LA TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA (TRR) IN 43 PAGINE

di Leonardo Rubino leonrubino@yahoo.it

Pubblicato su www.fisicamente.net Gennaio 1993 – Rev. 00 - Maggio 2011 – Rev. 01

Indice: -Indice. Pag.1 -Introduzione. Pag.1 -Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. Pag.3 Par. 1.1 Trasformazioni di Galilei. Pag.3 Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Pag.3 Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Pag.5 Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Pag.6 Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Pag.6 Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Pag.7 Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Pag.8 -Capitolo 2: La relatività delle energie. Pag.9 Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Pag.9 Par. 2.2: Il quadrivettore velocità. Pag.9 Par. 2.3: La quadriforza. Pag.9 Par. 2.4: E0=m0c2. Pag.10 Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. Pag.11 -Capitolo 3: Fenomeni relativistici. Pag.11 Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Pag.11 Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. Pag.12 Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Pag.12 Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Pag.13 Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Pag.14 Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Pag.14 Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley. Pag.15 -Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. Pag.16 Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) Pag.16 Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Pag.19 Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Pag.20 -APPENDICI: Pag.22 App. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. Pag.22 App. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Pag.22 App. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Pag.24 App. 4: Le trasformazioni della quadriforza. Pag.24 App. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Pag.25 App. 6: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo). Pag.26 -Bibliografia. Pag.43 Introduzione: Il tempo non è niente altro che il nome che viene dato ad una relazione matematica di rapporto tra due spazi differenti; quando dico che per andare da casa al lavoro ho impiegato il tempo di mezz’ora, dico semplicemente che il percorrimento dello spazio che separa casa mia dall’azienda in cui lavoro è corrisposto allo spazio di mezza circonferenza orologio percorsa dalla punta della lancetta dei minuti. A mio avviso, nulla di misterioso o di spazialmente quadridimensionale dunque, come invece proposto nella TRR (Teoria della Relatività Ristretta). A livello matematico, invece, il tempo può essere sì considerato una quarta dimensione, così come, se introduco la temperatura, ho poi una quinta dimensione, e così via. La velocità della luce (c=299.792,458 km/s) è un limite superiore di velocità non per mistero inspiegabile o per principio, come sostenuto nella TRR ed anche dallo stesso Einstein, ma bensì perché (sempre a mio avviso) un corpo non può muoversi a casaccio ed a proprio piacimento, nell’Universo in cui è in caduta libera a velocità c, in quanto lo stesso è

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vincolato a tutto l’Universo circostante, come se quest’ultimo fosse una tela di ragno che, quando la preda cerca di muoversi, condiziona il movimento della stessa, e tanto più quanto i movimenti vogliono essere ampi (v~c), cioè, per restare all’esempio della tela di ragno, se la mosca intrappolata vuole solo muovere un’ala, può farlo quasi incondizionatamente (v<<c), mentre se vuole proprio compiere delle volate da una parte all’altra della tela (v~c), la tela si fa sentire (massa che tende all’infinito ecc). Si veda, a tal proposito, l’Appendice 1.6. La teoria di Einstein si fonda comunque formalmente su due principi: -Principio di Relatività: le leggi fisiche assumono la stessa forma in tutti i sistemi inerziali (cioè in moto relativo a velocità costante); non avendo infatti senso il moto assoluto rispetto ad un etere immobile che non esiste (vedi Par. 3.7) tutti i sistemi di riferimento sono laboratori alla pari per verificarvi le leggi della fisica e non esistono dunque sistemi di riferimento privilegiati (tranne che, a mio avviso, quello del centro di massa dell’Universo). In ogni caso, l’esperimento di Michelson e Morley (Par. 3.7) segnò la fine dell’etere e spalancò le porte alla TRR. -Principio di Costanza della Velocità della Luce: la velocità della luce nel vuoto ha in ogni sistema di riferimento inerziale sempre il valore c=300.000 km/s. Non importa dunque se la insegui a 299.000 km/s o se fuggi da essa sempre con tale velocità; la luce nel vuoto sfuggirà o ti rincorrerà sempre a 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) Nell’opinione di chi scrive, c’è nella TRR una forma di contraddizione; la velocità della luce appare infatti “assoluta”, non “relativa”, parlandosi qui di “relatività”. Il fatto è che le velocità tra i vari oggetti nell’Universo sono relative appunto tra loro, ma esiste una velocità assoluta (o quasi) c con cui tutti gli oggetti nell’Universo cadono verso il centro di massa dello stesso; da cui l’assolutezza di c. E si spiega anche come mai gli oggetti in quiete risultano possedere energia m0c2 (Par. 2.4), energia che Einstein conferì appunto alla massa in quiete, senza purtroppo dirci che tale massa invece non è mai in quiete, poiché cade con velocità c verso il centro di massa dell’Universo, guarda caso. Si veda, a tal proposito, la mia opinione personale completa, in merito, in Appendice 1.6. Se giunge alle orecchie di un uomo comune il fatto che la luce ha velocità uguale per “tutti” gli osservatori inerziali, quand’anche con determinati moti relativi tra loro, la cosa può cadere lì. Se però giunge alle orecchie di un uomo particolare, come Einstein, le conseguenze che questi può intuire sono sconvolgenti. Questo piccolo esperimento che segue, condotto con un orologio a luce a bordo di un’astronave, dimostra che il fatto che la velocità della luce è c per “tutti” implica che il tempo sia relativo, da cui il Paradosso dei Gemelli (Par. 1.4) ecc: Fig. 1: Orologio a luce in quiete. Fig. 2: Orologio a luce in movimento a velocità V. Come si vede dalla figura 1, ogni volta che la luce (frecce blu) compie il tragitto dalla sorgente allo specchio e ritorno, l’orologio a luce segna, ad esempio, un secondo, oppure un certo tempo t’. Il tragitto in blu schematizzato in figura 1 è visto da chi è in quiete rispetto ad esso, cioè con chi è sull’astronave con l’orologio stesso. Chi invece è sulla Terra e osserva l’orologio in viaggio sull’astronave, vedrà la luce compiere tragitti obliqui e più lunghi, come in figura 2, in quanto, mentre la luce scende, lo specchio si sposta, e mentre risale, la sorgente si sposta ancora. Ora, parlandosi qui di luce, il comportamento della stessa, mentre scende, non è come quello di una valigia che cade dalla cappelliera di un vagone ferroviario, che è vista cadere verticalmente dal passeggero e in traiettoria parabolica dall’osservatore fermo sulla banchina della stazione, impiegando per entrambi lo stesso tempo di caduta, in quanto nel secondo caso (parabolico) la velocità di caduta risulta maggiore; qui si parla appunto di luce, dunque la sua velocità deve essere la stessa per tutti, e cioè c; ma, se così è, allora chi osserva il tragitto obliquo più lungo deve concludere che il tempo impiegato dalla luce per compiere un ciclo di discesa e risalita deve essere più lungo. Dunque, pur parlandosi dello stesso orologio e dello stesso evento, i due osservatori, sulla durata, giungono a risultati diversi, e dunque alla relatività del tempo ed a tutte le sue conseguenze. Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di figura 2, si ha:

222222 ' tVtctc += , da cui: 2

2

1'cVtt −= e cioè, in generale: tt <' e t’ tende a zero per V che tende a c! Ricordo

che t’ è il tempo dell’astronauta in viaggio con l’orologio a luce, mentre t è il tempo trascorso sulla Terra. Se il fenomeno

00:01 00:02 00:02

ct

Vt

ct’

sorgente di luce

contatore

specchio

ct’

V V

è vero per la cosa più veloce che esiste (la luce), figuriamoci per gli orologi tradizionali a lancette e per quelli biologici (esseri viventi)! Negli anni settanta, utilizzando i sensibilissimi orologi atomici, è stata dimostrata la dilatazione del tempo, sulla Terra, tra due orologi atomici inizialmente sincronizzati, dopo che uno dei due ha compiuto un volo aereo, subendo una leggerissima, ma ben rilevata, dilatazione del tempo. Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. Par. 1.1: Trasformazioni di Galilei. Le stesse forniscono semplicemente le relazioni tra coordinate spaziali (e tempo), per due sistemi di riferimento in moto relativo, ma nell’ambito della fisica classica, dove cioè la velocità della luce c non è un limite superiore. Fig. 1.1: Sistemi di riferimento in moto relativo. Si ha ovviamente che:

tVrrrrrrr

+=+= ''00' , (1.1) da cui, per le componenti (t=t’):

'' Vtxx += 'yy =

'zz = (1.2) 'tt =

e per le inverse, si ha, ovviamente:

Vtxx −=' yy ='

zz =' (1.3) tt ='

Le (1.2) ed (1.3) sono le Trasformazioni di Galilei.

Derivando la (1.1), si ottiene poi: Vvvrrr

+= ' che vale come teorema di addizione delle velocità della fisica classica. Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Premetto che le Trasformazioni di Lorentz nascono prima della Teoria della Relatività (su cui la stessa si fonda) ed in un contesto tutto elettromagnetico. Le stesse sono dunque l’equivalente relativistico di quelle di Galilei e valgono dunque nel momento in cui si ammette che la velocità della luce è un limite massimo di velocità nell’Universo e che vale c per (~)ogni osservatore. -PRIMA DEDUZIONE: supponendo un moto relativo lungo x, correggiamo le componenti x delle Trasformazioni di Galilei tramite un coefficiente k, come segue:

{ {

y y’

z z’

x _ x’

P

0 0’

rr 'rr

Vr

)(' Vtxkx −= (1.4)

)''( Vtxkx += (1.5) Ora, per un fotone si ha, ovviamente:

tVckct )(' −= e tVckct )( += , in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento, da cui, moltiplicando membro a membro:

)1('' 2

2222

cVcttkttc −= , da cui:

2

2

2 11

1

1β−

=

−

=

cV

k (1.6)

Inoltre, dalla (1.5) si ha: )'(1' xkx

Vt −= ed usando in quest’ultima la (1.4), si ha:

][)]11([1)]([1' 22 xcVtk

kVxtkkt

Vkxx

kVVtxk

kx

Vt −=−−=+−=−−= (1.7)

in quanto, per la (1.6), si ha che: 2

2

2 )11(cV

k=− .

Con lo stesso procedimento che ci ha condotti alla (1.7) si deduce poi anche l’espressione per t. In conclusione, ecco le Trasformazioni di Lorentz:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz =' (1.8)

2

2

1

)('

β−

−=

xcVt

t

21)''(

β−

+=

Vtxx

'yy =

'zz = (1.9)

2

2

1

)''(

β−

+=

xcVt

t

-SECONDA DEDUZIONE: Sappiamo che c=cost in tutti i sistemi di riferimento. Ora, con riferimento alla Fig. 1.1, quando 0=0’ e t=t’, dall’origine viene emessa luce per onde sferiche ed in modo isotropico e si può dunque scrivere che:

0)( 22222 =++− zyxtc e 0)'''(' 22222 =++− zyxtc in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento. Dunque:

)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− e per raggi propagantisi lungo x (y=y’ e z=z’):

222222 '' xtcxtc −=− . Poniamo ora ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct e '' η=ct ; si ha: 2222 '' ηξηξ +=+ , la cui soluzione è:

θηθξξ sincos' −=

θηθξη cossin' += (1.10)

{ {

{

ed in forma differenziale:

θηθξξ sincos' ddd −=

θηθξη cossin' ddd += (1.11)

Notiamo ora che rispetto all’origine “0”, 0=dtdx

, in quanto il sistema di riferimento (0,x,y,z) è fermo rispetto a se

stesso. Invece, Vdtdx

−=''

, in quanto il sistema (0’,x’,y’,z’) si muove con velocità V rispetto a “0” e di conseguenza:

0=ηξ

dd

e cVi

dd

−=''

ηξ

, ma dal rapporto tra le (1.11) si ha che:

θθθ

θθηξ

θθηξ

θηθξθηθξ

ηξ tg

dddd

dddd

dd

−=+−

=+

−=

+−

=cos0sin0

cossin

sincos

cossinsincos

''

e dunque: βθ icVitg ==

ma sappiamo dalla trigonometria che: 22 1

11

1cosβθ

θ−

=+

=tg

e:

22 11sin

β

β

θ

θθ

−=

+=

itg

tg e dunque le (1.10) diventano:

21'

β

ηβξξ

−

−=

i e

21'

β

ηξβη

−

+=

i ossia:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz ='

21

)('

β

β

−

−=

xc

tt

e cioè ancora le (1.8). In modo analogo si giunge poi alle (1.9). Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Gli oggetti in movimento a velocità confrontabili con quella della luce risultano più corti, agli occhi dell’osservatore in quiete. Se quest’ultimo compie delle misurazioni per determinare la lunghezza dello sfuggente corpo in moto, il metodo più efficace che ha è quello di utilizzare delle sorgenti di luce (la cosa più veloce che esiste), illuminando la prua e la poppa del corpo in moto, al fine di determinarne le rispettive posizioni, momento per momento. Solo che la luce che usa ha velocità costante, nonché limitata, ed il risultato sarà quello di un corpo più corto. Realtà o apparenza misurativa? Convinciamoci sin da subito che la realtà (che osservo) e l’apparenza misurativa sono la stessa cosa, come non può che essere! Sia l la lunghezza di un segmento nel sistema O di quiete:

lxx AB =− . In O’ (in moto), per le Trasf. di Lorentz:

'11

)(

1

)()()'(')'(''

222llxxVtxVtx

txtxl ABAABBAB =

−=

−

−=

−

−−−=−=

βββ , in quanto nel sistema O la misura del

segmento ha senso se i due estremi vengono rilevati “simultaneamente” (tA=tB).

{

{

Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche l! Dunque, la misura l rilevata in O sarà pari a quella l’ rilevata in O’ per una quantità minore di 1, cioè l’osservatore immobile (O) vedrà un oggetto più corto. Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Sembra strano, ma anche il tempo può essere ed è relativo. Ovviamente, ogni osservatore, nel suo, vede il tempo scorrere sempre allo stesso ritmo; non è che se uno viaggia a velocità prossime a quelle della luce sente il suo cuore rallentare. E’ poi il confronto tra i due osservatori di due sistemi che sono stati in moto relativo che mostra la differenza nel come i due tempi sono scorsi. Dunque, per le Trasf. di Lorentz, in O’ (sistema in movimento): AB ttt ''' −=∆ , mentre in O (sistema di quiete):

21''''

β

ββ

−

−−+=−=∆

cxtcxtttt AABBAB , ma, per ipotesi, BA xx '' = , poiché nel sistema O’ (O’,x’,y’,z’) l’orologio

è immobile, in quanto viaggia col sistema O’ stesso, dunque:

21'β−

∆=∆

tt

Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche 't∆ ! Due gemelli si separano perché uno dei due parte per un viaggio spaziale di un mese a velocità vicine a quelle della luce; ritornato sulla Terra trova il suo gemello invecchiato di trent’anni! (Paradosso dei Gemelli) A circa 260.000 km/s si ha il dimezzamento, cioè il radicale varrà ½ e i due tempi scorreranno uno la metà dell’altro. Si veda poi anche la dimostrazione della dilatazione del tempo con l’orologio a luce (in Introduzione) e quella in chiave di Effetto Doppler Relativistico (Par. 3.6). Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Invece di scrivere i vettori posizione con le classiche tre componenti x, y e z, scriviamoli in forma matematicamente quadridimensionale, aggiungendo anche il tempo; ciò ci tornerà molto utile. Preciso però che, nell’opinione (motivata) di chi scrive, il nostro Universo è e resta a tre dimensioni e l’aggiunta di una quarta dimensione è un fatto puramente matematico; sfido infatti chiunque ad indicarmi col dito indice la quarta dimensione di un qualsivoglia oggetto presunto quadridimensionale. Nella TRR di oggigiorno, si parla invece di una effettiva quarta dimensione! Bene, allora: ),,,( 4321 xxxxx = , che equivale a dire anche: (x,y,z,ct).

Con tale nuova terminologia, le Trasformazioni di Lorentz divengono:

411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=

22' xx = 22 'xx =

33' xx = 33 'xx = (1.12)

414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=

Con cV=β e 21

1β

γ−

= .

Si può verificare che la distanza spazio-temporale tra due punti è invariante per Trasformazioni di Lorentz, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali:

24

23

22

21

224

23

22

21

2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (1.13)

(Questa espressione è una sorta di Teorema di Pitagora in quattro dimensioni). Per la dimostrazione di ciò, si utilizzino, nella (1.13), le Trasformazioni di Lorentz qui sopra, con i Δxi in luogo degli xi, e si verifichi appunto l’egualianza. In altre parole, lunghezza tridimensionale e tempo sono relativi, mentre la loro composizione quadridimensionale è assoluta. Ecco perché si è detto che la definizione delle grandezze fisiche tramite quattro componenti ci sarebbe tornata utile. Si possono dunque applicare le Trasformazioni di Lorentz a tutti i quadrivettori, nella forma delle (1.12).

-------------

{ {

In forma matriciale, le Trasformazioni di Lorentz possono essere così scritte: (si ricordi il prodotto matriciale, con le componenti della riga della prima matrice moltiplicate per le rispettive componenti della colonna della seconda matrice, sommando poi tali prodotti per ottenere la componente della matrice prodotto appunto)

⋅

−

−

=

4

3

2

1

4321

0001000010

00

)',',','(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

e (1.14)

⋅

=

4

3

2

1

4321

''''

0001000010

00

),,,(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

(1.15)

mentre in forma tensoriale: (si utilizza la convenzione di Einstein, cioè, se in un termine un indice è ripetuto, si considera sottointesa la sommatoria su quell’indice)

kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) a secondo membro, k è ripetuto, quindi si somma su di esso (1.16)

iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (1.17)

Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Se sto camminando alla velocità di 5 km/h in un vagone ferroviario che, a sua volta, viaggia alla velocità di 100 km/h rispetto alla banchina, avrò, rispetto alla banchina, una velocità totale di 105 km/h. Questa è fisica classica. Quando però le due velocità iniziano ad essere confrontabili con quelle della luce, la semplice composizione per somma algebrica non vale più, ed iniziano a vigere le equazioni che stiamo per scrivere; anche perché, se no, qualche somma algebrica semplice rischierebbe di farci comparire una velocità totale superiore a c, cosa impossibile. Dunque, abbiamo per definizione che:

dtdxvx = '

'' dtdxv x =

dtdyvy = '

'' dtdyv y =

dtdzvz = '

'' dtdzv z =

Differenziando ora le Trasformazioni di Lorentz, si ha:

21

)''(β−

+=

Vdtdxdx

'dydy =

'dzdz =

2

2

1

)''(

β−

+=

dxcVdt

dt da cui:

)''(

)''(

2 dxcVdt

Vdtdxdt

dxvx

+

+==

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dydt

dyvy

+

−==

β

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dzdt

dzvz

+

−==

β

{ {

{ {

Se ora divido numeratore e denominatore di queste ultime per dt’, si ha:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+=

)1(

)('2c

VvVvv

x

xx

−

−=

)'

1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

+

−=

β (1.18) e analogamente:

)1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

−

−=

β

)'1(

1'

2

2

cVv

vvz

zz

+

−=

β

)1(

1'2

2

cVv

vvz

zz

−

−=

β

Per 1<<cV e 1<<c

vx ci si riconduce al caso classico (galileiano) di somma algebrica.

Per rifarsi un attimo al caso del vagone ferroviario in cui una persona cammina all’interno, se si pone ),0,0,'(' cvv x=

e ),0,0,( cvv x= , dalle (1.18) si ha che:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+= (1.19)

e se cVv x ==' , allora cvx = , e non 2c! Dunque, se il treno si muove di suo a velocità c ed io all’interno di esso

corro a velocità c, io, rispetto alla banchina, avrò una velocità risultante pari a c e non a 2c! La (1.19) rappresenta il Teorema Relativistico di Addizione delle Velocità. Altro esempio: due missili che viaggiano ciascuno a velocità c/2 si incrociano; a che velocità xv si incrociano dunque?

ccc

ccccvx <==

+

+=

54

45)4

1(

)22(

2

2 !

Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Se una particella è ferma in (O’,x’,y’,z’), ossia se la stessa si muove appunto con O’, ossia se O’ è il suo sistema di riferimento “proprio”, allora: dx’= dy’= dz’=0 e:

2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , da cui:

dtcv

dtdl

cdt

dtcdzdydx

cdsddt 2

22

222

222

1)(111' −=−=++

−=== τ (tempo proprio, invariante, in quanto

tale è cds

).

Dunque, quando si eseguono calcoli riguardanti una particella, viene spontaneo utilizzare per essa appunto il suo tempo proprio:

γτ

dtdtcvd =−= )1( 2

2

.

{ {

Capitolo 2: La relatività delle energie. Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Sappiamo dalla fisica classica che il momento lineare, o quantità di moto, è dato dal prodotto della massa per la velocità. Ora, nel caso relativistico, per quanto visto finora, definiremo innanzitutto un quadrivettore e poi la velocità intesa come dx/dt avrà come dt il tempo proprio τd , che è caratteristico appunto della particella in esame, per la quale si va a definire il quadrivettore:

pmcpmcvmdtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

ddxm

ddxm

ddxm

ddxmp

====

===

),(),(),,,(

)1

,1

,1

,1

(),,,(

4321

4030201040

30

20

10

rr

γγγγττττ

dove vr è il vettore (tridimensionale) velocità, pr è il momento lineare tridimensionale,

dtdxmmc 4= è la componente quadridimensionale,

γτ

dtd = è il tempo proprio e 00

1mmm γ

γ== è la massa

dinamica, che coincide con la massa a riposo m0 solo se v=0. Si inizia quindi ad introdurre già il concetto di massa relativa, che cresce con la velocità, divenendo infinita per v=c. Come già accennato in precedenza, i moduli dei quadrivettori sono “assoluti”, cioè invarianti per trasformazioni di Lorentz; infatti:

220

22

2

2

2022222222

422

)()1(

)( cmvc

cv

mvcmcmvmppp −=−−

−=−−=−=−=r

= costante, cioè non funzione di v.

In Relatività esiste dunque un Universo (matematicamente quadridimensionale) descritto da quadrivettori, dove le grandezze non variano così arbitrariamente con la velocità e dove dunque le leggi della natura preservano una certa coerenza, indipendentemente dallo stato di moto. Par. 2.2: Il quadrivettore velocità.

