fistum2 100409-2

5/11/2018 fistum2 100409-2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/fistum2-100409-2 1/12

FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 1 Dinamika Kuantum

Dosen: Prof. Freddy P. Zen, D. ScAsisten: Agus Suroso, M. Si

Catatan/Resume Kuliah

(terakhir diperbaharui pada 9 April 2010)

1 Dinamika Kuantum

Pada pertemuan lalu telah dijelaskan bahwa fungsi gelombang Ψ tidak memiliki makna fisis namun mengkarak-

terisasi sistem. Besaran fisis terkait sistem diketahui dengan menerapkan operator observabel fisis ke fungsi Ψ.

Pada pertemuan ini, dibahas persamaan dinamika untuk sistem kuantum.

Persamaan dinamika kuantum didapat dengan mengerjakan operator energi (atau Hamiltonian , H = i ∂ ∂t

)

pada fungsi gelombang Ψ,

H Ψ = i∂

∂tΨ. (1)

Lalu, dengan menuliskan operator energi sebagai jumlah dari operator energi kinetik dan potensial,

H =ˆ p2

2m

+ V (r, t), (2)

dengan ˆ p = −i, diperoleh persamaan Schrodinger,−

2

2m2 + V (r, t)

Ψ(r, t) = i

∂ Ψ(r, t)

∂t. (3)

Secara umum, jika bentuk potensial suatu sistem diketahui, maka solusi Ψ dapat ditentukan secara matem-

atik. Contoh-contoh kasus potensial yang telah dibahas pada kuliah Fisika Kuantum I adalah kotak potensial

takhingga, kotak potensial berhingga, potensial tangga, potensial penghalang, dan osilator harmonik (semuanya

untuk kasus stasioner, V = V (r), dan satu dimensi). Selain itu, dibahas juga solusi persamaan Schrodinger

untuk atom hidrogen. Mahasiswa dipersilakan merujuk kembali buku/catatan kuliah Fisika Kuantum I.

Kuliah Fisika Kuantum II akan dimulai dengan pembahasan tentang gangguan pada atom hidrogen.

2 Atom Hidrogen

Atom hidrogen tersusun atas inti atom berupa proton dan elektron yang mengelilinginya. Elektron terikat oleh

inti atom oleh potensial Coloumb V ∝ 1r

, dengan r jarak elektron dengan inti. Dinamika elektron digambarkan

oleh persamaan eigen energi Hψ = Eψ , dengan solusi ψnlm(r,θ,φ) (merupakan fungsi harmonik bola) dan

n = 1, 2, . . ., l = 0, 1, 2, . . . , (n − 1), m = −l , . . . , 0, . . . l merupakan bilangan-bilangan kuantum yang mengkarak-

terisasi sistem. Ketiga bilangan kuantum tersebut digunakan untuk mengkarakterisasi sistem karena ketiganyaterkait dengan operator-operator (H ), L2, dan Lz yang saling komut (sehingga nilai ketidakpastian pengukuran

serentak ketiga besaran yang berkaitan dengan operator tersebut dapat bernilai nol, artinya ketiga besaran

dapat diukur secara serentak dengan teliti).

Operator-operator saling komut yang digunakan untuk mengkarakterisasi suatu sistem kuantum membentuk

himpunan komut yang lengkap (complete commuting set , CCS). Untuk atom hidrogen tanpa gangguan, CCS

terdiri atas H ), L2, dan Lz.

2.1 Efek Zeeman

Ketika atom hidrogen berada dalam pengaruh medan magnet luar (B), Hamiltonian sistem akan berubah,

H = H 0 + H 1, (4)

copyleft c 2010 1 kotak saran: [email protected]

http://[email protected]/




FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 2.2 Percobaan Goudsmisth dan Uhlenbeck tentang keberadaan spin elektron


dengan H 0 adalah Hamiltonian sebelum diganggu dan H 1 << H 0 Hamiltonian gangguan. Menurut model

Bohr, atom hidrogen digambarkan sebagai proton dan elektron yang mengelilinginya dengan jejari r. Gerakan

elektron mengelilingi proton akan menimbulkan arus,

I =q

T =

e

2πr/v, (5)

dengan v kecepatan gerak elektron. Arus tersebut menimbulkan momen magnetik sebesar

