fizicka geodezija
DESCRIPTION
Fizicka geodezijaTRANSCRIPT
![Page 1: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/1.jpg)
Физичка геодезијаДоц. др Олег Одаловић, дипл.геод.инж.
![Page 2: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Физичка геодезија (Основни подаци)
• Фонд часова 3 + 1
• 15 недеља
• 2 колоквијума
![Page 3: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Физичка геодезија (Литература)
ФИЗИЧКА ГЕОДЕЗИЈА
Веико Хаисканен, Хелмут Мориц
W.H. Freeman and Co.,
San Francisco, 1967
![Page 4: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Физичка геодезија (Литература)
МАТЕМАТИКА II
Ернест Стипанић, Миломир Трифуновић
Научна књига
Грађевински факултет
Београд, 1988.
![Page 5: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Физичка геодезија (У оквиру предмета...)
I. Основе теорије потенцијала гравитационе силе
II. Потенцијал Земљине теже
III. Редукција интензитета Земљине теже
IV. Системи висина
V. Теорија Молоденског
![Page 6: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Физичка геодезија (Увод-теорија поља)
• Ако се свакој тачки М области Φ (простора
или неког његовог дела) кореспондира нека
величинa V тада је Φ поље величине V
., ΦMMVV
• Поље је скаларно ако је V скаларна величина,
• Поље је векторско ако V је векторска величина.
![Page 8: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/8.jpg)
8
• Пример ознака скаларних поља
zyxr ,,
.,,,, zyxVVrVVMVV
– Вектор положаја тачке ΦM
• Пример ознака векторских поља
MAA
MAMAMAMA zyx ,,
Физичка геодезија (Увод-теорија поља)
![Page 9: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Физичка геодезија (Увод-теорија поља)
• Скаларно поље:– непрекидност,
– извод у правцу,
– градијент,
– Хамилтонов оператор,
– својства оператора.
• Векторско поље:– непрекидност,
– векторске линије поља,
– протицање (флукс) вектора,
– дивергенција вектора,
– циркулација вектора,
– ротор вектора,
– класификација поља.
![Page 10: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
• Скаларно поље F(M) задано у области
је непрекидно у тачки , ако се за свако
може наћи таква околина тачке
да за све тачке буде задовољено
Φ
ΦM 0
0 ΦU ΦM 0
ΦM
.0 MFMF
• Непрекидност скаларног поља је исто што и
непрекидност функције у тачки zyxF ,, .0M
![Page 11: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/11.jpg)
11
• Геометријско место тачака M у којима
функција F(x,x,z) има константну вредност, тј.
F(x,x,z) =C, зове се ниво површ поља или нивоска
површ поља.
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 12: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/12.jpg)
12
dMM 0
• M0 фиксна тачка,
• M мења положај,
ΦM 0
ΦM
cos0 dxxx
cos0 dxxy
cos0 dxxz
d
MFMF
d
F 0
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 13: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/13.jpg)
13
• Ако постоји гранична вредност
тада се она зове извод функције F(M) у правцу М0М у
тачки М0.
.lim0 d
F
d
F
d
• Ако је функција F(M) диференцијабилна у М0 онда
она има извод у било ком правцу М0 и он је тада
једнак
.coscoscos zyX FFFd
F
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 14: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/14.jpg)
14
• Вектор дефинисан координатама
зове се градијент функције F(x,y,z) у тачки М(x,y,z)
или градијент поља и обележава се са
,x
FFx
,
y
FFy
.
z
FFz
.,,
z
F
y
F
x
FFgrad
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 15: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/15.jpg)
15
CzyxF ,,
0000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
000
• Тангенцијална раван у М0 • Нормала на у М0
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 16: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/16.jpg)
16
• Градијент у М0 има правац нормале на тангенцијалну
раван у М0 (правац највеће промене функције F(x,y,z)).
zz
jx
ix
• Хамилтонов оператор
kz
Fj
y
Fi
x
FFz
zj
yi
xF
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 17: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/17.jpg)
17
• Хамилтонов оператор (својства)
22112211.1 FkFkFkFk
211221.2 FFFFFF
2
2211221.3 FFFFFFF
FF F .4
Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)
![Page 18: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Векторско поље задано у области
непрекидно је у тачки , ако се за свако
може наћи таква околина тачке
да за све тачке буде задовољено
Φ
ΦM 0
0 ΦU ΦM 0
ΦM
.0 MAMA
• Непрекидност векторског поља је исто што и
непрекидност скаларних функција
у тачки
zyxAzyxAzyxA zyx ,,,,,,,,
MA
.0M
![Page 20: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
ΦMMA ,
• Векторско поље може се проучавати
кроз три скаларна поља .,,, ΦMMAMAMA zyx
• Векторска линија поља је линија која
има ту особину да тангента у свакој њеној тачки
има правац вектора
ΦMMA ,
.MA
zyx A
dt
dz
A
dt
dy
A
dt
dx
![Page 21: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Протицање (флукс) вектора кроз орјентисану
површ Г је интерал по површи Г скаларног
производа
MA
nA
Γ
dnA
Γ
zyx dAAA coscoscos
![Page 22: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Протицање (флукс) вектора кроз орјентисану
површ Г је интерал по површи Г скаларног
производа
MA
Γ
dnA
Ако је површ затворена
![Page 23: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
ΦMMAA ,
– Векторско поље
Затворена површ
ограничава W
Област W
ΦΩ
Запремина V
![Page 24: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Ако постоји гранична вредност
V
dnAΓ
PΩ
lim
назива се дивергенција вектора у тачки MA
.P
0
0lim
V
dnA
PAdiv Γ
PΩ
P извор
P понор
![Page 25: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Може се показати да важи (коришћењем
интегралне теореме Гауса-Остроградског)
z
A
z
A
x
AAdiv zyx
• Коришћењем Хамилтоновог оператора може
се писати
AAdiv
• Интегрална теорема Гауса-Остроградског
Γ Ω
zyxzyx dv
z
A
y
A
x
AdxdyAdzdxAdydzA
![Page 26: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
ΦMMAA ,
– Векторско поље
Орјентисана глатка крива
tztytxr ,,
Непрекидно
![Page 27: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Криволинијски интеграл дуж криве је облика
. C C
zyx dzAdyAdxArdA
• Ако је крива C затворена онда се интеграл
назива
оптицање или циркулација вектора.
dzAdyAdxArdA zy
C
x
C
![Page 28: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
ΦMMAA ,
– Векторско поље
Непрекидно
Орјентисана глатка крива
Раван
![Page 29: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Ако постоји гранична вредност
C
PC
dnA
lim
назива се густина оптицања вектора у тачки P.
• Ротор векторског поља зове се
вектор чија је пројекција на вектор једнака
густини циркулације вектора у тачки P.
ΦMMAA ,
n
C
PCn
dnA
Arot
lim
![Page 30: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Може се показати да ако је важи
zyx
n
AAA
zyx
kji
Arot
zyx AAAA ,,
• Користећи Хамилтонов оператор може се
писати
AArotn
![Page 31: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Векторска поља могу бити:
a) соленоидна,
a) потенцијална,
b) хармонијска,
c) сложена.
![Page 32: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Физичка геодезија (Увод-векторско поље)
• Соленоидна
,0Adiv
и бар за једни тачку 0Arot
• Потенцијална
,0Arot
и бар за једни тачку 0Adiv
• Хармонијска
0,0 ArotAdiv
• Сложена
Ако је бар у једној тачки 0,0 ArotAdiv
![Page 33: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/34.jpg)
Гравитациона сила ( пропорционалност)
• Исак Њутн 1678. године
34
2~
l
mmF BA
![Page 35: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/35.jpg)
35
2l
mmkF BA
• Хенри Кевендиш 1798. године
2211 kgNm10673.6 k
1 kg
1 kg
1 m
Компоненте вектора ?
Гравитациона сила (једначина)
![Page 36: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/36.jpg)
36
)(3 AB
AB
BA rrrr
mmkF
Димензије тела
бесконачно мале величине
у односу на растојање између тела.
Гравитациона сила (векторски облик)
![Page 37: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/37.jpg)
37
W
n
i
BA
BA
ABB rr
rr
mmkF
i
i
i
13,
• Адитивност
Збир свих појединачних сила
између тела B
и тела Ai система W.
Гравитациона сила (адитивност)
![Page 38: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/38.jpg)
38
• Пуно тело
W
W
dm
rr
rrmkrF
B
BBBB 3
Ван тела нема маса (само тело W и тело B).
Тело W је круто тело.
Гравитациона сила (пуно тело)
![Page 39: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/39.jpg)
Гравитациона сила (убрзање)
39
BBBB rgmrF
W
W
W
drrrr
rkrg B
B
B
3
W
dm
rr
rrkg
B
B
3
W drdm
g
F
![Page 40: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/40.jpg)
Гравитациона сила (ротор)
40
0grot
0Frot
• Векторско поље силе безвртложно:
gVgrad
• Скаларно поље дефинисано функцијом V
![Page 41: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/42.jpg)
Потенцијал гравитационе силе
2
drr
rkrVV
B
B
)(
• Скаларна функција
dzdydxl
zyxkzyxVV
BBB
),,(
),,(
![Page 43: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/43.jpg)
Компоненте силе
3
z
V
y
V
x
VVVVVgrad
zyx,,,,
dzdydxl
xxkV B
x 3
dzdydxl
yykV B
y 3
dzdydxl
zzkV B
z 3
• Потенцијал и његови први парцијални
изводи непрекидне су функције у целом
простору.
• Збир других парцијалних извода: прекид
-4 k. у тачкама физичке површи тела.
