Министерство транспорта Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»

Кафедра «Электропоезда и локомотивы»

Н.И.ДОЛГАЧЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

В СРЕДЕ MathCad

Часть II

Учебно-методическое пособие

к лабораторным работам

М О С К В А - 2 0 1 7

-1-

Министерство транспорта Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»

Кафедра «Электропоезда и локомотивы»

Н.И.ДОЛГАЧЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В СРЕДЕ МathCad

Часть II

Учебно-методическое пособие

для студентов IV курса

специальности 23.05.03

«Подвижной состав железных дорог»

специализации «Локомотивы»

М о с к в а - 2 0 1 7

УДК 629.424.1:519.2

Д64

Долгачев Н.И. Математическое моделирование в среде MathCad.

Ч. 2: Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2017. – 45 с.

Математический пакет MathCad помимо стандартного обеспечения,

присущего большинству Windows-приложений, имеет свой особый интер-

фейс, который облегчает, ускоряет и оптимизирует вычислительные про-

цессы. Приведенный на его основе материал позволит студентам специ-

альности «Подвижной состав железных дорог» изучить аналитические ме-

тоды решения задач с помощью символьной математики, а также числен-

ные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений,

многие встроенные функции и прекрасные графические возможности для

реализации математических моделей работы устройств локомотивов на

лабораторных занятиях в компьютерных классах университета.

Рецензент: доцент кафедры «Машиноведение, проектирование,

стандартизация и сертификация» (РУТ (МИИТ), к.т.н. Козлов В.В.

© РУТ (МИИТ), 2017

- 3 -

В В Е Д Е Н И Е

Математический пакет MathCad богат содержанием. Он позволяет

производить вычисления как с действительными, так и с комплексными

числами, с величинами, имеющими размерность. Семейство математиче-

ских панелей содержит операторы, которые позволяют выполнять алгеб-

раические и матричные преобразования, дифференцирование и интегри-

рование, функциональное программирование.

Библиотека MathCad содержит более 250 встроенных функций, в ча-

стности, функций: численного интегрирования дифференциальных урав-

нений, теории вероятностей и математической статистики, интерполяции

и аппроксимации данных и многих других.

В процессе лабораторных занятий по дисциплине «Математическое

моделирование» студенты применяют программу MathCad. Данные мето-

дические указания составлены с целью помочь студентам быстрее и каче-

ственнее освоить приемы и методы работы в среде MathCad для реализа-

ции разработанных математических моделей по специальности.

Во 2-ой части методических указаний приведены примеры интерпо-

ляции и аппроксимации данных, нахождения экстремумов функций, ре-

шения нелинейных алгебраических уравнений и их систем, решения сис-

темы рекуррентных уравнений, функционирования программных блоков.

MathCad предоставляет пользователю удобную систему получения

справочной информации и оперативной подсказки, средства обмена дан-

ными с другими Windows-приложениями, средства доступа к электронной

почте и Интернет, в частности, возможность присоединиться к Collaborato-

ry – общедоступному Интернет-форуму, объединяющему всемирное со-

общество пользователей MathCad.

- 4 -

1 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ)

1.1 Связь между объектами программы MathCad

Назовем объектами программы на листовом поле окна MathCad пе-

ременные разных видов, встроенные функции, функции пользователя,

программные блоки, графики. В процессе работы программы между ними

происходит взаимодействие. Однако этому процессу в литературе по ма-

тематическому пакету MathCad уделено мало внимания. А ведь только

хорошо понимая работу других программ, накапливая опыт их изучения

(осмысления), можно самостоятельно разрабатывать свои собственные

действующие программы. Попытаемся сначала на простых примерах, а

затем при решении более сложных задач давать необходимые пояснения.

Допустим на листовом поле окна редактирования встречается выра-

жение вида: V1:=10,20..80. Оно означает, что создана последовательность

значений переменной V1, изменяющихся от начального, равного 10, до

конечного, равного 80, с шагом (20 – 10), т.е. 10. Если теперь набрать на

листовом поле выражение V1= , то будет выведена таблица, состоящая из

8 значений переменной V1. В литературе по пакету MathCad такая пере-

менная называется ранжированной, а последовательность значений – ран-

жированным рядом. Ранжированные переменные широко применяются

при построении графиков, создании циклических вычислений. Пусть V1

означает скорость движения локомотива, а функция W1(V1) – удельное

основное сопротивление движению локомотива. Результат циклического

расчета получен (см. ниже), но, если на каком-то этапе расчета нужно пре-

кратить вычисления и вывести промежуточный результат, Вам это не уда-

стся.

v1 10 20 80

w1 v1( ) 1.9 0.01 v1 0.0003 v12

Управлять процессом вы-

числений с использованием

ранжированной переменной на

листовом поле практически

нельзя. Понимая это, разработ-

чики MathCad были вынуждены

создать программный блок,

внутри которого с помощью

специальных операторов, мож-

но управлять процессом вычис-

лений.

Покажем это на приме-

v110

20

30

40

50

60

70

80

w1 v1( )2.03

2.22

2.47

2.78

3.15

3.58

4.07

4.62

- 5 -

ре создания программного блока с именем Р, который формирует матрицу

размером 2×1 из тех же физических величин (v2, w2), но произволь-

ных.

Блок программы формирования векторов значений v2, с выходом из

цикла при скорости v2=50

км/ч. Изучите программу внут-

ри блока самостоятельно.

v2 P0P

{5,1}

{5,1}

w2 P1

v2T

10 18 30 36 50( )

w2T

2.03 2.177 2.47 2.649 3.15( )

Поясним связь программного блока и функции w1 v1( ) на листовом

поле. Внутри блока все переменные - локальные (видимы только блоком),

и лишь функция w1 является глобальной (видимой как внутри блока, так и

на листовом поле). В цикле for происходит неоднократное обращение к

функции w1 с передачей ей параметра xi , т.е. w1 xi . Параметр v1 функ-

ции w1(v1) на листовом поле принимает значение параметра xi , получен-

ный результат возвращается обратно в блок и присваивается индексиро-

ванной переменной yi. Такого типа обращения от одного объекта к дру-

гому являются неотъемлемой частью программы и уподобляются обра-

щениям к функциям в языках программирования высокого уровня.

