Capitolo 8Filtri Digitali FIRe IIRI ltri digitali che studiamo in questo capitolo sono particolari sistemi LTI causali a tempodiscreto. Essi possono essere implementati e simulati su macchine digitali (microprocessorio processori specializzati come i DSP); per molti anni addirittura essi sono risultati la picomune applicazione dei DSP.Il vantaggio sui ltri analogici duplice:essi possono essere riprogrammati via software sullo stesso hardware;possibilemodicareintemporealeicoefcientideiltri, ottenendo intalmodoltri adattativi.Iprincipalitipidiltridigitalisono iltri FIR(FiniteImpulseResponse)eIIR(InniteImpulseResponse). Tecnicamente, un ltro FIR un sistema LTI causale con risposta nitaallimpulso; lafunzionedi trasferimentodi unltroFIRrisultaessereunpolinomioinz1. Con ltri IIR invece, intendiamo quella sottoclasse dei sistemi LTI causali con rispostaanche innita allimpulso, dotati di una funzione di trasferimento razionale in z1.Nelle applicazioni pratiche, il ltro FIR da preferire quello IIR dove vi sia richiesta difase lineare, altrimenti, se la distorsione in fase tollerabile, si preferisce luso di ltri IIRperch comportanounminornumerodi parametri, menomemoriaeminorcomplessitcomputazionale.Nel primoparagrafosi introduconoledenizioni di ltri FIReIIR, discutendonevantaggi e svantaggi:199200 Filtri Digitali FIRe IIRun ltro FIR sempre stabile e pu avere fase lineare;un ltro IIR pu essere instabile e non ha in generale fase lineare; essi possono tuttaviaaverealcunecaratteristiche(bandaditransizione, attenuazione)migliori rispettoaquelle dei ltri FIR.Si discute poi la realizzazione di ltri mediante reti i cui elementi costitutivi sono ope-ratori di somma, moltiplicazione per costante e ritardo temporale. Il progetto di queste reti agevolato da propriet composizionali quali:lafunzionedi trasferimentodel sistemaottenutodallacascatadi duereti ilprodotto delle funzioni di trasferimento dei sistemi realizzati dalle singole reti;lafunzionedi trasferimentodel sistemaottenutodallasommadi duereti lasomma delle funzioni di trasferimento dei sistemi realizzati dalle singole reti.Nel quartoparagrafovengono introdotte alcunetecnichediprogetto diltridigitali.Vengono analizzati i principali parametri utilizzati nella progettazione aiutata da strumentiCAD; si mostra poi una semplice tecnica di realizzazione di ltri digitali IIR a partire daquelli analogici e si discute in dettaglio la tecnica di progetto di ltri FIR col metodo dellenestre.Ilcapitolosiconcludeconuncennoai principali tipidi rumoreintrodottodalfattochesegnali esistemi inerentementeanalogici vengonotrattati contecnichedigitali. Inparticolare, vienediscussoil rumoreprodottodallaquantizzazionedel segnale, quellodovutoallaquantizzazionedei coefcienti equellocausatodai troncamenti nel calcolodigitale.8.1 Filtri FIR e IIR CausaliLa causalit, sinonimo di realizzabilit, ha implicazioni importanti sul comportamento infrequenza del ltro che meritano di essere discusse brevemente.Il progettodi ltri FIReIIRcausali consisteneldeterminarnei coefcienti median-te speciche formulatenormalmente nel dominiodelle frequenze,espresse intermini diampiezza e fase della risposta del ltro desiderata. Questa attitudine non garantisce tut-tavia che una determinata risposta in frequenza produca una risposta allimpulso causale.Sebbene non vi sia una soluzione generale al problema, si possono individuare condizioninecessarie o almeno sufcienti ponendo restrizioni sulla risposta in frequenza.Paley e Wiener (1934) hanno dimostrato che, se una sequenza h(n) nulla pern< 0 eha energia nita, cio +n=0 |h(n)|2< +, allora la sua trasformata di Fourier verica:_| ln |H(ei)||d< +.Viceversa, se |H(ei)| quadrato integrabile, cio_|H(ei)|2d < +eselacondizionedi Paley-Wiener rispettata, allorasemprepossibileassociarealmodulodi H(ei) unarispostainfase () inmodotalecheil ltroconrispostainfrequenzaH(ei) = |H(ei)|ei()8.1. Filtri FIR e IIR Causali 201sia causale. Unimportante conseguenza di questo risultato che un ltro causaleha unrisposta in frequenza che non pu essere nulla su una banda nita, il che conferma la noncausalit del ltro ideale.In aggiunta alla suddetta condizione, la causalit impone anche una relazione forte trala parte reale HR(ei) e la parte immaginaria HI(ei) di H(ei). La spiegazione deriva dalladecomposizione della sequenza h(n) in due sequenze: una pari hp(n) e una dispari hd(n),denite come segue:hp(n) =12[h(n) + h(n)], hd(n) =12[h(n) h(n)]. indubbio che un segnaleh(n), nullo per pern< 0, coincide con la sequenza parihp(n)associata o alla sequenza dispari hd(n) associata pi h(0). Ne consegue che le due sequenze,quella pari e quela dispari associate a h(n), non sono tra loro indipendenti.Poich si pu mostrare che le trasformate dihp(n) ehd(n) risultano essere rispettiva-mente:hp(n)Fd HR(ei), hd(n)Fd HI(ei)si deducechesussisteunarelazionedi interdipendenzaanche traleduetrasformateHR(ei) eHI(ei).Riassumendo, la causalit ha importanti implicazioni sul progetto e la realizzazione diltri digitali:la risposta in frequenzaH(ei) non pu essere zero eccetto che in un insieme nitodi punti;lampiezza|H(ei)| della risposta in frequenza non pu essere costante su una ban-da nita di frequenze;le bande passante e proibita presentano oscillazioniche nonpossonoessereeliminateacausadel troncamentooperatosuh(n) (fenomenodiGibbs);la parte realeHR(ei) e la parte immaginariaHI(ei) diH(ei) sono tra loro interdi-pendenti, di conseguenza il modulo |H(ei)| e la fase(ei) diH(ei) non possonoessere scelti arbitrariamente.8.1.1 Filtri FIR e Filtri a Fase LineareRichiamiamo che un sistema LTI causale a tempo discreto detto ltro FIR se la rispostah(n)allimpulsounitario nita nel senso cheh(n)=0 pern 0. Il rapporto ingresso-uscita