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ESERCITAZIONI DI FLUSSI COMPRESSIBILI

Professore Maurizio Pandolfi Studente Giovanni Medici

Anno accademico 2006/2007

Esercitazioni di Flussi Compressibili Giovanni Medici

IndiceIndice....................................................................................................................................................2 Indice delle figure ................................................................................................................................3 Indice delle tabelle ...............................................................................................................................5 Capitolo 1.............................................................................................................................................6 Curve di Fanno e Rayleigh (prog01) ...............................................................................................6 Curve di Fanno.............................................................................................................................6 Curve di Rayleigh ......................................................................................................................10 Confronto ...................................................................................................................................12 Capitolo 2...........................................................................................................................................14 Flusso compressibile in ugello convergente divergente (prog02) .................................................14 Condizione: pad1 < pest < pi0 .......................................................................................................19 Condizione: pSHu < pest < pad1 ....................................................................................................20 Condizione: pad 2 < pext < pSHu ....................................................................................................21 Capitolo 3...........................................................................................................................................22 Transitorio in condotto generato da serbatoio (prog03) ................................................................22 Capitolo 4...........................................................................................................................................27 Interazioni tra urti (prog04 prog05 prog06)...................................................................................27 Interazione fra urti di famiglie opposte......................................................................................28 Interazione fra urti della stessa famiglia ....................................................................................32 Interazione fra urto e superficie di contatto ...............................................................................35 Capitolo 5...........................................................................................................................................39 Soluzione esatta del problema di Riemann (prog07) .....................................................................39 Quadrante Nord Est (N-E): Quadrante Sud Est (S-E): Quadrante Sud Ovest (S-W): e e e .......................................................................42 .........................................................................44 ....................................................................46

Quadrante Nord Ovest (N-W): e .................................................................48 Capitolo 6...........................................................................................................................................50 Urto incidente da condotto su fondo aperto (prog08) ....................................................................50 Flusso supersonico uscita subsonica : 1 < M I < 1.346 ...............................................................51 Flusso sonico nel condotto uscita subsonica: 1.346 < M I < 2.07 ............................................53 Flusso completamente supersonico: M I > 2.07 ........................................................................54 Capitolo 7...........................................................................................................................................55 Flusso supersonico 2D: tracciamento epicicloide (prog09)...........................................................55 Capitolo 8...........................................................................................................................................60 Flusso supersonico 2D: tracciamento polare durto (prog10)........................................................60 Capitolo 9...........................................................................................................................................67 Flusso supersonico 2D su rampa ed assialsimmetrico su cono (prog11).......................................67 2


Indice delle figureFigura 1. 1 Analisi di un flusso di Fanno con Prog01.for ...................................................................8 Figura 1. 2 Curva di Fanno..................................................................................................................9 Figura 1. 3 Curva di Rayleigh............................................................................................................11 Figura 1. 4 Sovrapposizione della curva di Fanno e di Rayleigh ......................................................13 Figura 2. 1 Grafici relativi alla pressione di adattamento superiore ..................................................17 Figura 2. 2 Grafici relativi alla pressione di adattamento inferiore ...................................................17 Figura 2. 3 Analisi di flusso in ugello convergente divergente con urto allinterno del condotto.....18 Figura 2. 4 Sezione trasversale dellugello convergente-divergente implementato in Prog02..........18 Figura 2. 5 Grafici relativi alla condizione pad1 < pest < pi0 ................................................................19 Figura 2. 6 Grafici relativi alla condizione pSHu < pest < pad1 .............................................................20 Figura 2. 7 Grafici relativi alla condizione pad2 < pest < pSHu .............................................................21 Figura 3. 1 Grafici della variazione della pressione, temperatura di ristagno e velocit allinterno del tubo con pest = 0.9...............................................................................................................................24 Figura 3. 2 Grafici della variazione della pressione, temperatura di ristagno e velocit allinterno del tubo con pest = 0.7...............................................................................................................................25 Figura 3. 3 Grafici della variazione della pressione, temperatura di ristagno e velocit allinterno del tubo con pest = 0.5...............................................................................................................................26 Figura 4. 1 Interazione di urto della prima con urto della terza famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 8 p2/p0 = 5 .......................................................................................................................................28 Figura 4. 2 Rappresentazione grafica dellinterazione tra onde di famiglie differenti nel piano x-t. 30 Figura 4. 3 Rappresentazione grafica dellinterazione tra onde di famiglie differenti simmetriche nel piano x-t. ............................................................................................................................................31 Figura 4. 4 Interazione di due urti della terza famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 5 p2/p0 = 3 ...32 Figura 4. 5 Interazione di due urti della stessa famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 10 p2/p0 = 834 Figura 4. 6 Interazione di un urto con una superficie di contatto, con intensit: p1/p0 = 6 T2/T0 = 4 35 Figura 4. 7 Interazione di un urto con una superficie di contatto e nascita del fascio di espansione con intensit: p1/p0 = 10 T2/T0 = 8 .....................................................................................................37 Figura 4. 8 Interazione di un urto con una superficie di contatto e nascita dellonda durto con intensit: p1/p0 = 8 T2/T0 = 0.5 ...........................................................................................................38 Figura 5. 1 Confronto delle configurazioni delle onde durto in un tubo durto ...............................40 Figura 5. 2 Configurazione delle onde nel caso e .................................................42 Figura 5. 3 Configurazione delle onde nel caso e .................................................43 Figura 5. 4 Configurazione delle onde nel caso e .................................................44 Figura 5. 5 Configurazione delle onde nel caso e .................................................45 Figura 5. 6 Configurazione delle onde nel caso e .................................................46 3


Figura 5. 7 Configurazione delle onde nel caso Figura 5. 8 Configurazione delle onde nel caso Figura 5. 9 Configurazione delle onde nel caso

e .................................................47 e ub < ua ..................................................48 e .................................................49

