Fogaskerékhajtás – tudnivalók, feladatok

Tudnivalók A fogaskerékhajtás – egy hajtómű - féleség. A hajtómű olyan – itt mechanikus – berendezés, amely erőket és mozgásokat továbbít: a hajtó tengelyről a hajtott tengelyre. A fogaskerékhajtásban a hajtó és a hajtott tengely közel van egymáshoz, így köztük a kapcsolatot a rájuk ékelt fogaskerekek hozzák létre. Az alaphelyzet az 1. ábra szerinti.

Az 1. ábra forrása: [ 1 ].

1. ábra Az „1” jelű tengely: a hajtó tengely, rajta a z1 fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n1 fordulatszámmal forog. A „2” jelű tengely: a hajtott tengely, rajta a z2 fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n2 fordulatszámmal forog. A két fogaskerék a gördülőkörök mentén csúszásmentesen legördül egymáson. A fogaskerékhajtás: kényszerhajtás, mivel a hajtókerék rákényszeríti a forgást a hajtott kerékre. Ennek eredményeként a két kerék kerületi sebessége a gördülőkörök érintkezési pontjában megegyezik:

1 2v v . ( 1 ) A megfelelő Di gördülőkör - átmérőkkel és ni fordulatszámokkal ( i = 1, 2 ) :

1 1 2 2D n D n . ( 2 ) Innen egyszerűsítés és rendezés után:

2 1

1 2

n D .n D

( 3 )

Itt bevezetjük az áttétel / módosítás fogalmát: 2

1

ni ,n

( 4 )

2

vagyis az áttétel: a hajtott tengely fordulatszámának viszonya a hajtó tengely fordulatszámához. Most tekintsük a 2. ábrát!

A 2. ábra forrása: [ 2 ].

2. ábra

A kerékátmérő kifejezhető a t fogosztással és a z fogszámmal: 1 1 1D t z , ( 5 )

2 2 2D t z . ( 6 ) Innen a gördülőkör - átmérők:

11 1

tD z ,

( 7 )

22 2

tD z .

( 8 )

A t fogosztásoknak azonban egyenlőknek kell lenniük, különben a két fogaskerék kapcsolódása nem lenne lehetséges:

1 2t t t, ( 9 ) így ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

1 1tD z ,

( 10 )

2 2tD z .

( 11 )

Bevezetjük az tm ( 12 )

definícióval a modult, ami ezek szerint a fogosztás π - ed része. Most ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

1 1D m z , ( 13 )

2 2D m z . Ezek után összegyűjtjük az áttételre vonatkozó képleteinket; ( 3 ), ( 4 ) és ( 13 ) - mal:

3

2 1 1

1 2 2

n D zi .n D z

( 14 )

Majd összegyűjtjük a modulra vonatkozó képleteinket; ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: 1 2

1 2

t D Dm .z z

( 15 )

A hajtás modulja szabványos modulsorozatból választandó. Ilyet mutat a 3. ábra. Forrása: [ 3 ].

3. ábra Megjegyzés: A ( 2 ) képlethez felhasználtuk, hogy

körK D 2 R 2v R R ,T T T T

( 16 )

ahol Kkör: a gördülőkör kerülete; T: egy teljes körülfordulás ideje; R: a gördülőkör sugara; ω: a forgás szögsebessége. Itt az állandó szögsebességű / fordulatszámú forgás esetét tekintettük. Most vizsgáljuk meg a szóban forgó fogaskerékhajtás erő - és mozgásviszonyait!

4

Ehhez tekintsük a 4. ábrát, ahol a feltüntetett mennyiségek mind pozitív előjelűek!

4. ábra Adott: 1 2 1 2 1 2M ,M ; R ,R ; , . Keresett: a fogak közt fellépő K kerületi erő. A megoldás során a részekre bontás módszerét alkalmazzuk. Az érintkezési pontbeli kerületi sebességek egyenlőek; ( 1 ) és ( 16 ) szerint:

1 1 2 2R R , ( 17 ) ahol már figyelembe vettük azt is, hogy a „2” jelű kerék forgásának értelme, azaz szögsebessége is ellentétes az „1” jelűével. Most képezzük ( 17 ) mindkét oldalának az időegységre jutó változását, felhasználva a szöggyorsulást értelmező

t

( 18 )

kifejezést is: 1 1 2 2R R . ( 19 )

Most gondolatban különítsük el egymástól az „1” és a „2” kereket – ld. 5. ábra!

