forelesning 3 læringsmål - algoritmer og datastrukturerforelesning splitt & hersk 3 11 12 1....

Forelesning 3

Rekursiv dekomponering er kanskjeden viktigste ideen i hele faget, ogdesignmetoden splitt og hersk er engrunnleggende utgave av det: Delinstansen i mindre biter, løs problemetrekursivt for disse, og kombinérløsningene.

Pensum

⇤ Kap. 2. Getting started: 2.3

⇤ Kap. 4. Divide-and-conquer:Innledning, 4.1 og 4.3–4.5

⇤ Kap. 7. Quicksort

⇤ Oppgaver 2.3-5 og 4.5-3 medløsning (binærsøk)

⇤ Appendiks B og C i pensumheftet

Læringsmål

[C1] Forstå divide-and-conquer (splittog hersk)

[C2] Forstå maximum-subarray-problemet med løsninger

[C3] Forstå Bisect og BisectÕ (se

appendiks C i pensumheftet)

[C4] Forstå Merge-Sort

[C5] Forstå Quicksort ogRandomized-Quicksort

[C6] Kunne løse rekurrenser medsubstitusjon, rekursjonstrær ogmasterteoremet

[C7] Kunne løse rekurrenser mediterasjonsmetoden (seappendiks B i pensumheftet)

[C8] Forstå hvordan variabelskiftefungerer

mlh@

ntnu.no

1

Forelesningen filmes

2

d&c

Dette er den velkjente induksjonsstigen vår

mlh@

ntnu.no

3

d&c

Vi reduserer en instans til mindre instanser . . .

mlh@

ntnu.no

4

d&c

. . . til vi treffer grunntilfellet

mlh@

ntnu.no

5

d&c

Vi løser grunntilfellet og bygger vi oss opp igjen

mlh@

ntnu.no

6

d&c

Alle induktive trinn er like, så ser bare på ett av dem

mlh@

ntnu.no

7

d&c

Men vi kan også spalte i flere delinstanser

mlh@

ntnu.no

8

d&c

Men vi kan også spalte i flere delinstanser

mlh@

ntnu.no

9

d&c

Denne designmetoden kalles «splitt og hersk» (divide & conquer)

mlh@

ntnu.no

10

Forelesning

Splitt &

hersk3

11

12

1. Rekurrenser

2. Binærsøk

3. Merge sort

4. Quicksort

5. Masterteoremet

6. Variabelskifte 4.1: Selvstudium

Rekurrenser

13

1:6Fibonacci-sekvensen (fra Liber Abaci, 1228)

Én ting er at vi her regner på kjøretider, men merk at strukturen til utregningene og bevisene er den samme som for algoritmedesign og korrekthetsbevis – det er bare «innholdet» som er forskjellig. Det å forstå rekurrensregning kan være nyttig for å bedre forstå rekursiv dekomponering og algoritmedesign generelt – ikke bare for kjøretidsberegninger.

• Rekurrens: Rekursiv ligning

• Beskriver f.eks. kjøretiden til

rekursive algoritmer

• Må kvitte oss med den rekursive biten

14

• Finn løsning:

• Iterasjonsmetoden

• Rekurrenstrær

• Masterteoremet (senere i dag)

• Verifisér løsning:

• Substitusjon (dvs. induksjon)

15

Iterasjonsmetoden står ikke oppført som læringsmål (en forglemmelse!) – men den er pensum (og står også oppført som pensum).

