1. Fluidos O desejo do homem por conhecimentos sobre fluidos comeou com seus problemas em navegao, irrigao, abastecimento de gua entre outros. A definio do estado fluido pode ser feita levando-se em conta a ao de diversos tipos de tenso. Os fluidos possuem propriedades elsticas somente sob compresso ou tenso direta.A aplicao de uma tenso de cisalhamento infinitesimal em um fluido resulta em uma deformao contnua e permanente. A habilidade do fluido em mudar sua forma ou fluir ocorre devido a caracterstica dos fluidos no resistirem a tenso de cisalhamento.Quanto deformao, os fluidos podem ser classificados em: Reversveis ou elsticos: so sistemas que no escoam; sua deformao reversvel e o sistema obedece Lei de Hooke. Irreversveis ou viscosos: so sistemas que escoam; sua deformao irreversvel e o sistema obedece Lei de Newton, de viscosidade constante.Tambm podem ser classificados quanto relao entre a taxa de deformao e a tenso de cisalhamento: Fluidos Newtonianos: sua viscosidade constante, seguem a Lei de Newton. Esta classe abrange todos os gases e lquidos no polimricos e homogneos. Fluidos no-Newtonianos: a relao entre a taxa de deformao e a tenso de cisalhamento no constante.

ALei de Newton da Viscosidadediz que a relao entre a tenso de cisalhamento e o gradiente local de velocidade definida atravs de uma relao linear, sendo a constante de proporcionalidade, a viscosidade do fluido. Assim, todos os fluidos que seguem este comportamento so denominadosfluidos newtonianos.

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Onde: xy a tenso de cisalhamentodvx/dy o gradiente de velocidade ou taxa de cisalhamento a viscosidade

Os fluidos no-Newtonianos no obedecem esta relao de proporcionalidade. Seu comportamento reolgico em estado estacionrio pode ser representado pela forma geral:

2. Fluidos No-NewtonianosQuando o fluido no obedece a Lei da Viscosidade de Newton, a viscosidade () denominada viscosidade aparente (a). Para fluidos no-Newtonianos a viscosidade aparente pode ser calculada a uma dada taxa de deformao, podendo usar a expresso:

onde: a = viscosidade aparente, Pa.s, pascal.segundo (Kg/ms). = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);= taxa de deformao (msm = (1/s));

Os fluidos no-Newtonianos so divididos de acordo com seu escoamento em trs grupos: Fluidos independentes do tempo: a viscosidade aparente independe da durao da deformao; Fluidos dependentes do tempo: a viscosidade aparente varia com o tempo da deformao, mas no apresenta um comportamento elstico; Viscoelsticos: o fluido exibe algumas caractersticas de lquidos viscosos e slidos elsticos.

2.1. Fluidos no-Newtonianos independentes do tempo2.1.1. Fluidos no-Newtonianos pseudoplsticosPara esses fluidos, o comportamento de fluxo varia com a taxa de deformao e a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformao. Isto ocorre, pois vrios lquidos que aparentam ser homogneos na verdade so compostos por diversas partculas que quando em repouso, mantm uma ordem interna irregular que lhes fornece a caracterstica de uma alta viscosidade. Com o aumento da tenso de cisalhamento, essas partculas podem se orientar, se estirar ou se deformar na direo do fluxo ou ainda, induzir a quebra de agregados o que faz com que esse lquido escoe mais facilmente.

Curva de fluxo e viscosidade de um fluido no-Newtoniano pseudoplstico.Fonte: SCHRAMM (2006).A maioria dos lquidos pseudoplsticos retorna a sua estrutura inicial quando a tenso de cisalhamento reduzida ou interrompida.Para SCHRAMM (2006) o comportamento de fluxo pseudoplstico no uniforme ao longo das faixas de cisalhamentos. Com uma baixa taxa de deformao, o movimento Browniano das molculas mantm as partculas ou molculas dispersas aleatoriamente apresentando uma viscosidade inicial (0) independente da faixa de cisalhamento. Quando a taxa de deformao aumenta a ponto de exceder o efeito aleatrio do movimento browniano, a viscosidade cai significativamente at que, para altas taxas de cisalhamento, a viscosidade se aproxima a um valor constante 1.Como exemplos na engenharia civil tm-se o exemplo de tintas que apresentam pseudoplasticidade.

