayor que el

diámetro del chorro.Calcular:

Diámetro del rodete. Rpm Potencia desarrollada por la turbina (Pa).

Energía del chorro no aprovechada ( .

El primer dato que arroja el problema es la velocidad del chorro

=70m/s (velocidad del chorro)

A continuación debemos llevar 1500 lts/min a

1 =1000 lts, 1min=60seg

Q=1500

Q=0,025

Aplicando la siguiente ecuación del caudal

Q=V.


Despejando el diámetro del chorro obtenemos;

dch=

Sabiendo que V= y sustituyendo en la ecuación anterior;

dch=




Sustituyendo ahora Q=0,025 y =70m/s en la ecuación del diámetro del chorro se obtiene:

dch=

dch=0,02133 mEl enunciado nos dice que diámetro del rodete es 30 veces mayor al diámetro del chorro entonces;d= 30.dchd= 30. (0,02133)d=0.64mDe esta manera resolvemos la primera incógnita del problema.Procedemos a calcular las rpm(revoluciones por minuto) de la turbina mediante la siguiente ecuación,

u=

Donde;u= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodeteN= rpm

Despejando N(rpm) se obtiene que,

N= (Ecuación 1)

Para poder continuar debemos calcular u(velocidad periférica), el enunciado nos dice que;

u=0.5 (Ecuación 2)

Se tiene que, por teoría que la velocidad absoluta del fluido a la entrada es aproximadamente

=

Donde;

=velocidad absoluta del fluido (a la entrada)

g=fuerza de gravedadH=altura neta

Despejamos H y sustituimos el valor de =70m/s en la ecuación resultante,

H=




H=

H= sustituyendo este valor en la ecuación 2 tenemos que,

u=0.5

u=35m/sEl valor de u=35m/s y el d=0.64m deben ser sustituidos en la ecuación 1,

N=

N=1044,89rpmAhora procedemos a calcular la potencia desarrollada por la turbina mediante la ecuación;

Donde;Pa= Potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del ejeQ= Caudal

= Peso específico del agua

nt= Rendimiento total ó rendimiento globalRecordemos que tenemos los siguientes datos:

Q=0.025

=9810

H=249.83m El problema no arroja ningún dato referente al rendimiento de la turbina, por lo que se asume un rendimiento total del 100%, es decir, nt=1Pa=(0.025).(9810).(249.83).(1)Pa=61125 kW = 61125 000 W

Para calcular la energía del chorro no aprovechada ( debemos conseguir la velocidad

absoluta del fluido ( .

Siendo el ángulo de desviación del chorro 170°, y observando la siguiente figura es fácil ver que

.

=10°




Si no se toma en cuenta la fricción en los álabes;

Del triángulo de entrada deducimos

=(70- 35)m/s

= 35m/s

Por relación de triángulos

= Sen .

=Sen10°. 35

=6,0777m/s=

=34,468 m/s

En las turbinas Pelton

= +

= -




=0,532m/s

Finalmente;

=6,1009m/s

Sustituimos en la ecuación de la energía del chorro no aprovechada;

2.2 Una turbina Pelton gira a 375 RPM y su altura neta es de 60m, desarrolla una potencia en el

eje de 100kW, u=0.45 , c1=0.97 . El rendimiento total de la turbina es 80%. La

velocidad a la entrada de la turbina es 1,5 m/s.Calcular:

Diámetro del rodete. Caudal. (en litros/seg) Diámetro del chorro. Lectura en bar del manómetro situado a la entrada del inyector.

DatosN=375RPMH=60mPa=100kWnt=80%

u=0,45 =

=0,97 =33,281m/s

Tenemos la altura neta (H) podemos calcular rápidamente u y .

u=0,45 =15,44m/s

=0,97 =33,281m/s

Despejamos el diámetro de la ecuación




u=

d=


Tenemos los siguientes datos:N=375RPMu=15,44m/s

d=

d=0,786mAhora calculamos el caudal despejando de la ecuación;




Q=

Todos los datos ya son conocidos, solo sustituimos;Pa=100 kW=100000 WH= 60mNt=80%

=9810 N/

Q




Q=0.212 /s

Llevamos de /seg a lts/seg como lo pide el enunciado;

Q=0,212

Q = 212,4 lts/s

Aplicando la siguiente ecuación del caudal

Q=V.


