fizikalno matematički model prijenosa topline
TRANSCRIPT
Contents1. Matematičko fizikalni model zagrijavanja dalekovodnih užadi.......................................2
2. Uvod (koji su ciljevi ovih testiranja).................................................................................3
2.1 Prijašnji rad na utjecaju temperature na dalekovodne vodiče................................4
2.2 Thermal rating of bare overhead conductors..........................................................5
2.3 Kompozitni vodiči....................................................................................................5
3. Proračun ovisnosti struje o temperaturi kod nadzemnih vodova....................................6
3.1 Steady state heat balance.............................................................................................7
3.1.1 Izvor sunčeve topline.......................................................................................8
3.1.2 Prisilna konvekcija..................................................................................................8
3.1.3 Prirodni gubitak topline.................................................................................10
3.1.4 Gubitak topline zračenjem.............................................................................10
3.1.5 Omski gubici nadzemnog voda......................................................................11
4. Radijalna raspodjela temperature u vodiču..................................................................12
4.1 Jednadžba za nadzemne vodove.................................................................................12
1. Matematičko fizikalni model zagrijavanja dalekovodnih užadi
Kompozitni nadzemni vodiči pomažu povećati prijenosnu moć na postojećim
trasama, bez narušavanja kriterija provjesa.Potreba za prijenosom veće snag
kroz postojeće ROW (right –of-way) dovela je do povećanog interesa za
visokotemperaturnim vodičima.Ovi vodiči spadaju u kategoriju HTLS (high
temperature low sag) vodiča.Kompozitna jezgra ima veću čvrstoću i manji
koeficijent termičke ekspanzije u usporedbi s čeličnom jezgrom u
tradicionalnim ACSR vodičima. U literaturi koju su objavili proizvođači o
ACCR i ACCC vodičima vidi se da su stabilni pri pogonu između 150 - 210
°C , u usporedbi s 100 °C kod tradicionalnih ACSR vodiča.Najviša
dozvoljena temperatura iznosi 240 °C u hitnim slučajevima.Upotreba
kompozitnih materijala za jezrgu nadzemnog vodiča je recent(novija).Odabir
odgovarajućeg vodiča je važan, jer vjetar, led i vlačno opterećenje koje
struktura dalekovoda mora izdržati ovise o tipu/veličini korištenog
vodiča.Visina strukture je uvelike ovisna o odabranim vodičima pošto je
maksimalan provjes faznih vodiča pod visokim opterećenjem ledom i
temperaturnim opterećenjem povezan s fizikalnim, mehaničkim i
dimenzijskim svojstvima vodiča.Odabir optimalnog vodiča ovisi o mnogo
faktora, kao što su: zahtjevi za snagom, terenu, ambijentalnim
uvjetima,troškovima vodiča i spojne opreme, te okolišnim
ograničenjima.Efekt raspodjele temperature na strujni prijenosni kapacitet
ovih vodiča nije poznat.Radijalna raspodjela temperature se izvodi iz opće
toplinske jednadžbe i rezultantnog prijenosa topline u okolinu.Bazirano na
razvijenom modelu provedena je komparativna analiza za Drake tipove
ACSR, ACCC i ACCR vodiča.Rezultati radijalne raspodjele temperature su
dobiveni za različite vrijednost struje , emisivnosti, termičke vodljivosti vodiča
i ambijentalne temperature.Termički model pretpostavlja da je razlika
radijalne temperature u metalnoj matrici manja nego ona u karbonskog
kompozitnog vodiča.Radijalna temperatura se smanjuje kako se emisivnost
vodiča povećava.Postoji blagi porast radijalne raspodjele temperature s
porastom ambijentalne temperature.Studija ukazuje da promjenjiva termička
vodiljivost vanjskog vodiljivog materijala ne utječe značajnije na temperaturu
na površini vodiča.Razlika (18 °C – 20 °C) je značajna za ACSR vodiče u
usporedbi s ACCR (4 °C – 8 °C) i ACCC (2 °C – 6 °C).