![Page 44: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/44.jpg)
Једначине Лапласа и Пуасона
4
S
nn
FF
dS
MkdSFS
n4
dM
SS
ndkdSF 4
S
ndSFdF
div
2
2
2
2
2
2
divz
V
y
V
x
V
z
Z
y
Y
x
XF
dkdτF 4div
![Page 45: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/45.jpg)
Једначине Лапласа и Пуасона
5
042
2
2
2
2
2
k
z
V
y
V
x
V
2
2
2
2
2
2
zyx
kV 4
04div dkF
0V
Једначине Лапласа и Пуасона
Пуасон Лаплас
![Page 46: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/46.jpg)
6
Једначине Лапласа и Пуасона
kV 4
0VЛаплас
Пуасон
Спољашњи потенцијал
(хармонијска функција)
Унутрашњи потенцијал
![Page 47: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/47.jpg)
Фуријеова метода
7
0V
321321
,, xhxgxfxxxV
• Фуријеова метода - метода раздвајања променљивих
• Одређује се она функције која задовољава Лапласову једначину
• у облику производа три међусобно независне скаларне функције
једне променљиве
![Page 48: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/48.jpg)
Фуријеова метода
8
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds
01
33
21
122
13
211
32
1321
x
V
h
hh
xx
V
h
hh
xx
V
h
hh
xhhhV
• Решавањем следе три диференцијалне једначине другог реда чија су
решења функције
и
које се релативно лако могу одредити
• Ортогоналне координате
• Лапласова функција у ортогоналним координатама (општи облик)
21 , xgxf 3xh
![Page 49: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/49.jpg)
Материјална површ
9
ln
S
O
B
X
Y
Z
dS
dS
dm
SS
mpl
kl
dmkV
• Површинска густина
Потенцијал
![Page 50: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/50.jpg)
Материјална површ
10
kn
V
n
V
u
mp
s
mp4
• Потенцијал непрекидна функција
у целом простору
• Први парцијални изводи имају прекид у
тачкама површи S
SS
mpl
kl
dmkV
• У тачкама ван и унутар површи
0mp
V
![Page 51: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/51.jpg)
Двоструки омотач
11
h
+
-+
-B
m
-m
B
S S
n
lnkMV
d
1
h
+
-B
m
-m
B
n
Дипол
• Потенцијал дипола
S
dodS
lnkV
1
dS
dM
mhM
Потенцијал
Густина момента дипола
Момент дипола
![Page 52: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/52.jpg)
Двоструки омотач
12
S
dodS
lnkV
1
• Овако дефинисан потенцијал у тачкама
површи S има прекид
kVVus
4
• У тачкама ван и унутар површи важи
0 doV
![Page 53: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/53.jpg)
Гаусова интегрална формула
13
dSFdVS
n
Xx
V
n
VF
n
dSn
VdV
S
• Гаусова интегрална формула за потенцијал гравитационе силе
(убрзања)
![Page 54: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/54.jpg)
I Гринов идентитет
14
VUF grad
2
2
2
2
2
2
divz
V
y
V
x
VU
z
V
z
U
y
V
y
U
x
V
x
UF
• Функције U и V су непрекидне и коначне у подручју
• Применом на векторско поље
Први Гринов идентитет
dVUdSn
VUdVU
S
,
![Page 55: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/55.jpg)
II Гринов идентитет
15
UVF grad
• За векторско поље
dUVdSn
UVdVU
S
,
VUF grad
• За векторско поље
dVUdSn
VUdVU
S
,
dUVdSn
UVdVUdS
n
VU
SS
dSn
VU
n
UVdUVVU
S
Други Гринов идентитет
![Page 56: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/56.jpg)
III Гринов идентитет
16
lU
1
dSln
Vn
V
lpVdV
lS
111
S
B
B
B
Van povr{i S
Na povr{i S
Unutar povr{i S
• Применом II идентитета за функцију
Трећи Гринов идентитет
простор унутар површи S
SP
SP
SP
p
vanjeako
najeako
unutarjeako
,0
,2
,4
![Page 57: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/57.jpg)
17
S
B
B
B
Van povr{i S
Na povr{i S
Unutar povr{i S
• Применом II идентитета за функцију
Трећи Гринов идентитет
простор ван површи S
III Гринов идентитет
dSln
Vn
V
lpVdV
lS
111
SP
SP
SP
p
vanjeako
najeako
unutarjeako
,4
,2
,0
lU
1
![Page 58: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/58.jpg)
Примена Гринових идентитета
18
1dS
lnV
n
V
lpVdV
lS
111
Трећи Гринов идентитет ( простор ван површи S )
SP
SP
SP
p
vanjeako
najeako
unutarjeako
,4
,2
,0
• Када одаберемо V =1 следи
dSln
pS
1
SP
SP
SP
p
vanjeako
najeako
unutarjeako
,0
,2
,4
![Page 59: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/59.jpg)
Примена Гринових идентитета
19
• Када за V одаберемо потенцијал убрзања Земљине теже следи:
dSln
Vn
V
lpVdV
lS
111
Трећи Гринов идентитет ( простор ван површи S )
dSln
VdSn
V
lpV
SS
11
• За тачку ван S p је једнако 4 па следи:
dSln
VdSn
V
lV
SS
1
4
11
4
1
)0( V
2
![Page 60: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/60.jpg)
Примена Гринових идентитета
20
domp VVV
S
mpl
kV
S
dodS
lnkV
1
n
V
k
4
1
k
V
4
dSln
VdSn
V
lV
SS
1
4
11
4
1
2
![Page 61: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/61.jpg)
Примена Гринових идентитета
21
constVV 0
dSln
VdS
n
V
lV
SS
1
4
1
4
1 0
dSln
VdSn
V
lV
SS
1
4
11
4
1
n
V
k
4
1
mpVV
3
За тачку ван S интеграл
је 0 (прва примена)
![Page 62: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/62.jpg)
Стоксова теорема
22
• Функција која је хармонијска ван површи може
се једнозначно одредити из њених вредности
задатих на површи S
S
VVS
![Page 63: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/63.jpg)
Дирихлеов принцип
23
• Потврда да таква функција увек постоји дата
је Дирихлеовим принципом
• Одређивање функције - Дирихлеов проблем
S
VVS
![Page 64: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/64.jpg)
Граничне вредности
24
S
V
VS
n
V
n
VhkV
I
II
III
Дирихлеов
Нојманов
Линеарна комбинација
( h и k константе)
![Page 65: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/65.jpg)
1
Дирихлеов проблем (сфера)
• Решити за граничне вредности задате на
површи сфере
0V
V
SVS
0V
321 xhxgxfV
SV
![Page 66: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/66.jpg)
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds
01
33
21
122
13
211
32
1321
x
V
h
hh
xx
V
h
hh
xx
V
h
hh
xhhhV
• Ортогоналне координате, дужина лука
Дирихлеов проблем (сфера)
• Лапласова једначина у ортогоналним координатама
![Page 67: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/67.jpg)
3
Дирихлеов проблем (сфера)
• Сферне координате
cossinrx
sinsinry
cosrz
![Page 68: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/68.jpg)
4
Дирихлеов проблем (сфера)
cossinrx sinsinry cosrz
dx
dx
drr
xdx
d
yd
ydr
r
ydy
d
zd
zdr
r
zdz
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds
2222222 sin drdrdrds ddr,ddr, ddНема чланова - ортогоналне координате
![Page 69: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/69.jpg)
5
Дирихлеов проблем (сфера)
2222222 sin drdrdrds
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds 11 h
rh 2
sin3 rh
01
33
21
122
13
211
32
1321
x
V
h
hh
xx
V
h
hh
xx
V
h
hh
xhhhV
0sin
1ctg122
2
2222
2
22
2
V
r
V
r
V
rr
V
rr
VV
![Page 70: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/70.jpg)
6
0sin
1ctg122
2
2222
2
22
2
V
r
V
r
V
rr
V
rr
VV
Дирихлеов проблем (сфера)
hgrfV
2
2
2
2
2
sin
112
1
YYctg
Y
Yfrfr
f
,YrfV
![Page 71: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/71.jpg)
7
2
2
2
2
2
sin
112
1
YYctg
Y
Yfrfr
f
Дирихлеов проблем (сфера)
nrrf 1
1
nr
rf
021
2 fCfrfr 0sin
1ctg
12
2
22
2
YC
YYY
hgY ,
11 nnC
![Page 72: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/72.jpg)
8
Дирихлеов проблем (сфера)
0sin
11cossin
2
Cnngg 0
2 hCh
mh cos mh sin cosnm
Pg
nmn
mnm
nnmt
dt
dt
ntP 11
!2
1 22
2
Лежандрове функције, cost
2
2 mC
![Page 73: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/73.jpg)
9
Дирихлеов проблем (сфера)
cosnm
Pg nrrf
1
1
nr
rf
mh cos
mh sin
n
m
nmnmnmnmn mPBmPAY0
sincos, ,YrfV
![Page 74: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/74.jpg)
10
Дирихлеов проблем (сфера)
n
m
nmnmnmnm
nn
mPBmPAr
rV00
1sincos
1,,
n
m
nmnmnmnm
n
n mPBmPArrV00
sincos,,
![Page 75: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/75.jpg)
11
Дирихлеов проблем (сфера)
mPC nmnm coscos,
mPS nmnm sincos,
• Увођењем смена
једначине се могу записати у облику
n
m
nmnmnmnm
n
n SBCArrV00
,,,,
n
m
nmnmnmnm
nn
SBCAr
rV00
1,,
1,,
![Page 76: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/76.jpg)
12
Дирихлеов проблем (сфера)
• Најкраћи облик следи на основу познате смене
0
,,,m
nmnmnmnmn SBCAY
,,,0
n
n
n
i YrrV
,1
,,0
1 n
nno Y
rrV
У тачкама унутар сфере У тачкама ван сфере
![Page 77: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/77.jpg)
13
Дирихлеов проблем (сфера)
• Константе
.2
2 mC ,11 nnC
• Добијена решења имају физичко значење
само ако су n и m целобројне вредности и
ако је m мање или једнако од n.