«Iterasjonsmetoden»: Gjentatt ekspandering av den rekursive forekomsten av funksjonen – det gir oss en sum som vi kan regne ut.

d&c › rekurrenser

T(1) = 1

Antar stort sett dette (evt. T(1) = O(1), e.l.)

mlh@

ntnu.no

16

17

Eksempel: 1 + 1 + …

d&c › rekurrenser

T(n) = T(n − 1) + 1

mlh@

ntnu.no

18

d&c › rekurrenser

T(n) = T(n − 1) + 1

Ett rekursivt kall (størrelse n − 1) pluss én operasjon

mlh@

ntnu.no

19

d&c › rekurrenser › T(n) = T(n − 1) + 1

T(n − 1)

mlh@

ntnu.no

20

Rekurre

ns-tre

mlh@

ntnu.no

d&c › rekurrenser › T(n) = 1 + T(n − 1)

T(n) = 1

+ T(n − 1) (1)

21

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ T(n − 1) (1)

22

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ T(n − 1 − 1) (2)

23

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ T(n − 2) (2)

24

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ T(n − 3) (3)

25

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n − ?) (?)

26

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n − ?) (n − 1)

27

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n − (n − 1)) (n − 1)

28

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(1) (n − 1)

29

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ 1 (n − 1)

30

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ 1 (n − 1)

T(n) = n

31

32

VerifikasjonMed substitusjon/induksjon

Her må vi også huske å verifisere at grunntilfellet (f.eks. T(1)=1) stemmer med løsningen vår. Det har jeg ikke eksplisitt diskutert her, men det stemmer for de eksemplene vi ser på.

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

33

Denne løsningen har vi kommet frem til litt uformelt – vi kan verifisere den med induksjon. Det kalles «substitusjonsmetoden», og den kan også brukes om vi bare *gjetter* svaret.

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

Gitt antagelsen T(n − 1) = n − 1, vis at T(n) = n

34

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1


35

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

= (n − 1) + 1


36

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

= (n − 1) + 1

= n − 1 + 1


37

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

= (n − 1) + 1

= n − 1 + 1

= n


38

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n − 1) + 1

= (n − 1) + 1

= n − 1 + 1

= n


39


T(n − 1)

mlh@

ntnu.no

40


T(n − 1)

T(n) = n

mlh@

ntnu.no

41

Binærsøk

42

2:6Sir Thomas Little Heath sin beskrivelse av Herons metode for å approksimere kvadratrøtter ved hjelp av en nær slektning av binærsøk – en metode som antagelig ble brukt allerede av babylonerne.

(Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 2, 1921; Fowler & Robson, Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context, 1998)

Her bruker vi strengt tatt fortsatt bare én delinstans – men strategien med å halvere instansen er en vanlig ingrediens i mer typiske D&C-algoritmer (som vi straks skal se på).

• Sortert sekvens

• Er det du leter etter i første halvdel?

• Hvis ja: Let videre der

• Hvis nei: Let i den andre halvdelen

43

d&c › binærsøk

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8

(Anta at kortet ditt er 6)

mlh@

ntnu.no

44

Her sjekker jeg bare hvilken halvdel jeg skal lete i – og sjekker ikke om kortet vi ser på er det vi er ute etter før vi kommer til bunnen. I pseudokoden senere har vi den sjekken i tillegg.

d&c › binærsøk

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8

Er kortet større enn A[4]?

mlh@

ntnu.no

45

d&c › binærsøk

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8

55

5

66

6

77

7 88

8


mlh@

ntnu.no

46

d&c › binærsøk

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8

55

5

66

6

77

7 88

8

55

5

66

6


mlh@

ntnu.no

47

d&c › binærsøk

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8

55

5

66

6

77

7 88

8

55

5

66

6

66

6

Er A[6] kortet ditt?

mlh@

ntnu.no

48

d&c › binærsøk

11

1

11

1

11

1

11

1

1

lg n

Antall spørsmål: lg n + 1

mlh@

ntnu.no

49

Bisect(A, p, r, v)

A er sortert. Om mulig, finn en indeks i så A[i] == v

A tabellp venstrer høyrev søkeverdi

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

50

Bisect(A, p, r, v)

Har vi i det hele tatt et segment å lete i?

1 if p Æ r

A tabellp venstrer høyrev søkeverdi

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

51

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r

Del på midten

2 q = Â(p + r)/2Ê

A tabellp venstrer høyrev søkeverdiq midten

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

52

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê

Er dette verdien vi leter etter?