Mehanička svojstva karbonske kompozitne jezgre i metalne matrice su
promatrana uz test vlačne čvrstoće na dvjema temperaturama.Na jednakim
temperaturama karbonska kompozitna jezgra pokazuje 26 % smanjenje
vlačne čvrstoće, no to je jos uvijek u prihvatljivim granicama.
2. Uvod (koji su ciljevi ovih testiranja)Glavni cilj ove studije je ispitati efikasnost kompozitne jezgre u nadzemnim
vodovima na povišenim temperaturama.Prvenstveno to se odnosi na utjecaj
povišene temperature na vlačnu čvrstoću i radijalnu raspodjelu temperature u
kompozitnim vodičima.Kratkotrajno i dugotrajno izlaganje kompozitne jezgre
povišenim temperaturama je glavni kriteriji (uvjeta) za prihvaćanje novih
dalekovodnih vodiča.Očekuje se mogućnost dugotrajnog pogona novih
vodiča na temperaturama 100°C – 180 °C i uz kratke intervale pogona iznad
200 °C.Razvijen je matematički toplinski model za analizu ovisnosti
temperature o strujnom opterećenju pomoću IEEE 738 -2006
standarda.Podaci o vlačnoj čvrstoći se koriste za:
- procjenu vlačne čvrstoće i tvrdoće
- usporedbu vlačnih svojstava na temperaturi okoline i povišenim
temperaturama
- razvijenje modela starenja baziranog na Weibull distribuciji
- razumijevanje odziva karbonske jezgre na nesimetrična
opterećenja
Potražnja za električnom energijom je u rastu, ali okolišna ograničenja,
vrijeme za konstrukciju i troškovi novih prijenosnih vodova uvjetuju povećanje
postojećih kapaciteta koliko god je moguće.Maksimalni prijenosni kapacitet
dalekovoda ovisi o stabilnosti sustava , padu napona i gubitku
energije.Kapacitet kraćih vodova je ograničen maksimalnom dopuštenom
temperaturom vodiča, koja određuje maksimalan provjes i gubitke čvrstoće
vodiča zbog annealing (omekšavanje).Toplinska vodiljivost kompozitne
jezgre je mnogo manja od vodljivosti metalne jezgre.Vodič je sastavljen od
više isprepletenih užadi, koje nisu u potpunom termičkom kontaktu jedna s
drugom.Zrak između užadi vodiča ponaše se kao izolacijski materijal, koji
otežava vođenje topline prema površini vodiča.Značajan otpor radijalnom
prienosu topline može uzrokovati temperaturni gradijent unutar vodiča.Struja
u amperima koju vodič može prenijeti pri zadanoj vanjskoj temperaturi zove
se dozvoljeno strujno opterećenje vodiča.Svi vodiči imaju stacionarno strujno
opterećenjem, to je vrijednost kad nema vjetra. Obično se za vrijednost
stacionarnog strujnog opterećenja uzima konzervativna vrijednost kako bi se
smanjio efekt thermal creep i gubici čvrstoće vodiča i kako bi se sprječilo
pretjerano izduženje vodiča (provjes).Vodiči također imaju i dinamička
dozvoljena strujna opterećenja koja dozvoljavaju veće vrijednosti ovisno o
brzini vjetra.Granica dinamičkog strujnog opterećenja u odnosu na statičko
može biti i za 200 % veća.Pod ovakvim višim opterećenjima temperaturna
razlika između jezgre vodiča i vanjskog sloja može biti između 15°C -30°C.