Lo definiamo ovviamente come segue: τdxdv = , dove si usa il tempo proprio τd per motivi già esposti. Numeratore e

denominatore sono entrambi invarianti, e dunque anche v lo è. Si ha:

),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt

dxdtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx γγγγγγγγγγ

ττττr

====,

e dunque, per il modulo di tale quadrivettore: 222222 ccvv −=−= γγ (costante!). (2.1)

Par. 2.3: La quadriforza. Così come in fisica classica la forza è data dalla derivata della quantità di moto nel tempo, in relatività definiamo la quadriforza come derivata del quadrivettore momento-energia nel tempo (tempo proprio):

))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm

dtdcm

ddp

ddFFFFFF

dpd

F γγγγγτττ

rrr===== ; (2.2)

si ha dunque che: Ffvmdtd rrr

=⋅= γγγ )( 0 , (2.3)

( fvmdtd rr

=)( 0γ è la forza “classica” e a maggior ragione quando 1=γ )

da cui: )()(0

vdd

mF

vdtd r

rr

γτ

γγ == , cioè, in componenti:

)()(0

ii

i vdd

mFv

dtd

γτ

γγ == (i=x,y,z) (2.4)

e poi, riguardo la quarta componente: 40 )( Fcmdtd

=γγ (2.5)

e quindi: )()(0

4 cdd

mFc

dtd

γτ

γγ == . (2.6)

Differenziamo ora la (2.1), cioè la seguente equazione: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , ottenendo:

))(2)(2

)(2)(2())()()()((0 2222

cddcv

ddv

vddvv

ddvc

ddv

ddv

ddv

dd

zz

yyxxzyx

γτ

γγτ

γ

γτ

γγτ

γγτ

γτ

γτ

γτ

−+

++=−++=

cioè: ))()()()((0 cddcv

ddvv

ddvv

ddv zzyyxx γ

τγγ

τγγ

τγγ

τγ −+++= , ossia, per la (2.4) e la (2.6):

)(00

4

000 mFc

mFv

mF

vmFv z

zy

yx

x γγγγ −+++= e per la (2.3) ( Ffrr

=⋅γ ):

)(00

4

000 mFc

mfv

mf

vmfv z

zy

yx

x γγ

γγ

γγ

γ −+++= , cioè:

)(4 vfc

F rr⋅=

γ. (2.7)

Tornando ora alla (2.2), si ha finalmente la quadriforza, o Forza di Minkowski:

))(,( vfc

fd

pdF rrr

⋅==γ

γτ

(2.8)

Per le equazioni di trasformazione di tale quadriforza, si veda l’Appendice 1.4. Par. 2.4: E0=m0c2.

Per la (2.5) si ha che: 40 )( Fcmdtd

=γγ , mentre per la (2.7) si ha: )(4 vfc

F rr⋅=

γ. Dunque:

)()( 0 vfc

cmdtd rr

⋅=γ

γγ , ossia: vfcmdtd rr

⋅=)( 20γ , ossia ancora:

dEdLdtvfcmd ==⋅=rr

)( 20γ (2.9)

La (2.9) è esattamente l’espressione dell’energia in fisica classica se 1=γ ; l’integrazione della (2.9) con costante d’integrazione uguale a zero fornisce:

20cmE γ= (2.10)

In realtà la (2.10) vale solo per energie guadagnate (come negli acceleratori di particelle), mentre per energie cedute (Universo collassante o Fisica Atomica degli elettroni che scendono di livello) vale la seguente, che io mi attribuisco:

20

1 cmEγ

= (Rubino)

(si veda anche l’Appendice 1.6; per una convincente dimostrazione della stessa, prego contattarmi: leonrubino@yahoo.it ). Dunque, una particella di massa m0 possiede energia totale:

)1( 2

2

202

0

cv

cmcmE−

== γ (2.11)

e a “riposo” ( 0=v e dunque 1=γ ) energia di “riposo”: 2

00 cmE = (2.12)

Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. La differenza tra la (2.11) e la (2.12) fornisce ovviamente la pura energia cinetica di una particella:

)1)1(

1()1(

2

2

20

20

20

200 −

−

=−=−=−=

cv

cmcmcmcmEEEK γγ (2.13)

Sviluppando ora in Serie di Taylor l’espressione per )1(

1

)1(

12

2

2 βγ

−=

−

=

cv

, si ha, per v<<c (β<<1):

.....83

211

)1(1 42

2+++=

−= ββ

βγ , cioè: 2

22

21

21)1(

cv

=≅− βγ e per la (2.13):

202

22

02

0 21)

21()1( vm

cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) e cioè la nota espressione classica (di Newton) per l’energia

cinetica! Si veda poi la deduzione della (2.13) in Appendice 1.6, a partire dalle caratteristiche dell’Universo in contrazione. Capitolo 3: Fenomeni relativistici. Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Anche la gravità rallenta il tempo! In montagna il tempo scorre più velocemente che a valle. Ovviamente, sulla Terra, la differenza è impercettibile, ma su una stella di neutroni, o in un buco nero, l’effetto è intensissimo. gHmE 0=∆ (delta energia del salto di quota)

ν∆=∆ hE (delta energia del calo di freq. di un fotone)

Dalle due: hgHm0=∆ν .

Per un fotone, νhE = , ma in relatività: 20cmE = , da

cui, per un fotone: 20 chm ν= e dunque, per ν∆ :

2cgHνν =∆ ed essendo il tempo l’inverso della

frequenza, si ha: tt∆=∆ νν e dunque:

tcgHt 2=∆ . Dunque, su un tempo t, si ha un

rallentamento Δt dato dalla gravità! Fig. 3.1: Montagna, gravità e tempo.

Sappiamo che la velocità di fuga di un corpo celeste di massa M e raggio R vale: R

GMV 2= . Se su quel corpo un

oggetto viene lanciato verticalmente alla velocità di fuga, esso uscirà dal campo gravitazionale del corpo celeste ed andrà verso l’infinito, senza più ricadere. Un buco nero è un corpo così compresso (M grande ed R piccolo) che la velocità di fuga sulla sua superficie raggiunge il valore della velocità della luce e dunque neanche la luce vi sfugge, da cui il nome di buco nero; inoltre, per quanto detto sopra, si può affermare che in un buco nero il tempo è pressoché fermo!

H

Fotone in discesa con freq. aumentata dalla gravità

Fotone in salita con freq. diminuita dalla gravità

Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. I solidi in moto risultano ruotati. --Osservatore— Fig. 3.2: Corpo visto in quiete. Fig. 3.3: Corpo visto in moto.

zyxV ∆∆∆= (volume del solido per un osservatore solidale allo stesso)

22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume del solido per un osservatore che vede il solido in

movimento a velocità V lungo x). Ovviamente, per le Trasformazioni di Lorentz, essendo il moto lungo x, solo Δx subisce contrazione. Tuttavia, l’osservatore in quiete vede il punto B in ritardo rispetto ad A, in quanto B è più distante di A ed il ritardo vale L/c, ovviamente. Come ulteriore conseguenza, B appare spostato indietro di un tratto pari a (L/c)V=βL. Si ha: Lsin φ= βL, da cui: sin φ= β e φ=arcsin β. In definitiva, il corpo appare dunque ruotato! Ed una sfera invece continua ad apparire come tale. Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Le onde elettromagnetiche nel vuoto, e dunque anche la luce, si propagano, come noto, seguendo l’equazione delle onde:

=∂∂

−∆==∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2 101tctczyxφ

φφφφφ

φ

Ora notiamo preliminarmente che, per le Trasformazioni di Lorentz, si ha (derivando le stesse):

γ=∂∂

xx'

, Vtx

γ−=∂∂ '

, 2'

cV

xt

γ−=∂∂

, γ=∂∂

tt '

, 1''=

∂∂

=∂∂

zz

yy

, 0......'''==

∂∂

=∂∂

=∂∂

xy

zx

yx

Per l’analisi matematica, si ha, in 0’: )','( trrφφ = , e dunque:

')(

''

''

''

''

' tV

xxt

txz

zxy

yxx

xx ∂∂

−+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ φ

γφ

γφφφφφ

; inoltre:

''2)

''(

2

222

2

4

2

2

2

2

2

txVcV

tcV

xx ∂∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=∂∂ φφφ

γφ

e similmente, per le altre coordinate:

'' txV

t ∂∂

+∂∂

−=∂∂ φ

γφ

γφ

e ''

2)''

(2

2

2

2

222

2

2

txV

txV

t ∂∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂ φ

γφφ

γφ

e 2

2

2

2

'yy ∂∂

=∂∂ φφ

, 2

2

2

2

'zz ∂∂

=∂∂ φφ

da cui, per sostituzione nell’equazione delle onde, si ha:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

'1

'''1

tczyxtczyx ∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφφφφφφ

c.v.d.

Δx

Δy A D

B

C

Δz L

L L

B

L

L

V

B’

V

φ

Lsin φ

Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Nel 1849, molto prima della formulazione della Teoria della Relatività Ristretta da parte di Einstein (1905), il fisico francese A.H.L. Fizeau condusse degli studi sulla velocità della luce nell’acqua e nei fluidi in movimento. Fig. 3.4: Esperimento di Fizeau.

Nell’acqua in quiete la luce ha velocità skmsmncv /000.225

33,1/103 8

≅⋅

== , dove n=1,33 è l’indice di rifrazione

dell’acqua. Se ora l’acqua, o comunque il fluido nel quale si va a misurare la velocità della luce, scorre a sua volta con velocità V, allora, secondo i risultati di Fizeau, la velocità complessiva della luce nel fluido in scorrimento è:

)11( 2nV

ncv −+= , (3.1)

in totale disaccordo con la fisica classica, secondo cui si dovrebbe avere più semplicemente: Vncv += .

Anni dopo, la TRR ha dato una spiegazione teorica della (3.1). Infatti, per il Teorema di Addizione delle Velocità espresso dalla (1.19), si può scrivere che:

)1(

)(

)1(

)(

2 ncV

Vnc

ncVc

Vnc

v+

+=

+

+= ; ora, moltiplicando numeratore e denominatore per )1(

ncV

− , si ha:

2

2

2

2 )(1

)11(

)(1

)1)((

)1(

)(

ncV

ncV

nV

nc

ncV

ncVV

nc

ncV

Vnc

v−

−−+=

−

−+=

+

+= , ma le quantità

ncV 2

a numeratore e 2)(ncV

a

denominatore sono ciascuna trascurabile (<<1) rispetto agli altri addendi e possono essere appunto trascurate, da cui

l’asserto: )11( 2nV

ncv −+= .

Acqua

V

V

Acqua

Prisma inverso Specchio

P

P=lamina semitrasparente

Sorgente di luce

Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Fig. 3.5: Effetto Doppler longitudinale (esempio di sorgente S in allontanamento da R con velocità V (β)). L’antenna sorgente invia a quella ricevente segnali elettromagnetici di periodo TS; Per il fenomeno della dilatazione del tempo l’antenna ricevente li riceverà con un periodo T’S tale che:

)1('

2β−= S

STT ; inoltre, l’allontanamento di S determinerà un ST '∆ tra un fronte d’onda e l’altro pari a:

)1()1(''

22 ββ

β −=

−==∆ SSS

STT

cV

cVTT ; dunque, si avrà in totale per TR:

RSS

SSSSSSR

TTT

TTTTTTT

=−+

=+−

=

=++−

=+−

=−

+−

=∆+=

)1()1(

)1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

''222

ββ

ββ

βββ

βββ

ββ

che riscriviamo: )1()1(

ββ

−+

= SR TT ; (S ed R in allontanamento) (3.2)

lo stesso vale se è il ricevitore ad allontanarsi. Se poi S ed R sono in avvicinamento, per gli stessi ragionamenti, vale la seguente:

)1()1(

ββ

+−

= SR TT (S ed R in avvicinamento). (3.3)

Per una trattazione più generale dell’argomento, si veda l’Appendice 1.2. Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Supponiamo che uno dei due gemelli parta per un viaggio spaziale a velocità pari a 3/5 c=180.000 km/s, in allontanamento dalla Terra per 25 min (misurati sulla Terra) e poi inverta la rotta e ritorni sulla Terra alla stessa velocità, impiegando dunque altri 25 min. Si trascurino ovviamente, per semplicità, le fasi di accelerazione e decelerazione. Ora, per dimostrare che la dilatazione del tempo agisce anche sulla frequenza cardiaca del gemello in viaggio (ma sempre agli occhi del gemello sulla Terra, nonché al reincontro dei gemelli a fine viaggio), supponiamo, per semplicità, che entrambi i gemelli abbiano un battito cardiaco al secondo e che il gemello sulla Terra trasmetta un impulso radio (dunque a velocità c) ogni secondo, cioè ogni suo battito cardiaco, verso l’astronave, per tenere informato il fratello gemello in viaggio sulla propria frequenza cardiaca. Ricordiamo che per il gemello “vecchio” (old) che resta sulla Terra il viaggio dura, per ipotesi, 25+25=50 min (3000 battiti cardiaci), mentre, se la dilatazione del tempo è vera, per il gemello giovane (young) la durata sarà di (V=3/5 c, cioè β=3/5):

)2591(min50)1()1( 2

2

2

22

cc

cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 battiti cardiaci)

Invece, sotto un’analisi Doppler del fenomeno, possiamo dire che, per la (3.2), il gemello sulla Terra (old) trasmette i suoi battiti cardiaci ogni secondo, ma dal gemello in viaggio essi verranno ricevuti, nella fase di andata, ogni due secondi; infatti, durante l’andata (“to”):

c c c

Antenna Sorgente S Antenna Ricevitore R

V

sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =−+

=−+

=ββ

e dunque, durante l’andata, il gemello in viaggio, il cui tempo

di andata è di 20 min=1200s=1200 battiti, ha ricevuto dal fratello sulla Terra un battito ogni 2s, cioè solo 600 battiti. Dunque, il gemello in volo, durante i suoi 20 min(=1200s) di andata, ha constatato su se stesso ovviamente 1200 battiti e ne ha ricevuti però solo 600 del fratello sulla Terra. Dopo 20 min del gemello in volo, la rotta si inverte ed inizia il ritorno verso la Terra, di altri 20 min (sempre secondo il tempo del gemello in volo). In questi altri 20 min di ritorno (“from”), però, il gemello sulla Terra trasmette sempre ogni secondo, ma quello in volo ora riceve ogni mezzo secondo; infatti, ora, per la (3.3):

ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =+−

=+−

=ββ

, dunque, durante questi suoi altri 20 min=1200s=

=1200 battiti su se stesso, il gemello in volo riceve ben 2400 battiti dal fratello dalla Terra. Dunque, il gemello in volo, durante gli altri suoi 20 min(=1200s) di ritorno, ha constatato su se stesso ovviamente altri 1200 battiti e ne ha ricevuti però ben 2400 dal fratello dalla Terra. Riassumiamo: in totale, durante il suo intero viaggio di 20+20=40 min, il gemello in volo ha contato ovviamente 1200+1200=2400 battiti cardiaci su se stesso e ben 600+2400=3000 battiti cardiaci dal fratello gemello rimasto sulla Terra. Deve per forza ritenersi più giovane!!! Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley.

Fig. 3.6: Apparecchiatura di Michelson (interferometro). Fig. 3.7: Percorsi luminosi e rispettive velocità.

S

S1

S2

Cannocchiale e interferometro

L – sorgente luminosa r1

r2

S – specchio semiriflettente S1, S2 - specchi

S2

S

S

l2

22tV ⋅

S

S1

l1

c+V

c-V

22 Vc −

V V c c

22 Vc −

Prima di Einstein si pensava che le onde elettromagnetiche, e dunque anche la luce, dovessero necessariamente propagarsi in un mezzo, così come avviene per le onde sonore nell’aria. Si suppose dunque che lo spazio fosse permeato da un gas invisibile e leggerissimo, detto etere. La Terra ruota intorno al Sole con una velocità V di circa 30 km/s, dunque si muoverebbe nell’etere con tale velocità e la luce emessa da una sorgente luminosa solidale con la Terra stessa dovrebbe dunque avere, in generale, una velocità diversa da c (c±V lungo la direzione di moto della Terra e 22 Vc − trasversalmente). Nel 1886 si iniziò a preparare l’esperimento, che doveva dimostrare il movimento della Terra nell’etere. A Cleveland venne bloccato il traffico durante l’esperimento, per evitare vibrazioni; l’apparecchiatura fu posta su una lastra di pietra galleggiante in un pozzo di mercurio, per effettuare la rotazione dell’apparecchiatura di 90° senza vibrazioni. Ora, con l1 lungo il moto della Terra, per il cammino di andata e ritorno compiuto dalla luce, si ha:

)1(12

22111

1 cVcl

Vcl

Vclt

−=

−+

+= e per il moto trasversale lungo l2:

)1(122

222

222

2cVc

lVc

lt−

=−

=

Facendo giungere i due raggi su un interferometro per farli appunto interferire, gli stessi giungerebbero con un Δt pari a:

)]1()21([2))1()1(

(2 221

22222

122

212 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

in quanto si ha che 410−≅cV , 822 10−≅cV e kxx k +≅+ 1)1( .

La lunghezza d’onda della luce utilizzata era m7105,5 −⋅=λ e sappiamo che a λ corrisponde l’angolo giro π2 ; possiamo dunque scrivere la seguente proporzione che coinvolge l’angolo di sfasamento δ tra i due raggi e la differenza di cammino cΔt:

δπλ tc∆

=2

, da cui: λ

πδ

tc∆=

2.

Fissando la lunghezza di un braccio e regolando quella dell’altro tramite una vite micrometrica, si può rendere cΔt dell’ordine di λ, realizzando il fenomeno di interferenza voluto. Ora, senza variare la geometria dell’apparecchiatura, la si ruoti di 90°; i ruoli di l1 ed l2 si invertiranno e si avrà:

)]1()21([2))1()1(

(2''' 222

22122

222

112 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

e inoltre si avrebbe: 4,010105,5

22'2

'2

872

221 ≅

⋅=

+=

∆−∆=

−=

∆ −− m

mcVlltctc

λλπδδ

πδ

, cioè, con la rotazione

dell’interferometro si dovrebbe osservare uno spostamento delle frange di interferenza pari a 0,4 volte la distanza λ fra due massimi successivi. In realtà, nulla di tutto ciò fu osservato, nonostante la sensibilità degli strumenti fosse tale che si potesse avere anche

01,02

=∆πδ

!

Michelson si dichiarò dunque deluso dall’esperimento, visto che non venne dimostrato il movimento della Terra nell’etere. La questione venne risolta nel 1905 da un impiegato dell’Ufficio Brevetti di Berna, un certo Albert Einstein, che suggerì di cessare di cercare di dimostrare il moto della Terra nell’etere, per il semplice fatto che l’etere non esiste! Aggiungo io che la materia oscura dei giorni nostri presto farà la stessa fine. Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore:

Fig. 4.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-

identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:

Fig. 4.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. 4.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I.

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico v

x’

y’ z’

I’

Direzione della corrente I, con e- a velocità u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico v

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura 4.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. 4.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q,

e:

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot e Savart).

Dunque: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (4.1)

dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u

( 220 1 cudd −= ).

b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (4.2)

dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (4.3)

e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .

Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (4.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , che sostituita nel radicale della (3.2) fornisce:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (4.4)

Vogliamo ora confrontare la (4.1) con la (4.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (4.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non

lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (4.5)

Ora, dunque, possiamo confrontare la (4.1) con la (4.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la

stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!! Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Si hanno ovviamente le seguenti equazioni sulla densità di carica:

00 dt

dQ=ρ , 0

021

γρβτ

ρ =−

==dt

dQddQ

Si noti poi che vale la seguente equazione che testimonia anche l’invarianza della carica elettrica: τρρ ddt =00 .

Sappiamo poi dalla fisica che la densità di corrente vale vj rrρ= .

Viene allora spontaneo definire il quadrivettore densità di corrente nel seguente modo:

),(),( 00 cvcjj γργρρrr

== ; si noti la similitudine con il quadrivettore momento-energia:

),(),( 00 cmvmmcpp γγrr

== . Si ha poi:

220

24

22cjjj ρ−=−=

r e inoltre, potendo applicare le Trasformazioni di Lorentz ad un quadrivettore, come detto al

Par. 1.5 – eq. (1.12), si ha:

411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=

22' jj = yy jj ='

33' jj = oppure anche: zz jj =' (4.6)

414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV

−= ργρ

con cV=β e 21

1β

γ−

= .

Adesso, al fine di mostrare con i quadrivettori e in modo più compatto quanto esposto al Par. 4.2, consideriamo un filo percorso da corrente stazionaria I in un riferimento k e sia I diretta lungo x; se in tale sistema si pone una carica q con velocità v lungo x, si ottiene un movimento di q ad opera del solo campo B, poiché E=0, in quanto, in media, vi sono in un conduttore tante cariche positive quante sono quelle negative. Se però ci poniamo ora in un sistema k’ che si muove con velocità V=v rispetto a k, in k’ q è ferma ed in teoria dovrebbe scomparire la forza magnetica; ma ciò è contrario al Principio di Relatività (vedi Introduzione). Deve quindi comparire in k’ un campo elettrico; infatti:

−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++

ρr

[n]=[numero di q coinvolte/m3] e

),(),( nqcvnqcjj −−== −−−

rrρ , il primo termine qui è negativo perché il verso di v è opposto a quello

convenzionale di I (in quanto qui q<0) ed il secondo termine anche è negativo, sempre perché qui q<0. Per le Trasformazioni di Lorentz (1.12) si ha allora (v=V): nqVj x γ−==+' )(' nqVnqvj x +−=− γ

nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ

ed essendo ora −+ −≠ '' ρρ , deve comparire un campo elettrico.

{ {

Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Premessa sui tensori: Un vettore è un tensore di rango 1. Per noi, poi, è sufficiente dire che ottengo un tensore di rango 2 quando eseguo il prodotto delle componenti di due vettori c e b:

),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Con le (1.16) e (1.17) abbiamo visto come esprimere le Trasformazioni di Lorentz:

llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) e m

mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) e dunque:

iklmmk

liml

mk

likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (4.7)

che è la legge di trasformazione di un tensore di rango 2. Notiamo poi che si ottiene un tensore di rango 2 anche derivando le componenti di un vettore b rispetto alla coordinata x:

llii bb 'α= , k

kmm xx α=' >>> k

mk

m

xx

α→∂∂ '

m

lkm

li

k

ml

li

mk

m

m

i

k

i

xb

xxb

xxx

xb

xb

''')'(

''

' ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

ααα ; dunque, tale derivata si trasforma come le componenti di un

tensore 2, dunque è un tensore 2. Premessa sull’elettromagnetismo: sappiamo dall’elettromagnetismo che i campi elettrico e magnetico (vettore induzione B) possono essere espressi in funzione dei potenziali elettrodinamici φ ed A:

tAE

∂∂

−∇−=r

rrϕ e (4.8)

ABrrr

×∇= (4.9)

e conosciamo anche la Condizione di Lorentz: 012 =

∂∂

+⋅∇=∂∂

+⋅∇t

Atc

A ϕεµ

ϕ rrrr , (4.10)

nonché l’Eq. di Continuità: 0=∂∂

+⋅∇t

j ρrr. (4.11)

Sempre dall’elettromagnetismo sappiamo inoltre che:

=−=∂∂

−∆ερϕ

ϕ 2

2

21

tc φ e (4.12)

=−=∂∂

−∆ jtA

cA

rr

rµ2

2

21

Ar

(4.13)

e ricordiamo che già definimmo il quadrivettore densità di corrente j:

),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r

( ρii vj = ).

------------------

Viene ora spontaneo definire il Quadrivettore Potenziale o Quadripotenziale Φ :

),,,(c

AAA zyxϕ

=Φ ; infatti, così facendo, le (4.12) e (4.13) si possono così riassumere:

kk jµ−=Φ e definendo la quadridivergenza ))(

()(44 ctctxyx

div∂

∂+∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=rr

si ha anche,

banalmente:

04 =∇ jr

per l’Equazione di Continuità (4.11) e 04 =Φ∇r

per la Condizione di Lorentz (4.10).