5. ábra

5

A K1 kerületi erő fejezi ki a „2” kerék hatását az „1” kerékre, míg a K2 erő az „1” kerék „2” - re gyakorolt hatását jeleníti meg. Az „1” kerék forgómozgásának alapegyenlete:

1Oe 1 1M , ( 20 )

majd a „2” keréké: 2O

e 2 2M , ( 21 ) ahol i : az i - edik forgástengelyre vett tömegtehetetlenségi nyomaték, i = 1, 2. Ezután képezzük az O1 forgástengelyre számított eredő forgatónyomatékot:

1Oe 1 1 1M M K R ; ( 22 )

majd hasonlóan az O2 forgástengelyre: 2O

e 2 2 2M M K R . ( 23 ) Most ( 20 ) és ( 22 ) - vel:

1 1 1 1 1M K R , ( 24 ) majd ( 21 ) és ( 23 ) - mal:

2 2 2 2 2M K R . ( 25 ) Ezután fejezzük ki ( 24 ) - ből K1 - et, ( 25 ) - ből K2 - t:

1 1 1 11

1K M ,R

( 26 )

2 2 2 22

1K M .R

( 27 )

Most alkalmazzuk a hatás - ellenhatás alaptételét: K1 = K2 = K. ( 28 ) ( 26 ), ( 27 ), ( 28 ) - cal:

1 1 1 2 2 21 2

1 1M M .R R

( 29 )

Rendezve:

11 1 1 2 2 2

2

RM M .R

( 30 )

( 30 ) - ban érvényesítve a ( 19 ) - ből adódó 1

2 12

RR

( 31 )

összefüggést:

1 11 1 1 2 2 1

2 2

R RM M .R R

( 32 )

( 32 ) - ből:

6

2

1 11 2 1 1 2

2 2

R RM M ,R R

( 33 )

ahonnan: 1

1 22

1 2

11 2

2

RM MR .RR

( 34 )

Most ( 31 ) és ( 34 ) - gyel: 1

1 21 2

2 22 1

1 22

RM MR R .R R

R

( 35 )

Ezután ( 26 ), ( 28 ) és ( 34 ) - gyel: 1 2

1 1 1 1 21 1 2

1 1 1 1 2

2 1

M MM M R RK K .R R R R1

R

( 36 )

( 36 ) átalakításával még tovább írható, hogy

2

2 1 1 2

2 1 2 12

1 2

2 1

M M RR R R

K .R1R

( 37 )

Egy fontos speciális eset:

1 2 0 . ( a ) Ekkor a fogaskerekek szögsebessége / fordulatszáma állandó, ill. zérus. Ez a mozgásbeli, ill. nyugalmi egyensúly esete. ( 26), ( 27 ), ( 28 ) és ( a ) - val:

1 21 2

1 2

M MK K K .R R

( 38 )

( 38 ) - ból:

7

2 2 2

1 1 1

M R D .M R D

( 39 )

A ( 39 ) képlet azt fejezi ki, hogy állandósult állapotában a fogaskerékhajtás valamely tengelyére jutó forgatónyomaték egyenesen arányos az illető tengelyen lévő fogaskerék átmérőjével. A ( 26 ), ( 27 ), ( 38 ) képletekből még az is kiviláglik, hogy a K kerületi erő gyorsuló forgás esetén kisebb, mint állandósult forgás, ill. nyugalom esetén. A csapágyakat terhelő erők meghatározásához tekintsük a 6. ábrát!