Despejamos el diámetro del chorro obtenemos;

dch=

Sabiendo que V= y sustituyendo en la ecuación anterior;

dch=

Sustituyendo ahora Q=0,212 y =33,281 m/s en la ecuación del diámetro del chorro se

obtiene:

dch=

dch=0.090m

Aplicando Bernoulli desde la salida del inyector hasta las cucharas podemos calcular lectura del manómetro situado a la entrada del inyector.




Para este planteamiento la presión de salida es la presión atmosférica ya que las turbinas pelton no tienen carcasa, por ser la presión atmosférica nuestro punto de referencia la presión de salida será cero,

La velocidad de salida también será cero ya que el análisis se hace en el punto de choque entre el chorro de agua y loas cucharas de la turbina (en este punto hay un cambio de dirección del chorro)

El chorro sale del inyector a una cota igual a la que impacta contra las cucharas de la turbina, entonces Ze-Zs=0.

H=

Nos queda la siguiente ecuación, despejando Pe tenemos que,

Pe=

Donde;Pe=presión de entradaVe= velocidad de entradaH= altura neta

= densidad del agua

g= fuerza de gravedad

Ahora sustituimos H=60m y Ve=c1=33,281m/s,

Pe=

Pe=587475 Pa , convertimos de Pa a bar

Pe=587475 Pa

= 5.87bar




2.3 Un pequeño motor hidráulico que funciona con agua absorbe un caudal de 1500 lts/min. Antes del motor en la tubería de admisión la presión relativa es de 6bar y después del motor en la tubería de descarga, y en un punto que se encuentra 5m por debajo del punto de conexión del manómetro de entrada, la presión relativa es de 3bar. Se despreciarán las pérdidas.Calcular.Calcular la potencia desarrollada por el motor.

A continuación debemos llevar 1500 lts/min a

1 =1000 lts, 1min=60seg

Q=1500

Q=0,025

P1=6barP2=6bar

Planteamos la ecuación de Bernoulli desde el punto ubicado a 5m por debajo del punto de conexión del manómetro (este punto representa ahora nuestro punto de entrada).Nuestros datos serán:Prelat=Pe=3bar=300000PaZe=5m

La segunda expresión de la altura neta nos indica que;

= = 0

= 0

Entonces la ecuación de Bernoulli que planteada de la siguiente manera;

Sustituyendo Ze= 5m y Pe=300000Pa nos queda;

Despejamos la altura neta (H);




H=

H=35,581m

Solo nos queda encontrar la potencia desarrollada por el motor (P);

P=Q. H



H= altura neta

Sustituyendo H=35.581m Q=0.025 m3 /seg =9810 N/m3

P=(35,581).(0,025).(9810) P=8,726kW= 8726W

2.4 Una turbina hidráulica fue ensayada en un laboratorio bajo un salto neto de 20m. Para una

cierta apertura del distribuidor se midió una caudal de 50lts/s (0,05 a 275 rpm con un

rendimiento de 75%Calcular.La potencia al freno (Pa).La potencia suministrada a la turbina (P).

Datos:H=20m

Q=0,05

N=275RPMnt=75%

Rápidamente aplicamos la ecuación de potencia al freno (Pa) debido a que conocemos todos sus elementos;Pa=Q*γ*H*nt

Q=0.05 , H=20m, nt=75%, =9810 N/m3

Pa=(0,05).(9810).( 20).(0,75)




Pa=7,357kW

Recordemos que,

P=

Donde;P= Potencia netaPa= Potencia útil potencia restituida, potencia al freno, potencia en el eje.nt= rendimiento total o global.Sustituimos Pa= 7,357kW y nt=75%

P=

P= 9.810kW

2.5 Una turbina Francis tiene las siguientes características, =240cm, =300 cm, α2=90°,

N=100 rpm, =15 m/s, = 16 m/s, = = 300 mm.