![Page 78: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/78.jpg)
14
Дирихлеов проблем (сфера)
0 0
,,n
n
m
nmnmnmnmS SBCAV
,,,0
n
n
n
i YrrV
,1
,,0
1 n
nno Y
rrV
0
,n
n
n
YR
rV
0
1
,n
n
n
Yr
RV
![Page 79: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/79.jpg)
15
Дирихлеов проблем (сфера)
• Просторне сферне хармонике
,,0
n
n
nYrV .,1
01
n
nnY
rV
• Површинске сферне хармонике
,coscos, mPC nmnm ,sincos, mPS nmnm
.,,,0
n
m
nmnmnmnmn SBRAY
![Page 80: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/80.jpg)
16
Дирихлеов проблем (сфера)
cos6P
ЗОНСКЕ
6coscos6,6P
СЕКТОРКСЕ
6coscos6,12P
ТЕСЕРАЛНЕ
![Page 81: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/81.jpg)
17
Дирихлеов проблем (Лежандрове функције)
,11!2
1 222 n
mn
mnm
nnm tdt
dt
ntP
• Лежандрове функције прве врсте
,,,0 n .,,0 nm
• Пример
sin12
11
12
1 22
2
22
11
tt
dt
dtP
cost
![Page 82: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/82.jpg)
18
• Лежандрови полиноми
,1!2
1 2
0
n
n
n
nnn tdt
d
nPtP
.,,0 n
Дирихлеов проблем (Лежандрове функције)
• Примери
,10 tP ,1 ttP ,2
1
2
3 2
2 ttP .2
3
2
5 3
3 tttP
![Page 83: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/83.jpg)
19
• Непарни степени
Дирихлеов проблем (Лежандрове функције)
![Page 84: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/84.jpg)
20
Дирихлеов проблем (Лежандрове функције)
• Парни степени
![Page 85: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/85.jpg)
1
• Решити за граничне вредности задате на
површи елипсоида
0V
V
EVS
0V
321 xhxgxfV
EV
Дирихлеов проблем (елипсоид)
![Page 86: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/86.jpg)
2
Дирихлеов проблем (елипсоид)
• Једнопараметарске елипсоидне координате
u – Параметар (мала оса елипсоида)
– Редукована колатитуда
– Комплемент
– Лонгитуда
![Page 87: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/87.jpg)
3
Дирихлеов проблем (елипсоид)
cossin22 Eux
sinsin22 Euy
cosuz
• Трансформација
222222222
22
222
2 sincoscos
dEudEuduEu
Euds
• Дужина лука
![Page 88: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/88.jpg)
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds
01
33
21
122
13
211
32
1321
x
V
h
hh
xx
V
h
hh
xx
V
h
hh
xhhhV
• Ортогоналне координате, дужина лука
Дирихлеов проблем (елипсоид)
• Лапласова једначина у ортогоналним координатама
![Page 89: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/89.jpg)
5
Дирихлеов проблем (елипсоид)
,cos
22
2222
1Eu
Euh
,cos2222
2 Euh .sin2222
3 Euh
,sincoscos 222222222
22
2222
dEudEudu
Eu
Euds
• Упоређењем
,2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 dxhdxhdxhds
следи
![Page 90: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/90.jpg)
6
Дирихлеов проблем (елипсоид)
0sin
cosctg2
cos
12
2
222
222
2
2
2
222
222
V
Eu
EuVV
u
Vu
u
VEu
EuV
01
33
21
122
13
211
32
1321
x
V
h
hh
xx
V
h
hh
xx
V
h
hh
xhhhV
,cos
22
2222
1Eu
Euh
,cos2222
2 Euh ,sin2222
3 Euh
![Page 91: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/91.jpg)
7
Дирихлеов проблем (елипсоид)
,,, hgufuV
• Увођењем смене
,0sin
sin1cossin2
g
mnngg
.02 hmh
једначина се трансформише у три обичне диференцијалне
једначине другог реда
, 0,12
2
22
222
fm
Eu
EnnfufEu
![Page 92: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/92.jpg)
8
• Решења једначина су
Дирихлеов проблем (елипсоид)
,nmPuf
,nmQuf ,cos nmPg
,cos mh
.sin mh
,E
ui
где су:
nm
Q – Лежандрове функције друге врсте.
![Page 93: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/93.jpg)
9
Дирихлеов проблем (елипсоид)
,1 22
m
n
mm
nmdt
tQdttQ
• Лежандрова функција друге врсте
n
k
knknnntPtP
kt
ttPtQtQ
1
10
1
1
1ln
2
1
при чему је:
n
k
knknnzPzP
kz
zzPzQ
1
10
1
1
1ln
2
1
За случај реалног аргумента
За случај комплексног аргумента
![Page 94: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/94.jpg)
10
Дирихлеов проблем (елипсоид)
• Решења (линеарна комбинација решења)
0 0
sincoscoscos,,n
n
m
nmnmnmnm
nm
nm
mPBmPA
E
biP
E
uiP
uV
0 0
sincoscoscos,,n
n
m
nmnmnmnm
nm
nm
mPBmPA
E
biQ
E
uiQ
uV
Свака функција која је хармонијска унутар елипсоида
Свака функција која је хармонијска ван елипсоида
![Page 95: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/95.jpg)
11
Дирихлеов проблем (елипсоид)
0 0
sincoscoscos,,n
n
m
nmnmnmnmmPBmPAbuV
bu • За следи
• Када ексентрицитет тежи нули може се показати:
,lim0
nn
nm
nm
E R
r
b
u
E
biP
E
uiP
.lim
1
0
nn
nm
nm
E r
R
b
u
E
biP
E
uiP
![Page 96: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/96.jpg)
12
Дирихлеов проблем (елипсоид)
• Парни степени
n
k
knknnn tPtPkt
ttPtQtQ
1
1
1
1
1ln
2
1
![Page 97: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/97.jpg)
13
Дирихлеов проблем (елипсоид)
• Непарни степени
n
k
knknnn tPtPkt
ttPtQtQ
1
1
1
1
1ln
2
1
![Page 98: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/98.jpg)
![Page 99: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/99.jpg)
Земљина тежа (Дефиниција)
2
Y
Bp
X
xy
C
Z
fF
Ekvator
Po~etni meridijan
Sredwa osa Zemqine rotacije
Telo Zemqe
ij
k
FfF
F
F
f
– Гравитациона сила
– Центрифугална сила
Последица Земљине ротације
Координатни систем
![Page 100: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/100.jpg)
Земљина тежа (Векторски облик, правац и смер)
3
drrrr
rmkrF
B
B
BB
3
2pmrf
BB
22 yxp
– Тело Земље
– Густина – Угаона брзина
Земљине ротације
![Page 101: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/101.jpg)
Убрзање
4
BBB
mrgr
FF
2
3
pdrr
rr
rkrg
B
B
B
g
F
Bm – Делује као фактор
размере
![Page 102: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/102.jpg)
Убрзање (јединице)
5
2s
m
2scm1gal1 gal10mgal1 3
2sm01.0gal1 2sm10mgal1
![Page 103: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/103.jpg)
![Page 104: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/104.jpg)
Потенцијал Земљине теже
2
VW
V
– Потенцијал гравитационе силе тела Земље
– Потенцијал центрифугалне силе која настаје
као последица Земљине ротације
![Page 105: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/105.jpg)
Потенцијал Земљине теже
3
VW
drr
rkV
B
)( 222
2
1yx
222
2
1)(yxd
rr
rkW
B
![Page 106: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/106.jpg)
Компоненте убрзања
4
z
W
y
W
x
WWgradg ,,
BB
x xdzyxl
xxk
x
Wg 2
3,,
BB
y ydzyxl
yyk
y
Wg 2
3,,
BB
z zdzyxl
zzk
z
Wg 2
3,,
222 )()( zzyyxxrrlBBBB
![Page 107: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/107.jpg)
Уопштена једначина Пуасона
5
04 kV
2
2
2
x
2
2
2
y0
2
2
z
,
• Потенцијал гравитационе силе тела Земље
• Потенцијал центрифугалне силе
2
2
2
2
2
2
2
24
k
z
W
y
W
x
WW
![Page 108: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/108.jpg)
Нивоске површи и линије сила
6
constCzyxW ,,
• Нивоске еквипотенцијалне површи
• Линије сила (вертикале)
Линије које имају особину да се правац
тангенте у свакој њеној тачки поклапа са
правцем градијента скаларног поља
![Page 109: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/109.jpg)
Геометријски однос...
7
dzz
Wdy
y
Wdx
x
WdW
sgdsgsgdW
,cos
![Page 110: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/110.jpg)
Геометријски однос...
8
0 sgdW
Вертикале су управне на нивоске површи
![Page 111: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/111.jpg)
Геометријски однос...
9
constdsgdsgsgdW cos
Нивоске површи међусобно конвергирају (од екватора ка половима)
![Page 112: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/112.jpg)
Геометријски однос...
10
constdsgdsgsgdW cos
• Нивоске површи међусобно конвергирају
• Не додирују се и не пресецају
• Кроз сваку тачку вертикале пролази
једна нивоска површ
![Page 113: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/113.jpg)
Геометријски однос...
