Chapitre 1 : Applications et fonctions usuelles

1 Un peu de logique

1.1 Opérateurs logiques

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemples. « 0 < 4 » est une assertion qui est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. « L’exponentielle est une fonction décroissante » est une assertion qui est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. « Il pleuvra demain » n’est pas une assertion mathématique.

Si P et Q sont deux assertions, nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P et Qgrâce à des connecteurs logiques.

— Le connecteur logique « et ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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PQ V F

VF

Exemples 1. Si P est l’assertion « La carte tirée est un as » et Q l’assertion « La carte tirée est

un coeur », alors l’assertion (P et Q) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Si P est l’assertion « x < 4 » et Q l’assertion « x ⩾ 0 », alors l’assertion (P et Q) est . . . . . . . .

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1

— Le connecteur logique « ou ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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En voici la table de vérité :

PQ V F

VF

Exemples 1. Si P est l’assertion « La carte tirée est un as » et Q l’assertion « La carte tirée est

un coeur », alors l’assertion (P ou Q) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Si P est l’assertion « x < 4 » et Q l’assertion « x ⩾ 0 », alors l’assertion « P ou Q » est . . . . . .

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— La négation « non ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sa table de vérité est la suivante :P V F

non(P)

Exemples 1. Si Q est l’assertion « La carte tirée est un coeur », non(Q) est alors l’assertion . .

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2. Si P est l’assertion « x < 4 », alors l’assertion non(P) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

— L’implication ⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sa table de vérité est la suivante :

PQ V F

VF

Remarque Si l’assertion P ⇒ Q est vraie, on dit que P est une condition suffisante pour queQ soit vraie et que Q est une condition nécessaire pour que P soit vraie.

Exemples 1. L’assertion « 2 ⩽ 3⇒ 22 ⩽ 32 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. L’assertion « (θ ∈ R et sin(θ) = 0)⇒ θ = 0 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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— La réciproqueOn définit la réciproque de l’implication P ⇒ Q par l’assertion Q⇒ P .

Exemple La réciproque de « 2 ⩽ x⇒ 4 ⩽ x2 » est .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— La contraposéeOn définit la contraposée de l’implication P ⇒ Q par l’assertion non(Q)⇒ non(P).

Exemple La contraposée de « 2 ⩽ x⇒ 4 ⩽ x2 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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— L’équivalence ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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PQ V F

VF

Dans le langage courant, P ⇔ Q s’énonce fréquemment :. P est vraie si et seulement si Q l’est.. Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q le soit.. Pour que Q soit vraie, il faut et il suffit que P le soit.

3

Remarque Deux assertions sont équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.

Exemple Notons P l’assertion « x ∈ [0,1] » et Q l’assertion « 1 ⩽ 2x+1 ⩽ 3 ». L’assertion P ⇔ Qest elle vraie ?

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Proposition Étant données trois assertions P, Q et R, on a les résultats suivants :

. P et Q ⇒ ............................... et respectivement (P et Q)⇒ ..............

. P ⇒ ............................... et respectivement Q ⇒ .......................

. P ⇔ ........................................

. P et Q ⇔ ........................................

. P ou Q ⇔ ........................................

. P ⇒ Q ⇔ ........................................

. non(P et Q) ⇔ ........................................

. non(P ou Q) ⇔ ........................................

. non(P ⇒ Q) ⇔ ........................................

. (P et (Q ou R)) ⇔ ........................................

. (P ou (Q et R)) ⇔ ........................................

1.2 Quantificateurs

Une assertion P peut dépendre d’une variable x appartenant à un ensemble donné noté E (par exempleE = R, ou [0,1], ou N...) et on pourra la noter Px. Par exemple, l’assertion notée Px donnée par

ln(x) ⩾ 0

est définie pour x ∈ ........., elle est vraie pour tout x......... et fausse pour x..........

4

Si Px est une assertion dépendant d’une variable x (x ∈ E), trois cas peuvent se présenter :

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Le quantificateur ∀ se lit « pour tout ».