3 if v == A[q]


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

53

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]

I så fall er vi ferdige

4 return q


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

54

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]4 return q

Ellers: Må v ligge til venstre?

5 elseif v < A[q]


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

55

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]4 return q5 elseif v < A[q]

Let videre til venstre

6 return Bisect(A, p, q ≠ 1, v)


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

56

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]4 return q5 elseif v < A[q]6 return Bisect(A, p, q ≠ 1, v)

Ellers må v ligge til høyre, så vi leter videre der

7 else return Bisect(A, q + 1, r, v)


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

57

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]4 return q5 elseif v < A[q]6 return Bisect(A, p, q ≠ 1, v)7 else return Bisect(A, q + 1, r, v)

Vi fant ikke v, så vi returnerer nil

8 return nil


d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

58

Bisect(A, p, r, v)1 if p Æ r2 q = Â(p + r)/2Ê3 if v == A[q]4 return q5 elseif v < A[q]6 return Bisect(A, p, q ≠ 1, v)7 else return Bisect(A, q + 1, r, v)8 return nil

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

59


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

60


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

61


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

62


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

63


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

64


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

65


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

66


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

67


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

68


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

69


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

70


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

71


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

72


! 5

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

73


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

74


! 5

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

75


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

76


! 5

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

77


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

78


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

79


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

80


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

81


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

82


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

83


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

84


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

85


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

86


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

q

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

87


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

88


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

89


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

90


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

91


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, q, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

92


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

r

p

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4 › 5, 4, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

93


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

r

p

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4 › 5, 4, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

94


! nil

1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

r

p

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4 › 5, 4, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

95


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

96


! nil

1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p, r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4 › 5, 5, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

97


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

98


! nil

1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4 › 5, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

99


1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

100


! nil

1 1

2 2

2 3

3 4

5 5

5 6

6 7

7 8

p

r

p, r, v = 1, 8, 4

d&c › binærsøk

mlh@

ntnu.no

101

d&c › binærsøk

T(n) = T(n/2) + 1

mlh@

ntnu.no

102

Her gjør jeg endel antagelser/forenklinger, f.eks. at delproblemet har størrelse n/2 og ikke n/2 – 1 – og at vi ikke finner v før vi har kommet til bunnen. Disse antagelsene har ikke noe å si for den asymptotiske worst-case-kjøretiden.

d&c › binærsøk

T(n) = T(n/2) + 1

Ett rekursivt kall (størrelse n/2) pluss én operasjon

mlh@

ntnu.no

103

d&c › binærsøk › T(n) = T(n/2) + 1

T(n/2)

mlh@

ntnu.no

104

mlh@

ntnu.no

d&c › binærsøk › T(n) = 1 + T(n/2)

T(n) = 1

+ T(n/2) (1)

105

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ T(n/2) (1)

106

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ T(n/2/2) (2)

107

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ T(n/4) (2)

108

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ T(n/8) (3)

109

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n/2?) (?)

110

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n/2?) (lg n)

111

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n/2lg n) (lg n)

112

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(n/n) (lg n)

113

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ T(1) (lg n)

114

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ 1 (lg n)

115

mlh@

ntnu.no


T(n) = 1

+ 1 (1)

+ 1 (2)

+ 1 (3)

......

+ 1 (lg n)

T(n) = lg n + 1

116

117


mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

118

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

Gitt T(k) = lg k + 1 for k < n, vis T(n) = lg n + 1

119

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1


120

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

= (lgn

2+ 1) + 1


121

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

= (lgn

2+ 1) + 1

= lg n − lg 2 + 2


122

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

= (lgn

2+ 1) + 1

= lg n − lg 2 + 2

= lg n + 1


123

mlh@

ntnu.no


T(n) = T(n/2) + 1

= (lgn

2+ 1) + 1

= lg n − lg 2 + 2

= lg n + 1


124


T(n/2)

mlh@

ntnu.no

125


T(n/2)

T(n) = lg n + 1

mlh@

ntnu.no

126

254

©

• D . E

. K n u

t h

X: ,~5

) ~

~, , z, ,

... :

¢ ) T

Y, o)

w ' .~ ' - .