2.1.2. Fluidos no-Newtonianos pseudoplsticos com tenso inicialAlguns fluidos pseudoplsticos requerem uma tenso inicial, denominada de tenso limite de escoamento, para que comece a escoar. Aps iniciado o escoamento o fluido se comporta como pseudoplstico.

Curva de fluxo e de viscosidade de um fluido no-Newtoniano pseudoplstico com tenso inicial.Fonte: SCHRAMM (2006).Como exemplo tem-se: Massas de modelagem e disperses de algumas argilas (disperses plsticas).

2.1.3. Fluidos no-Newtonianos Plstico de BinghamAlguns fluidos tm a caracterstica de apresentar uma relao linear para a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao. Porm necessria uma tenso de escoamento (0) inicial para provocar o incio do fluxo.

Curva de fluxo de um fluido no-Newtoniano plstico de bingham.Fonte: SCHRAMM (2006).Como exemplos tm-se: pastas dentifrcias, pasta de tomate, graxas.

2.1.4. Fluidos no-Newtonianos dilatantesDe acordo com RAO (1975), nos fluidos dilatantes, a viscosidade aparente aumenta com o aumento da taxa de deformao. O comportamento de fluxo dilatante raro em lquidos, porm, ocorre em partculas slidas como em emulses de PVC com plastificantes para formar o plastissol, em alguns tipos de mel, em soluo a 40% de goma de milho crua.

Curva de fluxo e curva de viscosidade de fluidos no-Newtonianos Dilatantes.Fonte: SCHRAMM (2006).

2.1.5. Fluidos no-Newtonianos dilatantes com tenso inicialAlguns fluidos dilatantes requerem uma tenso inicial, denominada de tenso limite de escoamento, para que o fluido comece a escoar. Aps iniciado o escoamento o fluido se comporta como dilatante. (STEFFE,1992)

Curva de fluxo e curva de viscosidade de fluidos no-Newtonianos dilatantes com tenso inicial.Fonte: SCHRAMM (2006).

2.2. Fluidos no-Newtonianos dependentes do tempo2.2.1. Fluidos no-Newtonianos tixotrpicosUm fluido tixotrpico apresenta um comportamento similar ao pseudoplstico onde a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformao, porm a diminuio da viscosidade aparente no est relacionada exclusivamente com a taxa de deformao, mas sim com o tempo. Mantendo constante a taxa de deformao, a viscosidade aparente diminui com o passar do tempo (MULLER, 1973).O reograma de fluxo para o fluido tixotrpico obtido aumentando a taxa de deformao com valores definidos at um valor mximo e voltando s taxas de deformaes iniciais, indicada pela figura abaixo. Assim possvel observar que a curva superior no se sobrepe inferior.

Curva de fluxo e curva de viscosidade de fluidos no-Newtonianos tixotrpicos.Fonte: MULLER (1973).Tm-se como exemplo na engenharia civil tem-se as tintas. Essa caracterstica estende-se tambm para os xaropes, sucos de maa com polpa, margarinas.

2.2.2. Fluidos no-Newtonianos reopticosUm fluido reoptico tem por caracterstica o aumento da viscosidade aparente com o aumento da taxa de deformao, porm esse aumento no est relacionado exclusivamente com a taxa de deformao, mas sim com o tempo, pois mantendo constante a taxa de deformao, a viscosidade aparente aumenta com o passar do tempo (MULLER, 1973).

Curva de fluxo e curva de viscosidade de fluidos no-Newtonianos reopticos.Fonte: MULLER (1973).Podem-se citar como exemplos de fluidos reopticos as suspenses de amido e de bentonita, alm de alguns tipos de sis. No entanto, esse tipo de comportamento no muito comum em alimentos.2.2.3. Fluidos no-Newtonianos viscoelsticosExistem fluidos que exibem caractersticas de slidos. So os chamados viscoelsticos. Os fluidos viscoelsticos so substncias que apresentam propriedades viscosas e elsticas acopladas. Quando cessa a tenso de cisalhamento ocorre certa recuperao da deformao. Exemplo: massas de farinha de trigo.