allora descritto dalla seguente equazionealle differenze nite:y(n) =M1k=0h(k)x(n k). (8.1)Passando alle trasformate z e applicando la propriet della traslazione temporale, si ottiene:Y(z) =H(z)X(z),doveH(z) =M1k=0h(k)zkeX(z), Y(z)sono letrasformatezrispettivamente di x(n)ey(n). Si osservi cheH(z) un polinomio in z1.Le caratteristiche pi interessanti dei ltri FIR sono le seguenti:202 Filtri Digitali FIRe IIR1. Un ltro FIR sempre causale e stabile;ci pu essere rilevato dal fatto cheH(z) un polinomio in z1, e quindi ha un solo polo in z = 0, di fatto interno alla cerchio diraggio 1.2. Un ltro FIR pu avere fase lineare: se la funzione h(n) simmetrica o antisimmetricarispetto a (M1)/2 (cio h(k)= h(M1 k) oppure h(k) = h(M1 k)), allorala fase H(ei) lineare.Infatti, se h(k) = h(M1 k):H(ei) =M1k=0h(k)eik=M1k=0h(k)eik+ ei(M1k)2= ei M12M1k=0h(k)ei( M12k)+ ei( M12k)2= ei M12M1k=0h(k) cos_M12k_.Poich M1k=0h(k) cos_M12k_ un numero reale, la fase risulta lineare:H(ei) = M12.Analogamente, se h(k) = h(M1 k), si ottiene:H(ei) = iei M12M1k=0h(k) sin_M12k_.Osservando che i = ei/2, si ottiene:H(ei) = M12 +2 .In Figura 8.1 sono rappresentate le risposte allimpulso di due ltri FIR a fase lineare,uno antisimmetrico, laltro simmetrico.8.1.2 Filtri IIRConsideriamooraunsistemaLTIincui larelazioneingresso-uscitavericalaseguenteequazione alle differenze nite:L1k=0aky(n k) =M1k=0bky(n k) (aL1= 0).Osserviamo che seL = 1 lequazione precedente denisce un ltro FIR.SeinveceL >1, lequazioneprecedente noningradodispecicareunivocamenteilsistema: passandoinfattialletrasformatezeapplicandolapropriet dellatraslazionetemporale, si ottiene:Y(z) =H(z)X(z),8.1. Filtri FIR e IIR Causali 203(a) (b)h(n)h(n)M+12n 0M+12M1 M1n 0Figura 8.1(a) Rispostaallimpulsodi unltroafaselineareantisimmetrico. (b)Risposta allimpulso di un ltro a fase lineare simmetrico.doveH(z)=M1k=0bkzkL1k=0akzkeX(z), Y(z) sono le trasformatez rispettivamente di x(n) ey(n).PoichH(z)unafunzionerazionaleinz1dotatadi poli distinti da0, possiamode-scrivere pi sistemi caratterizzatidallastessa funzioneH(z)ma aventi diverse corone diconvergenza. Solounodi essi tuttavia, ecioquellocontenente, causale. Possiamoallora dare la seguente:Denizione 8.1. Un ltro IIR un sistema LTI causale tale che la relazione ingresso-uscita vericalequazione ricorsiva alle differenze nite:L1k=0aky(n k) =M1k=0bky(n k) (aL1= 0, L > 1).Come abbiamo visto sopra, la funzione di trasferimentoH(z) di un ltro IIR H(z) =M1k=0bkzkL1k=0akzk ; lapresenza di poli distinti da 0 comporta che, se illtro causale, la rispostah(n) allimpulso unitario nulla pern< 0, ma risulta diversa da 0 per innitin positivi:la fase di questi ltri non pu mai essere lineare.Esempio 8.1.1.IltroIIRdescrittodallequazioney(n) + ay(n 1) =x(n)ammettelafunzioneditrasferimentoH(z) =11+az1ecoronadi convergenza|z| >|a|, poichil poloinz =a. IntaleregionevalecheH(z) =+n=0 anzn, quindi larispostaallimpulsounitario del ltro :h(n) =_0, n < 0an, n 0 .La risposta allimpulso non nita e il ltro stabile solo se |a| < 1.Lesempioprecedentemostrache, contrariamenteaquantoaccadeperltri FIR, unltro IIR pu non essere stabile; ulteriormente, mentre esistono ltri FIR con fase lineare,la fase di un ltro IIR non mai lineare.Questi svantaggi sono compensati in vari casi dalla maggior semplicit realizzativa deiltri IIR rispetto ai ltri FIR e dalle migliori caratteristiche di attenuazione a parit di ordinedelle equazioni.204 Filtri Digitali FIRe IIR8.2 Applicazioni di Filtri FIR e IIR8.2.1 Zeri di Filtri a Fase Lineare: i Filtri COMBUn ltro FIR ha funzione di trasferimento del tipoH(z) =P(z)zM,doveP(z)unpolinomiodigradoMacoefcientireali. Amenodiunacostante mol-tiplicativa, il ltrovienealloraunivocamentedeterminatodagli zeri di P(z), ciodallesoluzione dellequazioneP(z) = 0.Sia z1 una radice di P(z); essendo i coefcienti di P(z) reali, ricordiamo che o z1 realeo z1 complesso, ma allora il suo coniugato z1 unaltra radice diP(z).Il seguente risultato caratterizza i ltri FIR con fase lineare, in termini dei loro zeri:Fatto 8.1. Sia dato un ltro FIR con funzione di trasferimentoH(z) =P(z)zM.Allora le due seguentiproposizionisono equivalenti:1. il ltro ha fase lineare;2. se rei uno zero diP(z), allora anche1rei uno zero diP(z).Nesegueinparticolarecheltri i cui zeri sonotuttisullacirconferenzadi raggio1hanno fase lineare. Unimportante famiglia di ltri che hanno gli zeri sulla circonferenzaunitaria quella dei ltri con funzione di trasferimento del tipo:H(z) =1M(1 zM).In questo caso,gli zeri del ltro sono esattamente le radici dellunitzk=e2kM(k=0, . . . , M1).La fase di questi ltri lineare per ogniM; il guadagno perM= 8, dato dal gracoin Figura 8.2.H( ) Figura 8.2 Guadagno di un ltro comb di ordine 8.A causa della forma a pettine del graco precedente, questi ltri sono detti comb. Essisono implementabili in modo veramente efciente: dette infattiX(z) e Y(z) le trasformatezeta dellingresso x(n) e y(n) delluscita, vale Y(z) =1M(X(z) zMX(z)). Questo implicay(n) =1M(x(n) x(n M)).8.2. Applicazioni di Filtri FIR e IIR 205Figura 8.3 Zeri di un ltro comb passa-basso di ordine 8. possibile ottenere da un ltro comb da un ltro passa-basso semplicemente eliminandolo zero z0= 1. Nel caso di ltro comb di ordine 8, gli zeri sono mostrati in Figura 8.3.La funzione di trasferimento del ltro passa-basso pu essere ottenuta dividendo 1 zMper1 z1, inmododaeliminarelozeroz0=0. Il guadagnodellarispostainfrequenza, perM = 8, dato in Figura 8.4.21 0.11 H(e )iFigura 8.4 Guadagno di un ltro comb passa-basso di ordine 8.Lafrequenzaditaglioa3dB,normalizzata, 0.11; leoscillazioni inbandaproibitarisultano piuttosto alte ( 0.3).La risposta del ltro pu essere calcolata in due differenti modi.1. Ricordando che1zM1z1= 1 + z1+ + zM+1, si ottiene:Y(z) =X(z) + z1X(z) + + zM+1X(z)M.Nellarappresentazioneintempo, questoportaal seguenteltroFIR, riconoscibilecome il consueto ltro a media mobile:y(n) =x(n) + x(n 1) + + x(M +1)M.2. Procedendo direttamente, da si ha:Y(z)(1 z1) =1MX(z)(1 zM).206 Filtri Digitali FIRe IIRNella rappresentazione in tempo, questo porta al seguente ltro IIR:y(n) = y(n 1) +1M(x(n) x(n M)).Nella realizzazione IIR, viene introdotto un polo in 1 che si sovrappone allo 0: poichil polosullacirconferenzaunitaria, il ltrorisultaintrinsecamenteinstabile. Diconseguenza, lalgoritmochedlarealizzazioneIIRdeveessereutilizzatosolosubrevi intervalli di tempo.I ltri comb passa-basso hanno prestazioni mediocri; tuttavia, essi sono veloci e di facilerealizzazione. Considerando la frequenza di campionamentoFs Hz, la frequenza di tagliodel ltro passa-basso comb di ordine 8 risulta 0.11Fs2 : per realizzare un ltro comb di datafrequenza di taglio basta aggiornare in modo opportuno la frequenza di campionamento.Esempio 8.2.1.Si voglia progettare un ltro comb di ordine 8 con frequenza di taglio a 3dB pari a 500Hz. Ponendo0.11Fs2= 500si ottieneFs=9091 Hz: basta implementare il ltro comb di ordine 8 aggiustando lafrequenza di campionamento per ADC e DAC a 9091 Hz.8.2.2 Filtri Notch (a Intaglio)I ltri notch hanno lobbiettivodi eliminareuna stretta banda di frequenza: il guadagnodella risposta in frequenza deve allora essere del tipo in Figura 8.5. notchH( ) Figura 8.5 Risposta in frequenza di un ltro notch.Questa caratteristica pu essere ottenuta posizionando uno zeroz0=einotchdel ltrosulla circonferenza di raggio unitario e posizionando un polo zp del ltro vicino allo zero,ma interno al cerchio di raggio unitario in modo tale che il ltro risulti stabile. Il ltro deveessere completato da un nuovo zeroz0e da un nuovo polozp, coniugati rispettivamentedel primo zero e del primo polo, in modo tale che i coefcienti della risposta allimpulsosiano numeri reali (vedi Figura 8.6).8.2. Applicazioni di Filtri FIR e IIR 207zpzozozp**Figura 8.6 Poli e zeri di un ltro notch.La funzione di trasferimento del ltro specicato sopra :H(z) =(z z0)(z z0)(z zp)(z zp).Consideriamo ora il guadagno del ltro, per 0. Analizziamoseparatamentedue casi:1. molto vicino a notch, cio ei einotch. In questo caso:|H(ei)| |H(einotch) = 0.2. molto lontano da notch, cio eieinotch>> 0. In questo caso, ricordando chez0 zp e che z0 zp, si ha:|H(ei)| =|eiz0||eizp||eiz0||eizp| 1 1 = 1 .Diconseguenza, ilguadagnodel ltrorealizzatohaunaformadeltipodisegnatoinFigura 8.5.Esempio 8.2.2.Realizzare un ltro notch a frequenza normalizzata notch.Ponendoadesempiozp=einotchdove 1macomunque 0, :H(z) =A1 z1.Di conseguenza, il guadagno di questo ltro risulta essere:|H(ei)| =A1 + 22 cos .Posto = 0.14 e a = 1.13, la funzione di trasferimento di questo ltro :H(z) =1.131 +0.14z1.Tale ltro un ltro risulta essere un ltro IIR causale e stabile, denito dallequazione:y(n) = 1.13x(n) 0.14y(n 1).8.3. Progetto di Filtri Digitali 209Il suo guadagno, almeno per|| 3.3/0.05 soddisfa i vincoli delloschema di tolleranza. Tali coefcienti risultano allora ottenibili dalla nestra:w(n) =_0.54 +0.46 cos 2nN, se |n| 330, altrimenti.214 Filtri Digitali FIRe IIRAnalisi del fenomeno di GibbsInquestasottosezionediamounaspiegazionequalitativadeiduefenomeniprecedente-mente rilevati:1. HN(ei) ha una banda di transizione non nulla, la cui ampiezza converge a 0 quandoN diverge;2. |HN(ei)| presenta delle oscillazioni,sia in banda passante sia in banda proibita, diampiezza massima indipendente dalla dimensione temporaleN della nestra.Poich il ltrohN(n) ottenuto trattando il ltro desiderato hd(n) con la nestrawN(n) tale chehN(n) = wN(n)hd(n),dal teorema di convoluzione si ottieneHN(ei) =Hd(ei) WN(ei),doveHd(ei) la risposta in frequenza di un ltro passa-basso desiderato eWN(ei) larisposta in frequenza della nestra wN(n).Per le nestre considerate, la funzioneWN(ei) pu essere approssimata con funzionidella famigliaG,a() (con ea reali positivi), mostrata in Figura 8.11 assieme al gracodella risposta in frequenza del ltro ideale passa-basso:G,a() =___1+a, se || a, se < || 20, se || > 2.a,1 -1 1 1+aG ( ) H ( ) a 2 dFigura 8.11 Graco delle funzioniHd() eG,a().In altre parole, G,a() composta da un lobo rettangolare centrale di altezza1+ae base2 e da due lobi laterali, anchessi rettangolari, di altezzaae base ; siamo qui interessatia studiare il caso 0 < a 1, per cui vale che a |altezza lobo laterale||altezza lobo centrale|.8.3. Progetto di Filtri Digitali 215Esempio 8.3.2.Per la nestra rettangolare vale:RETTN() =Nn=0ein=1 ein1 ei= ei N12sin(N/2)sin(/2)Amenodi unavariazionedi fase, il gracodellafunzionesin(N/2)sin(/2)mostratoinFigura8.12. Trascurandoi lobi laterali adeccezionedei trelobi centrali, possiamo2 NFigura 8.12 Graco della funzionesin(N/2)sin(/2).approssimarelafunzionesin(N/2)sin(/2)conG,a()(comemostratonellagura), dove =2Ne a 23, poich laltezza del lobo centrale N e quella dei lobi laterali 23N.Leprincipali caratteristichedellevarienestre, chepermettonodi approssimarelerisposteinfrequenzaconunafunzionedel tipoG,a()sonoelencatenelleTabella8.2Tabella 8.2 Caratteristiche delle principali nestre.Finestra 20 log a (dB) Larghezza lobo centraleRettangolare -13 4/NTrangolare -25 8/NHanning -37 8/NHamming -41 8/NLa convoluzioneHN(ei)=Hd(ei) G,a() pu essere facilmente calcolata e risultaessere la funzione lineare a pezzi di Figura 8.13. Dal graco precedente osserviamo che illtro passa-basso ideale viene approssimato da un ltro che ha le seguenti caratteristiche:1. la massima ampiezza delle oscillazioni sia in banda passante sia in banda proibita a; essa in particolare non dipende da ;216 Filtri Digitali FIRe IIR12H() 11 121+21+1+a1-aNFigura 8.13 