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164
La luz7UNIDAD
a luz es una forma de energía que se mueve por el espacio y por los cuerpos no opacos.
Los científicos describen un haz de luz midiendo los valores de algunas magnitudes
tales como: la velocidad, la longitud de onda, la frecuencia, la intensidad. Pero luz también
significa claros y sombras, belleza de los colores. Hay muchas formas de percibir, apreciar
la luz, desde los aspectos físicos
citados a los artísticos, en cierta
manera unidos al proceso de la visión,
más general a los procesos de la
percepción, puesto que los rangos de
frecuencias de la luz se extienden más
allá del espectro visible como veremos
en esta Unidad.
En la historia de la ciencia, desde
los filósofos griegos que creían que la
luz viajaba en línea recta, a gran
velocidad y que contenía partículas que
estimulaban el sentido de la visión al
llegar al ojo, muchos científicos han
compartido este modelo. Es la versión
corpuscular de la luz que prevaleció
hasta alrededor del 1500 cuando
Leonardo da Vinci por comparación del
eco del sonido con la reflexión de la luz, especuló acerca de su posible naturaleza ondulatoria.
Newton fue partidario de un modelo basado en la idea de un chorro de partículas. Huygens
en cambio lo era de la teoría ondulatoria de la luz. Entrado al siglo XIX predominaba el modelo
ondulatorio. De todo esto nos ocuparemos en esta Unidad.
¿Qué precisión tenía el modelo ondulatorio para explicar el comportamiento de la luz?
Pensemos que en un modelo científico, las hipótesis y las teorías tienen dos funciones básicas,
primero explicar lo que se conoce y predecir lo que luego se comprobará experimentalmente.
Ambos modelos han tenido su campo de validez, como veremos, e incluso la combinación de
ambos, como aspectos no contradictorios, es la versión aceptada actualmente.
Los objetivos propuestos para esta Unidad son los siguientes:
1. Conocer la controversia histórica acerca de la naturaleza de la luz.
2. Entender el espectro electromagnético. Relacionar la longitud de onda con la frecuencia.
3. Saber calcular la velocidad de la luz a partir de datos astronómicos.
4. Entender la trascendencia de los fenómenos de la reflexión, refracción, difracción,
polarización, interferencias y su papel en la controversia sobre la naturaleza de la luz.
5. Saber calcular el ángulo límite.
6. Conocer el prisma óptico.
7. Entender la dispersión de la luz e interpretar la separación de la luz blanca en sus
colores.
L
• La luz blanca es la superposición de los colores que forman el espectro visible. La fotomuestra la descomposición de la luz blanca al incidir en una tela de araña (Wikipedia.org.Dominio público).
165
Luz
OndaCorpúsculo
Polarización InterferenciasDifracción RefracciónReflexión
Espectroscopía
1. LA LUZ A LO LARGO DE LA HISTORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.1. Producción de ondas electromagnéticas. Maxwell y Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2. Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.1. Ángulo límite y reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.2. Prisma óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.3. Láminas de caras planas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4. DISPERSIÓN DE LA LUZ. ESPECTROSCOPIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785. INTERFERENCIAS Y DIFRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806. POLARIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817. EFECTO DOPPLER EN LA PROPAGACIÓN DE LA LUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Í N D I C E D E C O N T E N I D O S
166
1. La luz a lo largo de la historiaEn torno al año 300 a. d.C, los filósofos griegos ya se ocuparon del problema de la luz.
Llegaron a aplicar la geometría a la óptica. Pensaban que la luz viajaba en línea recta a gran
velocidad y que contenía unas partículas que al incidir en la retina estimulaban el sentido de
la vista. Ésta era una visión corpuscular de la luz y prevaleció durante mucho tiempo hasta que
Leonardo da Vinci, en torno al 1500, por comparación con el eco del sonido, pensó que la
luz podía tener naturaleza ondulatoria. A partir de entonces se establecieron dos corrientes de
pensamiento sobre la naturaleza de la luz.
La teoría corpuscular defiende que la luz está formada por partículas (corpúsculos)
que se desplazan en línea recta a gran velocidad. La emiten los cuerpos y se puede propagar
por el vacío. Esta teoría puede explicar los fenómenos de reflexión y refracción de la luz, pero
no puede explicar los fenómenos de interferencia, difracción y polarización. Isaac Newton(1642 – 1727) fue un defensor de esta teoría.
La teoría ondulatoria proponía, como sugirió en parte Leonardo, que la luz estaba formada
por ondas y por lo tanto puede explicar los fenómenos de difracción, polarización e interferencias.
Sin embargo, al igual que el sonido, la luz necesitaría un medio para propagarse. Para explicar
la propagación de la luz en el espacio más allá de la atmósfera, se postuló la existencia de un
medio, el éter, que llenaba el vacío, pero cuya existencia nunca se pudo demostrar. Este
problema quedó solucionado cuando Maxwell, en el año 1865, demostró que la luz es una
onda electromagnética que no necesita soporte material para propagarse.
A lo largo de la historia, ha habido célebres científicos que han defendido una u otra teoría.
Christian Huygens (1629 -1695) sostenía que la luz es una onda que se propaga en un
medio al que se llamó éter. Explicaba los fenómenos de la reflexión y la refracción de la luz.
El modelo de Huygens se ha visto en la Unidad dedicada a las ondas. Tanto él como RobertHooke (1635-1703), que sostuvo grandes disputas con Newton, pensaban en la luz como una
serie de impulsos que necesitaban un medio para propagarse. El modelo ondulatorio de Huygens
explicaba de forma más convincente que el corpuscular el hecho de que la luz se frenara al
pasar de un medio menos denso, como el aire, a otro más denso, el agua, y, por eso el rayo
se desvía acercándose a la normal. La explicación de Newton exigía que la luz se propagase
más rápido en el agua que en el aire.
