Fizik ve Ölçme

Fiz 1011

Ders 1

Ölçme

Temel Kavramlar

Uzunluk

Kütle

Zaman

Birim Sistemleri

Boyut Analizi

http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/

Ölçme Nedir?

Fiziksel bir büyüklüğü ölçmek, birim olarak seçilen aynı türden bir

büyüklükle karşılaştırmaktır.

b- Dolaylı ölçme :

Bir büyüklüğü, doğrudan ölçülebilen başka büyüklükler yardımıyla

hesaplanarak yapılan ölçümlerdir.

Örnek: Yer ve konum ölçülerek, konum değişiminin zaman değişimine

oranlanmasıyla hesaplanır.

İki tür ölçme vardır.

a- Direkt ölçme :

Ölçü aletleriyle doğrudan yapılan ölçümlerdir.

Örnek: Duvarın yüksekliğinin metre ile ölçülmesi.

Duyarlılık (Hassasiyet) Nedir? Bir ölçme aygıtının duyarlılık sınırı, göstergesindeki en yakın iki bölmenin

yarısı kadardır.

mm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı

Δ = 0.5 mm dir.

Anlamlı Rakamlar Bir ölçü sonucunu belirtmek üzere yazılan, doğru olduğu kesin olarak bilinen

ve sonuncusu tahmine dayanan rakamların anlamlı olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek 1.1

Milimetre bölmeli bir cetvelle bir kalemin uzunluğu 5.65 cm olarak ölçülmüş

olsun. Sonucun 5 rakamı milimetrenin tahmin edilen bir kesridir ve ölçüyü

yaparken 4 veya 6 da okunmuş olabilir. Ama bu rakam ölçülen uzunluk

hakkında bilgi vermektedir. Bu ölçümün anlamlı rakamlarının sayısı 3 tür

Virgülün yerinin anlamlı rakamlar için hiçbir önemi yoktur.

0.0565 m 56.5 mm olarak ifade edin anlamlı rakamların sayısı üç tür.

Anlamlı rakam sayısı 3 tür. Ölçüm Sonucu 5.65 0.05 cm

-5.7 5.6

Hassasiyet 0.052

Verilen sayılar içinde şüpheli rakamı en büyük basamak olan sayı

7.4 cm dir. Bu nedenle işlem sonucu cm yakınlıkla verilmelidir.

Yuvarlama işlemi yapılır.

1.67

0.025

7.4 +

19.095

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

Toplama işlemindeki belirsizlik aralığı 1.11 olur. Bu örnekte üçüncü anlamlı

rakam bile sorgulanabilir.

11.67 ± 0.05

0.025 ± 0.005

7.4 ± 0.5

11.72

0.030

7.9

11.62

0.020

6.9

Ölçülen değerler En büyük En küçük

+ +

18.540 19.650

Sonuç

19.650 < l < 18.540

Aralığında olmalıdır.

Sonuç: 19.1 (üç anlamlı rakam vardır)

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Ölçülen nicelikleri toplarken veya çıkarırken cevabın duyarlılığı, toplam

veya farktaki en az duyarlılığa sahip olan terimin duyarlılığı kadar olur.

Bu duyarlılık sınırına kadar olan bütün rakamlar anlamlıdır.

Örnek 1.1 1/10 cm yakınlıkla verilen 11.67 cm, 1/100 cm yakınlıkla verilen

0.25 mm ve cm yakınlıkla verilen 7.4 cm’yi toplayalım.

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

“Hesaplama, ölçülen niceliklerin anlamlı rakam sayılarını ve duyarlılığını arttırmaz.”

Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma işlemi sonucunda en az duyarlıklı ölçülmüş çarpanın

anlamlı rakamları sayısı kadarı (bazı hallerde bir fazlası) korunur.

Örnek 1.2 Duyarlılıkları farklı ölçü aletleri ile ölçülen bir kasanın kenar uzunlukları

25.32 cm, 30.5 cm ve 10.123 cm olduğuna göre hacmi nedir?

Hacim = (25.32 cm) x (30.5 cm) x (10.123 cm) = 7817.588 cm3

Çarpanlar içerisinde en küçük anlamlı rakama sahip olan çarpan 30.5 cm olandır.

Buradaki anlamlı rakam sayısı 3 tür. Bu nedenle hacim 3 anlamlı rakamla belirtilmelidir.

Hacim = 7.82 · 103 cm3 = 7.82 dm3

İşlem sonundaki kesin olan iki rakam vardır. (7... rakamları) bundan sonra gelen

rakamlar belirsizlik başlar. Ama 7.82·103 cm3 almakla, ortalama bir değer almış

oluruz.

25.32 ± 0.05

10.123 ± 0.005

30.5 ± 0.5

25.37

10.128

31.0

25.27

10.118

30.0

Ölçülen değerler En büyük En küçük

x x

7670.456 7965.368

Sonuç

7965.368 < V < 7670.456

Aralığında olmalıdır.