Graco della funzioneHN(ei), ottenutadalla convoluzione di Hd(ei) eG,a().2. la dimensione della banda di transizione proporzionale a .Possiamo di conseguenza trarre le seguenti conclusioni:ladimensionedellabandadi transizione del ltroapprossimato proporziona-lea1/N, poichlalarghezzadel lobocentraledi unamascherainversamenteproporzionale aN.aparitdi dimensionedelladuratatemporaledellenestre, ladimensionedellabandaditransizionedelltroottenuto dallanestrarettangolaremetdiquellaottenuta dalle nestre tringolari, di Hanning e di hamming;la massimaampiezzadelle oscillazionicreate dallanestra rettangolare (a0.2) molto maggiore di quella delle oscillazioni create dalle altre nestre (a 0.01 per lanestra di Hamming). Questo spiega perch la nestra rettangolare, pur pi sempliceda realizzare, scarsamente usata.8.3.3 Progetto di Filtri FIR col Metodo OttimoComeabbiamovisto, ilmetododellanestracrealtriconunpicconelleoscillazioniincorrispondenzadellafrequenzaditaglioefrequenzadistop, comeevidenziatonellaFigura 8.14.Risulta naturale tentare di abbassare laltezza massima delle oscillazioni spalmandolesu tutta la banda passante e proibita:questa lidea che sta alla base della costruzione delltro ottimo, nel senso di Chebishev.Il metodoconsideraal solitolarispostaallimpulsohd(n) del ltrochesi desideraapprossimareechehaunaidealerispostainfrequenzaHd(ei); ssatoN, siprendeinconsiderazionelinsiemeFNtuttiiltriFIRhdiordineN, cioconrispostaallimpulsodescrivibiledaNvalori h=(h(0), . . . , h(N 1)). SeH(ei)la risposta infrequenza del8.3. Progetto di Filtri Digitali 217iH(e) 0 40 80 120 160 200 240 2800.20.40.60.81.01.2Figura 8.14 Modulodellarispostainfrequenzadi unltropassa-bassoottenutocolmetodo delle nestre.generico ltro h, si denisce come errore di approssimazione di hd con h, la quantite(h, hd) = max|Hd(ei) Hh(ei)|(),dove() una opportuna funzione peso che consente di trattare il caso in cui i vincoliimposti alle oscillazioni in banda passante e proibita siano diversi.Il ltro ottimoh il ltro di FN che minimizza lerrore:h = arg minhFNe(h, hd).Si pudimostrare che il ltroottimo caratterizzato da equioscillazioni inbandapassante e banda proibita, come mostrato nella Figura 8.15Esistono varialgoritmiper risolvere ilproblema di minimo; i principalisistemi CADimplementanoprocedureche, avendoiningressoNelespecichedel ltrodesideratohd(n), danno in uscita i coefcienti dih.PoichingeneraleilnumeroNincognitomentreloschemaditolleranzadladi-mensione della banda di transizione normalizzata e le deviazionis ep, necessario pre-liminarmente effettuare una stima di N. Per ltri passa-bassoNpu essere stimato dallaseguente relazione empirica:ND(p, s)Ff (p, s)F +1dove F lampiezza della banda di transizione normalizzata alla frequenza di campiona-mento, p la deviazione in banda passante e s la deviazione in banda proibita.Inoltre:D(p, s) = log10 s[a1(log10 p)2+ a2log10 p + a3]+ [a4(log10 p)2+ a5 log10 p + a6]218 Filtri Digitali FIRe IIRiH(e)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.40.60.81.01.20.2Figura 8.15 Modulodellarispostainfrequenzadi unltropassa-bassoottimalediordineN= 20.ef (p, s) = 11.012 +0.5124(log10 plog10 s),cona1= 5.4x103, a2= 7.11x102, a3= 4.76x101,a4= 2.66x103, a5= 5.94x101, a6= 4.28x101.Discutiamo qui brevemente come determinare col metodo ottimale i coefcienti di ltrispecicatiattraversounoschemaditolleranza, utilizzandoilsistemaScilab. InScilabimplementato lalgoritmo di Remez, che pu essere richiamato con un comando che, nellasua forma basilare, :dove:1. N denota il numero di coefcienti del ltro;2. F denota un vettore di intervalli di frequenze normalizzate (bande);3. M denota il vettore del guadagni desiderati in ogni banda;4. Wdenotaunvettoredei pesi relativi delleampiezzedelleoscillazioni nellevariebande;5. b denota il vettore dei coefcienti del ltro ottimo.Va segnalato che la normalizzazione qui riferita alla frequenza di campionamento.8.3. Progetto di Filtri Digitali 219Esempio 8.3.3.Determinare il ltro passa-banda ottimo a 50 coefcienti, quando lo schema ditolleranza :banda passante 500-700 Hzampiezza bande di transizione 100 Hzfrequenza di campionamento 2000 HzLaspecicarichiedecheil guadagnosia0nellabanda0-400Hz, sia1nellabanda500-700 Hz, sia nuovamente 0 nella banda 800-1000 Hz. Si ricorda che la frequenza diNyquist risulta 1000 Hz. Normalizzando rispetto alla frequenza di campionamento, siottengono i seguenti intervalli: 0-0.2, 0.25-0.35, 0.4-0.5Un programma scritto in Scilab che calcola i coefcienti del ltro ottimo e d il gracodel guadagno :8.3.4 Progetto di Filtri IIR da Filtri AnalogiciUnapproccioallaprogettazionediltriIIR, consisteneltrasformareunltroanalogico(peresempiounltrodi Butterworth)inuncorrispettivoltrodigitalechesoddislespeciche.Supponiamo, adesempio,cheunltroanalogicocausalesia descritto dallaseguenteequazione differenziale:M1k=0ckdkdtk g(t) =L1k=0dkdkdtkf (t),dove f (t) il segnale di ingresso eg(t)quello di uscita. Una semplice idea per ottenereunsistemadigitaleIIRconcaratteristichesimili aquelloanalogicoconsistenellappros-simare loperazione di derivata con quello di differenza nita,seguendo un approccio ti-pico dellanalisinumerica. Ci si pu aspettare che con alte frequenze di campionamentolapprossimazione risulti accettabile.A questo riguardo, ssata la frequenza di campionamento1THz, poniamo:x(n) =f (nT), y(n) =g(nT).Approssimando la derivata di una funzioneA(t) col rapporto incrementale, si ha che:ddtA(t)t=nTA(nT) A((n 1)T)T.Possiamoallorasostituireddtg(t) cony(n) =y(n)y(n1)Tedkdtkg(t) conky(n), dove0y(n)=y(n) eky(n)=(k1y(n)) sek > 0. Sostituzioni analoghe possono esserefatte perdkdtk f (t).220 Filtri Digitali FIRe IIRIl sistema digitale corrispondente a quello analogico viene allora descritto dallaseguente equazione:M1k=0ckky(n) =L1k=0dkkx(n)Esempio 8.3.4.Si consideri il sistema analogico descritto dallequazione differenziale:g(t) =ag