Para decidir entre una teoría y otra fue necesario medir la velocidad de la luz tanto en el
aire como en el agua u otro medio como el vidrio. Primero los científicos tuvieron que establecer
si la velocidad era finita o infinita. Fue Ole Christensen Römer (1644-1710) quien en 1676
la calculó por primera vez, dando un valor de 230.000 km/s. Para ello se basó en medidas y
cálculos hechos tomando como referencia los eclipses del satélite “Io“ de Júpiter. Veremos
más adelante cómo utilizó los eclipses a modo de reloj y su ingenio en calcularlo. Pero todavía
faltaba por calcular la velocidad en el agua, y en el vidrio, y eso sucedió cuando ya habían
muerto Huygens y Newton.
LA LUZ
7UNIDAD
167
Thomas Young (1773-1829) al estudiar las interferencias de la luz se da cuenta de que
cuando inciden las ondas en un mismo punto producen franjas oscuras y claras según la
distancia al foco emisor de luz, que interpretaba como máximos y mínimos de la amplitud al
coincidir las ondas. Hizo el experimento clarificador al hacer pasar un haz de luz por dos rendijas
separadas una determinada distancia. Vio que se producían unas franjas e interpretó que eran
interferencias constructivas y destructivas de la luz procedente de cada rendija. Demostró
que la diferencia del recorrido era múltiplo de la longitud de la onda Δr = nλ, en el caso de las
constructivas, y que era múltiplo de la mitad de la semilongitud de onda Δr = (2n + 1)λ/2, en las
destructivas.
Tanto Young como Augustin Fresnel (1788-1827) explicaron las interferencias, polarización
y difracción de la luz utilizando el principio de Huygens. Ambos juntos concluyeron que la luz
estaba formada por ondas transversales, dado que se podían polarizar y que se propagan a
través de un medio.
En 1850 Léon Foucault (1819-1868) comprueba que la velocidad de la luz en el agua
es menor que en el aire. Durante el siglo XVIII y comienzos del XIX la mayoría eran partidarios
de la teoría corpuscular aunque hubo excepciones, como Franklin y Euler, quien pensaba que
el éter jugaba el mismo papel respecto de la luz que el aire lo hacía respecto del sonido.
En 1850 Hippolyte Fizeau (1819-1896) mide la velocidad de la luz a través del aire
obteniendo un valor de 315.000 km/s. La teoría corpuscular queda en parte desechada después
de 1850, tras el cálculo de Foucault.
Michael Faraday (1791-1867) relaciona la electricidad con el magnetismo sugiriendo,
en 1845, una relación entre la luz y el electromagnetismo. Hubo que esperar a James ClarkMaxwell (1831-1879), más preparado teóricamente, para dar un nuevo paso: él fue quien
propuso que la luz es una onda electromagnética, es decir, que el campo electromagnético
se puede propagar como una onda y, además, predice la posibilidad de generar ondas
electromagnéticas. Esto lo realizó, de manera práctica, en 1888, Hertz quien además fue el
descubridor del efecto fotoeléctrico, que estudiaremos en otra Unidad. Curiosamente, el
carácter ondulatorio de la luz no explicaba otros fenómenos como el del efecto fotoeléctrico.
Max Planck a finales de 1890 enunció que la emisión de la energía en forma de radiación
se realizaba de forma discontinua, los llamados “cuantos de energía”. Albert Einstein lo explicó
en 1905. Las teorías actuales dicen que las ondas electromagnéticas no son mecánicas,
es decir, no necesitan un medio material para propagarse. En la actualidad, como veremos en
las últimas unidades, se admite la doble naturaleza de la luz, que se manifiesta como corpúsculo
o como onda según el experimento que se realice. Esto se conoce como la dualidad onda-corpúsculo. Así, el efecto fotoeléctrico queda explicado con la teoría corpuscular y la difracción
con la teoría ondulatoria.
1. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre la hipótesis de Huygens y la de Newton acerca de
la naturaleza de la luz?
A c t i v i d a d e s
168
LA LUZ
7UNIDAD
2. Ondas electromagnéticasEn la Unidad anterior hemos estudiado cómo los experimentos de Faraday y Ampère
unificaron los fenómenos eléctricos y magnéticos al considerarlos como manifestaciones de
una sola interacción, el electromagnetismo.
En 1865 Maxwell descubre que el campo electromagnético se propaga por medio de ondas.
Observó que estas ondas electromagnéticas presentan un comportamiento similar al de la luz:
se reflejan en los metales, cambian de dirección al pasar de un medio a otro y su velocidad es
próxima a 300.000 km/s. Estas similitudes le llevaron a concluir que la luz es una ondaelectromagnética y completó la unificación del electromagnetismo. Desde entonces, la
electricidad, el magnetismo y la óptica constituyen una única rama de la ciencia.
Las ondas electromagnéticas están formadas por un campo eléctrico y otro magnético
cuyas amplitudes oscilan armónicamente con la misma frecuencia en planos perpendiculares
entre sí y, a su vez, perpendiculares a la dirección de propagación (Figura 7.1).
Ahora sabemos que las ondas electromagnéticas no necesitan un medio material para
propagarse, pero anteriormente, durante el siglo
XIX, se supuso la existencia de una sustancia, el
éter, que servía de soporte para que las ondas
electromagnéticas se propagaran. Las caracte-
rísticas del éter eran difíciles de aceptar puesto que
esa sustancia no oponía resistencia al movimiento
de los cuerpos. Además, para ser capaz de
transmitir ondas transversales debería ser incom-
presible y al no poderse detectar en el espacio vacío
debería tener densidad nula. El experimento deMichelson y Morley (como veremos en la Unidad
9) cuestionó la existencia de dicho éter.
Las ecuaciones del campo eléctrico y magné-
tico son las de una onda armónica transversal,
doblemente periódica en el tiempo y el espacio:
E(y) = E0(y) sen 2π (t/T - x/λ) o bien E(y) = E0(y) sen (ωt - kx)
B(z) = B0(z) sen 2π (t/T - x/λ) o bien B(z) = B0(z) sen (ωt - kx)
donde T es el período, λ es la longitud de onda, ω es la frecuencia angular y k es el número
de onda, cuyo significado y relaciones se estudiaron en la Unidad 2.