Calcular. El caudal de la turbina. El par hidráulico comunicado al rodete.

Datos:

=240cm=2,4m

=300cm=3m

=15m/s

=16m/s

= =300cm=0,3m

Buscamos el caudal por la ecuación;Q=π.d1b1c1m

La única incógnita es c1m, debemos trabajar con los triángulos de velocidad, comencemos por buscar u1,

u1=




u1=

u1=15,708m/s

u2=

u2=12.566m/s =w2u

Tenemos w2 =16m/sPor Pitágoras encontramos c2m;

c2m=

c2m=

c2m=c2 =w2m=9,904m/s

Como Q1=Q2 entonces,π.d1b1c1m= π.d2b2c2mDespejamos c1m,

c1m=

Donde;

= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la entrada)


= ancho del rodete

= ancho del rodete


= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la salida)

c1m=

c1m=7,923m/s

Con este valor de c1m= 7.923m/s ya podemos calcular el caudal pero antes terminaremos de calcular los elementos restantes de los triángulos de velocidad.




w1=

w1u=

w1u =12.737m/sEn el triángulo de entrada se observa que u1=c1u+w1u, despejamos c1u; c1u=u1-w1uc1u =15.708-12.737c1u =2.971m/s

c1=

c1=

c1=8.462m/sProcedemos a calcular el caudal, Q=π.d1b1c1mQ=caudal


= ancho del rodete


= área útil a la entrada del rodete (ejemplo: los álaben ocupan un 8% del área útil a la entrada del


Q= π.(3). (0,3). (7,923)Q=22,403m3/s

Ahora vamos a calcular el par hidráulico comunicado al rodete a través de la ecuación.

P= Q. H



H= altura neta

No tenemos el valor de la altura neta(H) pero podemos calcularlo por la siguiente ecuación,




ηh=

La incógnita necesaria para calcular H es Hu, que podemos conseguirla aprovechando que ya calculamos todos los componentes de los triángulos de velocidad.

Hu=

Donde;Hu= Altura teórica






Hu=

Hu=

Hu=4,747m

Asumimos un ηh=100%, es decir, ηh= 1, debido a esto la altura neta es igual a la altura teórica.

=> H=Hu

Ahora si podemos proceder a calcular el par hidráulico comunicado al rodete,

P= Q. H

P= (22,403). (9810) (4,474)

P=1,046kW = 1046W

2.6 Se prevé una central hidroeléctrica aprovechando un salto de 80m con un caudal medio de

5 / s.




Calcular. La potencia neta en esta central (P).

Datos:

Q=5 / s.

H=80m

Conseguimos la potencia neta a través de la ecuación,P=Q.γ.H



H= altura neta

P=(5). (9810). (80)P=3924kW

2.7 Una turbina Francis tiene las siguientes características, =1200mm, =600mm, α1=90,

c2u=0, H=30m, u1= , cm igual a la entrada y a la salida (c1m=c2m).

Calcular: Rpm β2

Datos:d1=1200mm=1,2md2=600mm=0,6mα1=90°c2u=0 (esto implica que c2=c2m=w2m esto observa en el triángulo de velocidad de salida)El primer paso será calcular u1,

u1=0,7

u1=16,98m/sMediante la siguiente ecuación podemos despejar N,

u=





Despejamos N,

N=

Sustituimos u1=19,98m/s y d1=1,2m

N=

N=270.24rpm

Mediante la siguiente relación de diametros podemos hacer una relación de velocidades periféricas (u).Recordemos que: d1=1,2m y d2=0,6md1=2d2

u1=2u2

despejamos u2;

u2= = 8,49m/s

Observamos el triángulo de velocidad de entrada, tenemos α1, tenemos el cateto adyacente (u1) y buscamos el cateto opuesto (c1m).