(t) + bg

(t) +f (t).Postox(n) =f (nT) e y(n) =g(nT), risulta:y(n) =y(n) y(n 1)T2y(n) = (y(n)) = y(n) y(n 1)T=y(n) y(n 1)T=y(n) 2y(n 1) + y(n 2)T2.Da cui si ricava il seguente sistema digitale:y(n) =T2T2aT b_T 2bT2y(n 1) +bT2y(n 2) + x(n)_.8.4 Realizzazione di Filtri DigitaliIn un ltro FIR il valore y(n) delluscita al tempo n dato da:y(n) =M1k=0bkx(n k).Pi in generale, in un ltro IIR il valore y(n) delluscita al tempo n pu essere riscritto nellaforma:y(n) =L1k=1cky(n k) +M1k=0dkx(n k).In ogni caso, per il calcolo di y(n) si richiede:1. la disponibilit dei valori di uscita ai tempi n 1, . . . , n L +1 e la disponibilit deivalori di ingresso ai tempi n, . . . , n M +1;2. la disponibilit permanente dei coefcienti moltiplicativic1, . . . , cL1 e d1, . . . , dM1;3. leffettuazione di moltiplicazioni e somme in accordo alla forma generale.Questeoperazioni possonoessereimplementatesuuncalcolatoretradizionaleosuhardware specializzato; in questultimo caso conveniente rappresentare una procedura dicalcolo del ltro mediante una rete i cui nodi sono etichettati con gli operatori di somma,moltiplicazione per costante e ritardo temporale, come descritto in Figura 8.16.In particolare, considereremo reti con un unico nodo di ingresso privo di predecessori,un unico nodo di uscita privo di successori e nodi interni del tipo somma, moltiplicazioneper costante e ritardo temporale.I problemi che affrontiamo sono di due tipi:8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 221x1(n)x2(n)x1(n) x2(n) X1(z)X (z)2X1(z) X (z)2(a)(b)(c)z1aX(z)X(z)z1ax(n)x(n) x(n1) z1x(n) a a+ +X(z)X(z)Figura 8.16 Operatoredi somma(a), moltiplicazionepercostante(b) eritardotem-porale(c), rispettivamentenel dominiodel temponenellatrasformataz.Analisi: dataunarete, trovarelafunzionedi trasferimentodel ltrodigitalerealizzatodalla rete stessa.Sintesi: dato il ltro specicato ad esempio dallequazionealledifferenze o equivalente-mente dalla sua funzione di trasferimento, determinare una rete che lo realizzi.8.4.1 Analisi di RetiPer quanto riguarda la problematica di analisi, data una rete R, la funzione di trasferimentoHR(z) del ltro realizzato daR pu essere ottenuta dalla seguente procedura:Input: Una rete R con un unico ingresso e ununica uscita;1. Associa allarco di ingresso la funzione X(z), trasformata z del segnale di ingres-sox(n), allarcodi uscita lafunzioneY(z), trasformatazdel segnale di uscitay(n), allarco di uscita di ogni nodo interno k la funzione ausiliaria Wk(z).2. Per ogni nodo della rete, ad esclusione del nodo di ingresso, costruisciunequazione come segue:a. Se il nodok un nodo di ritardo temporale e la funzione associata allarcodi ingresso W(z), poni Wk(z) = z1W(z).b. Seil nodokunnododi sommaelefunzioni associateai duearchi diingresso sono W(z) e S(z), poni Wk(z) = W(z) + S(z).c. Seil nodokunnododimoltiplicazioneperlacostanteaelafunzioneassociata allarco di ingresso W(z), poni Wk(z) = aW(z).3. Eliminadalleequazioniottenute lefunzioniausiliarieWk(z)associateai nodiinterni, ottenendo una relazione del tipo Y(z) =HR(z)X(z).Output: La funzioneHR(z) razionale in z1.222 Filtri Digitali FIRe IIREsempio 8.4.1.Si consideri la reteR1 indicata in Figura 8.17.z1z1a bX(z) Y(z)W (z)W (z) W (z)W (z)Rete nel dominio dei tempi Rete nel dominio delle za bx(n) y(n)1324Figura 8.17 Esempio di rete.Perottenerelarelazioneingresso-uscitaY(z) =HR1(z)X(z)equindi lafunzioneditrasferimentoHR1(z) del ltro da essa realizzato, sufciente scrivere le equazioni ainodi ed eliminare successivamente le funzioni ausiliarie, come segue.Le equazioni sono le seguenti:W1(z) =X(z) +W3(z)W2(z) = z1W1(z)W3(z) =aW2(z)W4(z) = bW2(z)Y(z) = W1(z) + W4(z),da cui si ricava che:HR1(z) =Y(z)X(z)=1 + bz11 az1.Dalla precedente equazione si deriva facilmente:Y(z) = az1Y(z) + X(z) + bz1X(z).Antitrasformando, otteniamo lequazione del ltro IIR realizzato dalla rete:y(n) = ay(n 1) + x(n) + bx(n 1).8.4.2 Reti Modulari a pi Ingressi e UsciteUn rete complessa viene pi facilmente analizzata se pu essere vista come rete di piccoladimensione, lecui componenti sonoalorovoltareti. Questopermettedi fattorizzarelanalisi in:determinazione della funzione di trasferimento delle varie componenti (moduli);determinazione della funzione di trasferimento della rete a partire da quelle delle suecomponenti.8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 223y(n)R1R2y(n)Rx(n)Retroazionex(n) R1RRn y(n)CascataParallelox(n)RnR1R. . . Figura 8.18 Composizione in cascata, parallelo e retroazione.Reti concaratteristichedimodularitpossono essere costruite inmodo naturalepar-tendo dareti-base, comelamoltiplicazioneperuna costante oilritardo, applicandopoisemplicioperazionipermettono diassociareadueopireti unanuovarete. Alcunediqueste operazioni sono illustrate in Figura 8.18.Composizione sequenziale (o cascata): date m reti R1, . . . , Rm con funzioni di trasferimen-to rispettivamenteHR1(z), . . . , HRm(z), la cascata di esse la reteR che si ottiene po-nendo in ingresso alla rete Ri +1 luscita della rete Ri(1 i < m); la rete R ha comefunzione di trasferimentoHR(z) =HR1(z) HRm(z).Composizione parallela: datemreti R1, . . . , Rmconfunzioniditrasferimentorispettiva-menteHR1(z), . . . , HRm(z), la composizione parallela di esse la reteR che si ottieneponendolostessoingressoallereti R1, . . . , Rmesommandoleuscite; lareteRhacome funzione di trasferimentoHR(z) =HR1(z) + + HRm(z).Retroazione: date due reti R1eR2confunzionidi trasferimentoHR1(z)eHR2(z), lare-troazione di R2suR1 la reteR che si ottiene ponendo in ingresso aR1la sommadellinput e delluscita diR2, e ponendo luscita diR1in