M L =IA

c=

evr

2c, (6)

dengan c adalah konstanta. Dengan mengingat momentum sudut elektron L = mer×v, momen magnet elektron

dapat ditulis sebgai

ML =e

2mecL. (7)

Saat ML berinteraksi dengan medan magnet luar B, dihasilkan Hamiltonian gangguan,

H 1 = −ML · B = − e2mec

L · B. (8)

Sehingga, Hamiltonian total atom hidrogen terganggu adalah

H = H 0 −e

2mecL · B. (9)

Jika arah B diambil sebagai arah sumbu-z, maka L · B = LzB, sehingga persamaan Schrodinger untuk atom

hidrogen terganggu ini adalah H 0 −

e

2mecBLz

ψnlm = E nψnlm. (10)

Dengan mengingat bahwa pada keadaan tidak ada gangguan H 0ψnlm = E (0)n ψnlm dan Lzψnlm = mψnlm,

diperoleh

E n = E (0)n −eB

2mecm = E (0)n − mµ0B, (11)

dengan µ0 ≡ e2mec

= 0, 9273 × 10−20 erg/Gauss = 13,62,4×109

eV/Gauss disebut magneton Bohr .

Terlihat bahwa dengan adanya medan magnetik luar, spektrum energi atom hidrogen akan ”terpecah”

menurut nilai bilangan kuantum magnetik m. Pada keadaan dasar (n = 1), l = m = 0 sehingga energi elektron

tidak ”terpecah”. Pada keadaan eksitasi pertama (n = 2), spektrum energi elektron akan terpecah menjadi

tiga, masing-masing dengan energi E (0)3 − µ0B, E (0)3 , dan E (0)3 + µ0B, dengan E (0)n = −13,6n2 eV. Dan seterusnya.

Terlihat bahwa ternyata, CCS yang mengkarakterisasi sistem pada efek Zeeman sama dengan pada atom

hidrogen tanpa gangguan, yaitu operator H , L2, dan Lz.

2.2 Percobaan Goudsmisth dan Uhlenbeck tentang keberadaan spin elektron

Suatu berkas elektron dilewatkan pada daerah bermedan magnet. Ternyata berkas elektron tersebut terpecah

menjadi dua bagian. Sehingga disimpulkan bahwa terdapat dua keadaan internal elektron. Dalam gambaran

klasik, kedua keadaan tersebut dikaitkan dengan perputaran (rotasi atau spin ) elektron terhadap sumbun-

ya ketika bergerak mengelilingi inti atom (seperti rotasi bulan terhadap sumbunya ketika mengelilingi bumi).

Selanjutnya kedua keadaan itu disebut sebagai keadaan naik (up, disingkat u ) dan turun (down, d ). Matem-

atikawan (di antaranya Elie Cartan) berusaha membangun teori untuk menjelaskan tentang keadaan internal






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 2.3 Interaksi Spin-Orbit


tersebut. Dikatakan bahwa keadaan u dan d merupakan simetri yang berlaku pada ruang internal (disebut

ruang spinor )1.

2.3 Interaksi Spin-Orbit

Spin elektron menghasilkan momentum sudut spin S yang menyebabkan momen magnetik spin,

M =ge

2mecS, (12)

dengan g ≈ 2 disebut faktor Lande. Sementara itu, gerakan elektron mengelilingi inti atom menimbulkan medan

magnetik sebesar

B1 =v × E

c. (13)

Dengan mengingat medan listrik elektron E = −V , sedangkan potensial elektron berupa potensial Coulumb,

V = Zer

, diperoleh E = Zer3

r, sehingga

B1 = p

mec× Ze

r3r

=Ze2

mecr3(p × r)

= −Ze2

mecr3L. (14)

Interaksi antara momen magnetik spin dengan medan magnet elektron menghasilkan Hamiltonian gangguan

sebesar

H S−L = −M · B1 =gZe2

mec21

r3S · L. (15)

Pada pertemuan lalu telah dibahas bahwa selain melakukan revolusi terhadap inti atom sehingga menim-

bulkan medan magnetik sebesar B1 = Ze2

mecr3L, elektron juga mengalami rotasi terhadap sumbu putarnya sehing-

ga menimbulkan momen magnetik M = − ge2mec

S. Interaksi kedua besaran tersebut menghasilkan Hamiltonian

gangguan sebesar

H S−L = −M · B =Ze2

2m2ec2

S · L

r3. (16)

Adanya Hamiltonian gangguan tersebut akan membuat CCS dari sistem berubah, sehingga CCS sistem ter-

ganggu tersebut perlu dicari.