11
Вертикала је крива линија
![Page 114: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/114.jpg)
Вертикални градијент
12
212
1KKJ
Средња кривина
g
WK xx
1
g
WK
yy
2
Кривине линија
пресека нивоске
површи и XOZ, YOZ
![Page 115: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/115.jpg)
Вертикални градијент
13
2242 kWgJWWW zzzzyyxx
212
1KKJ 224 kWWWW zzyyxx
2242 kgJWzz
z
gWzz
2242
kgJ
z
gВертикални градијент
![Page 116: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/116.jpg)
Хоризонатални градијенти
14
cosgkx
g
singky
g
2
2
2
1kkk
Укупна кривина вертикале
1k – Кривина пројекције вертикале у равни XOY
2k – Кривина пројекције вертикале у равни YOZ
![Page 117: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/117.jpg)
Геоид
15
constW 0
![Page 118: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/118.jpg)
Ортометријскa висинa
16
![Page 119: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/119.jpg)
Природне координате
17
• Једнозначно дефинисан положај у простору
(уређена тројка бројева)
W,, OH,,
– Географска латитуда
– Географска лонгитуда
W – Потенцијал
OH – Ортометријска висина
![Page 120: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/120.jpg)
Природне координате
18
Y
YB
X
X
C
Z
Z
Ekvator
Po~etni meridijan
Sredwa osa Zemqine rotacije
Telo Zemqe
Jedini~nasfera
![Page 121: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/121.jpg)
Природне координате (Латитуда)
19
• Угао који у равни меридијана
тачке B граде раван екватора и
правац вертикале у тачки
• Северно и јужно од екватора
од 0о до 90о
![Page 122: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/122.jpg)
Природне координате (Лонгитуда)
20
• Угао који у равни екватора граде
раван почетног меридијана и
раван меридијана тачке B
• Источно и западно од почетног
меридијана од 0о до 180о
![Page 123: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/123.jpg)
Природне и геоцентричне
21
sin,sincos,coscosn
z
W
y
W
x
WWgradg ,,
![Page 124: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/124.jpg)
Природне и геоцентричне
22
coscosgWx
sincosgWy
singWz
22arctg
yx
z
WW
W
x
y
W
Warctg
zyxWW ,,
![Page 125: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/125.jpg)
Сферно хармонијски развој W
23
l
dMkV
cos2
11
22
BABArrrrl
ABBABA
cossinsincoscoscos
dzyxdM ,,
![Page 126: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/126.jpg)
Сферно хармонијски развој W
24
ABrr AB
rr cosu• Смена
frl
A
11
12
1
2
uf
cos2
11
22
BABArrrrl
![Page 127: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/127.jpg)
Сферно хармонијски развој W
25
12
1
2
uf
0n
n
naf uPa
nn
Лежандрови полиноми
• Следи
0
11
n
n
n
A
uPrl
0
1cos
1
n
nn
A
n
B Pr
r
l
![Page 128: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/128.jpg)
Сферно хармонијски развој W
26
0 0
1,,,,
12
11
n
n
m
BBnmAAnmBBnmAAnmn
A
n
B SSRRr
r
nl
• Реципрочно растојање у функцији сферних хармоника
dMSSRRr
r
nkV
n
n
m
BBnmAAnmBBnmAAnmn
A
n
B
0 01
,,,,12
1
0 011
,12
,,
12
,
n
n
m
BBnm
n
Bn
A
AAnm
BBnm
n
Bn
A
AAnm dMSrn
k
r
SdMRr
n
k
r
RV
• Следи
• Заменом редоследа интеграције и сумирања
![Page 129: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/129.jpg)
Сферно хармонијски развој W
27
• Усвајањем
0 011
,12
,,
12
,
n
n
m
BBnm
n
Bn
A
AAnm
BBnm
n
Bn
A
AAnm dMSrn
k
r
SdMRr
n
k
r
RV
dMRrn
kA
BBnm
n
Bnm
,
12 dMSr
n
kB
BBnm
n
Bnm
,
12
0 011
,,
n
n
mn
A
AAnm
nmn
A
AAnm
nmr
SB
r
RAV
![Page 130: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/130.jpg)
Сферно хармонијски развој W
28
0 011
,,
n
n
mn
A
AAnm
nmn
A
AAnm
nmr
SB
r
RAV
• Moже се показати да ред
увек конвергира ван површи
најмање сфере (Бријова
сфера) која у потпуности
окружује тело Земље
![Page 131: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/131.jpg)
Сферно хармонијски развој W
29
0 011
,,
n
n
mn
A
AAnm
nmn
A
AAnm
nmr
SB
r
RAV
• На површи Земље ред је у
општем случају дивергентан
![Page 132: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/132.jpg)
Сферно хармонијски развој W
30
0 011
,,
n
n
mn
A
AAnm
nmn
A
AAnm
nmr
SB
r
RAV
• Коефицијенти А10, А11 и B11 једнаки 0 ако се
координатни почетак поклапа са центром масе Земље
• Када се оса координатног система поклапа са осом
Земљине ротације коефицијенти А20 и B21 једнаки 0
• Функције уз ове коефицијенте забрањене или
недопустиве хармонике
![Page 133: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/133.jpg)
Сферно хармонијски развој W
31
0 0
,,1n
n
m
AAnmnmAAnmnm
n
AA
SKRJr
a
r
kMV
n
nm
nmaMk
AJ
n
nm
nmaMk
BK
– Радијус Земље у равни екватораa
• Често се користи облик
![Page 134: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/134.jpg)
Сферно хармонијски развој W
32
220
2
Ma
BAC
J
• Динамички фактор облика
dMzyABB
22
dMxzBBB
22
dMyxCBB
22
– Моменти инерције
![Page 135: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/135.jpg)
![Page 136: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/136.jpg)
Нормални потенцијал
2
• Maса (центар масе)
• Ротација (оса ротације)
• Елипсоид
BBBB
zyxUrUU ,,
![Page 137: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/137.jpg)
Нормална Земља и убрзање
3
Нормална Земља
Ugrad
• Убрзање
![Page 138: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/138.jpg)
Нивоске површи
4
constU
• Површи дефинисане изразом
• Нивоски елипсоид
су нивоске површи
![Page 139: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/139.jpg)
5
Геоид и нивоски елипсоид
constUW 00
• Мала и велика оса елипсоида дефинишу се тако да елипсоид
представља онај елипсоид који набоље апроскимира геоид у
геометријском смислу
![Page 140: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/140.jpg)
Аномалијски потенцијал
6
UW
TUW
UWT
• У што већој мери
• Знак једнакости једино у случају
Аномалијски потенцијал
![Page 141: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/141.jpg)
Нормални потенцијал (основне релације)
7
12
2
2
22
b
z
a
yx
• У правоуглом координатном систему
• Парaметри који дефинишу разлику елипсоида од површи сфере
22 baE
a
Ee
b
Ee
– Линеарни
ексентрицитет
– Први бројни
ексентрицитет
– Други бројни
ексентрицитет
a
baf
– Спљоштеност
b
ac
2
– Полупречник кривине на
половима
![Page 142: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/142.jpg)
Нормални потенцијал
8
• Нормално поље у потпуности дефинисано са 4 параметра
a kM 20J
a – Велика полуоса елипсоида
kM – Производ гравитационе констане и масе тела
20J – Динамички фактор облика
– Угаона брзина ротације
![Page 144: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/144.jpg)
Нормални потенцијал
10
UUVU
• Збир потенцијала
dE
El
zyxkzyxV E
U ,,
,, 222
2
1,, yxzyx
U
E – Тело нормалне Земље
dE – Елемент запремине
E – густина
![Page 145: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/145.jpg)
Нормални потенцијал
11
EU kV 4
dE
El
zyxkzyxV E
U ,,
,, 222
2
1,, yxzyx
U
0 UV
• Ако је познато , x и y
потенцијал дефинисанПуасон
Лаплас
![Page 146: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/146.jpg)
Сферно хармонијски развој
12
UV
0 0
sincoscoscos,,n
n
m
nmnmnmnm
nm
nm
UmPBmPA
E
biQ
E
uiQ
uV
• У функцији једнопараметарских елипсоидних координата
0
cos,n
nn
n
n
UPA
E
biQ
E
uiQ
uV
• Ротациона симетрија
![Page 147: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/147.jpg)
Сферно хармонијски развој U
13
2222 sin2
1, Euu
U
• Потенцијал убрзања центрифугалне силе
Сферно хармонијски развој
2222
0
sin2
1cos, EuPA
E
biQ
E
uiQ
uUn
nn
n
n
![Page 148: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/148.jpg)
Потенцијал U на елипсоиду
14
• Обртни елипсоид нивоска је површ нормалног потенцијала
па за u = b мора бити
constaPAUn
nn
222
0
0sin
2
1cos
0sin2
1cos
cos
cos
cos
0
222
3
22
11
00
UaPA
PA
PA
PA
n
nn
• Прва три члана
,1cos0 P
,coscos1 P
2
1cos
2
3cos 2
2 P
cos13
2sin 2
2 P
![Page 149: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/149.jpg)
Сферно хармонијски развој U
15
• Следи
UaA 22
03
1 cos11PA
cos
3
12
22
2 PaA 0cos3
n
nnPA
22
003
1aUA 0
1A 22
23
1aA 0
43 AA
2222
2
2
2
22
0
0
22
0sin
2
1cos
3
1
3
1Eu
E
biQ
E
uiQ
Pa
E
biQ
E
uiQ
aUU
![Page 150: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/150.jpg)
Сферно хармонијски развој U
16
22222
0
22 cos2
1
3
1sin
2
1arctg, Eu
q
qa
u
E
E
kMuU
ab
E
E
kMU 2
03
1arctg
E
u
u
E
E
uq 3arctg31
2
12
2
E
u
b
E
E
bq 3arctg31
2
12
2
0
• У функцији редуковане колатитуде изрази постају
![Page 151: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/151.jpg)
Сферно хармонијски развој U
17
• У функцији сферних хармоника
5
4
43
2
2
coscos
r
PA
r
PA
r
kMV UU
0
2
2332
21
121
q
em
n
n
n
kMEA
nnU
n
kM
bam
22
![Page 152: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/152.jpg)
Сферно хармонијски развој U
18
• У применама се често користи облик
1
2
2
2cos1
n
n
n
U
nP
r
aJ
r
kMV
2
20
21
251
3212
31
e
Jnn
nn
eJ
UnnU
n
220Ma
CAJ U
(A и C моменти инерције у односу на X и Z осу)