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Le quantificateur ∃ se lit « il existe ». Le symbole « : » est utilisé pour dire « tel que » (on pourraaussi rencontrer la notation slash « / » à la place des « : »).

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Notation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarques (Ordre des quantificateurs)Il est possible de combiner des quantificateurs pour créer de nouvelles assertions, par exemple :

∀x ∈ R,∃y ∈ R ∶ x + y > 0.

Cette assertion signifie que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5

Attention : l’ordre des quantificateurs est important comme nous le montre l’exemple suivant : lesassertions

∀x ∈ R,∃y ∈ R ∶ x + y > 0 et ∃y ∈ R,∀x ∈ R, x + y > 0

sont différentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemple Traduire à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes :. La fonction cosinus est minorée par -1 et majorée par 1 sur R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. L’équation ln(x) = 1 a une seule solution strictement positive : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Proposition (Réciproque et contraposée avec quantificateurs)

● La réciproque de l’assertion « ∀x ∈ E,Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

● La réciproque de l’assertion « ∃x ∈ E ∶ Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

● La contraposée de l’assertion « ∀x ∈ E,Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

● La contraposée de l’assertion « ∃x ∈ E ∶ Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemples. La réciproque de « ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. La contraposée de « ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Proposition (Négation des quantificateurs)Pour toute assertion Px portant sur les éléments x d’un ensemble E on a

● non(∀x ∈ E, Px) ⇔ ................................................................

● non(∃x ∈ E ∶ Px) ⇔ ................................................................

Exemples Donnons la négation des assertions suivantes :A : ∀x ∈ R, f(x) > 3.B : ∃x ∈ R− ∶ f(x) ⩽ 1.

6

C : ∀y ∈ R,∃x ∈ R ∶ y = f(x).D : ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y.E : L’application f est croissante ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F : L’application f est croissante et positive ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Négations :non(A) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

non(B) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

non(C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

non(D) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

non(E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

non(F ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Notations d’ensemble

2.1 Les ensembles

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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On notera en majuscule les ensembles (ex : A, E, F, ...) et en minuscule les éléments (ex : x, y, a, b, ...).

Exemples E = {1,2,5} et F = {x ∈ R ∶ x2 − 4 > 0} sont des ensembles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définitions (Ensembles particuliers)

● On appelle ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

● On appelle singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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On considère E, F deux ensembles. On manipulera dans ce qui suit les notions suivantes :

— L’inclusion : on dit que E est inclus dans F et on note E ⊂ F si tout élément de E est aussi unélément de F :

E ⊂ F ⇔ .........................................

On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F .

7

— L’égalité : on dit que les ensembles E et F sont égaux si et seulement si E est inclus dans F etF est inclus dans E :

E = F ⇔ .........................................

— Ensemble des parties de E : on note P(E) l’ensemble des parties de l’ensemble E. Par exemple,si E = {1,2,3},

P(E) = ............................................................................................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque : quel que soit l’ensemble E considéré, P(E) contient toujours au moins deux éléments :∅ et E.

— Le complémentaire : Si E ⊂ F , on définit le complémentaire de E dans F par

Ec = ........................................................

Autres notations : F ∖E, ou E.Soient A et B deux parties de E.— L’union :

A ∪B = .....................................................Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B.

— L’intersection :A ∩B = .....................................................

— Le produit cartésien :

A ×B = .....................................................

2.2 Opérations sur les ensembles

Proposition (Règles de calculs)Soient A,B et C des ensembles. On a

— A ∩ ∅ = ......., A ∩A = ........— A ∪ ∅ = ......., A ∪A = ........— A ∩B = B ∩A.— A ∪B = B ∪A.— A ∩ (B ∩C) = .......................................... on peut donc écrire A ∩B ∩C sans ambiguïté.— A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C on peut donc écrire A ∪B ∪C sans ambiguïté.

— A ∩ (B ∪C) = ...........................................— A ∪ (B ∩C) = ...........................................

8

Proposition Soient A et B deux ensembles. On a les résultats classiques suivants :— A ⊂ .................... et B ⊂ ....................— A ∩B ⊂ ....... et A ∩B ⊂ .......— A ⊂ B⇔ ....................