ingresso aR2; la reteR hacome funzione di trasferimentoHR(z) =HR1(z)1HR2(z).Esempio 8.4.2.Lintegratore nk=0 x(k) descritto dalla rete riportata in Figura 8.19.x(n) y(n)1zFigura 8.19 Integratore numerico.Esso risulta dunque la retroazione del ritardo sulla rete identit ed ha come funzionedi trasferimento11z1.224 Filtri Digitali FIRe IIREsempio 8.4.3.La rete in Figura 8.20 la composizione parallela di un integratore e di un ritardo. Lasua funzione di trasferiemnto 11z1+ z1.x(n) y(n)z111 z1Figura 8.20 Composizione parallela.Fino ad ora abbiamoconsiderato reti con un solo ingresso e una sola uscita. Talvoltanecessarioprendere inconsiderazioneretichehannopidiuningressoopidiunauscita. Un semplice ma importante esempio il modello di rumore additivo mostrato inFigura 8.21.y(n) x(n)e(n)Figura 8.21 Rumore additivo.Questa rete ha due ingressi, il segnalex(n) e il disturbo e(n). Luscita y(n) data dallasomma x(n) + e(n).Leconsiderazioni fattesureti auningressoeunuscitasi estendonofacilmentere-tiarbitrarie. Consideriamoreticonsegnali diingressox1(n), . . . , xa(n)econsegnalidiuscitay1(n), . . . , yb(n); detteX1(z), . . . , Xa(z)le trasformate zeta dei segnali di ingresso eY1(z), . . . , Yb(z) le trasformate zeta dei segnali di uscita, si possono facilmente determinarefunzioni razionaliRjk(z) (1 j a, 1 k b) tali che:Yj(z) =ak=1Rjk(z)Xk(z), (1 j b).Lamatrice A(z) =[Rjk(z)] dettamatricedi trasferimentodellarete, egranpartedelleconsiderazioni fatte per le funzionidi trasferimento possono essere estese allematriciditrasferimento.Per esempio, la matrice di trasferimento della rete ottenuta mettendo in cascata reti S1eS2conmatrici ditrasferimentoA1(z)eA2(z)ilprodottoA1(z)A2(z), mentrequelladella rete ottenuta componendo in parallelo reti S1 e S2 con matrici di trasferimentoA1(z)eA2(z) la sommaA1(z) + A2(z).Unanotevoledifferenzatuttavialegataal fattocheil prodottodimatrici noningenerale commutativo, mentre il prodotto di funzioni di trasferimento lo : nel caso di reti8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 225apiingressi euscite, ilrisultatodi unacascatadi reti dipende generalmente dallordi-ne, mentre nel casodireti auningresso eunuscitailrisultatonondipende dallordine(abbiamo vista una applicazione di questo principio in Sezione 4.4.1).Come applicazione dei concetti esposti, nella prossima sezione analizziamo unaimportante classe di ltri digitali: i modulatori sigma-delta.8.4.3 Analisi del Modulatore Sigma-Delta (SDM)Il modulatore sigma-delta uninteressante applicazione alla conversione analogico digita-le dei principi del sovracampionamento. Il modulatore sigma-delta del primo ordine gistato introdotto in Sezione 4.3.2, e pu essere descritto dalla rete mostrato in Figura 8.22.0y(n)Z1d(n) s(n)y(n1)x(n)Figura 8.22 SDM del primo ordine.Il modulo un integratore, cos che s(n) = nk=d(k), mentre il modulo denotato 0 risulta essere un quantizzatore a 1 bit. Denotiamo con e(n) = y(n) s(n) lerrore diquantizzazione, cos che y(n) = e(n) +s(n). Evidenziando lerrore di quantizzazione comedisturbo, il circuito pu essere equivalentemente descritto dalla rete in Figura 8.23.y(n)Z1d(n) s(n)y(n1)x(n)e(n)Figura 8.23 SDM con errore di quantizzazione.Poichlarisposta allimpulsounitariodelnodointegratore ilgradinou(n), lafunzione di trasferimento di risulta essere n=0 zn=11z1.Dette X(z), Y(z), E(z) le trasformate zeta di x(n), y(n), e(n) rispettivamente, larelazione tra X(z), Y(z), E(z) descritta dalla rete in Figura 8.24.Valequindi cheY(z) =E(z) +11z1 (X(z) z1Y(z)); risolvendorispettoaY(z)siottiene:Y(z) = X(z) + E(z)(1 z1).Antitrasformando, lequazione precedente mostra che luscitay(n) ottenuta addizio-nando allingresso x(n) il rumore di quantizzazione e(n) ltrato con un ltro la cui funzio-ne di trasferimento 1 z1. Come mostrato in Sezione 7.4.1, tale ltro risulta essere un226 Filtri Digitali FIRe IIRY(z)1X(z)E(z)11z1ZFigura 8.24 SDM in termini di trasformate zeta.ltro passa-alto il cui guadagno G(), illustrato in Figura 8.25, :G() = 4 sin22 ,dove=2fFs lafrequenza normalizzataallafrequenza di campionamentoFs. Leffet-todelltrodiattenuareilrumore allebassefrequenze, aumentandoloinveceallealtefrequenze (noise-shaping).04Figura 8.25 Guadagno del ltro passa-alto con funzione di trasferimento 1 z1.Supponiamo che il modulatore lavori alla frequenza di campionamentoFs processandosegnali a banda limitata dafmax, confmaxFs.Ricordiamo da Sezione 4.3.1 che il rumore di quantizzazione delle componenti armoni-che con frequenze comprese traf ef+df 2eFsdf . Dopo lapplicazione del ltro passa-alto,talerumore risultaessere 4 sin2_fFs_2eFsdf . Seinneapplichiamoalsegnaley(n)unl-tro passa-basso con frequenza di tagliofmax, la potenza complessiva del rumore granularerisulta allora:_fmaxfmax4 sin2_fFs_ 2eFsdf 23_2fmaxFs_32e.Il rapporto potenza del segnale-potenza del rumore viene dunque migliorato dal modula-tore (e dal ltro passa-basso in uscita), di un fattore32_Fs2fmax_3. In termini di decibel,siottiene:Fatto8.2. IlmodulatoreSDM diordine1 produceun miglioramentodelrapportosegnale-rumoreSQNR di 30 log10Fs2fmax5 dB.8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 227Si pu ottenere una ulteriore diminuzione del rumore di quantizzazione aumentandolordine del modulatore. Per modulatori di ordineNla trasformata zetaY(z)delluscitavale:Y(z) = X(z) + E(z)(1 z1)NLa riduzione complessiva del rumore di quantizzazione data dal seguenteFatto 8.3. Il modulatore SDM di ordineNproduce un miglioramento del rapporto segnale-rumoreSQNR di 10(2N +1) log10Fs2fmax+10 log10(2N +1) 20N log10 dB.Indipendentemente dallordine del modulatore, si pu osservare che il ltro passa-altoabbattelecomponentiinfrequenzaallinternodellabandalimitatada fmaxmaesaltalecomponentiesterneatalebanda. E