2.1 Prijašnji rad na utjecaju temperature na dalekovodne vodiče
Prvi radovi na ispitivanju termičkog kapaciteta prijenosnog voda su bili u
Francuskoj (Legrand, 1945), kada se uvidjela važnost poznavanja termičkog
kapaciteta voda.Stacionarni model dozvoljenog strujnog opterećenja
zasnovan na jednadžbi toplinske ravnoteže su proveli House i Tutle. Rad koji
je objavio Douglas se bavi analizom raspodjele temperature unutar ACSR
vodiča.Ova analiza se zasniva eksperimentalnoj pretpostvaci da je ACSR
vodič sastavljen od električki ne vodljive jezgre i električki vodljivog vanjskog
sloja.Zbog toga je jezgra izotermalno tijelo, a temperaturni gradijent se
primjećuje u vodilkjivom sloju vodiča.Douglas zaključuje da su moguće
značajne promjene temperature u rasponu od 15 °C - 30°C u uvjetima
visokog strujnog opterećenja, usljed dinamičkih promjena u EES-u. Radial
Conduction Model su razvili Morgan i Findlay.Ovaj model računa radijalnu
raspodjelu temperature unutar stranded vodiča.Ulazne varijable za ovaj
model su: geometrija, zategnutost, raspodjela struje po slojevima. Zajednički
model od Gledja, Morgan i Findlay uključuje feromagnetske gubitke snage u
čeličnoj jezgri i redistribuciju struje zbog transformer effect. Real time model
od Black i Rehberg je pojednostavljeni tranzijentni model strujnog
opterećenja koji pretpostavlja i stacionarno stanje i tranzijentno ponašanje
povezano sa step promjenom iznosa struje.
2.2 Thermal rating of bare overhead conductors
Maksimalni termička granica je jedan od glavnih faktora koji se treba uzeti u
obzir prilikom odabira nadzemnog voda.Termička granica je funkcija
vremenskih uvjeta, svojstava vodiča i maksimalne predviđene pogonske
temperature vodiča.Prilikom određivanja termičke granice (ili dozvoljenog
strujnog opterećenja)treba uzeti u obzir utjecaj zagrijavanja vodiča na provjes
i gubitak čvrstoće tijekom dužeg perioda pogona. Važno je odrediti termički
kapacitet (ili dozvoljneno strujno opterećenje), kako bi se mogao odrediti
utjecaj zagrijavanja na provjer i gubitak čvrstoće tijekom duljeg perioda.Zbog
toga što temperatura indirektno određuje dopušteno strujno opterećenje,
faktori koji utječu na temperaturu vodiča moraju biti uzeti u obzir.Maksimalna
dozvoljena struja koja odgovara maksimalo dozvoljenoj temperaturi zove se
termička granica voda za stacionarno stanje.Metoda koja se koristi za
određivanje termičke granice pretpostavlja da je vodič u termičkoj ravnoteži
na maksimalnoj dopuštenoj temperaturi vodiča.Ako su poznate vrijednosti
vanjskih uvjeta i varijable vodiča, dozvoljeno strujno opterećenje se može
izračunati pomoću tolinske jednadžbe za stacionarno stanje.
2.3 Kompozitni vodiči
ACCR vodiča se sastoji od Al2O3 vlakana, promjera oko 10µm,koji su
smješteni u metalnoj matrici od čistog aluminija.Pošto ne postoji dielektrična
barijera u ACCR jezgri, jezgra će prenijeti nešto struje, a većina strujnog toka
će ići vanjskim aluminijskim užadima zbog skin efekta.
Karbonska kompozitna jezgra kombinira jezru od continuous glass i
karbonskih vlakana s polimernom smolom oko koje su omotane aluminijske
žice trapezoidalnog oblika.Fiberglass oklop služi kao barijera i sprječava
koroziju odvajanjem dva različita materijala (ugljik i aluminij).Glavna razlika u
ovim vodičima je u sastavu jezgre, no obje vrste vodiča imaju bolja svojstva
nego ACSR vodič istog promjera.Jezgra vodiča mora osigurati mehaničku
čvrstoću, no može doći do degradacije zbog starenja.Poznato je da su
ogranski materijali podložni starenju više od anorganskih materijala.Thermal
stress na stranici 20 –gorgur_pserc_report.