------------------ Ora, dalle (4.8) e (4.9) si ha:

3

2

2

31 xxz

AyABB yz

x ∂Φ∂

−∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

== , )(4

1

1

41 xx

ct

Ax

EE xx ∂

Φ∂−

∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

−==ϕ

ecc; quindi E e B non sono

esprimibili tramite due quadrivettori, ma sono esprimibili insieme tramite un quadritensore di rango 2, in quanto dimostrammo che la derivata di un vettore è un tensore 2:

)(k

i

i

kik xx

cF∂Φ∂

−∂Φ∂

= ; scriviamo ora le componenti di Fik in forma matriciale:

−−−−−−

=

00

00

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F , e con la (4.7) abbiamo dimostrato che Fik si trasforma nel seguente modo:

lmmk

liik FF 'αα= . (4.14)

Si noti che Fik è antisimmetrico, cioè Fik=-Fki. Ovviamente, poi:

−−−−−−

=

0''''0''''0''''0

'

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F

Ricordando ora che a secondo membro della (4.14) è sottintesa la sommatoria su l ed m, che sono infatti ripetuti, e sviluppando appunto tale equazione, otteniamo le trasformazioni del campo elettromagnetico:

xx EE '= xx BB '=

)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ

)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ

nonché le sue inverse:

xx EE =' xx BB ='

)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ

)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ

{ { { {

APPENDICI: App. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ Abbiamo tre sistemi di riferimento k, k’ e k’’ e V e W sono le rispettive velocità relative.

Con le seguenti notazioni: cV

=1β , c

W=2β , 2

11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,

21c

VWWVU

+

+= e

cU

=β

si ha, per le T. di Lorentz applicate consecutivamente:

)''(1 Vtxx += γ con )''( 11 x

ctt β

γ += e

)''''(' 2 Wtxx += γ con )''''(' 22 x

ctt β

γ += e, per sostituzione:

xtWVx

tWVxxVtWtxx

=+

+++=

=+++=+++=

)''1

'')(1(

]'')('')1[()''''''''(

212121

21212121

ββββγγ

ββγγββγγ (A.1.1)

e analogamente: )'')1(

1'')(1(21

22121 xWVc

ttββ

ββγγ+

+++= ; (A.1.2)

ora notiamo che si ha:

=+++−++=+−−=+ 22121

22

2121

22

21

221

22

212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ

γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , e quindi le (A.1.1) e (A.1.2) si riscrivono così:

)''''( Utxx += γ con )''''()''''( 2 xc

txcUtt β

γγ +=+= , dunque, invece di compiere due T. di

Lorentz ( 1γ ,V e 2γ ,W), se ne compie solo una, ma utilizzando γ ed U. App. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Rappresentiamo un’onda elettromagnetica che si propaga, tramite il suo campo elettrico E:

)(0

rktieEErrr

⋅−= ω ; tale campo si propaga lungo r e sappiamo che λπ2

=kr

e Tπ

ω2

= per cui:

Tk ωλ =r

, cioè: kc

Tkrr

===ω

λω ; (A.2.1)

rktI rr⋅−= ω è evidentemente un invariante, ma è anche esprimibile come il prodotto di due quadrivettori

(evidentemente invarianti): (4-vettore posizione e 4-vettore d’onda) ),(),( ckkctrrI ωrr

⋅−= .

Ricordiamo ora che, per la (A.2.1), c

k ω=

r e consideriamo un’onda luminosa che si propaga in un sistema k’(V) sul

piano x’, y’ e formante un angolo θ’ con x’; le componenti di 'kr

saranno:

'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k e ')'('4 kck == ω .

Per le T. di Lorentz, si ha, invece, in un sistema k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = e )''( 144 kkk βγ += ; ora, poichè anche k3=0, anche nel sistema k il

raggio si propaga su x,y; quindi, si ha: ),0,sin,cos(ccc

k ωθ

ωθ

ω= ; calcoliamo ora dunque ω e θ: a tal proposito,

dalla trasformazione di k’4 si ha: )'cos''( θω

βω

γω

ccc+= oppure:

)'cos1(')1(

)'cos1('2

θβγωβ

θβωω +=

−

+= (A.2.2)

mentre dalla trasformazione di k’1 si ha: )''cos'(coscccω

βθω

γθω

+= e tenendo conto della (A.2.2), si ha:

)'cos1()'(cos)'(cos'cos

θββθ

βθγωω

θ+

+=+= (A.2.3)

Notiamo poi ancora che la trasformazione di k’2 e la (A.2.2) ci danno:

)'cos1('sin'sin

)'cos1()1(

'sin'sin2

θβγθ

θθβ

βθ

ωω

θ+

=+

−== (A.2.4)

e dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha ancora: )cos1(

sin'sinθβγ

θθ

−= , che è poi anche la (A.2.4) con θ’ e θ scambiati e con

(-β) al posto di β; il tutto per la relatività del moto. ------------------------

Supponiamo ora una sorgente ω’ in quiete in un sistema k’(θ’); allora, dalla (A.2.3) si ha:

)cos1()(cos'cos

θββθ

θ−

−= (utile per determinare subito θ da θ’) ((A.2.3) con θ’ e θ scambiati e con (-β) al posto di β),

da cui, con un po’ di calcolo:

θββ

θβcos1

)1()'cos1(2

−−

=+ e la (A.2.2) diviene:

θββ

ωωcos1

)1('

2

−−

= (A.2.5)

Qui ω’ è la ω della sorgente in moto e ωω ≠' . Dunque, se nel sistema k si vede arrivare la radiazione sotto un angolo πθ = , significa che la radiazione proviene da destra, dal sistema k’ in allontanamento lungo l’asse x, e si può dunque

parlare di Effetto Doppler Longitudinale (Par. 3.5) ed in tal caso 1coscos −== πθ e dalla (A.2.5) con sorgente in

allontanamento ( πθ = ) si ha: )1()1('

ββ

ωω+−

= (A.2.6)

>>> )1()1('

ββ

−+

= TT , mentre col sistema k’ in avvicinamento (θ=0 >>> cos θ=1), si ha:

)1()1('

ββ

ωω−+

= (A.2.7)

>>> )1()1('

ββ

+−

= TT , proprio come nel Par. 3.5.

Curiosità: sviluppando in serie di β (<<1), le (A.2.6) e (A.2.7) si ottiene: )1(' βωω −≅ e )1(' βωω +≅ da cui:

βωω

ωωω

m=∆

=−

'''

, formula molto usata in astrofisica e cosmologia per il red shift (si ricorda poi che πνω 2= e

c=λν ). Per passare dal caso di emettitore in moto a quello di osservatore in moto e viceversa, basta poi scambiare β con – β (V con –V) e ω’ con ω. In ogni caso, quando c’è avvicinamento (o allontanamento) le formule per l’Effetto Doppler Relativistico longitudinale sono le stesse indipendentemente da chi dei due si avvicina. Se il sistema k si vede invece arrivare la radiazione con 2πθ = , dall’alto, allora possiamo parlare di Effetto Doppler Relativistico TRASVERSALE; in tal caso non si ha allontanamento o avvicinamento, ma l’unico effetto di tipo Doppler è

imputabile alla sola dilatazione del tempo; infatti, anche dalla (A.2.5), con 2πθ = , si ha: )1(' 2βωω −= .

Sviluppando, con β<<1, si ha: )2

1('2β

ωω −≅ (secondo grado in β, dunque un effetto meno visibile del

longitudinale). Tale effetto fu osservato per la prima volta da Ives nel 1938 e confermò in pieno la teoria. Inoltre, la diversità tra θ’ e θ conferma anche il fenomeno dell’ABERRAZIONE della luce, secondo cui se sei in moto vedi la luce giungerti sotto un angolo diverso, un po’ come quando in viaggio in macchina vedi la pioggia cadere in obliquo sul parabrezza. E dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha:

)'(cos)1('sin 2

βθβθ

θ+−

=tg .

App. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Abbiamo definito al Par. 2.2 il quadrivettore velocità:

),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv

dtdx

dtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx ===== λγγγγγγγγγ

ττττr

Applicando le T. di Lorentz, si ha: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;

ora, si noti che Γ è definito dalla V del sistema 0’ in moto (e β=V/c), mentre γ si riferisce alla velocità v che la

particella ha in 0, e 'γ alla v’ che la particella ha in 0’. Sostituendo ora agli u i valori corrispondenti:

)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;

e dall’ultima si ha:

)1(

1'

2 xvcV

−Γ=

γγ

, (A.3.1)

che sostituita nelle prime tre: )('

' Vvv xx −Γ=γγ

, yy vv'

'γγ

= , zz vv'

'γγ

= dà la trasformazione delle velocità. Nel

caso delle trasformazioni inverse, in luogo della (A.3.1) si avrà: )1(' 2 xv

cV

+Γ=γγ

.

Segue dalla (A.3.1) che se la particella è in quiete in 0 (v=0 >> 1=γ ), allora Γ='γ , da cui v’=-V , cioè in 0’ la particella ha velocità –V (ovvio). App. 4: Le trasformazioni della quadriforza.

Al Par. 2.3 abbiamo introdotto la Forza di Minkowski, o quadriforza: ),,,())(,( 4321 FFFFvfc

fd

pdF =⋅==

rrr γγ

τ.

Per le T. di Lorentz: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . Introducendo ora in tali equazioni di trasformazione le componenti della Forza di Minkowski, si ottiene:

))(('' vfc

ff xxrr

⋅−Γ= γβ

γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr

, da cui:

))(('

' vfc

ff xxrr

⋅−Γ=β

γγ

, yy ff'

'γγ

= , zz ff'

'γγ

= , ))(('

)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr

γγ

, che, per la (A.3.1)

divengono:

x

x

x

vcV

vfc

ff

21

))(('

−

⋅−=

rrβ

,

x

yy

vcV

ff

2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

zz

vcV

ff2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

x

vcV

Vfvfvf21

)()''(

−

−⋅=⋅

rrrr

che sono le equazioni di trasformazione della quadriforza.

App. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Ovviamente, il quadrivettore accelerazione è definibile come segue:

),,,(),,,( 432124

2

23

2

22

2

21

2

2

2

aaaad

vdd

xdd

xdd

xdd

xdd

xda ====ττττττ

Per le prime tre componenti (spaziali) si ha: ( 3,2,1=α )

22222

)1()(

1)(

ββγ

γγ

τγ ααα

ααα −+

−=+==

cvvvv

dtdv

dtdv

ddtv

dtda &&

, in quanto:

2

33

2)

)1(1(

cvv

dtd

dtd &&&

γββγ

β

γγ ==

−== . Riguardo invece a4 :

224

2

4 )1()(

2)(

βββγ

γγγ

τγ

−=====

cvvc

dtdc

dtdc

ddtc

dtda

&& e dunque:

))1(

)(,()2

),(( 2242

2

βββγγ

γγγ

−+==

vvvvdt

dcvdtda

&&& ; si noti che nel sistema in cui la particella è a riposo (v=0, β=0)

si ha: xva &=)0(1 , yva &=)0(

2 , zva &=)0(3 , 0)0(

4 =a , cioè la parte spaziale di a coincide con quella tridimensionale

ordinaria. Si ha inoltre: 022>= va & ed essendo

2a un invariante, la disegualianza è sempre verificata e a è dunque

di tipo spazio. Per giungere ora alle equazioni di trasformazione dell’accelerazione, di consideri che:

dtdvv =& e

dtdvv ''=& ; inoltre, )(tvv xx = e )'('' tvv xx = (coerentemente). Denominiamo poi:

cvx

x =β e c

v xx

'' =β ; otteniamo allora dalle (1.18) che:

22 )'1(1

' xx

x

dvdv

ββγ += , 2)'1(

)''''(1

' x

xy

xy

y

y dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= e 2)'1(

)''''(1

' x

xz

xz

z

z dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= .

Da queste si ha poi:

22 )'1('

x

xx

dvdvββγ +

= , 2)'1()''''('

x

yxxyyy

dvdvdvdv

ββγβββ

+−−

= e 2)'1()''''('

x

zxxzzz

dvdvdvdvββγ

βββ+

−−= ;

dividendo ora tali relazioni con la seguente nota relazione (delle T. di Lorentz) )''( dxc

dtdt βγ += , si ha:

xx

x aa ')'1(

133 ββγ +

= , 32 )'1()''''('

x

xyyxyy

aaaa

ββγβββ

+−+

= e 32 )'1()''''('

x

xzzxzz

aaaaββγ

βββ+

−+=

che sono appunto le equazioni di trasformazione dell’accelerazione. Notiamo, per ultimo, che tali equazioni contengono la velocità; quindi, se l’accelerazione tridimensionale è costante in un sistema di riferimento inerziale, varierà nel tempo in tutti gli altri!

App. 6: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo).

Indice dell’App. 6: -Indice dell’app. 6. Pag.26 -App. 6-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. Pag.26 App. 6-Par. 1.1: Niente materia oscura! Pag.26 App. 6-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. Pag.28 App. 6-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. Pag.29 App. 6-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Pag.29 App. 6-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. Pag.30 App. 6-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Pag.31 -App. 6-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.32 App. 6-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle. Pag.32 App. 6-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. Pag.33 App. 6-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Pag.34 -App. 6-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. Pag.35 App. 6-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). Pag.35

-App. 6-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.38

App. 6-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!). Pag.38

-App. 6-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. Pag.39 App. 6-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Pag.39 App. 6-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Pag.39 App. 6-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Pag.40 App. 6-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Pag.40 App. 6-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. Pag.42 -App. 6-SUBAPPENDICI. Pag.42 App. 6-Subppendice 1: Costanti fisiche. Pag.42 App. 6-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. App. 6-Par. 1.1: Niente materia oscura! SULLE DISCREPANZE TRA LA DENSITA’ ρUniv CALCOLATA E QUELLA OSSERVATA: Ricercare il 99% della materia dell’Universo, dopo che la si è dichiarata invisibile, mi sembra alquanto strano. Si dice infatti che la materia oscura dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).

Gli astrofisici misurano un valore di ρ dell’Universo visibile pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . La cosmologia prevalente di oggigiorno, nel calcolo della densità media dell’Universo, giunge invece ad un valore ρ pari a (vedere anche la (A1.6)):

3262 /102)34/( mkgGH localWrong

−⋅≅= πρ (valore troppo elevato!) . (A1.1)

Assumiamo ora per Hlocal (costante di Hubble locale – vedi la (A1.7) più sotto) il valore plausibile di:

])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local

−⋅≅⋅≅ (A1.2)

confermato dalle innumerevoli misurazioni, ad esempio, sull’ammasso di galassie della Chioma (vedi la (A1.7) più sotto) e ciò conferma dunque anche il fatto che gli oggetti più lontani mai osservati si allontanano ad una velocità vicina a quella della luce:

OldUniversolocal RcH −≈ / , da cui: luceanniMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)

Inoltre, si calcola la velocità di un corpo “gravitante” di massa m ai confini dell’Universo visibile, banalmente, imponendo la seguente eguaglianza tra forza centrifuga e forza gravitazionale:

22

/ OldUnivOldUnivOldUniv

RMmGR

cmam −−−

⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)

da cui, tenuto anche conto della (A1.3), segue che:

kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)

e quindi:

3262333 /102)34/(])(

34[)()

34/( mkgGH

HcGHcRM locallocal

localOldUnivOldUnivWrong−

−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)

cioè appunto la (A1.1) (valore troppo elevato!) Bene, anzi, male; tale valore è di quattro ordini di grandezza superiore al valore di densità osservato e, dunque, misurato dagli astrofisici. E poi le galassie sono troppo “leggère” per ruotare così velocemente (vedere oltre). Ed ecco che si è deciso di mettersi alla ricerca di materia oscura, e non di poca, visto che essa dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).

Invece, gli astrofisici misurano dunque un valore di ρ pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Cerchiamo un attimo di capire quali scelte arbitrarie, nei decenni, abbiano potuto portare a tale discrepanza. Dalle osservazioni di Hubble in poi, emerse che le galassie lontane e gli ammassi di galassie si allontanano da noi con certe velocità, determinate da misure dello spostamento verso il rosso. Ma non solo; più si osservano quelle lontane e più si rilevano velocità di allontanamento maggiori e pare giustamente che ci sia una legge che leghi la distanza di tali oggetti da noi e la velocità con cui essi si allontanano, sempre da noi. La Fig. A1.1 qui sotto è una foto dell’ammasso di galassie della Chioma, sul quale sono disponibili centinaia di misurazioni; bene, sappiamo che tale ammasso dista da noi: Δx=100 Mpc = 3,26 108 a.l. = 3,09 1024 m e si allontana da noi ad una velocità: Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Ammasso della Chioma. Parlando appunto della legge di Hubble ed utilizzando i dati dell’ammasso della Chioma, quanto si osservava (e si osserva tutt’oggi), in forma matematica, è esprimibile come segue:

])([1022,2 18 msmxvH local

−⋅≅∆∆= , (A1.7)

cioè un buon valore per la costante di Hubble “locale”, utilizzata ancor oggi dalla Cosmologia (prevalente).

App. 6-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. A conferma di quanto appena detto, abbiamo anche visto con la (A1.3) che si ottiene sempre lo stesso valore di costante

di Hubble locale se, invece dei dati sull’ammasso della Chioma, si utilizza l’intero nostro Universo visibile, di 13,5 910 a.l. di raggio ed espandentesi approssimativamente a velocità c. Ma per gli stessi ragionamenti fatti finora per giungere alla definizione di Hlocal, possiamo anche dire che se le galassie, con l’allontanarsi, aumentano la loro velocità, allora sono sottoposte ad un’accelerazione aUniv , e, dalla fisica, sappiamo che, banalmente:

tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(

21

21 2 , da cui:

vxt

∆∆⋅

=∆2

, che usata nella definizione di accelerazione

aUniv , ci dà:

2122

/1062,72

)(2 sma

xv

vx

vtva UnivUniv

−⋅≅=∆⋅

∆=

∆∆⋅

∆=

∆∆

= , accelerazione cosmica (Wåhlin) (A1.8)

avendo utilizzato i dati dell’ammasso della Chioma. E’ questa l’accelerazione con cui perlomeno tutto il nostro Universo visibile accelera verso il centro di massa dell’Universo intero. VEDREMO ORA CHE QUESTO PICCOLO OGGETTO CHE ABBIAMO APPENA VALUTATO, E CIOE’ aUniv, CHE E’ UN OGGETTO DI CUI, EVIDENTEMENTE, NON SI TIENE BEN CONTO, CI PERMETTE DI CONCLUDERE CHE LA DENSITA’ CALCOLATA DELL’UNIVERSO E’ ESATTAMENTE QUELLA MISURATA DAGLI ASTROFISICI E CI PERMETTERA’ ANCHE DI GIUSTIFICARE LE ALTE VELOCITA’ DI ROTAZIONE DELLE GALASSIE, SEMPRE SENZA STARE A CERCARE LA MATERIA OSCURA

pena però il dover accettare che viviamo in un Universo che ha un raggio almeno 100 volte quello dei 13,5 910 a.l. predicato oggigiorno, e con una massa molto più grande dell’1,67 1053 kg, valutata a pag. 27, e sempre predicata oggigiorno come massa dell’Universo tutto, e non di quello a noi visibile (vedere oltre). Dipaniamo la matassa: Partiamo dunque dalla scoperta rappresentata dalla (A1.8), secondo cui stiamo accelerando e dalla (A1.4), secondo cui:

NewUnivUniv R

ca−

=2

, da cui, per il nuovo raggio dell’Universo:

macRUniv

NewUniv28

2

1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)

Tale valore è un centinaio di volte quello precedentemente calcolato nella (A1.3) e sarebbe però il raggio compreso tra il centro di massa dell’Universo ed il luogo dove siamo ora noi, luogo in cui la velocità della luce vale c. ((non essendo evidentemente noi esattamente ai confini di tale Universo, si dimostra che l’estensione totale è più grande

di un fattore 2 , cioè RUniv-Tot=1,667 1028m.)) In ogni caso, si viaggia su dimensioni lineari dell’ordine di 100 volte quelle contemplate nella cosmologia prevalente. In un certo senso, di materia che non vediamo ce n’è, ma sta oltre il range dei nostri telescopi, e non dentro le galassie o tra le galassie, materia (quella oscura) che andrebbe a scombussolare le leggi della gravitazione, che invece reggono bene. Sempre dalla (A1.4) si ha ora che:

2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , da cui:

kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)

Questo valore, ancora una volta, è 100 volte quello della cosmologia prevalente della (A1.5) ed è la massa entro il raggio RUniv-New , mentre quella entro il totale RUniv-Tot non è nota.

Dalle (A1.9) ed (A1.10) scaturisce poi che: Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)

App. 6-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. VENIAMO ORA AL CALCOLO DELLA NUOVA DENSITA’ DELL’UNIVERSO:

3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv

−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)

molto, ma molto prossima a quella osservata e misurata dagli astrofisici e già riportata a pag. 27. La natura, per fortuna, offre anche dei segnali che incoraggiano e, anzi, convincono, nel perseguimento di una determinata strada, quando conferme di ciò che si è intuito giungono da altri settori della fisica del tutto distanti da quello in cui ci si sta muovendo. A tal proposito, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , da cui:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

(A1.13)

Adesso, sempre in senso classico, se immagino, ad esempio, di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:

2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , da cui:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!! (A1.14)

cioè esattamente il valore ottenuto nella (A1.8) per tutt’altra via, macroscopica, e non microscopica, come nel caso della (A1.14). Del resto, i comportamenti gravitazionali dell’Universo e degli elettroni che lo compongono, perchè dovrebbero essere diversi tra loro? App. 6-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Beh, certo che se la materia mostra attrazione reciproca in forma di gravità, allora siamo in un Universo armonico oscillante in fase di contrazione, che si sta contraendo tutto verso un punto comune che è il centro di massa di tutto l’Universo. Infatti, l’accelerare verso il centro di massa ed il mostrare proprietà attrattive gravitazionali sono due facce della stessa medaglia. Inoltre, tutta la materia intorno a noi mostra di voler collassare: se ho una penna in mano e la lascio, essa cade, dimostrandomi che vuole collassare; poi, la Luna vuole collassare nella Terra, la Terra vuole collassare nel Sole, il Sole nel centro della Via Lattea, la Via Lattea nel centro del suo ammasso e così via, e, dunque, anche tutto l’Universo collassa. No? Ma allora come si spiegherebbe che vediamo la materia lontana, intorno a noi, allontanarsi e non avvicinarsi? Beh, facile: se tre paracadutisti si lanciano in successione da una certa quota, tutti e tre stanno cadendo verso il centro della Terra, dove poi idealmente si incontreranno, ma il secondo paracadutista, cioè quella che sta in mezzo, se guarda in avanti, vede il primo che si allontana da lui, in quanto ha una velocità maggiore, poiché si è buttato prima, mentre se guarda indietro verso il terzo, vede anche questi allontanarsi, in quanto il secondo, che sta facendo tali rilevamenti, si è lanciato prima del terzo, e dunque ha una velocità maggiore e si allontana dunque pure da lui. Allora, pur convergendo tutti, in accelerazione, verso un punto comune, si vedono tutti allontanarsi reciprocamente. Hubble era un po’ come il secondo paracadutista che fa qui i rilevamenti. Solo che non si accorse dell’esistenza della accelerazione di gravità g (aUniv) come background. Ricordo poi che recenti misurazioni su supernove lontane, utilizzate come candele standard, hanno dimostrato che l’Universo sta effettivamente accelerando, fatto questo che è contro la teoria della nostra presunta attuale espansione post Big Bang, in quanto, dopo che l’effetto di una esplosione è cessato, le schegge proiettate si propagano, sì, in espansione, ma devono farlo ovviamente rallentando, non accelerando. Riguardo il periodo TUniv dell’Universo, sappiamo dalla fisica che: v=ωR e T/2πω = , e, nel caso dell’Universo

intero: c=ωRUniv e UnivT/2πω = , da cui:

scRT Univ

Univ201047118,22

⋅==π

(7.840 miliardi di anni) (A1.15)

E per il valore della frequenza angolare: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , ed esso è il parametro giusto

per una reinterpretazione della costante di Hubble globale globalH , che vale localH solo nell’Universo a noi visibile

( GlobalUniv H=ω ).