Ниже показаны примеры блоков с программами формирования ска-

лярной величины:

- 6 -

П3 4 5

2

S П П 3( ) П 4( ) П 5( )

6

П_Т 3 4 5 "S"( ) 6 П_Т 3 4 5 "p"( ) 12

У первого блока нет имени, поэтому к нему нельзя обращаться. Вто-

рому блоку присвоено имя функции П_Т a b c d( ), т.е. имя переменной с

условными параметрами в скобках. Ниже блока приведены 2 обращения к

блоку с передачей ему фактических параметров, значения которых при-

сваиваются условным параметрам. Блок возвращает соответственно пе-

риметр (2p) треугольника, равный 6, и его площадь (S), равную 12.

Пример блока с программой формирования матрицы W из значений

удельного основного сопротивления движению состава w''o v mво :

w''o a b( ) 0.73 0.1 a 0.0025 a

2

b

W i 0

j 0

i i 1

j j 1

wo2i 1 j 1 w''o v mво

mво 12 14 22for

j 0

v 10 20 40for

wo2

Внутри блока ор-

ганизованы 2 цикла for:

внешний - по скорости v

движения вагонов,

внутренний - по массе

вагона, приходящейся

на ось, mво. Значение

w''o v mво присваи-

вается переменной wo2

с двумя индексами: i -

ый по строке, j - ый по

столбцу матрицы. Име-

ни блока W возвращает-

ся матрица wo2. Матри-

ца W и еѐ график (по-

верхности) приведены

ниже.

- 7 -

Попробуйте объяснить взаимодействие блока с функцией w''o a b( ) на

листовом поле.

WT

1.054

1.004

0.966

0.936

0.913

0.893

1.2

1.129

1.075

1.033

1

0.973

1.387

1.289

1.216

1.158

1.112

1.075

1.617

1.486

1.387

1.311

1.25

1.2

W

1.2 Построение индикаторной диаграммы рабочего процесса дизеля и

расчет среднего индикаторного давления

Dц 0.26 м S 0.26 м д 15

-соответственно

диаметр цилиндра, рабочий ход поршня и степень сжатия;

Pа 0.235 мПа Pb 0.67 мПа - давление рабочего

тела в начале такта сжатия (точка а) и в конце рабочего хода (точка b);

n 1 1.37 - ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû ñæàòèÿ - показатель политропы сжатия;

n 2 1.25 - показатель политропы расширения;

Vh Dц

2

4S Vh 0.014м

3

- рабочий объѐм цилиндра;

д

Vh Vc

VcVc

Vh

д 1

- объѐм камеры сжатия;

- 8 -

Vc 9.86 104

м3

Va Vc Vh Va 0.015м3

- полный объѐм цилиндра;

Vb Va Vb 0.015м3

-объѐм цилиндра в конце рабочего хода;

Vz 1.42 Vc Vz 1.4 103

м3

- объѐм рабочего тела в т. z;

Функции для расчѐта соответственно политропы сжатия и политропы

расширения:

Pсж V( ) Pа

Va

V

n1

Pрх V( ) PbVb

V

n2

Pc_ Pсж Vc Pz_ Pрх Vz

Pz_ 12.76мПа Pc_ 9.601мПа

N 100 i 0 N Vсжi

VcVa Vc

Ni

Pрасш V( ) if Vc V Vz Pz_ Pрх V( ) Pz_ 12.76мПа

Функция if возвращает Pz_, если условие выполняется, в против-

ном случае она возвращает Pрх V( ). То, что возвращается, присваивается

функции Pрасш V( ).

- 9 -

Индикаторная диаграмма дизеля

При построении графиков функцийPсж Vсжi и Pрасш Vсж

i проис-

ходит обращение к одноименным функциям (на листовом поле) с услов-

ным параметром V. Этому параметру передаются поочередно фактические

значения элементов массива Vсжi. Одноименные функции возвращают

рассчитанные значения обратно графическим функциям.

Обозначение размерности, выбранной пользователем:

Па1 kg 1 m

1 s2

мПа 1 106

Па м 1 m

Расчет среднего индикаторного давления:

1. С использованием операторов панели № 5 математического ана-

лиза:

PiVc

Va

VPрасш V( )

d

Vc

Va

VPсж V( )

d

Vh Pi 1.515мПа

- 10 -

2. По методу трапеций с использованием программного блока:

PiTR Pрасш Vc Va 10

5 TR Pсж Vc Va 10

5

Vh

Pi 1.512 106

кгмс-2

Так как обращение к блоку стоит до блока, его имени произведено

глобальное присваивание, чтобы он был видим отовсюду на листовом по-

ле.

Попробуйте самостоятельно изучить работу программного блока и

его взаимодействие с объектами на листовом поле.

TR f a b TOL( ) n 1

err 1

R0b a

2f a( ) f b( )( )

n n 1

hb a

n

r 0

s hf a h j( ) f a h j 1( )[ ]

2

r r s

j 1 nfor

Rn 1 r

errRn 1 Rn 2

Rn 1

err TOLwhile

Rn 1

- 11 -

1.3 Нахождение экстремумов функций

Определить силу инерции поступательно движущихся масс поршня

и шатуна тепловозного дизеля и построить графическую зависимость этой

силы от угла поворота кривошипа Pj . Для нахождения экстремумов

функции Pj использовать встроенные функции.

Исходные данные: R 0.13 - радиус кривошипа, м; Èñõîäíûå äàííûå:

0.24

104.7 - отношение радиуса кривошипа к длине шатуна;

0.24

104.7

GF 2000

- угловая скорость коленчатого вала дизеля, рад/с; 104.7

GF 2000

g 9.81 - удельный вес поступательно движущихся поршня и

шатуна, кг/м2;

GF 2000

g 9.81 - ускорение силы тяжести, м/с2; - óäåëüíûé âåñ ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùèõñÿ ïîðøíÿ è øàòóíà, êã/ì 2;

J - ускорение поршня, м/с2.