Tanα1=

Tan90°=

c1m=16,98.Ta90°c1m=4,55m/s

Recordemos que c1m=c2m=4,55m/sDel triángulo de velocidad deducimos que;

Tanβ2=

Despejamos β2




β2= tan-1 c2m=4,55m/s y u2=8,49m/s

β2= tan-1

β2=28,18°

2.8.- Una turbina absorbe un caudal de 5m3/s. La lectura del manómetro a la entrada de la turbina,Me=10 m.c.a y la del manómetro a la salida de la turbina,Ms= -4m.c.a. El rendimiento de la turbina, que se supondrá limitada por las secciones E y S, es 75%, Ze - Zs= 2m. Diámetro de la tubería de entrada 1m, diámetro del tubo de aspiración en la seción donde está conectado el manómetro Ms=150cm.Calcular.

Calcular la potencia desarrollada por la turbina (Pa)

Datos:Q=5m3/s.Me=10 m.c.a(10 metros de columna de agua)Ms=-4m.c.a (-4metros de columna de agua)nt=75%Ze-Zs=2md1=1md2=150cm=1,5m

Calcularemos la potencia desarrollada por la turbina mediante la ecuación,




La única incógnita es la altura neta (H)

Lo primero que haremos será conseguir las velocidades de entrada y salida aprovechando que tenemos los diámetros y el caudal. (recordemos que el caudal a la entrada y a la salida siempre es el mismo)Q=V*ADonde;Q= caudal




V= velocidadA= área

Despejamos la velocidad;

V=

Sustituimos el valor del área

A=

Donde;A= áread=diámetro del rodete

V=

Con =1m

V1=

V1=

V1=6,3662 m/s

De esta manera obetenemos la primera velocidad, de la misma manera calculamos la segunda,

V2=

V2=

Con =1,5 m

V2= 2,8294 m/s




Ya teniendo las velocidades de entrada y salida podemos trabajar con la ecuación de Bernoulli para conseguir la altura neta(H);Sustituimos las velocidades calculadas;

Pasamos el término Zs al otro lado de la igualdad

Ze-Zs= 2m

Solo nos queda sustituir las presiones y despejar H, nótese que las presiones están en unidades m.c.a (metros de columna de agua), esto quiere decir que el valor de Me=10m.c.a sustituirá al término (Pe/ρg) al igual que Ms=-4m.c.a a (Ps/ρg).

H=17,66 m

Procedemos a calcular la potencia desarrollada por la turbinaPa=Q.γ.H.nt



nt= rendimiento total ó rendimiento global.nt=75%Q=5m3/s.H=17.66mPa=(5).(9810).(17,66).(0,75)Pa=649,667kW = 649667 W

2.9.-. Una turbina de reacción tiene las siguientes características d1= 0,75, d2=0,63, N=400rpm, α1=15°, c1= 14m/s, c2m= 5m/s, c2u=0, relación ancho/diámetro=0,15; rendimiento hidráulico=0,8; la entrada en la turbina se encuentra 4m por encima del nivel superior del agua en el canal de salida, la velocidad del agua en la tubería de entrada es de 2m/s, se pierden por rozamiento mecánico 3,7 kW. Supongase τ=1, Cs=0, nv=1.




Calcular. Los triángulos de velocidad a la entrada y a la salida. La altura útil (Hu) El salto neto (H) El caudal. Potencia útil suministrada por la turbina (Pa). La presión relativa a la entrada de la turbina en bar.