~ . , .~

~,) ~ . ,

7,, ,,'> ,

. : ,~ ,.,

., - : / t .

. . . . ,-

~,) a- -

. 7i,

~2) / ¢ " /

r .,o,

"d,"," "

, ' . ~ ",

-

. - ~. ) ...

~ "~

~ , .~.

/o,) ~ - .

~" I

Ab/A~I~¢

7~,..,..,, . ,

~ ,, ~

.,.,.,.~.,,

-f" ,'¢.~

~ ~.,:,

~ a, /,,

, /,, /,.,

c,~,) ~

co,,.v, -- , '

, .~-~,/- , .~

/ ' , - - ~

"~,-~ "I"

< ~2 .

FIG. 1.

The

or igina l

manus

c r i pt .

simply

change

d line

27 to

"SEL B

ETA,

GAMM

A", om

itting li

nes 24,

25, 30,

31, 32,

33, 34,

35 entir

ely, an

d then

he could

have

used B

ETA a

nd GA

MMA

instead

of

ALPHA

1 and A

LPHA2

in the r

emainde

r of

the prog

ram. Th

is would

have sa

ved fou

r of

the prec

ious sh

ort tank

locati

ons, an

d it

would h

ave m

ade th

e calcu

lation s

lightly

faster.

Similarl

y line 3

6 is unn

ecessary

, since

location

EXIT

could b

e stored

in LDE

LTA.

Computi

ng Surve

ys, Voi. 2

, No. 4,

Decemb

er 19T0

Merge sort

127

3:6Kalles også «flettesortering» på norsk.

«[Von Neumann’s] manuscript, written in ink, is 23 pages long; the first page still shows traces of the penciled phrase "TOP SECRET," which was subsequently erased. (In 1945, work on computers was classified, due to its connections with military problems.)»

Donald Knuth, «Von Neumann’s First Computer Program»

http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=356580.356581

• Sortér venstre halvdel rekursivt

• Sortér høyre halvdel rekursivt

• Flett sammen halvdelene

128




129

Merge(A, p, q, r)

Flett sorterte segmenter A[p . . q] og A[q + 1 . . r]

A tabellp venstreq midtenr høyre

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

130

Merge(A, p, q, r)

Lengden til første segment, A[p . . q]

1 n1 = q − p + 1

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengde

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

131

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 1

Lengden til andre segment, A[p + 1 . . r]

2 n2 = r − q

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengden2 h. lengde

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

132

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q

Vi kopierer midlertidig innholdet i A[p . . q] og A[q + 1 . . r] til L og R

3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengden2 h. lengdeL kopi, v.R kopi, h.

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

133

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]

For hver indeks i i L . . .

4 for i = 1 to n1

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengden2 h. lengdeL kopi, v.R kopi, h.i pos. i L

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

134

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n1

Kopier tilsvarende element fra A[p . . q]

5 L[i] = A[p + i − 1]

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengden2 h. lengdeL kopi, v.R kopi, h.i pos. i L

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

135

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n15 L[i] = A[p + i − 1]

For hver indeks j i R . . .