Nilai harap (ekspektasi) energi sistem dapat dituliskan sebagaiH

=

H 0

+

H S−L

, (17)

dengan H 0

=

V

ψ∗nlmH 0ψnlmdV

=

∞r=0

2π

θ=0

π

φ=0

ψ∗nlm(r,θ,φ)H 0ψnlm(r,θ,φ)r2 sin θdr dθ dφ

= E (0)n

= −

13, 6

n2 eV. (18)1mahasiswa yang tertarik mempelajari topik ini dapat mengambil mata kuliah (antara lain) FI6111 Teori Medan Kuantum,

atau merujuk pada buku Theory of Spinor (Elie Cartan), Introduction to the Theory of Sinor (Carmeli), atau buku-buku dengan

kode 515.63 HLA, 515.63 BEN, 512.57 PEN, 530.14 COR, 512.57 CAR, 512.57 LOU di perpustakaan Fisika ITB.






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 2.3 Interaksi Spin-Orbit


dan

H S−L

=

ψ∗nlmH S−Lψnlm dV

=Ze2

2m2ec2

V

S · L

r3dV

= Ze22m2

ec2 ∞

r=0

u∗nl(r) 1r3

unl(r)r2dr 2π

θ=0

π

φ=0

Y ∗lm(θ, φ) S · LY ∗lm(θ, φ)sin θ dθ dφ. (19)

Faktor integral yang pertama menghasilkan

Ze2

2m2ec2

∞r=0

u∗nl(r)1

r3unl(r)r2dr =

Z 3

a30

1

n3l

l + 12

(l + 1)

, (20)

dengan a0 =

M Lcα, α = e2

c= 1

137, dan µ adalah reduced mass.

Operator S · L = S xLx + S y Ly + S zLz yang terdapat pada faktor integral kedua bukan operator eigen dari

Y lm, tetapi S dan L masing-masing merupakan operator eigen dari Y lm,

S 2Y lm = s(s + 1)Y lm dan L2Y lm = l(l + 1)Y lm, (21)

dengan s = 12 adalah bilangan kuantum spin elektron. Dengan demikian, jelas bahwa J ≡ S+L juga merupakan

operator eigen dari Y lm. Selanjutnya, dapat dituliskan

J 2 = J · J =

S + L

·

S + L

= L2 + S 2 + 2S · L, (22)

(karena bekerja pada ruang yang berbeda, operator spin dan momentum sudut komut satu sama lain,

S, L

= 0,

sehingga S · L = L · S) atau

S · L =1

2J 2 − S 2 − L2 . (23)

Selanjutnya, Y lm(θ, φ) dapat dituliskan sebagai Y jmj(θ, φ) dengan j = m + ms, mj = − j , . . . , j, dan berlaku

S · L Y lm(θ, φ) =1

2

J 2 − S 2 − L2

Y jmj

(θ, φ)

=2

2{ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)} Y jmj

. (24)

Sehingga,

2π

θ=0 π

φ=0

Y ∗lm(θ, φ)S · LY ∗lm(θ, φ)sin θ dθ dφ =2

2{ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)} . (25)

Nilai bilangan kuantum magnetik spin elektron adalah ms = 12

(spin u ) dan ms = −12

(spin d ). Maka untuk

spin u, j = l + 12

sehingga

S · LY jmj=

2

2

l +

1

2

l +

3

2

− l (l + 1) −

1

2

1

2+ 1

=2

2lY jmj

. (26)

Sedangkan untuk spin d, j = l − 12

sehingga

S · LY jmj =2

2l −

1

2l +

1

2− l (l + 1) −

1

21

2 + 1= −

2

2(l+) Y jmj

. (27)






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 2.4 Koreksi Relativistik


Jadi, nilai ekspektasi energi gangguan adalah sebesar

H S−L

=

1

4mec2 (Zα)4

1

n2l

l + 12

(l + 1)

l

− (l + 1) .

(28)

Sehingga nilai harap energi total pada persamaan (17) akan terpecah menjadi dua nilai bergantung pada nilai

bilangan kuantum magnetik spin elektron (ms), atau dikatakan menghasilkan struktur halus ( fine structure)

pada spektrum energi atom hidrogen. Tetapan α dinamakan tetapan struktur halus atau tetapan kopling

interaksi medan elektromagnetik.