Debemos calcular los componentes de los triángulos de velocidad comenzando por u1;

u1=

d1=0,75 N=400rpm

u1=

u1=15.71m/s

Conocemos α1=15° y c1=14m/sDel triángulo de velocidad deducimos que,

Cosα1=

c1u= Cos15°

c1u=13.52m/s

Senα1=

c1m= Senα1

c1m=14.Sen15°c1m=3.63m/s

u1=w1u+c1uw1u= u1- c1uw1u=15,71-13,52w1u =2.19m/s

w1=

w1=4.23m/s




Cosβ1=

β1=Cos-1

β1=Cos-1

β1=58.82°

Ya tenemos todos los elementos del triángulo de entrada, calcularemos ahora los componentes del triángulo de salida;

u2=

u2=

u2=13.20m/s

c2m=5m/s

w2=

w2=

w2=14,12m/s

Cosβ2=

β2=Cos-1

β2=20.79°c2u=0

Hu=










Hu=

Hu=

Hu=21,65mBuscamos H por la siguiente ecuación sabiendo que nh=80%

ηh=

Donde;ηh= rendimiento hidráuljcoH=altura neta

=altura teórica

H=

H=27.06mPara calcular el caudal usamos la ecuación;

Q=τ*π* * * m

Q=caudal


= ancho del rodete




El enunciado nos da una relación ancho/diámetro=0.15




b1=d1. (0,15)b1= (0,75).(0,15)b1= 0,1125mYa tenemos todos los elementos necesarios para calcular el caudal solo falta sustituir en la ecuación;

Q=τ*π* * * m

Recordemos que el ejercicio no dice que τ1=1

Q=(1).π.(0,75).

Q=0.9622 /s

Ahora calculamos la potencia útil suministrada por la turbina (Pa).Pa=Q.γ.H.nt



H= altura netant= rendimiento total ó rendimiento global

Pa=(0,9622).(9810).(27,06).ntnt=nh.nm.nv

Donde;nt=rendimiento totoal o golbal.nh=rendimiento Hidráulico.nm=rendimiento mecánico.nv=rendimiento volumétrico.nh=0,8nm=1nv=1nt=(0,8).(1).(1)nt=0,8Pa=(0,9622).(9810).(27,06).(0,8)Pa=200.318kW

Considerando la perdida por rozamiento mecánico=3.7kWPa=(204,018.47 – 3,700)kW




Pa=200.318kW=200318W

Para el calculo de la presión relativa a la entrada de la turbina en bar(Pe) trabajaremos con la ecuación de Bernoulli (basándonos en la segunda expresión de la altura neta).Ps=0 (porque la presión de salida es la presión atmosférica)Zs=0 (porque es nuestra cota o nivel de referencia)Vs=0

Despejamos Pe;

Pe=

Pe=

Pe=224218,6Pa

Pe=224218,6Pa.

Pe=2.24bar

2.10.- Una turbina de reacción tiene las siguientes características, d1=680mm, b1=150mm, d2=500mm, b2=200mm, H=20m, c1m=3m/s, α1=12°, C2U=0Calcular.

Potencia en el eje (Pa). Rpm.

Angulo de los álabes a la salida del rodete ( ).

Datos:d1=680mm=0,68mb1=150mm=0,15md2=500mm=0,5mb2=200mm=0,2mH=20mc1m=3m/sα1=12°

Trabajamos con un rendimiento total (nt) igual al 100% entonces Pa=P

Por esta razón podemos calcular la potencia en el eje por la siguiente ecuaciónP=Q*γ*g*H




Para ello necesitamos el caudal

Q=

Q=caudal


= ancho del rodete




Q=

=1

Q=

Q=0,9613

Sustituimos el valor de caudal y de la altura neta(20m)P=Q.γ.HP=(0,9613).(9810).(20)P=188,6kW=188600WBuscamos N(rpm) por la ecuación,

N=

Antes debemos calcular u1;

Tanα1

c1u=c 1m. tanα1c1u=(3). Tan12°c1u=14.11m/sC 2U=0

Hu=










Hu=

Despejamos u1

u1=

Ya que estamos trabajando con un rendimiento hidráulico del 100% entonces; H=Hu

u1=

u1=

u1=13.905m/sAhora solo nos queda calcular N;

N=

N=

N=390,5rpm

β2=

β2=16,66°

formulas y ejercicios de turbinas hidraulicas

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