MODEL MATEMATIK DAN NUMERIK DARI ALIRAN FLUIDA DALAM JARINGAN PIPA BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL Ade Jamal,Agus Sainjati,Aris Suwatjono,LebongAndalaluna'

ABSTRAKMODEL MATEMATIK DAN NUMERIK DARI ALmAN FLUffiA DALAM JARINGAN PIPA BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL. Persamaan matematisdaTi analisis aliran fluida dalamjaringan pipa dibahas untuk diterapkandalam pemodelannumerik yang sesuai.Dalam hal ini dipilih model numerik berbasisMetode ElemenHingga (MEH). Dalam rangka menjagamodel numerik MEH ini dapatdiaplikasiseluas-luasnya untuk segala kasusaliran fluida, maka formulasiakar terkecil dipilih sebagaipenggantiformulasi Galerkin atau formulasi Residu. Persarnan aliran fluida yang dikaji dibatasipada alirantunak dan tak-mampu mampat.Selainitu, artikel ini dibatasi hanya sampaipengembangan model numeriknya,tidak memasukkan kajian lanjutan seperti prosedur penyelesaain modelyangdibuat.

ABSTRACTMATHEMATICAL AND NUMERICAL MODEL OF FLUm FLOW IN A PIPE NETWORK BASED ON FEM WITH LEAST ROOT FORMULATION. Mathematical formulations for analysis of fluid flow in a pipe network has been studied to be implementedin an appropriate numericalmodel. In this case,a numerical model based on Finite ElementMethod (FEM) has been chosen.In orderto keepthe range of applicability as wide as possible,a finite elementmodelhas been derivedusingthe LeastSquare formulationin place of the frequently used WeightedResidual(Galerkin) formulation.The fluid flow studiedhere is assumed be incompressible steady.Furthermore, to and this article was limited itself to the development the numericalmodel. Hence, further studies,such as of solutionprocedure the numericalmodel,areexcluded. of

PENDAHULUANJaringan pipa untuk aliranfluida, baik cairanmaupun gas,dirancang sedemikian rupa hingga tidak terjadi hambatanaliran yang menyebabkan tidak ekonomisnya energi tekananyang dibutuhkan. Sistemrancangan distribusi didasarkandua faktor utama yaitu keperluanjumlah aliran (debit) dari fluida yang ditransportasikan dan besar tekanan (energi) yang dibutuhkan. Kegiatan rekayasa ini dikenal sebagai.Pusat Pengkajian Penerapan dan Teknologi lnformasi danElektronika,BPPTeknologi

217

RisalahLokakarya Kornputasidalamgains daDTeknologiNuklir XIV, Juli 2003 (217-228)

analisis dan perancanganjaringan pipa. Analisis jaringan pipa juga dibutuhkan untuk operasional clan pengontrolan, akuisisi suplai, optimisasi kinerja jaringan terhadap biaya, clan lain-lain. Sistem tersebut dapat dimodelkan sebagai sambungan seri mapun paralel daTi elemen-elemen pipa yang berhubungan satu sarna lain. Analisis clan rancanganjaringan pipa menimbulkan masalah yang relatif kompleks, terutama sekali jika jaringan terdiri daTi banyak pipa. Analisis tersebut umumnya menggunakan program komputer. Tahapan yang kritis adalah penentuan individual penurunan tekanan clan debit aliran dalam elemen pipa. Model numerik yang dibuat di sini membatasi masalah aliran fluida yang tunak (steadyflow), tak mampu mapat (incompressible flow), tapi tetap mengikut sertakan peranan gesekan(viscos flow) baik untuk daerah laminar maupun turbulen.