Figura 6. 1 Configurazione delle onde durto e delle regioni da esse generate nel piano x-t e con 1 < M I < 1.346 ..................................................................................................................................51 Figura 6. 2 Configurazione delle onde durto e delle regioni da esse generate nel piano x-t e con 1 < M I < 1.346 ..................................................................................................................................52 Figura 6. 3 Configurazione delle onde durto e delle regioni da esse generate nel piano x-t e con 1.346 < M I < 2.07 ............................................................................................................................53 Figura 6. 4 Configurazione delle onde durto e delle regioni da esse generate nel piano x-t e con M I > 2.07 ..........................................................................................................................................54 Figura 7. 1 Epicicloide ottenuto per 0 = 26.5 e M = 2......................................................................58 Figura 7. 2 Epicicloidi ottenuti variando langolo iniziale di inclinazione........................................59 Figura 8. 1 Strofoidi ottenuti variando il numero di mach a monte dellurto ....................................61 Figura 8. 2 Variazione dellinclinazione del flusso a valle dellurto in funzione del numero di Mach a valle, disegnate su 3 valori di Mach a monte ..................................................................................62 Figura 8. 3 Variazione dellinclinazione dellurto in funzione del numero di Mach a valle con 3 valori di Mach a monte (M=2, M=5, M=10) ....................................................................................62 Figura 8. 4 Variazione del rapporto delle pressioni a monte e a valle in funzione del numero di Mach e dellinclinazione del flusso ...................................................................................................63 Figura 8. 5 Strofoide nel quadrante positivo, relativo a M=2...........................................................64 Figura 8. 6 Variazione dellinclinazione del flusso attraverso lurto per M=2..................................64 Figura 8. 7 Variazione dellinclinazione dellurto per M=2 ..............................................................65 Figura 8. 8 Rapporto delle pressioni a monte ed a valle dellurto per M=2 ......................................65 Figura 9. 1 Flusso supersonico su rampa con mach infinito ed angolo limite...................................68 Figura 9. 2 Serie di prove realizzate al variare del Mach della corrente indisturbata e dellinclinazione del cono o della rampa ...........................................................................................69 Figura 9. 3 Deflessione della corrente al variare del Mach di ingresso .............................................70

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Indice delle tabelleTabella 4. 1 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde di famiglie differenti e velocit delle stesse...........................................................................................30 Tabella 4. 2 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde di famiglie differenti simmetriche..........................................................................................................31 Tabella 4. 3 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde della stessa famiglia. ...................................................................................................................................33 Tabella 4. 4 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onda durto e superficie di contatto. ...........................................................................................................37 Tabella 4. 5 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onda durto e superficie di contatto. ...........................................................................................................38 Tabella 5. 1 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni di input. ...............................................42 Tabella 5. 2 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni di input. ...............................................44 Tabella 5. 3 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni di input. ...............................................46 Tabella 5. 4 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni di input. ...............................................48 Tabella 6. 1 Parametri caratteristici del flusso nelle due regioni generate dalla riflessione dellonda sul fondo del condotto in condizioni 1 < M I < 1.346 (MI=1.1) .........................................................51 Tabella 6. 2 Parametri caratteristici del flusso nelle due regioni generate dalla riflessione dellonda sul fondo del condotto in condizioni 1.346 < M I < 2.07 (MI=1.5) ..................................................53 Tabella 6. 3 Parametri caratteristici del flusso nelle due regioni generate dalla riflessione dellonda sul fondo del condotto in condizioni M I > 2.07 ...............................................................................54 Tabella 9. 1 Serie di prove realizzate al variare del Mach della corrente indisturbata e dellinclinazione del cono o della rampa ...........................................................................................69

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Capitolo 1

Curve di Fanno e Rayleigh (prog01)Per prima cosa si riportano le equazioni di Eulero per un flusso quasi-1D, compressibile, diabatico e con attrito, perch partendo da queste ed apportando le ipotesi semplificative del caso possibile ottenere il sistema di equazioni che governa i flussi descritti nel corso dellesercitazione:

Curve di FannoLe ipotesi alla base di questo tipo di flussi sono: Condotto perfettamente 1D Flusso stazionario ( t = ut = St = 0 ) ; Processo adiabatico . ;

Perci le equazioni di Eulero diventano:


f rappresenta il coefficiente di attrito e caratterizza appunto la forza di attrito che si oppone allo scorrimento del fluido nel condotto. La presenza di questa forza ci che caratterizza questo tipo di flusso e ne genera le propriet. Infatti differenziando la seconda equazione di Eulero per il flusso di Fanno si ottiene che limpulso ( p + u 2 ) x diminuisce con x proprio a causa delle forze di attrito alla parete. Ora differenziando la prima e la terza equazione del sistema, elaborandole ed integrandole con altre equazioni relative alle variabili presenti al loro interno possibile giungere alla relazione che permette di tracciare le curve di Fanno nel piano T-S: [1]

Inoltre possibile ottenere unaltra relazione che lega la velocit del flusso con lentropia: [2] Il software, sviluppato in linguaggio FORTRAN e sfruttato per lesercitazione, permette di ottenere tutti i dati relativi al flusso di Fanno o di Rayleigh che lutente intende analizzare, nonch di rappresentare graficamente la curva caratteristica, le isobare e le isocore sul piano T-S, come si evince dalla figura 1 nella quale viene riportato il listato dellanalisi di un flusso di Fanno. Viene richiesto in input il tipo di flusso da analizzare (JC), il numero di Mach (AMACH0), la velocit subsonica minima (UMINSUB), il numero di step (NC) e la pressione di ristagno (P0). Di seguito il software restituisce tutti i dati relativi al flusso tra cui il numero di Mach, la velocit e limpulso o il termine di riscaldamento, mentre su file separati vengono memorizzati i dati necessari a tracciare le curve caratteristiche. I grafici descritti allinterno dellesercitazione sono stati realizzati in Matlab.

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Figura 1. 1 Analisi di un flusso di Fanno con Prog01.for

Tornando alle curve di Fanno, in figura 2 se ne riporta un esempio caratterizzato da : M0=2.5; umin=0.2; p0=1;

insieme alle rispettive isobare ed isocore.