6 for j = 1 to n2

A tabellp venstreq midtenr høyren1 v. lengden2 h. lengdeL kopi, v.R kopi, h.i pos. i Lj pos. i R

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

136

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n15 L[i] = A[p + i − 1]6 for j = 1 to n2

Kopier tilsvarende element fra A[q + 1 . . r]

7 R[j] = A[q + j]


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

137

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n15 L[i] = A[p + i − 1]6 for j = 1 to n27 R[j] = A[q + j]

Vaktpost (sentinel) så vi slipper å sjekke om vi er ved slutten

8 L[n1 + 1] = ∞


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

138

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n15 L[i] = A[p + i − 1]6 for j = 1 to n27 R[j] = A[q + j]8 L[n1 + 1] = ∞

Vaktpost (sentinel) så vi slipper å sjekke om vi er ved slutten

9 R[n2 + 1] = ∞


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

139

Merge(A, p, q, r)1 n1 = q − p + 12 n2 = r − q3 new: L[1 . . n1 + 1], R[1 . . n2 + 1]4 for i = 1 to n15 L[i] = A[p + i − 1]6 for j = 1 to n27 R[j] = A[q + j]8 L[n1 + 1] = ∞9 R[n2 + 1] = ∞

10 . . .


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

140

Merge(A, p, q, r)10 . . .

A tabellp venstreq midtenr høyreL kopi, v.R kopi, h.i pos. i Lj pos. i R

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

141

Merge(A, p, q, r)10 . . .

Hvor er vi i L?

11 i = 1


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

142

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 1

Hvor er vi i R?

12 j = 1


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

143

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 1

Vi setter inn i A[p . . r]. For hver indeks k, bruk min{L[i], R[j]}

13 for k = p to r

A tabellp venstreq midtenr høyreL kopi, v.R kopi, h.i pos. i Lj pos. i Rk pos. i A

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

144

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 113 for k = p to r

Hvis L[i] er minst . . .

14 if L[i] Æ R[j]


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

145

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 113 for k = p to r14 if L[i] Æ R[j]

Bruk L[i]

15 A[k] = L[i]


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

146

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 113 for k = p to r14 if L[i] Æ R[j]15 A[k] = L[i]

Vi har brukt L[i], så vi flytter oss videre

16 i = i + 1


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

147

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 113 for k = p to r14 if L[i] Æ R[j]15 A[k] = L[i]16 i = i + 1

Ellers så er R[j] minst, så vi bruker den

17 else A[k] = R[j]


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

148

Merge(A, p, q, r)10 . . .11 i = 112 j = 113 for k = p to r14 if L[i] Æ R[j]15 A[k] = L[i]16 i = i + 117 else A[k] = R[j]

Vi har brukt R[j], så vi flytter oss videre

18 j = j + 1


d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

149

d&c › merge sort

Merge(A, p, q, r)1 copy into L and R2 for k = p to r3 if L[i] Æ R[j]4 A[k] = L[i]5 i = i + 16 else A[k] = R[j]7 j = j + 1

Forenklet fremstilling av samme prosedyre

mlh@

ntnu.no

150


A

2 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

151


A

2 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

k, p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

152


A

2 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

k, p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

153


A

1 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

k, p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

154


A

1 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

k, p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

155


A

1 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

156


A

1 1

4 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

157


A

1 1

2 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

158


A

1 1

2 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

159


A

1 1

2 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

160


A

1 1

2 2

5 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

161


A

1 1

2 2

2 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

162


A

1 1

2 2

2 3

7 4

1 5

2 6

3 7

6 8

p

k

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5

i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5

j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

163

. . .


A

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

k, r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

164


A

1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

p

r

L

2 1

4 2

5 3

7 4

∞ 5i

R

1 1

2 2

3 3

6 4

∞ 5j

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

165




166




167

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

Skal sortere A[1 . . 8]

mlh@

ntnu.no

168

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

Sortér først A[1 . . 4] og så A[5 . . 8]

mlh@

ntnu.no

169

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

170

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

171

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7


mlh@

ntnu.no

172

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7

Sortér først A[1] og så A[2]

mlh@

ntnu.no

173

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7

88

8

A[1] er sortert

mlh@

ntnu.no

174

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7


mlh@

ntnu.no

175

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7

77

7

A[2] er sortert

mlh@

ntnu.no

176

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

88

8

77

7

Flett sammen A[1] og A[2]

