fisica 1 termodinamica 3 a lezione. programma della lezione teoria cinetica dei gas - gas ideale...
TRANSCRIPT
![Page 1: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/1.jpg)
Fisica 1Termodinamica
3a lezione
![Page 2: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/2.jpg)
Programma della lezione
• Teoria cinetica dei gas - gas ideale
• Equazione di Joule-Clausius
• Interpretazione microscopica della temperatura
• Teoria cinetica dei gas - gas reali
• Equazione di Van der Waals
![Page 3: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/3.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• Si suppone che un gas non sia una sostanza continua, ma un insieme di un numero molto grande di enti discreti microscopici, chiamati molecole
• Queste molecole risentono due tipi di forze:– Forze interne al gas, dovute all’interazione reciproca
delle molecole, con una forza funzione della distanza
– Forze esterne al gas, dovute p.e. alla gravità o a campi e.m. esterni
![Page 4: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/4.jpg)
Teoria cinetica dei gas• Consideriamo la situazione più semplice in cui le
molecole sono paragonabili a sfere impenetrabili di raggio R, che interagiscono fra di loro o con le pareti del contenitore solo per urto, mentre per il resto del tempo non sono soggette a forze e quindi si muovono di moto rettilineo uniforme
• Il movimento delle molecole è del tutto casuale, non essendoci posizioni o direzioni privilegiate
• Il volume occupato dalle molecole è trascurabile rispetto a quello del recipiente
• Gli urti delle molecole contro le pareti sono elastici, le pareti sono lisce e di massa praticamente infinita
![Page 5: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/5.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• Con queste ipotesi possiamo costruire un modello cinetico del gas ideale
• Un’altra ipotesi semplificativa usata spesso è che siano assenti forze esterne
• Inoltre, per il momento, ci interessa solo l’energia cinetica del centro di massa e non quella dei moti relativi al centro di massa (rotazioni e vibrazioni). Quindi situazione ideale con R=0, ovvero molecole monoatomiche puntiformi
• Se le molecole urtano contro le pareti, ci aspettiamo che queste risentano di una forza e che la pressione del gas possa essere spiegata in base agli urti microscopici
![Page 6: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/6.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• Consideriamo una molecola di massa m che urta con velocità v1 contro una parete di un contenitore a forma di cubo di lato a
• Dopo l’urto essa ha velocità v2, le cui componenti parallele alla parete sono inalterate e la componente perpendicolare alla parete (p.e. x) ha cambiato segno
• La quantità di moto della molecola, a causa dell’urto, cambia di
• Ove vx è la componente della velocità lungo x prima dell’urto
q 2mvx
x
![Page 7: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/7.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• L’urto successivo contro la parete avviene dopo un tempo t necessario per attraversare il cubo nei due sensi
• In un intervallo di tempo t la particella esegue quindi n urti
• L’impulso scambiato dalla molecola nel tempo t è
• E l’impulso totale scambiato con la parete è la somma dei contributi di tutte le molecole
t 2a vx
n t
t
vxt
2a
I 2mvxn mvx2t
a
Itot mvxi2t
ai1
N
![Page 8: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/8.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• La forza media esercitata sulla parete dal gas è l’impulso scambiato diviso il tempo impiegato
• E questa corrisponde ad una pressione
• ove V è il volume del contenitore• Introducendo la velocità
quadratica media
fx Itot
t
m
avxi2
i1
N
p fx
a2
m
Vvxi2
i1
N
p mN
V
1
Nvxi2
i1
N
mN
Vvx2
![Page 9: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/9.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• Considerazioni analoghe si possono fare nelle altre due direzioni y e z
• La pressione è la stessa su tutte le pareti, quindi
• come ci si aspetta per l’isotropia della velocità, e poiché
• Si ottiene l’equazione di Joule-Clausius:
p mN
3Vv 2
2
3
N
V
1
2m v 2
vx2 vy
2 vz2
v 2 vx2 vy
2 vz2
![Page 10: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/10.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• L’espressione tra parentesi rappresenta l’energia cinetica media delle molecole:
• Questa espressione ci permette di giungere ad un risultato molto interessante
• Ricordiamo la legge del gas ideale e confrontiamola con l’equazione trovata
• Otteniamo
• Cioè la temperatura è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole
p 2
3
N
VK
p nRT
V
T 2
3
N
nRK
2
3
NA
RK
![Page 11: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/11.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• La relazione tra temperatura ed energia cinetica media delle molecole è molto importante perché fornisce un’interpretazione meccanica della temperatura
• La temperatura, grandezza termica macroscopica ha quindi una interpretazione meccanica microscopica
![Page 12: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/12.jpg)
Teoria cinetica dei gas
• Introducendo la costante di Boltzmann k=R/NA, l’energia cinetica media di una molecola monoatomica si può quindi scrivere
• Cioè è come se ad ogni termine (x, y, z) nell’espressione dell’energia cinetica, corrispondesse un termine
• nell’energia media delle molecole
K 3
2
R
NA
T 3
2kT
1
2kT
![Page 13: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/13.jpg)
Teoria cinetica dei gas• Complichiamo ora un poco il modello, supponendo di
avere molecole non puntiformi, ad esempio biatomiche (ma sempre un gas ideale, cioè senza interazione tra le molecole)
• L’energia cinetica di traslazione del centro di massa è, come nel caso monoatomico:
vz
vyvx
K t K tx K ty K tz 1
2mvx
2 1
2mvy
2 1
2mvz
2
v
![Page 14: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/14.jpg)
Teoria cinetica dei gas• Ora, oltre all’energia cinetica del centro di massa,
abbiamo l’energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa
• L’energia di rotazione è relativa agli assi x e z• L’energia relativa all’asse y è trascurabile
z
y
x
• L’energia cinetica di rotazione è
Kr Krx Krz 1
2Ixx
2 1
2Izz
2
![Page 15: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/15.jpg)
Teoria cinetica dei gas• Infine c’è la possibilità che i due atomi vibrino attorno al
centro di massa, lungo la loro congiungente
• Diciamo Y=y1-y2 la differenza delle coordinate dei due atomi e la massa ridotta del sistema, e supponiamo per semplicità che la vibrazione sia di tipo armonico (con costante elastica km)
• l’energia associata a questo moto vibratorio, avrà un termine cinetico ed uno potenziale:
Ev Kv Vv 1
2 dY
dt
2
1
2kmY 2
![Page 16: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorema di equipartizione dell’energia
• Questo teorema di meccanica statistica afferma che ad ogni termine quadratico nell’espressione dell’energia della molecola, corrisponde un termine
• nell’energia media molecolare• Quindi
– Molecola monoatomica: <K>=3 kT/2– Molecola biatomica senza rotazioni o vibrazioni: <K>=3 kT/2– Molecola biatomica con rotazioni: <K>=5 kT/2– Molecola biatomica con rotazioni e vibrazioni: <E>=7 kT/2
1
2kT
![Page 17: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/17.jpg)
Teoria cinetica dei gas• L’energia totale di tutte le molecole del gas è
• Definiamo l’energia interna U del gas come l’energia totale delle sue molecole: energia cinetica (di traslazione, rotazione e vibrazione) più energia potenziale intra-molecolare: U=E
• In un gas ideale, non c’è energia potenziale inter-molecolare perché manca interazione a distanza tra le molecole
• Nell’espansione libera di un gas ideale, ci si aspetta quindi che l’energia interna del gas non vari
• Dalla relazione tra U e T, ne concludiamo che la teoria cinetica predice che in un’espansione libera di un gas ideale, la temperatura non cambi
• Tale previsione, come vedremo, è verificata sperimentalmente
E Nq
2kT nNA
q
2kT
q
2nRT
![Page 18: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/18.jpg)
Teoria cinetica e gas reali• Nei gas reali, al contrario, le molecole interagiscono a
distanza con forze generalmente attrattive (per distanze sufficientemente grandi)
• Per forze attrattive, l’energia potenziale interna aumenta all’aumentare della distanza media fra le molecole (cioè del volume)
• Consideriamo l’espansione libera di un gas reale: poiché l’energia interna totale deve conservarsi, l’aumento di energia potenziale dev’essere accompagnato da una diminuzione di energia cinetica
• Per quanto abbiamo detto sull’interpretazione microscopica della temperatura, questo equivale a dire che la temperatura del gas deve diminuire
• Anche questa previsione della teoria cinetica è verificata sperimentalmente
![Page 19: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/19.jpg)
Equazione di stato dei gas reali
• La teoria cinetica permette di trovare l’equazione di stato non solo per il gas ideale, ma anche per i gas reali
• Sono state proposte diverse equazioni di stato• La formula più nota è quella di van der Waals,
per la sua semplicità e perché descrive in modo soddisfacente il comportamento di molte sostanze su un ampio intervallo di temperatura e pressione
![Page 20: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/20.jpg)
Equazione di van der Waals
• Corregge l’equazione del gas ideale tenendo conto – Del volume b, inaccessibile alle
molecole (covolume), che viene sottratto al volume V:
– Della forza di coesione tra molecole
V b
![Page 21: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/21.jpg)
Equazione di van der Waals• Alla pressione esterna va aggiunto un termine che rappresenta
l’attrazione tra le molecole• Per una molecola all’interno del gas la risultante delle forze di
coesione è nulla, in media, per simmetria• Per una molecola prossima alla parete questo non è vero• La pressione esercitata dalla parete è aumentata della forza
attrattiva fra le molecole del gas• Questa pressione supplementare dev’essere proporzionale alla
concentrazione sia delle molecole attirate che delle molecole attiranti
• Ognuna di queste concentrazioni è direttamente proporzionale al numero di moli n e inversamente proporzionale al volume V; la pressione supplementare è dunque del tipo
an2
V 2
![Page 22: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/22.jpg)
Equazione di van der Waals
• L’equazione di stato è
• Ovvero, usando il volume molare v=V/n:
• Le costanti a, b, sono caratteristiche del gas considerato
• Si riottiene l’equazione del gas ideale ponendo le due costanti uguali a zero
p an2
V 2
V nb nRT
RTbvv
ap
2
1
![Page 23: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/23.jpg)
Equazione di van der Waals
• Le isoterme secondo van der Waals approssimano molto bene le isoterme reali per T>Tc
• Se ne discostano sensibilmente per T<Tc nella zona della condensazione, ove l’isoterma reale diventa rettilinea
![Page 24: Fisica 1 Termodinamica 3 a lezione. Programma della lezione Teoria cinetica dei gas - gas ideale Equazione di Joule-Clausius Interpretazione microscopica](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062418/5542eb4d497959361e8ba9e9/html5/thumbnails/24.jpg)
Equazione di van der Waals
• Nella zona della condensazione, con speciali precauzioni, poiché gli stati del fluido qui sono instabili, si possono realizzare sperimentalmente le parti decrescenti delle isoterme di vdW
• La parte crescente non corrisponde invece ad alcun comportamento reale del fluido