0 0.01 2

J R 2

cos cos 2 Pj GF

g J 10

5

0 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.5 6.28

43.5

32.5

21.5

10.5

0.51

1.52

2.52.5

4

P j

2 0 Используемые встроенные функции:

1. maximize(f, var1, var2,...), minimize(f, var1, var2,...) - численное оп-

ределение соответственно локального максимума, минимума. f - функция;

var1, var2 - переменные. Обе функции требуют задания начальных при-

ближений. При необходимости могут быть использованы с группой до-

полнительных условий, заданных в вычислительном блоке Given:

0.5 макс Maximize Pj макс 3.142 Pj макс 2.208

- 12 -

Given

3.1 мин Minimize Pj мин 6.283 Pj мин 3.603

3 мин Minimize Pj мин 0 Pj мин 3.603

2. find(var1, var2,...) - служит для численного или символьного реше-

ния алгебраического уравнения или системы уравнений, заданных в блоке

Given. Может быть использована для решения матричных уравнений. var1,

var2 - неизвестные переменные:

2 Given

Pj d

d0

5.3 Given

1 Given

Pj d

d0

3. minerr(var1,var2,...) - минимизирует невязку несовместных систем

уравнений и неравенств. Используется для их приближенного решения.

Условия и приближения должны быть заданы в блоке Given. var1,var2 -

переменные:

1 Given

3.2 Given

3 Given

4. Обращение к программному блоку поиска минимума функции

(методом золотого сечения):

- 13 -

P j1 P j

1мин MZS Pj 0 2мин MZS Pj 2 макс MZS Pj1 0 2

1мин 4.399 104

2мин 6.283 макс 3.142

Pj 1мин 3.603 Pj 2мин 3.603 Pj1 макс 2.208

Поиск минимума функции (метод золотого сечения):

ZS a b( )3

2b

1

2a

1

25 a b( )

MZS y a b( ) x1 ZS a b( )

y1 y x1( )

x2 ZS b a( )

y2 y x2( )

b x2

x2 x1

y2 y1

x1 ZS a b( )

y1 y x1( )

y1 y2if

a x1

x1 x2

y1 y2

x2 ZS b a( )

y2 y x2( )

otherwise

a b TOLwhile

a b

2

- 14 -

1.4 Решение нелинейных алгебраических уравнений

Пример: Определить среднее значение показателя политропы рас-

ширения n2 и температуру продуктов сгорания Тв в конце процесса рас-

ширения цикла со смешанным подводом тепла. Этот цикл с указанными в

нем основными точками (т. а, т. b, т. с, т. z) показан в подразделе 3.2 в виде

индикаторной диаграммы.

Исходные данные:

x 0.85 - доля топлива, сгоревшего в точке z;

0.87 - коэффициент использования теплоты к концу сгорания;

z x

- коэффициент использования теплоты в точке z;

H u 42500

- низшая теплота сгорания топлива, кДж/кг;

L 0 0.495

- теоретически необходимое для сгорания количество

воздуха, кмоль/кг;

- 15 -

2 - коэффициент избытка воздуха;

r 0.05

- коэффициент остаточных газов;

mc v1 T z

- средняя молекулярная теплоемкость газов при постоянном

объѐме и температуре Тz в точке z, кДж/(кмоль · °К);

15 - степень сжатия;

n 1 1.37

- средний показатель политропы сжатия;

T a 350

- температура рабочего тела в начале сжатия (точка а), °К;

T c T a n 1 1

- температура рабочего тела в конце сжатия (точка с), °К;

0 10.064

- коэффициент молекулярного изменения (химический);

- 16 -

z x( ) 1 0 1

1 rx

- коэффициент молекулярного изменения в точке z;

1.5 - степень повышения давления при сгорании;

z x( ) T z

T c

- степень предварительного расширения;

- степень последующего расширения;

a v x( ) 20.46 x x 19.25 1

- численный коэффициент;

b x( ) 3.6 x x 2.5 1

103

- численный коэффициент;

- 17 -

y2 n 2 T z z x( )

n 2 1

z 1( )

- температура рабочего тела Tb в точке b, °К.

mc v1 T z a v x( ) b x( ) T z

y1 n 2 8.312 z x( ) T z z 1( ) y2 n 2

z H u

L 0 1 r z x( ) mc v1 T z T z

0 z 1( ) a v 1( ) b 1( ) y2 n 2 y2 n 2

n 2 1

Функция y2 n2 входит в выражение, которое присвоено функции

y1 n2 . Необходимо найти корень, т.е. величину n2, который обращает

функцию y1 в ноль. После этого можно определить значение температуры

Tb. Следует отметить, что применение символьной математики дало

неверный результат (n2 = 1, Tb = 1975), так как тогда n2 1

= 1, чего быть

не может (величина δ в действительности на порядок выше). Поэтому

применен численный метод с помощью функции root, блока Given - Find и

программного блока.

1. Встроенная функция root (f(x),x,[a,b]):

численное решение алгебраического уравнения. Возможны 2 реализации:

методом Больцано (задается интервал поиска [a,b] без скобок, причем

- 18 -

функция f(x) должна иметь на концах интервала противоположные по зна-

ку значения); методом секущих (требует начального приближения, а ин-

тервал поиска не задается); x – переменная.

n2 1.1 n2 root y1 n2 n2 n2 1.238

y2 n2 1.128 103

y1 n2 2.126 104

2. Вычислительный блок Given - Find: n2 1.1 Given

y2 n2 1.127 103

y1 n2 2.055 108

3. Программный блок - метод Ньютона (касательных):

Z y x( ) x1 x 2 TOL

x x1

x1 xy x( )

xy x( )

d

d

x1 x TOLwhile

n2 1.1 Z y1 n2( ) 1.238 y2 Z y1 n2( )( ) 1.127 103

- 19 -

Как видно, результаты по всем способам совпали. Воспользуемся

тем, что функцию root можно помещать в программный блок, и исследуем

влияние на параметры n2, Tb, например, температуры сгорания Tz. Блоку

присвоено имя функции GR(b) с условным параметром b. Обращение к

блоку осуществляется через имя блока GR(Tz) с фактическим параметром

Tz, значения которого передается параметру b. Внутри блока за верти-

кальной линией локальным параметрам a, n2 и Tb присваиваются соответ-

ственно начальное приближение n2, значение функции root и значение

функции y2 после обращения к функциям y1 и y2, расположенным на лис-

товом поле. Отработав, блок возвращает вектор из значений 3-х парамет-

ров: Tz, n2, Tb в то место, откуда произошло обращение к нему (см. ре-

зультат в виде матрицы 3 × 1 после знака равенства). Действия пользова-

теля для получения графических зависимостей (здесь по 5 точкам) точно

такие же, как они описаны в подразделе 1.3.