3. Proračun ovisnosti struje o temperaturi kod nadzemnih vodova
Temperatura je faktor koji utječe na mnoga svojstva vodiča, kao što su
termička ekspanzija i vodiljivost i mora biti se uzeti u obzir prilikom
određivanja termičke granice.Bez obzira na ambijentalne uvjete, nadzemni
vodovi moraju prenijeti snagu uz maksimalnu efikasnostPrijenosni kapacitet
nadzemnih vodova mora se odrediti za promjenjiva opterećenja i vremenske
uvjete bazirane na određenoj maksimalnoj temperaturi.Maksimalna
dozvoljena temperatura se određuje:
- da ograniči smanjenje vlačne čvrstoće vodiča zbog smekšavanja
do 10% ili manje tijekom pogona
- sprječavanja povećanja provjesa zbog termičkog izduženja bez
narušavanja ground clearances.
Maksimalna dozvoljena temperatura vodiča se uzima u obzir prilikom
računanja termičke granice u stacionarnom i tranzijentnom stanju.Prilikom
određivanja temperature u stacionarnom stanju uzmaju se u obzir točno
određeni vremenski uvjeti i parametri vodiča.Pošto temperatura vodiča
indirektno određuje dozvoljeno strujno opterećenje, faktori koji utječu na
temperaturu se moraju poznavati (proučiti).Temperatura vodiča je funkcija
topline proizvedene prolaskom struje kroz vodič, termičkih svojstava vodiča i
okolnih ambijentalnih uvjeta.Temperatura vodiča raste najviše zbog omskih
gubitaka (I2R) i dijelom zbog sunčevog zračenja. Omski gubici su funkcija
otpornosti vodiča i struje, a solarna zračenje je ovisna o koeficijentu
apsorpcije vodiča.Na temperaturu utječe i hlađenje vodiča uzrokovano
gubicima zbog konvekcije (prijelaz topline) i zračenja.Konvenkcija, glavni
izvor gubitka topline, je funkcija temperature zraka, brzine i smjera
vjetra.Zračenje,koje ima manji utjecaj na temperaturu vodiča, određeno je
koeficijentom emisije vodiča i ambijentalnom temperaturom.
3.1 Steady state heat balance
U stacionarnom stanju jednadžba se zasniva na balansu između izvora
topline od sunčevog zračenja i omskih gubitaka (I2R) i gubitaka topline
konvekcijom i zračenjem.Za jediničnu duljinu nadzemnog vodiča, jednadžba
u stacionarnom stanju :
qc+qr=qs+ I2 RTc
rješavanjem za I,
I=√ qc+qr−qs
RTc
gdje je:
qc – konvekcijski gubitak topline [W/m]
qr – radijativni gubitak topline [W/m]
qr – izvor sunčeve topline [W/m]
RTc – 50 Hz AC otpor na pogonskoj temperaturi Tc [Ω/m]
3.1.1 Izvor sunčeve topline
Sunčevim zračenje se obično podiže temperatura vodiča za 5 °C do 10 °C
iznad temperature zraka i uzima se u obzir prilikom proračuna termičke
granice. Jednadžba za sunčev izvor topline glasi:
qs=α ∙Q s ∙ sin θ ∙ A,
Gdje je:
Qs – ukupno sunčevo zračenje [W/m2]
θ– efektivni kut (incidence)učestalosti sunčevih zraka [°]
A' – projicirana površina vodiča [m2/ jedinici duljine]
Efketivni kut učestalosti sunčevih zraka se računa po sljedećoj formuli:
θ=cos−1¿¿]
gdje je:
Hc – altitude sunca [°]
Zc – azimutni kut sunca [°]
Zl – azimutni kut voda [°]
Prosječna vrijednost apsorbivnosti od 0.5 se koristi kad nije poznato
površinsko stanje vodiča.Sunčev toplinski tok, Qs, na nivou zemlje varira s
latitude (širinom) i doseže maksimum od oko 100 W/m za vrijeme ljeta.
Azimut prijenosnog voda, Zl, pretpostavlja se da je 0° ili 180 ° ovisno o
orijentaciji voda.