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Figura 1. 2 Curva di Fanno

Poich si tratta di un processo adiabatico e la variazione di entropia deriva dalle forze di attrito, essa pu solo aumentare lungo il percorso del fluido e si possono distinguere quindi due casi: : dalla relazione [1] dalla relazione [2] quindi si genera una diminuzione della temperatura del flusso ed un aumento della sua velocit nel campo subsonico; : dalla relazione [1] dalla relazione [2] quindi un aumento della temperatura accompagnato da una diminuzione della velocit. Si osservi poi che nel caso di M=1 il flusso raggiunge il picco massimo di entropia che dalla relazione [1] sarebbe:

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Curve di RayleighLe ipotesi alla base di questo tipo di flussi sono: Condotto perfettamente 1D Flusso stazionario ( t = ut = St = 0 ) ; Assenza di attrito . ;


rappresenta il termine di riscaldamento che esprime la fornitura di calore al flusso durante il moto. Questo contributo influenza la compressibilit dello stesso con conseguente variazione della velocit, del numero di Mach e della pressione. Procedendo ora a differenziare le tre equazioni di Eulero si osserva dalla seconda che in questo caso:

( p + u )2

x

=0

cio limpulso per questo tipo di flussi nullo a differenza di Fanno e di conseguenza p+u2 costante. Sfruttando quindi le equazioni differenziate, rielaborandole ed integrandole con altre relazioni si giunge a quella che caratterizza il processo di Rayleigh sempre nel piano T-S: [1] Inoltre possibile ottenere unaltra relazione che lega la velocit del flusso con lentropia: [2] In figura 3 si riporta una esempio di curva di Rayleigh ottenuta con gli stessi dati iniziali sfruttati per ricavare quella di Fanno in figura 2. 10


Figura 1. 3 Curva di Rayleigh

Anche in questo caso il campo di moto si evolve verso entropia crescente ma il ramo subsonico presenta una inversione di segno nella pendenza, come si evince dalla figura. Perci si avranno tre differenti comportamenti del flusso riscaldato in funzione della sua velocit. In campo subsonico per:

dalla relazione [1] dalla relazione [2]

dT 1 > 0 M2 1< 0 M < dS

quindi nel caso di flusso lento e fino a M 0.845 fornendo calore si genera un aumento della temperatura, dellentropia e della velocit del flusso. Invece per:

dalla relazione [1] dalla relazione [2] cio per flusso subsonico veloce si genera una rapida diminuzione della temperatura ed un ulteriore aumento della velocit. 11


Nel caso di flusso supersonico invece non si avranno inversioni di pendenza e quindi per:

dalla relazione [1] dalla relazione [2] in sostanza si riscontra una crescita monotona della temperatura accompagnata da una decelerazione del flusso. Poi si deve far notare che per M=1 si giunge alla massima quantit di calore fornibile cosi come ad un picco di entropia che, come nel caso di Fanno, dalla relazione [1] sarebbe:

si tratta di un fenomeno di strozzamento generato dalla fornitura di calore. Infine si evidenzia differenziando la terza equazione di Eulero ed integrandola che:

Quindi considerando un tratto di curva in campo subsonico compreso tra a e b:

cio larea sottesa dal tratto di curva in questione rappresenta la quantit di calore fornita al flusso.

ConfrontoSi detto che il processo di Fanno adiabatico con dissipazione mentre quello di Rayleigh lesatto contrario, quindi sovrapponendo le due curve come evidenziato in figura 4, si ottengono due punti che sono alla stessa portata, allo stesso impulso ed alla stessa temperatura totale. In sostanza dalla sovrapposizione delle due curve ottenute partendo dagli stessi dati iniziali si ottengono le condizioni a monte ed a valle di un urto retto che rispetti le condizioni di RankineHugonot. Nellonda durto retta si ha un aumento di entropia. Landamento qualitativo pu essere tracciato come consigliato da [Golia Viviani in Fluidodinamica Compressibile] (cit. [] tracciando una ipotetica curva ad arte, media tra le curve di Fanno e Rayleigh. Questo un classico esercizio di integrazione delle NavierStokes unidimensionali complete tra lo stato a monte e quello a valle dellonda durto normale, che viene considerata non come una discontinuit ma come una regione continua sia pure di piccolo spessore (pochi cammini liberi molecolari). Nellintegrazione numerica si rivela che lentropia, nel passare tra monte e valle, aumenta, presenta un massimo e poi diminuisce, per raggiungere a valle un valore maggiore di quello di partenza. La spiegazione fisica ardua per un numerico ma agevole per un buon fluidodinamico. 12


Nellonda durto normale avvengono processi di conversione di energia (da cinetica ordinata a termica disordinata) per mezzo di processi irreversibili: Fenomeni di attrito e di dissipazione fanno diminuire lenergia cinetica e fanno aumentare quella termica (Fanno) e quindi lentropia; Fenomeni di scambio termico (Rayleigh) trasmettono energia tra gli strati interni dellonda durto (e quindi lentropia) ma badano a che globalmente londa durto retto non sia adiabatica. Ovviamente il processo deve far diminuire il Mach, in modo continuo, da supersonico a subsonico, si deve quindi passare attraverso una condizione sonica (M=1) in cui (stante G=costante) deve essere necessariamente ds = 0 ovvero s massima.).

Figura 1. 4 Sovrapposizione della curva di Fanno e di Rayleigh

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Capitolo 2

Flusso compressibile in ugello convergente divergente (prog02)Anche in questa esercitazione necessario riportare le equazioni di Eulero complete, che verranno semplificate grazie alle ipotesi iniziali proprie del flusso nellugello:

Poich si analizza un flusso quasi-1D stazionario, adiabatico e senza attrito le ipotesi iniziali saranno: Processo adiabatico ; Assenza di attrito ; Flusso stazionario ( t = ut = St = 0 ) .