App. 6-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. 1) Ricordiamo preliminarmente la legge di Stephan-Boltzmann:

4Tσε = [W/m2], dove )(1067,5 428 KmW−⋅=σ E’ ora interessantissimo notare che se si immagina che un elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) irradi tutta l’energia che lo costituisce nel tempo TUniv , si ottiene una potenza che è esattamente ½ della costante di Planck in watt! Infatti:

WhT

cmL WUniv

ee

342

10316,321 −⋅===

(Non deve stupire il coefficiente ½; infatti, ai livelli fondamentali di energia, esso sempre compare, come, ad esempio, sul primo orbitale dell’atomo di idrogeno, dove la circonferenza dell’orbitale dell’elettrone (2πr) è proprio

DeBroglieλ21 dell’elettrone. E lo stesso fotone è rappresentabile come se racchiuso in un cubetto di lato

photonλ21 ).

2) Inoltre, notiamo che un elettrone e l’Universo hanno lo stesso rapporto luminosità – massa:

infatti, WT

cMLUniv

UnivUniv

512

1080,5 ⋅== (per definizione) e risulta quindi vero che:

e

W

Unive

Univ

e

e

e

UnivUniv

Univ

Univ

Univ

Univ

m

h

Tc

mT

cm

mL

Tc

MT

cM

ML 2

12

2

2

2

====== e per la legge di Stephan-Boltzmann, sia all’Universo

che ad un “elettrone” si può, per così dire, attribuire la stessa temperatura della radiazione cosmica di fondo:

424

TRL

σπ

= , da cui: Kr

h

rL

RL

RLT

ee

e

Univ

Univ 73,2)4

21

()4

()4

()4

( 41

24

1

24

1

24

1

2 ≅====σπσπσπσπ

!!!

3) Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg come conseguenza dell’essenza dell’Universo macroscopico accelerante ad Univa :

per tale principio, dal momento che il prodotto Δx Δp deve stare al disotto della quantità 2/h , con il segno dell’eguaglianza, quando Δx è massimo, Δp deve essere minimo, e viceversa:

2/h≤∆⋅∆ xp e 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )

Ora, come maxp∆ consideriamo, per l’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!), la quantità

)(max cmp e ⋅=∆ e come minx∆ per l’elettrone, dal momento che lo stesso altro non è che un’armonica

dell’Universo che lo contiene (così come un suono può essere considerato come composto dalle sue armoniche), avremo 2

min )2( πUnivax =∆ , come conseguenza diretta delle caratteristiche dell’Universo che lo contiene; infatti, per la

(A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , in quanto si sa dalla fisica che Ra 2ω= , e poi UnivUnivUniv T πνπω 22 == , e come

eω dell’elettrone (che è armonica dell’Universo) si considera dunque la “ Univν – esima” parte di Univω , cioè:

UnivGlobalUnivUnive H ννωω == , come se l’elettrone o una coppia elettrone-positrone possono compiere

oscillazioni a mo’ di quelle dell’Universo, ma con un rapporto velocità - ampiezza non pari alla Costante di Hubble

(globale), bensì con la stessa fratto Univν e, dunque, se per l’Universo tutto è vero che: 2UnivUnivUniv aR ω= , per

l’elettrone: 2222min )2()()()( πννωωUniv

UnivGlobal

Univ

UnivUniv

Univ

e

Univ aH

aaax ====∆ , da cui:

342minmax 10527,0

)2(−⋅==∆⋅∆

πUniv

eacmxp [Js] e questa quantità ( 3410527,0 −⋅ Js), guarda caso, è proprio 2/h !!

4) Come fatto in precedenza, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , da cui:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

Sempre in senso classico, se immagino di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:

2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , da cui:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!!

5) Sappiamo che la quantità 137

1=α è il valore della Costante di Struttura Fine e l’espressione νh

rGm

e

e2

assume

tale valore solo se ν è quella dell’Universo da noi appena descritto, cioè:

Unive

e hr

Gmνα

2

1371

== , dove notoriamente Univ

Univ T1

=ν (vedi la (A1.15)) !!

6) Se suppongo, per semplicità, che l’Universo sia composto solo da armoniche come gli elettroni −e (e/o i positroni

+e ), essi saranno, in numero, pari a: 851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington); la radice quadrata di tale numero è:

421013,4 ⋅≅N (~Weyl).

Notiamo ora, con sorpresa, che mrN e281018,1 ⋅≅ (!), cioè proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9)

( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!

App. 6-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Fig. A1.2: Galassia di Andromeda (M31). Imponiamo, ad una stella periferica in rotazione in una galassia, l’equilibrio tra forza centrifuga e forza di attrazione gravitazionale verso il centro di massa della galassia stessa:

2

2

Gal

Galstar

Galstar R

MmGRvm = , da cui:

Gal

Gal

RGMv =

Nel caso invece si consideri anche il contributo mareale dovuto ad aUniv , e cioè dovuto anche a tutto l’Universo circostante, si ha:

Galassia di Andromeda (M31): Distanza: 740 kpc; RGal=30 kpc; Massa visibile MGal = 3 1011MSun; Massa stimata(+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;

GalUnivGal

Gal RaR

GMv += ; vediamo dunque, nel caso, ad esempio, della M31, a quanti RGal (quante k volte) di

distanza dal centro della galassia il contributo di aUniv riesce a sopperire alla necessità di considerare dark matter:

GalUnivGal

Gal

Gal

Dark kRakR

GMkR

GM+=+ , da cui: 4

)(2 ≅

−= +

GalUniv

GalDark

RaMMGk , dunque a 4RGal l’esistenza di aUniv

ci permette di avere i valori di velocità di rotazione osservati, senza far ricorso alla materia oscura. Inoltre, a 4RGal il contributo alla rotazione dovuto ad aUniv domina. Per ultimo, osservo che aUniv non ha invece effetto su oggetti piccoli come il sistema solare; infatti, in tale caso:

14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−

SoleTerraUnivSoleTerra

Sun RaR

MG .

E’ ovvio che queste considerazioni sul legame tra aUniv e la velocità di rotazione delle galassie sono ampiamente aperte ad ulteriori speculazioni e la formula tramite la quale si può tener conto dell’effetto mareale di Univa nelle galassie può

assumere una forma ben più complessa di quelle qui sopra, ma non sembra proprio un caso che un po’ tutte le galassie hanno dimensioni che stanno in un range abbastanza stretto (3 – 4 RMilky Way o non molto di più) e, in ogni caso, non con raggi di decine o di centinaia di RMilky Way , ma, al massimo, di qualche unità. E’ infatti la componente dovuta all’accelerazione cosmica che, annullando, in certe fasi, l’accelerazione centripeta nella galassia, andrebbe a sfrangiare la galassia stessa, ed eguaglia, ad esempio, nella M31, la componente gravitazionale propria ad un valore di raggio pari a:

MaxGalUnivMaxGal

M RaRGM

−−

=31 , da cui: 3131 5,2 M

Univ

MMaxGal R

aGMR ≅=− , ed infatti i raggi massimi osservati nelle

galassie sono all’incirca di tale taglia.

--------------------------------------------- App. 6-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). App. 6-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle.

a) Ricordo che dalla definizione di er della (A1.13): 22

041 cm

re

ee

=⋅πε

e dalla (A1.11): Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington),

segue che:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (A2.1)

b) Alternativamente, sappiamo che la Costante di Struttura Fine vale 1 su 137 ed è espressa dalla seguente equazione:

ch

e

π

πεα

2

41

1371

2

0== (Alonso-Finn), ma notiamo anche che la quantità 137

1 è data dalla seguente espressione, che

può essere evidentemente ritenuta, a tutti gli effetti, altrettanto valida come espressione per la Costante di Struttura Fine:

Emanable

MinBox

Univ

e

e

EE

hr

Gm_

2

1371

===ν

α , dove notoriamente Univ

Univ T1

=ν .

MinBoxE _ è la più piccola scatoletta di energia dell’Universo (l’elettrone), mentre EmanableE è la minima energia

emanabile, visto che Univν è la più piccola frequenza.

Tra parentesi, α è anche data dal rapporto tra la velocità dell’elettrone nell’atomo di idrogeno e la velocità della luce:

hcecv Hine 02

__ 2εα == , oppure ancora come rapporto tra la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone (che è la

minima λ di e- quando è libero ed alla velocità massima c) e la lunghezza d’onda di e- appunto sul primo orbitale di H:

)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . E’ altresì vero che 0are=α , con 529,00 =a Å, che è il raggio

di Bohr. Potremo dunque stabilire la seguente uguaglianza e trarre le relative conseguenze (Rubino):

Univ

e

e

hr

Gm

ch

e

νπ

πεα

22

0

2

41

)137

1( === , da cui: e

eUniv

e

e

globale

e

Univ rGmR

rGm

Hc

rGmce

2222

0 241

===πνπε

avendo utilizzato anche la (A1.15).

Dunque, si può scrivere che: e

e

Univ rGm

Re 22

041

=πε

(ed anche questa equazione intermedia mostra una strettissima

parentela tra elettromagnetismo e gravità, ma procediamo oltre…)

Ora, se si immagina momentaneamente, e per semplicità, che la massa dell’Universo sia composta da N tra elettroni −e

e positroni +e , potremo scrivere che:

eUniv mNM ⋅= , da cui: e

eUniv

Univ rNNmGM

Re

=2

041πε

,

oppure ancora: e

eUniv

Univ rNmGM

NRe

=⋅)(4

1 2

0πε . (A2.2)

Se ora ipotizziamo che eUniv rNR = (vedi anche la (A4.2)), oppure, ciò che è lo stesso, NRr Unive =

, allora la

(A2.2) diventa:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (Rubino) cioè appunto ancora la (A2.1).

Ora, notiamo innanzitutto che l’aver supposto che eUniv rNR = è correttissimo, in quanto, dalla definizione di N data

poco fa e dalla (A1.10), si ha che:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington), da cui: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) e mrNR eUniv

281018,1 ⋅≅= , cioè

proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9).

App. 6-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. La (A2.1) è di fondamentale importanza ed ha un significato molto preciso (Rubino) in quanto ci dice che l’energia

elettrostatica associata ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone ( −+ee adiacenti) è né più, né meno che

l’energia gravitazionale conferita alla stessa da tutto l’Universo UnivM alla distanza UnivR ! (e viceversa…)

Dunque, un elettrone, lanciato gravitazionalmente da una enorme massa UnivM per un tempo lunghissimo UnivT e

attraverso un lunghissimo cammino UnivR, acquista una energia cinetica di origine gravitazionale tale che, se poi è

chiamato a restituirla tutta insieme, in un attimo, tramite, ad esempio, un urto, e tramite dunque una oscillazione della

molla costituita appunto dalla coppia −+ee , deve appunto trasferire una tale energia gravitazionale, accumulata nei miliardi di anni, che se fosse da attribuire solo alla energia potenziale gravitazionale della esigua massa dell’elettrone stesso, sarebbe insufficiente per parecchi ordini di grandezza.

Ecco, dunque, che l’effetto di restituzione immediata, da parte di −e , di una grande energia gravitazionale accumulata,

che abbiamo visto essere Univ

eUniv

RmGM

, fa “apparire” l’elettrone, sul momento, e in un range più ristretto ( er ), capace

di liberare energie derivanti da forze molto più intense della gravitazionale, oppure, come se fosse capace di una speciale forza gravitazionale con una speciale Costante di Gravitazione Universale G’ ben più grande di G:

e

ee

e

ee

ee rmmG

rmm

me

me

⋅=⋅⋅⋅ ')4

1(0πε

; dunque, nel momento eventuale della restituzione immediata di energia da

parte dell’elettrone, c’è l’effetto rincorsa dovuto alla sua eterna caduta libera (gravitazionale) nell’Universo. E, di riflesso, la gravità è l’effetto di composizione di tante piccole forze elettrostatiche.

Faccio altresì notare che l’energia espressa dalla (A2.1), guarda caso, è proprio pari a 2cme !!!, cioè proprio una sorta di

energia cinetica di rincorsa posseduta dalle coppie elettrone-positrone in caduta libera, e che Einstein conferì anche alla materia in quiete, senza purtroppo dirci che quella materia, appunto, non è mai in quiete rispetto al centro di massa dell’Universo, visto che siamo tutti inesorabilmente in caduta libera, anche se tra noi ci vediamo fermi, da cui la sua

essenza di energia cinetica di origine gravitazionale 2cme :

Univ

eUniv

ee R

mGMrecm =⋅=

2

0

2

41πε

.

App. 6-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Si parla di oscillazioni perché è così che si trasmette l’energia, specie in un urto, ed anche in quello tra, ad esempio, due palle da biliardo, dove le oscillazioni nel punto di contatto ci sono, e come, anche se non si vedono (quelle degli elettroni periferici, delle molecole, degli atomi ecc, nel punto di scontro). Si parla qui di oscillazioni in modo proprio, anche perché un semplice atomo di idrogeno, oppure una coppia elettrone-positrone e-e+, che sono governati dalle leggi dell’elettromagnetismo, si comportano come delle vere e proprie molle: infatti, in coordinate polari, per l’elettrone in orbita intorno al protone, in un atomo di idrogeno, si ha l’equilibrio tra forza di attrazione elettrostatica e forza centrifuga:

3

2

2

2

0

22

2

0 41)(

41

rmp

rer

dtdm

reF

eer +−=+−=

πεϕ

πε , dove ω

ϕ=

dtd

e 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=

Valutiamo ora l’energia corrispondente, integrando tale forza nello spazio:

2

22

0 241

rmp

redrFU

er +−=−= ∫ πε

. (A2.3)

Fig. A2.1: Grafico dell’energia. Il punto di minimo in (r0,U0) è punto di equilibrio e di stabilità (Fr=0) e lo si calcola annullando la derivata prima della (A2.3) (e cioè ponendo appunto Fr=0). Inoltre, in r0, la curva esprimente U è visivamente approssimabile con una parabola UParab e cioè, in quell’intorno, si può scrivere:

02

0 )( UrrkUParab +−= , e la corrispondente forza è: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=

che è, guarda caso, una forza elastica a tutti gli effetti ( kxF −= - Legge di Hooke). Inoltre, la legge gravitazionale cui l’Universo obbedisce, mostra una forza che varia con il quadrato della distanza, proprio come quella elettrostatica, dunque anche la forza gravitazionale porta alla legge di Hooke per l’Universo.

--------------------------------------------- Tramite la (A2.1) e la sua interpretazione abbiamo ricondotto la forza elettrica a quella gravitazionale; riconduciamo ora la forza magnetica a quella elettrica, in modo tale da chiudere il cerchio ed effettuare l’unificazione del campo elettromagnetico con quello gravitazionale. E tutti questi campi, per ultimo, sono riconducibili all’accelerazione cosmica aUniv , visto che la gravità lo è. App. 6-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. App. 6-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore: Fig. A3.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico.

r

U

U

2

2

2 rmp

e

re2

041πε

−

r0

Uo

2

42

00 2

)4

1(pemU e

πε−=

02

0 )( UrrkUParab +−=

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico (v)

x’

y’ z’

I’

Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-

identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:

Fig. A3.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. A3.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I. a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura A3.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. A3.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= , dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q

e:

Direzione della corrente I, con e- a velocità u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot e Savart).

Dunque: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A3.1)

dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u

( 220 1 cudd −= ).

b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A3.2)

dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)

e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .

Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A3.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A3.4)

Vogliamo ora confrontare la (A3.1) con la (A3.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (A3.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in

I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non

lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A3.5)

Ora, dunque, possiamo confrontare la (A3.1) con la (A3.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la

stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!!

---------------------------------------------

App. 6-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per

l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino).

App. 6-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!).

Abbiamo innanzitutto già verificato che l’equazione eUniv rNR = , utilizzata nella (A2.2), è corretta di per sé, in

quanto, a livello numerico, è esatta. Ed è altresì giustificabile pure in chiave oscillatoria ed ora vediamo come; tale equazione ci dice che il raggio dell’Universo è uguale al raggio classico dell’elettrone moltiplicato per la radice quadrata del numero di elettroni (e positroni) N di cui l’Universo può ritenersi composto. (Sappiamo che in realtà, la quasi totalità della materia dell’Universo non è composta da coppie e+e- ma da coppie p+e- di atomi di H, ma a noi ora interessa vedere l’Universo scomposto in mattoni fondamentali, o in armoniche fondamentali, e sappiamo che l’elettrone ed il positrone lo sono, in quanto sono stabili, mentre il protone pare che stabile non sia, e dunque non è un’armonica fondamentale e dunque neanche un mattone fondamentale.) Supponiamo ora che ogni coppia e+e- (o, per il momento, anche p+e- (H), se preferite) sia una piccola molla (fatto peraltro già giustificato dai ragionamenti compiuti intorno alla (A2.3)), e che l’Universo sia una grande molla oscillante (ed attualmente in contrazione verso il suo centro di massa) con ampiezza di oscillazione pari ovviamente ad RUniv , che si compone di tutte le micro oscillazioni delle coppie e+e-. E, per ultimo, chiariamo che tali micromolle sono distribuite alla rinfusa nell’Universo, come non può che essere, dunque una oscilla verso destra, l’altra verso sinistra, l’altra in su, l’altra ancora in giù, e così via. In più, i componenti e+ ed e- di ogni coppia non sono fissi, dunque non considereremo N/2 coppie oscillanti con ampiezza 2re, ma N elettroni/positroni oscillanti ad re. Fig. A4.1: L’Universo rappresentato come un insieme di tante (N) molle oscillanti in direzione casuale, o come grossa molla oscillante unica. Ora, essendo le micro oscillazioni orientate a caso, la loro composizione random è schematizzabile come in figura A4.2.

Fig. A4.2: Composizione delle N micro oscillazioni err

distribuite casualmente a formare l’oscillazione globale RUniv.

UnivR

er

x

y

z

NUnivR

r

err

err

err

err

err

err

err

err

err

err

Possiamo scrivere ovviamente che: eN

UnivN

Univ rRR rrr+= −1 ed il prodotto scalare di N

UnivRr

con se stesso fornisce:

21212 2)()( eeN

UnivN

UnivN

UnivN

UnivN

Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; prendendo ora la media:

22121212 )(2)()( eN

UniveeN

UnivN

UnivN

Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)

visto che 02 1 =⋅−e

NUniv rR rr

, dal momento che err

può essere orientate in modo casuale su 360° (o su π4 sr, se vi va),

e dunque un vettore che media con esso, come nella espressione precedente, fornisce un valore nullo.

Riscriviamo allora la (A4.1): 2212 )()( eN

UnivN

Univ rRR += − e procedendo, su di essa, per induzione, dal momento

che (sostituendo N con N-1 e così via):

22221 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− , e poi: 22322 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− ecc, si ottiene:

222222212 0..........2)()()( eeeN

UniveN

UnivN

Univ rNrNrRrRR =+==+=+= −− , cioè:

22)( e

NUniv rNR = , da cui, estraendo la radice di entrambi i membri:

eeUnivN

Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , e cioè:

eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)

E’ comunque noto, in fisica, che, ad esempio, il cammino R compiuto per N passi r successivi effettuati in direzione casuale è proprio la radice di N per r (vedi, ad esempio, gli studi sul moto Browniano).

--------------------------------------------- App. 6-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. App. 6-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Sempre in linea con quanto detto finora, la stessa accelerazione cosmica aUniv è responsabile della gravità tutta e dunque anche di quella terrestre. Infatti, solo perché la Terra è abbastanza densa, ha una accelerazione di gravità sulla sua superficie pari a g=9,81 m/s2, mentre, se tutt’oggi la si potesse considerare come composta di elettroni sparsi a caso, un

po’ come in Fig. A4.1 per l’Universo, allora la stessa avrebbe un raggio pari a eEarthee

Earth rNrm

M⋅=⋅ , e

l’accelerazione di gravità sulla sua superficie sarebbe:

2122

/1062,7)(

smarN

MGg UniveEarth

EarthNew

−⋅==⋅

= !!!

Dunque, ancora una volta, possiamo dire che la forza di gravità è una conseguenza del collasso dell’Universo con accelerazione aUniv, e le accelerazioni di gravità che si incontrano, di volta in volta, per ogni oggetto celeste, sono diverse da aUniv nella misura in cui tali oggetti sono particolarmente più compressi.

--------------------------------------------- App. 6-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Fig. A5.1: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze.

aUniv

GRAVITA’

causa di causa di ELETTRICITA’

MAGNETISMO

FORZA DEBOLE

causa di

(Rubino) (Einstein) (Maxwell)

FORZA FORTE

(my works in progress)

App. 6-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Lo scaricarsi completo di ogni singola mollettina, che rappresenta la coppia elettrone-positrone, altro non è che l’annichilazione, con trasformazione in fotoni delle due particelle. In tal modo, la coppia non sarà più rappresentata da un’onda piccata in un dato luogo ed in un dato momento (ad esempio )()sin( vtxvtx −− , o la cugina di

quest’ultima, cioè la )( vtx −δ di Dirac), dove la parte piccata starebbe a testimoniare la carica della molla, ma sarà

rappresentata da una funzione del tipo )sin( ctx − , omogenea lungo tutta la sua traiettoria, quale il fotone è. Ciò avverrà quando il collasso dell’Universo nel suo centro di massa sarà completo. Inoltre, l’essenza delle coppie e+e-, o, in quest’era, delle e-p+, è necessaria per la non violazione del Principio di Conservazione dell’Energia. Infatti, l’Universo, che nella sua fase di contrazione massima verso una singolarità, pare svanire nel nulla, o originarsi dal nulla, nel processo inverso a mo’ di Big Bang, rappresenterebbe una violazione di tale principio di conservazione, se non fosse per il Principio di Indeterminazione, secondo cui una energia ΔE è comunque legittimata a comparire, purchè sia di durata inferiore a Δt, nella misura in cui 2h≤∆⋅∆ tE , cioè, essa può comparire a patto che l’osservatore non abbia tempo sufficiente, in relazione ai suoi mezzi di misura, per determinarla, giungendo quindi alla constatazione della violazione. E, di riflesso, tutto l’Universo, che di coppie +/- è composto, gode di questa proprietà. E la comparsa di un ΔE composto da una coppia di particelle, vede le stesse prima separarsi, e dunque avere carica uguale, mentre l’annichilirsi successivo dopo un Δt testimonia una attrazione successiva, e dunque l’assunzione di cariche opposte. Dunque, la comparsa e l’annichilazione equivalgono alla espansione e contrazione dell’Universo. Se dunque fossimo in un Universo in fase di espansione, la gravità non esisterebbe, anzi esisterebbe all’incontrario, e non è dunque vero che solo la forza elettrica può essere repulsiva, ma anche la gravità può esserlo (con Universo in fase di espansione); ora non lo è, ma lo fu! La considerazione filosofica più immediata che si può fare, in tale scenario, è che, come dire, tutto può nascere (comparire), purchè muoia, e sufficientemente in fretta; e così la violazione è evitata, o meglio, non è dimostrata/dimostrabile, ed il Principio di Conservazione dell’Energia è preservato, e la contraddizione della comparsa di energia dal nulla è aggirata, anzi, di più, è contraddetta essa stessa. App. 6-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Sulla composizione delle velocità: 1) Caso di un corpo di massa m. Se in un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, ho un corpo di massa m in quiete, potrò scrivere:

01 =v e 021 2

11 == mvE . Se ora gli conferisco energia cinetica, esso passerà alla velocità v2, tale che, ovviamente:

222 2

1 mvE = ed il suo delta energia di energia GUADAGNATA E↑∆ (delta up) sarà:

222

2212 )(

21)0(

210

21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , con 12 vvv −=∆ .

