5.7 POTENSIAL TANGGA DAN HALANG Dalam jenis persoalan umum berikut, kita akan menganalisis apa yang terjadi apabila sebuah partikel yang sedang bergerak (juga dalam satu dimensi ) dalam suatu daerah berpotensial tetap tiba-tiba bergerak memasuki suatu daerah berpotensial berbeda yang juga tetap nilainya. Kita dapat menentukan secara garis besar langkah-langkah yang perlu diambil untuk mendapatkan pemecahan tersebut. Dalam bahasan ini kita akan mengambil E Sebagai energi total (yang tetap) dari partikel dan 1. Apabila E lebih besar daripada berbentuk ( ) (5.50) , sebagai nilai energi potensial tetapnya. maka pemecahan persamaan schrondingernya

Dimana ( ) (5.51)

A dan B adalah dua tetapan yang dapat ditentukan dari syarat normalisasi dan kekontinuan. Jika E adalah energi total dan lebih besar daripada maka kita dengan mudah dapat

menuliskan pemecahan persamaan schrondinger dalam kedua daerah ini sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) x0 (5.52a) (5.52a)

Hubungan antara keempat tetapan A,B,C dan D dapat dicari dengan menerapkan persyaratan bahwa daerah, jadi ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). haruslah kontinu pada batas kedua

Perhatikan bahwa penerapan syarat kekontinuan menjamin peralihan mulus dari gelombang yang satu ke yang lain pada titik batas. Kita dapat menggunakan persamaan ( ) untuk mentransformasikan kedua pemecahan ini dari

bentuk sinus dan kosinus ke dalam bentuk kompleks , yakni: x0

(5.53b)

Apabila ketergantungan pada waktu dimasukkan dengan mengalikan masing-masing suku dengan , maka kita dapat menafsirkan masing-masing komponen gelombang ini. ) adalah fase gelombang yang bergerak dalam arah x positif, ) adalah fase gelombang yang bergerak dalam arah x negatif, dan bahwa Ingatlah bahwa ( kx sedangkan ( kx +

kuadrat nilai mutlak dari tiap-tiap koefisien memberikan intensitas dari komponen gelombang yag bersangkutan . Pada daerah x < 0, persamaan (5.53a) menyatakan superposisi antara sebuah gelombang berintensitas | A|2 yang bergerak dalam arah x positif (dari - menuju 0) dengan sebuah gelombang berintensitas | B| 2 yang bergerak dalam arah x negatif. Maka | A |2 memberikan intensitas gelombang datang (atau lebih tepat lagi, gelombang deBroglie yang menyatakan berkas partikel datang) dan | B| 2 / | A|2 memberikan fraksi intensitas gelombang datang. Dalam daerah x > 0, gelombang dengan intensitas | D|2 yang bergerak dalam arah negatif x (dari x = + menuju x = 0) tidak dapat hadir jika partikel-partikelnya kita tembakan dari sebelah kiri, jadi untuk situasi percobaan istimewa ini, kita dapat mengambil D sama dengan nol. Dengan demikian intensitas gelombang transmisi ini adalah | C|2 . Kita dapat menganalisis semua pemecahan di atas dari sudut pandang energi kinetik. Pada daerah di mana energi kinetik partikel adalah terbesar, momentum linear p (= ) akan pula menjadi yang terbesar , dan panjang gelombang deBroglie (= h/p) akan menjadi yang terkecil. Jadi, panjang gelombang deBroglie dalam daerah x > 0 lebih kecil daripada yang di dalam daerah x < 0. 2. Apabila E lebih kecil daripada Vo maka, maka kita peroleh pemecahan berbeda : ( ) Dimana K= ( ) (5.55) tidak

(5.54)

Jika daerah pemecahan ini meliputi dari + atau - , kita harus menjaga agar

menjadi tak hingga dengan mengambil A atau B sama dengan nol, jika daerahnya hanya mencakup koordinat x yang berhingga,hal ini tidak perlu dilakukan.

Sebagai salah satu contohnya, jika dalam soal sebelumnya, E lebih kecil daripada Vo, maka pemecahan bagi tetapi pemecahn ( )o

(untuk x < 0) akan tetap diberikan oleh persamaan (5.52a) atau (5.53a), x > 0) menjadi k1 = ( ) (5.56)

1 (untuk

Kita harus memastikan bahwa semua pemecahan ini bersambung mulus pada batas-batas daerah berlaku masing-masingnya, penerapan syarat batas ini dilakukan seperti pada kasus sebelumnya. (kita mengambil C = 0 agar menghindari ). Pemecahan ini mengilustrasikan suatu perbedaan penting antara mekanika klasik dan kuantum. Secara klasik, partikelnya tidak pernah dapat ditemukan pada daerah X > 0, karena energi totalnya tidak cukup untuk melampaui potensial tangga. Tetapi, mekanika kuantum memperkenankan fungsi gelombang, dan karena itu partikel, untuk menerobos masuk kedalam daerah terlarang klasik. Rapat probabilitas dalam daerah x > 0 adalah | sebanding dengan e-2kix

( ) menjadi takhingga bila x

+

|2 , yang menurut persamaan (5.56) adalah

, jika kita definisikan jarak terobosan x sebagai jarak dari x = 0

higga ke titik dimana probabilitasnya menurun menjadi 1/e, maka e -2k1x = e-1 (5.57)

(

Agar vpartikel dapat memasuki daerah x > 0, ia harus sekurang-kurangnya mendapat tambahan energi sebesar Vo E agar dapat melampaui tangga potensial, jadi ia harus memperoleh tambahan energi kinetik jika ia memasuki daerah x > 0. Tentu saja, ini melanggar kekekalan energi bila partikel memperoleh sebarang tambahan energi secara tibatiba, tetapi menurut hubungan ketidakpastian E t ~, kekekalan energi tidak berlaku pada selang waktu lebih kecil daripada t kecuali hingga suatu jumlah energi sebesar E ~/ t. Artinya, jika partikel meminjam sejumlah energi E dan mengembalikannya dalam selang waktu t~/E, maka kita sebagai pengamat tetap percaya bahwa energi kekal. Andaikanlah kita meminjam sejumlah energi tertentu yang cukup untuk menyebabkan partikel memiliki suatu energi kinetik K dalam daerah terlarang.

Energi pinjaman adalah (Vo E) + K, suku (Vo E) mengangkat partikel ke puncak tangga dan suku sisa K memberikn geraknya. Energinya harus kita kembalikan dalam selang waktu t = Karena partikel bergerak dengan laju V = adalah x = t = (5.59) (5.58) , maka jarak yang dapat ditempuhnya

(hadirnya faktor disebabkan karena dalam selang waktu t partikel harus menerobos jarak x dan kemudian kembali). Dalam limit K , maka menurut persamaan (5.59) jarak terobos x menuju nol, karena 0 dalam limit K , karena selang waktu

partikel memiliki kecepatan nol, begitu pula, x

tempuhnya t dapat dikatakan nol. Di antara kedua limit ini, harus terdapat suatu nulai maksimum dari x untuk suatu nilai K tertentu. Dengan mendiferensiasiakan persamaan (5.59), maka nilai maksimum ini dapat kita cari , yaitu xmaks =( )

(5.60)