1. Un bloque de 3.94 Kg. estira a un resorte de 15.7 cm desde su posicin no estirada. El bloque se retira y en su lugar se cuelga un objeto de 0.520 kg. Hallar el periodo de su oscilacin.DATOS INCGNITAS FRMULASm1 =3.94kg W=2p /T =m2 =0.520kg T=? T=2px=15.7mOPERACIONESS W=2p /T =\ T=2pcuando F= -kxtenemos quek=F/xla F=ma\ k=ma/xk= (3.94)(9.8)/0.157k= 246 N/mT=2pT=2pT=288 x 10-3s

Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armnico simple de acuerdo con la ecuacin: x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle: a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleracin en el tiempo t = 1,90s y sus valores mximos, b) la frecuencia y el perodo del movimiento.c) Si la masa vale m = 0,350 kg, Cunto vale la energa cintica, y la energa mecnica?

O.3.- Dos resortes estn unidos a un bloque de masa m que puede deslizar libremente sobre una superficie horizontal sin friccin, como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de oscilacin del bloque vale:

, donde 1 y 2 son las frecuencias a las que oscilara el bloque si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2.

1.4 Dos resortes estn unidos entre s, y a una masa m, como se muestra en la figura.

Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen constantes k1 y k2, demostrar que la frecuencia de oscilacin es .

La figura superior muestra el sistema en equilibrio, cuando los dos resortes tienen su longitud natural. La figura inferior muestra el sistema en un instante en que el resorte 1 tiene un alargamiento x1 y el resorte 2 tiene un alargamiento x x1:- 1 - resorte 1 tiene alargamiento x1- 2 - resorte 2 tiene alargamiento x x1

Las figuras muestran el punto de empate E, el cual se supone que tiene masa cero. La ley de Newton dice que sobre un punto de masa cero la fuerza total es cero; vemos pues que la fuerza total sobre E es cero, y esto con -1-2-dice: , con y (ver figura). Donde:

- 3 -

De otro lado, sobre m se ejerce la fuerza del resorte 2, y entonces - 2 dice que:

Fuerza sobre m es F2= k2 (x x1) ma = k2 (x x1) usar - 3 -

, pero

Esta es la frmula que identifica al movimiento armnico simple; reconocemos la frecuencia angular :

- 4 - , entonces

Cuando hay un solo resorte de constante k se tiene , y al comparar esto con - 4 - vemos que el sistema de dos resortes k1 y k2 conectados en serie es equivalente a un solo resorte con una k dada por

, que tambin se escribe as:

Captulo 15. Problema 37Un cilindro slido est unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como en la figura 32. La constante de fuerza k del resorte es de 2.94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posicin en que el resorte est estirado 23.9 cm. Halle (a) la energa cintica de traslacin y (b) la energa cintica de rotacin del cilindro al pasar por la posicin de equilibrio. (c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efecta un movimiento armnico simple con un periodo

43.

Un aro circular de 65.3 cm de radio y 2.16 Kg. de masa esta suspendido de un clavo horizontal. A) Halle la frecuencia de oscilacin para desplazamientos pequeos desde el equilibrio. B) Cul es la longitud del pndulo simple equivalente?.DATOS INCGNITAS FRMULASm= 2.16 kg. I=? T=1/fr= 65.3cm T=? I=mr2g= 9.8 m/s2 f=? T= 2pL=? L= I/mdOperacionesLa inercia rotatoria respecto al pivote en el borde es usando el teorema de ejes paralelosSi I=mr2 + mr2I=2mr2I=2[(2.16)(0.653)2]I= 1.84 kgm2T= 2pT= 2pT= 2pT= 2.29sF=1/TF=1/2.29F= 0.437 HzL=I/mr si I=2mr2\ I=1.84 kgm2/ (2.16)(0.653)=I=1.30 m

Problema 15.45.- Un pndulo fsico consta de un disco solido uniforme de masa M=563 g y un radio R=14.4 cm. Soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d=10.2 cm del centro del disco. El disco se desplaza un pequeo ngulo y luego se suelta. Halle el periodo del movimiento armnico simple resultante.

Ejercicio 9.- Un pndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio y una masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g, segn figura. a) Calcule la inercia rotatoria del pndulo respecto al pivote. b) Cul es la distancia entre el pivote y el centro de masa del pndulo? c) Calcule el perodo de oscilacin para ngulos pequeos.

.- Se forma un pendulo pivoteando una varilla larga y delgada, de longitud l y de masa m, alrededor de un punto sobre dicha varilla, que esta a una distancia lc mas alla de su centro. a) econtrar el periodo de pequea amplitud de este pendulo en terminos de l, d, m y g. b) Demostrar que el periodo tiene tiene un valor minimo cuando a) b)

Un pndulo simple de longitud L est sujeto a un carro que desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ngulo con la horizontal. Determinar el periodo de oscilacin del pndulo sobre el carro deslizante.

Si el pndulo no estuviera sobre un plano inclinado, el periodo del mismo sera:

Ejercicio 15.- (Examen Agosto 2008)- La figura muestra un disco uniforme de radio R = 0,800 m y masa M = 6,00 kg, con un pequeo agujero a una distancia d del centro que puede servir de centro de pivote. Para un d particular, el perodo del pndulo fsico es mnimo. Cunto debe valer la distancia d, para que el perodo valga T = 2,40 s?

Periodo de un pndulo fsico:

= 0,278m

Ejercicio 8.- Un cilindro slido est unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. La constante de fuerza k del resorte es de 2,94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posicin en que el resorte est estirado 23,9 cm, halle a) la energa cintica de traslacin y b) la energa cintica de rotacin del cilindro al pasar por la posicin de equilibrio. c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efecta un movimiento armnico simple con un perodo , donde M es la masa del cilindro.

Ejercicio 13.-(S.4a. 15.55) Un pndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante elstica k conectado a l a una distancia h debajo de su punto de suspensin. Encuentre la frecuencia de vibracin del sistema para valores pequeos de la amplitud . Suponga que la suspensin vertical de longitud L es rgida, pero de masa despreciable.

Solucin2da. Cardinal aplicada al punto de suspensin O:

IO =

x = hsen

IO = ML2

Con la aproximacin de pequeas oscilaciones: sen y cos 1

=

= -2

Por tanto f ==

Ejercicio 14.-Una esfera slida de masa m y radio R rueda sin deslizar en un canal cilndrico de radio 5R, como se muestra en la figura.

a) Pruebe que la energa cintica de la esfera vale .

b) Demuestre que para pequeos desplazamientos desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un movimiento armnico simple con un periodo .

Sugerencia: Exprese la energa mecnica para una posicin genrica teniendo en cuenta que para pequeos desplazamientos angulares se verifica: , y luego como la misma es constante, su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta que: y

Solucin

a) Como rueda sin deslizar, la energa cintica tiene una componente de traslacin y otra de rotacin, con

K = ==El centro de masa se mueve en una cfa. de radio igual a 4R

Por lo tanto s = 4RvCM =

El momento de inercia de la esfera vale

K = ===b) El sistema es conservativo por tanto: K + U = E = cte

Consideramos que en el punto ms bajo la energa potencial es nula, por tanto la energa potencial para un punto genrico a un ngulo vale: U() = mgh con h = 4R(1-cos), por otro lado la energa cintica en ese punto genrico vale: K()=, por tanto E = 4mgR (1-cos) +

Para pequeas oscilaciones: E= 4mgR +

cambiando la notacin E= + 2mgR2

Derivando respecto al tiempo = 0 = 0 = 0 = 0 con Por tanto T =