Ora, il fatto che ho ottenuto un v∆ che è semplicemente pari a 12 vv − è un caso del tutto PARTICOLARE e vale solo quando si parte da fermi, e cioè quando v1 = 0.

In caso contrario: 221

22

21

2212 )(

21)(

21

21

21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , dove V∆ è un delta

vettoriale: )( 21

22 vvvV −=∆ ; possiamo dunque affermare che, a parte il caso particolare in cui si parta da fermi (v1

= 0), se si è già in moto, non si avrà un delta semplice, ma bensì uno vettoriale; ma questa è semplice fisica di base. 2) Caso della Terra. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, la Terra (E-Earth) ruota intorno al Sole con energia totale:

SE

ESunEETot R

mMGvmE−

−= 2

21

, e con energia cinetica 2

21

EEK vmE = . Se ora conferiamo alla Terra un delta up

E↑∆ di energia cinetica per farla saltare dalla sua orbita a quella di Marte (M-Mars), allora, analogamente al caso

precedente del punto 1, si ha:

22222 )(21)(

21

21

21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , con )( 22

MEV vvv −=∆ , e dunque anche qui i

delta di velocità sono di tipo vettoriale ( V∆ ). 3) Caso dell’Universo. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, se ad un corpo di massa m0 che mi appare in quiete voglio fargli raggiungere la velocità V, devo conferirgli un delta v appunto, ma per quanto

esposto nelle pagine precedenti, essendo noi già in movimento nell’Universo (ed a velocità c), come per i punti 1 e 2 qui sopra, tale delta v deve sottostare alla seguente eguaglianza (vettoriale):

)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)

dove SpeedUnivAbsNewv −−− è la nuova velocità assoluta che il corpo di massa m0 risulta avere non rispetto a noi, ma nel

contesto dell’Universo e rispetto al suo centro di massa. Infatti, un corpo è inesorabilmente legato all’Universo in cui si

trova, nel quale, guarda caso, esso, già di suo si muove con velocità c e possiede dunque una energia intrinseca 20cm .

Nella fattispecie, dovendo io apportare energia cinetica Ek al corpo m0 per fargli acquisire velocità V (rispetto a me), e considerando che, ad esempio, in una molla con una massa attaccata ad un’estremità, per la legge del moto armonico ho, per la velocità, una legge armonica del tipo:

ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , nel nostro caso),

e per l’energia armonica si ha una legge armonica del tipo:

αsinMaxEE = ( αsin)( 20

20 KEcmcm += , nel nostro caso),

ricavando αsin dalle due equazioni precedenti ed eguagliando, si ottiene:

KSpeedUnivAbsNew Ecm

cmcv+

=−−− 20

20 ,

e sostituendo tale valore di SpeedUnivAbsNewv −−− nella (A5.1), otterrò:

VEcm

cmccvcvVK

SpeedUnivAbsNewV =+

−=−=∆= −−− ])([)( 22

0

20222 , che riscrivo:

])([ 22

0

202

KEcmcmccV+

−= (A5.2)

Se ora ricavo EK dalla (A5.2), ottengo:

)11

1(

2

2

20 −

−

=

cV

cmEK !!! che è esattamente l’energia cinetica relativistica di Einstein!

Aggiungendo ora a tale EK cinetica l’energia intrinseca (che ha anche a “riposo” – riposo rispetto a noi, non rispetto al centro di massa dell’Universo) del corpo m0, ottengo l’energia totale:

20

20

2

2

2

2

20

20

20

1

1)11

1( cmcm

cV

cV

cmcmcmEE K ⋅=

−

=−

−

+=+= γ , e cioè la ben nota

20cmE ⋅= γ (della TRR). (A5.3)

Tutto ciò dopo che abbiamo supposto di apportare energia cinetica ad un corpo in quiete (rispetto a noi). La (A5.3) funziona benissimo, dunque, negli acceleratori di particelle, dove le particelle guadagnano energia, ma ci sono casi (Universo collassante e Fisica Atomica) dove le masse perdono energia ed irraggiano, invece di guadagnarla, ed in tali casi la (A5.3) è completamente inapplicabile, in quanto la stessa vale per energie apportate, non rimosse.

App. 6-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. In caso di energie rimosse (fase ulteriore del moto armonico), vale la seguente:

20

1 cmE ⋅=γ

(Rubino) (A5.4)

che è intuitiva già solo per il fatto che, con l’aumentare della velocità, il coefficiente γ1 mi abbassa m0, riducendola appunto, a favore della irradiazione, e cioè della perdita, di energia, cosa purtroppo non prevista, nei termini della (A5.4), nella Teoria della Relatività. Per una (convincente) deduzione della stessa (A5.4) e di alcune sue implicazioni, però, sono da me disponibili ulteriori trattazioni a riguardo. Utilizzando la (A5.4) in Fisica Atomica per valutare le energie di ionizzazione ZE↓∆ di atomi con singolo elettrone, ma

con numero atomico Z variabile, ci si riconduce, ad esempio, alla seguente equazione, che rispecchia egregiamente i dati sperimentali:

])2

(11[ 2

0

22

hcZecmE eZ ε

−−=∆↓ (A5.5)

e per atomi con numero quantico n qualsiasi ed orbitali qualsiasi:

])4

(11[ 2

0

22

hcnZecmE enZ ε

−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)

Orbitale (n) Energia (J) Orbitale (n) Energia (J) 1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20

Tab. A5.1: Livelli energetici nell’atomo di idrogeno H (Z=1), come da (A5.6). L’applicazione della qui inappropriata (A5.3) non porta invece ai dati sperimentali, ma bensì al ricorso di complesse correzioni ed equazioni di correzione (Fock-Dirac ecc), che tenterebbero appunto di “correggere” una applicazione appunto errata. Anche per avere delle chiare dimostrazioni delle (A5.5) e (A5.6), sono da me disponibili ulteriori files e trattazioni.

--------------------------------------------- App. 6-SUBAPPENDICI. App. 6-Subppendice 1: Costanti fisiche.

Costante di Boltzmann k: KJ /1038,1 23−⋅

Accelerazione Cosmica aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅

Distanza Terra-Sole AU: m1110496,1 ⋅

Massa della Terra MTerra: kg241096,5 ⋅

Raggio della Terra RTerra: m610371,6 ⋅

Carica dell’elettrone e: C19106,1 −⋅−

Numero di elettroni equivalente dell’Universo N: 851075,1 ⋅

Raggio classico dell’elettrone re: m1510818,2 −⋅

Massa dell’elettrone me: kg31101,9 −⋅

Costante di Struttura Fine )1371(≅α : 31030,7 −⋅

Frequenza dell’Universo 0ν : Hz211005,4 −⋅

Pulsazione dell’Universo )(0 globalH=ω : srad201054,2 −⋅

Costante di Gravitazione Universale G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅

Periodo dell’Universo UnivT : s201047,2 ⋅

Anno luce a.l.: m151046,9 ⋅

Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=

Densità dell’Universo ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅

Temp. della Radiaz. Cosmica di Fondo T: K73,2

Permeabilità magnetica del vuoto μ0: mH /1026,1 6−⋅

Permittività elettrica del vuoto ε0: mF /1085,8 12−⋅

Costante di Planck h: sJ ⋅⋅ −3410625,6

Massa del protone mp: kg271067,1 −⋅

Massa del Sole MSun: kg3010989,1 ⋅

Raggio del Sole RSun: m81096,6 ⋅

Velocità della luce nel vuoto c: sm /1099792458,2 8⋅

Costante di Stephan-Boltzmann σ: 428 /1067,5 KmW−⋅

Raggio dell’Universo (dal centro fino a noi) RUniv: m281018,1 ⋅

Massa dell’Universo (entro RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Grazie per l’attenzione. Leonardo RUBINO E-mail: leonrubino@yahoo.it

--------------------------------------------------------------- Bibliografia: 1) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 2) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 3) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 4) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 5) (R. Gautreau & W. Savin) FISICA MODERNA – Schaum. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (M. Alonso & E.J. Finn) FUNDAMENTAL UNIVERSITY PHYSICS III, Addison-Wesley. 9) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 10) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 11) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 12) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 13) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 14) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.

--------------------------------------------------------------

THE SPECIAL THEORY OF RELATIVITY (STR) IN 43 PAGES

by Leonardo Rubino leonrubino@yahoo.it

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Genuary 1993 – Rev. 00 - May 2011 – Rev. 01 Contents: -Contents. Page.1 -Introduction. Page.1 -Chapter 1: Fundamental introductory concepts. Page.3 Par. 1.1 Galilean transformations. Page.3 Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. Page.3 Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Page.5 Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). Page.6 Par. 1.5: The four-vector position. Page.6 Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. Page.7 Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. Page.8 -Chapter 2: The relativity of energies. Page.8 Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). Page.8 Par. 2.2: The velocity four-vector. Page.9 Par. 2.3: The four-force. Page.9 Par. 2.4: E0=m0c2. Page.10 Par. 2.5: Relativistic kinetic Energy. Page.11 -Chapter 3: Relativistic phenomena. Page.11 Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Page.11 Par. 3.2: Volume of moving solids. Page.11 Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Page.12 Par. 3.4: The Fizeau experiment. Page.12 Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Page.13 Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Page.14 Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment. Page.15 -Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. Page.16 Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page.16 Par. 4.2: The Current Density four-vector. Page.19 Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Page.19 -APPENDXES: Page.21 App. 1: Lorentz Transformations in succession. Page.21 App. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. Page.22 App. 3: The Transformations of the four-velocity. Page.24 App. 4: The transformations of the four-force. Page.24 App. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Page.25 App. 6: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Page.26 -Bibliography. Page.43 Introduction: Time is just the name which has been assigned to a mathematical ratio relation between two different spaces; when I say that in order to go from home to my job place it takes half an hour, I just say that the space from home to my job place corresponds to the space of half a clock circumference run by the hand of minutes. In my own opinion, no mysterious or spatially quadridimensional stuff, as proposed by the STR (Special Theory of Relativity). On the contrary, on a mathematical basis, time can be considered as the fourth dimension, as well as temperature can be the fifth and so on. The speed of light (c=299.792,458 km/s) is an upper speed limit, but neither by an unexplainable mystery, nor by a principle, as asserted in the STR and also by Einstein himself, but rather because (and still in my opinion) a body cannot move randomly in the Universe where it’s free falling with speed c, as it’s linked to all the Universe around, as if the Universe were a spider’s web that when the trapped fly tries to move, the web affects that movement and as much as

those movements are wide (v~c), that is, just to stick to the web example, if the trapped fly just wants to move a wing, it can do that almost freely (v<<c), while, on the contrary, if it really wants to fly widely from one side to the other on the web (v~c), the spider’s web resistance becomes high (mass which tends to infinite etc). On this purpose, see Appendix 1.6. Anyway, Einstein’s theory is formally founded on two principles: -Principle of di Relativity: laws of phisics have the same form in all inertial systems (i.e. at relative movement with a constant speed); as it doesn’t make any sense an absolute movement with respect to a standing ether which does not exist (see Par. 3.7) all reference systems are equal laboratories to verify in all laws of physics; so there aren’t any privileged reference sysyems (except for, in my opinion, that of the center of mass of the Universe). Anyway, the Michelson and Morley experiment (Par. 3.7) represented the end of the ether and opened the doors to STR. -Principle of Constancy of the Speed of Light: the speed of light in vacuum has always the same value c=300.000 km/s. Therefore, no matter if you chase it at 299.000 km/s of if you run away from it still with that speed; light in vacuum will run away or chase you still at 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) In the opinion of the writer, there is something like a contradiction in the STR; the speed of light seems to be an “absolute” object, indeed, and not “relative”, as we are here talking about “relativity”. The point here is that speeds among objects in the Universe are relative with respect to themselves, but there is an absolute (or almost) speed c with which all objects in the Universe fall towards the centre of mass of it; from this the absolute essence of c. And here there is also an explanation of the reason why objects at rest have energy m0c2 (Par. 2.4), energy given to matter at rest by Einstein, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest, as it’s free falling with speed c towards the center of mass of the Universe, as chance would have it. On this purpose, see my complete personal opinion in Appendix 1.6. If a common man hears the speed of light is the same everywhere and for everybody (all inertial observers), even when they have relative movements at constant speed, nothing happens. On the contrary, if it’s heard by a particular man like Einstein, what he can understand from that can be surprising. The following simple experiment, made by a light clock on a space ship, shows that the fact that the speed of light is c for “everybody” implies that time is relative, from which the Twin Paradox comes (Par. 1.4) etc: Fig. 1: Light clock not moving. Fig. 2: Light clock moving at speed V. As you can see in Fig. 1, every time light (blue arrows) goes from source to mirror and back, the light clock says, for instance, one second, or a certain time t’. The path in blue shown in Fig. 1 is seen by those who are not moving with respect to the clock, i.e. by who is on the space ship with the clock itself. On the contrary, those who are on the Earth and see the clock moving on the ship, will see the light travelling diagonally longer paths, as shown in Fig. 2, as the mirror moves while the light goes downwards, and the source moves, too, when the light goes back upwards. Now, as we are talking about light, the behaviour of it during its going downwards is not like that of a suitcase falling from the luggage compartment of a railway wagon, which is seen to fall vertically by the passenger on it and by a parabolic trajectory by the observers not moving, on the platform at the station, so taking the same time for both of them, as in the latter case (parabolic) the falling speed is higher; we are here talking about light, therefore its speed must be the same for all, and c; but if it’s so, then those who see the longer diagonal path must say that time taken by light to go down and up must be longer. Therefore, despite we’re talking about just one clock and one event, those two observers come to different results, so to the relativity of time and to all its implications. Using the Pithagorean Theorem on the triangle in Fig. 2, we have:

222222 ' tVtctc += , from which: 2

2

1'cVtt −= and so, in general: tt <' and t’ tends to zero when V tends to c!

I remind you that t’ is the time of the astronaut who is travelling with the clock, while t is the time elapsed on the Earth. If all this is true for the fastest thing (light), then it’s also true for standard hands clocks and also for the biologic ones (living beings)! In the seventies, by using very sensitive atomic clocks, they proved the time dilation on the Earth, between two atomic clocks which were synchronized, at the beginning, after that one of them flew on a plane, underwenting a slight, but well felt, time dilation.

00:01 00:02 00:02

ct

Vt

ct’

light source

counter

mirror

ct’

V V

Chapter 1: Fundamental introductory concepts. Par. 1.1: Galilean transformations. They simply give the relations between spatial coordinates (and time), for two reference systems in relative motion, but in classic physics, where the speed of light is not an upper limit. Fig. 1.1: Reference systems in relative motion. We obviously have:

tVrrrrrrr

+=+= ''00' , (1.1) from which, for the components (t=t’):

'' Vtxx += 'yy =

'zz = (1.2) 'tt =

and for the reverse ones, we obviously have:

Vtxx −=' yy ='

zz =' (1.3) tt ='

(1.2) and (1.3) are the Galilean Transformations.

By deriving (1.1), we have: Vvvrrr

+= ' which can be held as the theorem of summation of velocities in classic physics. Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. We know that the Lorentz transformations were born before the Theory of Relativity (which is founded on them) and on an electromagnetic basis. They correspond to the Galilean ones, but on a relativistic basis and they are in force as long as we say that the speed of light is an upper limit in the Universe and it’s c for (~)every observer. -FIRST PROOF: if we suppose a relative motion along x, we correct the x components of the Galilean Transformations through a coefficient k, as follows:

)(' Vtxkx −= (1.4)

)''( Vtxkx += (1.5) Now, for a photon, we obviously have:

{ {

y y’

z z’

x _ x’

P

0 0’

rr 'rr

Vr

tVckct )(' −= and tVckct )( += , as light has the same speed c in both reference systems, from which, by mutual multiplication of the corresponding sides:

)1('' 2

2222

cVcttkttc −= , from which:

2

2

2 11

1

1β−

=

−

=

cV

k (1.6)

Moreover, from (1.5) we have: )'(1' xkx

Vt −= and using (1.4) in it, we have:

][)]11([1)]([1' 22 xcVtk

kVxtkkt

Vkxx

kVVtxk

kx

Vt −=−−=+−=−−= (1.7)

as, for (1.6), we have: 2

2

2 )11(cV

k=− .

By the same way which led us to (1.7), we also get the expression for t. Finally, here are the Lorentz Transformations:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz =' (1.8)

2

2

1

)('

β−

−=

xcVt

t

21)''(

β−

+=

Vtxx

'yy =

'zz = (1.9)

2

2

1

)''(

β−

+=

xcVt

t

-SECOND PROOF: We know that c=const in all inertial reference systems. Now, with reference to Fig. 1.1, when 0=0’ and t=t’, from the origin light is emitted through spherical waves and isotropically and so we can write that:

0)( 22222 =++− zyxtc and 0)'''(' 22222 =++− zyxtc as light has the same speed c in both reference systems. Therefore:

)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− and for rays along x (y=y’ and z=z’): 222222 '' xtcxtc −=− . Now we say ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct and '' η=ct ; we have:

2222 '' ηξηξ +=+ , whose solution is:

θηθξξ sincos' −=

θηθξη cossin' += (1.10) and in a differential form:

θηθξξ sincos' ddd −=

θηθξη cossin' ddd += (1.11)

{ {

{ {

Now we notice that with respect to the origin “0”, 0=dtdx

, as the reference system (0,x,y,z) is not moving with respect

to itself. On the contrary, Vdtdx

−=''

, as the system (0’,x’,y’,z’) moves with speed V with respect to “0” and, as a

consequence: 0=ηξ

dd

and cVi

dd

−=''

ηξ

, but from the ratios between (1.11) we have that:

θθθ

θθηξ

θθηξ

θηθξθηθξ

ηξ tg

dddd

dddd

dd

−=+−

=+

−=

+−

=cos0sin0

cossin

sincos

cossinsincos

''

and so: βθ icVitg ==

but we know from trigonometry that: 22 1

11

1cosβθ

θ−

=+

=tg

and:

22 11sin

β

β

θ

θθ

−=

+=

itg

tg and so the (1.10) become:

21'

β

ηβξξ

−

−=

i and

21'

β

ηξβη

−

+=

i , that is:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz ='

21

)('

β

β

−

−=

xc

tt

and so (1.8) again. By the same way, we also get (1.9). Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Moving objects with speeds close to that of ligth are shorter to not moving observers. If those observers make measurements to get the length of the running body, the best way is to use light sources (the fastest thing), by illuminating the bow and the stern of that body, in order to see the corresponding positions, moment by moment. But that light has a constant speed, and limited, too, and the result will be that of a shorted body. Reality or measuring appearance? Convince yourself immidiately that (observed) reality and the measuring appearence are the same thing, and it must be so! Let l be the length of a segment in the O system:

lxx AB =− . In O’, according to Lorentz Transformations:

'11

)(

1

)()()'(')'(''

222llxxVtxVtx

txtxl ABAABBAB =

−=

−

−=

−

−−−=−=

βββ , as in system O the measurement of

the segment makes sense if both ends are detected “simultaneously” (tA=tB). When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as l! Therefore, the length l measured in O will be that measured in O’ by a value less than 1, that is, the observer at rest (O) will detect a shorter object.

{

Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). It sounds strange, but time, too, can be, and is, relative. Of course, every observer, in himself, sees time going by still in the same way; if you move with a speed close to that of light, you will not hear your heart beating slower. The comparison between those two observers which were in relative motion will show the difference on how those two times went by. So, according to Lorentz Transformation, in O’ (moving system): AB ttt ''' −=∆ , whilst in O (system at rest):

21''''

β

ββ

−

−−+=−=∆

cxtcxtttt AABBAB , but, by assumption, BA xx '' = , as in the system O’ (O’,x’,y’,z’) the

clock is at rest, as it’s travelling with the system O’ itself; therefore:

21'β−

∆=∆

tt

When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as 't∆ ! Two twins separate as one leaves for a spatial travel one month long and at speeds close to that of ligth; once back to the Earth, he sees the other twin thirty years older! (Twin Paradox) At a speed of 260.000 km/s you have the halving, so the radical will be ½ and those two times will go by one a half of the other. See also the proof of the time dilation by the ligth clock (in the Introduction) and also that on a Doppler Effect basis (Par. 3.6). Par. 1.5: The four-vector position. Instead of writing the position vectors with the three classic components x, y and z, let’s write them in a mathematically four-dimensional form, by adding time; this will be very useful. In the (justified) opinion of the writer, our Universe is three-dimensional and the adding of a fourth dimension is a purely mathematical operation; in fact, I defy you to show me the fourth dimension of a whatsoever object which is held four-dimensional. In the nowadays’ STR, a real four dimension is believed! Well, so: ),,,( 4321 xxxxx = , which is the same as: (x,y,z,ct).

By this new terminology, the Lorentz Transformations become:

411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=

22' xx = 22 'xx =

33' xx = 33 'xx = (1.12)

414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=

where cV=β e 21

1β

γ−

= .

You can prove the space-time distance between two points is invariant for Lorentz Transformations, i.e. it is the same in all inertial reference systems:

24

23

22

21

224

23

22

21

2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (1.13)

(This expression is a kind of Pitagorean Theorem in four dimensions). In order to prove that, use the Lorentz transformations in (1.13), where there are Δxi in place of xi, and you check the equality. In other words, three dimension length and time are relative, while their four-dimensional composition is absolute. That’s why we said the definition of physical quantities by four components would have been useful. We can then use the Lorentz transformations on all four-vectors, in the form of (1.12).

------------- If we use matrixes, Lorentz Transformations can be written in the following way: (remember the matrix product, with the components of the row of the first matrix which are multiplied by the corresponding components of the column of the second matrix, then summing up those products to get the component of the product matrix, indeed)

{ {

⋅

−

−

=

4

3

2

1

4321

0001000010

00

)',',','(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

and (1.14)

⋅

=

4

3

2

1

4321

''''

0001000010

00

),,,(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

(1.15)

while, for the tensor form: (use the Einstein convention, according to which, if in a term an index is repeated, the summation on that index is understood)

kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) on the right side, k is repeated, so you make the summation on it (1.16)

iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (1.17)

Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. If I’m walking with a speed of 5 km/h in a railway train car which is travelling with a speed of 100 km/h with respect to the platform, I’ll have, with respect to the platform, a total speed of 105 km/h. This is classic physics. On the contrary, when those two speeds get close to that of light, the simple composition by algebraic summation cannot be used anymore, as it would show us a speed higher than that of light c, which must be impossible. Therefore, we have, by definition:

dtdxvx = '

'' dtdxv x =

dtdyvy = '

'' dtdyv y =

dtdzvz = '

'' dtdzv z =

Now, by differentiating the Lorentz Transformations, we have:

21

)''(β−

+=

Vdtdxdx

'dydy =

'dzdz =

2

2

1

)''(

β−

+=

dxcVdt

dt

from which:

)''(

)''(

2 dxcVdt

Vdtdxdt

dxvx

+

+==

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dydt

dyvy

+

−==

β

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dzdt

dzvz

+

−==

β

If now we divide numerator and denominator of last equations by dt’, we have:

{ {

{ {

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+=

)1(

)('2c

VvVvv

x

xx

−

−=

)'

1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

+

−=

β (1.18) and similarly:

)1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

−

−=

β

)'1(

1'

2

2

cVv

vvz

zz

+

−=

β

)1(

1'2

2

cVv

vvz

zz

−

−=

β

When 1<<cV and 1<<c

vx we are in the classic case (galileian) of algebraic sum.