mlh@

ntnu.no

177

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

88

8 77

7

66

6

55

5

77

7

88

8

A[1 . . 2] er sortert

mlh@

ntnu.no

178

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

179

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

180

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

181

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5

66

6

A[3] er sortert

mlh@

ntnu.no

182

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5


mlh@

ntnu.no

183

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5

55

5

A[4] er sortert

mlh@

ntnu.no

184

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

66

6

55

5

Flett sammen A[3] og A[4]

mlh@

ntnu.no

185

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

66

6

55

5

55

5

66

6


mlh@

ntnu.no

186

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

77

7 88

8

55

5

66

6

Flett sammen A[1 . . 2] og A[3 . . 4]

mlh@

ntnu.no

187

d&c › merge sort

88

8

77

7

66

6

55

5

44

4

33

3

22

2

11

1

55

5 66

6

77

7

88

8


mlh@

ntnu.no

188

d&c › merge sort

55

5

66

6

77

7

88

8

44

4

33

3

22

2

11

1


mlh@

ntnu.no

189

. . .

d&c › merge sort

55

5

66

6

77

7

88

8

11

1

22

2

33

3

44

4

Flett sammen A[1 . . 4] og A[5 . . 8]

mlh@

ntnu.no

190

d&c › merge sort

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

77

7

88

8


mlh@

ntnu.no

191

d&c › merge sort

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1 11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1 11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1 11

1

11

1

11

1

11

1 11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

1 n

1

lg n

mlh@

ntnu.no

192

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)

Sortér A[p . . r] ved å sortere halvdelene først

mlh@

ntnu.no

193

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)

Hvis A[p . . r] har lengde minst 2 . . .

1 if p < r

mlh@

ntnu.no

194

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)1 if p < r

Del på midten

2 q = Â(p + r)/2Ê

mlh@

ntnu.no

195

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)1 if p < r2 q = Â(p + r)/2Ê

Sortér A[p . . q] rekursivt

3 Merge-Sort(A, p, q)

mlh@

ntnu.no

196

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)1 if p < r2 q = Â(p + r)/2Ê3 Merge-Sort(A, p, q)

Sortér A[q + 1 . . r] rekursivt

4 Merge-Sort(A, q + 1, r)

mlh@

ntnu.no

197

d&c › merge sort

Merge-Sort(A, p, r)1 if p < r2 q = Â(p + r)/2Ê3 Merge-Sort(A, p, q)4 Merge-Sort(A, q + 1, r)

Flett sorterte segmenter A[p . . q] og A[q + 1 . . r]

5 Merge(A, p, q, r)

mlh@

ntnu.no

198

Merge-Sort(A, p, r)1 if p < r2 q = Â(p + r)/2Ê3 Merge-Sort(A, p, q)4 Merge-Sort(A, q + 1, r)5 Merge(A, p, q, r)

2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

199


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

200


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

q

r

p, r = 1, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

201


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

202


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

203


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

q

r

p, r = 1, 8 › 1, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

204


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

205


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

206


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, q

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

207


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2 › 1, 1

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

208


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

209


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2 › 2, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

210


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 1, 2

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

211


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

212


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

213


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

214


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, q

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

215


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4 › 3, 3

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

216


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

217


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p, r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4 › 4, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

218


2 1

4 2

6 3

5 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4 › 3, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

219


2 1

4 2

5 3

6 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 1, 4

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

220


2 1

4 2

5 3

6 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

221


2 1

4 2

5 3

6 4

2 5

1 6

7 7

3 8

p

r

p, r = 1, 8 › 5, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

222

. . .