6. ábra

Itt G a fogaskerék súlya, K a kerületi erő, R a csapágy reakcióereje. Függőleges vetületi egyensúlyi egyenlettel:

3

ii 1

F 0;

( 40 )

részletezve: 1 1 1R G K 0, ( 41 )

ahonnan: 1 1R G K. ( 42 )

Hasonlóan eljárva: 2 2 2R G K 0, ( 43 )

ahonnan: 2 2R G K. ( 44 )

8

Megjegyzések: M1. A ( 42 ) és ( 44 ) képletek felírásakor felhasználtuk ( 28 ) - at is. M2. A függőleges vetületi egyensúlyi egyenletek felírásakor feltételezzük, hogy az R reakció pozitív nyílértelmű. Ha nem ez a helyzet, azt a képlet majd kiadja. M3. Ha a szöggyorsulások zérustól eltérők, akkor a K kerületi erő, majd ( 42 ) és ( 44 ) miatt a reakcióerők is változó nagyságúak / irányúak lehetnek. Feladatok 1. Adott a 7. ábra szerinti hajtómű. Határozza meg az 2 1 és 3 3 szögsebességeket, az 1 1 szögsebesség függvényében!

Az ábra forrása: [ 4 ].

7. ábra Megoldás: Az r1 és r21 sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában – ( 1 ) mintájára –

1 1 21 2r r . ( 1 / 1 ) Az r23 és r3 sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában:

3 3 23 2r r . ( 2 / 1 ) ( 1 / 1* ) - ből:

12 1

21

r ,r

( 3 / 1 )

9

majd ( 1 / 2** ) és ( 1 / 3! ) - ből: 23 1

3 13 21

r r .r r

( 4 / 1 )

2. Adott a 8. ábra szerinti hajtás, ahol a W súlyt egyenletesen, lassan emeljük. Határozzuk meg a motor M forgatónyomatékát, elemi úton!

Az ábra forrása: [ 5 ]. 8. ábra

Megoldás: Most is célszerű a részekre bontás fogásával élni – ld. 9. ábra!

9. ábra A feladat feltétele szerint 1 2 3 0, így egyensúlyi egyenletekkel dolgozhatunk. Az a sugarú kerék egyensúlya:

1M K a 0, innen

1MK .a

( 1 / 2 )

10

A b sugarú kerék egyensúlya: 1 2K b K b 0,

innen: 1 2K K . ( 2 / 2 )

A c sugarú kerék egyensúlya:

2K c W c 0, innen:

2W K . ( 3 / 2 ) Most az ( 1 / 2 ), ( 2 / 2 ), ( 3 / 2 ) képletekkel:

MW ,a

( 4 / 2 )

ahonnan: M W a. ( 5 / 2 ) 3. Határozzuk meg az egyenes fogazású hengeres fogaskerékpár fogai közt fellépő kapcsolati erőt ! Megoldás:

10. ábra A 10. ábra forrása: [ 6 ].

A 10. ábrán jól szemlélhető, hogy a fogak érintkezése valójában nem a gördülőkörök, hanem – a fogak geometriai kialakítása miatt –egy ferde, a gördülőkörök közös érintőjével αw szöget bezáró egyenes – a kapcsolóvonal – mentén vándorló kapcsolódási pontban megy végbe. Ennek megfelelően a fogak közt fellépő kapcsolati erő sem egyezik meg a gördülő -körök érintője mentén ható K kerületi erővel. A gördülő felületek közös normálisába eső, az ábrán kék nyíllal rajzolt Pn kapcsolati erő nagysága a 11. ábra szerint – ahol a K ≡ P jelölést használjuk – :

11

Az ábra forrása: [ 7 ]

11. ábra

nw

PP .cos

( 1 / 3 )

A kapcsolati erő sugárirányú össze - tevőjének nagysága:

r wP P tg . ( 2 / 3 ) E radiális összetevő a csapágyazást egy többlet - erővel terheli, az önsúlyhoz és a kerületi erőhöz képest. A kerületi erő szokásos számítási módja:

1 1

1 1

M 2 MP ,r d

( 3 / 3 )

ahol M1: a hajtókerékre ható külső forgatónyomaték; d1: a hajtókerék gördülőkörének átmérője. Mint korábban már láttuk, itt állandó fordulatszámokat tételezünk fel. A 11. ábra a két fogaskerék erőjátékát is szemlélteti, a részekre bontás után, eltekintve a csapágyak -ban ébredő reakcióktól.