Model Matematis Aliran Dalam Jaringan Pipa Persamaan fundamental untuk aliran fluida secara umumdiatur olehtiga hukum kekekalan,yaitu persamaan kekekalanmasa, kekekalanmomentumdan kekekalan energi[I], yaitu:. persamaan kekekalan masa:

-8p +div(p'V)=O,at

(1)

(2)danpersarnaan kekekalan energi

p

Dh

= Dp +div(k.VT)+'rij Dt Dt

avi ax. J

(3)

Tiga persamaan mengaturtiga variabeldasar:kecepatan tekanan clan ini E, p, temperatur T. Variabel sekunder yang diikutsertakan adalah entalpi h, densitas fluida p. Untuk aliran dalam saluranpipa, tiga persamaan atas dapatdisederhanakan di menjadi problem satu dimensi. Selain itu permasalahan dibatasi lebih jauh untuk kondisi tunak (steady state) clan tak-mampu mampat (incompressible),sehingga persamaan umumnyaadalah[2]:

218

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH

(Ade Jamal, et.al.

persamaan kekekalan masaataupersamaan kontinuitas

~=o, ox

(5) danpersamaan kekekalanenergi 1 OQh+ oW = dE + -dp + V .dV + g .dZ p (6)

Variabel dasarnya adalah kecepatan aliran searahpipa u, tekanan dalam pipa p dan temperatur T yang implisit dinyatakan dalam fungsi energi dalam E, dan energi panas kedalam fluida Qh.Kerja yang dilakukan oleh fluida seperti gesekandinyatakan dalam W merupakan variabel sekunder. Viskositas .u merupakan parameter fisis daTi fluida. Kecepatan aliran rata-rata V didapat daTi persamaan berikut:

v =11U .dA,

(7)

Persarnaankesetimbangan gaya (5) yang mengikutsertakan viskositas (gesekan fluida), juga disebut persamaanNavier-Stokes, secara umum sangatjarang diketahui solusinya, kecuali untuk kasus-kasus yang sangatkhusus clan sederhana.Hal ini terjadi karena persamaanini menghasilkan persarnaandiferensial parsial clantak-linear. Salah satu pendekatan yang sering dipakai adalah pendekatan empiris di mana penurunan tekanan (pressure drop) atau kerugian tekanan (pressure loss) didekatkan dengan persamaanhasil percobaan seperti kerugian tekanan untuk aliran laminar daTi Hagen-Poiseuille:

(8)

Q=V.A

(9)

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003

Untuk aliran turbulensi penuh digunakan persamaanempiris daTi DarcyWeisbach: (10)

Metode Solusi Aliran Fluida Dalam Jaringan Pipa Terdapat beberapa metodeyang tersediadalamliteraturyang seringdigunakan untuk menyelesaikan permasalah aliranfluida dalamjaringan pipa [3]. Padaumumnya metode solusi ini berdasarkan analogi hukum Kirchhoff yang biasa dipakai untuk jaringanelektrik,yaitu: Penjumlahansecaraaljabar debit aliran yang masuk clan keluar daTi semua cabang atau simpul (node) hams nolo Aturan ini diturunkan daTi persamaan kontinuitas(4) = L Q masuk LQkeluar (11)

Penjumlahan secara aljabarkerugiantinggi tekanan padasirkuit tertutup(closed loop) barnsnolo Aturan ini diturunkan dan persamaan kekekalanenergi (6) setelah menerapkan hukum-hukum termodinamika menjadi:2 /

-

~+Zl+~p'g

-

2.g

-:-:-+Z2 + V;P2

=1

2.g

!i) loss

(12)

atau

~ -~ =hLdi manav.2I

(13)

hL =

~,p.gloss

2.g

Metode yang menggunakan dua persamaan dasar ini antara lain metode "koreksi debit" atau lebih dikenal dengan nama metode Hardy-Cross [3,4] di mana debit untuk pipa awalnya diasumsikan untuk setiap pipa sehingga persamaan kontinuitas terpenuhi di setiap titik simpul, lalu secara berturut-turut diterapkan kesetimbangan energi pada setiap sirkuit untuk mendapatkan koreksi debit. Variasi dari metode ini yang lebih mudah untuk diprogramkan dengankomputer, yaitu dengan

220

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH

(Ade Jamal, et.al.