Hata Kaynakları Sistematik Hata

Ölçmedeki belirsizlik; yanlış tasarımdan, alet kalibrasyonundan, yanlış

okuma ve değerlendirmeden kaynaklanan hatalardır. Ölçümün gerçek

değerden büyük veya küçük olmasına yol açar. Bu nedenle yapılan ölçme

hassas olmaz.

Doğruluk, ölçülen değerin gerçek değerden farklılığını ortaya koyan

sistematik hata ölçüsüdür.

Aletin tasarımında, kalibrasyonunda ve okumada gösterilecek büyük dikkat,

sistematik hataları, aletin duyarlılık sınırından daha küçük seviyeye düşürebilir.

İstatistik Hata (Rastgele Hata)

Aynı ölçüm aleti kullanılarak aynı nicelik üzerinde yapılan pek çok kez

ölçüm sonucu, çoğunlukla aletin duyarlılığından (hassaslığında) daha

farklıdır. Bunlara sıcaklık, elektriksel voltaj, gaz basıncı gibi ölçülen

fiziksel niceliklerdeki dalgalanmalar sebep olur.

İstatistik hatalar yok edilemez. Ölçüm sayısı arttırmakla azaltılabilir ve bunların

ölçülen nicelik doğruluğu üzerindeki etkisi istatistik analizle hesaplanabilir.

Ölçme Hatalarının Hesaplanması Mutlak Hata :

Bir büyüklüğün gerçek değeri x, ölçülen değeri x' ise

Mutlak hatanın tam olarak belirlenmesi çoğu kez mümkün değildir. Çünkü,

ölçülen niceliğin gerçek değeri kesin olarak bilinmemektedir. Bir ölçmede

yapılan mutlak hatanın en büyük değeri, ölçü aletinin duyarlılığı ile belirlenir.

x = x – x'

farkına ölçü hatası veya mutlak hata denir.

mm ile bölmelenmiş bir cetvelle yapılan bir ölçümde mutlak hata

x 0.1 olur

Bağıl Hata :

Mutlak hatanın gerçek değere oranıdır.

Ortalama Değer ve Ortalama Sapma Yapılan ölçümlerin aritmetik ortalamasıdır. Gerçek değeri a olan bir niceliğin

n defa yapılan ölçümünde elde edilen sonuçları a1, a2, a3, ..., an ise ortalama

değer

Her bir ölçme sonucu ile ortalama değer arasındaki mutlak farkın aritmetik

ortalaması ortalama sapma

n

a ... a a aa n321

Ort

n

a-a... a-a a-a a-aa

OrtnOrt3Ort2Ort1

aaa Ort

Ortalama değer ve ortalama sapma bulunduktan sonra sonuç aşağıdaki gibi

yazılır.

Örnek 1.3 Basit bir sarkacın periyodu 1/10 s duyarlıklı bir kronometre ile 6 defa

ölçülüyor ve aşağıdaki sonuçlar bulunuyor. Bu ölçme sonuçlarının

ortalama değerini ve ortalama sapmasını bulunuz.

t1 = 3.6 s t2 = 3.8 s t3 = 3.6 s t4 = 3.7 s t5 = 3.1 s t6 = 3.3 s

Bağıl Hataların Hesaplanması

Çıkarma üzerinde yapılan bağıl hata’nın maksimum değeri :

(i) y = a + b + c

y = a + b + c

cbaΔcΔbΔa

yΔy

(ii) y = a - b

y = a + b

baΔbΔa

yΔy

-

Şeklinde verilen bir çarpma işleminde bağıl hata : çarpanlarında yapılmış

bağıl hataların toplamına eşittir.

Toplamı üzerinde yapılan bağıl hata :

Çıkarma üzerinde yapılan mutlak hata :

Bağıl Hataların Hesaplanması

Üstel işleminde yapılan bağıl hata :

Toplamı üzerinde yapılan mutlak hata, toplama giren

büyüklükler üzerinde yapılan mutlak hatalar toplamına

eşittir.

(iii) y = a x b

bΔb

aΔa

yΔy

bΔb

aΔa

yΔy

(iv) bay

aΔa

yΔy n(v) y = an

Bölme işlemi üzerinde yapılan bağıl hata’nın maksimum

değeri :

Örnek 1.4 Kütlesi m=24.8 ± 0.2 g, hacmi V=3.6 ± 0.04 cm3 olarak verilen

bir cismin öz kütlesini hesaplayınız.

Örnek 1.5 Çapı 0.05 cm yakınlıkla 18.24 cm olarak ölçülen bir kürenin

hacmini hesaplayınız.

Temel Kavramlar

Katı bir cisim üzerinde iki işaret çizgisi koymakla bu çizgilerle sınırlanmış

tek boyutlu uzay parçasını yani bir uzunluk belirtmiş oluruz. Birimi Metre

dir.