Analizzando la prima di queste equazioni e riorganizzandola possibile ottenere:

che a sua volta permette di scrivere:

m = uA = const.

[1]

cio che la portata del condotto deve mantenersi costante. Invece dalla terza equazione possibile ricavare che si ha a che fare con un processo isoentropico poich:

Ora differenziando la seconda equazione ed integrandola nella prima anchessa differenziata possibile ottenere la relazione che lega la variazione di area del condotto con la variazione di pressione:

osservandola risulta chiaro che si possono avere due casi distinti e generati dal Mach del flusso: (flusso subsonico) conduce a cio la variazione di area e di pressione hanno lo

stesso segno, oppure (in campo supersonico), che comporta variazioni inversamente proporzionali. Invece nel caso di (flusso sonico), si avr che e , cio non si ha variazione di area a prescindere dalla variazione di pressione; questo fenomeno si riscontra nella gola di un ugello convergente-divergente. Poich lo scopo dellesercitazione descrivere questo tipo di flusso allinterno di un ugello, si immagini di averlo connesso ad unestremit ad un serbatoio in cui il fluido fermo si trovi alla temperatura e pressione di ristagno: Ti0 e pi0 ed abbia laltra estremit connessa con lambiente. Per quanto riguarda la portata di massa essa esprimibile in funzione dei valori di pressione e temperatura iniziali, infatti rielaborando lespressione [1] scritta in precedenza si ottiene:

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Inoltre sono note le relazioni che legano la temperatura e la pressione di ristagno alla temperatura ed alla pressione statica:

In condizione critica cio di sonicit, che si verifica in corrispondenza della gola dellugello convergente divergente, si otterr:

Ma poich la portata costante in ogni sezione del condotto sar possibile uguagliare quella critica con la portata in una sezione generica ottenendo la relazione:

[2] risolvendo iterativamente questa espressione possibile ottenere le soluzioni che permettono di valutare la temperatura e quindi la pressione del flusso in ogni punto allinterno dellugello conoscendo i dati in ingresso:

Procedura subsonica nel convergente Procedura supersonica nel divergente

Queste espressioni, se valutate nella sezione di uscita del condotto, conducono a due valori del rapporto di temperatura molto importanti che a loro volta conducono ad i rispettivi valori dei rapporti di pressione che in funzione della pressione di ristagno definiscono rispettivamente la pressione di adattamento superiore pad1 e la pressione di adattamento inferiore pad2, descritte dai diagrammi riportati in figure 1 e 2 insieme al Mach corrispondente.

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Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3 A (coordinata darea)

Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3

1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

A (coordinata darea)

2

2 1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Pressione Ugello Convergente Divergente 1 0.9 0.8 0.7p pressionep pressione

Pressione Ugello Convergente Divergente 1 0.9

pad sup

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

pad inf

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 X

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Mach Ugello Convergente Divergente 2.22.2 Mach Ugello Convergente Divergente pad inf < pest < pSH u

22

1.81.8

1.61.6

pad inf

1.4M mach1.4

1.2 1 0.8

M mach

1.2 1 0.8

0.6 0.4

pad sup

0.6 0.4

0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 X

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 X

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 2. 1 Grafici relativi alla pressione di adattamento superiore

Figura 2. 2 Grafici relativi alla pressione di adattamento inferiore

Il software utilizzato per lesercitazione stato anchesso realizzato in FORTRAN e permette di calcolare i parametri del flusso in un ugello convergente-divergente assegnato, al variare della pressione esterna e di realizzare grafici di questultima e del numero di Mach. Poich come verr descritto in seguito si possono avere tre differenti condizioni di flusso allinterno del condotto, il programma principale si accompagna a tre subroutine che implementano ognuna di queste condizioni e restituiscono al programma principale i valori necessari al completamento dei dati. Chiaramente la pressione esterna impostata in input dallutente che stabilisce il tipo di flusso allinterno dellugello ed a partire da questa il programma restituisce in output: la pressione di adattamento superiore ed inferiore, la posizione e larea di gola e nel caso di urto nel condotto anche i valori di pressione e Mach a monte e a valle di questo, insieme ad altri parametri del flusso. Anche in questo caso i grafici riportati nellesercitazione sono stati realizzati implementando in Matlab i dati memorizzati automaticamente su file dal Prog02. Si riporta in figura 3 un esempio di analisi di flusso con onda durto nel condotto.

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Figura 2. 3 Analisi di flusso in ugello convergente divergente con urto allinterno del condotto.

Si pu procedere ora ad analizzare caso per caso il comportamento del flusso allinterno dellugello al variare della pressione esterna, con lausilio dei grafici ottenuti con Prog02. Per prima cosa si riporta in figura 4 la sezione dellugello in questione.Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3


2 1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 2. 4 Sezione trasversale dellugello convergente-divergente implementato in Prog02

Si immagini di poter modificare la pressione esterna pest e di analizzare la condizione del flusso allinterno dellugello. Si possono avere diversi casi:

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Condizione: p

< pest < pi0 Il flusso allinterno dellugello completamente subsonico e le variazioni di pressione sono curve tutte prossime alla retta della pressione di ristagno. La condizione limite si raggiungono quando pest = pad1, in questo caso si ottiene per la prima volta flusso sonico in gola anche se nel divergente il numero di Mach torna subsonico. In figura 5 vengono presentati i grafici relativi a questa condizione.ad1Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3


2 1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Pressione Ugello Convergente Divergente 1 0.9 0.8 0.7

p pressione

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 pad sup < pest < p0 i 0.7 0.8 0.9 1

Mach Ugello Convergente Divergente 2.2 pad sup < pest < 2 1.8 1.6 1.4 p0 i

M mach

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 2. 5 Grafici relativi alla condizione pad1 < pest < pi0