La velocidad de propagación de una onda electromagnética, v, viene dada por la siguiente
relación:
donde es la frecuencia temporal (que se denominó f en la Unidad 2). ν = 1
T
vT
= =λλ ν
B
v
E
Figura 7.1
169
Maxwell llegó a la conclusión de que: v 2 =1/ε0·μ0 siendo ε0 la constante dieléctrica delvacío, cuyo valor es 8,854 · 10
-12C
2 · N-1 · m
-2, y μ0 la permeabilidad magnética del vacío que
vale 4 · π · 10-7
T · m · A-1. De este cálculo se obtuvo un valor para la velocidad de la luz en el
vacío de 2,9979 · 108
m/s . A esta velocidad se la simboliza con la letra c.
Maxwell vio que el cociente entre los valores de los módulos de →E y
→B en un tiempo y una
posición determinados es igual a la velocidad de la luz, c:
E /B = c
2.1. Producción de ondas electromagnéticas.Maxwell y Hertz
Según las experiencias de Faraday recogidas e interpretadas por Maxwell, cuando una
corriente eléctrica oscilante circula por un conductor, por ejemplo por una espira, irradia energía
eléctrica que se propaga en todas las direcciones del espacio circundante. Si en las proximidades
de este conductor situamos otra espira, esta debería oscilar con la misma frecuencia que el
generador de dicha energía. Dicho de otra forma, cuando una carga eléctrica vibra, genera a
su alrededor un campo eléctrico y uno magnético variables. Si introducimos en él otras cargas
o polos magnéticos, estos sufrirán la acción de fuerzas eléctricas y magnéticas con la misma
periodicidad que la fuente generadora.
Hertz pensó que si lo que decía Maxwell sobre la radiación era correcto, entonces un
hilo incandescente produce luz debido a las oscilaciones de las partículas eléctricas que
formaban los átomos del hilo. La prueba más cómoda hubiera sido que Hertz pudiera generar
c = =⋅ ⋅ ⋅
= ⋅− −
1 1
8 854 10 4 102 9979 10
0 012 7
8
ε μ π,, m/s
E j e m p l oE j e m p l o
Escribe las ecuaciones del campo eléctrico y magnético de una onda electromagnética plana
que se propaga en el sentido negativo del eje de abscisas. Se conoce la frecuencia que vale
2 MHz y la amplitud del campo eléctrico cuyo valor es 9 N/C.
Solución:Sabiendo que ν = 2 · 10
6Hz ⇒ T = 5 · 10
-7s
c = λ · ν ⇒ λ = c / ν = 3 · 108 · m/s · 5 · 10
-7s = 150 m
y como E0 = 9 N/C
E = E0 sen 2π (t /T -- x / λ) = 9 sen2π [t /(5 · 10-7) -- x /(1,5 · 10
2)]
B = B0 sen 2π (t /T -- x / λ)
Para calcular B0 hay que saber que c = E0 /B0 ⇒ B0 = E0 /c = 9 / 3 · 108
= 3 · 10-8
T
B = 3 · 10-8
sen 2π (t /5 · 10-7
-- x /1,5 · 102)T
170
corrientes eléctricas de frecuencias que emitieran en la región del visible, pero en esa época
las frecuencias alcanzadas no llegaban a los 1012
Hz y la luz visible requiere mayores
frecuencias. Aun así diseñó un experimento con circuitos oscilantes de 109 Hz aproximadamente,
que demostraban que estas ondas electromagnéticas son como la luz en todas sus propiedades
salvo que no eran visibles por el ojo humano.
El experimento consistía en situar dos varillas conductoras, en cuyos extremos había
sendas esferas metálicas muy pulidas, en línea recta, con las esferas próximas entre sí. Estas
esferas estaban conectadas mediante un hilo conductor a un mecanismo que las cargaba con
signos opuestos mediante impulsos cortos, haciendo que la diferencia de potencial fuera tan
grande que saltara la chispa. En realidad dichas esferas hacen el papel de un condensador
y la descarga que entre ellas se producía era oscilante como la que se produce al conectar las
placas de un condensador entre sí a través de una autoinducción. El aire que había entre las
esferas se convertía momentáneamente en conductor hasta que se restableciera el equilibrio
eléctrico. A continuación se volvían a cargar otra vez.
Si los argumentos de Maxwell fueran correctos, deberían dispersarse ondas de la misma
frecuencia que la oscilación de las cargas, como así fue. Mientras saltaba la chispa se
dispersaban ondas de frecuencias de 109 Hz, que eran detectadas por la corriente inducida
en un hilo receptor o antena a cierta distancia. Cuando llegaba la onda electromagnética al
hilo receptor, la variación del vector campo magnético B producía corrientes oscilantes con la
misma frecuencia que el emisor. A estas ondas se las denominó hertzianas y posteriormente
se demostró que tenían efectivamente las propiedades de la luz. Hertz consiguió demostrar
que un espejo cóncavo hacía converger a las ondas, como veremos posteriormente que ocurre
con la luz.
La experiencia de Hertz abrió un campo interesantísimo de transmisión de ondas
electromagnéticas a distancia, como la radio, la televisión, radar, etc.
En conclusión, podemos decir que cuando una carga eléctrica es acelerada, emite energía
en forma de ondas electromagnéticas. Si el movimiento de la carga es oscilante, producirá
ondas electromagnéticas de la misma frecuencia que su oscilación.
2.2. Espectro electromagnéticoAl conjunto de todas las radiaciones de distinta frecuencia en que puede descomponerse
la radiación electromagnética se le denomina espectro electromagnético.
Las diferentes frecuencias de las ondas electromagnéticas implican diferentes formas de
interaccionar con la materia. Hay unas ondas que detectamos con el ojo humano y otras no
(los humanos no percibimos las ondas infrarrojas pero los mosquitos sí). Otras ondas son
captadas por determinadas antenas como ondas de radio.
A continuación presentamos una tabla con las ondas electromagnéticas, con su nombre
correspondiente, su longitud de onda y frecuencia en el vacío.
• Rayos gamma. Se producen tras las emisiones radiactivas del núcleo del átomo.
Encierra peligros para los seres vivos y tienen un gran poder de penetración. Las ondas
producidas tienen unas frecuencias superiores a 1019
Hz y su longitud de onda es
del orden del tamaño del núcleo.