2.4 Koreksi Relativistik

Elektron mengelilingi inti dengan kecepatan tinggi, sehingga efek relativistik perlu diperhatikan. Energi total

elektron tersebut adalah

E total

= p2c2 + m2

ec4

= mec2

1 +

pc

mec2

2 12

≈ mec2

1 +

1

2

pc

mec2

2

−1

8

pc

mec2

4

, (29)

(baris terakhir diperoleh dengan pendekatan Taylor hingga suku ketiga). Sehingga energi kinetik elektron adalah

E K = E total − E diam ≈ mec2

1 +

1

2

pc

mec2

2

−1

8

pc

mec2

4

− mec2 =p2

2me

−1

8

p4

m3ec2

. (30)

Suku pertama pada persamaan di atas adalah energi kinetik elektron menurut teori Newton, sedangkan sukukedua merupakan koreksi relativistik. Dalam kuantum, suku koreksi tersebut dapat dinyatakan sebagai operator

Hamiltonian koreksi relativistik,

H rel = −1

8

ˆ p4

m3ec2

= −1

2mec2

ˆ p2

2me

2. (31)

Dengan mengingat bentuk Hamiltonian atom hidrogen tanpa gangguan H 0 = ˆ p2

2me− Ze2

r, diperoleh nilai harap

(atau nilai rata-rata) dari koreksi relativistik dari energi atom hidrogen sebagai

H rel = −1

2

mec2ˆ p2

2me2

= −

1

2mec2

H 0 +

Ze2

r

2

= −1

2mec2

H (0)2 + 2H 0

Ze2

r+

Z 2e4

r2

= −1

2mec2

H (0)2

+ 2Ze2

H 0

1

r

+ Z 2e4

1

r2

= −1

2mec2

E (0)2n + 2Ze2E (0)n

1

r

+ Z 2e4

1

r2

. (32)

Diketahui bahwa 1r = mec2Zα2

e2

1

n2 dan 1

r2 =

Z2c4m2eα2

e4

1

n3 l + 1

2. Substitusi kedua besaran tersebut, serta

mengingat bentuk E (0)n , diperoleh

H rel

= −

1

2(Zα)

4

1

n3

l + 12

−3

4n4

. (33)






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 3 Teori Gangguan Bebas Waktu


Jadi gabungan antara efek relativistik dan interaksi spin-orbit menghasilkan koreksi energiH S−L

+

H rel

= −

1

2mec2 (Zα)4

1

n3

1

j + 12

−3

4n

, (34)

dengan j = l ± 12

masing-masing untuk elektron dengan spin u dan d.

3 Teori Gangguan Bebas Waktu

3.1 Kasus Tak Terdegenerasi

Tinjau Hamiltonian dari sebuah sistem dengan bentuk

H = H 0 + gH 1,gH − 1

<<H 0

, (35)

dengan H 0 merupakan Hamiltonian tanpa gangguan dan gH 1 merupakan Hamiltonian gangguan. Akibat gang-

guan tersebut, nilai dan fungsi eigen energi akan mengalami koreksi kecil,

E n = E (0)n + ∆E n (36)

ϕn = ϕ(0)n + ∆ϕn. (37)

Selanjutnya, nilai dan fungsi eigen energi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebuah deret konvergen ,

E n = E (0)n + gE (1)n + g2E (2)n + . . . (38)

ϕn = ϕ(0)n + gϕ(1)

n + g2ϕ(2)n + . . . . (39)

Jelas bahwa pada g → 0 berlaku ϕn = ϕ(0)n dan E n = E (0)n .