2 1

4 2

5 3

6 4

1 5

2 6

3 7

7 8

p

r

p, r = 1, 8

d&c › merge sort

mlh@

ntnu.no

223


1 1

2 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

mlh@

ntnu.no

224

d&c › merge sort

T(n) = 2T(n/2) + n

mlh@

ntnu.no

225

d&c › merge sort

T(n) = 2T(n/2) + n

To rekursive kall (størrelse n/2) pluss n operasjoner

mlh@

ntnu.no

226

d&c › merge sort › T(n) = 2T(n/2) + n

T(n/2)

mlh@

ntnu.no

227

mlh@

ntnu.no

d&c › merge sort › T(n) = n + 2T(n/2)

T(n) = n

+ 2T(n/2) (1)

228

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ 2T(n/2) (1)

229

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ 2 · n/2 (1)

+ 2 · 2T(n/2/2) (2)

230

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ 4T(n/4) (2)

231

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ 8T(n/8) (3)

232

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ 2? · T(n/2?) (?)

233

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ 2? · T(n/2?) (lg n)

234

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ 2lg n · T(n/2lg n) (lg n)

235

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ n · T(n/n) (lg n)

236

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ n · T(1) (lg n)

237

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ n (lg n)

238

mlh@

ntnu.no


T(n) = n

+ n (1)

+ n (2)

+ n (3)

......

+ n (lg n)

T(n) = n lg n + n

239

240


mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

241

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

Gitt T(k) = k lg k + k for k < n, vis T(n) = n lg n + n

242

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n


243

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

= 2

3

n

2lg

n

2+

n

2

4

+ n


244

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

= 2

3

n

2lg

n

2+

n

2

4

+ n

= n lgn

2+ n + n


245

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

= 2

3

n

2lg

n

2+

n

2

4

+ n

= n lgn

2+ n + n

= n(lg n − lg 2) + 2n


246

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

= 2

3

n

2lg

n

2+

n

2

4

+ n

= n lgn

2+ n + n

= n(lg n − lg 2) + 2n

= n lg n + n


247

mlh@

ntnu.no


T(n) = 2T(n/2) + n

= 2

3

n

2lg

n

2+

n

2

4

+ n

= n lgn

2+ n + n

= n(lg n − lg 2) + 2n

= n lg n + n


248


T(n/2)

mlh@

ntnu.no

249


T(n/2)

T(n) = n lg n + n

mlh@

ntnu.no

250

Det er lg(n) + 1 rader, og summen av arbeidet i hver rad er n.

Downloaded from

4:6

Quic

kso

rt

251

Fra

196

2

• Skill «små» og «store» tall

• Sortér små tall rekursivt

• Sortér store tall rekursivt

252




253

Partition(A, p, r)

Del to segmenter: Ett med små og ett med store verdier

A tabellp venstrer høyre

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

254

Partition(A, p, r)

Splittelement (pivot): Vilkårlig grense for hva vi kaller smått

1 x = A[r]

A tabellp venstrer høyrex splitt

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

255

Partition(A, p, r)1 x = A[r]

Siste indeks i segmentet med små verdier. Foreløpig tomt

2 i = p − 1

A tabellp venstrer høyrex splitti siste, små

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

256

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 1

Siste indeks i segmentet med store verdier

3 for j = p to r − 1

A tabellp venstrer høyrex splitti siste, småj siste, store

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

257

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 1

A[j] er liten: Må flyttes til segmentet med små verdier

4 if A[j] ≤ x


d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

258

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 14 if A[j] ≤ x

Utvid segmentet med små verdier. A[i] foreløpig stor

5 i = i + 1


d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

259

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 14 if A[j] ≤ x5 i = i + 1

Både A[i] og A[j] er i feil segment, så de bytter plass

6 exchange A[i] with A[j]


d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

260

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 14 if A[j] ≤ x5 i = i + 16 exchange A[i] with A[j]

Splittelementet er nå på riktig (sortert) plass, mellom segmentene

7 exchange A[i + 1] with A[r]


d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

261

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 14 if A[j] ≤ x5 i = i + 16 exchange A[i] with A[j]7 exchange A[i + 1] with A[r]