necessariorimuoveretalerumoreconunulterioreltropassa-basso; perlealtefrequenzeingioco, si preferisceottenerequestorisultatomediante il ltro contenuto in un decimatore, cosa che offre lulteriore vantaggio di ridurrela frequenza al tasso di Nyquist 2fmax. Il sistema ADC complessivo mostrato in Figura8.26.SDM Campionatoref(t)x(n) y(n)f(n)FsDecimatoreFigura 8.26 Sistema ADC complessivo.Loperazionedi decimazionetrasformail segnalebinarioy(n)afrequenzaFsinunsegnale quantizzatoconmbitafrequenza 2fmax. La effettiva lunghezzadi parolamdelconvertitore quella equivalente alla risoluzione ottenibile con il miglioramento in SQNRofferto dal modulatore e dalla decimazione.Esempio 8.4.4.Un sistema audio per il trattamento di segnali con frequenze 0 20 KHz basato sutecnichedisovracampionamentoedutilizzaunSDMdelsecondoordine. Ilsegnaleanalogico viene trasformato prima in una corrente di bit a una frequenza di 3 MHz epoi, con un processo di decimazione, in un segnale multibit a un frequenza di 48 KHz.Determinare, in bit, la risoluzione del convertitore.Seil tassodi Nyquistdi 48KHz, campionandoa3MHzsi hauntassodi sovra-campionamento pari a310648103= 62.5.Il miglioramento in SQNR offerto da un SDM diordine 2 pari a 50 log1062.5 12 76 dB. Un ADC con risoluzione di m bit, lavorandoal tasso di Nyquist ha un SQNR pari a 6m + 1.7; ipotizzando che il miglioramento inSQNR sia dovuto essenzialmente al modulatore, la risoluzione m ottenuta risolvendolequazione 6m +1.7 = 76, ci che comporta m = 12 bit.8.4.4 Sintesi di RetiAbbiamovistocheadogni reteRassociataununicafunzioneHR(z)razionaleinz1:ogni rete realizza dunque un ltro digitale, generalmente IIR.228 Filtri Digitali FIRe IIRLostesso ltropuessere realizzatotuttaviaconreti diverse. AdesempiolareteinFigura 8.17 e la rete in Figura 8.27 realizzano lo stesso ltro: la rete specica dunque nonsolo il ltro, ma anche il particolare hardware usato per la sua realizzazione.z-1z-1ax(n)by(n)Figura 8.27 Rete che realizza il ltro IIR specicato dallequazione y(n) =ay(n 1) +x(n) + bx(n 1).Affrontiamoorail problemadi costruireunaretecherealizzi unltrodigitalespe-cicatoodallequazione alle differenzeo, equivalententemente, dallasuafunzioneditrasferimento.Una prima soluzione data dallecosiddetteformediretteIeII,cheestendono alcasogenerale le reti presentate in Figura 8.17 e in Figura 8.27, introdotte e discusse alla ne delCapitolo 1.Altre tecniche per la costruzione di reti che realizzano ltri digitali sono basate su regolecomposizionalipresentate inSezione8.4.2. Ascopoesemplicativo, mostriamocomesipossa dare una decomposizione in cascata per ltri FIR e una in parallelo per ltri IIR.La base matematica su cui poggia la decomposizione in cascata di un ltro FIR datadal seguente:Fatto8.4. Unqualsiasi polinomio a coefcienti reali pu essere decomposto come prodotto dipolinomi di primo e di secondo grado a coefcienti reali.Dimostrazione. Siap(z)=L1k=0akzkun polinomio a variabile complessa con coefcientiakreali. Per il teorema fondamentale dellalgebra sappiamo che:p(z) =AL1k=0(z zk),dovez1, . . . , zL1sono soluzioni (non necessariamente reali) dellequazionep(z)=0 eAuna costante. Fissato zk, si hanno due casi:1. zk reale; alloraz zk un polinomio di primo grado a coefcienti reali che apparenella decomposizione;2. zk complesso; allora il coniugato zkdi zk a sua volta una soluzione dellequazionep(z) = 0 poich0 =p(zk) =p(zk)=_L1j=0ajzjk_=L1j=0aj (zk)j=L1j=0aj(zk)j=p(zk).Allora(z zk)(z zk) =z22 Re{zk} + |zk|2unpolinomiodisecondogradoacoefcienti reali che appare nella decomposizione.8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 229Dato allora un ltro FIR, caratterizzato da una funzione di trasferimentoH(z) che unpolinomio in z1, per il risultato precedente si pu scrivere che:H(z) =AH1(z) Hm(z),doveHk(z) un polinomio in z1di primo o di secondo grado a coefcienti reali (1 k m). Una reteR che realizza il ltro FIR pu essere ottenuta dalla composizione in cascatadi reti R1, . . . , Rm,doveRk la rete in forma diretta I o in forma diretta II che realizza illtro con funzione di trasferimentoHk(z).Un ltro IIR invece caratterizzato da una funzione di trasferimentoH(z) razionale inz1. Nellipotesi cheilgradodel numeratoresiaminoredel gradodeldenominatore diH(z),possiamo decomporreH(z)in frazioni parziali H1(z), . . . , Hm(z),con numeratori edenominatori a coefcienti reali e denominatori di grado al pi 2:H(z) =AH1(z) + + Hm(z).Una reteR che realizza il ltro IIR pu essere allora ottenuta dalla composizione in paral-lelo di retiR1, . . . , Rm, doveRk la rete in forma diretta I o in forma diretta II che realizzail ltro con funzione di trasferimentoHk(z).8.4.5 Rumore nel Disegno di Filtri DigitaliIl trattamento di segnali analogici mediante sistemi digitali richiede di approssimare nume-ri reali con numeri che siano rappresentabili con un numero nito di bit: questo fatto forzalintroduzionedi errori ineliminabiliconcuibisogna impararea convivere. Presentiamoqui una breve rassegna sui diversi tipi di errori che si vengono a creare nella realizzazio-nedi ltrimediantesistemi digitali; sianalizzerannoinparticolareglierroridovuti allaquantizzazione dei coefcienti che entrano nella specica del ltro. Rumore per quantizzazione del segnale.Abbiamo visto che tutti i convertitori analogico-digitale modicano il segnale di in-gresso, introducendo quindi un errore di quantizzazione.Nei convertitori analogico-digitale basati su campionamento alla frequenza di Nyquist e quantizzatore an bit,tale errore pu creare un rumore ineliminabile detto rumore granulare del quantizzatore:esso pu essere misurato in dB di rapporto segnale-rumore, e tale valore proporzio-nale al numeron di bit del segnale in uscita ( 6n). Per convertitori basati su