Persamaan eigen energi untuk kasus gangguan ini adalah

Hϕn =

H 0 + gH 1

ϕn = E nϕn, (40)

dengan H 0ϕ(0)n = E

(0)n ϕ

(0)n diketahui solusinya secara eksak. Substitusi (36) dan (37) ke (38) menghasilkan

H 0ϕ(0)n − E (0)n ϕ(0)

n

+ g

H 0ϕ(1)n + H 1ϕ(0)

n − E (0)n ϕ(1)n − E (1)n ϕ(0)

n

+ g2

H 0ϕ(2)

n + H 1ϕ(1)n − E (0)n ϕ(2)

n − E (1)n ϕ(1)n − E (2)n ϕ(0)

n

+ g3

H 0ϕ(3)

n + H 1ϕ(2)n − E (0)n ϕ(3)

n − E (1)n ϕ(2)n − E (2)n ϕ(1)

n − E (3)n ϕ(0)n

+ . . . = 0, (41)

atau dapat ditulis dalam bentuk

g0F (0) + g1F (1) + g2F (2) + g3F (3) + . . . = 0, (42)

yang berlaku jika dan hanya jika

F (0) = F (1) = F (2) = F (3) = . . . = 0. (43)

Dari persamaan tersebut diperoleh

H 0ϕ(0)n = E (0)n ϕ(0)

n , (44)H 0 − E (0)n

ϕ(1)

n =

E (1)n − H 1

ϕ(0)

n , (45)

ˆH 0 − E

(0)

n ϕ

(2)

n = E

(1)

n −ˆ

H 1ϕ

(1)

n + E

(2)

n ϕ

(0)

n , (46)...

(dan seterusnya).






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 3.1 Kasus Tak Terdegenerasi


Perhatikan bahwa ϕ(1)n + aϕ

(0)n juga merupakan solusi untuk persamaan (45). Sehingga, solusi persamaan

tersebut adalah ϕ(1)n dan E

(1)n serta ϕ

(1)n + aϕ

(0)n dan E

(1)n . Dengan demikian dperlukan kendala (constraint )

untuk membuat solusinya unik. Kendala ini diambil sebagai berikut: semua koreksi dari ϕ(0)n pada persamaan

(37) dianggap normal terhadap ϕ(0)n , yaitu

ϕ(s)n |ϕ(0)n = 0 untuk s > 0 dan semua n. (47)

Dalam ruang Hilbert H, hubungan hormalisasi di atas menunjukkan bahwa ∆ϕn (dan juga ϕn = ϕ(0)n + ∆ϕn)

adalah normal (ortogonal) terhadap ϕ(0)n . Hubungan ini akan diguanakan untuk membangun ϕ(s)

n .

3.1.1 Koreksi Orde 1

Dari persamaan (45) di atas, terlihat bahwa H 0ϕ(1)n mengusulkan bahwa solusi ϕ

(1)n merupakan kombinasi linear

dari ϕ(0)n , yaitu

ϕ(1)n

=

i C (1)ni

ϕ(0)i

. Jadi persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

H 0 − E (0)n

iC (1)

ni ϕ(0)

i = E (1)n − H 1ϕ

(0)n . (48)

Perkalian persamaan di atas dengan

ϕ(0)j

dari arah kanan menghasilkanE (0)j − E (0)n

C (1)nj = E (1)n δjn −

H 1

jn

, (49)

dengan

H 1

jn

=

ϕ(0)j |H 1|ϕ

(0)n

.

• Pada j = n, diperoleh

C (1)nj =

H 1

jn

E (0)n − E

(0)j , (50)

dan

ϕ(1)n =

j=n

H 1

jn

E (0)n − E

(0)j

ϕ(0)j + C nnϕ(0)

n . (51)

Selanjutnya, nilai C nn diperoleh dari kendala normalisasi

ϕ(s)n |ϕ

(0)n

= 0 pada s = 1,

j=n

H 1

jn

E (0)n − E

(0)j

δjn

0

+C nn δnn

1

= 0 ⇒ C nn = 0. (52)

Sehingga,

ϕ(1)n =

j=n

H 1

jn

E (0)n − E

(0)j

ϕ(0)j . (53)

• Pada j = n, berlaku

E (1)n =

H 1

nn

(54)

Jadi, fungsi gelombang dan nilai eigen energi partikel pada koreksi orde 1 akibat Hamiltonian gangguan

adalah

ϕn = ϕ(0)n +

j=n

ˆH 1jn

E (0)n − E (0)j

ϕ(0)j , (55)

E n = E (0)n =

H 1

nn

. (56)






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 3.1 Kasus Tak Terdegenerasi


Agar ekspansinya konvergen, maka haruslah berlaku

(H 1)jn“

E(0)n −E

(0)j

” << 1, atau

H 1

jn

<<E (0)n − E

(0)j

dan

H 1

nn

<<E (0)n

(57)