Попробуйте объяснить взаимодействие объектов на листовом поле

между собой.

GR b( ) a 1.1

n2 root y1 a( ) a( )

Tb y2 n2( )

b

n2

Tb

Tz 1984

Обращение к блоку:

GR Tz

1.984 103

1.238

1.128 103

A

1.8 103

1.242

988.971

B

1.9 103

1.24

1.063 103

C

2 103

1.238

1.139 103

D

2.1 103

1.236

1.217 103

E

2.2 103

1.233

1.296 103

M augment A B C D E( )

Q MT

x Q 0 y1 Q 1 y2 Q 2

- 20 -

1800 1900 2000 2100 22001.23

1.235

1.24

1.245

y1

x

1800 1900 2000 2100 2200900

1000

1100

1200

1300

y2

x

1800 1900 2000 2100 22001.23

1.235

1.24

1.245

y1

x

1800 1900 2000 2100 2200900

1000

1100

1200

1300

y2

x

900 1000 1100 1200 13001.23

1.235

1.24

1.245

y1

y2

Q

1.8 103

1.9 103

2 103

2.1 103

2.2 103

1.242

1.24

1.238

1.236

1.233

988.971

1.063 103

1.139 103

1.217 103

1.296 103

1.5 Решение системы нелинейных алгебраических уравнений

Исходные данные и цель работы те же, что и в подразделе 1.4. Разница в

том, что уравнения для Tb и n2 приведены как система и решается она

блоком Given - Find. Кроме того, большинство выражений в формулах

расчета определены в левой части как функции (с параметрами). Это

сделано для того, чтобы потом производить оценку влияния отдельных

параметров на изменения величин Tb и n2 (другим способом, чем это

было показано ранее).

0.87 L0 0.495 Ta 350 x 0.85 15 2

Hu 42500 r 0.05 n1 1.37

1.5 Tz 1984 z x x

- 21 -

Tc Ta Ta n1 1

0 10.064

z x r 1

0 1

1 rx

x r T a T z z x r T z

T c T a

x r T a T z

x r T a T z

a v x 20.46 x x 19.25 1

b x 3.6 x x 2.5 1

103

mcv1 x Tz av x b x Tz mcv2 Tb av 1 b 1 Tb

Задание начальных приближений: n2 1.1 Tb 900 Given

Решение_1 x r Ta Tz Find n2 Tb

n2

Tb

Решение_1 x r Ta Tz

n2

Tb

1.238

1.127 103

Исследуем влияние на параметры n2 и Tb, допустим, температуры

сгорания Tz. Для этого создаѐм массив, состоящий из значений температу-

ры Tz, изменяющихся, например, от 1800 °К до 2200 с шагом 100. Обра-

- 22 -

щаемся к функции Решение_1 с параметром Tz как индексированной пе-

ременной. Функция (она - на рабочем листе слева от встроенной функции

Find) будет поочередно через простую переменную Tz принимать значе-

ния элементов массива Tz и после работы блока Given - Find возвращать

поочередно в то место, где стоит обращение, результаты решения (значе-

ния n2 и Tb), которые в матрице слева от обращения уже будут представ-

лены в виде индексированных переменных, т.е. накапливаться в матрице

(см. ниже). В качестве индекса здесь используется ранжированная пере-

менная с именем j.

j 0 4 Tzj

1800 100 jn2_ j

Tb_j

Решение_1 x r Ta Tzj

1800 1900 2000 2100 22001.23

1.235

1.24

1.245

n2_

Tz

1800 1900 2000 2100 2200900

1000

1100

1200

1300

Tb_

Tz

Как видно из этих графиков параметры n2 и Tb изменяются от тем-

пературы Tz практически также, как это было показано в подразделе 3.4

(следует отметить, что вариант использования функций с параметрами в

скобках часто вносит ошибки, которые существенно искажают результаты

расчетов, поэтому надо обязательно иметь вариант расчета без функций

как контрольный, сверить расчеты и только после этого производить ис-

следования). Восстановим первоначальное значение Tz и исследуем влия-

ние на параметры Tb и n2, например, величины степени сжатия ε.

Tz 1984 j 11 1 jn2j

Tbj

Решение_1 x r Ta j Tz

- 23 -

11 12 13 14 151.225

1.23

1.235

n2

11 12 13 14 151100

1150

1200

1250

1300

Tb

1.6 Решение системы рекуррентных уравнений

Рекуррентным называется уравнение, в котором параметры на сле-

дующем шаге расчета вычисляются на основе значений этих же парамет-

ров на предыдущем шаге. Если за шаг расчета принять весьма малую ве-

личину, то в процессе расчетов можно иметь достаточную степень точно-

сти получаемого результата.

Пример: Определить изменение параметров газа V, T, P, M в про-

цессе наполнения цилиндра тепловозного дизеля, используя уравнение со-

стояния газа dP V P dV Rг dM T dT M( ) и уравнение сохранения

энергии Cp Ts dM Cv M dT P dV Cv dM T , где

V, T, P, M - объѐм, температура, давление и масса рабочего тела в расчет-

ной точке; размерность соответственно м3, °K, Па, кг;

T s - температура воздуха на входе в цилиндр, °K;

Rг - газовая постоянная, Дж/(кг · °K);

C p - теплоемкость воздуха, Дж/(кг · °K);

C v - теплоемкость газов, Дж/( кг · °K);

dV, dT, dP, dM - элементарные объѐм, температура, давление и масса газов.

- 24 -

Используем итерационные зависимости, заменяя дифференциалы

приращениями параметров рабочего тепла за время Δt (с) поворота колен-

чатого вала на угол d , (рад).