sovra-campionamento e delta-modulazione, il rumore introdotto legato alle caratteristichedel modulatore e dei ltri che realizzano il convertitore. Rumore per quantizzazione dei coefcienti.Un ltro digitale FIR o IIR viene specicato attraverso lalgoritmo (o attraverso la rete)che lo realizza: le operazioni di moltiplicazione per costante richiedono a loro voltalassegnazione di opportuni coefcienti reali, visti come parametri. Limplementazio-ne dellalgoritmo su un processore con parola di lunghezza ssata (tipicamente 16 o32 bit), pone dei limiti allaccuratezza con cui possono essere specicati i parametri:viene quindi introdotto un errore, detto errorediquantizzazionedeicoefcienti, per cuiil ltro implementato non coincide in generale con quello specicato. Discuteremo inseguito in maggior dettaglio gli effetti di tale tipo di errore; vogliamo qui ricordarebrevemente:230 Filtri Digitali FIRe IIR1. Gli effetti della quantizzazione dei coefcienti dipendono dallaritmetica di mac-china del processore su cui il ltro implementato: la rappresentazione in vir-gola ssa generalmente pi sensibile a tali errori, a causa della propagazionedellerrore nella moltiplicazione. Su DSP (Digital Signal Processor) a 32 bit o pi,con rappresentazione in virgola mobile, questo tipo di errore pu invece esseretrascurato.2. I ltri IIRsono pisensibili dei ltri FIRallerrore di quantizzazione deicoefcienti, a causa della struttura intrinsecamente ricorsiva dei ltri IIR.3. Lo stesso ltro pu essere realizzato con diverse architetture di rete: la sensibilitallerrore di quantizzazione dei coefcienti fortemente dipendente dal tipo direterealizzata. Adesempio, lasensibilitallerroredi reti cherealizzanounltro in forma diretta generalmente pi alta rispetto alle reti che realizzano lostesso ltro in forma di cascata o parallelo. Rumore per troncamento.Limplementazione di un algoritmo che realizza un ltro digitale richiede lesecuzio-ne divarieoperazioni di somma eprodotto. Ipotizziamodi utilizzareuna rappre-sentazione in virgola ssa. Anche se lingresso, luscita e i coefcienti del ltro sononumeri rappresentabili connbit, mantenere nei calcoliquesta accuratezzarichiedeunaprecisionemaggiorepoich, tipicamente, lamoltiplicazionedi duenumeri dinbitproduceunnumerorappresentabile con2nbit. Lanecessit diarrotondare irisultati intermedi produce quindi un errore detto rumore di troncamento.Una delle tecniche per controllare lerrore di troncamento quella di spostare lopera-zione di arrotondamento il pi possibile nella parte nale del calcolo.A tal riguardo,risulta moltoutileimplementare unltrodigitalesuprocessori che, lavorandoconparole di n bit, hanno registri come laccumulatore (ACC) o il prodotto (P) di dimen-sione doppia, cio 2n bit. Ad esempio, un ltro FIR pu essere implementato usandola sottoprocedura:Subroutine FILTRO...P ak1x(n (k 1))ACC ACC + PP akx(n k)ACC ACC + P...neLaprecisionea2nbitvienemantenutadurantelesecuzionedellaSubroutine, cheagiscesuiregistri ACCePdi2nbit, esoloallaneilrisultatovienetroncatoperessere memorizzatoinnbit. Lerroreditroncamentoalloralimitatoalbitmenosignicativo del numero memorizzato: il rapporto segnale-rumore di troncamento simantiene quindi intorno agli n dB.Analizziamoorapiindettaglioleffettoprodottosuunltrodigitaledallerrorediquantizzazione dei coefcienti. Abbiamo visto che un ltro caratterizzato dai poli e daglizeri della sua funzione di trasferimento H(z1): la modica dei coefcienti che specicano8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 231il ltro,causata dallerrore di quantizzazione, provoca a sua volta un cambiamentonellaposizione dei poli e degli zeri, che sono responsabili del comportamento del ltro.La situazione particolarmente delicata per i ltri IIR: i poli di un ltro IIR, corretta-mente progettato, possono eventualmente spostarsi al di fuori del cerchio unitario, a causadellerrore di quantizzazione dei coefcienti, rendendo il ltro instabile.Studiamo ora in maniera quantitativa questo fenomeno, valutando la sensitivit dei polirispetto alcambiamentodeicoefcienti. Aquestoriguardo, siaD(z1)ildenominatoredellafunzioneditrasferimentorazionaleH(z1)diunltroIIR: esprimendoD(z1)informa di polinomio e in forma fattorizzata, si ha:D(z1) = 1 Mk=1akzk=Mk=1(1 zkz1),dove a1, . . . , aMindividuanoi coefcienti del polinomioe z1, . . . , zMne sonogli zeri,individuando di conseguenza i poli diH(z1).Supponiamoorachelaquantizzazionedei coefcienti a1, . . . , aMporti adunnuovoltro, caratterizzato da nuovi coefcienti a1, . . . , aM tali che: ak= ak +ak(1 k M),doveak lerrore di quantizzazione. Il nuovo polinomio avr nuovi zeri z1, . . . , zM, cherisulteranno i poli della funzione di trasferimento del nuovo ltro.Posto zk= zkzk,zk pu essere interpretato come errore di localizzazione del polozk; si pu facilmente derivare la relazione:zkMj=1zMjkajj=k(zkzj), (1 k M).Questaformulaesprimelasensitivitdei poli rispettoagli errori di quantizzazionea1, . . . , aM.Osservando che lerrore di localizzazionezk del polo zk tanto pi elevato quanto pij=k(zkzj) vicino a 0, concludiamo:aparitdi ordine M, i ltri i cui poli si raggruppanoinpocheclassi di piccoledimensioni sono i pi sensibili agli errori di quantizzazione dei coefcienti;ltri stabili di ordine McontengonoMpoli nel cerchiounitario: grandivaloridi Mforzerannoalcuni poli adesserenecessariamentevicini. I ltri di ordineelevato risulteranno allora generalmente pi sensibili allerrore di quantizzazione deicoefcienti che non i ltri di ordine basso;le reti in forma di cascata o in parallelo realizzano separatamente ogni coppia di policomplessi coniugati. Questo il motivo per cui le forme in cascata o parallelo sonomeno sensibili allerrore di quantizzazione dei coefcienti che non le forme dirette.