cara persamaan untuk kesetimbangan diselesaikan secara serentak. Metode lain, di mana debit aliran Q dalam persamaan kontinuitas dieliminasi dengan bantuan persamaanenergi, sehingga persamaan yang harus diselesaikan hanya dalam variabel tekanan tapi tak-linear sepenuhnya.Metode matriks [3] diperkenalkan oleh Steffer, di mana persamaan kontinuitas dan energi diselesaikan secara bersamaan dalam bentuk matriks berukuran besar. Metode matriks ini sederhana dan persamaan yang dicari langsung didapat. Hanya saja, matriks ini sering terlalu besar dan tidak sempurna (ill-conditioned). Dari semua metode yang disebut di atas, yang paling populer adalah Metode Hardy-Cross, karena dapat dilakukan secara hitungan tangan untuk jaringan pipa yang kecil. Perlu dicatat di sini bahwa tidak ada satu metode pun yang menggunakan persamaanmomentum dalam proses penyelesaiannya. Metode Elemen Hingga (MEH) telah sangat populer sejak tiga dasawarsa terakhir. Berangkat daTi mekanika solid dan struktur di dunia teknik pesawat terbang, saat ini teknik MEH (FEM-Finite Element Method) telah diaplikasikan untuk bermacama-macam analisa media kontinum, termasuk fluida. Yang menarik adalah kebanyakan literatur dan referensi yang ada hanya membahas MEH untuk aliran fluida pada domain dua dimensi dan tiga dimensi [5-7]. Untuk masalah fluida satu dimensi seperti aliran fluida dalam pipa tertutup, jarang yang mebahasnya [8], dan jika ada dalam literatur hanya terbatas pada aliran laminar [9].

Model ElemenHingga Formulasi Akar Terkecil (LeastSquare Formulation) Persamaandasar yang digunakan dalam model elemen hingga adalah persamaankontinuitas (4) dan persamaanmomentum yang diturunkan dengan pendekatanberdasarkan kesetimbangan gaya pada fluida dalam pipa seperti pada gambar berikut:

\-'-

Gambar

PersamaanMomentum BerdasarkanKeseimbanganGaya pada Fluida dalamPipa

221

RisalahLokakaryaKomputasidalamgainsdan TeknologiNuklir XN, Juli 2003

Suku terakhir daTi persamaan (14) adalah perubahan momentum aliran masuk clankeluar, yang mana untuk pipa lurus menjadi hilang karena persamaankontinuitas. Suku kedua merupakan gaya karena gravitasi, biasanya digabungkan dengan gaya tekanan dengan memperkenalkan variabel tinggi tekanPhyaitu: Ph =p+p.g.Z,

sehingga persamaan momentum untukpipa lurus adalah: (16) dx Berawaldan persamaan kontinuitas(4), yangkita tulis ulang dengan persamaan :7)menjadi-=-'l",

dph -

4 D

avax

= 0,

bersama-samadengan persamaanmomentum(16), kita terapkan teknik elemen hingga dengan formulasi akar terkecil, yaitu dengan cara mengasumsikan fungsi Ph dan V untuk setiap elemen pipa sebagai fungsi linear dari variabel bebas x sebagaiberikut:Ph = Ph/N ./N + PhOUT . OUT

v

= V IN

':II IN + V OUT

\f OUT

Substitusipersamaan (18) kedalampersamaan (17), lalu denganformulasi akar terkecildidapat:Tf~N = y OUT = V e' (20)

yang tidak lain adalahkontinuitas dalam elemenpipa. Dengan menerapkan formulasiakarterkecilpadapersamaan clan(16), didapat: (17)

Le

1

-l

]{ Pl1 pz

4

'l'"e(Ve) -'l'"e(Ve)

}.

222

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH

(Ade Jamal,et.al.

Persamaan diturunkan denganmenerapkan ini secaraimplisit persamaan (20) clan asumsi bahwa faktor gesekan Te penyebab turunnya tekanan dalam pipa tergantungpada kecepatantapi tidak padajarak, yang mana hal ini berlaku untuk elemen pipa dengandiameter konstan.Dua buahpersamaan dalammatriks (21) saling ketergantungan sehingga hanyasatupersamaan yangdipakaiyaitu:

[1 -ll!Pl~P2

}

= 4.Le~l"e(Ve e

Persamaan clan(22) merupakan (20) persamaan untuk satuelemenpipa. Untuk kasus aliran laminar, persamaanini sarna dengan model elemen hingga yang tradisionalditurunkandengan formulasi Galerkin[9], yaitu:1l".D4 128.p"Le