V h - рабочий объѐм цилиндра, м3;

- отношение радиуса кривошипа к длине шатуна;

P s - давление воздуха на входе в цилиндр, Па;

f - сечение впускных клапанов, м2;

- угловая скорость вращения коленчатого вала, рад/с;

Vнач, Tнач, Pнач, Mнач - параметры рабочего тела в начале расчета;

нач - начальное значение угла поворота коленчатого вала, рад.

Rг 286.5 Cp 977 Cv 810

Vh 0.0138 Ts 330 Ps 1.75 105

0.24 f 0.003 Vнач 0.00316

нач 0.7 d 0.01 70

Pнач Ps Tнач Ts Mнач

Pнач Vнач

Rг Tнач

- 25 -

k fPs 2

Rг Ts t

d

dM Pn( ) k tPs

Pn1 dV 1

2Vh d sin sin 2

2

dT Pn Tn Mn C p T s dM Pn( ) C v Tn dM Pn( ) Pn dV

C v Mn

dP Tn Pn Mn Vn Rг Tn dM Pn( ) Rг Mn dT Pn Tn Mn Pn dV

Vn

Решение:

n 0 230

Начальные значения: Итерационные выражения в векторной форме:

0

V0

M0

T0

P0

нач

Vнач

Mнач

Tнач

Pнач

n 1

Vn 1

Mn 1

Tn 1

Pn 1

n d

Vn dV n

Mn dM Pn

Tn dT Pn Tn Mn n

Pn dP Tn Pn Mn Vn n

В процессе итерационных расчѐтов функции dV, dM, dT, dP с факти-

ческими параметрами обращаются к одноименным функциям на рабочем

листе MathCad. Их условные параметры принимают значения фактиче-

ских, происходит расчет выражений, стоящих справа от функций. Одно-

именные функции возвращают полученные результаты обратно туда, где

стоит обращение к ним, т.е. в итерационные выражения.

- 26 -

Графики динамики протекания рабочего процесса (наполнения цилиндра)

тепловозного дизеля

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.005

0.01

0.015

V

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.01

0.02

0.03

M

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51.5 10

5

1.55 105

1.6 105

1.65 105

1.7 105

1.75 105

P

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5300

310

320

330

T

- 27 -

2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ

2.1 Интерполяция данных

Для представления физических закономерностей и при проведении

научно-технических расчетов часто используются зависимости вида у(x),

причем число точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает

задача приближенного вычисления значений функций в промежутках ме-

жду узловыми точками (интерполяция).

Графически это означает просто соединение узловых точек отрезка-

ми прямых, для чего MathCad предлагает следующую встроенную функ-

цию:

linterp (VX,VY,x), где VX,VY - заданные векторы узловых точек (их

координаты соответственно по осям x и y), x - заданное значение аргумен-

та.

Для этих заданных значений linterp возвращает значение функции

при ее линейной интерполяции. В приведенном ниже примере показано,

что в этом случае график f(t) оказывается слишком грубым: отчетливо

видны «углы» – точки разрыва производной.

Когда есть основания полагать, что не только сама функция, но и ряд

ее производных непрерывны, лучше применять сплайн-интерполяцию.

Для этой цели MathCad предлагает 4 встроенных функции:

cspline (VX,VY) -возвращает вектор вторых производных при при-

ближении в узловых точках к кубическому полиному;

pspline (VX,VY) - то же к параболической кривой;

lspline (VX,VY) - то же к прямой.

Если обозначить эти векторы, например, VS, то четвертая функция,

interp (VS,VX,VY,x), возвращает значение y(x) для заданных векторов

VS,VX,VY и заданного значения x. Ниже приведен график u(t) кубической

сплайн-интерполяции.

Из него видно, что, несмотря на малое количество точек, сплайн-

интерполяция дала хорошие результаты: график функции u(t) оказался

плавным, поскольку обеспечена непрерывность первой и второй произ-

водных.

Пример 1: Пусть заданы значения x и y, из которых формируем век-

торы x и y:

x 1 2 3 4 4.5 5( )T

y 1 3 4 2.5 2 5( )T

Линейная интерполяция Кубическая сплайн-интерполяция

Обозначим:

f t( ) linterp x y t( ) KS cspline x y( ) u t( ) interp KS x y t( )

- 28 -

Диапазон изменения t по оси абсцисс:

t min x( ) min x( ) 0.01 max x( )

Графики зависимостей:

1 1.8 2.6 3.4 4.2 51

1.8

2.6

3.4

4.2

5

f t( )

u t( )

y

t t x

f t( ) u t( ) y x( )

Пример 2: Заданы значения скорости и силы тяги тепловоза

2ТЭ116, из которых формируем векторы V1 и F1

V1 0 5 10 15 19.5 24.2 30 40 50 58.5 70 80 90 100( )T

F1 797.6 723.1 667.3 626.5 596.4 496.4 408.8 313.9 249.9 215 179.9 157.9 140.7 126.5( )T

Выполним линейную интерполяцию:

f1 t1( ) linterp V1 F1 t1( )

Диапазон изменения t1 по оси абcцисс:

t1 min V1( ) min V1( ) 0.01 max V1( )

Тяговая характеристика тепловоза 2ТЭ116

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100

200

300

400

500

600

700

800

f1 t1( )

F1

t1 V1

Объединим матрицы V1 и F1 в одну с именем V1F1:

V1F1 augment V1 F1( )

- 29 -

Запишем объединенную матрицу в файл с именем "V1F1.dat", чтобы ис-

пользовать его в подразделе 3.3:

WRITEPRN "V1F1.dat"( ) V1F1

2.2 Аппроксимация данных методом наименьших квадратов

Многие модели явлений в физике и других точных науках описыва-

ются алгебраическими полиномами. При наличии эмпирических данных

(множества точек) аппроксимацию заменяют полиномиальной регрессией,

которая сопровождается статистической обработкой данных. Она позволя-

ет найти коэффициенты полинома степени n, чтобы эта зависимость про-

ходила через «облако» узловых точек с наименьшей среднеквадратичной

погрешностью отклонения от них.

Если данные не отсортированы, то векторы x и y объединяют в мат-

рицу и отсортировывают столбец x (в соответствии элементам столбца x

автоматически сортируется столбец y). MathCad имеет для этого встроен-

ные функции augment и csort.