LA LUZ
7UNIDAD
171
• Rayos X. Son debidos a los saltos de los electrones entre órbitas internas de átomos.
Sus frecuencias tienen rango comprendido entre 1017
Hz y 1019
Hz. Son también
peligrosos y una exposición prolongada a ellos puede producir cáncer. Son utilizados
en medicina, en la industria y en los servicios de vigilancia, ya que nuestros tejidos y
otros materiales los absorben de distinta manera. Al impresionar las placas fotográficas
o el monitor de visión, dan una imagen clara de la estructura interna del objeto.
• Ultravioleta. Son producidos por los saltos de electrones entre átomos y moléculas.
El rango de frecuencias está aproximadamente entre 7,5 · 1014
Hz y 1017
Hz. Esos
valores tienen mucha importancia para las reacciones químicas. Los rayos UV
procedentes del Sol interaccionan con la parte externa de la atmósfera ionizándola,
así se produce la ionosfera. Los rayos UV se emplean para esterilizar y los más
energéticos, próximos a los 1017
Hz, son muy dañinos para la vida, aunque los de
frecuencias menores penetran ligeramente en la piel produciendo el color bronceado.
Actualmente debido a la destrucción de la capa de ozono, la atmósfera deja pasar
más radiación de frecuencias más altas a la Tierra, ya que es el ozono el que absorbe
parte importante de esta radiación.
• Visible. El rango va desde 3,85 ·1014
Hz hasta 7,5 ·1014
Hz. Es una radiación que pasa
a través de la atmósfera. Los seres vivos la perciben a través del órgano de la vista,
donde hay unos sensores que la detectan, éstos son los conos y bastones que están
en la retina del ojo humano.
• Infrarrojos. Se producen entre 1011
Hz y 3,85 ·1014
Hz. Los emiten los cuerpos calientes
y se deben a saltos de energía producidos en las rotaciones y vibraciones de las
moléculas. Hay seres vivos que son capaces de detectar la radiación producida por
cuerpos a unos 37°C de temperatura, como los mosquitos. Nuestra piel también detecta
el calor y las radiaciones infrarrojas.
• Microondas. En realidad son ondas de radio de longitud de onda corta. Se utilizan
en los hornos de las cocinas, en comunicaciones del radar o en la banda UHF (Ultra
High Frequency, gama de radiofrecuencias de frecuencia ultra alta). Su rango de
frecuencias va desde 1010
Hz a 1012
Hz.
4·10-7
7,8·10-7
i
V
i
s
b
l
e
Figura 7.2
172
LA LUZ
7UNIDAD
• Ondas de radio. Son las que tienen las longitudes de onda más grandes y, por tanto,
las frecuencias más pequeñas, menores que 1010
Hz. Incluyen las ondas de radio
cortas, las de televisión (VHF), FM de radio, y AM. Se producen en la oscilación de
la carga eléctrica en las antenas emisoras.
E j e m p l oE j e m p l o
Calcula la frecuencia de un rayo láser de 600 nm, sabiendo que la velocidad de propagación
de la luz en el vacío es 300.000 km/s. Debes saber que 1nm = 10 -9
m.
Solución:Como c = λ · ν, cuando la luz pasa de un medio a otro, cambia la velocidad de las ondas elec-
tromagnéticas, conservando su frecuencia, pero no así su longitud de onda. La velocidad de pro-
pagación depende de la frecuencia de la onda, de modo que el ángulo de refracción es diferen-
te para cada frecuencia. Esta es la explicación de la descomposición de la luz blanca cuando
pasa por un prisma y aparecen los colores del arco iris. Podéis consultar en las páginas web que
recomendamos los applets que simulan este hecho.
ν = c/ λ = 3 · 108
m · s-1/ 600 · 10
-9 m = 5 · 10
14 Hz.( Recuerda que Hz equivale a s
-1)
R e c u e r d a
� Las ecuaciones para las ondas armónicas son:
E(y) = E0(y) sen 2π (t/T - x/λ) o bien E(y) = E0(y) sen (ωt - kx)B(z) = B0(z) sen 2π (t/T - x/λ) o bien B(z) = B0(z) sen (ωt - kx)
� Maxwell descubrió esta relación: E/B = cRecuerda que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es también la
velocidad de la luz y que para las ondas electromagnéticas también es válida la relación entre
la velocidad de propagación c, la longitud de onda λ y la frecuencia ν ; c = λ · ν
2. Calcula el valor máximo del campo magnético y las ecuaciones respectivas de los camposeléctrico y magnético, de una onda electromagnética sinusoidal plana que se desplaza en elsentido positivo del eje de abscisas. Se conoce su frecuencia f = 10
8Hz y el valor máximo
del campo eléctrico E0 = 600 N · C-1
3. Calcula la longitud de onda de las siguientes radiaciones electromagnéticas:
a) Una de microondas cuya frecuencia es 1010
Hz.
b) Una radiación de infrarrojos cuya frecuencia es 3,5 · 1013
Hz.
c) Luz violeta de 7 · 1014
Hz.
d) Ondas de Radio de 108
Hz.
4. Calcula el intervalo de frecuencias correspondiente al espectro visible sabiendo que éstecomprende radiaciones de longitud de onda comprendidas entre 400 y 780 nm.
A c t i v i d a d e s
173
3. Reflexión y refracciónCuando la luz incide sobre una superficie que separa el medio por el que se propaga,
medio 1, de un segundo medio, que llamaremos medio 2, una parte de la onda atraviesa la
superficie, dando lugar al fenómeno llamado refracción, y otra parte rebota, produciendo la
reflexión. La parte de la onda que pasa al medio 2 es la onda refractada y la que no traspasa
la superficie y se mantiene en el mismo medio de propagación es la onda reflejada. La energía
que transporta la onda queda dividida en dos fracciones, de modo que la suma de las energías
reflejada y refractada es igual a la que incide sobre la superficie de separación de
ambos medios, cumpliéndose así el principio de conservación de la energía.
Utilizaremos rayos, que son líneas perpendiculares al frente de ondas, para facilitar
la claridad de los esquemas que realicemos.