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Condizione: p

SHu

< pest < pad1

Questo il caso pi particolare in cui si ha la formazione di unonda durto retta allinterno del condotto. Questonda si sposta dalla uscita del divergente per rientrare allinterno del condotto al crescere della pressione esterna. Si posiziona proprio sulluscita dellugello per pest = pSHu. Per determinare la posizione dellurto nel condotto, nota la pressione duscita, sar necessario un processo iterativo che inizia assegnando arbitrariamente una posizione allonda ed prosegue iterando fino a convergenza i dati ottenuti. In figura 6 si riportano i grafici relativi a questa condizione. In questo caso la pressione totale non si conserva prima e dopo lurto si ha una discontinuit (indicata in verde).Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3


2 1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Pressione Ugello Convergente Divergente 1 0.9 0.8 0.7p pressione

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 pSH u < pest < pad sup 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1 pest

Mach Ugello Convergente Divergente 2.2 2 1.8 1.6 1.4 pSH u < pest < pad sup

M mach

pest 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 2. 6 Grafici relativi alla condizione pSHu < pest < pad1

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Condizione: p

< pext < pSHu Dopo che londa durto ha raggiunto luscita del condotto, al diminuire della pressione essa diventa unonda obliqua esterna al condotto con pendenza sempre minore e di conseguenza intensit decrescente fino a diventare evanescente per pest = pad2. Si riportano in figura 7 i grafici relativi alla condizione su esposta.ad 2Geometria Ugello Convergente Divergente 5 4 3


2 1 0 !1 !2 Xgola !3 !4 !5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Pressione Ugello Convergente Divergente 1 0.9 0.8 0.7

p pressione

0.6 0.5 0.4 0.3 pad inf 0.2 0.1 pad inf < pest < pSH u 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mach Ugello Convergente Divergente 2.2 2 1.8 1.6 1.4 pad inf < pest < pSH u

pad inf

M mach

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 2. 7 Grafici relativi alla condizione pad2 < pest < pSHu

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Capitolo 3

Transitorio in condotto generato da serbatoio (prog03)Si immagini di avere un tubo connesso da un lato ad un serbatoio e chiuso dallaltro da una membrana. Il serbatoio conterr un gas ad alta pressione di cui si conoscono: pi0, Ti0 ed Si0. Ad un determinato istante t0 si immagini di rompere la membrana e di cominciare lo svuotamento del serbatoio nellambiente che alla pressione pest < pi0. Lo scopo dellesercitazione descrivere il transitorio che si riscontra allinterno del tubo finch il gas non raggiunge la condizione di quasistazionariet. Ipotizzando che il flusso sia subsonico allimbocco del tubo, allistante t0, in cui la membrana si rompe, si avranno due regioni adiacenti in cui il gas avr caratteristiche differenti e da questo si generer unonda che tender a riequilibrare i parametri del fluido. Chiaramente lunico tipo di onde in grado di risalire il condotto sono quelle della famiglia 1 perci alla rottura della membrana nascer unonda della prima famiglia che risalir il tubo riportando la pressione del gas al suo interno al valore duscita. Per giungendo in prossimit del serbatoio si avranno nuovamente due regioni con caratteristiche differenti ed in particolare si avranno due regioni a temperatura differente, per cui nascer una seconda onda riflessa, questa volta della famiglia 3 che riporter la temperatura nel tubo al valore interno al serbatoio. Questonda per modificher nuovamente la pressione del gas provocando la nascita di unaltra onda della prima famiglia. Il processo si ripeter finch le condizioni del flusso allinterno del fluido non saranno omogenee e si giunger quindi ad una condizione di quasi-stazionariet. Si deve evidenziare che conoscendo le condizioni del gas nel serbatoio sar possibile determinare quelle nella regione 0 spazzata dallonda 1. In particolare in questa regione si avr:

che espresse in funzione della velocit del fluido e di quella del suono in ingresso, rispettivamente u0 ed a0 restituisce lespressione:


2 2 2 2 a0 + u0 = ai0 1 1

( )

2

Poich si considera nota lintensit dellonda della prima famiglia D10R1, si potranno determinare i parametri nella regione 1 che gi stata attraversata dallonda:

Come si anticipato la regione 1 per non rispetta le condizioni al contorno che prevedono la costanza della temperatura perci si genera unaltra onda riflessa della famiglia 3 che ripercorre nuovamente il tubo generando una nuova regione 2 in cui rispettata la condizione al contorno imposta e di conseguenza:

2 2 2 2 a2 + u2 = ai0 1 1

( )

2

integrando questespressione con quella relativa alla conservazione del segnale R1 cio:

( R1 )2 = ( R1 )1 = ( R1 )0 + D10 R1si ottengono i parametri della regione 2:

Anche il programma utilizzato per analizzare il transitorio nel condotto stato realizzato in FORTRAN, mentre i grafici riportati nellesercitazione sono stati realizzati in Matlab. Per il Prog03 lunico valore di input la pressione esterna, mentre i valori di output sono il tempo, la temperatura di ristagno, la velocit del fluido e la sua pressione allinterno del condotto, oltre che la velocit asintotica. Questi stessi parametri vengono copiati allinterno di tre file e sono stati utilizzati per realizzare i grafici. Si riportano in figura 1, 2 e 3 i grafici relativi a tre transitori realizzati variando la pressione duscita. Si osserva che le regioni pari rispettano le condizioni dingresso, mentre quelle dispari rispettano le condizioni di uscita e che al diminuire della pressione esterna si anticipa la convergenza dei risultati.

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Figura 3. 1 Grafici della variazione della pressione, temperatura di ristagno e velocit allinterno del tubo con pest = 0.9

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25



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Capitolo 4

Interazioni tra urti (prog04 prog05 prog06)Prima di affrontare il tema di questesercitazione si ritiene necessario introdurre alcune caratteristiche degli urti nei flussi compressibili, al fine di rendere pi agevole lo sviluppo dellesercitazione stessa. Considerando un gas che scorre in un condotto ed assegnando positivi gli spostamenti da sinistra verso destra, si potranno avere tre possibili condizioni cinetiche,: u>0; u=0; u 0), pressione inferiore rispetto alla regione destra e flusso supersonico. Urti della famiglia 3, caratterizzati nella regione di sinistra da: velocit del flusso negativa (uL < 0), pressione superiore rispetto alla regione destra e flusso subsonico. Superfici di contatto, caratterizzate dalla stessa velocit e pressione nelle due regioni e presenza solo di una variazione di entropia.