— (A ∪B)c = ....................— (A ∩B)c = ....................— (Ac)c = .......

2.3 L’ensemble des nombres réels RDéfinition L’ensemble des nombres réels R =] −∞,+∞[ possède les sous-ensembles suivants :

. R∗ = .....................

. R+ = ...................., et R− = ....................

. R∗

+= .................... = .................... et R∗

−= .................... = .....................

. N = {0,1,2,3, ....} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Z = {..,−3,−2,−1,0,1,2,3, ...} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Q = {pq, p ∈ Z, q ∈ N∗} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. R ∖Q l’ensemble des .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque ....................................................................................

Notation : R = .................... = ....................................... (attention à la notation, il ne s’agit pas ducomplémentaire de R !).

Proposition ∀a, b, c, d ∈ R

a × b = 0 ⇔ .......................................

a < b ⇔ .......................................

(a ⩽ b et b ⩽ a) ⇔ .......................................

(a ⩽ b et b ⩽ c) ⇒ .......................................

(a ⩽ b et c ⩽ d) ⇒ .......................................

(a ⩽ b et c ⩾ 0) ⇒ .......................................

(a ⩽ b et c ⩽ 0) ⇒ .......................................

9

Définitions Le maximum de deux réels a et b noté max(a, b) est défini de la façon suivante

max(a, b) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

.......................................

.......................................

Le minimum de deux réels a et b noté min(a, b) est défini de la façon suivante

min(a, b) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

.......................................

.......................................

3 ApplicationsDans toute la suite, on considère deux ensembles quelconques E et F .

3.1 Définitions

Définition Une application (ou fonction) c’est la donnée de trois choses :

1. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Notation Une application f sera notée

f ∶ E → F

x ↦ f(x),

où E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et pour tout x ∈ A, f(x) est l’élément de F associéà x, appelé image de x par l’application f .

Définition Si f ∶ E → F est une application, l’ensemble E est appelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque En pratique, lorsque l’on a une application f ∶ E ⊂ R → F , pour trouver son domaine dedéfinition E, on cherche :. soit les x ∈ R pour lesquels f(x) n’existe pas et on les « enlève » de R (lorsque l’on a une fraction dansl’expression de la fonction et un dénominateur susceptible de s’annuler...).. soit on cherche directement les x pour lesquels f(x) existe (si on a une expression qui contient uneracine, un logarithme...).

10

Exemples Soient E1,E2 et E3 trois sous-ensembles de R. Déterminer les domaines de définition E1,E2

et E3 des applications f1, f2 et f3 suivantes :

f1 ∶ E1 → R f2 ∶ E2 → R f3 ∶ E3 → Rx ↦ 1

x x ↦√x + 1 x ↦ 1

√

x+1

. 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.√x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 1√

x+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition Deux applications f1 ∶ E1 → F1 et f2 ∶ E2 → F2 sont égales si et seulement si les troispoints suivants sont vérifiés :

1. ............................. (égalité des ensembles de départ).

2. ............................. (égalité des ensembles d’arrivée).

3. ................................................................................. (égalité du processus de transformation).Si ces trois propriétés sont vérifiées, on note alors f1 = f2.

Exemples Les applications

f ∶ R → R et g ∶ [0,1] → Rx ↦ x + 1 x ↦ x + 1

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Définition Soient f ∶ E → F et g ∶ F ′ → G deux applications telles que .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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g ○ f ∶ ....... → .......

x ↦ ...............

11

La composition g ○ f consiste à appliquer f puis g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Si G ⊂ E on peut définir la composition f ○ g qui est donnée par

f ○ g ∶ ....... → .......

x ↦ ...............

Exemples On considère les applications :

f ∶ R → [−1,1], g ∶ R+ → R+ et h ∶ R → R+

x ↦ sin(x) x ↦ √x x ↦ x2.

Peut-on définir les applications f ○ g, g ○ f , g ○ h et h ○ f ? Si oui donnez-en la définition.