Returnér hvor splitten havnet

8 return i + 1


d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

262

Partition(A, p, r)1 x = A[r]2 i = p − 13 for j = p to r − 14 if A[j] ≤ x5 i = i + 16 exchange A[i] with A[j]7 exchange A[i + 1] with A[r]8 return i + 1

2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

p

r

x, i = −, −

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

263


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

p

r

x, i = 4, −

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

264


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

p

r

x, i = 4, 0

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

265


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

j, p

r

x, i = 4, 0

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

266


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

j, p

r

x, i = 4, 0

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

267


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, j, p

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

268


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, j, p

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

269


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

270


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

271


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

272


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

273


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

274


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

i, p

j

r

x, i = 4, 1

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

275


2 1

8 2

7 3

1 4

3 5

5 6

6 7

4 8

p

i

j

r

x, i = 4, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

276


2 1

1 2

7 3

8 4

3 5

5 6

6 7

4 8

p

i

j

r

x, i = 4, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

277

. . .


2 1

1 2

3 3

8 4

7 5

5 6

6 7

4 8

p

i

j

r

x, i = 4, 3

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

278


2 1

1 2

3 3

4 4

7 5

5 6

6 7

8 8

p

i

j

r

x, i = 4, 3

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

279


! 4

2 1

1 2

3 3

4 4

7 5

5 6

6 7

8 8

p

i

j

r

x, i = 4, 3

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

280




281




282

d&c › quicksort

Quicksort(A, p, r)

Sortér A[p . . r] ved å sortere små og store verdier hver for seg

mlh@

ntnu.no

283

d&c › quicksort

Quicksort(A, p, r)

Hvis A[p . . r] har lengde minst 2 . . .

1 if p < r

mlh@

ntnu.no

284

d&c › quicksort

Quicksort(A, p, r)1 if p < r

A[p . . q − 1] ≤ A[q] ≤ A[q + 1 . . r]. Merk at A[q] er på rett plass

2 q = Partition(A, p, r)

mlh@

ntnu.no

285

d&c › quicksort

Quicksort(A, p, r)1 if p < r2 q = Partition(A, p, r)

Sortér små verdier A[p . . q − 1] rekursivt

3 Quicksort(A, p, q − 1)

mlh@

ntnu.no

286

d&c › quicksort

Quicksort(A, p, r)1 if p < r2 q = Partition(A, p, r)3 Quicksort(A, p, q − 1)

Sortér store verdier A[q + 1 . . r] rekursivt

4 Quicksort(A, q + 1, r)

mlh@

ntnu.no

287

Quicksort(A, p, r)1 if p < r2 q = Partition(A, p, r)3 Quicksort(A, p, q − 1)4 Quicksort(A, q + 1, r)

5 1

2 2

4 3

7 4

1 5

3 6

2 7

6 8

p

r

p, q, r = 1, −, 8

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

288


5 1

2 2

4 3

7 4

1 5

3 6

2 7

6 8

p

r

p, q, r = 1, −, 8

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

289


5 1

2 2

4 3

1 4

3 5

2 6

6 7

7 8

p

q

r

p, q, r = 1, 7, 8

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

290


5 1

2 2

4 3

1 4

3 5

2 6

6 7

7 8

p

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, −, 6

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

291


5 1

2 2

4 3

1 4

3 5

2 6

6 7

7 8

p

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, −, 6

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

292


2 1

1 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p

q

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

293


2 1

1 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, −, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

294


2 1

1 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, −, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

295


1 1

2 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p, q

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, 1, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

296


1 1

2 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, 1, 2 › 1, −, 0

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

297


1 1

2 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, 1, 2 › 1, −, 0

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

298


1 1

2 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p, q

r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1, 3, 6 › 1, 1, 2

d&c › quicksort

mlh@

ntnu.no

299


1 1

2 2

2 3

5 4

3 5

4 6

6 7

7 8

p, r

p, q, r = 1, 7, 8 › 1,

forelesning 3 læringsmål - algoritmer og datastrukturerforelesning splitt & hersk 3 11 12 1....

Documents