Sebagaimana pada koreksi orde 1, fungsi gelombang untuk koreksi orde 2 diambil sebagai kombinasi linear

fungsi gelombang tak terganggu, ϕ(2)n

=

i

C (2)ni

ϕ(0)i

, (58)

sehingga persamaan (46) dapat dituliskan menjadiH 0 − E (0)n

i

C (2)ni

ϕ(0)i

=

E (1)n − H 1

ϕ(1)i

+ E (2)n

ϕ(0)i

. (59)

Perkalian persamaan terakhir dengan

ϕ(0)j

dari arah kiri menghasilkan

E (0)j − E (0)n

i

C (2)ni δji

C (2)nj

= E (1)nϕ(0)j |ϕ(1)n

− ϕ(0)j |H 1|ϕ(1)n+ E (2)n δjn . (60)

• Pada n = j diperoleh

E (2)n =

ϕ(0)n

H 1

ϕ(1)n

=i=n

ϕ(0)

n

H 1

H 1

in

E (0)n − E

(0)i

ϕ(0)i

= i=n

H 1ni H 1in

E (0)n − E

(0)i

=i=n

H 1

in

2E (0)n − E (0)i

. (61)

• Pada n = j, persamaan (60) ditulis menjadi

E (0)j − E (0)n

C (2)nj =

H 1

nn

ϕ(0)j

k=n

H 1

kn

E (0)n − E

(0)k

ϕ(0)k

−

ϕ(0)j

H 1k=n

H 1

kn

E (0)n − E

(0)k

ϕ(0)k

. (62)

Sehingga,

C (2)nj =

1

E (0)n − E (0)j

k=n

H 1jkH 1kn

E (0)n − E (0)k

−H 1nn

H 1jnE (0)n − E

(0)j

2 . (63)

Dengan menerapkan syarat normalisasi

ϕ(s)n |ϕ

(0)n

= 0, didapat

j

C (2)nj

ϕ(0)

j |ϕ(0)n

= 0 ⇒

j

C (2)nj δjn = C (2)nn = 0. (64)

Sehinga fungsi gelombang dan energi total partikel setelah koreksi orde 2 dapat dituliskan sebagai,

ϕn = ϕ(0)n +j=n

H 1

jn

E

(0)

n − E

(0)

j

−

H 1

nn

H 1

jn

E (0)

n − E (0)

j 2 + k=n

H 1

jk

H 1

kn

E

(0)

n − E

(0)

j E

(0)

n − E

(0)

k ϕ(0)

j (65)

E n = E (0)n +

H 1

nn

+i=n

H 1

in

2E (0)n − E (0)i

. (66)






FI3201 Fisika Kuantum IIsem. 2 2009-2010 3.2 Kasus Degenerasi


3.2 Kasus Degenerasi

Perhatikan bahwa ϕ(1)n

=

i

C (1)ni

ϕ(0)i

, (67)

dengan C ni(1)

=

(H 1)in

E(0)n −E(0)i . Pada kasus generasi lipat-q (q-fold degeneracy ), i = 1, 2, . . . q, berarti E

(0)

1 = E

(0)

2 =. . . = E

(0)q walaupun ϕ

(0)1 = ϕ

(0)2 = . . . = ϕ

(0)q . Sehingga C

(0)ni → ∞ untuk i ≤ q.

Jadi solusinya adalah membangun fungsi basis baru dari himpunan

ϕ(0)n

yang mendiagonalisasi

H 1

in

dengan (n, i ≤ q), yang berarti membangun elemen off-diagonal nya bernilai nol, sehingga C ni → 00 . Anggap ϕn

terdiri atas q buah fungsi yang mendiagonalisasi

H 1

in

dengan (n, i ≤ q),

|ϕn =

qi=1

ani

ϕ(0)i

. (68)

Sehingga

ϕn| H 1 |ϕ p = H 1np δnp (n, p ≤ q). (69)

Selanjutnya, bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diagonal berukuran q × q. Mengingat bahwa

basis ruang Hilbert untuk ϕn dan ϕn adalah H =

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕq, ϕ(0)q+1, ϕ(0)

q+2, . . . , ϕ(0)2q

, maka matriks untuk

ϕn| H 1 |ϕ p dituliskan sebagai

H 1 =

H 1

11

0 0 0

H 1

1 q+1

. . .