Затем отделяют вектор x от вектора y и применяют нормальное

обобщенное решение нормальной системы метода наименьших квадратов.

Пример 1: рассмотрим тот же пример, что и при интерполяции,

только зададим вектора x и y в неотсортированном виде:

x 1 3 2 4 4.5 5( )T

y 1 4 3 2.5 2 5( )T

x M0

Теперь отсортируем их: x 1 3 2 4 4.5 5( )T

y 1 4 3 2.5 2 5( )T

M augment x y( ) M csort M 0( ) x M0

y M1

Получим:

xT

1 2 3 4 4.5 5( ) yT

1 3 4 2.5 2 5( )

Xd

xd

Примем степень полинома:

D 4 d 0 D Xd

xd

Получаем решение нормальной системы метода наименьших квад-

ратов:

coeff XT

X 1

XT

y ,

где coeff – искомые коэффициенты полинома.

- 30 -

z t( )

0

D

d

coeffd td

coeff

10.146

21.061

15.92

4.4

0.403

Графики зависимостей:

1 1.8 2.6 3.4 4.2 51

1.8

2.6

3.4

4.2

5

z t( )

y

t x

z t( ) y x( )

Из графиков видно, что зависимость z(t) проходит вблизи узловых

точек. Если увеличить степень полинома на 1, кривая z(t) будет ещѐ боль-

ше приближена к узловым точкам (возможно, пройдет через них). Проде-

лайте это самостоятельно.

Пример 2: аппроксимация тяговой характеристики тепловоза

2ТЭ116 в зоне ограничения силы тяги по дизелю. Заданы значения ско-

рости и силы тяги тепловоза 2ТЭ116, из которых формируем векторы V2 и

F2.

V2 19.5 24.2 30 40 50 58.5 70 80 90 100( )T

F2 596.4 496.4 408.8 313.9 249.9 215 179.9 157.9 140.7 126.5( )T

Примем степень полинома:

N 5 j 0 N Xj

V2j

Получаем решение нормальной системы метода наименьших квадратов:

a XT

X 1

XT

F2 , где а - искомые коэффициенты полинома.

- 31 -

aT

1.44 103

69.79 1.773 0.025 1.737 104

4.932 107

Диапазон изменения t2 по оси абсцисс:

t2 min V2( ) min V2( ) 0.01 max V2( )

f2 t2( )

0

N

j

aj t2j

20 30 40 50 60 70 80 90 100100

200

300

400

500

600

f2 t2( )

F2

t2 V2

Запишем коэффициенты полинома в файл с именем "V2F2.dat",

чтобы использовать его в подразделе 3.2:

WRITEPRN "V2F2.dat"( ) a

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЛОКОМОТИВНОЙ ТЯГИ

3.1 Спрямление профиля пути

ORIGIN:=1 Это означает, что отсчет элементов профиля будет идти с 1.

Характеристика профиля пути: Крутизна спрямленного элемента

(в виде функции): Õàðàêòåðèñòèêà ïðîôèëÿ ïóòè

i

0

1.7

2

0

3.5

5

s

1000

500

750

1200

460

950

Õàðàêòåðèñòèêà ïðîôèëÿ ïóòè

i

0

1.7

2

0

3.5

5

s

1000

500

750

1200

460

950

ic

a b c ( )1

c

k

ak

bk

1

c

k

bk

n last i( ) n 6 m 1 n 1

- 32 -

Создание массива из значений координат границ элементов профи-

ля пути:

S1 s1 103

Sm 1 Sm sm 1 103

ST

1 1.5 2.25 3.45 3.91 4.86( )

i1 i1return 0 S1if

im 1return Sm Sm 1if

m 1 n 1for

Программный блок с

именем функции

i1 используется

для построения гра-

фика i(S). Обращение

к блоку осуществля-

ется функцией i1(s1), расположенной в поле графика. Еѐ фактическим па-

раметром является ранжированная переменная s1. Условный параметр ζ в

имени блока принимает значения s1. В зависимости от их попаданий в ин-

тервалы пути (по оси абсцисс) возвращаются соответствующие величины

уклонов (по оси ординат).

s1 0 0.01 Sn

График профиля пути: i(S)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

i1 s1( )

s1

Крутизна спрямленного элемента (в функциональном блоке - скляр-

ная величина) присваивается простой переменной i'c:

i'c ic i s n( )

- обращение к одноименной функции на рабочем листе с

передачей ей фактических параметров: крутизны i элементов профиля пути,

- 33 -

длины s и числа элементов n;

i'c 1.792

- значение, которое возвращает функция ic a b c( ) .

Проверка спрямления профиля пути:

здесь используются метод векторизации и операторы булевой алгебры

M1

0

n

k

sk2000

ik i'c

M2 s2000

i i'c

M1 4 M2T

1 1 1 0 1 0( )

Число элементов, удовлетворяющих проверке, равно значению M1.

В векторе M2 эти элементы отмечены 1, что означает "истина". Число эле-

ментов, неудовлетворяющих проверке, в векторе M2 отмечены 0, что оз-

начает "ложь".

M if M1 n "Элем. проф. можно спрямлять" "Элем. проф. спрямлять нельзя"

Вывод: M "Элем. проф. спрямлять нельзя"

Студенты, работающие с этой программой, изменяют только харак-

теристику профиля пути в соответствие со своими данными. Всѐ остальное

делает программа. Для замены числа строк векторов i и s подведите СКМ

в поле матрицы, нажмите ЛКМ и перемещайте мышь внутри поля до вы-

деления его тѐмным цветом, после чего поле удалите. На место маркера с

помощью панели №3 вставьте нужную матрицу и заполните еѐ своими

данными.

3.2 Проверка массы состава, ведомого поездом, на прохождение

инерционного подъема

Вводим коэффициенты полинома, записанные в файл "V2F2.dat" (см.