![Page 153: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/153.jpg)
![Page 154: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/154.jpg)
Убрзање нормалне теже
2
,,uUgrad
• У једнопараметарским елипсоидним координатама
u
U
wu
1
U
Euw 22
1
U
Eu cos
1
22
22
222 sin
Eu
Euw
![Page 155: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/155.jpg)
Убрзање нормалне теже
3
2
0
02
0
0
2222cos
61sin
31
cossin q
qemm
q
qem
baa
kMu
• Роцациона симетрија
• = 0 на површи елипсоида
1arctg1132
2
0
u
E
E
u
E
bq
![Page 156: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/156.jpg)
Убрзање нормалне теже
4
0
0
61
q
qemm
ab
kMa
• Редукована латитуда за тачке на екватору је 0 па следи
• На половима
0
0
31
q
qem
ab
kMb
![Page 157: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/157.jpg)
Формула Сомиљанија (Somigliana)
5
2
0
02
0
0
2222cos
61sin
31
cossin q
qemm
q
qem
baa
kMu
0
0
61
q
qemm
ab
kMa
0
0
31
q
qem
ab
kMb
tgBa
btg • Увођењем смене следи формула Сомиљанија
BbBa
BbBaba
2222
22
sincos
sincos
![Page 158: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/158.jpg)
Убрзање нормалне теже (Clairaut)
6
• Теорема Клероа
0
0
2
21
q
qeb
a
ba
aa
ab
a
amff
2
*
2
5
2
5
• Оригинално приказана 1738. у облику
a
abf
*
![Page 159: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/159.jpg)
Геодетске координате
7
• Једнозначно дефинисан положај у простору
(уређена тројка бројева)
hLB ,,
B – Геодетска латитуда
L – геодетска лонгитуда
h – Елипсоидна висина
![Page 160: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/160.jpg)
Геодетске координате (Латитуда)
8
• Северно и јужно
од екватора од 0о
до 90о
• Угао који у равни меридијана
тачке P граде раван екватора и
нормала на елипсоид
![Page 161: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/161.jpg)
Геодетске координате (Лонгитуда)
9
• Источно и западно почетног
меридијана
од 0о до 180о
• Угао који у равни екватора граде
раван почетног меридијана и раван
меридијана тачке P
![Page 162: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/162.jpg)
Геодетске координате (Висина)
10
• Нормала на елипсоид, кроз тачку P која се налази на
физичкој површи Земље, продире површ елипсоида у тачки
Q. Одсечак вертикале од P тачке до тачке Q назива се
елипсоидном висином.
![Page 163: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/163.jpg)
Геодетске и геоцентричне
11
LBhNx coscos
LBhNy sincos
BhNa
bz sin
2
2
32
32
cos
sin
aep
bezarctgB
x
yarctgL
NB
ph
cos
22 yxp pb
zaarctg
BbBa
aN
sincos 22
2
![Page 164: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/164.jpg)
Вертикални градијент
12
0,242 2
2
2
EE
U
zz kJhz
UU
• Као и у случају реалног убрзања може се показати да
важи
0,22 2
2
2
E
U
zz Jhz
UU
• односно
NMJ U 11
2
1
где је
2322
2
cos1 Beb
aM
2122
2
cos1 Beb
aN
![Page 165: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/165.jpg)
Вертикални градијент
13
k
hH
g4
• Користи се за израчунавање приближне вредности
градијента реалне теже
• Ако се занемари зависност од ширине B при чему се
усвоји B = 45o тада важи
/msm103086.02
12 25
ar
Mk
h
a
односно
kH
g4103086.0 5
![Page 166: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/166.jpg)
Нормална поља – GRS80 и WGS84
14
• Нормално поље у потпуности дефинисано са 4 параметра
a kM 20J
a – Велика полуоса елипсоида
kM – Производ гравитационе констане и масе тела
20J – Динамички фактор облика
– Угаона брзина ротације
![Page 167: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/167.jpg)
Нормална поља – GRS80 и WGS84
15
0
2
2015
21
3 q
emeJ
• Одређивање мале полуосе на основу
0
2
20
2
15
23
q
eemJe
0
332
20
2
215
43
q
e
kM
aJe
aeeb
1
12
1
03212
142
n
n
n
enn
nq
222 1/ eee
20J
1
2
3
![Page 168: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/168.jpg)
Нормална поља – GRS80 и WGS84
16
02q
e
bJ 20
dee DL
Le
222 1/ eee e
e
1
12
1
03212
142
n
n
n
enn
nq
0
332
20
2
215
43
q
e
kM
aJe
eba
bae
22
,...,,, oba U
• Сви остали параметри
![Page 169: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/169.jpg)
Нормална поља – GRS80 и WGS84
17
0
0
2 61
q
qemm
a
kMa
0
0
31
q
qem
ab
kMb
• Убрзање нормалне теже на
екватору
• Убрзање нормалне теже на
половима
• Убрзање нормалне теже на
латитуди B
BbBa
BbBaba
2222
22
sincos
sincos
• Гравиметријска спљоштеност
a
abf
*
ab
Earctg
E
kMU 2
03
1
• Потенцијал на нивоском елипсоиду
(геоиду)
3 2baR
• Полупречник терестричке сфере
![Page 170: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/170.jpg)
Нормална поља – GRS80 и WGS84
18
Параметар 80GRS 84WGS Јединице
a 6378137 6378137 m
kM 8103986005 8103986005 23sm
2J 8100000000.108263 8109989052.108262 /
11107292115 11107292115 1srad
2e 22900066943800.0 90130066943799.0 / 2e 75480067394967.0 42260067394967.0 /
b 3141.6356752 3143.6356752 m
f 81180033528106.0 64740033528106.0 /
E 0097.521854 0084.521854 m
c 6259.6399593 6258.6399593 m
a 7803267715.9 7803267714.9 2ms
b 8321863685.9 8321863685.9 2ms
0U 710052636860850.6 710702636860849.6 22sm
*f 120053024401.0 290053024401.0 /
R 7900.6371000 7904.6371000 m
![Page 171: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/171.jpg)
![Page 172: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/172.jpg)
Разлика координата
2
hLB ,,W,,
OH,,
Геодетске координатеПриродне координате
![Page 173: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/173.jpg)
Разлика висина
3
OHhN
Ундулација геоида
![Page 174: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/174.jpg)
Разлика координата
4
B
BL cos
(Меридијан)
(Први вертикал)
Компоненте
Угао одступања вертикале
![Page 175: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/175.jpg)
Разлика убрзања
5
gR
Вектор
• Два случаја у зависности од положаја вектора:
1. вектори у истој тачки,
2. вектори у различитим тачкама.
![Page 176: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/176.jpg)
Вектор поремећајног убрзања
6
00
00
00
00
PP
PP
PP
PP
g
UgradWgrad
UWgrad
Tgrad
000 PPP g
• У тачки на P0 геоиду
![Page 177: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/177.jpg)
Вектор аномалијског убрзања
7
QP
QPP
g
UgradWgradg
0
00
QPPgg
00
• У тачки на P0 геоиду
![Page 178: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/178.jpg)
Интензитети вектора
8
QPPP ggg 000
0000 PPPP g
• Поремећајно убрзање
• Аномалија убрзања
![Page 179: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/179.jpg)
![Page 180: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/180.jpg)
Аномалијски потенцијал
2
TUW
UWT
• Основне релације
UW
![Page 181: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/181.jpg)
Аномалијски потенцијал
3
UU
VVT
VW
UUVU UWT
UVVT
![Page 182: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/182.jpg)
Аномалијски потенцијал
4
UVVT
0T kkT 44
0,0, E 0,0, E
Хармонијска функција
![Page 183: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/183.jpg)
Ундулација геоида
5
NNn
UUU
Q
Q
QP
0
NTWU QPPP 000
Q
PT
N
0
Формула Брунса
![Page 184: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/184.jpg)
6
Угао одступања вертикале
sincos
ds
dN
ds
dN
Mds
Td
PVds
Td
Меридијан
У правцу првог вертикала
o0
o90
![Page 185: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/185.jpg)
Поремећајно убрзање
7
n
T
n
U
n
W
n
U
n
W
gg
P
PPP
0
000
n
Tg
P
P
0
0
![Page 186: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/186.jpg)
Аномалија убрзања
8
n
Tg
P
P
0
0
n
Tgg
P
pPP
0
00
Nn
gn
Tg QPP
00
Nnn
TgP
0
Основна једначина физичке геодезије
![Page 187: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/187.jpg)
Линеарни функционали T
9
n
TTtt ,
Q
PT
N
0
ds
dN
n
Tg
P
P
0
0
Nnn
Tg
![Page 188: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/188.jpg)
Сферна апроксимација
10
,3
4
3
4 23 baR
• Замена елипсоида сфером (једноставнији изрази)
• Терестричка сфера (не ротира)
• Услов да запремина терестричке сфере буде једнака
запремини нивоског елипсоида
3 2baR
• одакле следи
![Page 189: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/189.jpg)
Сферна апроксимација
11
2r
kM
• Убзање гравитационе силе терестричке сфере
• Правац нормале на сферу и правац радијус
вектора међусобно се поклапају
rn
• Диференцирањем израза за убрзање следи
32
r
kM
r
rr
21
![Page 190: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/190.jpg)
Сферна апроксимација
12
,0
Q
PTN
,0
0 n
Tg
P
P
,
T
nn
Tg
,0 r
TgP
T
rr
Tg
2
,0
Q
PTN
32
r
kM
r
rr
21
rn
![Page 191: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/191.jpg)
Сферна апроксимација
13
Mds
Td
PVds
Td
222
dsdsds
drds dBrds cos
T
r
1
T
r cos
1
![Page 192: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/192.jpg)
Сферна апроксимација
14
3103
• Увођењем сферне апроксимације чини се грешка
реда (спљоштености):
• Сферна апроксимација се користи у циљу
добијања једноставнијих израза за функционале
аномалијског потенцијала. Вредност нормалног
убрзања увек се рачуна за тело Нормалне
Земље:
,
TN ,
1
T
r.