3.1.2 Prisilna konvekcija
Najveći gubitak topline nadzemnih vodova događa se putem konvekcije i to
tri do četiri puta više nego radijativnim gubitkom topline.Prislina konvekcija se
događa kod nestacionarnog strujanja okolnog zraka i proporcionalna je
promjeni temperature s promjenom temperature zraka, promjeru vodiča i
brzini vjetra.Prirodna konvencija se događa prilikom stacionarnog strujanja i
ekvivalnentna je prisilnoj konvekciji, uz brzinu vjetra od oko 0.15 m/s.
U pokušaju da se nađe točan model konvektivnog gubitka topline u cijelom
rasponu mogućih brzina vjetra, gubitak topline prislinom konvekcijom se
definira pomoću dva izraza:
qc1=[1.01+0.371 ∙ (D ∙ ρf ∙V w
μ f)0.52]∙ k f ∙(T c−T a)
I
qc2=0.1695 ∙(D ∙ ρf ∙V w
μ f)0.6
∙ k f ∙(T c−T a)
gdje je:
qc - konvektivni gubitak topline [W/m]
µf – dinamička viskoznost zraka na temperaturi Tf , [kg/ m-s]
ρf – gustoća zraka na temperaturi Tf [W/m-°C]
D – promjer vodiča [m]
Vw – brzina vjetra [m/s]
Tc – temperatura vodiča [°C]
Ta – ambijentalna temperatura [°C]
T f=(T c+T a
2)
Izraz za dinamičku viskoznost zraka je:
μf=1.458∙10−6∙(T f+273)
1.5
T film+383.4
Gustoća zraka:
ρ f=1.293−1.525 ∙10−4H e+6.37910
−9H e2
1+0.00367T f
Prvi izraz za qc1 se primjenjuje za male brzine vjetra, no daje niske vrijednosti
gubitaka zbog konvekcije pri visokim brzinama vjetra.Druga jednadžba, qc2
primjenjuje se za velike brzine vjetra i predstavlja gubitke koji su preniski pri
manjim brzinama vjetra.Zato se na bilo kojoj brzini vjetra gubici računaju
pomoću ove dvije jednadžbe i odabire se veća vrijednost od dvije prilikom
određivanja termičke granice.Ako vjetra ne puše okomito na vodič,izraz za
konvektivno hlađenje e množi sa faktorom smjera vjetra,Kangle, kao što je
definirano sljedećim izrazom:
K angle=1.194−cos∅+0.194 cos2∅ +0.368 sin 2∅
Φ - kut između smjera vjetra i osi vodiča [°]
Korištenje ove jednadžbe sugerira da puhanje vjetra paralelno prijenosnom
vodu može rezultirati za oko 60-posto manjim konvekcijskim gubicima, nego
vjetar iste brzine koji puše okomito.
3.1.3 Prirodni gubitak topline
Na brzini vjetra od 0 m/s, prisilne konvencije nema, no prirodna konvekcija
postoji zbog dizanja toplog zraka.Gubici zbog prirodne konvekcije se
računaju po formuli:
qc=0.283 ∙ ρf0.5 ∙ D0.75∙(T c−T a)
1.25
gdje je:
ρf – gustoća zraka [kg/m3]
D – promjer vodiča
3.1.4 Gubitak topline zračenjem
Gubitak topline zračenjem po jedinici duljine vodiča je približno jednak
konvektivnim gubicima u postojanim meterotološkim uvjetima, a zanemativ je
na brzinama većim od 16 km/h.Radijativni gubitak topline je ovisan o
promjeru vodiča, emisivnosti, porastu temeprature vodiča iznad ambijentalne
i može biti određen sljedećim izrazom:
qr=0.138∙ D ∙ ε [(K c
100)¿¿4−(
K a
100)4
]¿
qr – radijativni gubitak topline [W/m]
ε – faktor emisije
D – promjer vodiča [m]
Kc - temperatura vodiča [°K]
Ka – ambijantalna temperatura [°K]
Faktor emisije od 0.5 se koristi ako nije poznato stanje površine vodiča.