1-1

~1]{;~}={~~}

di manaPi adalahtekanan hidrostatisdi tiap ujung elemen,clanQi adalahdebit yang masuk(positif) atau keluar (negatif) di ujung elemen.Pada saatpenggabungan (assembly) semuamatriks elemenke dalam matriks sistemjejaring pipa, persamaan kontinuitaspadatiap titik simpul N di terapkan padasukukananpersamaan (23). Persamaan kontinuitasitu adalah:

di mana qN adalah debit aliran yang keluar daTi sistem pipa di titik simpul N dan jumlah pipa yang berhubungan dengan titik simpul adalah m. Dalam metode elemen hingga tradisional ini tekanan Pi didetinisikan sebagai variabel primer, yang biasanya harus dicari, dan debit aliran keluar/masuk qi adalah variabel sekunder, yang biasanya diketahui. Jumlah variabel yang dicari sarna denganjurnlah persamaannya yaitu sarna denganjumlah titik simpul. Untuk kasus yang tidak dibatasi pada aliran laminar, gesekan 'ie mungkin merupakan fungsi tak-linear daTi debit Qe (atau kecepatan fluida Ve=Q/Ae dalam pipa), sehingga persamaan sistem jejaring pipa juga tidak linear dengan variabel yang harus dicari selain tekanan pada setiap titik simpul Ph juga kecepatan aliran V atau debit aliran Q dalam pipa. Sistem persamaanumum untukjejaring pipa yang terdiri M elemen pipa dan N titik simpul adalah: sejumlah M persamaan (25) dan sejumlah N persamaan(24). Sistem persamaan ini mengatur sejumlah N variabel tekanan Ph dan

RisalahLokakarya KomputasidalamSainsclan Teknologi Nuklir XN, Juli 2003

sejumlah M variabel debit aliran Q:

~K] [T(Q)nJWh} { {O} }= } l[O] [q Jl {Q} {q}

.

di mana matriks perbedaan tekanan [Ke] berukuran(M*N), matriks gesekan [Te(Q)] adalah matriks diagonal berukuran (M*M) clan matriks kontinuitas [C] berukuran(N*M). Perlu dicatatbahwa sistemmatriks persamaan (25) tidak simetris seperti biasanya padasistemmatriksMEH yangtradisional. Setidaknyasatu persamaan dalam matriks kontinuitas [C] bergantungsecara linear dengan yang lainnya, karenaitu minimal satudebit keluarq dijadikan variabel menggantikan satu variabel Ph yang diketahui nilainya sebagai kondisi batas (boundarycondition)agarpersamaan diatasdapatdiselesaikan: (25)

di mana variabel tekanan Ph diuraikan menjadi PhAyang diketahui dan PhByang dicari serta matriks perbedaantekanan [K] diuraikan menjadi [KA] dan [KB] masing-masing sesuai denganvariabel tekanan Ph yang diketahui dan dicari. Jika semua tekanan Ph di semua titik simpul diketahui, maka sistem persamaanmatriks (26) menjadi:

~T(Q)] [0]If{!2J}= {{[-KJ {Ph}

L[C]

[-J]Jl{q}

{O}

}

Untuk kasusumum di mana gesekan mernpakan fungsi tidak linear daTivaribel debit Q, maka persamaan(25), (26) clan (27) menjadi tidak linear clan harns diselesaikan dengan metodeiterasi seperti padametodeNewtonRaphson.

224

Model MatematikdanNumerik daTiAliran FluidadalamjaringanPipaBerbasisMEH

(Ade Jamal,et.al.

KESIMPULAN DAN REKOMENDASI Suatupendekatan yang lain untuk analisis aliran fluida tunak clan tak-mampu mampattelah dikembangkan denganteknik ElemenHingga dengan formulasi akar terkecil. Dengan metode MEH ini debit dalam pipa dapat langsung dihitung bersamaandengan variabel lain di titik simpul yaitu tekanan atau debit yang keluar/masuk titik tersebut.Metode elemenhingga yang menggunakan di formulasi Galerkinsebagai analogidari model elemen hinggadari strukturbatang,penghitungan debit dalampipa dilakukansebagaianalisislanjut (post-analysis). Debit aliran dalam pipa dengan Metode Cross-Hardy juga didapatsetelah iterasikoreksidebit. Dibanding dengan Metode Matriks Steffer, keunggulanmetode ini adalah terhindamya kemungkinan sistem matriks yang tidak sempurna (ill-conditioned matrix)dari matrikskontinuitas. Model elemenhingga untuk elemenpipa ini dapatdikembangkan lebih lanjut untuk komponen-komponen jaringan pipa lainnya sepertiuntuk elbow, klep, strainer clan komponenlainya dengan tetap konsistenpada sistem pengembangan elemen matriksnya.Selain itu algoritma clan prosedursolusi dari sistempersamaan matriks dapatdikaji lebih jauh untuk mendapatkan efisiensidari segi waktu perhitunganclan jumlah memory komputer yang diperlukan denganmemperhatikan bentuk sistem matriksyangkhususdari persamaan clan(27). (26)