. g ○ f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. f ○ g : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. g ○ h : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. h ○ f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2 Applications fondamentales

Définition L’application identité de E notée IdE est définie par :

IdE ∶ ....... → .......

x ↦ .......

Proposition Soient f ∶ E → F et g ∶ F → E deux applications. Alors les applications f ○IdE ∶ .......→ .......et IdE ○ g ∶ .......→ ....... sont bien définies et vérifient les égalités suivantes

f ○ IdE = ....... et IdE ○ g = .......

Remarque L’identité dans R sera généralement notée Id plutôt que IdR.

12

Définition L’application valeur absolue notée ∣ . ∣ est définie par :

∣ . ∣ ∶ ....... → .......

x ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

....... si ..............

....... si ..............

y = ∣x∣

Remarque Sur la droite numérique, ∣x − y∣ représente la distance entre les réels x et y, en particulier,∣x∣ représente la distance entre les réels x et 0.

Proposition La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes pour tout x et y dans R1. ∣x∣.............. , ∣ − x∣ = ....... et ∣x∣ > 0⇔ ..............

2.√x2 = .......

3. ∣xy∣ = ..............4. ∀r ∈ R+, ∣x∣ ⩽ r⇔ ...................................⇔ ...................................

5. ∀b ∈ R, ∣x∣ ⩾ b⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

................................... si b ⩾ 0

................................... si b < 0.

6. L’inégalité triangulaire : ∣x + y∣ ⩽ ..................................

7. Seconde inégalité triangulaire : ................................... ⩽ ∣x − y∣.

Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque

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y = b

Proposition ∀r ∈ R+, ∀a ∈ R

∣x − a∣ ⩽ r⇔ .......................................................⇔ .......................................................

3.3 Antécédent, graphe, image directe et image réciproque

Définitions Soient f ∶ E → F une application et B un sous-ensemble de F .

— On appelle antécédent de y ∈ F par l’application f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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— Le graphe de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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— L’image de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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— L’image réciproque de B par f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Il ne faut pas confondre l’image de f notée I(f) et l’image de x par f notée f(x) car ce ne

sont pas le même type d’objet. En effet, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

Définition Une application f ∶ E → F est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶ E → F est injective, on considère deux points xet y quelconques de E tels que f(x) = f(y) et on manipule cette égalité pour montrer que cela impliquex = y.Pour montrer qu’une application n’est pas injective, il suffira d’exhiber deux points distincts ayant lamême image.

Exemples

1. L’application f ∶R Ð→ R

x z→ 2x + 1est injective. En effet,

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2. L’application g ∶R Ð→ R

x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. L’application g ∶R+ Ð→ R

x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. L’application h ∶R− Ð→ R+

x z→ ∣x∣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. L’application j ∶R ∖ {1} Ð→ R

x z→ x + 1

x − 1

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6. L’application k ∶R2 Ð→ R

(x1, x2) z→ x1 + x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque L’injectivité ou la non injectivité d’une application dépend fortement de son espace de départ,et pas seulement du procédé de transformation. En effet, on a vu que l’application g ci-dessus n’est pasinjective, mais sa restriction à R+ notée ici g l’est :

g ∶ R+ → Rx ↦ x2.

Définitions Soient A,B ⊂ R deux sous-ensembles de R et f ∶ A→ B une application.. On dit que f est croissante si

...............................................................................................................

. On dit que f est décroissante si

...............................................................................................................

. On dit que f est strictement croissante si

...............................................................................................................

16

. On dit que f est strictement décroissante si

...............................................................................................................

. On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante.

. On dit que f est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Proposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Preuve. On suppose qu’une application f ∶ E → F est monotone et on souhaite montrer qu’elle est

injective c’est à dire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Pour que la réciproque de cette proposition soit vraie, il faut que l’application soit de pluscontinue. On a le contre-exemple suivant : soit f ∶ R→ R la fonction définie par

f(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x si x ⩽ 0

1x si x > 0.

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Cf

17

Définition Une application f ∶ E → F est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶ E → F est surjective, on pourra donner, pour touty ∈ F , une solution x ∈ E à l’équation f(x) = y.Pour montrer qu’elle n’est pas surjective, il suffira de trouver un y0 ∈ F tel que l’équation f(x) = y0 n’apas de solution.