подраздел 2.2), с диска на рабочий лист:

a READPRN "V2F2.dat"( )

aT

1.44 103

69.79 1.773 0.025 1.737 104

4.932 107

Cила тяги Fk v( ) , кН; Fk v( ) a0 a1 v a2 v2

a3 v3

a4 v4

a5 v5

- 34 -

x 20 100 Тяговая характеристика в зоне ограничения силы тяги по дизелю

20 30 40 50 60 70 80 90 1000

100

200

300

400

500

600

Fk x( )

x

Тепловоз 2ТЭ116, масса, т: mL 276 g 9.81

Характеристика состава - масса, т: mS 5000

Доля 4-х осных вагонов по весу: 0.6 Доля 6-х осных вагонов по весу: 0.4 Массы вагонов, приходящиеся на ось, соответственно, т:

Ìàññû âàãîíîâ, ïðèõîäÿùèåñÿ íà îñü,

ñîîòâåòñòâåííî, ò :

b1 20

b2 17.5

Характеристика инерционного подъѐма: iин 11 sин 1600

Формулы для расчета удельных сил сопротивлений движению локомоти-

ва, вагонов и поезда:

Коэффициенты в формулах: a1 3 a2 8

wL v( ) 1.9 0.01 v 0.0003 v2

w v a b( ) 0.7a 0.1 v 0.0025 v

2

b

wS v( ) w v a1 b1( ) w v a2 b2( )

wO v( )wS v( ) mS wL v( ) mL

mS mL wk v i_( ) wO v( ) i_

Формулы для расчета удельных значений силы тяги тепловоза и

равнодействующей силы: Ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà óäåëüíûõ çíà÷åíèé ñèëû

òÿãè òåïëîâîçà è ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû :

fk v( )Fk v( ) 10

3

mS mL( ) g

fcp v i_( ) fk v( ) wk v i_( )

- 35 -

1. Стандартный подход к решению задачи: задают ориентировочное

значение начальной скорости Vнач перед инерционным подъѐмом. За шаг

расчета принимают интервал снижения скорости dv ≤ 5 км/ч. Число ин-

тервалов N задают в виде целого числа. Конечную скорость принимают

равной расчетной скорости Vр тепловоза. Суммируют пути, проходимые

поездом на каждом интервале, и сравнивают с длиной инерционного

подъѐма. По результатам сравнения принимают решение по массе состава.

Задаемся значениями параметров и создаѐм массив из значений ско-

рости на границах интервалов:

vнач 70 vp 24 N 20 k 0 N

dvvнач vp

N dv 2.3 vk vp dv k

Вычисление значений путей по интервалам скоростей и суммарного

пути:

ds v iин k 4.17 vk 1 2 vk 2

fcp

vk vk 1

2iин

s v iин 1

N

k

ds v iин k

s v iин 2.582 103

s v iин sин 1

Видно, что 2582 > Sин, т.е. > 1600, значит поезд преодолел инерци-

онный подъем со скоростью выше расчетной.

Ниже исследовано влияние крутизны i подъѐмов на пройденный

путь. По результатам расчетов и сравнения видно, что при i = 16‰ и

i = 17‰ поезд при Vнач = 70 км/ч не преодолел инерционный подъѐм (см.

ниже, а также матрицу 5×1, где 1 означает «истина», а 0 – «ложь»).

i 11 12 14 16 17( )T

- 36 -

s v i( )T

2.582 103

2.231 103

1.768 103

1.47 103

1.357 103

Влияние крутизны подъемов на пройденные пути

s v i( ) sин

1

1

1

0

0

10 11 12 13 14 15 16 171000

1500

2000

2500

3000

3500

s v i( )

i

Отметим недостатки выполненного стандартного расчѐта: во-

первых, скорость Vнач задается предположительно (без каких-либо дока-

зательств, можно задать и другие значения), тогда теряется всякий смысл

расчетов; во-вторых, ранжированная переменная k на листовом поле не

позволяет проводить анализ промежуточных результатов и при необходи-

мости остановить процесс вычислений.

2. Нестандартный (рациональный) подход к решению задачи: опре-

делить такое значение Vнач перед инерционным подъѐмом, чтобы при вы-

ходе из него скорость была равна Vр. Такая постановка задачи требует

разработки специальной программы внутри программного блока. Осталь-

ные объекты на листовом поле – те же. Имя блока – QQ (см. ниже). Он

формирует матрицу, состоящую из 2-х векторов: Vнач и пройденного пу-

ти.

Решение: vvдоп 90 - ограничение скорости по состоянию вагонов.

NN 66 j 0 NN dvvvдоп vp

NN

- 37 -

dv 1 vvj vp dv j

Исследуем влияние крутизны i подъѐмов на минимальные значения Vнач:

QQ m 0

S 0

ds1 ds vv im j

S S ds1

Q m vvj

S

S sинif

break S sинif

j 1 NNfor

S 0

m m 1

0 m 4while

Q

m 0 4

iT

11 12 14 16 17( ) U if QQ 0 "решения нет" QQT

U

53

59

67

74

77

1.605 103

1.65 103

1.631 103

1.633 103

1.627 103

VVнач U 0

SSд U 1

Минимальные значения скорости в начале Sин и пройденные поез-

дом пути, примерно равные Sин:

VVначT

53 59 67 74 77( )

- 38 -

SSдT

1.605 103

1.65 103

1.631 103

1.633 103

1.627 103

Влияние i инерционного подъема на Vнач

11 12 13 14 15 16 1750

60

70

80

VVнач

i

Пройденные пути при Vнач

10 12 14 16 181600

1620

1640

1660

SSд

i

Выполненный расчет является научно-обоснованным и позволяет

сделать однозначный вывод о том, что для преодоления поездом с массой

состава 5000 т подъѐма длиной 1600 м и крутизной 11‰ со скоростью

движения не ниже Vр скорость перед этим подъѐмом не должна быть ни-

же 53 км/ч (при i = 12‰ - не ниже 59 км/ч и так далее).

3.3 Нахождение равновесных скоростей движения поезда и

решение уравнения движения поезда

Характеристика поезда та же, что и в подразделе 3.2, поэтому объ-

екты подразделов 3.2 и 3.3 должны находиться на одном и том же листо-

- 39 -

вом поле. Вводим элементы матрицы, записанные в файл"V1F1.dat" (см.

