Profesor: Ignacio J. General2do cuatrimestre 2017

Escuela de Ciencia y TecnologíaUNSAM

Física ModernaFísica Moderna

Física ModernaFísica Moderna

Postulados de de Broglie y Postulados de de Broglie y principio de incertidumbreprincipio de incertidumbre

Corral cuánticoBy Julian Voss-Andreae - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=17273241

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Física Moderna – UNSAM – 2017

Ondas de electrones

Tesis doctoral de Louis de Broglie, 1924:

Postulados de de Broglie:Postulados de de Broglie:

1)

2)

FOTONES

ondas partículas

ELECTRONES

¿ondas?¿ondas? partículas

simetría

E=h ν

p=hλ

Planck, Einstein

Generalización de fotones:

h ν=c p ⇒ hcλ =c p ⇒ h

λ =p

E2=c2 p2+m2 c4 ⇒ E=c p

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Ondas de electrones

En general se habla de E del electrón, no de su p:

Usando que h=6.63×10-34 kg m²/s y me-=9.11×10-31 kg,

Pregunta: ¿Cuál es la λ de un electrón con baja energía típica (10 eV)?

E= p2

2 m⇒ p=√2 m E → h

λ =√2 m E ⇒ λ= h

√2m E

λ≃1.226√E

nm (con E en eV)

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Ondas de electrones

En general se habla de E del electrón, no de su p:

Usando que h=6.63×10-34 kg m²/s y me-=9.11×10-31 kg,

Pregunta: ¿Cuál es la λ de un electrón con baja energía típica (10 eV)?

λ ~ 1.226 / sqrt(10) ~ 0.4 nm

E= p2

2 m⇒ p=√2 m E → h

λ =√2 m E ⇒ λ= h

√2m E

λ≃1.226√E

nm (con E en eV)

Este es el orden de magnitud del espaciado interatómico en un cristal.Es decir, si los electrones fueran ondas y cumplieran los postulados de de Broglie, ¡se deberían difractar!¡se deberían difractar!

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Ondas de electrones

Experimento de Davisson y Germer (1927)

Observaron (accidentalmente) por primera vez la difracción de electrones

Nickel TargetElectron Beam

Diffracted electron beam

Movable Detector

Vacuum Chamber

By Roshan - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20127070Davisson, C. J., "Are Electrons Waves?," Franklin Institute Journal 205, 597 (1928)De Antoni Salvà - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=37236984

El pico a 500 se puede explicar como resultado de la interferencia constructiva de los electrones dispersados en las distintas capaslos elos e-- se comportan como ondas se comportan como ondas

E=54 eV

λ=1.67 Å(d

níquel~2.15 Å)

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Ondas de electrones

Cuantización de L según de Broglie

Bohr:de Broglie:

mvr=n ℏp=mv=h/ λ

hλ r=n

h2π

⇒ nλ=2π r

R es el radio de una órbita de Bohr. Entonces, ¡en la órbita debe entrar un numero exacto de ondas!¡en la órbita debe entrar un numero exacto de ondas!

n=3

n=2

n=1

Órbitas permitidas: aquellas que producen interferencia constructiva de la onda del electrón.

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Ondas de electrones

La luz es una onda del campo electromagnético (E y B)¿Los e- son ondas de qué campo?

Interpretación de Born:|ψ(x,t)|2 dV = probabilidad de encontrar al objeto en el volumen dV

(Existen otras interpretaciones, como la de de Broglie-Bohm, donde ψ es la onda piloto, una onda que guía la trayectoria del electrón)

Campo ψ(x,t), o función de onda ψ(x,t)

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Ondas de electrones

Problema:

Solución:Sabemos que las ondas con un λ preciso se pueden escribir como

Pero esta onda se extiende de – a + infinito. El electrón debería estar localizadolocalizado

Para ello necesitamos superponer ondas de distinto λ (análisis de Fourier)

E=h ν

p=hλ

vonda=λ ν=hp

Eh

=Ep

⇒ vonda=1 /2m ve

2

mve

⇒ vonda=1/2ve

¿¿El electrón tiene 2 velocidades??¿¿El electrón tiene 2 velocidades??

ψ(x , t)=A sen(kx−ω t) k = 2π / λ (numero de onda)ω = 2π ν (frecuencia angular)

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Ondas de electrones

Ejemplo) Batidos (suma de 2 ondas con k y ω muy cercanos)

S [(k−Δ k )x−(ω−Δω)t ]+S [(k+Δ k)x−(ω+Δω)t ]→ 2 S(k x−ω t)C (Δ k x−Δω t)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Sound/beat.html

2 senos con frecuencias cercanas

Su suma: un seno cuya amplitud es modulada por un coseno (batidobatido)

Ondas en faseInterferencia constructiva

Ondas fuera de faseInterferencia destructiva

sen

cosPaquete con longitud π/Δk

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Ondas de electrones

¿Y cómo obtenemos un solo paquete (electrón localizado)?Suma de infinitos senos con distribución continua de λ (o k)

Paquete localizado en región Δx = π/Δk, compuesto por suma de ondas con k-Δk < k < k+Δk:

En general (si los paquetes no son gaussianos):

k=2πλ

=2π ph

⇒ Δ k=2πh

Δ p

Δ x= πΔ k

= πh2πΔ p

= h2Δ p

⇒ Δ x Δ p=h2

Δ x Δ p≥h2

Principio de incertidumbre de HeisenbergPrincipio de incertidumbre de Heisenberg

Δ EΔ t≥h2

También se puede escribir para otro par de variables, E y t

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Ondas de electrones

Principio de incertidumbre x vs p:

Si una función de onda tiene una dispersión espacial muy pequeña (Δx<<1), entonces deberá tener una dispersión en p muy grande (Δp>>1).

Δ x Δ p≥h2

Conocimiento de una variable implica desconocimiento de la otra

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Ondas de electrones

Origen físico del ppio. de incertidumbre:

φe-

γ

lente

ocularObservación de un electrón por un microscopio:

1) Momento lineal del fotón:pγ=(0, p) (inicial)-p sen φ ≤ pγ,x ≤ p sen φ (posible rango de valores finales)Luego, Δp

x (fotón)= 2p s(φ) = 2h / λ s(φ)

2) Por conservación de px, el electrón también variará

su px en la misma cantidad:

Δpx (electrón)= 2h / λ s(φ)

3) Poder de resolución de un microscopio: Δx=λ / s(φ) (en algún lugar dentro de ese Δx se origino el fotón)

Entonces, Δ x Δ px=λ

sen(ϕ)2hλ

sen(ϕ)

Δ x Δ px=2h>ℏ/2 Se cumple incertidumbre

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Ondas de electrones

Origen físico del ppio. de incertidumbre:

φe-

γ

lente

ocularPero puedo mejorar Δx y Δp:

Aumento λ baja Δpx: Δp

x = 2h / λ s(φ)

Reduzco λ baja Δx: Δx = λ / s(φ)

Las mejoras se cancelan y se sigue cumpliendo el ppio.

Es un principio intrínseco a la física, no depende de la precisión del aparato experimental