Inoltre si potranno introdurre le relazioni di Rankine-Hugoniot che permettono di associare le caratteristiche del flusso a sinistra con quelle a destra della discontinuit, in caso di urti della I e III famiglia, in funzione del numero di Mach del flusso nella regione sinistra:


Ora si pu passare a descrivere le interazioni tra onde durto.

Interazione fra urti di famiglie opposteSono assegnati due urti: uno della III e laltro della I famiglia, che si incontrano nel condotto generando un altro urto della famiglia 3, uno della famiglia 1 ed una superficie di contatto. In figura 1 viene presentato un esempio di interazione tra onde durto di famiglie differenti.

Interazione urti di famiglie opposte: p1/p0=8 p2/p0=5 3 Onda I Onda II Onda III Onda IV Sup. Contatto Regione 3 1.5 Regione 1 1 Regione 2 Regione 4

2.5

2

t

0.5 Regione 0 0 !1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 4. 1 Interazione di urto della prima con urto della terza famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 8 p2/p0 = 5

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Come si evince dallimmagine le due onde si incontrano nel condotto ad un dato istante ed al loro passaggio la regione 0 si trasforma nelle regioni: 1 e 2. A partire da questo punto nascono le alte due onde rispettivamente della prima e terza famiglia, che a loro volta generano le regioni 3 e 4, separate da una superficie di contatto. Il Prog04 un programma realizzato in FORTRAN che permette di determinare le caratteristiche del flusso nelle varie regioni generate dallinterazione tra gli urti. Anche in questo caso si scelto di tradurre il programma in linguaggio Matlab in modo tale da permettere una pi intuitiva gestione delle variabili e rappresentare graficamente i risultati. La regione 0 impostata per default con i valori:

Mentre in input vengono assegnate le intensit degli urti I e II attraverso i salti di pressione:

Attraverso questi rapporti e sfruttando le relazioni di Rankine-Hugoniot il software restituisce i valori di pressione, velocit del flusso, densit, entropia e velocit dellonda, nelle regioni 1 e 2. A questo punto si dovranno determinare i gli stessi parametri anche nelle regioni 3 e 4, ma si evince dalla figura che queste regioni sono separate da una superficie di contatto, quindi hanno la stessa pressione e velocit del flusso, ma entropie differenti. Quindi per procedere con lanalisi del campo di moto il Prog04 assegna un valore iniziale alla pressione p3=p4 con cui determina la velocit u3=u4 tramite le relazioni di Rankine-Hugoniot, e se questuguaglianza non rispettata compie unaltra iterazione fino ad ottenere il risultato richiesto. Cos vengono determinati anche i valori di pressione, densit, velocit del flusso ed entropia delle regioni 3 e 4. In figura 2 e nella tabella 1 vengono riportati questi parametri ed una rappresentazione grafica dellinterazione tra onde con salti di pressione pari a:

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Regione p 0 1 2 3 4 Discontinuit Velocit

1 12 5 35.4438 35.4438 1 3.8209 1 4.0555 2.8181 8.4800 9.3731 2 -2.4899

u 0 2.8788 -1.6064 1.1421 1.1421 3 2.3238

S 0 0.5247 0.1589 0.5751 0.4349 CS 1.1421

4 -0.4497

Tabella 4. 1 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde di famiglie differenti e velocit delle stesse.

Interazione urti di famiglie opposte: p1/p0=12 p2/p0=5 3 Onda I Onda II Onda III Onda IV Sup. Contatto Regione 3 1.5 Regione 1 Regione 2 1

2.5

2

t

Regione 4

0.5 Regione 0 0 !1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 4. 2 Rappresentazione grafica dellinterazione tra onde di famiglie differenti nel piano x-t.

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Infine si deve aggiungere che lunico caso in cui le regioni 3 e 4 avranno anche la stessa entropia, per cui la superficie di contatto non sar pi utile, sar per la presenza di urti simmetrici cio tali da avere la stessa intensit. Perci in figura 3 e tabella 2 vengono riportati i parametri e la rappresentazione grafica dellinterazione tra onde simmetriche aventi:

Regione p 0 1 2 3 4 Discontinuit Velocit

1 12 12 63.3334 63.3334 1 3.8209 1 4.0555 4.0555 11.7471 11.7471 2 -3.8209

u 0 2.8788 -2.8788 -3.57e-6 3.57e-6 3 1.5179

S 0 0.5247 0.5247 0.6993 0.6993 CS 0

4 -1.5179

Tabella 4. 2 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde di famiglie differenti simmetriche.

Interazione urti di famiglie opposte: p1/p0=12 p2/p0=12 3 Onda I Onda II Onda III Onda IV Sup. Contatto

2.5

2 Regione 3 1.5 Regione 1 1 Regione 2 Regione 4

t

0.5 Regione 0 0 !1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4. 3 Rappresentazione grafica dellinterazione tra onde di famiglie differenti simmetriche nel piano x-t.

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Interazione fra urti della stessa famigliaIn questo caso verranno assegnati due urti della III famiglia, che si incontreranno nel condotto generando un altro urto della famiglia 3, un fascio di espansione ed una superficie di contatto. In figura 4 viene presentato un esempio di interazione tra onde durto della stessa famiglia.