If we use again the example of the railway train car, where a guy walks inside, if we say ),0,0,'(' cvv x= and

),0,0,( cvv x= , from (1.18) we have:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+= (1.19)

and if cVv x ==' , then cvx = , and not 2c! Therefore, if the train moves with a speed c and I run inside at c, as

well, with respect to the platform, I’ll have a resulting speed equal to c and not 2c! (1.19) represents the Relativistic Theorem of Addition of Velocities. As an example: two rockets travel each with speed c/2 and meet; at which velocity xv do they meet?

ccc

ccccvx <==

+

+=

54

45)4

1(

)22(

2

2 !

Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. If a particle is at rest in (O’,x’,y’,z’), i.e. if it moves in O’, indeed, i.e. if O’ is its “proper” reference system, then: dx’= dy’= dz’=0 and:

2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , from which:

dtcv

dtdl

cdt

dtcdzdydx

cdsddt 2

22

222

222

1)(111' −=−=++

−=== τ (proper time, invariant, as so is cds

).

Therefore, when you make calculations on a particle, you are led to use for it its proper time, indeed:

γτ

dtdtcvd =−= )1( 2

2

.

Chapter 2: The relativity of energies. Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). We know from classic physics that the linear momentum is given by the product of the mass by the velocity. Now, in the relativistic case, for what has been said so far, we will define a four-vector and then the velocity as dx/dt will have the

{ {

proper time τd instead of dt, which is typical of the particle, indeed, for which we are going to define the four-vector:

pmcpmcvmdtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

ddxm

ddxm

ddxm

ddxmp

====

===

),(),(),,,(

)1

,1

,1

,1

(),,,(

4321

4030201040

30

20

10

rr

γγγγττττ

where vr is the (three-dimension) velocity vector, pr is the three-dimension linear momentum,

dtdxmmc 4= is the 4-dimension component,

γτ

dtd = is the proper time and 00

1mmm γ

γ== is the dynamic mass,

which is the rest mass only if v=0. We have just begun to introduce the concept of relative mass, which is increasing with speed, and becoming infinite when v=c. As already said before, the modules of 4-vectors are “absolute”, i.e. they are invariant for Lorentz T.; in fact:

220

22

2

2

2022222222

422

)()1(

)( cmvc

cv

mvcmcmvmppp −=−−

−=−−=−=−=r

= constant, i.e. it’s not

depending on v. In Relativity there exist a Universe (mathematically 4-dimensional) described by 4-vectors, where quantities are not changing so arbitrarily with speed and where laws of nature preserve some consistency, no matter what the state of motion is. Par. 2.2: The velocity four-vector.

We obviously define it as follows: τdxdv = , where we use the proper time τd for reasons already shown. Numerator

and denominator are both invariant, so also v is. We have:

),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt

dxdtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx γγγγγγγγγγ

ττττr

====,

and so, as a module for such a 4-vector: 222222 ccvv −=−= γγ (constant!). (2.1)

Par. 2.3: The four-force. As in classic physics, force is the derivative of the linear momentum with respect to time, in relativity we define the 4-force as the derivative of the momentum-energy 4-vector with respect to time (proper time):

))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm

dtdcm

ddp

ddFFFFFF

dpd

F γγγγγτττ

rrr===== ; (2.2)

so we have: Ffvmdtd rrr

=⋅= γγγ )( 0 , (2.3)

( fvmdtd rr

=)( 0γ is the “classic” force, and it’s more so when 1=γ )

and so: )()(0

vdd

mF

vdtd r

rr

γτ

γγ == , and by components:

)()(0

ii

i vdd

mFv

dtd

γτ

γγ == (i=x,y,z) (2.4)

and then, about the fourth component: 40 )( Fcmdtd

=γγ (2.5)

and so: )()(0

4 cdd

mFc

dtd

γτ

γγ == . (2.6)

Now, we differentiate (2.1), that is, the following equation: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , so getting:

))(2)(2

)(2)(2())()()()((0 2222

cddcv

ddv

vddvv

ddvc

ddv

ddv

ddv

dd

zz

yyxxzyx

γτ

γγτ

γ

γτ

γγτ

γγτ

γτ

γτ

γτ

−+

++=−++=

that is: ))()()()((0 cddcv

ddvv

ddvv

ddv zzyyxx γ

τγγ

τγγ

τγγ

τγ −+++= , and, for (2.4) and (2.6):

)(00

4

000 mFc

mFv

mF

vmFv z

zy

yx

x γγγγ −+++= and for (2.3) ( Ffrr

=⋅γ ):

)(00

4

000 mFc

mfv

mf

vmfv z

zy

yx

x γγ

γγ

γγ

γ −+++= , that is:

)(4 vfc

F rr⋅=

γ. (2.7)

If now we go back to (2.2), we finally have the 4-force, or Minkowski force:

))(,( vfc

fd

pdF rrr

⋅==γ

γτ

(2.8)

To have the transformation equations for such a 4-force, please see Appendix 1.4. Par. 2.4: E0=m0c2.

According to (2.5), we have: 40 )( Fcmdtd

=γγ , whilst for (2.7) we have: )(4 vfc

F rr⋅=

γ. Therefore:

)()( 0 vfc

cmdtd rr

⋅=γ

γγ , that is: vfcmdtd rr

⋅=)( 20γ , that is, again:

dEdLdtvfcmd ==⋅=rr

)( 20γ (2.9)

(2.9) is exactly the expression for the energy in classic physics, if 1=γ ; the integration of (2.9) with integration constant equal to zero yields:

20cmE γ= (2.10)

In reality (2.10) holds only for gained energies (as in particle accelerators), while for lost energies (collapsing Universe or Atomic Physics of electrons going down in energy levels) the following must be used, and I assume it as mine:

20

1 cmEγ

= (Rubino)

(see also Appendix 1.6; for a convincing proof of it, please contact me: leonrubino@yahoo.it ). Therefore, a particle whose mass is m0 has got a total energy:

)1( 2

2

202

0

cv

cmcmE−

== γ (2.11)

and “at rest”( 0=v and so 1=γ ) it has a “rest” energy: 2

00 cmE = (2.12)

Par. 2.5: Relativistic kinetic energy. The difference between (2.11) and (2.12) obviously yields the pure kinetic energy of a particle:

)1)1(

1()1(

2

2

20

20

20

200 −

−

=−=−=−=

cv

cmcmcmcmEEEK γγ (2.13)

If now ve develop, according to Taylor, the expression for )1(

1

)1(

12

2

2 βγ

−=

−

=

cv

, we get, for v<<c (β<<1):

.....83

211

)1(1 42

2+++=

−= ββ

βγ , that is: 2

22

21

21)1(

cv

=≅− βγ and for (2.13):

202

22

02

0 21)

21()1( vm

cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) which is the well known classic expression (Newton’s) for the

kinetic energy! In order to have a proof of the (2.13) starting from a collapsing Universe characteristics, please see into Appendix 1.6. Chapter 3: Relativistic phenomena. Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Also gravity slows down the time! On a mountain time elapses faster than down in the valley. Of course, on the Earth, the difference is imperceptible, but on a neutron star or in a black hole, that effect is very strong. gHmE 0=∆ (delta energy from the level difference)

ν∆=∆ hE (delta energy due to the freq. decrease of

the photon). From them: hgHm0=∆ν .

For a photon, νhE = , but in relativity: 20cmE = ,

from which, for a photon: 20 chm ν= and so,

for ν∆ : 2cgHνν =∆ and as time is the reciprocal of

the frequency, we have: tt∆=∆ νν and so:

tcgHt 2=∆ . Therefore, over a time t, we have a slow

Fig. 3.1: Mountain, gravity and time. down Δt due to gravity!

We know that the escape velocity of a celestial body whose mass is M and radius R is: RGMV 2= . If on that

body an object is cast vertically with the escape velocity, it will quit the gravitational field of that celestial body and will go towards the infinite, without falling down anymore. A black hole is a body so compressed (big M and small R) that the escape velocity on its surface reaches the speed of light and so not even the light can escape, from which the name of black hole; moreover, for what above said, we can say that in a black hole time is approximately stopped! Par. 3.2: Volume of moving solids. Moving solids appear rotated. Fig. 3.2: Body seen at rest. Fig. 3.3: Body seen moving.

H

Photon going down, with freq. increased by gravity

Photon going up, with freq. decreased by gravity

Δx

Δy A D

B

C

Δz L

L L

B

L

L

V

--Observer--

B’

V

φ

Lsin φ

zyxV ∆∆∆= (volume of the solid for an observer integral with it)

22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume of the solid for an observer who sees that solid in

movement with speed V, along x). Of course, for Lorentz Transformations, as the movement is along x, only Δx is contracted. On the other hand, the observer at rest sees point B with a delay with respect to A, and this delay is L/c, obviously. As a further consequence, B appears as moved back about a stretch which is (L/c)V=βL. We have: Lsin φ= βL, from which: sin φ= β and φ=arcsin β. Finally, that body appears rotated! And a sphere goes on appearing as a sphere. Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Electromagnetic waves in vacuum, an so the light, too, propagates, as well known, respecting the wave equation:

=∂∂

−∆==∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2 101tctczyxφ

φφφφφ

φ

Now, we preliminarily notice that, according to the Lorentz Transformations, we have (by deriving them):

γ=∂∂

xx'

, Vtx

γ−=∂∂ '

, 2'

cV

xt

γ−=∂∂

, γ=∂∂

tt '

, 1''=

∂∂

=∂∂

zz

yy

, 0......'''==

∂∂

=∂∂

=∂∂

xy

zx

yx

According to mathematical analysis, we have, in 0’: )','( trrφφ = , and so:

')(

''

''

''

''

' tV

xxt

txz

zxy

yxx

xx ∂∂

−+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ φ

γφ

γφφφφφ

; furthermore:

''2)

''(

2

222

2

4

2

2

2

2

2

txVcV

tcV

xx ∂∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=∂∂ φφφ

γφ

and similarly, for the other coordinates:

'' txV

t ∂∂

+∂∂

−=∂∂ φ

γφ

γφ

and ''

2)''

(2

2

2

2

222

2

2

txV

txV

t ∂∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂ φ

γφφ

γφ

and 2

2

2

2

'yy ∂∂

=∂∂ φφ

, 2

2

2

2

'zz ∂∂

=∂∂ φφ

from which, by substitution in the wave equation, we have:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

'1

'''1

tczyxtczyx ∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφφφφφφ

that is what we wanted to prove.

Par. 3.4: The Fizeau experiment. In 1849, a long time before the formulation of the Special Theory of Relativity by Einstein (1905), the French physicist A.H.L. Fizeau carried out studies on the speed of light in water and in moving fluids. Fig. 3.4: Fizeau’s experiment.

Water

V

V

Water

Inverted prism Mirror

P

P=semitransparent plate

Light source

In water at rest, light has velocity skmsmncv /000.225

33,1/103 8

≅⋅

== , where n=1,33 is the refractive index of

water. If now water, or the fluid, in which we are going to measure the speed of light, flows with speed V, then, according to Fizeau’s results, the total velocity of light in the flowing fluid is:

)11( 2nV

ncv −+= , (3.1)

in total disagreement with classic physics, according to which we should more simply have: Vncv += .

Years later, STR has given a theorethical explanation of (3.1). In fact, for the Theorem of Addition of Velocities given by (1.19), we can write that:

)1(

)(

)1(

)(

2 ncV

Vnc

ncVc

Vnc

v+

+=

+

+= ; now, we multiply numerator and denominator by )1(

ncV

− , and we have:

2

2

2

2 )(1

)11(

)(1

)1)((

)1(

)(

ncV

ncV

nV

nc

ncV

ncVV

nc

ncV

Vnc

v−

−−+=

−

−+=

+

+= , but quantities

ncV 2

on the numerator and 2)(ncV

on

the denominator are both negligible (<<1) with respect to the other terms and can be neglected indeed, from which the

assertion: )11( 2nV

ncv −+= .

Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Fig. 3.5: Longitudinal Doppler Effect (example of a source S getting farther from R with speed V (β)). The source aerial sends electromagnetic signals to the receiving one, and the periods is TS; Because of the time dilation, the receiving aerial will receive them with a period T’S , so that:

)1('

2β−= S

STT ; moreover, the fact that S is getting farther will cause a ST '∆ among phase fronts, which is:

)1()1(''

22 ββ

β −=

−==∆ SSS

STT

cV

cVTT ; so, we’ll totally have TR:

RSS

SSSSSSR

TTT

TTTTTTT

=−+

=+−

=

=++−

=+−

=−

+−

=∆+=

)1()1(

)1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

''222

ββ

ββ

βββ

βββ

ββ

c c c

Source Aerial S Receiving Aerial R

V

and we rewrite it here: )1()1(

ββ

−+

= SR TT ; (S and R getting farther) (3.2)

The same holds if the receiver is the one who gets farther. If, then, S and R are getting closer, through the same reasonings which led us so far, the following holds:

)1()1(

ββ

+−

= SR TT (S and R getting closer). (3.3)

For a more general treatment of this subject, see Appendix 1.2. Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Say a twin leaves for a space flight with a velocity equal to 3/5 c=180.000 km/s, getting far away from the Earth for 25 min (measured on the Earth) and then he comes back towards the Earth with the same velocity, so taking another 25 min. Out of simplicity, we neglect the acceleration and deceleration phases. Now, in order to prove that the time dilation acts also on the cardiac (heart) rhythm of the travelling twin (but still in the opinion of the twin at rest on the Earth, and when the twins meet on the Earth, at the end of the flight), say, out of simplicity, both twins have one heartbeat per second and say the twin on the Earth transmits a radio pulse (whose speed is c) every second, i.e. every heartbeat, towards the space ship, in order to inform his travelling twin brother on his own cardiac rhythm. Now, remember that in the opinion of the “older” twin at rest on the Earth, the flight lasts, by supposition, 25+25=50 min (3000 heartbeats), while, if the time dilation is true, for the “younger” travelling twin it lasts (V=3/5 c, that is: β=3/5):

)2591(min50)1()1( 2

2

2

22

cc

cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 heartbeats)

Moreover, under a Doppler analysis of the phenomenon, we can say that for equation (3.2), the twin on the Earth (old) transmits his heartbeats every second, but the flying twin will receive them, during the first “to” step of the flight, every two seconds; in fact:

sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =−+

=−+

=ββ

, so, in the “to” step, the flying twin, whose “to” flight time is

20 min=1200s=1200 heartbeats, has received one heartbeat every 2s from his brother on the Earth, that is just 600 heartbeats. Therefore, the flying twin, during his 20 min(=1200s) “to” flight, has counted on himself 1200 heartbeats, but has received only 600 from his brother on the Earth. After 20 min of the flying twin, the direction of the flight is inverted and the return to the Earth starts, for another 20 min (still according to the time measured by the flying twin). During those further 20 min’s return flight (“from”), on the contrary, the twin on the Earth still transmits every second, but the flying one now receives every half a second; in fact, for equation (3.3):

ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =+−

=+−

=ββ

, so, during those further flyer’s 20 min=1200s=

=1200 heartbeats counted on himself, the flyer receives 2400 heartbeats from his brother on the Earth. Therefore, the flying twin, during his further 20 min(=1200s) return flight, has obviously counted on himself another 1200 hearthbeats and has received 2400 (!) from his brother from the Earth. Sum up of the counts: Totally, during the whole space flight, of 20+20=40 min, the flying twin has obviously counted 1200+1200=2400 hearthbeats on himself and (a piece of!) 600+2400=3000 hearthbeats from his twin brother on the Earth. He must feel younger!!!

Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment.

Fig. 3.6: Michelson’s device (interferometer). Fig. 3.7: Luminous paths and relevant velocities. Before Einstein, they thought that electromagnetic waves, and so the light, had to propagate in a mean, as well as for sounds in the air. They supposed that the space was filled with an invisible and very light gas, the ether. The Earth rotates around the Sun with a speed V around 30 km/s, so it should move through the ether with such a speed and light emitted by a light source which is on the Earth itself should have, in general, a speed different from c (c±V along the direction of rotation of the Earth and 22 Vc − transversally). In 1886 they started to prepare the experiment which should have proved the movement of the Earth through the ether. In Cleveland they stopped the street traffic during the experiment in order not to have vibrations; the device was put on a floating stone slab in a well of mercury, to easily rotate it of 90° without vibrations. Now, if you put l1 along the direction of rotation of the Earth, about the - to and fro - light path, we have:

)1(12

22111

1 cVcl

Vcl

Vclt

−=

−+

+= and for the transversal path along l2:

S

S1

S2

Interferometer and binocular

L – Light source r1

r2

S – semireflective mirror S1, S2 - mirrors

S2

S

S

l2

22tV ⋅

S

S1

l1

c+V

c-V

22 Vc −

V V c c

22 Vc −

)1(122

222

222

2cVc

lVc

lt−

=−

=

If you make both rays enter an interferometer to make them interfere, indeed, they should arrive with a Δt:

)]1()21([2))1()1(

(2 221

22222

122

212 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

as we have 410−≅cV , 822 10−≅cV and kxx k +≅+ 1)1( .

The wavelenght of the used light was m7105,5 −⋅=λ and we know that λ corresponds to the full angle π2 ; therefore, we can write the following proportion, which involves the phase difference δ between the two rays and the path difference cΔt:

δπλ tc∆

=2

, from which: λ

πδ

tc∆=

2.

By fixing the one arm length and adjust the other arm one by a micrometric screw, you can make cΔt of the same size of λ, so making the desired interference phenomenon. Now, without bringing any change to the geometry of the device, rotate it of 90°; the roles of l1 and l2 are so swapped and we’ll have:

)]1()21([2))1()1(

(2''' 222

22122

222

112 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

and we should also have: 4,010105,5

22'2

'2

872

221 ≅

⋅=

+=

∆−∆=

−=

∆ −− m

mcVlltctc

λλπδδ

πδ

, that is, through the

rotation of the interferometer, you should see a shift of the fringes of interference of 0,4 times the distance λ between two subsequent maxima.

In reality, none of all that was observed, despite the accuracy of the devices was as good as to detect a 01,02

=∆πδ

!

Michelson declared himself to be disappointed by that experiment, as he couldn’t prove the movement of the Earth through the ether. The question was solved in 1905 by an employee of the Patent Office of Berne, Albert Einstein, who suggested to cease searching for a proof of the movement of the Earth through the ether, for the simple reason that the ether is not existing! I add that the nowadays’ dark matter will soon end up like it. Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. 4.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire.

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the cathode ray (v)

x’

y’ z’

I’

Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e- with speed u)

Fig. 4.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. 4.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. 4.3), then the linear charge density λ will be:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. 3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force

)( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot and Savart).

Direction of the current I, whose e- speed is u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the ray (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

So: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (4.1)

where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q

have got speed u ( 220 1 cudd −= ).

b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (4.2)

where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (4.3)

and d0, this time, is contracted indeed according to u’: 220 '1' cudd −= .

We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (4.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , which, if replacing the radicand in (4.2), yields:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (4.4)

We now want to compare (4.1) with (4.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale

elF ' in (4.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not

along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (4.5)

Now we can compare (4.1) with (4.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this

identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!

Par. 4.2: The Current Density four-vector. We obviously have the following equations on charge density:

00 dt

dQ=ρ , 0

021

γρβτ

ρ =−

==dt

dQddQ

Moreover, notice that the following equation holds; it shows the invariance of the electric charge: τρρ ddt =00 .

Moreover, we know from physics that the current density is:

vj rrρ= .

So, we are led to define the current density 4-vector in the following way:

),(),( 00 cvcjj γργρρrr

== ; note the similarity with the momentum-energy 4-vector:

),(),( 00 cmvmmcpp γγrr

== . Then, we have:

220

24

22cjjj ρ−=−=

r and moreover, as we can apply the Lorentz Transformations to a 4-vector, as said at Par. 1.5

– eq. (1.12), we have:

411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=

22' jj = yy jj ='

33' jj = or also: zz jj =' (4.6)

414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV

−= ργρ

where cV=β e 21

1β

γ−

= .

Now, in order to show by 4-vectors and in a more compact way what shown in Par. 4.2, we consider a wire flown by a stationary current I in a reference system k and let I be directed along x; if, in such a system, we put a charge q whose speed is v along x, we’ll have a movement of q by the only field B, as E=0, because, on an average, we have in a conductor as many positive charges as the negative ones are. On the contrary, if we place ourselves in a k’ reference system which is moving with speed V=v with respect to k, in k’ q is at rest and theoretically the magnetic force should disappear; but this is unacceptable for the Principle of Relativity (see the Introduction). An electric field must so appear in k’; in fact:

−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++

ρr

[n]=[number of q involved/m3] and

),(),( nqcvnqcjj −−== −−−

rrρ , the first term is negative as the direction of v is opposite to the conventional one

for I (as, here q<0) and the second one is still negative, as well, still because here, q<0. For the Lorentz Transformations (1.12) we so have (v=V): nqVj x γ−=+' )(' nqVnqvj x +−=− γ

nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ

and as now −+ −≠ '' ρρ , an electric field must appear. Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Preamble on tensors: A vector is a tensor of rank 1. For us it’s enough to say that we get a rank 2 tensor when we make the product of the components of two vectors c and b:

),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Through (1.16) and (1.17) we have seen how to express the Lorentz Transformations:

{ {

llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) and m

mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) and so:

iklmmk

liml

mk

likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (4.7)

which is the transformation law for a rank 2 tensor. Then, we also notice that we get a rank 2 tensor also when we derive the components of a vector b with respect to the x coordinate:

llii bb 'α= , k

kmm xx α=' >>> k

mk

m

xx

α→∂∂ '

m

lkm

li

k

ml

li

mk

m

m

i

k

i

xb

xxb

xxx

xb

xb

''')'(

''

' ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

ααα ; therefore, such a derivative transforms as the components

of a rank 2 tensor and so it’s a rank 2 tensor, as well. Preamble on electromagnetism: We know from the electromagnetism that electric and magnetic fields (induction vector B) can be expressed as a function of electrodynamic potentials φ and A:

tAE

∂∂

−∇−=r

rrϕ and (4.8)

ABrrr

×∇= (4.9)

and we also know the Lorentz Condition: 012 =

∂∂

+⋅∇=∂∂

+⋅∇t

Atc

A ϕεµ

ϕ rrrr , (4.10)

and also the Continuity Equation: 0=∂∂

+⋅∇t

j ρrr. (4.11)

Still from electromagnetism, we also know that:

=−=∂∂

−∆ερϕ

ϕ 2

2

21

tc φ and (4.12)

=−=∂∂

−∆ jtA

cA

rr

rµ2

2

21

Ar

(4.13)

and we remind ourselves that we already defined the current density 4-vector j:

),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r

( ρii vj = ).

------------------

Now, we feel led to define the Potential Four-vector or Four-Potential Φ :

),,,(c

AAA zyxϕ

=Φ ; in fact, so doing, (4.12) and (4.13) can be so summarized:

kk jµ−=Φ and if we also define the four-divergence ))(

()(44 ctctxyx

div∂

∂+∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=rr

we easily get:

04 =∇ jr

for the Continuity Equation (4.11) and 04 =Φ∇r

for the Lorentz Condition (4.10).