подраздел 2.1), с диска на рабочий лист:

VF READPRN "V1F1.dat"( ) V VF 0 F VF 1

VT

0 5 10 15 19.5 24.2 30 40 50 58.5 70 80 90 100

FT

797.6 723.1 667.3 626.5 596.4 496.4 408.8 313.9 249.9 215 179.9 157.9 140.7 126.5

v 0 100 Fk v( ) linterp V F v( )

Тяговая характеристика тепловоза 2ТЭ116

0 20 40 60 80 1000

200

400

600

800

Fk v( )

v

s1 0 0.01 20

График профиля пути формируется с помощью вложенных функций if:

i s1( ) if s1 5 0 if s1 8 2 if s1 11 3 if s1 18 8.4 0( )( )( )( )

График профиля пути: i(S)

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

i s1( )

s1

- 40 -

Расчет удельных сил сопротивлений движению локомотива, вагонов

и поезда производим по формулам подраздела 3.2.

Расчет удельных значений силы тяги тепловоза и равнодействую-

щей силы:

fk v( )Fk v( ) 10

3

mS mL( ) g fy v s1( ) fk v( ) wk v i s1( )( )

Задаем координату пути: q 15 км, тогда крутизна уклона: i(q)=8.4 ‰

График функции fy от скорости v

0 20 40 60 80 10010

5

0

5

10

fy v q( )

v

Крутизна

уклонов

заданного

участка пути:

i(3) = 0 ‰

i(7) = 2 ‰

i(10) = 3 ‰

i(15) = 8.4 ‰

i(20) = 0 ‰

Нахождение равновесной скорости движения поезда с помощью:

1. Встроенной функции

root:

2. Программного блока методом Ньютона

(касательных):

v 5

root fy v q( ) v 24.089

Z y x z( ) x1 x 2 TOL

x x1

x1 xy x z( )

xy x z( )

d

d

x1 x TOLwhile

v 5 Z fy v q 24.089

- 41 -

3. Блока Given – Find: 4. Блока Given - Minerr:

5. диалоговых окон X-Y Zoom и X-Y Trace (графическим способом):

Этот пункт выполните самостоятельно. Добейтесь сходства с уже

полученным (в п. 1, 2, 3, 4) значением равновесной скорости 24,089 км/ч

на уклоне крутизной i(15) = 8,4‰, после чего верните график в первона-

чальное состояние. Для нахождения равновесной скорости на другом ук-

лоне присвойте параметру q, расположенному выше графика fy(v), значе-

ние координаты пути, соответствующее этому уклону (см. примеры, при-

веденные справа от графика fy(v)).

Итерационный метод решения уравнения движения поезда

Математическая модель расчета параметров тепловозной тяги с ис-

ходными данными, приведенными выше (см. подразделы 3.2 и 3.3 с объ-

ектами на одном листовом поле окна MathCad), может с успехом быть ис-

пользована для решения уравнения движения поезда по заданному участку

профиля пути.

Итерационные выражения для получения решения имеют следую-

щий вид: t = t + dt, s = s + ds, v = v + dv, где ds и dv определяются из диф-

ференциальных уравнений ds/dt = v, dv/dt = 120·fy, описывающих движе-

ние поезда. Задаются начальные условия. Шаг по времени принимается 1

секунда, чтобы обеспечить достаточную точность расчетов. Число шагов

обозначено параметром N, а величина скорости движения - переменной u.

Выражения записываются в векторной форме.

- 42 -

dt 1 N 4000 j 0 N 1

t0

s0

u0

0

0

0

tj 1

sj 1

uj 1

tj dt

sj ujdt

3600

uj 120 fy uj sj dt

3600

Зависимость скорости от пройденного пути

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60

80

100

uj

sj

Зависимость скорости от времени движения

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

20

40

60

80

100

uj

tj

- 43 -

Зависимость времени от пройденного пути

0 10 20 30 40 50 600

1000

2000

3000

4000

tj

sj

Следует отметить, что математический аппарат для решения задач в

подразделах 3.2 и 3.3 расположен весьма компактно (рационально) в виде

объектов программы на одном и том же листовом поле. Это позволяет без

особых усилий понять взаимодействия между объектами. Мы многое вам

поясняли в других разделах, повторяли, порой, одно и тоже. Теперь по-

пробуйте самостоятельно разобраться с этим вопросом. Теперь перед вами

открыта дорога: стать настоящими пользователями интересного математи-

ческого пакета MathCad.

- 44 -

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Зарубин, В. С. Математическое моделирование в технике : учеб-

ник / В. С. Зарубин. - 3-е изд. - Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э.

Баумана, 2010. - 495 с.

2. Очков В. Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская вер-

сия. — СПб.: БХВ-Петербург, 2009. — 512 с.: ил.

3. Формалев, В. Ф. Численные методы : учеб. пособие для техн. ун-

тов / В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников ; под ред. А. И. Кибзуна. - 2-е изд.,

испр. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 398 с.

4. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCad. Математический практикум

для инженеров и экономистов: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. –

М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.

5. Сдвижков О.А. MathCad-2000: Введение в компьютерную матема-

тику. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2002. –

204 с.

- 45 -

CОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………… 3

1 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ) …………… 4

1.1 Связь между объектами программы MathCad ………………. 4

1.2 Построение индикаторной диаграммы рабочего процесса

дизеля и расчет среднего индикаторного давления ………... 7

1.3 Нахождение экстремумов функций …………………………. 11

1.4 Решение нелинейных алгебраических уравнений ………….. 14

1.5 Решение системы нелинейных алгебраических уравнений ... 20

1.6 Решение системы рекуррентных уравнений………………… 23

2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ ……………. 27

2.1 Интерполяция данных………………………………………… 27

2.2 Аппроксимация данных методом наименьших квадратов…. 29

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЛОКОМОТИВНОЙ ТЯГИ ……… 31

3.1 Спрямление профиля пути……………………………………. 31

3.2 Проверка массы состава, ведомого поездом, на

прохождение инерционного подъема ………………………. 33

3.3 Нахождение равновесных скоростей движения поезда и

решение уравнения движения поезда ………………………...

38

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………….. 44

Учебно-методическое издание

Долгачев Николай Иванович

Математическое моделирование в среде MathCad

Часть II

Учебно-методическое пособие к лабораторным работам

Формат 60×81 1/16 Изд. № 133/17