Figura 4. 4 Interazione di due urti della terza famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 5 p2/p0 = 3

Come si evince dallimmagine le due onde, partendo a differenti istanti di tempo, percorrono il condotto incontrandosi poich il secondo urto pi veloce del primo e trasformando la regione 0 nelle regioni: 1 e 2. A partire da questo punto nascer un altro urto della III famiglia di intensit maggiore, che dar luogo alla regione 4, ma anche un fascio di espansione che generer la regione 3, separate anche in questo caso da una superficie di contatto. Anche il Prog05 un programma realizzato in FORTRAN che svolge le stesse funzioni del precedente nel caso di interazione di urti della stessa famiglia, anche in questo caso si provveduto alla traduzione del codice di calcolo in Matlab, al fine di ottenere dati pi semplici da manipolare. La regione 0 impostata per default con i valori:

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In input vengono assegnate le intensit degli urti I e II attraverso i salti di pressione:

Come nel caso precedente, attraverso i rapporti delle pressioni a monte ed a valle degli urti e grazie alle relazioni di Rankine-Hugoniot il software restituisce i valori di pressione, velocit del flusso, densit, entropia e velocit dellonda, nelle regioni 1 e 2. Per determinare gli stessi parametri nelle regioni 3 e 4 invece necessario utilizzare delle espressioni differenti da quelle utilizzate in precedenza. Anche in questo caso queste regioni sono separate da una superficie di contatto, quindi hanno la stessa pressione e velocit del flusso, ma differenti entropie. Verr ancora assegnato un valore iniziale alla pressione p3=p4 con cui determina la velocit u3=u4 e si dar luogo ad un procedimento iterativo che porti ad ottenere i valori desiderati, ma se nella regione 4 sar ancora possibile servirsi delle relazioni di Rankine-Hugoniot, nella 3, generata da un fascio di espansione, si dovranno sfruttare gli invarianti di Riemann per ottenere i valori di pressione, densit, velocit del flusso ed entropia. In figura 5 e tabella 3 vengono riportati questi parametri ed una rappresentazione grafica dellinterazione tra onde con salti di pressione pari a:

Regione 0 1 2 3 4 Discontinuit Velocit

p 1 10 80 58.2737 58.2737 1 3.4928

1 3.8125 13.3437 10.6409 5.4554 3 8.3742

u 0 2.5766 6.1981 6.8392 6.8392

S 0 0.4289 0.7545 0.7545 1.1689

2 7.6466

CS Caratt. 2 Caratt. 3 6.8392 3.3009 4.0703

Tabella 4. 3 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onde della stessa famiglia.

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Interazione urti della stessa famiglia: p1/p0=10 p2/p1=8 1.4 Onda I Onda II Onda III Sup. Contatto Fascio Espansione Regione 3 Regione 2 1.1 Regione 4 1

1.3

1.2

t0.9 Regione 1 0.8 Regione 0 0.7 !1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4. 5 Interazione di due urti della stessa famiglia, con salti di pressione: p1/p0 = 10 p2/p0 = 8

Considerando due particelle allinterno del condotto: una che giunge alle caratteristiche della regione 3 attraverso le due onde della terza famiglia ed il fascio despansione e laltra che giunge alle caratteristiche della regione 4 attraverso la sola onda durto III, si nota dai valori riportati in tabella come, allaumentare del numero di onde necessarie a modificare le caratteristiche di queste particelle, si riduca la dissipazione per cui .

34


Interazione fra urto e superficie di contattoSi assegna un urto della famiglia 3, ma la trattazione sarebbe identica se si avesse a che fare con un urto della famiglia 1 ed una superficie di contatto. Dalla loro interazione nasce unaltra onda della famiglia 3, unaltra superficie di contatto ed unonda che potr essere sia un urto che un fascio di espansione, come si chiarir in seguito. In figura 6 viene presentato un esempio di interazione tra onda durto e superficie di contatto.

Interazione urti con superfici di contatto: p1/p0=6 T2/T0=4 2 1.8 1.6 1.4 1.2 Regione 1 1 0.8 Regione 0 0.6 0.4 0.2 0 !1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Regione 2 Onda I Sup. contatto 2 Caratt. 1 Caratt. 3 Onda III Sup. contatto 5

Regione 3 Regione 4

Figura 4. 6 Interazione di un urto con una superficie di contatto, con intensit: p1/p0 = 6 T2/T0 = 4

Il Prog06 molto simile ad i precedenti ed anche in esso la regione 0 impostata per default con i valori:

t

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Poich in questo caso si dovr assegnare lintensit di un urto e di una superficie di contatto, per il primo verr richiesto in input ancora il salto di pressione, mentre per il secondo verr richiesto il salto di temperatura:

Osservando limmagine e considerando i parametri della regione 0 si comprende che londa durto percorrer un tratto di condotto trasformando questa regione in 1 e si incontrer con la superficie di contatto che sar ferma in un punto, dividendo la regione 0 dalla 2. In questo punto nascer un altro urto della III famiglia, che dar luogo alla regione 4, ma anche una superficie di contatto che separer la regione 4 dalla 3. Inoltre si evince la presenza dell onda IV che trasformer la regione 1 in 3. Tramite il salto di pressione e grazie alle relazioni di Rankine-Hugoniot il software restituisce gli stessi parametri dei casi precedenti nella regione 1. Invece sfrutta delle relazioni termodinamiche per determinare lentropia, la temperatura, la velocit del suono e la densit nella regione 2 dove la velocit del flusso e la pressione restano invariate. A questo punto possibile chiarire cosa distingue la natura della quarta onda: il salto di temperatura attraverso la superficie di contatto. Infatti se londa riflessa un fascio di espansione perch la terza onda provoca una compressione inferiore rispetto alla prima. Mentre se la quarta onda un urto della prima famiglia, perch la terza onda provoca una compressione superiore alla prima. Perci il programma deve valutare questo fattore prima di terminare lanalisi. Se ci si trova nel primo caso si segue la procedura utilizzata per linterazione di due urti della stessa famiglia:si assegna un valore iniziale alla pressione p3=p4 con cui determina la velocit u3=u4 e si avvia ad un procedimento iterativo che porta a determinare i parametri delle regioni 3 e 4, nella prima tramite le relazioni di Rankine-Hugoniot, nella 3 tramite gli invarianti di Riemann. In figura 7 e tabella 4 vengono riportati questi parametri ed una rappresentazione grafica dellinterazione tra onde con salti di pressione e di temperatura pari a:

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Regione 0 1 2 3 4 Discontinuit Velocit

p 1 8 1 3.7948 3.7948 1 3.1304 CS2

1 3.5 0.1666 2.0545 0.4044 0 3 5.3407

u 0 2.2360 0 3.1399 3.1399

S 0 0.3255 2.5084 0.3255 2.6009

CS Caratt. 1 Caratt. 3 3.1399 0.4472 1.5318

Tabella 4. 4 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onda durto e superficie di contatto.

