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Fisica: lezioni e problemi
Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni
1. Le rappresentazioni di un fenomeno
2. I grafici cartesiani
3. Le grandezze direttamente proporzionali
4. Altre relazioni matematiche
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Un fenomeno può essere rappresentato con:
•una tabella •un grafico •una formula
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto
da cui esce un flusso d’acqua costante.
Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto
da cui esce un flusso d’acqua costante
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la
quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende
dall’intervallo di tempo trascorso.
Il flusso d’acqua del rubinetto è costante– Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua
– Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante formula:
q = 2 · tt : tempo trascorso.– variabile indipendente; unità di misura: minuti
q : quantità d’acqua accumulata.– variabile dipendente; unità di misura: litri
2 : portata d’acqua del rubinetto.– costante; unità di misura: litri/minuto
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante grafico
Asse orizzontale (ascisse)
– variabile indipendente t
Asse verticale (ordinate)
– variabile dipendente q
A ogni punto del grafico corrisponde
una coppia di valori della tabella
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Tabella: conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni
intervalli di tempo.
Grafico: visione sintetica e immediata del fenomeno.
Formula: rappresentazione più astratta ma più completa
Le formule hanno validità generale;
uno stesso tipo di formula si può applicare a fenomeni
fisici molto diversi:– Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la
quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi.
(variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente)
La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per
rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Lezione 2 - I grafici cartesiani
I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione
tra due grandezze fisiche.
Per tracciare un grafico cartesiano occorre:
-Tracciare gli assi, cioè due rette
perpendicolari, fissando il verso di
percorrenza
-Associare a ogni asse una grandezza e
un’unità di misura
-Scegliere la scala per ciascun asse
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Ogni coppia di valori della tabella individua un punto.
Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento.
In un grafico che
rappresenta una
tabella di dati, l’unità
di misura e la scala
associate ai due
assi sono
indipendenti tra loro.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Grafico di una funzione espressa da una formula.
y = 2x2
- Si costruisce una tabella di punti
- Si rappresentano i punti nel grafico
In questo caso non si associano grandezze e
unità di misura agli assi cartesiani
Lezione 2 - I grafici cartesiani
La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione
dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Appendiamo a una molla masse
diverse, misuriamo l’allungamento ogni
volta e costruiamo tabella e grafico.
-Per interpolazione troviamo le
coordinate di punti intermedi
-Per estrapolazione troviamo le
coordinate di punti esterni
all’intervallo della tabella.
Il significato fisico dei valori ottenuti
deve essere verificato.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore.
L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo;
i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili.
Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di
diretta proporzionalità
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se
al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x
anche y triplica e così via.– Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente
proporzionali
– la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente
proporzionali.
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Se y e x sono variabili direttamente proporzionali, il loro
rapporto è costante:
k è la costante di proporzionalità.
-La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili,
ad esclusione della coppia (0; 0)
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Grafico di variabili direttamente
proporzionali: punti allineati con
l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
passante per l’origine.
In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni
che non sono di diretta proporzionalità
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione
che descrive la correlazione è del tipo:
a è b rappresentano dei valori costanti
-Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie con
un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel recipiente e il
tempo t sono grandezze correlate linearmente.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico di variabili correlate
linearmente: punti allineati tra loro ma
non con l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
non passante per l’origine.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità
quadratica, vale una formula del tipo:
a rappresenta una costante
-L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità
quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più grande,
al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico di variabili legate da
proporzionalità quadratica:
una particolare curva detta
parabola.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro
prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo:
k rappresenta una costante
-In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la
massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente
proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, …
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico che rappresenta due
variabili inversamente
proporzionali: una particolare
curva detta iperbole.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa
quadratica, vale una formula del tipo:
k rappresenta una costante
-y è inversamente proporzionale al quadrato di x
-Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di
base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Il grafico di variabili legate da
proporzionalità inversa
quadratica ha la forma
rappresentata in figura.
Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni
Rappresentazione di fenomeni fisiciRappresentazione di fenomeni fisici
Mediante tabellaMediante tabella
Proporzionalità diretta Proporzionalità diretta
Mediante formulaMediante formulaMediante graficoMediante grafico
Correlazione lineare Correlazione lineare
Proporzionalità inversa Proporzionalità inversa
Proporzionalità quadratica Proporzionalità quadratica
Proporzionalità inversa quadratica
Proporzionalità inversa quadratica