Uzunluk

İridyum-Platin karışımından özel bir biçimde yapılmış olup Uluslar Arası

Ölçüler Bürosunda saklanan metre çubuğunun iki uç çizgisi arasındaki

uzunluktur.

1 metre :

Uluslararası metre çubuğunun yapılması ve saklanması bakımından

gerekli özen gösterilmekle beraber yine de doğal afetler karşısında

bozulma ve yok olma ihtimali vardır. Bu nedenle, dış etkenlere bağlı

olmayan ve her zaman tekrarlanabilen bir esasa bağlanmalıdır.

Işığın boşlukta 1/299.792.458 saniyede aldığı yoldur. (1983 ten sonra)

1970’lerde, kripton-86 lambasının yaydığı turuncu-kırmızı ışığının dalga

boyunun 1,650,763.73 katı olarak tanımlandı.

Temel Kavramlar

Eylemsizliğin ölçüsü kütle. F = m a

Kütle

Uluslararası Ölçüler Bürosunda saklanan,

paslanmaya ve aşınmaya dayanıklı, İridyum-

Platin karışımından, silindir biçiminde bir

cismin kütlesidir.

1 kilogram :

Gravitasyonel kütle.

Birimi, SI sisteminde kilogram dır.

2

MF

r m

Temel Kavramlar

Hareketi tanımlayan büyüklüktür. Birimi Saniye dir.

Zaman

1889 ile 1967 yılları arasında, ortalama güneş gününün yani gökte en

yüksek noktaya ard arda eriştiği iki zaman aralığının 86400 de birine 1

s denir.

1 saniye :

Zaman birimi yukarıdaki gibi, yerin ekseni etrafındaki dönme

hareketinden yararlanarak tanımlanmıştır. Oysa bir cismin dönme hızı

kütle dağılımına bağlıdır. Dağların zamanla aşınması, buz dağlarının

ekvatora doğru hareketi, yerin kütle dağılımını değiştirmektedir. Bu

nedenle zaman birimi saniyenin değişme tehlikesine karşı, periyotları dış

koşullara daha az bağımlı olaylardan yararlanılmalıdır. Bunlara örnek,

atomik titreşimlerdir

1967 den sonra, Sezyum-133 atomunun en düşük iki enerji düzeyi

arasındaki elektron geçişi ile oluşan elektromanyetik dalganın

9,192,631,770 defa titreşim yapması için geçen süredir. (periyodun)

Temel ve Türetilmiş Birimler “Bu cismin uzunluğu 24 dür.” sözü ne ifade eder?

Bütün fiziksel ölçmeleri tanımlamak için gerekli sadece 7 tane temel

fiziksel özellik vardır. Bu özellikler boyut olarak tanımlanmaktadır.

Ve bunların birimlerine temel birimler denir.

(Hiç bir şey) 24 cm dir.

Her büyüklük veya miktar ölçü sayısı ve birim olmak üzere iki

kısımdan ibarettir ve bu iki kısım birbirinden ayrılmaz.

SI Uluslararası Birim Sistemi (Le Systeme International d’Unites)

Diğer fiziksel niceliklerin birimleri bu temel

birimlerden türetilebilir. Bu birimlere

türetilmiş birimler denir.

Örnek: Newton, Joule vb.

Büyüklük

Uzunluk

Kütle

Zaman

Sıcaklık

Elektrik Akımı

Parçacık Sayısı

Işık Şiddeti

Birim

Metre

Kilogram

Saniye

Kelvin

Amper

Mol

Kandil

Sembol

m

kg

s

K

A

moll

cd

Birim Sistemleri Bugün fen ve mühendislikte yaygın olarak iki birim sistemi kullanılmaktadır.

SI (Systeme International - Uluslararası Birim Sistemi)

Temel Birimler

Nicelik Birim Sembol

Uzunluk

Kütle

Zaman

metre

kilogram

saniye

m

kg

s

Temel Birimler

Nicelik Birim Sembol

Uzunluk

Kütle

Zaman

santimetre

gram

saniye

cm

g

s

cgs (santimetre-gram-saniye) mutlak birimler sistemi

Not: Gravitasyonel “m kgk s”

sistemi : Temel birimleri

uzunluk için metre, kuvvet için

1 kg kütleye Paris’te etkiyen

yer çekimi kuvveti ve zaman

için saniyedir.

Büyüklükler (alt ve üs katlar)

Hızın boyutu nedir? Örnek 1.6

Boyut Analizi

Boyut, bir fiziksel niceliğin doğasını gösterir. Boyut analizi, boyutların

cebirsel nicelikler olarak ele alınabileceği gerçeğine dayanır.

Temel Birimler

Nicelik Boyut Sembolü

Uzunluk

Kütle

Zaman

L

M

T

Kinetik Enerjinin boyutu nedir? Örnek 1.7

T

Lv

smvHız =

Alınan yol

Zaman

2

2

s

mkgE2mv

2

1E

2

2

T

MLE -2 2

E ML T