3. Modelos MatemticosSegundo RAO (1999), os modelos matemticos so utilizados para descrever dados reolgicos como: tenso de cisalhamento, taxa de deformao e viscosidade, que so explicitados atravs de grficos chamados de reogramas. Atravs da relao entre os dados reolgicos podemos calcular os parmetros reolgicos que so: o coeficiente de consistncia e o ndice de escoamento.

3.1. Fluidos no-Newtonianos independentes do tempo3.1.1. Modelo para fluidos no-Newtonianos plstico de binghamDe acordo com STEFFE (1992), os plsticos de Bingham apresentam um comportamento semelhante ao fluido newtoniano onde apenas necessria uma tenso de cisalhamento inicial para iniciar o escoamento. Temos:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);o = tenso de cisalhamento inicial, Pa, pascal (N/m2); = viscosidade plstica de Bingham Pas, pascal segundo (Kg/m.s);= taxa de deformao (m/s/m = (1/s)).

3.1.2. Modelo de Ostwald-de Waele (Lei da Potncia)O modelo da lei de potncia, segundo RAO (1999), utilizado para caracterizar produtos alimentcios, pois aplicado para valores de taxa de deformao de at 104 s-1 que podem ser obtidos por muitos viscosmetros comerciais.Esse modelo descreve a relao entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao e representado pela equao:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);K = ndice de consistncia, (Pa.sn);= taxa de deformao (m/s/m = (1/s)).n = ndice de escoamento;Para: n = 1, o ndice de consistncia igual a viscosidade do fluido; 0 < n < 1 o fluido pseudoplstico; n > 1 o fluido dilatante.

Linearizando a equao, ou seja, usando o logaritmo em ambos os lados da equao temos:Log = log K + nlog Os parmetros K e n so obtidos atravs da equao da reta obtida onde n o coeficiente angular da reta e logaritmo K o linear.Para fluidos no-Newtonianos, segundo TANNER (1985), utilizando a lei da potncia, possvel relacionar a viscosidade aparente em termos do ndice de consistncia e do ndice de escoamento:

onde:a = viscosidade aparente Pa.s, pascal segundo (Kg/ms), = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);= taxa de deformao, 1/s;K = ndice de consistncia, (Pa.sn);n = ndice de escoamento.

3.1.3. Modelo de CassonEsse modelo representado pela expresso:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);K0c = ndice de consistncia inicial de Casson, (Pa.sn);Kc = ndice de consistncia de Casson, (Pa.sn).= taxa de deformao, 1/s;K0c o coeficiente linear da reta e Kc o coeficiente angular.

A tenso de cisalhamento inicial calculada por (K0c)2 e a viscosidade plstica de Casson por (Kc).O Interational Office of Cocoa and Chocolate adotou este modelo para descrever o escoamento do chocolate (STEFFE, 1992).

3.1.4. Modelo de Herschel-BulkleySegundo STEFFE (1992), este modelo, representado pela equao logo abaixo, muito usado para produtos alimentcios pseudoplsticos e dilatantes com tenso inicial:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);0 = tenso de cisalhamento inicial, Pa, pascal (N/m2);K = ndice de consistncia, (Pa.sn).= taxa de deformao, (1/s);n = ndice de escoamento;

Para RAO (1999), se a tenso inicial do fluido conhecida, K e n so determinados pela regresso linear do log ( - 0) em relao log , onde K o coeficiente linear da reta e n, o coeficiente angular.Segundo STEFFE (1992), este modelo usado para produtos alimentcios, pois uma generalizao de vrios modelos matemticos conforme os valores de K, n e apresentados pela tabela abaixo.

Modelo Newtoniano, Lei da Potncia, plsticos de Bingham como casos especiais do modelo de Herschel-Bulkley.Fonte: STEFFE (1992).

3.1.5. Modelo de VocadloElaborado para fluidos viscoelsticos:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);0 = tenso de cisalhamento inicial, Pa, pascal (N/m2);nv = ndice de escoamento de Vocadlo;kV= ndice de consistncia de Vocadlo, (Pa.sn);= taxa de deformao, 1/s.

Os valores de kv e nv so determinados experimentalmente.