3.1.5 Omski gubici nadzemnog voda
Omski , I2R , gubici po jediničnoj duljini voda jednaki su umnošku otpora
vodiča (u ohmima) i rms (root mean square) srednje vrijednosti električne
struje (u amperima).Izmjenični otpor na 50 Hz golog nadzemnog voda varira
s metalnom vodljivošću, frekvencijom, prosječnom gustoćom struje i
temperaturom.Kako bi se odredila termička granica na temperaturi na kojoj
nisu poznate vrijednosti otpora, otpor se računa o sljedećoj formuli:
RTC=RTL+[ RTH−RTL
T H−T L ] ∙ (T C−T L)
gdje je:
RTC – otpor izračunat na temperaturi TC [Ω]
RTL – 50 Hz ac otpor na temperaturi TL [Ω]
RTH – 50 Hz ac otpor na temperaturi TH [Ω]
TL – temperatura vodiča na kojoj je otpor RTL određen [°C]
TH – temperatura vodiča na kojoj je otpor RTH određen [°C]
TC – temperatura vodiča na kojoj je želimo odrediti nepoznati otpor [°C]
Skin efekt se pojavljuje kod izmjenične struje i funkcija je strujnog toka u
vodiču.Izmjenična struja teče uz rub vodiča, zadržavajući veću gustoću struje
na vanjskim slojevima i povećavajući efektivni otpor.Ako vodič sadrži neki
feromangetni materijal, kao čelik, skin efekt se povećava.Za vodič koji se
sastoji samo od bakra ili aluminija, skin efekt u koncentrično položenom
vodiču je identičan cilindričnom vodiču jednakog dc otpora.Skin efekt nije
izravno ovisan o veličini struje u vodiču.
4. Radijalna raspodjela temperature u vodiču
Izraz za radijalnu raspodjelu temperature u dalekovodnom vodiču se izvodi iz
temeljne toplinske jednadžbe i jednadžbe prijenosa topline na
okolinu.Diferencijalne jednadžbe su izvedene, što osigurava očuvanje
energije unutar vodiča kako bi se dobilo izraz za temperaturnu
promjenjivost.Prethodno objavljeni matematički modeli su se koristili za
potvrdu rezultata na ACSR vodičima.Nakon potvrde modela, napravljena je
analiza kako bi se razvio model ovisnosti struja - temperatura za kompozitne
vodiče.Poznavanje gradijenta radijalne raspodjele temperature je posebno
važno za nadzemne vodove s visokim strujnim opterećenjem, pošto su u
mogućnosti biti u pogonu na visokim temperaturama.
4.1 Jednadžba za nadzemne vodove
Za jednadžbu vođenja topline uvode se sljedeće pretpostavke:
- Struja vodiča je stacionarna (jednolika )
- jednaka proizvodnja topline za jedinici volumena
- temperatura vodiča je jedino funkcija radijalne pozicije
- termičke vodljivosti materijala su konstantne
- električni otpor vodiča je linearno ovisan o temperaturi
- zračenje s vodiča ide u okolinu na temperaturi okolnog zraka
Općenito , postoje dva tipa materijala u vodiču; slojevi vodiča i jezgra.Jezgra
se dalje dijeli na karbonski kompozitni materijal i sloj staklenih vlakana.Oba
materijala imaju drukčija vodljiva svojstva, karbonska jezgra je poluvodljivi
materijal, dok su staklena vlakna izolacijski materijal. Izraz za radijalnu
raspodjelu temperature se dobije iz opće toplinske jednadžbe.Ta jednadžba
u Laplaceovom obliku glasi:
∇2T + qk= 1α∙ ∂T∂t
1r∙ ∂∂ r (r ∂T∂r )+ 1r2 ∂
2T∂ ϕ2
+ ∂2T∂z2
+ qk= 1α∂T∂ t
U jednodimenzionalnom cilindričnom vodiču, jednadžba postaje:
1r∂∂r (r ∂T∂r )+ qk=1
α∂T∂t
Ako je temperatura stalna i funkcija radijusa, jednadžba vodiča postaje:
1rddr (r ∂T∂r )+ qk=0
Član q predstavlja izvor u jednadžbi za vodič zbog električnog zagrijavanja,
koje je rezultat I2R gubitaka.