Recuerda lo estudiado en el apartado 4 de la Unidad 3, sobre reflexión y refracción
de ondas:
La parte de la onda no reflejada se propagará por el medio 2 con una velocidad v2 y cambia
de dirección, de forma que el cociente entre el seno del ángulo de refracción, r, y el de incidencia,
i, es igual al cociente entre las velocidades respectivas del segundo medio y del primero
(consultar lo visto en la demostración del apartado 4 de la Unidad 3).
Definimos índice de refracción relativo del medio 2 en relación al medio 1, n21, como el
cociente entre la velocidad de propagación del medio 1 y la del medio 2.
Definimos índice de refracción absoluto n, de un medio para ondas electromagnéticas, a
la razón entre la velocidad de la luz en el vacío c y la velocidad de propagación en dicho medio.
n cv
=
n vv
vv
i
r21
1
2
= =
Figura 7.3
R e c u e r d a
� El rayo incidente, la normal en el punto de incidencia y el rayo reflejado están en el mismo
plano.
� El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión; éste se toma desde la normal en el
punto de incidencia.
El ángulo de incidencia y el de refracción están relacionados por :
relación conocida como la Ley de Snellsen
sen
ri
vv= 2
1
174
LA LUZ
7UNIDAD
Los índices de refracción relativo y absoluto
son números adimensionales. La velocidad de la
luz toma su máximo valor, c, en el vacío. Por tanto,
los índices de refracción absolutos son siempre
mayores que 1.
Mientras que la velocidad de la luz en el vacío
es siempre la misma e independiente de su longitud
de onda, no ocurre lo mismo cuando se propaga
a través de un medio material.
La frecuencia de la onda es una característica
de la fuente emisora (carga oscilante) y no depende
del medio a través del que se propaga. Por tanto,
si cambia la velocidad es debido a que cambia la
longitud de la onda.
Si λ0 es la longitud de onda en el vacío y λ en
cualquier otro medio, se cumple que:
c = λ0 νv = λ ν
Comparando la velocidad de la luz en el vacío y en cualquier otro medio obtenemos:
, cociente que coincide con el índice de refracción absoluto.
Es decir, el índice de refracción absoluto es:
Si n >1 entonces la longitud de onda λ es menor que λ0.
Los índices de refracción de algunos medios son:
Como c >v los índices de refracción absolutos siempre serán mayores que uno.
Si n1 = c /v1 y n2 = c /v2 ; n1 /n2 = v2 /v1
Recordando la ley de Snell, sen i / sen r = v1 / v2
Concluiríamos: sen i / sen r = n2 / n1
n1 · sen i = n2 · sen r, que es otra forma de expresar la ley de Snell.
Recuerda que tanto la reflexión como la refracción son fenómenos que habían sido
explicados tanto entendiendo la luz como onda (Huygens) que como corpúsculo (Newton).
cv
=⋅⋅
=λ νλ ν
λλ
0 0
n =λλ
0
Medio Índice de refracción
Aire (a 0ºC y 1 atm) 1,000293
Dióxido de Carbono (a 0ºC y 1 atm) 1,00045
Cuarzo (a 20ºC) 1,544
Diamante (a 20ºC) 2,417
Vidrio (a 20ºC) De 1,46 a 1,96
Agua (a 20ºC) 1,333
i
r
Rayo incidente
Rayo refractado
Rayo reflejado
Figura 74
175
3.1. Ángulo límite y reflexión totalSi la velocidad de propagación en el primer medio (medio 1, en el que incide el rayo) es
menor que en el segundo (medio 2, del rayo refractado), el rayo se alejará de la normal,
pues v1 < v2, y, según la ley de Snell , tendremos: sen i < sen r ⇒ i < r
Si aumentamos el ángulo de incidencia, ocurrirá lo mismo con el ángulo de refracción y
así podríamos llegar hasta tener un valor del ángulo de refracción de 90 grados para un
determinado valor del ángulo incidente, que llamaremos L, de tal forma que:
Si i = L entonces r = 90º
sen L / sen 90 = v1 / v2 ⇒ sen L = v1 / v2 (pues sen 90º = 1)
como v1 / v2 = n2 /n1 = n21
sen L = n2 /n1 ó sen L = n21 (índice de refracción relativo del medio 2 respecto del 1)
Si hacemos aún mayor el ángulo de incidencia sobrepasando el ángulo límite, sólo se producirá
reflexión (obviamente el ángulo r no puede ser mayor que un ángulo recto). Esta reflexión de la
onda es del 100% ante la imposibilidad de la refracción y se denomina reflexión total.
Una aplicación interesante de este fenómeno son las fibras ópticas. Son fibras de vidrio,
finas, transparentes y largas, en las que se hace entrar un rayo de luz dirigido longitudinalmente.
Si no tiene plegamientos grandes, muy agudos, la incidencia del rayo con las paredes es
superior al ángulo límite, se produce reflexión total y la luz se transmite sin pérdidas. Se aplica
en la transmisión de información. Una fibra del grosor de un cabello puede transmitir la
información de 25000 personas hablando por teléfono.
Figura 7.5
El ángulo límite es un ángulo de incidencia al que corresponde uno de refracción
de 90 grados. El seno del ángulo límite es igual al índice de refracción relativo del
medio de refracción respecto al de incidencia.
5. Calcula la velocidad de propagación de la luz en el benceno (C6 H6), sabiendo que el índice
de refracción en el benceno es 1,48.
A c t i v i d a d e s
176
LA LUZ
7UNIDAD
3.2. Prisma ópticoUn prisma óptico es un cuerpo que permite pasar la luz y que consta de dos superficies
planas refractantes formando un ángulo diedro, α, llamado ángulo refringente del prisma.
Calculemos cuál es la desviación total, δ, de un rayo que incide con un ángulo i, y emerge
tras dos refracciones, una del aire al interior del prisma, y la segunda del interior del prisma
al aire.
α = r + i’ por ser α el ángulo externo de un triángulo (que es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes).
i = r + β por opuestos por el vértice.
r ’ = γ + i’ por opuestos por el vértice.
