formas cuadráticas (para finanzas)
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Formas Cuadraticas
Calculo II
Metodos Cuantitativos para las Finanzas
J. Rogelio Perez Buendıa
Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico
27 de octubre de 2014
J. Rogelio Perez Buendıa Formas Cuadraticas
Introduccion
Una forma lineal de R1 a R1 es simplemente una funcion de la forma
f (x) = ax
con a ∈ R.
El siguiente nivel de complejidad es una funcion cuadratica
f (x) = ax2
.
J. Rogelio Perez Buendıa Formas Cuadraticas
Introduccion
La generalizacion natural de de una cuadratica en dos variables es lo que
llamamamos forma cuadratica en dos variables que es de la forma:
Q(x , y) = a11x2 + a12xy + a22y 2
en donde el grado de cada monomio es 2.
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Forma cuadratica
La generalizacion natural para formas cuadraticas en tres variables es:
Q(x , y , z) = a11x2 + a12xy + a13xz + a22y 2 + a23yz + a33z2
J. Rogelio Perez Buendıa Formas Cuadraticas
Definicion
Una Forma Cuadratica en Rk es una funcıon con valores reales de la
forma:
Q(x1, x2, . . . , xk) =k∑
i,j=1
aij .
Formas cuadraticas son de gran importancia para el estudio del calculo de
varias variales que es necesario dedicarle una clase a este tema.
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Conicas
Las curvas de nivel de una forma cuadratica en dos variables:
a11x21 + a12x1x2 + a22x2
2 = b
es una elıpse, una hiperbola, un par de lineas, o posiblemente vacıa.
Todas estas curvas son el resultado de cortar una cono con un plano a
distitnas inclinaciones. Es por esto que estas curvas son llamadas
secciones conicas:
Figura: caption
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Ejemplo
Si los terminos curzados de una forma cuadratica en dos variables son
numos, es decir si a12 = 0 entonces la curva de nivel para b > 0:
Q(x1, x2) = a11x21 + a22x2
2 = b
es mucho mas facil de analizar.
Si a11 = a22 emtpmces esta es la ecuacion de un cırculo.
Si a11a22 > 0 entonces esta es la ecuacion de una elıpse con semiejes
de longitud√
b/a11 y√
b/a22.
Si a11a22 < 0 entonces esta es la ecuacion de una hiperbola.
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Ejemplo
En el caso de que a11 = a22 = 0, entonces la ecuacion de la cuadrica se
convierte en
a12x1x2 = b.
Esta es una familia de hiperbolas, que es el conjunto de isocuantas de la
funcion de produccion de Cobb-Douglas f (x1, x2) = a12x1x2.
Figura: caption
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Representacion Matricial
Una funcion lineal f (x1, x2, . . . , xk) = a1x1 + a2x2 + · · ·+ akxk tiene una
representacion matricial de la forma:
f (X ) = [a1, a2, . . . ak ]t
x1
x2
...
xk
= at · X
De manera similar, una forma cuadratica tiene una representacion
matricial.
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Representacion Matricial
Por ejemplo, podemos escribir la forma cuadratica en dos variables:
a11x2 + a12xy + a22y 2 = [x1, x2]
(a11 a′12
a′21 a22
)[x1
x2
]
y de hecho, muchas distintas matricies pueden funcionar para expresar
esta forma cuadratica, dependiendo de como dividamos los coeficientes
de los terminos curzados a12 = a′12 + a′21.
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Representacion simetrica
Si dividimos a el coeficiente del termino cruzado en a12 = a21 entonces
obtenemos una matriz simetrica:
a11x2 + a12xy + a22y 2 = [x1, x2]
(a11
12 a12
12 a21 a22
)[x1
x2
]
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Representacion simetrica
Similarmente, podemos usar una matriz simetrica para representar a una
forma cuadratica en tres variables:
a11x21 + a12x1x2 + a13x1x3 + a22x2
2 + a23x2x3 + a33x23 =
[x1, x2, x3]
a11
12 a12
12 a13
12 a21 a22
12 a23
12 a31
12 a32 a33
x1
x2
x3
Si hacemos algo similar para mas variables obtenemos el siguiente
teorema.
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Teorema de representacion
Teorema
La forma cuadratica general
Q(x1, x2, . . . , xn) =∑i≤j
aijxixj
puede ser escrita como:
[x1, x2, . . . , xk ]
a11
12 a12 · · · 1
2 a1k
12 a21 a22 · · · 1
2 a2k
......
. . ....
12 ak1 ak2 · · · a2k
x1
x2
...
xk
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Matriz simetrica unica
Entonces Q(x1, x2, . . . , xk) = X tAX en donde A es una matriz simetrica
(unica). Conversamente, si A es una matriz simetrica entonces la funcıon
con valores reales Q(X ) = X tAX como antes, es una forma cuadratica.
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Formas cuadraticas definidas
Consideremos a la forma cuadratica de una variable y = ax2. Si a > 0,
entonces ax2 ≥ 0 siempre y es igual a 0 solo cuando x = 0. Una forma de
este tipo es llamada positiva definida; x = 0 es llamado su minimizante
global.
Si a < 0, entonces ax2 ≤ 0; y es igual a 0 solo cuando x = 0. Una tal
forma es llamada negativa definida y x = 0 es su maximizante global.
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En dos variables
En dos dimensiones, la forma cuadratica:
Q(x , y) = x2 + y 2 es siempre positiva para (x , y) 6= (0, 0). Ası que
Q es positiva definida.
Si Q(x , y) = −x2 − y 2 es siempre negativa para (x , y) 6= (0, 0) y es
llamada negativa definida
Formas cuadraticas de la forma Q(x , y) = x2 − y 2 toma valores
tanto positivos como negativos y es llamada indefinida.
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Hay casos intermedios:
Una forma cuadratica que es siempre ≥ 0 pero que puede ser igual a
cero para algunos x 6= 0 es llamada positiva semidefinida. Por
ejemplo la forma:
Q(x , y) = (x + y)2
es positiva pero es cero para todos los puntos de la forma (x , x).
Una forma cuadratica de la forma Q(x , y) = −(x + y)2 es siempre
≤ 0 pero vale cero para los puntos de la forma (x , y) con x = y .
Formas de este tipo son llamadas negativas semidefinidas.
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Forma positiva definida
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Forma negativa definida
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Forma indefinida
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Forma positiva semidefinida
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Forma negativa semidefinida
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Matrices simetricas definidas
Una matriz simetrica es llamada positiva definida, positiva semidefinida,
negativa definida etc; de acuerdo a si su forma cuadratica asociada
Q(x) = x tAx lo es.
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Definicion
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Hessiano
Dada una funcıon f : Rn → R de n-variables y valores reales tal que tiene
segundas derivadas parciales. Entonces el Hessiano de f es la matrix
cuyas entradas estan formadas por las derivades perciales mixtas ∂f∂xixj
:
Figura: Hessiano
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Aproximaciones de Taylor
external
internal
Teorema de Taylor
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