------------------

Now, from (4.8) and (4.9), we have:

3

2

2

31 xxz

AyABB yz

x ∂Φ∂

−∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

== , )(4

1

1

41 xx

ct

Ax

EE xx ∂

Φ∂−

∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

−==ϕ

etc; therefore, E and B

cannot be espressed through two 4-vectors, but through a rank 2 four-tensor, as we proved the derivative of a vector is a 2-tensor:

)(k

i

i

kik xx

cF∂Φ∂

−∂Φ∂

= ; let’s write the components of Fik as a matrix:

−−−−−−

=

00

00

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F , and through (4.7) we have proved that Fik transforms in the following way:

lmmk

liik FF 'αα= . (4.14)

Notice that Fik is antisymmetric, that is: Fik=-Fki. Then, of course:

−−−−−−

=

0''''0''''0''''0

'

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F

If now we remind ourselves that on the right side of (4.14) the summation over l and m is understood, as they are repeated there, and if we develop such an equation, we get the transformation of the electromagnetic field:

xx EE '= xx BB '=

)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ

)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ

and also its inverse:

xx EE =' xx BB ='

)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ

)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ

APPENDIXES: App. 1: Lorentz Transformations in succession. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ We have three reference systems k, k’ and k’’ and V and W are the relevant relative velocities.

Through the following terminology: cV

=1β , c

W=2β , 2

11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,

21c

VWWVU

+

+=

and cU

=β , we have, for the Lorentz Transformations applied in succession:

{ { { {

)''(1 Vtxx += γ with )''( 11 x

ctt β

γ += and

)''''(' 2 Wtxx += γ with )''''(' 22 x

ctt β

γ += and, by substitution:

xtWVx

tWVxxVtWtxx

=+

+++=

=+++=+++=

)''1

'')(1(

]'')('')1[()''''''''(

212121

21212121

ββββγγ

ββγγββγγ (A.1.1)

and similarly: )'')1(

1'')(1(21

22121 xWVc

ttββ

ββγγ+

+++= ; (A.1.2)

Now, we see that:

=+++−++=+−−=+ 22121

22

2121

22

21

221

22

212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ

γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , and so (A.1.1) and (A.1.2) can be rewritten like that:

)''''( Utxx += γ with )''''()''''( 2 xc

txcUtt β

γγ +=+= , so, instead of carrying out two Lorentz T.

( 1γ ,V and 2γ ,W), you just make one, but usingγ and U. App. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. If we represent an electromagnetic wave propagating, through its electric field E:

)(0

rktieEErrr

⋅−= ω ; such a field propagates along r and we know that λπ2

=kr

and Tπ

ω2

= so:

Tk ωλ =r

, that is: kc

Tkrr

===ω

λω ; (A.2.1)

rktI rr⋅−= ω is evidently an invariant, but it can also be expressed as the product of two 4-vectors (invariants):

(position 4-vector and wave 4-vector) ),(),( ckkctrrI ωrr

⋅−= .

We know, now, that for (A.2.1), c

k ω=

r and let’s take a light wave propagating in a system k’(V) over the plane x’, y’

and forming an angle θ’ with x’; the components of 'kr

will be:

'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k and ')'('4 kck == ω .

For the Lorentz T. , we have, on the contrary, in a system k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = and )''( 144 kkk βγ += ; now, as also k3=0, in the system k, too, the ray

propagates on x,y; so, we have:

),0,sin,cos(ccc

k ωθ

ωθ

ω= ; now, we calculate ω and θ: on this purpose, from the transformation of k’4 , we have:

)'cos''( θω

βω

γω

ccc+= , or:

)'cos1(')1(

)'cos1('2

θβγωβ

θβωω +=

−

+= (A.2.2)

while from the transformation of k’1 , we have: )''cos'(coscccω

βθω

γθω

+= and if we consider (A.2.2), we have:

)'cos1()'(cos)'(cos'cos

θββθ

βθγωω

θ+

+=+= (A.2.3)

Then, we notice that the transformation of k’2 and (A.2.2) yield:

)'cos1('sin'sin

)'cos1()1(

'sin'sin2

θβγθ

θθβ

βθ

ωω

θ+

=+

−== (A.2.4)

and from (A.2.3) and (A.2.4) we also have: )cos1(

sin'sinθβγ

θθ

−= , which is, then, (A.2.4) with θ’ and θ swapped

and with (-β) in place of β; all this, for the relativity of the movement. ------------------------

Now, suppose a source ω’ is at rest in a system k’(θ’); then, from (A.2.3) we have:

)cos1()(cos'cos

θββθ

θ−

−= (useful to get θ immediately, from θ’) (it’s the (A.2.3) with θ’ and θ swapped and with (-β) in

place of β), from which:

θββ

θβcos1

)1()'cos1(2

−−

=+ and (A.2.4) becomes:

θββ

ωωcos1

)1('

2

−−

= (A.2.5)

Here ω’ is the ω of the moving source and ωω ≠' . Therefore, if in the system k you see the radiation under an angle πθ = , this means that the radiation comes from right, from the system k’ which is getting farther along the x axis, and

so we can talk about a Longitudinal Doppler Effect (Par. 3.5) and, in this case, 1coscos −== πθ and from (A.2.5)

with the source getting farther ( πθ = ), we have: )1()1('

ββ

ωω+−

= (A.2.6)

>>> )1()1('

ββ

−+

= TT , whilst, when the system k’ getting closer (θ=0 >>> cos θ=1), we have:

)1()1('

ββ

ωω−+

= (A.2.7)

>>> )1()1('

ββ

+−

= TT , just like in Par. 3.5.

Curio: by a series development on β (<<1), (A.2.6) and (A.2.7) give: )1(' βωω −≅ and )1(' βωω +≅ so:

βωω

ωωω

m=∆

=−

'''

; this formula is very used in astrophysics and cosmology for the red shift (remember that

πνω 2= and c=λν ). In order to go from the case of the moving emitter to that of the moving observer and vice versa, you just swap β with – β (V with –V) and ω’ with ω. In any case, when there is an approaching (or a getting farther) situation, formulae for the Longitudinal Relativistic Doppler Effect are the same, no matter who is approaching. If, on the contraty, system k sees the radiation coming under 2πθ = , from the top, then we can talk about a TRANSVERSAL Relativistic Doppler Effect; in this case you don’t have either a getting farther or an approaching situation, but the only Doppler kind effect is just due to the time dilation; in fact, also from (A.2.5), with 2πθ = , we

have: )1(' 2βωω −= . By developing, with β<<1, we have: )2

1('2β

ωω −≅ (second degree in β, so, a lighter

effect, with respect to the longitudinal one). Such an effect was first observed by Ives in 1938 and this plainly proved the theory. Moreover, the diversity between θ’ and θ also confirms the phenomenon of the light ABERRATION, according to which, if you are moving, you see light coming to you under a different angle, something like when you are driving a car in a rainy day and you see the rain falling askew on the windscreen. And from (A.2.3) and (A.2.4), we have:

)'(cos)1('sin 2

βθβθ

θ+−

=tg .

App. 3: The Transformations of the four-velocity. We have defined the velocity 4-vector in Par. 2.2:

),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv

dtdx

dtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx ===== γγγγγγγγγγ

ττττr

By applying the Lorentz T. , we have: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;

now, you can see that Γ is defined by the V of the moving system 0’ (and β=V/c), while γ is referred to the velocity v

had by a particle in 0, and 'γ is to v’ had by a particle in 0’. Now, by replacing the u by the relevant values:

)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;

from the last one, we have:

)1(

1'

2 xvcV

−Γ=

γγ

, (A.3.1)

and if you put it in the first three ones:

)('

' Vvv xx −Γ=γγ

, yy vv'

'γγ

= , zz vv'

'γγ

= , it yields the transformations of the velocities.

For the case of the inverse transformations, in place of the (A.3.1), we’ll have: )1(' 2 xv

cV

+Γ=γγ

.

It follows from (A.3.1) that if the particle is at rest in 0 (v=0 >> 1=γ ), then Γ='γ , from which v’=-V , that is, in 0’ the particle has a velocity –V (of course). App. 4: The transformations of the four-force.

At Par. 2.3 we have introduced the Minkowski Force, or 4-force: ),,,())(,( 4321 FFFFvfc

fd

pdF =⋅==

rrr γγ

τ.

According to the Lorentz T.: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . If now we introduce in such equations the components of the Minkowski Force, we have:

))(('' vfc

ff xxrr

⋅−Γ= γβ

γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr

, from which:

))(('

' vfc

ff xxrr

⋅−Γ=β

γγ

, yy ff'

'γγ

= , zz ff'

'γγ

= , ))(('

)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr

γγ

, which, for (A.3.1),

becomes:

x

x

x

vcV

vfc

ff

21

))(('

−

⋅−=

rrβ

,

x

yy

vcV

ff

2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

zz

vcV

ff2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

x

vcV

Vfvfvf21

)()''(

−

−⋅=⋅

rrrr

which are the transformation equations of the 4-force. App. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Of course, the 4-vector acceleration can be defined as follows:

),,,(),,,( 432124

2

23

2

22

2

21

2

2

2

aaaad

vdd

xdd

xdd

xdd

xdd

xda ====ττττττ

For the first three (spatial) components, we have: ( 3,2,1=α )

22222

)1()(

1)(

ββγ

γγ

τγ ααα

ααα −+

−=+==

cvvvv

dtdv

dtdv

ddtv

dtda &&

, as:

2

33

2)

)1(1(

cvv

dtd

dtd &&&

γββγ

β

γγ ==

−== . About a4 :

224

2

4 )1()(

2)(

βββγ

γγγ

τγ

−=====

cvvc

dtdc

dtdc

ddtc

dtda

&& and so:

))1(

)(,()2

),(( 2242

2

βββγγ

γγγ

−+==

vvvvdt

dcvdtda

&&& ; notice that in the system where the particle is at rest, (v=0,

β=0) we have: xva &=)0(1 , yva &=)0(

2 , zva &=)0(3 , 0)0(

4 =a , that is, the spatial part of a is equal to the common

three-dimensional one. Moreover: 022>= va & and, as

2a is an invariant, the inequality is always true and so a is

space-type. In order to get the transformation equations for the acceleration, know that:

dtdvv =& and

dtdvv ''=& ; moreover, )(tvv xx = and )'('' tvv xx = (consistently). Then, let’s name:

cvx

x =β and c

v xx

'' =β ; so, we get from (1.18) that:

22 )'1(1

' xx

x

dvdv

ββγ += , 2)'1(

)''''(1

' x

xy

xy

y

y dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= and 2)'1(

)''''(1

' x

xz

xz

z

z dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= .

Then, from them, we have:

22 )'1('

x

xx

dvdvββγ +

= , 2)'1()''''('

x

yxxyyy

dvdvdvdv

ββγβββ

+−−

= and 2)'1()''''('

x

zxxzzz

dvdvdvdvββγ

βββ+

−−= ;

if now we divide these equations by the following well known equation (of the Lorentz T.) )''( dxc

dtdt βγ += , we

have:

xx

x aa ')'1(

133 ββγ +

= , 32 )'1()''''('

x

xyyxyy

aaaa

ββγβββ

+−+

= e 32 )'1()''''('

x

xzzxzz

aaaaββγ

βββ+

−+=

which are the equations for the transformation of the accelerations, indeed. At last, we notice those equations have got the velocity inside; therefore, if the three-dimension acceleration is constant, in an inertial reference system, it will change with time in all others!

App. 6: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Contents of App. 6: -Contents of App. 6. Page 26 -App. 6-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. Page 26 App. 6-Par. 1.1: No dark matter! Page 26 App. 6-Par. 1.2: Cosmic acceleration aUniv. Page 27 App. 6-Par. 1.3: The new density of the Universe. Page 28 App. 6-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Page 29 App. 6-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. Page 29 App. 6-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Page 31 -App. 6-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). Page 32 App. 6-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles. Page 32 App. 6-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Page 33 App. 6-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. Page 34 -App. 6-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. Page 35 App. 6-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page 35

-App. 6-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric and

gravitational forces (Rubino). Page 38

App. 6-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!). Page 38

-App. 6-Chapter 5: “aUniv“ as absolute responsible of all forces. Page 39 App. 6-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Page 39 App. 6-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Page 39 App. 6-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. Page 40 App. 6-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described contracting with speed c and acceleration auniv. Page 40 App. 6-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. Page 41 -App. 6-SUBAPPENDIXES. Page 42 App. 6-Subappendix 1: Physical constants. Page 42 App. 6-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. App. 6-Par. 1.1: No dark matter! ON DISCREPANCIES BETWEEN CALCULATED AND OBSERVED DENSITIES ρUniv : The search for 99% of matter in the Universe, after that it has been held invisible sounds somewhat strange. And it’s a lot of matter, as dark matter should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).

Astrophysicists measure a ρ value of visible Universe which is around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Prevailing cosmology nowadays gives the following value of ρ: (see also (A1.6)):

3262 /102)34/( mkgGH localWrong

−⋅≅= πρ (too high!) . (A1.1)

Let’s use the following plausible value for Hlocal (local Hubble’s constant – see (A1.7) below):

])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local

−⋅≅⋅≅ (A1.2)

confirmed by many measurements on Coma cluster, for instance, (see (A1.7) below) and this also confirms that the farthest objects ever observed are travelling away with a speed close to that of light:

OldUniverselocal RcH −≈ / , from which: yearlightMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)

Moreover, one can easily calculate the speed of a “gravitating” mass m at the edge of the visible Universe, by the following equality between centrifugal and gravitational forces:

22

/ OldUnivOldUnivOldUniv

RMmGR

cmam −−−

⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)

from which, also considering (A1.3), we have:

kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)

and so:

3262333 /102)34/(])(

34[)()

34/( mkgGH

HcGHcRM locallocal

localOldUnivOldUnivWrong−

−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)

i.e. (A1.1) indeed (too high value!) Good…, sorry, bad; this value is ten thousand times higher than the observed density value, which has been measured by astrophysicists. Moreover, galaxies are too “light” to spin so fast (see further on). As a consequence, they decided to take up searching for dark matter, and a lot of, as it should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).

On the contrary, astrophysicists detect a value for ρ around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Let’s try to understand which arbitrary choices, through decades, led to this discrepancy. From Hubble’s observations on, we understood far galaxies and clusters got farther with speeds determined by measurements of the red shift. Not only; the farthest ones have got higher speeds and it quite rightly seems there’s a law between the distance from us of such objects and the speeds by which they get farther from us. Fig. A1.1 below is a picture of the Coma cluster, about which hundreds of measurements are available; well, we know the following data about it: distance Δx=100 Mpc = 3,26 108 l.y. = 3,09 1024 m speed Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Coma cluster. If we use data on Coma cluster to figure out the Hubble’s constant Hlocal, we get:

])([1022,2 18 msmxvH local

−⋅≅∆∆= , (A1.7)

That is a good value for “local” Hubble’s constant. App. 6-Par. 1.2: The cosmic acceleration aUniv. As a confirmation of all we just said, we also got the same Hlocal value from (A1.3) when we used data on the visible

Universe of 13,5 910 l.y. radius and ~c speed, instead of data on Coma cluster. By the same reasonings which led us so far to get the Hlocal constant definition, we can also state that if galaxies increase their own speeds with going farther, then they are accelerating with an acceleration we call aUniv , and, from physics, we know that:

tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(

21

21 2 , from which:

vxt

∆∆⋅

=∆2

, which, if used in the definition of

acceleration aUniv , yields:

2122

/1062,72

)(2 sma

xv

vx

vtva UnivUniv

−⋅≅=∆⋅

∆=

∆∆⋅

∆=

∆∆

= , cosmic acceleration (Wåhlin) (A1.8)

after that we used data on Coma cluster. This is the acceleration by which all our visible Universe is accelerating towards the center of mass of the whole Universe. YOU’LL SEE THIS SMALL ITEM WE’VE JUST CALCULATED (aUniv) IS AN OBJECT NOT WELL TAKEN INTO ACCOUNT AND IT ALLOWS US TO SAY THE DENSITY CALCULATED FOR THE UNIVERSE IS THE SAME AS THE ONE MEASURED BY THE ASTROPHYSICISTS AND IT WILL ALSO JUSTIFY THE HIGH ROTATION VELOCITIES OF GALAXIES, AGAIN WITHOUT ANY SEARCHING FOR DARK MATTER

but, in this case, we have to accept to deal with living in a Universe whose radius is 100 times the 13,5 910 l.y. supported nowadays, and whose mass is much higher than 1,67 1053 kg, calculated at page 27, still supported nowadays and considered as the mass of the whole Universe, and not of that visible to us (see below). Let’s Disentangle the Question: Well then, let’s start from the discovery represented by (A1.8), according to which we are accelerating, and from (A1.4), according to which:

NewUnivUniv R

ca−

=2

, and, as a new radius of the Universe:

macRUniv

NewUniv28

2

1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)

This value is 100 times the one previously calculated in (A1.3) and it should represent the radius between the center of mass of the Universe and the place where we are now, place in which the speed of light is c.

((as we are not exactly on the edge of such a Universe, we can demonstrate the whole radius is larger by a factor 2 , that is RUniv=1,667 1028m.)) Anyway, we are dealing with linear dimensions 100 times those supported in the prevailing cosmology nowadays. We can say that there is invisible matter, but it is beyond the range of our largest telescopes and not inside galaxies or among them; the dark matter should upset laws of gravitations, but they hold very well. Again, from (A1.4) we have:

2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , so:

kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)

This value, again, is a hundred times that of nowadays cosmology, in (A1.5) and it represents the mass within the radius RUniv-New , while the one within the whole RUniv-Tot is unknown.

From (A1.9) and (A1.10) we also get: Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)

App. 6-Par. 1.3: The new density of the Universe. NOW LET’S GO TO THE CALCULATION OF THE NEW DENSITY OF THE UNIVERSE:

3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv

−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)

very very close to that observed and measured by astrophysicists and already reported at page 27.

Nature fortunately sends encouraging and convincing signs on the pursuit of a way, when confirmations on what one has understood are coming from branches of physics very far from that in which one is investigating. On the basis of that, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , so:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

(A1.13)

Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it

were a small planet, we must easily conclude that: 2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , so:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!! (A1.14)

that is the very value obtained in (A1.8) through different reasonings, macroscopic, and not microscopic, as it was for (A1.14). All in all, why should gravitational behaviours of the Universe and of electrons (making it) be different? App. 6-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Well, we have to admit that if matter shows mutual attraction as gravitation, then we are in a harmonic and oscillating Universe in contraction towards a common point, that is the center of mass of all the Universe. As a matter of fact, the acceleration towards the center of mass of the Universe and the gravitational attractive properties are two faces of the same medal. Moreover, all the matter around us shows it want to collapse: if I have a pen in my hand and I leave it, it drops, so showing me it wants to collapse; then, the Moon wants to collapse into the Earth, the Earth wants to collapse into the Sun, the Sun into the centre of the Milky Way, the Milky Way into the centre of the cluster and so on; therefore, all the Universe is collapsing. Isn’t it? So why do we see far matter around us getting farther and not closer? Easy. If three parachutists jump in succession from a certain altitude, all of them are falling towards the center of the Earth, where they would ideally meet, but if parachutist n. 2, that is the middle one, looks ahead, he sees n. 1 getting farther, as he jumped earlier and so he has a higher speed, and if he looks back at n. 3, he still sees him getting farther as n. 2, who is making observations, jumped before n. 3 and so he has a higher speed. Therefore, although all the three are accelerating towards a common point, they see each other getting farther. Hubble was somehow like parachutist n. 2 who is making observations here, but he didn’t realize of the background acceleration g (aUniv). At last, I remind you of the fact that recent measurements on far supernovae, used as standard candles, have shown an accelerating Universe; this fact is against the theory of our supposed current post Big Bang expansion, as, after that an explosion has ceased its effect, chips spread out in expansion, ok, but they must obviously do that while slowing down, not while accelerating. About TUniv of the Universe, we know from physics that: v=ωR and T/2πω = , and, for the whole Universe:

c=ωRUniv and UnivT/2πω = , from which:

scRT Univ

Univ201047118,22

⋅==π

(7.840 billion years) (A1.15)

About the angular frequency: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , and it is a right parameter for a

reinterpretation of the global Hubble’s constant globalH , whose value is localH only in the portion of Universe visible by

us ( GlobalUniv H=ω ).

App. 6-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. 1) Stephan-Boltzmann’s law:

4Tσε = [W/m2], where )(1067,5 428 KmW−⋅=σ It’s very interesting to notice that if we imagine an electron (“stable” and base particle in our Universe!) irradiating all energy it’s made of in time TUniv , we get a power which is exactly ½ of Planck’s constants, expressed in watt! In fact:

WhT

cmL WUniv

ee

342

10316,321 −⋅===

(One must not be surprised by the coefficient ½; in fact, at fundamental energy levels, it’s always present, such as, for instance, on the first orbit of the hydrogen atom, where the circumference of the orbit of the electron (2πr) really is

DeBroglieλ21 of the electron. The photon, too, can be represented as if it were contained in a small cube whose side is

photonλ21 ).

2) Moreover, we notice that an electron and the Universe have got the same luminosity-mass ratio:

in fact, WT

cMLUniv

UnivUniv

512

1080,5 ⋅== (by definition) and it’s so true that:

e

W

Unive

Univ

e

e

e

UnivUniv

Univ

Univ

Univ

Univ

m

h

Tc

mT

cm

mL

Tc

MT

cM

ML 2

12

2

2

2

====== and, according to Stephan-Boltzmann’s law, we can

consider that both an “electron” and the Universe have got the same temperature, the cosmic microwave background one:

424

TRL

σπ

= , so: Kr

h

rL

RL

RLT

ee

e

Univ

Univ 73,2)4

21

()4

()4

()4

( 41

24

1

24

1

24

1

2 =====σπσπσπσπ

!!!

3) The Heisenberg Uncertainty Principle as a consequence of the essence of the macroscopic and Univa accelerating

Universe: according to this principle, the product Δx Δp must keep below 2/h , and with the equal sign, when Δx is at a maximum, Δp must be at a minimum, and vice versa:

2/h≤∆⋅∆ xp and 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )

Now, as maxp∆ we take, for the electron (“stable” and base particle in our Universe!),

)(max cmp e ⋅=∆ and as

minx∆ for the electron, as it is a harmonic of the Universe in which it is (just like a sound can be considered as made of

its harmonics), we have: 2min )2( πUnivax =∆ , as a direct consequence of the characteristics of the Universe in

which it is; in fact, from (A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , as we know from physics that Ra 2ω= , and then

UnivUnivUniv T πνπω 22 == , and as eω of the electron (which is a harmonic of the Universe) we therefore take the

“ Univν –th” part of Univω , that is:

UnivUnive νωω = like if the electron of the electron-positron pairs can make oscillations similar to those of the

Universe, but through a speed-amplitude ratio which is not the (global) Hubble Constant, but through HGlobal divided by

Univν , and so, if for the whole Universe: 2UnivUnivUniv aR ω= , then, for the electron:

2222min )2()()()( πννωωUniv

UnivGlobal

Univ

UnivUniv

Univ

e

Univ aH

aaax ====∆ , from which:

342minmax 10527,0

)2(−⋅==∆⋅∆

πUniv

eacmxp [Js] and such a number ( 3410527,0 −⋅ Js), as chance would have it, is

really 2/h !! 4) As we previously did, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , so:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it

were a small planet, we must easily conclude that: 2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , so:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!!

