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Université d’Orléans
Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques – Groupe 2
Baptiste Morelle 29/09/2008
Baptiste Morelle Licence 1 de Mathématiques – Groupe 2
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Table des matières
Fonctions particulières .......................................................................................................................... 4
Fonction valeur absolue ......................................................................................................................... 4
Fonction partie entière........................................................................................................................... 5
Fonction partie fractionnaire ................................................................................................................. 6
Fonctions polynômes et racines ............................................................................................................ 7
Fonction constante................................................................................................................................. 7
Fonction linéaire .................................................................................................................................... 8
Fonction affine ....................................................................................................................................... 9
Fonction carrée .................................................................................................................................... 10
Fonction racine carrée ......................................................................................................................... 11
Fonction cube ....................................................................................................................................... 12
Fonction racine cubique ....................................................................................................................... 13
Fonction polynôme du second degré ................................................................................................... 14
Fonction inverse ................................................................................................................................... 16
Fonctions trigonométriques ................................................................................................................ 17
Fonction cosinus................................................................................................................................... 18
Fonction arc cosinus ............................................................................................................................. 19
Fonction sinus ...................................................................................................................................... 20
Fonction arc sinus................................................................................................................................. 21
Fonction tangente ................................................................................................................................ 22
Fonction arc tangente .......................................................................................................................... 23
Fonctions logarithmes et exponentielles ............................................................................................ 24
Fonction logarithme népérien .............................................................................................................. 24
Fonction exponentielle de base e......................................................................................................... 25
Fonction exponentielle de base a ......................................................................................................... 26
Fonctions puissances ............................................................................................................................ 27
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Fonctions particulières
Fonction valeur absolue
Définition : La fonction valeur absolue de x, notée |x|, est définie sur par :
Propriétés : |x| est strictement décroissante sur ]- ;0], et strictement croissante sur [0 ;+ [
|x| est une fonction positive
|x| est paire
Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction
Un nombre strictement négatif n’admet pas d’antécédent par cette fonction
|0| = 0
Graphe :
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Fonctions particulières
Fonction partie entière
Définition : La partie entière du réel x, notée E(x), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal
à x.
Propriétés : La fonction partie entière est discontinue en tout p de
Graphe :
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Fonctions particulières
Fonction partie fractionnaire
Définition : La fonction partie fractionnaire du réel x, notée {x}, est définie par la relation :
{x} = x – E(x).
Propriétés : La fonction partie fractionnaire est discontinue en tout p de
{x} est 1-périodique
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction constante
Définition : La fonction constante est la fonction qui à tout réel x, associe le réel C.
Propriétés : La fonction constante est paire
C est le seul réel admettant des antécédents par la fonction constante, est l’ensemble des
antécédents de C
Dérivée : f’(x) = 0
Primitive : F(x) = Cx
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction linéaire
Définition : La fonction linéaire est la fonction qui à tout réel x associe le réel ax, où a est un
coefficient réel.
Propriétés : La fonction linéaire est monotone (croissante si a est positif et décroissante si a est négatif)
La fonction linéaire est impaire
Si a 0, tout réel admet un unique antécédent par f
Dérivée : la fonction constante a. Primitive :
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction affine
Définition : La fonction affine associe à tout réel x, le réel ax+b, où a est le coefficient directeur,
et b l’ordonnée à l’origine.
Propriétés : Si a est nul, alors f est constante
Si b est nul, alors f est une fonction linéaire
Le coefficient directeur est égal à la pente : où
Dérivée : la fonction constante a.
Primitive :
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction carrée
Définition : La fonction carrée est la fonction qui à tout réel x, associe le réel noté x², soit x
multiplié par lui-même.
Propriétés : La fonction carrée est strictement décroissante sur et strictement croissante sur
x² est positive
x² est paire
Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction
Un nombre strictement négatif n’admet pas d’antécédent par cette fonction
Dérivée : Primitive :
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction racine carrée
Définition : La fonction racine carrée, notée , associe à tout réel x positif, le nombre dont le
carré vaut x. Son domaine de définition est : .
Propriétés : La fonction racine carrée est strictement croissante sur
La fonction racine carrée est positive
La fonction racine carrée n’est ni paire, ni impaire
Tout nombre réel strictement positif admet un unique antécédent par f : son carré
Dérivée : Primitive : est définie sur
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction cube
Définition : La fonction cube est la fonction définie par la relation : . Son domaine de
définition est .
Propriétés : La fonction est strictement croissante sur
La fonction est impaire
La fonction est bijective de
Dérivée : Primitive :
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction racine cubique
Définition : La fonction racine cubique, notée , associe à tout réel x, le nombre dont le cube
vaut x. Son domaine de définition est .
Propriétés : La fonction racine cubique est strictement croissante sur
La fonction racine cubique est impaire
La fonction racine cubique est bijective de
Dérivée : Primitive :
Graphe :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction polynôme du second degré
Définition : La fonction polynôme du second degré est définie par :
où a, b et c sont des constantes réelles. (On suppose en général
Propriétés : Forme canonique :
o On appelle forme canonique de f, l’expression :
Discriminant :
o Le discriminant de f est :
Racines :
o Si est positif, alors f admet deux zéros donnés par :
o Si est négatif, alors f ne s’annule jamais sur . f possède deux zéros complexes :
o Si est nul, alors f possède un zéro double
Signe : Le signe du trinôme coïncide avec celui de a, sauf entre ses racines.