12

4. Elemezzük a szöggyorsulások és a kerületi erő kifejezését, figyelembe véve a tömegtehetetlenségi nyomatékok valóságos értékét is! Megoldás: Ennek során úgy járunk el, hogy a fogaskerekeket homogén tömegeloszlású vékony tárcsának tekintjük, és erre alkalmazzuk a 12. ábra táblázatának megfelelő képletét.

12. ábra Az ábra forrása: [ 8 ]. A megfelelő táblázati képlet:

2z

1J m R .2

( 1 / 4 )

13

A tömeg kifejezése, az ismert módon: 2m V R l . ( 2 / 4 )

Most az ( 1 / 4 ) és ( 2 / 4 ) képletekkel: 41 R l .

2 ( 3 / 4 )

Ezután képezzük a ( 37 ) képletben szereplő théták arányát! 4 42

2 2

41 11

1 R l R2 .1 RR l2

( 4 / 4 )

Továbbá a képletekben szereplő további tag / tényező: 2 2 4 2

1 2 1 2 2

2 1 2 1 1

R R R R .R R R R

( 5 / 4 )

Most ( 34 ) és ( 5 / 4 ) - gyel: 1 1

1 2 1 22 2

1 2 21 11 2 2

2 1 1

R RM M M M1 1R R .

R R1 1R R

( 6 / 4 )

Ezután ( 31 ) és ( 6 / 4 ) - gyel: 1

1 21 2

2 22 1 2

1

RM MR 1 R .R R1

R

( 7 / 4 )

Végül ( 37 ) és ( 5 / 4 ) - gyel:

2 2

2 1 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2 1 12 2

1 2 2

2 1 1

M M R M M RR R R R R R

K .R R1 1R R

( 8 / 4 )

Egy egyszerű speciális eset: 1 2R R R. ( S1 )

Ekkor ( 6 / 4 ) - ből ( S1 ) - gyel: 1 2

11

1 M M .2

( 9 / 4 )

Továbbá ( 7 / 4 ) és ( S1 ) - gyel:

14

1 22

1

1 M M .2

( 10 / 4 )

Végül ( 8 / 4 ) és ( S 1 ) - gyel: 1 21 M MK .

R 2

( 11 / 4 )

További specializációval: ha R1 = R2 = R és M1 = M2 = M, ( S2 ) akkor ( 9 / 4 ) és ( 10 / 4 ) - ből ( S2 ) - vel:

1 2 0, azaz egyensúly van. Ekkor ( 11 / 4 ) és ( S2 ) - vel: MK .R

( 12 / 4 )

5. Mondjuk ki a teljesítménytételt, és állítsuk fel az átvitt teljesítmény, a forgató-nyomaték és a fordulatszám összefüggését a rögzített tengely körül forgó merev test esetében! Megoldás: A rögzített tengely megnevezés azt jelenti, hogy a test nem végezhet haladó mozgást, mert azt a megtámasztásai / kényszerei megakadályozzák. Eszerint a test mozgása: adott forgástengely körüli forgó mozgás. Ennek vizsgálatához tekintsük a 13. ábrát!

13. ábra

Kiindulunk abból a tényből, hogy a forgó test mozgási energiájának t idő alatti növekedése egyenlő a testre ható erőrendszer által ez idő alatt végzett munkával:

15

E W. ( 1 / 5 ) A befektetett munka:

W F s. ( 2 / 5 ) Az elmozdulás:

s R tg . ( 3 / 5 ) Kis szögekre érvényes, hogy

tg . ( 4 / 5 ) Most ( 3 / 5 ) és ( 4 / 5 ) képletekkel:

s R . ( 5 / 5 ) Ezután ( 2 / 5 ) és ( 5 / 5 ) képletekkel:

W F R . ( 6 / 5 ) A testre ható F aktív és – F reakcióerő erőpárt képez, melynek nyomatéka: M F R. ( 7 / 5 ) ( 6 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - tel:

W M . ( 8 / 5 ) Most képezzük a megfelelő változási sebességeket, vagyis a megfelelő mennyiségek

t időintervallumra vetített megváltozását! ( 1 / 5 ) - ből:

E W .t t

( 9 / 5 )

( 2 / 5 ) - ből: W sF .t t

( 10 / 5 )

Figyelembe véve, hogy a sebesség definíciója szerint sv ,t

( 11 / 5 )

vagy ( 5 / 5 ) - tel is:

v R .t

( 12 / 5 )

( 10 / 5 ) és ( 11 / 5 ) - ből kapjuk, hogy W F v.t

( 13 / 5 )

Most ( 8 / 5 ) - ből: W M .t t

( 14 / 5 )

Figyelembe véve, hogy a szögsebesség definíciója szerint

,t

( 15 / 5 )

16

( 14 / 5 ) és ( 15 / 5 ) - ből kapjuk, hogy W M .t

( 16 / 5 )

Átlagérték - képleteink annál pontosabbak, minél kisebb a vizsgált időintervallum, így t 0 esetén kapjuk a pillanatnyi változási sebességeket.

A munkavégzés sebessége: a teljesítmény:

WP .t

( 17 / 5 )

Most ( 9 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - tel: E P.t

( 18 / 5 )

Szavakban: a rendszer mozgási energiájának időbeli változási sebessége egyenlő az erőrendszer teljesítményével. Ez a teljesítménytétel. További fontos összefüggések az alábbiak. ( 13 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - ből: P F v, ( 19 / 5 ) vagy ( 16 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - ből: P M . ( 20 / 5 ) Ez az összefüggés tetszőlegesen változó forgás esetén is fennáll. Most fejezzük ki az ω szögsebességet az n fordulatszámmal! Jelöljük a körülfordulások számát N - nel, valamint ΔN - nel a Δt idő alatt megtett körülfordulások számát! Ekkor aránypárral írható – ld. a 13. ábrát is! –, hogy

N .2 1

( 21 / 5 )

Innen 2 N, ( 22 / 5 )

majd ( 15 / 5 ) - tel és az Nnt

( 23 / 5 )

képlettel definiált fordulatszámmal: 2 n. ( 24 / 5 )

Végül a ( 20 / 5 ) és ( 24 / 5 ) képletekkel: P 2 n M. ( 25 / 5 ) Megjegyzések: M1. Az állandó speciális esetben írhatjuk, hogy

17

2 2 n,t T

vagyis a szögsebesség és a fordulatszám összefüggése mindig ( 24 / 5 ) szerinti. M2. Az alkalmazásokhoz szükség van a mozgási energia kifejezésére. Ehhez tekintsük a 14. ábrát is!

14. ábra Képlettel:

2 2 2 2i i i i i

1 1E E m R m R .2 2

( 29 / 5 )

Bevezetve a 2

O i i1 m R2

( 30 / 5 )

képlettel definiált, az O forgástengelyre számított tömegtehetetlenségi nyomatékot, ( 29 / 5 ) és ( 30 / 5 ) képletek szerint:

2O

1E .2

( 31 / 5 )

Ha több test végez forgó mozgást, akkor az ezen A, B, C, stb. testekből álló rendszer mozgási energiája az egyes testek részenergiáinak összege:

rendszer A B CE E E E ... ( 32 / 5 )

Az i - edik tömegpont mozgási energiája:

2i i i

1E m v .2

( 26 / 5 )

Majd ( 12 / 5 ) és ( 15 / 5 ) szerint: i iv R . ( 27 / 5 )

Most ( 26 / 5 ) és ( 27 / 5 ) - tel: 2 2

i i i1E m R .2

( 28 / 5 )

A forgó test mozgási energiája e rész - energiák összege, ahol az összegzés minden tömegpontra kiterjed.

18

6.* Összetett hajtómű mozgásának elemzése. Adott a 15. ábra szerinti szerkezet. Állítsuk elő a szerkezet mozgásegyenletét! Útmutatás: tekintsük a csapágyazásokat súrlódásmentesnek, az egyes elemeket pedig végtelenül merevnek!