El ángulo de desviación, δ, se calcula:
δ = β + γ = (i – r) + (r ’ – i ’) = i + r ’ – (r + i ’) = i + r ’– αSe puede demostrar que la desviación es mínima cuando el rayo que atraviesa el prisma
es paralelo a la base. Entonces se cumple que:
r = i’i = r ’
ir
i’r’
α
β γ
α
δ
Figura 7.6
6. a) Halla el ángulo límite para la luz que pasa del agua, cuyo índice de refracción es 1,33, al
aire.
b) Calcula también el ángulo de refracción cuando el de incidencia es de 35º.
A c t i v i d a d e s
7. El ángulo de desviación mínima de un prisma óptico es de 30º. Si el ángulo del prisma es 50º
y éste está situado en el aire, determina:
a) El ángulo de incidencia para que se produzca la desviación mínima del rayo.
b) El índice de refracción del prisma.
A c t i v i d a d e s
177
3.3. Láminas de caras planas paralelasCuando un rayo atraviesa una lámina de caras planas y paralelas, el rayo luminoso
emergente no se desvía respecto del rayo incidente, pero sí se desplaza paralelamente:
• En la primera refracción, según la ley de Snell:
n1 sen i = n2 sen r• En la segunda:
n2 sen i ’ = n1 sen r ’
• Como r = i ’ (ángulos alternos-internos), queda:
n1 sen i = n1 sen r ’, es decir:
Aplicación para calcular el desplazamiento lateral.
Piensa que a es el espesor de la lámina y D es el
desplazamiento lateral, i ángulo de incidencia y β es tal
que sumado con r es igual a i.cos r = a /OB ⇒ OB = a /cos rsen β = D/OB⇒ D = OB · senβD = (a /cos r) · senβ y como: β = i – rD = (a /cos r) · sen (i – r)
i = r ’
n1
n2
n1
i
r
r’
i’
Rayo emergente
Rayo incidente
β
D
B
a
O
Figura 7.7
8. Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas tiene un espesor de 8 cm y un índice de
refracción de 1,6. Si un rayo de luz monocromática incide en la cara superior de la lámina con
un ángulo de 45º, calcular:
a) los valores del ángulo de refracción en el interior de la lámina y del ángulo de emergen-
cia correspondiente;
b) el desplazamiento lateral experimentado por el rayo al atravesar la lámina.
c) Dibujar la marcha geométrica del rayo.
A c t i v i d a d e s
178
LA LUZ
7UNIDAD
4. Dispersión de la luz. EspectroscopiaComo hemos visto, cuando la luz pasa de un medio a otro, cambia su velocidad, conservando
su frecuencia, pero no así su longitud
de onda. La velocidad de propagación
depende de la frecuencia de la onda,
de modo que el ángulo de refracción es
diferente para cada frecuencia. Esta es
la explicación de la descomposición de
la luz blanca cuando pasa por un prisma
y aparecen los colores que denomi-
namos espectro de la luz blanca, como
los del arco iris. Podéis consultar en
las páginas web que recomendamos
los applets que simulan este hecho.
La dispersión de la luz es una consecuencia de la dependencia del índice de refracción
n con la longitud de la onda.
En algunos medios transparentes, como el vidrio, el valor de n disminuye al aumentar la
longitud de onda.
Según la ley de Snell, la desviación por refracción es mayor cuanto más grande sea el
valor de n, así el rayo refractado de la luz roja se desvía menos que el de la violeta.
Rojo
Violeta
Rojo
Violeta
Figura 7.9
rojo
naranja
azul
violeta
Figura 7.8
179
Al pasar luz blanca a través de un prisma triangular de vidrio los rayos se refractan dos
veces y en ambos casos los rayos de frecuencia más alta se desvían más que los de frecuencias
más bajas y decimos que la luz blanca se ha dispersado en los colores que la componen.
A partir de ese fenómeno, Newton explica la formación del arco iris, en la cual interviene
el fenómeno de la dispersión de la luz por refracción además de la reflexión en el interior de
las gotas de agua. Al pasar a través de las gotas de agua, la luz se dispersa ya que cada color
tiene una velocidad diferente – el índice de refracción es diferente según los colores – y
cada uno sufre una desviación distinta. La luz roja es la que menos se desvía debido a que su
velocidad es la mayor, mientras que la luz violeta es la que sufre mayor desviación. Entre ambos
colores están naranja, amarillo, verde, azul, añil, que completan la gama de colores de arco
iris. En el interior de las gotas de agua se reflejan y al salir sufren una segunda refracción.
Debido a las dos refracciones y a la reflexión interna, el rojo es el que sale más desviado
respecto a la dirección de entrada. El observador, cuando el sol esté a sus espaldas, verá de
color rojo las gotas más altas, bajando en la escala de colores hasta llegar al violeta en las
más bajas.
Espectroscopia
Los dispositivos capaces de descomponer la luz en sus componentes monocromáticas,
como el prisma óptico, se denominan espectroscopios o espectrofotómetros.
Cuando una sustancia química es excitada energéticamente (con calor, electricidad, luz,
etc.) emite radiación electromagnética a unas frecuencias determinadas. El conjunto de las
frecuencias de emisión de la sustancia se denomina espectro de emisión de la misma y es
una característica unívoca de la sustancia. El espectro de emisión de una sustancia química
es siempre el mismo y no hay dos sustancias con espectros de emisión idénticos.
Hay espectros que denominamos continuos porque la distribución de la radiación es
continua como en el caso del arco iris (descomposición de la luz blanca) y discontinuos en
los que sólo aparecen unas líneas brillantes de colores, pero separadas claramente. El
hidrógeno, por ejemplo, emite luz roja, verde, azul celeste y violeta, que se observa en rayas
separadas.
Las sustancias químicas absorben radiación de las mismas longitudes de onda a las que
emite. Cuando se hace pasar un haz de luz a través de una muestra y se analiza el espectro
del haz transmitido, observamos que “faltan” longitudes de onda, que han sido absorbidas por
la muestra. El espectro así obtenido se denomina espectro de absorción y es complementario
del de emisión, y por tanto también es característico del material. La ciencia que estudia la
composición de la materia mediante el análisis de los espectros de emisión y absorción se
llama espectroscopia.