3.1.6. Modelo de Mizrahi e BerkEste modelo uma variao do modelo de Casson. Foi elaborado atravs da anlise de uma determinada suspenso em fluidos no newtonianos. expresso pela equao:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);K0M = ndice de consistncia inicial de Mizrahi, (Pa.sn);KM= ndice de consistncia de Mizrahi, (Pa.sn);= taxa de deformao, (1/s);nM = ndice de escoamento de Mizrahi.

3.2. Fluidos dependentes do tempoCHENG E EVANS (1965), ao analisar fluidos tixotrpicos, verificaram que a viscosidade funo da taxa de deformao e com o parmetro estrutural dependente do tempo.

logo:

= tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2);a = viscosidade aparente Pa.s, pascal segundo (Kg/ms); = parmetro estrutural de dependncia do tempo.= taxa de deformao, 1/s;

3.2.1. Modelo de Tiu e BogerTIU E BOGER (1974) utilizaram os trabalhos de Cheng e Evans simplificando a teoria estrutural por eles proposta utilizando o modelo de Herschel e Bulkley e adicionando um parmetro estrutural:

onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2); = parmetro estrutural de Tiu e Borges;0= tenso de cisalhamento inicial, Pa, pascal (N/m2);KH = ndice de consistncia inicial de Herschel, (Pa.sn);= taxa de deformao, (1/s).nH = ndice de escoamento de Herschel;BARNES ET AL. (1985) sugeriram a retirada do termo que representa a tenso inicial pois, com exceo de poucas situaes, a tenso de cisalhamento inicial no existe, isto , a viscosidade sempre finita. Ento, a equao anterior reescrita de acordo com o modelo da Lei da Potncia : onde: = tenso de cisalhamento, Pa, pascal (N/m2); = parmetro estrutural;K= ndice de consistncia, (Pa.sn);= taxa de deformao, (1/s).Para a equao do parmetro estrutural em funo do tempo, TIU E BOGER (1974) utilizaram uma equao de segunda ordem desenvolvida por PETRELLIS E FLUMERFIELD, (1973), que expressa por:

O parmetro estrutural () varia do valor 1 para o tempo zero at um valor de equilbrio do parmetro estrutural (e) que menor que 1. A constante (K1) uma funo da taxa de deformao e determinada experimentalmente.Para a validao da equao anterior deve-se obter um bom ajuste da reta (R21).COUTINHO (2003) apresentou a tabela abaixo que apresenta os modelos reolgicos mais usados para descrever o comportamento de fluidos alimentcios.

Modelos reolgicos mais utilizados para descrever o comportamento de fluidos alimentcios.Fonte: COUTINHO (2003).

4. Perda de carga distribuda, hd4.1. Fator de atrito para fluidos no-NewtonianosImportantes revises foram feitas por KEMBLOSKI & KOLODZIEJSKI (1973) e COELHO (1981), nas quais so mostradas as trs tendncias seguidas pelos pesquisadores com intuito de correlacionar o fator de atrito no escoamento turbulento de fluidos no-Newtonianos.A primeira destas tendncias, talvez a mais antiga, usa as equaes desenvolvidas para o escoamento turbulento de fluidos Newtonianos para correlacionar o fator de atrito de fluidos no-newtonianos. Para realizar tal procedimento, vrias definies de viscosidades foram adotadas na determinao do numero de Reynolds. No caso de fluidos de Ostwald-de Waele, WELTMANN (1956) usou a viscosidade aparente, a, definida pela relao entre a tenso cisalhante na parede do tubo, w, e a taxa de deformao na parede do tubo, w, dada por, a = w/w.A segunda tendncia procura correlacionar os dados experimentais por equaes do tipo Blasius, dada por, f = aRe-b, onde a e b so parmetros, ambos funes das propriedades do fluido.SHAVER & MERRILL (1959), trabalhando com escoamento turbulento de solues aquosas diludas de CMC (carboximetilcelulose), carbopol e polisobutileno em cicloexanona, correlacionaram com o modelo de Ostwald-de Waele o fator de atrito atravs de uma equao do tipo Blasius, dada por,

onde ReSM o numero de Reynolds de SHAVER & MERRILL (1959), definido por,

Cabe acrescentar que o desvio mximo encontrado pelos autores ficou entre +33% e -15% para 0,53n