0

H 1

22

0 0. . .

...

0 0. . .

... . . . . . .

0 0 . . . ˆH 1qq . . . . . .

H 1

q+1 q

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(70)


Mirip seperti pada kasus tak terdegenerasi, koreksi energi orde 1 untuk kasus terdegenerasi dapat dituliskan

sebagai

E (1)n = ϕn| H 1 |ϕn ≡

H 1

nn

, n ≤ q. (71)

Perhatikan persamaan Schrodinger Hϕn = H 0 + ˆH (1)ϕn = E nϕn. Dengan mengambil ϕn = ϕn dan E n =

E (0)n + E (1)n dengan n ≤ q, maka persamaan Schrodinger dituliskan menjadiH 0 + H 1

ϕn =

E (0)n + E (1)n

ϕn ⇒ ˆH (1)ϕn = E (1)n ϕn (n ≤ q), (72)

(akibat di atas disebabkan karena |ϕn =q

i=1 ani

ϕ(0)i

). Ini berarti E

(1)n = ϕn| H 1 |ϕn ≡

H 1

nn

den-

gan (n ≤ q). Sehingga elemen diagonal submatriks

H 1

nn

dengan (n ≤ q) merupakan koreksi orde 1 dari

Hamiltonian H .

H 1ϕn = E (1)n ϕn ⇒ H 1

q

i=1

ani

ϕ(0)i

= E (1)n

q

i=1

ani

ϕ(0)i

. (73)

Perkalian persamaan terakhir dengan

ϕ(0)

p

menghasilkan

qi=1

ani

H 1

pi

= E (1)n

qi=1

aniδ pi = E (1)n anp (n, p ≤ q) (74)








atauq

i=1

H 1

pi

− E (1)n δ pi

ani = 0 (n, p ≤ q) (75)

Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks. Misal, untuk n = 1, diperoleh persamaan untuk

E (1)1 dan a1i sebagai berikut:

H 111

− E (1)1

H 112

. . .

H 11q

H 1

21

H 1

22

− E (1)1 . . .

H 1

2q

......

. . ....

H 1

q1

H 1

q2

. . .

H 1

qq

− E (1)1

a11

a12...

a1q

= 0 (76)

Basis untuk matriks di atas adalah

ϕ(0)n , n ≤ q

.

Untuk n = 2, maka didapat q buah persamaan untuk E (0)2 dan {a2i}. Demikian seterusnya. Lalu, karena

n ≤ q, maka akan terdapat q buah persamaan matriks seperti di atas. Untuk tiap n = 1, 2, . . . , q, supaya

solusinya ada, maka

det(H 1) pi − E (1)n

= 0. (77)

Tiap E (1)n dengan n = 1, 2, . . . , q meemberikan solusi pada {a1i, . . . , aqi} dan koefisien ini akan memberikan

basis baru pada ϕn =

ani. dalam basis ini degenerasi disingkirkan dan menjadi tak terdegenerasi.

Jadi, pada akhirnya diperoleh fungsi dan nilai eigen energi sebagai berikut:

ϕn = ϕn + gϕ(1)n + g2ϕ(2)

n + . . . n ≤ q (78)

ϕn = ϕn + gϕ(1)n + g2ϕ(2)

n + . . . n > q (79)

E n = E (0)n + gE (1)n + g2E (2)n + . . . n ≤ q (E (0)1 = E

(0)2 = . . . = E (0)q ) (80)

E n = E (0)n + gE (1)n + g2E (2)n + . . . n > q (81)

E (1)n = ϕn| H 1 |ϕn n ≤ q (82)

E (1)n = ϕn| H 1 |ϕn n > q (83)

<<<<<<< terakhir diperbaharui pada 9 April 2010 >>>>>>>








Notasi Matematika

• Variabel matematika yang disertai topi menyatakan operator, contoh: ˆ p, Lz, dll.

• Variabel matematika yang dicetak tebal menyatakan vektor, contoh: L, r, dll.






Indeks

atom hidrogen, 1

dinamika kuantum, 1

efek Zeeman, 1

fine structure, 5

Goudsmith dan Uhlenbeck, 2

relativistik

energi, 5

koreksi, 5

spin, 2

Spin-Orbit, 3

spinor, 3

struktur halus, 5

12

fistum2 100409-2

Documents