180
5. Interferencias y difracciónInterferencias y difracción son fenómenos exclusivamente ondulatorios y han sido decisivos
para identificar la naturaleza de la luz, en la controversia citada sobre si su naturaleza era
corpuscular u ondulatoria. En la última Unidad, veremos que la luz tiene ambos aspectos, pero
la aceptación, contra la idea de Newton, del aspecto ondulatorio se basó en la constatación
de que la luz produce interferencias además de ser capaz de producir difracción. Ambos
conceptos están recogidos de forma general en la Unidad referida a las ondas.
Recordemos que para que se produzcan interferencias de ondas luminosas es necesario
que los focos de emisión sean coherentes – deben mantener una diferencia de fase constante
– y además que las ondas luminosas tengan la misma longitud de onda, es decir, que sean
monocromáticas. Si no cumplen estas condiciones, no se producirán los fenómenos de la
interferencia, aunque coloquemos dos focos luminosos cercanos entre sí. Esto se debe a que
cada foco emite ondas independientemente del otro. Por ello los faros de un automóvil no
producen interferencias.
Cuando dos focos producen ondas armónicas, con la misma longitud de onda y frecuencia,
y éstas se superponen en el mismo punto y en el mismo instante, se producen interferencias
que pueden ser constructivas o destructivas.
Interferencias constructivas se producen en los puntos donde la diferencia de caminos
seguidos por las ondas es igual a un múltiplo de la longitud de onda. En este caso el desfase
entre los caminos recorridos es nulo: r2 – r1 = n λ
La amplitud resultante es la suma de las amplitudes, Atotal = A1 + A2 , y la intensidad es
máxima. Observamos puntos más luminosos. Las líneas o superficies que forman estos puntos
de mayor intensidad se llaman líneas o superficies antinodales y a los puntos se les llama
vientres.
Interferencias destructivas se producen
cuando la amplitud es la menor posible.
Atotal = A1 --A2, y se produce en los
puntos donde la diferencia de caminos
seguidos por las ondas, que se emitieron
en fase, es igual a un múltiplo impar de
media longitud de onda.
A las líneas o superficies donde están estos puntos se les llama nodales y a los puntos
nodos.
La difracción permite percibir una onda en una dirección distinta de la que traía, después
de pasar un obstáculo de dimensiones similares a su longitud de onda. Es tanto mayor su
efecto cuanto mayor es el tamaño de la longitud de onda en comparación con el tamaño del
obstáculo. Como hemos dicho, es un fenómeno exclusivamente ondulatorio.
r r n2 1
2 1
2− = −( )λ
LA LUZ
7UNIDAD
r2
r1
d
Figura 7.10
181
6. PolarizaciónEl fenómeno de la polarización también es exclusivo de ondas y sólo se producen con ondas
transversales, con lo que se pone de manifiesto que las ondas luminosas son transversales.
La polarización se observa porque la oscilación de la onda transversal se produce siempre
en una dirección determinada. A estas ondas se las llama polarizadas.
Si el vector campo eléctrico permanece paralelo a una línea recta del espacio, se dice que
la onda está polarizada linealmente o tiene polarización plana.
Las ondas transversales pueden estar polarizadas circularmente, si el vector del campo
eléctrico E gira describiendo un círculo, y elípticamente si dicho vector describe una elipse.
Si una onda se desplaza siguiendo la dirección OX, las componentes z e y del campo serán:
Ey = Ey0 sen 2π (t /T --x / λ) ; Ez = Ez0 sen 2π (t /T --x / λ+ π /2) = Ez0 cos 2π (t /T --x / λ + π /2)
Si la amplitudes Ey0 = Ez0 la onda está polarizada circularmente; si no es así, está polarizada
elípticamente.
Podemos visualizar las polarizaciones utilizando ondas mecánicas, como las que producimos
con una cuerda suficientemente larga. Si hacemos oscilar el extremo verticalmente, siempre
en el mismo plano, tendremos una onda polarizada linealmente. Si hacemos que el extremo
gire circularmente con velocidad constante, cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento
circular y diremos que la onda está polarizada circularmente. Si lo hiciéramos como elipse,
tendríamos el otro caso de polarización citado.
Polarización por reflexión
Cuando la luz natural incide sobre una superficie de separación de dos medios, la luz
reflejada está parcialmente polarizada. El grado de polarización depende del ángulo de incidencia.
El ángulo de incidencia para el que la luz queda totalmente polarizada linealmente es aquel
en el que el rayo reflejado y refractado forman un ángulo de 90° y se llama ángulo depolarización o ángulo de Brewster, en honor de Sir David Brewster (1781–1868), físico escocés
que en 1812 descubrió dicho fenómeno.
El ángulo de polarización se calcula de la siguiente manera:
Si descomponemos el vector del campo eléctrico E de la luz en dos componentes, una
paralela al plano de la superficie de separación de ambos medios y la otra perpendicular a ella,
entonces la luz reflejada estará polarizada con su vector campo eléctrico perpendicular al plano
de separación o de incidencia. Se cumple que i + r = π /2, donde i es el ángulo de incidencia
(y por tanto el ángulo de reflexión) y r es el ángulo de refracción. Entonces se cumple que:
sen r = cos i
182
LA LUZ
7UNIDAD
Considerando un rayo que pasa de un medio de índice de refracción n1 a otro cuyo índice
es n2 según la ley de Snell: n1 · sen i = n2 · sen r
n1 · sen i = n2 · cos i
tg i = n2 /n1.
Si procede del aire n1 =1 y el ángulo de Brewster será tg i = n2.
Figura 7.11
Luz incidenteOnda no polarizada
Luz refractadaOnda no polarizada
B
E
183
7. Efecto Doppler en la propagación de la luzEl efecto Doppler se produce cuando el foco emisor de la onda, o el observador, están en
movimiento con una componente en la dirección de la línea que les une, en relación al medio
material de propagación. Consiste en el cambio que se produce entre la frecuencia emitida por
el foco emisor de ondas y la frecuencia percibida por el observador, consecuencia de la velocidad
relativa entre el foco y el observador. La diferencia de frecuencias emitidas y percibidas está
relacionada con la velocidad relativa entre ambos.