Sens de variation :
Si , alors f est décroissante sur et croissante sur .
Si , alors f est croissante sur et décroissante sur .
Dérivée :
Primitive :
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Fonctions polynômes et racines
Fonction polynôme du second degré
Graphe : La courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole de sommet :
qui admet pour axe de symétrie la droite d’équation .
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Fonctions polynômes et racines
Fonction inverse
Définition : La fonction inverse est la fonction pour tout réel .
Propriétés : f est une fonction strictement décroissante sur et sur
f est impaire
La fonction inverse n’admet, ni zéro, ni maximum, ni minimum
Limites :
Dérivée :
Primitive :
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Quelques définitions
Mise-en-place : On se place dans le repère orthonormé . Soit le cercle trigonométrique
de centre O, et de rayon 1. A tout réel x, on associe un unique point M de tel que la mesure de
soit égale à x.
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Fonctions trigonométriques
Fonction cosinus
Définition : On appelle fonction cosinus, notée cos(x), la fonction qui à tout réel x associe
l’abscisse du point M dans le repère orthonormé . Son domaine de définition est .
Propriétés : La fonction cosinus est -Périodique
La fonction cosinus est paire
La fonction cosinus est croissante sur – et décroissante sur
La fonction cosinus est positive sur et négative sur
La fonction cosinus est bijective de
Dérivée : Primitive :
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Fonction arc cosinus
Définition : La fonction arc cosinus, notée arccos(y), est la fonction réciproque de la fonction cos :
Si et , on a : .
Propriétés : La fonction arc cosinus est strictement décroissante sur
La fonction arc cosinus est positive sur
Dérivée : pour tout
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Définition : On appelle fonction sinus, notée sin(x), la fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée
du point M dans le repère orthonormé . Son domaine de définition est .
Propriétés : La fonction sinus est -Périodique
La fonction sinus est impaire
La fonction sinus est croissante sur et décroissante sur
La fonction sinus est négative sur – et positive sur
La fonction sinus est bijective de
Dérivée : Primitive :
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Fonction arc sinus
Définition : La fonction arc sinus, notée arcsin(y), est la fonction réciproque de la fonction sin :
Si et , on a : .
Propriétés : La fonction arc sinus est strictement croissante sur
La fonction arc sinus est négative sur et positive sur
Dérivée : pour tout
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Fonction tangente
Définition : On appelle fonction tangente, notée tan(x), la fonction définie sur
.
Propriétés : La fonction tangente est -Périodique
La fonction tangente est impaire
La fonction tangente est strictement croissante sur
La fonction tangente est négative sur – et positive sur
La fonction tangente est bijective de Dérivée : ou
Graphe :
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Fonctions trigonométriques
Fonction arc tangente
Définition : La fonction arc tangente, notée arctan(y), est la fonction réciproque de la fonction
tan :
Si et , on a : .
Propriétés : La fonction arc tangente est strictement croissante sur
La fonction arc tangente est négative sur et positive sur
Dérivée : pour tout
Graphe :
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Fonctions logarithmes et exponentielles
Fonction logarithme népérien
Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est la fonction définie sur , dont
la dérivée est égale à .
Propriétés : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
On a :
ln(x) est négative sur et positive sur
La fonction réciproque de ln est l’exponentielle, avec et
Limites : et Primitive :
Graphe :
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Fonctions logarithmes et exponentielles
Fonction exponentielle de base e
Définition : Il existe une unique fonction f, dérivable sur , telle que et . Cette
fonction est appelée fonction exponentielle et est notée .
Propriétés : exp(x) est strictement croissante sur
exp(x) est strictement positive sur
On a : et
Limites : et Dérivée :
Primitive :
Graphe :
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Fonctions logarithmes et exponentielles
Fonction exponentielle de base a
Définition : La fonction exponentielle de base a, notée , est la fonction définie sur par la
relation , où .
Propriétés : Si , alors f est strictement décroissante sur
Si , alors f est constante
Si , alors f est strictement croissante sur
f est positive sur
Comportements asymptotiques :
Si , alors et Dérivée :
Si , alors et Primitive :
Graphes :
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Fonctions logarithmes et exponentielles
Fonctions puissances
Définition : La fonction puissance, notée , est la fonction définie par .
Si , son domaine de définition est . Si , son domaine de définition est .
Propriétés : Si :
o Si a est pair, alors est paire, strictement décroissante sur , strictement
croissante sur et positive sur
o Si a est impair, alors est impaire, strictement croissante sur et négative sur
, positive sur
Si :
o Si a est pair, alors est paire, strictement croissante sur , strictement
décroissante sur et positive sur
o Si a est impair, alors est impaire, strictement décroissante sur et négative sur
, positive sur
Comportements asymptotiques : Si :
o Si a est pair, alors et
o Si a est impair, alors et
Si :
o Si a est pair, alors , , et
o Si a est impair, alors , , et
Si : Si : Dérivée : Dérivée :
Primitive : Primitive :
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Fonctions logarithmes et exponentielles
Fonctions puissances
Graphes : Si :
Si :