cos
1
T
r
![Page 193: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/193.jpg)
15
,nT
n
m
nmnm
U
nmnm PmKmJJ0
cossincos
Rr • Као хармонијска функција ван терестричке сфере
Сферно хармонијски развој Т
0
1
,n
n
n
Tr
RT
![Page 194: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/194.jpg)
Сферно хармонијски развој Т
16
,
1
1
n
n
n
Tr
RT
Нема хармоника степена 0
TUW UWT UUVVT
UVVT
![Page 195: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/195.jpg)
17
Сферно хармонијски развој Т
• У геоцентричном координатном систему
,
1
2
n
n
n
Tr
RT
Нема хармоника степена 1
2
1
,n
n
n
Tr
RT
![Page 196: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/196.jpg)
18
Сферно хармонијски развој Т
TN
0
1
,1
n
n
n
Tr
RN
• Ундулација геоида
• Поремећајно убрзањеr
Tg
0
1
,11
n
n
n
Tr
Rn
rg
![Page 197: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/197.jpg)
19
Trr
Tg
2
Сферно хармонијски развој Т
0
1
,11
n
n
n
Tr
Rn
rg
• Аномалија убрзања
• Компонента у правцу меридијана и првог вертикала
T
r
1
T
r cos
1
![Page 198: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/198.jpg)
Пуасонов интеграл
20
,,,,,, 1
2
0
0
1
Tr
RT
r
RT
r
RrT
n
n
n
dTT ,4
1,
0
dTT cos,4
3,
1
• Аномалијски потенцијал могуће је приказати у
облику
• где су
![Page 199: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/199.jpg)
Пуасонов интеграл
21
d
l
RTRrRrT
3
22,,
4,,
• Пуасонов интеграл за аномалијски потенцијал
• Одговара случају када хармонике првог и другог
степена нису једнаке нули
![Page 200: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/200.jpg)
Пуасонов интеграл
22
dTT ,4
1,
0
dTT cos,4
3,
1
d
l
RTRrRrT
3
22,,
4,,
dRTr
R
rl
RrRrT ,,cos
21
4,,
23
22
Модификовани Пуасонов интеграл
-
-
![Page 201: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/201.jpg)
Аномалија убрзања
23
2
1
,11
n
n
n
Tr
Rn
rg
dRTr
R
rl
RrRrT ,,cos
21
4,,
23
22
dRgr
R
rl
RrRrg A ,,cos
21
4,,
23
222
• Дефинисане вредности ван терестричке сфере из
вредности на сфери:
Trr
Tg
2
Парцијална
диференцијална
једначина
![Page 202: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/202.jpg)
Стоксова Формула
24
,2
Trr
Tg
• Решавањем (сада) парцијалне диференцијалне
једначине:
следи
dgSR
T4
Стоуксова формула
где је Стоуксова функција. S
![Page 203: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/203.jpg)
Стоуксова функција
25
2sin
2sinlncos3cos51
2sin6
2sin
1 2
S
![Page 204: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/204.jpg)
Стоуксова формула
26
dgSR
N4
TN
dgSR
T4
Формула Брунса
Стоуксово
решење диф.
једначине
Стоуксова формула за
ундулацију геоида
,ggN
gNN
![Page 205: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/205.jpg)
Стоуксова формула
27
• Услови када формула важи када:
• се аномалије односе на глоблани елипсоид,
• нормална Земља има масу једнаку маси Земље,
• се центар елипсоида поклапа са центром масе Земље,
• ван геоида нема маса.
![Page 206: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/206.jpg)
Стоуксова формула (разни облици)
28
• У поларним координатама на сфери
04
dFgR
N
2
0
,2
1dgg sin
2
1SF
![Page 207: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/207.jpg)
29
Стоуксова формула (разни облици)
• У елипсоидним координатама
2
0
2/
2/cos,
4,
L BLdBdBSLBg
RLBN
LLBBBB coscoscossinsincos
![Page 208: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/208.jpg)
30
Стоуксова формула (разни облици)
• У функцији од сферних хармоника
gdPn
nRN
n
n
2
cos1
12
4
2
cos1
12
n
nPn
nS
![Page 209: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/209.jpg)
Формула Венинг-Мајнеса
31
ds
dN
T
r cos
1
T
r
1
dgSR
N4
dd
dSg
QPcos
4
1
dd
dSg
QPsin
4
1
![Page 210: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/210.jpg)
![Page 211: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/211.jpg)
Редукција g
2
• Све масе изнад геоида
![Page 212: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/212.jpg)
3
Редукција g
• Резултати мерења – физичка површ Земље
![Page 213: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/213.jpg)
4
Редукција g
• Формула Стокса – ван геоида нема маса
![Page 214: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/214.jpg)
5
Редукција g
• Срачуна се утицај маса изнад геоида
![Page 215: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/215.jpg)
6
Редукција g
• Од резултата мерења одузме се срачунати утицај
![Page 216: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/216.jpg)
7
• Тачка „остаје у ваздуху” удаљена Ho од P0
Редукција g
![Page 217: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/217.jpg)
8
Редукција g
• Разлика убрзања - „спуштање кроз ваздух”
![Page 218: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/218.jpg)
9
Редукција g
• Финална вредност – g, dgP, dgF
![Page 219: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/219.jpg)
10
Редукција g
• Два корака редукције:
1. регуларизација геоида dgP,
2. поправка за „ слободан ваздух” dgF .
![Page 220: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/220.jpg)
11
Редукција g
• Регуларизација геоида
• Рачунање утицаја маса изнад геоида,
• одузимање срачунате вредности од резултата мерења..
![Page 221: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/221.jpg)
12
Редукција g• Поправка за „слободан ваздух”
• рачунање разлике убрзања у P и P0,
• Коришћење вредности нормалног градијента.
25 s103068.0
oHF
-25 sm103068.0 oo HFH
![Page 222: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/222.jpg)
13
Редукција g
• Индиректни ефекат регуларизације - когеоид
CC TTT d
CC NNN d
Брунс
![Page 223: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/223.jpg)
14
Редукција g
• Редукције које се најчешће користе:
1. Бугеова,
2. Хелмертова кондензациона редукција,
3. изостатичке редукције.
![Page 224: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/224.jpg)
15
Редукција g (Буге)
Геоид
• Хипотеза – топографске масе имају исту густину
![Page 225: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/225.jpg)
16
Редукција g (Буге)
a
HaHHHaHHkU
OOOOOO
C
222222ln
222 OOB
P HaHakg d
O
Ca
B
P Hkgg dd 2lim
Потенцијал
Вертикална компонента
Утицај Бугеове плоче
![Page 226: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/226.jpg)
17
Редукција g (Буге)
O
P
B
Pp Hkggg d 2
O
O
OF HH
FHg
d
![Page 227: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/227.jpg)
18
Редукција g (Буге)
oo
P
B
P FHHkgg 20
![Page 228: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/228.jpg)
19
Редукција g (Буге, аномалије)
Q
B
PB gg 0
• Изражен индиректни ефекат
![Page 229: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/229.jpg)
20
Редукција g (Теренска корекција)
Масе које нису узете у обзирМасе не постоје
(„Њихов утицај ” урачунат)
![Page 230: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/230.jpg)
21
Редукција g (Теренска корекција)
BA mmc dd
Увек позитивна вредност
![Page 231: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/231.jpg)
22
cFHHkgg oo
P
B
P 20
yxHz
HzPPP
O
P
P
dzdydxzzyyxx
Hzkc
,
222
• Теренска корекција
• Бугеова редукција
Q
B
PB gg 0
• Бугеова аномалија
Редукција g (Теренска корекција)
![Page 232: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/232.jpg)
23
Редукција g (Хелмертова кондензациона)
oo
P
H
P FHHkgg 20
• Иста хипотеза и исти поступак као и Буге
• Враћа масе кондензовањем на геоид са површинском
густином
.OH
![Page 233: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/233.jpg)
24
Редукција g (Хелмертова кондензациона)
F
P
FOO
P
FO
P
H
P
gg
gHkHkg
gkHkgg
d
d
d
22
220 F
P
H
P ggg d0
![Page 234: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/234.jpg)
25
Редукција g (Хелмертова кондензациона, аномалија)
Q
H
PH gg 0
• Индиректни ефекат не тако
изражен као код Бугеових
аномалија
![Page 235: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/235.jpg)
26
![Page 236: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/236.jpg)
27
Редукција g (Тeорија изостазије)
• Због хипотеза долази до:
• негативног предзнака у планинским подручјима
(„недостатак маса”),
• претежно позитивни предзнак у приобалним подручјима,
• готово увек позитивног знака у подручјима под морима и
океанима. („вишак маса”).