Este efecto en ondas electromagnéticas, tiene gran importancia en espectroscopia, al
estudiar los espectros de absorción o emisión de gases a grandes velocidades, y en la teoría
de la relatividad de Einstein. Tiene una enorme importancia en cosmología y nos permite calcular
la velocidad de las galaxias. En la teoría de un universo en expansión los astrónomos se basaron
en la variación de las frecuencias de las rayas espectrales de la radiación que nos llega de
galaxias lejanas. Consideraron que estas variaciones eran debidas al efecto Doppler a causa
del movimiento de las galaxias. Como estas variaciones se producían de forma que disminuía
la frecuencia, desviación hacia el rojo, se concluyó que las galaxias se alejaban de la Tierra.
9. Un rayo de luz amarilla está emitido por una lámpara de sodio con una longitud de onda de
589 nm. Determina:
a) la frecuencia de la onda;
b) la velocidad de propagación y la longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo.
c) ¿Cuál es el ángulo límite para que, cuando dicho rayo de luz encuentre la superficie que
separa la fibra de cuarzo del aire, experimente reflexión total ?
Datos: Índice de refracción del cuarzo: n =1,458; Velocidad de la luz en el vacío: c =3 ·108
m/s.
10. ¿Por qué cuando se observa desde el aire un bastón sumergido en el agua de una piscina
parece estar doblado? Razona la respuesta.
11. A partir del principio de Huygens explica la ley de Snell para la refracción.
12. En cálculos de astronomía se utiliza con frecuencia el año luz, que es la distancia que recorre
la luz en un año.
a) Calcula su equivalencia en el SI.
b) Si una estrella está a 9,15 · 1014
km de la Tierra, ¿a cuántos años luz estamos de ella?
13. Describe las diferencias entre un espectro de absorción y uno de emisión.
14. Sitúa en el espectro electromagnético las siguientes radiaciones cuyas longitudes de onda son:
a) 1 mm;
b) 2 m;
c) 5 · 10-8
m y determina sus frecuencias respectivas.
15. ¿Con qué ángulo debe incidir un rayo de luz sobre una superficie de vidrio para que el ángu-
lo reflejado y el refractado sean perpendiculares entre sí?
Dato: El índice de refracción del vidrio es 1,46
A c t i v i d a d e s
184
LA LUZ
7UNIDAD
Cálculo de la velocidad de la luz según RömerSe había observado que la duración del período del satélite “Io” de Júpiter tenía diferente valor
según la Tierra se acercara o se alejara del planeta.
El período se medía como el tiempo entre dos sucesivas apariciones de “Io” detrás de Júpiter.
Estas diferencias en la medida del período llevaron a Römer a suponer que la luz tenía una
velocidad finita y que las variaciones se explicaban porque al acercarse, la distancia entre la Tierra
y Júpiter en el momento de la segunda aparición era menor que en el momento de la primera
aparición. Mientras que al alejarse la Tierra de Júpiter, ocurría lo contrario. En realidad, el cambio
de posición de Júpiter es despreciable en estos intervalos
de tiempo. En el dibujo se ha exagerado para mayor claridad.
Como las variaciones eran de unos pocos segundos Römer
ideó otro experimento. Midió el período del satélite en la
posición más cercana de la Tierra a Júpiter. Este valor permitiría
predecir el momento en que se produciría exactamente un
nuevo eclipse al cabo de seis meses, cuando la Tierra estuviese
en su posición más lejana de Júpiter. El eclipse no se produjo
en un tiempo múltiplo del período de “Io” alrededor de Júpiter
(como era esperable si la velocidad de la luz fuese infinita),
sino que se retrasó como anunció Römer en un congreso de
astrónomos. Los 22 minutos de retraso que se observaron
eran justificables como el tiempo que tarda la luz en recorrer
el diámetro de la órbita terrestre, y que le permitió calcular el
valor de la velocidad de la luz, que fue de:
v = Δr /Δt = 3·1011
m/22 · 60 s = 2,3 · 108
m/s
magnitud no correcta, pero que probaba la finitud de la velocidad de la luz. El valor admitido
actualmente es de 3·108
m/s. El error de Römer era debido fundamentalmente a la medida del
tiempo. La luz tarda en cruzar la órbita terrestre unos 16 minutos en lugar de los 22 que él utilizó.
J
JSol
Segunda aparición
Primera aparición T
T
J
JSolSegunda aparición
Primera aparición
T
T
Figura 7.12
P a r a s a b e r m á s
J
J
Sol
Figura 7.13
185
Cálculo de la velocidad de la luz según Fizeau
Fizeau, en torno a 1850, midió la velocidad de la luz con más precisión que Römer, de la
siguiente manera. Hizo pasar luz a través de una rueda dentada que giraba incidiendo sobre un
espejo situado a varios kilómetros detrás de la rueda. La luz se reflejaba en el espejo y volvía
a pasar entre los dientes de la rueda giratoria siempre y cuando ésta girara a suficiente velocidad.
La rueda tenía 720 dientes, situó el espejo a 8.630 m de la rueda y esta giraba con una velocidad
angular de 25,2 vueltas por segundo, de forma que un observador viera la imagen de la fuente
luminosa. Con esos, datos la luz recorría 2 · 8630 m = 17260 m en un tiempo t, que es el tiempo
que tarda la rueda en pasar de una abertura a la siguiente ⇒ t = 17260/c
Si la velocidad de giro ω = 2 · π · 25,2 rad/s
ω=Δφ/t ⇒ t = (2 · π / 720) rad / 2 · π · 25,2 rad/s
Igualando el tiempo: 17260m /c = (2·π/720)rad / 2 · π · 25,2 rad/s
Despejando c = 17260 · 720 · 25,2 m/s = 313165440 m/s = 3,13 · 108
m/s que es mayor que el
aceptado actualmente, pero más preciso que las medidas anteriores.
Figura 7.14