Exemples

1. f ∶R Ð→ R

x z→ 2x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. f ∶R+ Ð→ R+

x z→ 2x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. g ∶R Ð→ R

x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. g ∶R Ð→ R+

x z→ x2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. h ∶R Ð→ [1,+∞[x z→

√1 + x2

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Remarque La surjectivité ou la non surjectivité d’une application dépend fortement de ses espaces dedépart et d’arrivée, et pas seulement du procédé de transformation. En effet, on a vu que g ci-dessus n’est

pas surjective, mais g ∶R Ð→ R+

x z→ x2l’est et g ∶

[1,+∞[ Ð→ R+

x z→ x2ne l’est plus car l’équation g(x) = 0

n’a pas de solution dans [1,+∞[.

Proposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Définition Une application f ∶E Ð→ F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Autrement dit, tout point de l’espace d’arrivée possède exactement un antécédent par f .

Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶E Ð→ F est bijective, on pourra au choix :. Montrer qu’elle est injective et indépendamment qu’elle est surjective.. Ou alors montrer que pour tout y0 ∈ F , l’équation f(x) = y0 possède une unique solution x dans E.Pour montrer qu’elle n’est pas bijective, on pourra au choix :. Exhiber une valeur y0 ∈ F telle que l’équation f(x) = y0 n’a pas de solution.. Ou bien deux valeurs distinctes x1 ≠ x2 ∈ E telles que f(x1) = f(x2).

19

Exemple f ∶R ∖ {1} Ð→ R ∖ {2}

x z→ 2x + 1

x − 1

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Proposition Soit f ∶ E → F une application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition Soient I ⊂ R un intervalle et f ∶ I Ð→ R une fonction dérivable sur I. . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque La conclusion de la proposition précédente reste vraie si f ′ s’annule en un nombre fini depoints mais sans jamais changer de signe.

20

Exemple L’application f ∶R+ Ð→ [1,+∞[x z→

√1 + x2

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xf ′

f

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3.5 Application réciproque

Définition Pour toute application bijective f ∶E Ð→ F , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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f−1 ∶....... Ð→y z→ ..........................................................................................

On remarquera que la condition « f bijective » est essentielle si l’on veut que le x tel que y = f(x) soitbien défini de manière unique.

Exemple On considère l’application f ∶] −∞,2] Ð→ I(f)

x z→ x2 − 4x + 3.Dresser le tableau de variations de f , déterminer I(f), montrer que f est une bijection et calculer f−1.

xf ′

f

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Proposition Soient f ∶E Ð→ F une application bijective et f−1 ∶F Ð→ E sa réciproque. Alors

f−1 ○ f = IdE, c’est à dire .........................................................,

etf ○ f−1 = IdF , c’est à dire .........................................................

Preuve.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. Réciproquement, montrons que f ○ f−1 = IdF . Soit y0 ∈ F . Par définition, f−1(y0) = x0, où x0 estunique et vérifie f(x0) = y0. En appliquant f à f−1(y0), on a f(f−1(y0)) = f(x0) = y0, ce qui prouvebien que f ○ f−1 = IdF .

22

4 Fonctions usuelles

4.1 Fonction polynomiale

Définition Soient n ∈ N, a0, a1, ..., an−1 ∈ R et an ∈ R∗. Alors la fonction

P ∶ R → R

x ↦n

∑k=0

akxk = ...........................................................,

est appelée fonction polynôme de degré n.

Définition Soit P ∶ R→ R un polynôme de degré n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemple Le polynôme P défini pour tout x ∈ R par P (x) = x2 + x − 2 admet-il des racines ? . . . . . . . . . . .

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Proposition Soit P ∶ R→ R un polynôme de degré n. Alors :

. ......................................................................................................................

. ......................................................................................................................

Remarque Lorsque n = 2, si P (x) = ax2 + bx + c admet deux racines x1 et x2 alors une factorisation de

P est P (x) = .......................................................