Forrása: [ 9 ] 15. ábra A rendszer mozgási energiája összetevődik az adott G súlyú test haladó, valamint a kerekek forgó mozgásának energiájából:

rendszer h fE E E . ( 1 / 6 ) Az emelkedő m tömegű test q elmozdulást végez, vG sebességgel és aG gyorsulással. Mozgási energiája:

2h G

1E m v ,2

( 2 / 6 )

ahol Gm ,g

( 3 / 6 )

Gqv q .t

( 4 / 6 )

A kerekek saját forgástengelyükre számított tömegtehetetlenségi nyomatékai: 1 2 3 4, , , , melyek adott mennyiségek.

Velük az egyes kerekek mozgási energiája: 2

f ,i i i1E ,2

ahol i = 1, 2, 3,4 ( 5 / 6 )

és ezzel

Megoldás: A feladat megoldásának elvi alapját az előzőekben kifejtett teljesítménytétel képezi. Ehhez elő kell állítani a rendszer mozgási energiáját, az aktív erőrendszer teljesítményét, továbbá figyelembe kell venni a külső és belső kényszerfeltételeket is.

19

4

f f ,ii 1

E E .

( 6 / 6 )

Részletezve: ( 5 / 6 ) és ( 6 / 6 ) - tal 2 2 2 2

f 1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1E .2 2 2 2

( 7 / 6 )

Most ( 1 / 6 ), ( 2 / 6 ) és ( 7 / 6 ) - tal:

2 2 2 2 2rendszer G 1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 1 1 1E m v .2 2 2 2 2

( 8 / 6 )

Most vegyük sorra a belső kényszerfeltételeket! Az „1” és a „2” kerék közös tengelyen forog, így szögsebességük is egyenlő:

1 2. ( 9 / 6 ) Figyelembe véve, hogy

1 1q R , ( 10 / 6 ) kapjuk, hogy

1G 1 1 1

qv R R .t t

( 11 / 6 )

Most ( 9 / 6 ) és ( 11 / 6 ) - tal: G

1 21

v .R

( 12 / 6 )

A v3 = v2 feltételből: 2

3 23

R .R

( 13 / 6 )

A v4 = v3 feltételből: 3

4 34

R .R

( 14 / 6 )

Most ( 12 / 6 ) és ( 13 / 6 ) - ból: 2 G

33 1

R v .R R

( 15 / 6 )

Majd ( 13 / 6 ) és ( 14 / 6 ) - ból: 3 2 G 2 G

44 3 1 4 1

R R v R v .R R R R R

( 16 / 6 )

Most helyettesítsük be a ( 8 / 6 ) képletbe a ( 12 / 6 ), ( 15 / 6 ), ( 16 / 6 ) képleteket! Ekkor kapjuk, hogy

20

2 22 G G

rendszer G 1 21 1

2 2

2 G 2 G3 4

3 1 4 1

1 1 v 1 vE m v2 2 R 2 R

1 R v 1 R v + .2 R R 2 R R

( 17 / 6 )

Rendezve: 2 2

2 1 2 2 2rendszer G 3 42

1 3 1 4 1

1 R RE v m .2 R R R R R

( 18 / 6 )

Írjuk át ( 18 / 6 ) - ot az 2

rendszer 0 G1E m v2

( 19 / 6 )

alakba, ahol 2 2

1 2 2 20 3 42

1 3 1 4 1

R Rm mR R R R R

( 20 / 6 )

a rendszer általános tömege. A ( 19 / 6 ) képlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer teljes mozgási energiáját egy m0 tömegű, egyenes vonalú mozgást végző testbe sűrítettük volna. Hogy ennek mi a haszna, az mindjárt kiderül. Most írjuk fel az erőrendszer teljesítményét! a.) A rendszerre ható külső erők: a G nagyságú súlyerő és az M0 ( előjeles ) nagyságú forgatónyomatékkal jellemzett erőpár. A súlyerő teljesítménye ( 4 / 6 ) - tal is:

G GP ( G) v G q , ( 21 / 6 ) ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erő teljesítménye ( 19 / 5 ) szerinti; ~ az erő és az elmozdulás ( a teher emelésekor ) ellentétes előjelű. A forgatónyomaték teljesítménye:

0M 0 4P M , ( 22 / 6 ) ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erőpár teljesítménye ( 20 / 5 ) szerinti; ~ a forgatónyomaték és a „4” kerék szögsebessége ( a teher emelésekor ) megegyező forgatóértelmű. A csapágyakban ébredő támaszerők teljesítménye zérus, mert a csapágyak merevek és mozdulatlanok. A csapágyakban nem ébred a forgómozgást akadályozó forgatónyomaték, hiszen a csapsúrlódástól eltekintettünk. Így ennek teljesítménye is zérus nagyságú.

