filosofia di progettazione sismica e metodi di analisi

Capitolo 1

Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi

Prima di discutere a proposito di sistemi di dissipazione passiva,

sintroducono in questo capitolo alcuni aspetti inerenti alle filosofie di

progettazione sismica, a criteri di analisi strutturale e alla modellazione del

comportamento non lineare di tali sistemi. Dopo una breve introduzione sul

rischio sismico, in prima analisi ci si focalizza sui metodi di progettazione

sismica basati sulle forze (Force-based design), che costituiscono la base dei

pi moderni codici di progettazione. Si d una breve descrizione sui concetti

fondamentali dietro a questi metodi illustrando lanalisi statica lineare e

lanalisi dinamica lineare in modo estremamente sintetico. In seguito, si

evidenziano la filosofia del Performance-based Seismic Design e le procedure

di analisi non lineari, necessarie per capire la risposta dei sistemi sismo-

resistenti nel range non lineare. Infine si definisce la modellazione del

comportamento non lineare utilizzato per il presente lavoro di tesi.

Dal momento che i sistemi di dissipazione dellenergia e i sistemi di

isolamento possono essere implementati utilizzando ognuno di queste filosofie

di progettazione sismica e di metodi di analisi, questo capitolo costituisce uno

schema di base per gli argomenti trattati in questa tesi.

1.1 Il rischio sismico

Il rischio sismico definito dallIstituto internazionale per la ricerca in

Ingegneria Sismica (EERI, Earthquake Engineering Research Institute) come la

probabilit che le perdite attese (in termini sia di vite umane, sia di immobili o

attivit economiche) superino una soglia prestabilita, a seguito di un fenomeno

accidentale (hazard), in un determinato sito e per un fissato intervallo

temporale di esposizione. La stima del rischio sismico rappresenta

uninformazione molto importante perch pu spingere le pubbliche


6

amministrazioni a un adeguato stanziamento di risorse economiche e tecniche

per lo sviluppo di specifici piani per la prevenzione e la riduzione dei danni.

La stima del rischio connesso a un determinato evento implica due

considerazioni: in primo luogo la valutazione dellhazard in termini

probabilistici, ovvero stimare la probabilit che il fenomeno si verifichi con

una data intensit e con un certo periodo di ritorno in una certa area geografica;

in secondo luogo determinare la vulnerabilit delle strutture (nel caso dei

manufatti edilizi), ovvero valutare la risposta degli elementi a rischio nei

confronti dellhazard considerato. Si pu esprimere il legame tra rischio,

hazard e vulnerabilit, attraverso la seguente espressione simbolica:

Rischio =Hazard !Vulnerabilit !Esposizione dove per Esposizione si intende il livello di importanza strategica del

manufatto e quindi di esposizione al danno. Da questa relazione facile capire

che il crollo di una struttura (rischio) tanto pi probabile quanto pi il sisma

severo (Hazard); a parit di Hazard, e quindi per uno stesso luogo, il crollo

tanto pi probabile quanto pi elevata la propensione delledificio ad essere

danneggiato (Vulnerabilit); infine, a parit di hazard e di vulnerabilit, le

perdite causate dal terremoto (in termini di vite umane, di patrimonio storico-

artistico, ecc) sono tanto maggiori tanto pi la costruzione esposta al danno

(importanza strategica, come ospedali e industrie).

Sulla base delle intensit registrate dei passati eventi sismici si

dedotto che lItalia un paese caratterizzato da un livello di pericolosit medio-

alta. Anche se ci sono paesi caratterizzati da pericolosit pi elevate

(Giappone, Nuova Zelanda, California), lItalia caratterizzata da una

Vulnerabilit molto alta a causa della notevole fragilit del suo patrimonio

artistico e del sistema infrastrutturale.

condiviso che, per un determinato evento sismico, se la Vulnerabilit

cresce, la probabilit che levento calamitoso si tramuti in disastro aumenta.

Poich non possibile ridurre lHazard e quindi il livello sismico, ma solo

prevederlo, lunica strategia percorribile per mitigare le perdite, ridurre la

Vulnerabilit, valutandone il livello per le diverse classi di elementi a rischio e


7

scegliendo, su tale base, gli interventi di riabilitazione pi efficaci. Questo

approccio si inserisce nel quadro pi generale di una politica di prevenzione: si

tende a mitigare il danno potenzialmente atteso prima ancora che questo

accada. Tale aspetto riguarda non solo le costruzioni esistenti con livelli di

comportamento inadeguati alle prestazioni richieste da normativa, ma anche i

criteri di progettazione antisismica per le costruzioni di nuova edificazione.

La ricerca di metodi di analisi in grado di consentire una

quantificazione economica dei danni a livello preventivo ha portato negli ultimi

anni allo sviluppo e alla codifica procedurale del cosiddetto performance based

design basata sul rispetto di standard prestazionali predefiniti in funzione del

tipo di terremoto e del rischio sismico di riferimento. Tale filosofia inverte il

tradizionale processo di progettazione consentendo di lavorare con livelli

prestazionali differenziati, permettendo inoltre di definire livelli di risposta e di

operare delle limitazioni dirette sul tipo di risorse da impiegare a ogni livello.