q= I2 RA
gdje je:
A – poprećni presjek vodiča [m2]
R – otpor po jedinici duljine [Ω]
I – ukupni strujni tok kroz vodič
It – ukupna struja kroz kompozitni vodič [A]
Ic – strujni tok kroz užad [A]
Is – strujni tok kroz jezgru [A]
Dakle, prema ovoj strujnoj raspodjeli slijedi:
I s=I t(R c
R s+Rc)
I c=It (R s
R s+Rc)
Iz ovih izraza raspodjela struje u jednom materijalu kompoitnog vodiča je
funkcija temperature oba materijala.Kada se jednadžba očuvanja energije
primjeni na oba materijala (jezgru i užad), jednadžbe postaju neovisne jedna
o drugoj.
ksr
ddr (r dT s
dr )+ I s2
A s
ρsAms
[1+α s (T s−293 ) ]=0
kcr
ddr (r dT c
dr )+ I c2
Ac
ρcAmc
[1+αc (Tc−293 ) ]=0
Gdje je:
ρ– električna otpornost na 20 °C
α– temperaturni koeficijent otpornosti
A – poprečni presjek, uključujući i ispunu zrakom [m2]
Am – poprečni presjek, isključujući ispunu zrakom [m2]
Za kompozitni vodič rubni uvjeti su sljedeći:
1. T(r)=T na r=ros Temperatura na površini je zadana
2. T(r)= konačno na r = 0 Konačna temperatura u središtu vodiča
3. Ts(ros)= TC(ros) Prijenos topline na spoju između jezgre i Aluminija
4. Gubici topline zbog zračenja i konvekcije na povrišini vodiča moraju biti
jednaki toplini provedenoj kroz vodič.
Rješenje jednadžbi s gore navedenim rubnim uvjetima je:
T sc=T a[C 1J0(( I sc2 ρsc αsc r sc2
k sc A sc Amsc)12 )+C2Y 0(( I sc2 ρscα sc r sc
2
ksc A sc Amsc)12)−(
1−293 ρ sc
Taα sc)]
T c=T a[C3J 0(( I c2ρc α crc2
k s A s Amc)12 )+C4Y 0(( I c2 ρc αc rc
2
k cAc Amc)12)−(
1−293 ρcT aα c
)]
Formiranjem serijskog toplinskog kruga između dva sloja kompozitnog
materijala, jednadžba za temperaturu materijala staklenog vlakna se računa
po sljedećoj formuli:
Otpor staklenog vlakna je povezan u seriju s otporom karbonske jezgre, jer
toplina mora prolaziti nesmetano kroz svaki materijal.
T sg=T sc+qcc ∙(R sc+ ln (r sg /ros))
2 ∙ π ∙ kg
Gdje je:
Tsc – temperatura karbonskog sloja u jezgri [°C]
Tc – temperatura vodljivog materijala, površinska temperatura vodiča [°C]
Tsg – temperatura kompozitne jezgre (ugljična + staklena vlakna) [°C]
Rsc – termički otpor karbonskog dijela jezgre [Ω]
rsg – radijus kompozitne jezgre (ugljična + staklena vlakna)
ros - radijus samo karbonskog dijela jezgre [m]
kg – toplinska vodljivost staklenih vlakana
qcc – stupanj prijenosa topline staklenih vlakana
C1,C2,C3,C4 – konstante integracije
J0, Y0 – Besselove funkcije nultog reda prve i druge vrste
Rješavanje ovih jednadžbi je moguće korištenjem programa (npr. Matlab).
k f=2.42410−2+7.47710−5T f−4.40710
−9T f2