![Page 237: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/237.jpg)
28
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
Ниво компензације
![Page 238: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/238.jpg)
29
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
Ниво компензације
Исти пресек стубова
и иста маса
![Page 239: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/239.jpg)
30
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
Ниво мора
![Page 240: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/240.jpg)
31
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
Планине Планине
![Page 241: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/241.jpg)
32
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
Мора и океани
![Page 242: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/242.jpg)
33
Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)
0 DhD B
0 0 DhhD wC
km100D
3
0 kg/m2670
![Page 243: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/243.jpg)
34
Исти пресек стубова
и иста густина
Редукција g (Теорија изостазије, Ејри-Хаисканен)
![Page 244: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/244.jpg)
35
Редукција g (Теорија изостазије, Ејри-Хаисканен)
Пропорционално
висини зароњени у
слој течне лаве
![Page 245: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/245.jpg)
36
„Нормална дебљина”
„Корен”
„Антикорен”
Редукција g (Теорија изостазије, Ејри-Хаисканен)
![Page 246: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/246.jpg)
37
Редукција g (Теорија изостазије, Ејри-Хаисканен)
3kg/m600
km32T
3
0 kg/m2670
3
1 kg/m2670
hh 45.4t 0
hhw 73.2t
01
0
![Page 247: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/247.jpg)
38
Редукција g (Теорија изостазије, аномалије)
F
CPP
I
P gAggg dd 0
Q
I
P
I
P gg 00
![Page 248: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/248.jpg)
РЕДУКЦИЈА
1
![Page 249: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/249.jpg)
АСТРОНОМСКА МЕРЕЊА
2
A
LL
BB
Помоћне величине
Редукција …
![Page 250: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/250.jpg)
3
BLBL
BB
coscos
За координате следи
односно
BL
B
cos/
Редукција …
АСТРОНОМСКА МЕРЕЊА
![Page 251: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/251.jpg)
4
zB cotcossintan
Редукција …
АСТРОНОМСКА МЕРЕЊА
![Page 252: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/252.jpg)
5
Индиректно одређивање елипсоидних висина
NHh
Редукција …
ВИСИНЕ
![Page 253: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/253.jpg)
6
12
zB cotcossintan
За приближно хоризонталне визуре може се занемарити
Редукција …
ХОРИЗОНТАЛНИ УГЛОВИ
![Page 254: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/254.jpg)
7
'zz
sincos
Редукција ...
ВЕРТИКАЛНИ УГЛОВИ
![Page 255: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/255.jpg)
8
R
h
R
h
hll
21
22
0
11
R
lRRs
2sin2 01
0
Редукција ...
ДУЖИНЕ
![Page 256: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/256.jpg)
![Page 257: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/257.jpg)
Системи висина (Утицај Земљине теже)
2
C
B
j
C
A
i hh
• Зависност резултата нивелања од пута нивелања
C
B
C
A
dhdh
![Page 258: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/258.jpg)
3
Системи висина (Утицај Земљине теже)
• Збир висинских разлика у затвореном полигону
0i
ih 0dh
![Page 259: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/259.jpg)
4
Системи висина (Утицај Земљине теже)
• У циљу елиминисања свих неодређености у резултате
мерења висинских разлика, добијене путем геометријског
нивелмана, неопходно уносити утицај Земљине теже
C
B
j
C
A
i hh 0i
ih
g
C
B
j
C
A
i HH 0i
iH
![Page 260: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/260.jpg)
Теоријско затварање полигона
5
0
i
ih
dh
![Page 261: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/261.jpg)
6
Теоријско затварање полигонаgdhdW dhgdW
dhGdhG
GgG
dhG
GGdh
G
GgG
dhG
GGgG
dhGGgdW
0
0
00
0
00
0
00
0
000
00
0 dW
![Page 262: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/262.jpg)
7
Теоријско затварање полигона
00
0
00
dhGdh
G
GgG
dhG
Ggdh
0
0
dhG
Gg
0
0
i
dhG
Gg
0
0
![Page 263: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/263.jpg)
![Page 264: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/264.jpg)
Геопотенцијалне коте
9
i
o
i
o
o
i
i
P
Pk
k
P
P
P
P
oiP hgdhgdhgWWdWC )(
• Разлика (негативна) потенцијала
2
1 iik
ggg
![Page 265: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/265.jpg)
Геопотенцијалне коте (Jединица)
10
mgal1000g.p.u.1mkgal1
kgal9.8g oo HgHc 98.0
• Јединица геопотенцијалних кота
• Упоређење са ортометријским висинама
![Page 266: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/266.jpg)
11
Геопотенцијалне коте
• Геопотенцијалним котама обезбеђено:
• да све тачке на истој нивоској површи имају исту висину,
• интеграл по затвореном полигону буде једнак нули,
• висинске разлике се рачунају без увођења хипотеза,
• повезивање нивелманских мрежа више Земаља,
• упоређење нивоа мора и океана,
• ...
![Page 267: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/267.jpg)
Геопотенцијалне коте
12
• Геопотенцијалне коте:
• немају геометријску интерпретацију,
• нису изражене у јединицама растојања.
![Page 268: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/268.jpg)
Дефинисање система
13
• Захтеви:
• једнозначност,
• без хипотеза
• физички дефинисана референтна површ,
• геометријска интерпретација,
• јединице растојања,
• ...
![Page 269: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/269.jpg)
Трансформација
14
oG
CH
• Унапред утврђена вредност убрзањаoG
C
• Једноставна трансформација на јединице растојања
• Задржане неке од особона геопотенцијалних кота
![Page 270: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/270.jpg)
![Page 271: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/271.jpg)
Динамичке висине
16
o
d
G
CH
dG• Константна вредност
• може бити било која вредност
• Најчешће
dG
45
00 45
m
s
ms
m
2
2
2
![Page 272: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/272.jpg)
Динамичке висине
17
P
P
P
Po
o
P
Po
oo
P
Poo
PdP
o ooo
dhG
Ggdhg
G
GGgdh
G
g
G
CH
• Једнозначност
dhG
GgdhgH
P
P o
o
P
P
d
P
oo
k
P
Pk o
okP
Pk
k
d
p hG
GghH
oo
• Елиминишу затварање полигона
dhG
Gg
0
0
i
hG
Gg
0
0
![Page 273: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/273.jpg)
18
Динамичке висине
• Референтна површ геоид
• Све тачке на истој нивоској површи имају исту динамичку висину
• Динамичке висине не могу се геометријски интерпретирати
![Page 274: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/274.jpg)
19
Динамичке висине
• Висинска разлика
dhG
Ggdhg
G
CCHH
P
P o
o
P
Po
PPd
P
d
P
2
1
2
1
22
12
2
1
2
1
22
12
0
0
P
Pk
kk
P
Pk
k
o
PPd
P
d
P hG
Ggh
G
CCHH
• Динамичка поправка
k
P
Pk o
ok
P
P o
o hG
Ggdh
G
GgDK
2
1
2
1
![Page 275: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/275.jpg)
![Page 276: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/276.jpg)
Ортометријске висине
21
g
CH o
• Усваја се вредност gGG o 0
g − средња вредност убрзања у тачкама
ортометријске висине
m
s
ms
m
2
2
2
![Page 277: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/277.jpg)
Ортометријске висине
22
• Јединице
• Референтна површ геоид
• Геометријска интерпретација
m
![Page 278: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/278.jpg)
Ортометријске висине
23
P
P
o
PP
H
o
o
P
o
PpPPP
o
oP
ooPHgdhg
HHdhgWWWWC
'
'
1
P
o
Pg
CH
![Page 279: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/279.jpg)
Ортометријске висине
24
• Висинска разлика
21
2
1
12 ,
P
Pk
koP
oP OPhHH
k
P
Pk o
oko
P
o
oPo
P
o
oPh
G
GgH
G
GgH
G
GgOP
2
1
2
2
1
1
2,1
• Ортометријска поправка
o
PP
G
ggg 21
![Page 280: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/280.jpg)
Ортометријске висине
25
k
P
Pk o
oko
P
o
oPo
P
o
oPh
G
GgH
G
GgH
G
GgOP
2
1
2
2
1
1
2,1
i
dhG
Gg
0
0• Елиминише затварање полигона
• Тачке на истој нивоској површи немају исте ортометријске
висине (симулирани пад):
o
P
P
PPo Hg
ggH
1
2
21
![Page 281: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/281.jpg)
26
Ортометријске висине
• Хипотеза(е) о густини маса Земљине коре
= ?