Interazione urti con superfici di contatto: p1/p0=10 T2/T0=8 2 1.8 1.6 1.4 1.2 Regione 1 1 0.8 0.6 Regione 0 0.4 0.2 0 !1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Regione 2 Regione 4 Onda I Sup. contatto 2 Caratt. 1 Caratt. 3 Onda III Sup. contatto 5

Regione 3

Figura 4. 7 Interazione di un urto con una superficie di contatto e nascita del fascio di espansione con intensit: p1/p0 = 10 T2/T0 = 8

Se invece si nelle condizioni in cui il rapporto delle temperature minore di uno, si segue la procedura per linterazione di urti di famiglie opposte, cio si assegna anche in questo caso un valore iniziale alla pressione p3=p4 con cui determina la velocit u3=u4 e si avvia ad un procedimento iterativo che porta a determinare i parametri delle regioni 3 e 4 attraverso le relazioni di Rankine-Hugoniot. In figura 8 e tabella 5 si riportano i parametri del flusso in tutte le regioni e le velocit degli urti, nonch il grafico nel piano x-t della configurazione in condizioni:

t

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Regione 0 1 2 3 4

p 1 8 1 10.5163 10.5163 1 3.1304

1 3.5 2 4.2525 7.7617 CS2 0

u 0 2.2360 0 1.8793 1.8793 3 2.531 CS5 1.8793

S 0 0.3255 -0.9704 0.3264 -0.5159 4 0.2204

Discontinuit Velocit

Tabella 4. 5 Parametri caratteristici del flusso nelle regioni determinate dalliterazione tra onda durto e superficie di contatto.

Interazione urti con superfici di contatto: p1/p0=8 T2/T0=0.5 2 1.8 1.6 1.4 1.2 Regione 1 1 0.8 Regione 2 0.6 Regione 0 0.4 0.2 0 !1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Onda I Sup. contatto 2 Onda III Onda IV Sup. contatto 5

Regione 3

Regione 4

Figura 4. 8 Interazione di un urto con una superficie di contatto e nascita dellonda durto con intensit: p1/p0 = 8 T2/T0 = 0.5

t

38

Capitolo 5

Soluzione esatta del problema di Riemann (prog07)Il problema di Riemann riguarda levoluzione nel tempo di una discontinuit allinterno di un condotto. Per investigare fisicamente questo fenomeno si sfrutta un particolare condotto detto tubo durto, costituito da due pezzi uno pi massiccio e laltro pi sottile e lungo tenuti insieme da un collare. Nella primo pezzo si trova un gas ad altissima pressione, mentre nel secondo si trova un gas a bassa pressione se non il vuoto, per ottenere risultati migliori talvolta si utilizzano gas differenti nelle due parti. Queste sono separate da una membrana realizzata generalmente in plastica , ma che per pressioni molto elevate pu anche essere realizzata in acciaio, la membrana presenta una traccia che permette la divisione in quattro parti, se sollecitata da una crociera interna. Lesperimento inizia con la rottura della membrana e la nascita di discontinuit allinterno del condotto la cui evoluzione studiata attraverso un foro posto sul fondo del tubo. Se il tubo durto permette di investigare fisicamente levoluzione del flusso nelle condizioni su esposte, dal punto di vista analitico la soluzione esatta del problema di Riemann comincia con lassegnazione dei parametri caratteristici sui due lati, sinistro (a) e destro (b), della discontinuit (che nel tubo era la membrana, mentre ora intesa come differenza di pressione, densit e velocit), ed evolve con il collasso della discontinuit stessa e la nascita di tre onde durto che generano altre due regioni c e d . La soluzione del problema sar data quindi dai parametri del flusso nelle regioni generate dalle onde durto. In figura 1 si riporta un esempio di configurazione delle onde nel piano x-t. Al fine di investigare pi a fondo il fenomeno ci si appoggiati oltre che al programma prog07 scritto in Fortran (e tradotto poi in Matlab), ad un codice di calcolo sviluppato presso il Wisconsin Shock Tube Laboratory. Tale codice consta in 3 files, il primo il programma di calcolo vero e proprio, che sfrutta un Metodo ai volumi finiti di secondo ordine (Muscl-Hancock-Method ) con un risolutore esatto del problema di Riemann. Vi poi un file per stampare il grafico in Matlab ed infine un terzo che permette di gestire i dati di ingresso. Ai fini di questa esercitazione non era necessaria la presenza di tre gas nella camera (opzione prevista dal programma), per questo motivo si scelto di attribuire al terzo gas caratteristiche simili a quello vicino, inoltre si scelto di confinarlo in una zona distante dal diaframma di interfaccia, supponendo quindi che la distanza e la somiglianza tra i due gas comportasse una variazione minima nella soluzione. Nei grafici


sottoproposti si notano la geometria tipica della prova ed analogie e differenze tra il solutore e il programma sviluppato in Fortran. interessante notare come sia possibile distinguere nel caso del solutore anche le onde riflesse al contorno del tubo sia quelle di espansione che la Onda III di compressione. Essa poco prima di incozzare contro la parete di destra subisce una leggera deviazione proprio a causa del terzo gas; appare chiaro per che tale deviazione minima e comunque subito bilanciata. Unultima nota riguardo al programma con solutore ai volumi finiti: le linee tratteggiate in azzurro sulla destra sono rappresentative delle finestre di osservazione sul tubo reale, ai fini della nostra esercitazione tali indicazioni sono prive di importanza.45678('7497!:87;!

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