5) We know that 137

1=α is the value of the Finestructure Constant and the following formula νh

rGm

e

e2

yields the

same value only if ν is the one of the Universe we just described, that is: Unive

e hr

Gmνα

2

1371

== , where,

clearly: Univ

Univ T1

=ν (see (A1.15)) !!

6) If I suppose, out of simplicity, that the Universe is made of just harmonics, as electrons −e (and/or positrons +e ),

their number will be: 851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington); the square root of such a number is: 421013,4 ⋅≅N

(~Weyl).

Now, we are surprised to notice that mrN e281018,1 ⋅≅ (!), that is, the very UnivR value we had in (A1.9)

( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!

--------------------------------------------- App. 6-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Fig. A1.2: Andromeda galaxy (M31). By balancing centrifugal and gravitational forces for a star at the edge of a galaxy:

2

2

Gal

Galstar

Galstar R

MmGRvm = , from which:

Gal

Gal

RGMv =

On the contrary, if we also consider the tidal contribution due to aUniv , i.e. the one due to all the Universe around, we get:

GalUnivGal

Gal RaR

GMv += ; let’s figure out, for instance, in M31, how many RGal (how many k times) far away from

the center of the galaxy the contribution from aUniv can save us from supposing the existence of dark matter:

Andromeda galaxy (M31): Distance: 740 kpc; RGal=30 kpc; Visible Mass MGal = 3 1011MSun; Suspect Mass (+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;

GalUnivGal

Gal

Gal

Dark kRakR

GMkR

GM+=+ , so: 4

)(2 ≅

−= +

GalUniv

GalDark

RaMMGk , therefore, at 4RGal far away, the

existence of aUniv makes us obtain the same high speeds observed, without any dark matter. Moreover, at 4RGal far away, the contribution due to aUniv is dominant. At last, we notice that aUniv has no significant effect on objects as small as the solar system; in fact:

14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−

SunEarthUnivSunEarth

Sun RaR

MG .

All these considerations on the link between aUniv and the rotation speed of galaxies are widely open to further speculations and the equation through which one can take into account the tidal effects of Univa in the galaxies can

have a somewhat different and more difficult look, with respect to the above one, but the fact that practically all galaxies have dimensions in a somewhat narrow range (3 – 4 RMilky Way or not so much more) doesn’t seem to be like that just by chance, and, in any case, none of them have radii as big as tents or hundreds of RMilky Way , but rather by just some times. In fact, the part due to the cosmic acceleration, by zeroing the centripetal acceleration in some phases of the revolution of galaxies, would fringe the galaxies themselves, and, for instance, in M31, it equals the gravitational part at a radius equal to:

MaxGalUnivMaxGal

M RaRGM

−−

=31 , from which: 3131 5,2 M

Univ

MMaxGal R

aGMR ≅=− ; in fact, maximum radii ever observed in

galaxies are roughly this size.

--------------------------------------------- App. 6-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). App. 6-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles.

We remind you that from the definition of er in (A1.13): 22

041 cm

re

ee

=⋅πε

and from the (A1.11): Univ

Univ

RGMc =2

(~Eddington), we get:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (A2.1)

As an alternative, we know that the Finestructure Constant is 1 divided by 137 and it’s given by the following equation:

ch

e

π

πεα

2

41

1371

2

0== (Alonso-Finn), but we also see that 137

1 is given by the following equation, which can be

considered suitable, as well, as the Finestructure Constant:

Emanable

MinBox

Univ

e

e

EE

hr

Gm_

2

1371

===ν

α , where Univ

Univ T1

=ν . MinBoxE _ is the smallest box of energy in the Universe (the

electron), while EmanableE is the smallest emanable energy, as Univν is the smallest frequency.

Besides, α is also given by the speed of an electron in a hydrogen atom and the speed of light ratio:

hcecv Hine 02

__ 2εα == , or also as the ratio between Compton wavelenght of the electron (which is the

minimum λ of e- when it’s free and has the speed of light c) and the wavelength of e- indeed, on the first orbit of H:

)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . Moreover, 0are=α , where 529,00 =a Å is the Bohr’s radius.

So, we could set the following equation and deduce the relevant consequences (Rubino):

Univ

e

e

hr

Gm

ch

e

νπ

πεα

22

0

2

41

)137

1( === , from which: e

eUniv

e

e

globale

e

Univ rGmR

rGm

Hc

rGmce

2222

0 241

===πνπε

after that (A1.15) has been used.

Therefore, we can write: e

e

Univ rGm

Re 22

041

=πε

(and this intermediate equation, too, shows a deep relationship

between electromagnetism and gravitation, but let’s go on…)

Now, if we temporarily imagine, out of simplicity, that the mass of the Universe is made of N electrons −e and

positrons +e , we could write:

eUniv mNM ⋅= , from which: e

eUniv

Univ rNNmGM

Re

=2

041πε

,

or also: e

eUniv

Univ rNmGM

NRe

=⋅)(4

1 2

0πε . (A2.2)

If now we suppose that eUniv rNR = (see also (A4.2)), or, by the same token, NRr Unive =

, then (A2.2)

becomes:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (Rubino) that is (A2.1) again.

Now, first of all we see that the supposition eUniv rNR = is very right, as from the definition of N above given

(A1.10), we have:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington), from which: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) and

mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= , that is the very UnivR value obtained in (A1.9).

App. 6-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Now, (A2.1) is of a paramount importance and has got a very clear meaning (Rubino) as it tells us that the electrostatic

energy of an electron in an electron-positron pair ( −+ee adjacent) is exactly the gravitational energy given to this pair

by the whole Universe UnivM at an UnivR distance! (and vice versa)

Therefore, an electron gravitationally cast by an enormous mass UnivM for a very long time UnivT and through a long

travel UnivR, gains a gravitationally originated kinetic energy so that, if later it has to release it all together, in a short

time, through a collision, for instance, and so through an oscillation of the −+ee pair - spring, it must transfer a so huge gravitational energy indeed, stored in billion of years that if this energy were to be due just to the gravitational potential energy of the so small mass of the electron itself, it should fall short by many orders of size. Therefore, the effect due to

the immediate release of a big stored energy, by −e , which is known to be Univ

eUniv

RmGM

, makes the electron “appear”,

in the very moment, and in a narrow range ( er ), to be able to release energies coming from forces stronger than the

gravitational one, or like if it were able to exert a special gravitational force, through a special Gravitational Universal Constant G’, much bigger than G:

e

ee

e

ee

ee rmmG

rmm

me

me

⋅=⋅⋅⋅ ')4

1(0πε

; it’s only that during the sudden release of energy by the electron, there is a

run taking effect due to its eternal free (gravitational) falling in the Universe. And, at the same time, gravitation is an effect coming from the composition of many small electric forces.

I also remark here, that the energy represented by (A2.1), as chance would have it, is really 2cme !!!, that is a sort of

run taking kinetic energy, had by the free falling electron-positron pair , and that Einstein assigned to the rest matter, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest with respect to the center of mass of the Universe, as we all are inexorably free falling, even though we see one another at rest; from which is its essence of gravitationally

originated kinetic energy 2cme :

Univ

eUniv

ee R

mGMrecm =⋅=

2

0

2

41πε

.

App. 6-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. We’re talking about oscillations as this is the way the energy is transferred, and also in collisions, such as those among billiards balls, where there do are oscillations in the contact point, and how, even though we cannot directly see them (those of peripheral electrons, of molecules, of atoms etc, in the contact point).

So, we’re properly talking about oscillations also because, for instance, a single hydrogen atom, or a −+ee pair, which are ruled by laws of electromagnetism, behave as real springs: in fact, in polar coordinates, for an electron orbiting around a proton, there is a balancing between the electrostatic attraction and the centrifugal force:

3

2

2

2

0

22

2

0 41)(

41

rmp

rer

dtdm

reF

eer +−=+−=

πεϕ

πε , where ω

ϕ=

dtd

and 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=

Let’s figure out the corresponding energy by integrating such a force over the space:

2

22

0 241

rmp

redrFU

er +−=−= ∫ πε

. (A2.3)

Fig. A2.1: Graph of the energy. The point of minimum in (r0,U0) is a balance and stability point (Fr=0) and can be calculated by zeroing the first derivative of (A2.3) (i.e. setting Fr=0 indeed). Moreover, around r0, the curve for U is visibly replaceable by a parabola UParab, so, in that neighbourhood, we can write:

02

0 )( UrrkUParab +−= , and the relevant force is: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=

Which is, as chance would have it, an elastic force ( kxF −= - Hooke’s Law). Moreover, the gravitational law which is followed by the Universe is a force which changes with the square value of the distance, just like the electric one, so the gravitational force, too, leads to the Hooke’s law for the Universe.

--------------------------------------------- By means of (A2.1) and of its interpretation, we have turned the essence of the electric force into that of the gravitational one; now we do the same between the electric and magnetic force, so accomplishing the unification of electromagnetic and gravitational fields. At last, all these fields are traced back to aUniv , as gravitation does. App. 6-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. App. 6-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. A3.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’).

r

U

U

2

2

2 rmp

e

re2

041πε

−

r0

Uo

2

42

00 2

)4

1(pemU e

πε−=

02

0 )( UrrkUParab +−=

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the cathode ray (v)

x’

y’ z’

I’

We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire. Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e-

with speed u)

Fig. A3.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. A3.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A3.3), then the linear charge density λ will be:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force )( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:

Direction of the current I, whose e- speed is u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the ray (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot and Savart).

So: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A3.1)

where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q

have got speed u ( 220 1 cudd −= ).

b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A3.2)

where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)

and d0, this time, is contracted indeed, according to u’: 220 '1' cudd −= .

We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A3.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , which, if replacing the radicand in (A3.2), yields:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A3.4)

We now want to compare (A3.1) with (A3.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale elF ' in (A3.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not

along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A3.5)

Now we can compare (A3.1) with (A3.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this

identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!

---------------------------------------------

App. 6-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric

and gravitational forces (Rubino).

App. 6-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!).

First of all, we have already checked the validity of the equation eUniv rNR = , used in (A2.2), as it has proved to be

numerically correct. And it’s also justified on an oscillatory basis and now we see how; such an equation tells us the radius of the Universe is equal to the classic radius of the electron multiplied by the square root of the number of electrons (and positrons) N in which the Universe can be thought as made of. (We know that in reality almost all the matter in the Universe is not made of e+e- pairs, but rather of p+e- pairs of hydrogen atoms H, but we are now interested in considering the Universe as made of basic bricks, or in fundamental harmonics, if you like, and we know that electrons and positrons are basic bricks, as they are stable, while the proton doesn’t seem so, and then it’s neither a fundamental harmonic, and so nor a basic brick). Suppose that every pair e+e- (or, for the moment, also p+e- (H), if you like) is a small spring (this fact has been already supported by reasonings made around (A2.3)), and that the Universe is a big oscillating spring (now contracting towards its center of mass) with an oscillation amplitude obviously equal to RUniv , which is made of all microoscillations of e+e-

pairs. And, at last, we confirm that those micro springs are all randomly spread out in the Universe, as it must be; therefore, one is oscillating to the right, another to the left, another one upwards and another downwards, and so on. Moreover e+ and e- components of each pair are not fixed, so we will not consider N/2 pairs oscillating with an amplitude 2re, but N electrons/positrons oscillating with an amplitude re. Fig. A4.1: The Universe represented as a set of many (N) small springs, oscillating on random directions, or as a single big oscillating spring. Now, as those micro oscillations are randomly oriented, their random composition can be shown as in Fig. A4.2.

Fig. A4.2: Composition of N micro oscillations err

randomly spread out, so forming the global oscillation RUniv.

UnivR

er

x

y

z

NUnivR

r

err

err

err

err

err

err

err

err

err

err

We can obviously write that: eN

UnivN

Univ rRR rrr+= −1 and the scalar product N

UnivRr

with itself yields:

21212 2)()( eeN

UnivN

UnivN

UnivN

UnivN

Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; we now take the mean value:

22121212 )(2)()( eN

UniveeN

UnivN

UnivN

Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)

as 02 1 =⋅−e

NUniv rR rr

, because err

can be oriented randomly over 360° (or over π4 sr, if you like), so a vector averaging

with it, as in the previous equation, yields zero.

We so rewrite (A4.1): 2212 )()( eN

UnivN

Univ rRR += − and proceeding, on it, by induction:

(by replacing N with N-1 and so on):

22221 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− , and then: 22322 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− etc, we get:

222222212 0..........2)()()( eee

NUnive

NUniv

NUniv rNrNrRrRR =+==+=+= −− , that is:

22)( e

NUniv rNR = , from which, by taking the square roots of both sides:

eeUnivN

Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , that is:

eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)

Anyway, it’s well known that, in physics, for instance, the walk R made over N successive steps r, and taken in random directions, is really the square root of N by r (see, for instance, studies on Brownian movement).

--------------------------------------------- App. 6-Chapter 5: “aUniv“as absolute responsible of all forces. App. 6-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Still in agreement with what has been said so far, the cosmic acceleration itself aUniv is responsible for gravity all, and so for the terrestrial one, too. In fact, just because the Earth is dense enough, it’s got a gravitational acceleration on its surface g=9,81 m/s2, while if today we could consider it as composed of electrons randomly spread, just like in Fig. A4.1

for the Universe, then it would have a radius eEarthee

Earth rNrm

M⋅=⋅ , and the gravitational acceleration on its

surface would be:

2122

/1062,7)(

smarN

MGg UniveEarth

EarthNew

−⋅==⋅

= !!!

Therefore, once again we can say that the gravitational force is due to the collapsing of the Universe by aUniv, and all gravitational accelerations we meet, time after time, for every celestial object, are different from aUniv according to how much such objects are compressed.

--------------------------------------------- App. 6-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Fig. A5.1: Summarizing table of forces.

aUniv

GRAVITY

causes causes ELECTRICITY

MAGNETISM

WEAK FORCE

causes

(Rubino)

(Einstein) (Maxwell)

STRONG FORCE

(my works in progress)

App. 6-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. The full releasing of every single small spring which stands for the electron-positron pair, is nothing but the annihilation, with turning into photons of those two particles. In such a way, that pair wouldn’t be represented anymore by a pointed wave, pointed in certain place and time, (for instance )()sin( vtxvtx −− , or the similar )( vtx −δ of Dirac), where

the pointed part would stand for the charge of the spring, but it will be represented by a function like )sin( ctx − , omogeneous along all its trajectory, and this is what a photon is. This will happen when the collapsing of the Universe in its center of mass will be accomplished. Moreover, the essence of the pairs e+e-, or, in this era, of e-p+, is necessary in order not to violate Principle of Conservation of Energy. In fact, the Universe seems to vanish towards a singularity, after its collapsing, or taking place from nothing, during its inverse Big Bang-like process, and so doing, it would be a violation of such a conservation principle, if not supported by the Indetermination Principle, according to which an energy ΔE is legitimated to appear anyhow, unless it lasts less than Δt, in such a way that 2h≤∆⋅∆ tE ; in other words, it can appear provided that the observer doesn’t have enough time, in comparison to his means of measure, to figure it out, so coming to the ascertainment of a violation. And, by the same token, the whole Universe, which is made of pairs +/-, has this property. And the appearing of a ΔE made of a pair of particles, shows the particles to reject each other first, so showing the same charge, while the successive annihilation after Δt shows a successive attraction, showing now opposite charges. So, the appearing and the annihilation correspond to the expansion and collapsing of the Universe. Therefore, if we were in an expanding Universe, we wouldn’t have any gravitational force, or it were opposite to how it is now, and it’s not true that just the electric force can be repulsive, but the gravitational force, too, can be so (in an expanding Universe); now it’s not so, but it was! The most immediate philosophical consideration which could be made, in such a scenario, is that, how to say, anything can be born (can appear), provided that it dies, and quick enough; so the violation is avoided, or better, it’s not proved/provable, and the Principle of Conservation of Energy is so preserved, and the contradiction due to the appearing of energy from nothing is gone around, or better, it is contradicted it itself. App. 6-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described, contracting with speed c and acceleration auniv. On composition of speeds: 1) Case of a body whose mass is m. If in our reference system I, where we (the observers) are at rest, there is a body

whose mass is m and it’s at rest, we can say: 01 =v and 021 2

11 == mvE . If now I give kinetic energy to it, it will

jump to speed v2, so that, obviously: 222 2

1 mvE = and its delta energy of GAINED energy E↑∆ (delta up) is:

222

2212 )(

21)0(

210

21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , with 12 vvv −=∆ .

Now, we’ve obtained a v∆ which is simply 12 vv − , but this is a PARTICULAR situation and it’s true only when it starts from rest, that is, when v1 = 0.

On the contrary: 221

22

21

2212 )(

21)(

21

21

21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , where V∆ is a vectorial delta:

)( 21

22 vvvV −=∆ ; therefore, we can say that, apart from the particular case when we start from rest (v1 = 0), if we

are still moving, we won’t have a simple delta, but a vectorial one; this is simple base physics. 2) Case of the Earth. In our reference system I, in which we (the observers) are at rest, the Earth (E-Earth) rotates around the Sun with a total energy:

SE

ESunEETot R

mMGvmE−

−= 2

21

, and with a kinetic energy 2

21

EEK vmE = . If now we give the Earth a delta up

E↑∆ of kinetic energy in order to make it jump from its orbit to that of Mars (M-Mars), then, just like in the previous

point 1, we have:

22222 )(21)(

21

21

21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , with )( 22

MEV vvv −=∆ , and so also here the

speed deltas are vectorial-like ( V∆ ).

3) Case of the Universe. In our reference system I, where we (the observers) are at rest, if we want to make a body, whose mass is m0 and originally at rest, get speed V, we have to give it a delta v indeed, but for all what has been said so far, as we are already moving in the Universe, (and with speed c), as for above points 1 and 2, such a delta v must withstand the following (vectorial) equality:

)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)

where SpeedUnivAbsNewv −−− is the new absolute speed the body (m0) looks to have, not with respect to us, but with

respect to the Universe and its center of mass. As a matter of fact, a body is inexorably linked to the Universe where it is, in which, as chance would have it, it already

moves with speed c and therefore has got an intrinsic energy 20cm .

In more details, as we want to give the body (m0) a kinetic energy Ek , in order to make it gain speed V (with respect to us), and considering that, for instance, in a spring which has a mass on one of its ends, for the harmonic motion law, the speed follows a harmonic law like:

ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , in our case),

and for the harmonic energy we have a harmonic law like:

αsinMaxEE = ( αsin)( 20

20 KEcmcm += , in our case),

we get αsin from the two previous equations and equal them, so getting:

KSpeedUnivAbsNew Ecm

cmcv+

=−−− 20

20 ,

now we put this expression for SpeedUnivAbsNewv −−− in (A5.1) and get:

VEcm

cmccvcvVK

SpeedUnivAbsNewV =+

−=−=∆= −−− ])([)( 22

0

20222 , and we report it below:

])([ 22

0

202

KEcmcmccV+

−= (A5.2)

If now we get EK from (A5.2), we have:

)11

1(

2

2

20 −

−

=

cV

cmEK !!! which is exactly the Einstein’s relativistic kinetic energy!

If now we add to EK such an intrinsic kinetic energy of m0 (which also stands “at rest” – rest with respect to us, not with respect to the center of mass of the Universe), we get the total energy:

20

20

2

2

2

2

20

20

20

1

1)11

1( cmcm

cV

cV

cmcmcmEE K ⋅=

−

=−

−

+=+= γ , that is the well known

20cmE ⋅= γ (of the Special Theory of Relativity). (A5.3)

All this after that we supposed to bring kinetic energy to a body at rest (with respect to us). Equation (A5.3) works wery well on particle accelerators, where particles gain energy, but there are cases (collapsing Universe and Atomic Physics) where masses lose energy and radiate, instead of gaining it, and in such cases (A5.3) is completely inapplicable, as it’s in charge for added energies, not for lost ones. App. 6-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. In case of lost energies (further phase of the harmonic motion), the following one must be used:

20

1 cmE ⋅=γ

(Rubino) (A5.4)

which is intuitive just for the simple reason that, with the increase of the speed, the coefficient γ1 lowers m0 in favour of the radiation, that is of the lost of energy; unfortunately, this is not provided for by the Theory of Relativity, like in (A5.4). For a convincing proof of (A5.4) and of some of its implications, I have further files about.

By using (A5.4) in Atomic Physics in order to figure out the ionization energies ZE↓∆ of atoms with just one electron,

but with a generic Z, we come to the following equation, for instance, which matches very well the experimental data:

])2

(11[ 2

0

22

hcZecmE eZ ε

−−=∆↓ (A5.5)

and for atoms with a generic quantum number n and generic orbits:

])4

(11[ 2

0

22

hcnZecmE enZ ε

−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)

Orbit (n) Energy (J) Orbit (n) Energy (J)

1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20

Tab. A5.1: Energy levels in the hydrogen atom H (Z=1), as per (A5.6). On the contrary, the use of the here unsuitable (A5.3) doesn’t match the experimental data, but brings to complex corrections and correction equations (Fock-Dirac etc), which tries to “correct”, indeed, an unsuitable use. Again, in order to have clear proofs of (A5.5) and (A5.6), I have further files about.

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App. 6-SUBAPPENDIXES. App. 6-Subppendix 1: Physical constants.

Boltzmann’s Constant k: KJ /1038,1 23−⋅

Cosmic Acceleration aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅

Distance Earth-Sun AU: m1110496,1 ⋅

Mass of the Earth MEarth: kg241096,5 ⋅

Radius of the Earth REarth: m610371,6 ⋅

Charge of the electron e: C19106,1 −⋅−

Number of electrons equivalent of the Universe N: 851075,1 ⋅

Classic radius of the electron re: m1510818,2 −⋅

Mass of the electron me: kg31101,9 −⋅

Finestructure Constant )1371(≅α : 31030,7 −⋅

Frequency of the Universe 0ν : Hz211005,4 −⋅

Pulsation of the Universe )(0 globalH=ω : srad201054,2 −⋅

Universal Gravitational Constant G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅

Period of the Universe UnivT : s201047,2 ⋅

Light Year l.y.: m151046,9 ⋅

Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=

Density of the Universe ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅

Microwave Cosmic Radiation Background Temp. T: K73,2

Magnetic Permeability of vacuum μ0: mH /1026,1 6−⋅

Electric Permittivity of vacuum ε0: mF /1085,8 12−⋅

Planck’s Constant h: sJ ⋅⋅ −3410625,6

Mass of the proton mp: kg271067,1 −⋅

Mass of the Sun MSun: kg3010989,1 ⋅

Radius of the Sun RSun: m81096,6 ⋅

Speed of light in vacuum c: sm /1099792458,2 8⋅

Stephan-Boltzmann’s Constant σ: 428 /1067,5 KmW−⋅

Radius of the Universe (from the centre to us) RUniv: m281018,1 ⋅

Mass of the Universe (within RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Thank you for your attention. Leonardo RUBINO leonrubino@yahoo.it

--------------------------------------------------------------- Bibliography: 1) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 2) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 3) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 4) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 5) (R. Gautreau & W. Savin) MODERN PHYSICS – Schaum. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (M. Alonso & E.J. Finn) FUNDAMENTAL UNIVERSITY PHYSICS III, Addison-Wesley. 9) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 10) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 11) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 12) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 13) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 14) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.

--------------------------------------------------------------