Exemple 1 et −2 sont racines du polynôme Pdéfini par P (x) = x2 + x − 2, ainsi P (x) se factorise par

............. et ............., une factorisation est P (x) = ......................................................

4.2 Fonctions logarithme et exponentielle

Définition On appelle logarithme népérien l’unique fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propriétés (Règles de calcul)Pour tout a, b ∈ R∗

+, n ∈ Z on a

ln(ab) = ...........................................................

ln(ab) = ...........................................................

ln(an) = ...........................................................

ln(1a) = ...........................................................

ln( 1

an) = ...........................................................

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Théorème L’application logarithme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition La fonction exponentielle notée exp ∶ R→]0,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque On utilisera la notation exp(x) = ex. Comme elle est la réciproque de la fonction logarithme,on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie

..................................................................................................................

Propriétés (Règles de calcul)Pour tout x, y ∈ R et pour tout n ∈ Z,

e0 = ......................,

ex+y = ......................,

e−x = ......................,

enx = ......................,

e−nx = (ex)−n = .......................

Définition Soit a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

expa ∶ ..... → ...................

x ↦ ...........................

4.3 Fonctions puissances et leurs réciproques

Définition Soit α ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition Soit α ∈ R.

L’application ∶]0,+∞[ Ð→ ]0,+∞[

x z→ xαest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(et strictement décroissante si α < 0). Elle admet pour réciproque l’application ∶............. Ð→ .............

x z→ .........

Remarque Lorsque n ∈ N et n ⩾ 2, la réciproque de l’application x↦ xn est l’application . . . . . . . . . . . . . .

appelée racine n-ième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.4 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques

cos(x) = ......................

sin(x) = ......................

tan(x) = ......................

x1

0

sin tan

cos

M ′M

B A

θ 0 π6

π4

π3

π2

cos(θ)√

32

√

32

√

22

12

√

32

sin(θ) 12

√

22

√

32

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propriétés La fonction sinus sin ∶ R→ [−1,1] vérifie :

.∀x ∈ R, sin(−x) =.....................(elle est impaire).

.∀x ∈ R, sin(x + 2π) =.....................(elle est 2π-périodique).

.∀x, y ∈ R, sin(x+y) = .......................................................................

.∀x, y ∈ R, sin(x − y) = ..............................................................

.∀x ∈ R, sin(2x) = .....................................................................

Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Proposition La fonction sinus sin ∶ ..................→ .............. est bijective.

Définition On appelle fonction arccsinus, notée arcsin ∶ ..............→ ................., l’application réciproquede la fonction sin ∶ [−π2 , π2 ]→ [−1,1].

Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1,1], arcsin(y) est l’unique angle compris entre −π2 et π2 tel

que son sinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :

Si x ∈ [−π2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

Exemple d’application : Que vaut arcsin(12)?

Par définition,

θ = arcsin(12)⇔ ......................................................................

Par identification, θ = ......

25

Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [−1,1] dans [−π2 , π2 ] et vérifie :

. arcsin(sin(x)) = .....................................

. sin(arcsin(y)) = ....................................

. arcsin(−y) = ..........................................

Exemple d’application : Que vaut arcsin(sin(13π3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propriétés La fonction cosinus cos ∶ R→ [−1,1] vérifie :

.∀x ∈ R, cos(−x) =.....................(elle est paire).

.∀x ∈ R, cos(x + 2π) = .....................(elle est 2π-périodique).

.∀x, y ∈ R, cos(x − y) = ..............................................................

.∀x, y ∈ R, cos(x + y) = ..............................................................

.∀x ∈ R, cos(2x) = .....................................................................

Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n’est pas injective sur R, elle n’est donc pasbijective de R dans R.

Proposition La fonction cos ∶ ..............→ .............. est bijective.

Définition On appelle fonction arccosinus, notée arccos ∶ ..............→ .............., l’application réciproquede la fonction cos ∶ [0, π]→ [−1,1].

Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1,1], arccos(y) est l’unique angle compris 0 et π tel que soncosinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :

Si x ∈ [−π2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

Exemple d’application : Que vaut arccos(12)?