21

b.) A rendszerre ható belső erők: a kerekek közt fellépő kapcsolati erők. Ezek teljesítménye is zérus, mert az érintkező elemek ( pl.: a fogak ) alakváltozásait zérus nagyságúnak tekintettük, azok merevsége miatt. Megjegyezzük, hogy az emelő kötél / láncról is feltesszük, hogy hajlításra lágy, húzásra viszont merev. Ezek szerint az ezen fellépő belső erők teljesítményét is zérusnak vehetjük. A szerkezetre ható külső erők teljesítménye:

0külső G MP P P ; ( 23 / 6 ) most ( 21 / 6 ), ( 22 / 6 ), ( 23 / 6 ) összefüggésekkel:

külső 0 4P G q M . ( 24 / 6 ) A szerkezetre ható belső erők teljesítménye:

belsőP 0, ( 25 / 6 ) így az erőrendszer összes teljesítménye:

össz külső belsőP P P . ( 26 / 6 ) Most ( 24 / 6 ), ( 25 / 6 ) és ( 26 / 6 ) képletekkel:

össz 0 4P G q M . ( 27 / 6 ) Majd ( 16 / 6 ) és ( 27 / 6 ) - tal is:

2össz 0

4 1

R qP G q M .R R

( 28 / 6 )

Rendezve:

2össz 0

4 1

RP q G M .R R

( 29 / 6 )

A zárójelben lévő kifejezés: az általános erő. Jele: Q. Azaz: 2

04 1

RQ G M .R R

( 30 / 6 )

Ezzel ( 29 / 6 ) így írható:

összP Q q . ( 31 / 6 ) Az utóbbi egyenlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer összes teljesítményét az egyenes vonalú mozgást végző testre ható Q általános erő szolgáltatná. A teljesítménytétel matematikai kifejezése – v.ö.: ( 18 / 5 ) ! – :

rendszer összd E P .dt

( 32 / 6 )

A kijelölt differenciálást ( 19 / 6 ) - on elvégezve:

22

2rendszer 0 0 0

d d 1 1E m q 2 m q q m q q .dt dt 2 2

( 33 / 6 )

Most ( 31 / 6 ), ( 32 / 6 ) és ( 33 / 6 ) képletekkel:

0m q q Q q . ( 34 / 6 ) Egyszerűsítés után:

0Q m q . ( 35 / 6 )

Utóbbi egyenlet: a szerkezet mozgásegyenlete. ( 20 / 6 ) és( 30 / 6 ) segítségével kifejtve:

2 2

2 1 2 2 20 3 42

4 1 1 3 1 4 1

R R RG M m q .R R R R R R R

( 36 / 6 )

Megjegyzések: M1. ( 35 / 6 ) és ( 30 / 6 ) összevetéséből látható, hogy

A.) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból felfelé, ha Q > 0, azaz, ha

20

4 1

RM G;R R

( 37 / 6 )

B.) a G súlyú test akkor marad nyugalomban, ha Q = 0, azaz, ha 2

04 1

RM G;R R

( 38 / 6 )

C.) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból lefelé, ha Q < 0 , azaz, ha

2

04 1

RM G.R R

( 39 / 6 )

M2. A (35 / 6 ) egyenlet egyszerű alakú, könnyen integrálható, azaz belőle a mozgások időfüggvényei, stb. különösebb nehézség nélkül előállíthatók. M3. Vegyük észre, hogy a szerkezet mozgásegyenlete egy általános koordinátát ( q ) tartalmaz, azaz a rendszer egyszabadságfokú. M4. Látjuk, hogy a ( 35 / 6 ) mozgásegyenlet az általános erő, az általános tömeg és az általános koordináta második differenciálhányadosa közti kapcsolatot rögzíti.