![Page 282: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/282.jpg)
27
Ортометријске висине (Редукција)
dHgH
ggg
P
Q
PQ
)HH(H
ggg PQ
P
PQ
Развијањем у Тејлоров ред и
интеграцијом (задржавајући
само линеарне чланове)
![Page 283: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/283.jpg)
28
Ортометријске висине (Редукција)
2242
GgJ
H
g
)HH(H
ggg PQ
P
PQ
222
oJ
H
GHH
g4
kH
g4103086.0 5
msm.H
g 2610848070
3m
kg2670
ms
m103086.0
2
5
H
![Page 284: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/284.jpg)
29
)HH(H
ggg PQ
P
PQ
Ортометријске висине (Редукција)
msm.H
g 2610848070
26 )(1084807.0 smHHgg PQPQ
QP
o
Pg
C
g
CH
![Page 285: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/285.jpg)
Ортометријске висине (Хелмерт)
30
),(2
1oP ggg
• Линеарна промена густине
210)83818.0086.3( 6
o
PPP
Hgg
следе ортометријске висине по Хелмерту
![Page 286: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/286.jpg)
Ортометријске висине (Нитхамер)
31
)(2
1oP ggg
• Линеарна промена густине
• Узима у обзир утицај преосталих топографских маса
TQgQQ Gg
TQP gHQ Gg
2средња вредност
![Page 287: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/287.jpg)
Ортометријске висине (Нитхамер)
32
TQ
TP g
o
P
gP
Hgg
210)83818.0086.3()( 6
• При враћању равни зона се проширује до 188 km због
сувише великих оцена за утицај предела
• Ортометријске висине по Нитхамеру
• Узимају се у обзир масе до растојања 42 km са
поделом предела на сектора са излазним углом од
= 45o
![Page 288: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/288.jpg)
Ортометијске висине (Мадер)
33
To
TP
T ggg
2
1
),(2
1oP ggg
• Линеарна промена густине
• Узима у обзир утицај преосталих топографских маса
Утицај у тачки на физичкој
површи Земље
Утицај у тачки на геоиду
![Page 289: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/289.jpg)
Ортометријске висине (Мадер)
34
)(2
1
210)83818.0086.3( 6
To
TP gg
o
PP
MA
P
Hgg
• Уводи се коначна Бугеова раван до растојања од 30 km да
не би дошло до сувише великих одбијања
• Ортометријске висине по Мадеру
• Узимају се у обзир масе до растојања 30 km са
поделом предела на сектора са излазним углом од
= 22o 30’
![Page 290: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/290.jpg)
![Page 291: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/291.jpg)
36
Нормалне висине
CH N
• Усваја се вредност 0G
− средња вредност нормалног убрзања дуж
нормале тачке у којој се нормална висина
одређује
m
s
ms
m
2
2
2
![Page 292: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/292.jpg)
37
Нормалне висине (Молоденски)
2
2
2
6
1
2
11 N
P
o
N
P
o
o
H
o
N
P
P HH
HH
dhH
NP
• Средња вредност нормалног убрзања рачуна се
коришћењем израза
• Рачуна се итетеративним путем (до жељене тачности)
Вредност убрзања на елипсоиду као
приближна вредност при развоју у
степени ред
![Page 293: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/293.jpg)
Нормалне висине (Геометријска интерпретација)
38
ТЕЛУРОИД
![Page 294: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/294.jpg)
Нормалне висине
39
КВАЗИГЕОИД
![Page 295: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/295.jpg)
Нормалне висине
40
2,1
2
1
12NPhHH
P
Pk
k
N
P
N
P
• Висинска разлика
k
P
Pk o
okN
P
o
oPN
P
o
oPh
G
GgH
G
GH
G
GNP
2
1
2
2
1
1
2,1
• Нормална поправка
![Page 296: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/296.jpg)
Нормалне висине
41
• Елиминише затварање полигона
i
dhG
Gg
0
0
k
P
Pk o
okN
P
o
oPN
P
o
oPh
G
GgH
G
GH
G
GNP
2
1
2
2
1
1
2,1
• Тачке на истој нивоској површи немају исте нормалне
висине (симулирани пад):
N
P
P
PPN HH1
2
21
![Page 297: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/297.jpg)
Нормалне висине (Вињал, Бомфорд)
42
2100863 6
NP
oP
H.
o45o
• Вињал
• Бомфорд
210086.3 645
N
PoP
H
![Page 298: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/298.jpg)
![Page 299: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/299.jpg)
Сфероидне висине
44
CH S
• Усваја се вредност
− средња вредност нормалног убрзања дуж
нормале тачке у којој се нормална висина
одређује
C − нормална геопотенцијална кота
m
s
ms
m
2
2
2
![Page 300: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/300.jpg)
45
Сфероидне висине
P
P
P
Pk
kkPP'P
o o
ohdhUUC
• Нормална геопотенцијална кота
2
1 iik
P
Pk
k
P
P
PPP
oo
ihgdhgWWC
0
2
1 iik
ggg
геопотенцијална кота
![Page 301: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/301.jpg)
Сфероидне висине
46
21
2
1
12 ,
P
Pk
kSP
SP NOPhHH
k
P
Pk o
okN
P
o
oPN
P
o
oPh
G
GH
G
GH
G
GNOP
2
1
2
2
1
1
2,1
• Сфероидна висинска разлика
• Нормална – ортометријска (сфероидна) поправка
2
21 PP
![Page 302: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/302.jpg)
47
2
1
2
1
0P
Pk
P
Pk
k
o
ok
o
oS hG
Ggh
G
G
Сфероидне висине
2
21
1
2
12
21
21
112
P
PPN
P
P
'P
'P
PP
PP
P
S
P
S
P HCC
CHH
• Не елиминише затварање полигона
• Симулирани пад
![Page 303: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/303.jpg)
![Page 304: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/304.jpg)
Елипсоидне висине
49
• Геометријски дефинисане
![Page 305: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/305.jpg)
Елипсоидне висине
50
• Одређују се применом:
1. директних метода 2. индиректних метода
GNSS Веза са физички дефинисаним
висинама
GPS GLONASS GALILEO…
![Page 306: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/306.jpg)
Елипсоидне висине
51
NHh o NHh NNS NHh
![Page 307: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/307.jpg)
Елипсоидне висине (Висинске разлике)
52
21
2
1
21 21 P,P,
P
Pk
kP,Po NOPhh
21
2
1
21 21 P,P,
P
Pk
kP,PN NPhh
21
2
1
21 ,2,1, PPNN
P
Pk
kPPS NNOPhh
• Ортометријски систем висина
• Нормални систем висина
• Сфероидни систем висина
![Page 308: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/308.jpg)
Системи висина (Преглед)
53
o
d
G
CH
C
g
CH o
CH N
CH S
oG
CH
Динамичке Ортометријске Нормалне Сфероидне
Геопотенцијалне коте
Физички дефинисане
![Page 309: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/309.jpg)
Сумарни преглед
особина висина
Висине
Физички дефинисанеГеометријски
дефинисане
Геопот. коте Динамичке Ортометријске Нормалне Сфероидне Елипсоидне
Јединице g.p.u. m m m m m
Елиминише зат. пол. Да Да Да Да Не /
Геомет. интерпретација Не Не Да Да Да Да
Референтна површ Геоид Геоид Геоид Квазигеоид Нулта. п. Елипсоид
Реф. површ физички јасна Да Да Да Да Не Да
Симулирани пад Не Не Да Да Да /
Хипотезе при дефиницији Не Не Да Не Не /
Системи висина (Преглед)
54
![Page 310: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/310.jpg)
Трансформација
55
NHh o
NHh
NhH o
hH N
![Page 311: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/311.jpg)
![Page 312: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/312.jpg)
Приступ Молоденског
2
• Из трећег Гриновог идентитета за потенцијал W за
произвољну тачку P на физичкој површи Земље S
02211
2 2222
l
dyxdSg
llnWW
S
n
n
dS
l
ng
yx,
d
l
– Спољашња нормале на S
– Елемент површи S
– Растојање између dS и тачке P
– Пројекција вектора убрзања
– Угаона брзина Земљине ротације
– Геоцентричне координате тачке P
– Тело Земље
– Елемент запремине dΩ
– Растојање између dΩ и тачке P
• Приступ Молоденског може се кратко дефинисати на следећи начин:
одредити физичку површ Земље решавањем приказане једначине
ако су потенцијал и вектор убрзања силе Земљине теже познати у
свакој њеној тачки.
![Page 313: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/313.jpg)
3
Приступ Молоденског
PPPTUW QP UW
Q
PN
p
CH
N
PPPHh
• Телуроид
![Page 314: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/314.jpg)
4
Приступ Молоденског
QPgg
QPgg
• Аномалија убрзања и
угао одступања вертикале
• Вектор аномалијског убрзања
• Интензитет
![Page 315: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/315.jpg)
5
gTrr
T
2
Приступ Молоденског
• Приступ Молоденског (сферна апроксимација)
одредити ону функцију Т која је хармонијска ван површи телуроида,
такву да на површи телуроида задовољава гранични услов
0
210
n
nTTTTT
• Решења у облику Редова МолоденскогРед је конвергентан, а добијено решење јединствено
![Page 316: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/316.jpg)
6
Приступ Молоденског
dSGR
T00
4
dSGR
T11
4
dl
hhRdSG
RT P
03
0
2
2224
gG 0
dl
hhRG P
02
0
2
1
2
003
0
2
13
0
2
2 tg24
3d
l
hhRd
l
hhRG PP
sec
dSGGnnn 216
3
2
1
k
Површинска густина
Угао између тангентне равни
профила телуроида која највише
одступа од хоризонталне равни у
посматраној тачки
![Page 317: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/317.jpg)
7
dSGgRT
14
Приступ Молоденског
• Аномалијска висина ( У применама најчешће се користе прва два члана реда)
dGSR
dgSRT
144
1
NT
• Узимањем у обзир свих чланова
321
NT
![Page 318: Fizicka geodezija](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102415/5695d4311a28ab9b02a09f95/html5/thumbnails/318.jpg)
8
Приступ Молоденског
• Квазигеоид
OHg
N
OB Hg
N
ON HHN