Par définition,

θ = arccos(12)⇔ ......................................................................

Par identification, θ = ......

26

Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [−1,1] dans [0, π] et vérifie :

. arccos(cos(x)) = ....................................

. cos(arccos(y)) = ....................................

Exemple d’application : Que vaut arccos(cos(13π3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propriétés La fonction tangente tan ∶Dtan → R est définie par tan(x) = sin(x) + +avec

Dtan = {x ∈ R ∶ ........................} = {x ∈ R ∶ ....................................................}.

Elle vérifie :. ∀x,−x ∈Dtan, tan(−x) = ...................... (elle est ..........................).

. ∀x ∈Dtan, tan(x + π) = ...................... (elle est ..........................................).

. ∀x ∈Dtan, 1 + tan2(x) = sin(x) + +

Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n’est pas injective sur son domaine dedéfinition, elle n’est donc pas bijective de Dtan vers R.

Proposition La fonction tangente tan ∶ ..................→ ......... est bijective.

Définition On appelle fonction arctangente, notée arctan ∶ ........→ ....................., l’applicationréciproque de la fonction tan ∶] − π

2 ,π2 [→ R.

Remarque Par définition, pour tout y ∈ R, arctan(y) est l’unique angle compris (strictement) entre −π2et π

2 tel que sa tangente soit égale à y. Ceci nous donne la relation suivante :

Si x ∈ [−π2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

27

Propriétés La fonction arctangente est bijective de R dans ] − π2 ,

π2 [ et vérifie :

. arctan(tan(x)) = ........................................

. tan(arctan(y)) = ........................................

. arctan(−y) = ..............................................

Exemple : En posant t = tan(x2) montrer que pour tout x ∈ R∖{y ∈ R ∶ y = π+2kπ, k ∈ Z}, cos(x) = 1 − t21 + t2 .

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Remarque Voici quelques valeurs remarquables à connaitre :

y −1 0 1

arccos(y) blabla blabla blabla

arcsin(y)

arctan(y) 1

2

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4.5 Fonctions hyperboliques directes et leurs réciproques

Définitions On appelle fonction sinus hyperbolique, notée ............................................, la fonctiondéfinie par

shx = ex − e−x + 788

, ∀x ∈ R.

On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par

chx = ex − e−x + 788

, ∀x ∈ R.

Propriétés

1. La fonction sinus hyperbolique vérifie :

. sh est ......................................................................

. sh(−x) = ....................., ∀x ∈ R.2. La fonction cosinus hyperbolique vérifie :

. ch est ......................................................................

. ch(−x) = ....................., ∀x ∈ R.Définitions On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Par ces définitions, on a

Si x ∈ [−π2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

etSi x ∈ [−π

2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

Propriétés

1. La fonction argument sinus hyperbolique est bijective de ......dans ...... et vérifie :

. argsh(−y) = ..............................., ∀y ∈ R.

. argsh(y) = ................................., ∀y ∈ R.

2. La fonction argument cosinus hyperbolique est bijective de............... dans ...... et vérifie :

. argch(y) = ................................., ∀y ∈ [1,+∞[.

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Définition On appelle fonction tangente hyperbolique, notée ............................................, la fonctiondéfinie par

thx = ex + 2 + + = e

x − e−x + 788, ∀x ∈ R.

Propriétés La fonction tangente hyperbolique vérifie :

. th est .................................................

. th(−x) = ............., ∀x ∈ R.

Définition On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Remarque Par cette définition, on a

Si x ∈ [−π2,π

2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).

Propriétés La fonction argument tangente hyperbolique est bijective de............. dans ...... et vérifie :

. argth(−y) = .............................., ∀y ∈] − 1,1[.

. argth(y) = ................................, ∀y ∈] − 1,1[.

Proposition Les fonctions sh, ch et th sont reliées par les relations suivantes, ∀x ∈ R

chx + shx = .....

chx − shx = .....

ch2 x − sh2 x = .....

1 − th2 x =12

ch2 x + 2.

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