23

7.* Motor szükséges hajtónyomatékának meghatározása előírt geometria, előírt üzemi fordulatszám / szögsebesség és előírt felfutási idő ismeretében. Adott a 16. ábra szerinti hajtómű. Forrása: [ 4 ].

16. ábra

A teljesítménytétel segítségével határozzuk meg azt a szükséges MA hajtónyomatékot, amivel a Θ3 tömegtehetetlenségi nyomatékú forgórész T idő alatt nyugalmi helyzetéből lineárisan növekvő módon az ω3 = Ω szögsebességre tesz szert! A hajtás súrlódási veszteségei elhanyagolhatóak. Megoldás: A feladat feltétele szerint a forgórész szöggyorsulása állandó:

33 ,

t T

( 1 / 7 )

innen

3t .T

( 2 / 7 )

Most fejezzük ki a többi szögsebességet is ω3 - mal! A kinematikai kényszerfeltételek miatt:

1 1 2 2r r ; ( 3 / 7 )

3 2 4 3r r ; ( 4 / 7 ) ( 3 / 7 ) és ( 4 / 7 ) - ből:

2 41 3

1 3

r r ;r r

( 5 / 7 )

42 3

3

r .r

( 6 / 7 )

24

A rendszer mozgási energiája: 2 2 2

1 1 2 2 3 31E .2

( 7 / 7 )

Most helyettesítsük be ( 5/ 7 ) és ( 6/ 7 ) képleteket ( 7 / 7 ) - be! 2 2

2 2 2 22 4 41 3 2 3 3 3 3

1 3 3

1 r r r 1E * ,2 r r r 2

( 8 / 7 )

ahol 2 2

2 2 22 4 41 3 2 3 3 3

1 3 3

r r r*r r r

( 9 / 7 )

a redukált tömegtehetetlenségi nyomaték. A ( 8 / 7 ) egyenlet azt fejezi ki, hogy a rendszer mozgási energiája akkora, mintha az ω3 szögsebességű forgórész tömegtehetetlenségi nyomatéka Θ* lenne. Úgy is mondhatjuk, hogy a szerkezet mozgását a forgórész forgó mozgásához redukáltuk – v.ö.: [ 8 ]. A hajtónyomaték teljesítménye:

A 1P M . ( 10 / 7 ) Most ( 5 / 7 ) és ( 10 / 7 ) - tel:

2 4A 3

1 3

r rP M .r r

( 11 / 7 )

A teljesítménytétel: E P, ( 12 / 7 ) majd ( 8 / 7 ) és ( 11 / 7 ) felhasználásával:

2 43 3 A 3

1 3

r r* M ,r r

( 13 / 7 )

amiből 1 3

A 32 4

r rM * .r r

( 14 / 7 )

Most ( 2 / 7 ) - ből:

3 ,T

( 15 / 7 )

így ( 14 / 7 ) és ( 15 / 7 ) képletekkel: 1 3

A2 4

r rM * .r r T

( 16 / 7 )

25

Irodalomjegyzék: [ 1 ] – Hans - Jürgen Zebisch: Dinamika

Röviden és tömören Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. [ 2 ] – E. M. Nikitin: Teoreticseszkaja mehanika dlja tehnikumov Izdanije deszjatoje, pererabotannoje, Nauka, Moszkva, 1978. [ 3 ] – Diószegi György: Gépészeti ismeretek és adatok 2. Ipari szakkönyvtár sorozat Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [ 4 ] – http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/page7/files/Mechanikaufgaben.pdf [ 5 ] – L. E. Goodman – W. H. Warner: Dynamics Dover Publications, Inc., Mineola, 2001. [ 6 ] – http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Involute_wheel.gif [ 7 ] – E. N. Dubejkovszkij - E. Sz. Szavvuskin - L. A. Cejtlin: Tehnicseszkaja mehanika Moszkva, Masinosztrojenije, 1980. [ 8 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997. [ 9 ] – Béda Gyula - Bezák Antal: Kinematika és dinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

♠ ♣ ♥ ♦

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár Sződliget, 2008. június 13.