DAFTARPUSTAKAWHITE, F.M., ViscousFluid Flow, 2nd MCGraw-Hill (1991) Ed.

2. BENEDICT, R. P., Fundamental PipeFlow, JohnWiley andSons(1980) of3 KODOATIE, R. J., Hidrolika Terapan-Aliran pada saluranTerbuka dan Pipa, Penerbit Andi, Yogyakarta,(2002)

4. STREETER,V.L., WYLIE, E.B., Fluid Mechanics, 8ili Edition, McGrawHill(1985) 5 DHA1T, G., Finite Element Modeling of Fluids in Computational Fluid Dynamics, Lecture Series 1992-04, yon Karman Institute for Fluid Dynamics (1992)

6. CONNOR, J.J., BREBIA, C.A., Finite Element Technicquesfor Fluid Flow,Newnes-Butterworths, London(1976)

225

RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsdaDTeknologiNuklir XIV, Juli 2003

7. FERZIGER, J. H., PERIC, M., ComputationalMethods for Fluid Dynamics,Springer2ndPrinted (1997)8. ARASU, K., Analysis of Pipe Networks, EngineeringDevelopmentDivision,

hldira GandhiCentrefor Atomic Research (1993)

9. REDDY, J.N., An Introdcution to The Finite Element Method, McGrawHil1(1985)

DISKUSI

HUDIHASTOWOApa ada rencana untuk mengembangkansoftware yang sudah dibuat untuk menyelesaikan masalahfluida dalam2 phasa?Permasalahan banyak dijumpai di ini bidang teknik nuklir, tetapi memang disadari tidak mudah. Bagaimana kita menyelesaikan persamaan 3 kontinuitas momentumclan energi dalam 2 phaseyang berbeda?

ADE JAMAL Rencana phasebarn bisa dimulai jika model untuk rasegas (incompressible) 2 telah selesai. Tahapawal ini barn sampaialirancompressible.

ENDANG ROSADIApakah pengaruh temperatur fluida dilibatkan dalam formulasi/pemodelan ini?

ADE JAMAL Pemodelan hanya dilaksanakan ini untuk air clanminyak saja.Denganasumsiyang dipakai untuk aliran incompressible (tidak mampumampat),makafungsi temperatur tidak dilibatkan. Untuk tahap pengembangan model selanjutnya di mana aliran dihitung, makatemperatur harnsdiperhitungkan.

226

Model Matematika dan Numerik daTi Aliran Fluida dalam Jaringan Pipa Berbasis MEH

(Ade Jamal,et.al.

Dalam sebuah jaringan pipa, biasanyaada sebuah komponenyang mengandung tekanan clan volume besar. Apakah komponen seperti itu sudah termodelkan denganmodelyangsekarang? 2. Model solusialiran fluida, untuk setiaptitik ada variabeltekanan dan debit volume yang salingbergantungan, tidak dipengaruhi tapi nilai besarannya. Model numerik selalu membutuhkansalah satu nilai daTi variabel tekanan atau debit volume. Variabelyangbelumdiketahuinilainya dihitungdengan komputasi. M. SYAMSA ARDISASMITA Apa alasanSaudaramencari penyelesaian pemodelanmatematikadenganmetode Kirchoff yangsederhana dibandingkan dengan MetodeElemen Hingga?

ADEJAMALMetode Kirchoff tidak kita gunakan dalam metode solusi yang kita kembangkan. Metode Kirchoff ini dinaikkan sebagai gambar "state of the art" teknologi yang digunakan oleh design manual dan textbook yang ada. Model ini dikembangkan murni Metode Elemen Hingga dengan formulasi Kuadrat Terkecil.

227

Home