8

1.2 Procedura di progettazione basata sulle forze

Tutti i correnti codici normativi internazionali, tra cui si citano le

normative americane (FEMA 273, FEMA 356 e FEMA 450) e quella europea

(Eurocodice 8) utilizzano un approccio di progettazione sismica basato sulle

forze (Force-based seismic design). In Italia le Norme Tecniche per le

Costruzioni, introdotte con D.M. 14/01/08 (chiamate dora in poi NTC 08),

riprendono molti degli aspetti racchiusi negli eurocodici tra cui le filosofie di

gerarchia delle resistenze e di Performance-based design.

Se in passato la progettazione e la verifica delle strutture avevano

lobiettivo di rendere la resistenza degli elementi strutturali maggiore

delleffetto sollecitante, nella progettazione sismica la forza elastica di progetto

passa in secondo piano. stato confermato infatti, che nel corso di eventi

sismici, il danneggiamento della struttura un fatto ordinario. Per questo

motivo, diventa importante comprendere in che modo le strutture tendono a

danneggiarsi per poter sfruttare i meccanismi di dissipazione dellenergia

dovuti alla plasticizzazione degli elementi strutturali e quindi quantificare

queste risorse plastiche in termini di duttilit. Se si osserva la Figura 1.1, si

nota che per uno stesso spostamento richiesto alla struttura, possibile

progettare lelemento per differenti livelli di forza di progetto (secondo

lapprossimazione di uguagliare lo spostamento massimo di una struttura

elastica con quello di una elasto-plastica equivalente).

Figura 1.1 Legame forza spostamento per differenti livelli di progetto.


9

Indipendentemente dal fatto che la struttura rimanga in campo elastico

o superi tale limite utilizzando le proprie risorse inelastiche, lo spostamento

massimo richiesto alla struttura rimane invariato. Se si considera quindi che gli

eventi sismici sono caratterizzati da differenti probabilit di accadimento

connessi a determinati periodi di ritorno e non si trascura laspetto economico

nellesecuzione di unopera, in generale si cerca di seguire questa filosofia

progettuale:

- per eventi caratterizzati da un basso periodo di ritorno, ovvero eventi

frequenti e non particolarmente intensi, si progetta la struttura in modo

che si comporti in maniera elastica o subisca piccole plasticizzazioni;

- per eventi sismici con periodo di ritorno pi elevato, ovvero eventi rari

e particolarmente intensi, si progetta la struttura in modo da sfruttare le

proprie capacit post-elastiche, consentendole di plasticizzarsi ovvero di

raggiungere un determinato livello di danneggiamento.

Le sezioni degli elementi strutturali si progettano per stati di

sollecitazioni ridotti rispetto a quelli della struttura che rimane in campo

elastico. Riducendo lazione sismica attraverso appositi coefficienti di

riduzione della domanda, si ottengono dimensioni degli elementi minori e

quindi costi minori. Nellesempio di Figura 1.1 il fattore di riduzione delle

forze (indicato generalmente con la lettera R) coincide con la duttilit della

struttura, termine invece legato a effetti quali deformazioni, curvature o

spostamenti:

FelFRi

=!max!yi

= i !1 (1.1)

dove il pedice i indica la struttura 1, 2 o 3 in questo caso. Le Norme

Tecniche per le Costruzioni (NTC 08) introducono il fattore di struttura (q) per

tenere in considerazione il comportamento dissipativo della struttura dovuto

alle sue risorse anelastiche e quindi per ridurre di conseguenza la forza sismica;

in genere si considera il solo stato limite di Salvaguardia della vita umana. Il

fattore di riduzione dellazione sismica tiene conto dei seguenti aspetti

strutturali:


10

- la duttilit intesa come capacit di dissipare energia;

- il grado diperstaticit;

- la rigidezza complessiva.

Lapproccio alle forze pu essere applicato secondo i due tipi di analisi:

- Analisi statica lineare:

Questo tipo di analisi applicabile solo se esistono determinate

condizioni di regolarit strutturale e nel caso in cui siano trascurabili gli

effetti torsionali. Il primo modo di vibrare della struttura quello

fondamentale ed necessario che sia calcolato in condizioni elastiche.

Sono fornite anche relazioni semplificate per il calcolo del periodo

fondamentale, ad esempio la normativa italiana impiega: T1 =C1H 3/4 . Noto il periodo, tramite lo spettro di risposta elastico in termini di

accelerazione si determina la massima accelerazione che subisce la

massa sismica della struttura. Tale azione riferita a un sistema dal

comportamento indefinitamente elastico poi divisa per il fattore di

riduzione il quale imposto dalla normativa secondo la tipologia

strutturale. Una volta nota la forza, come prodotto di massa per

accelerazione, si ripartisce ai diversi piani. Il contributo legato a

questazione in termini di sollecitazione si somma a quello dei carichi

verticali. In tal modo si passa alla verifica dei dettagli strutturali.

Definite e verificate le sezioni si passa allanalisi dei limiti in termini di

deformazione o spostamenti dinterpiano imposti dalla normativa. Nel

caso questi ultimi non siano rispettati, occorre eseguire un

ridimensionamento degli elementi strutturali.

- Analisi dinamica lineare:

adatta ai casi in cui le strutture manifestino una certa irregolarit e

qualora siano non trascurabili gli effetti torsionali. In pratica ai quei casi


11

in cui il primo modo di vibrare di una struttura si ritiene non sufficiente

a descriverne completamente il comportamento dinamico. La forza

sismica agente determinata per sovrapposizione modale degli effetti.

Ciascun modo di vibrare della struttura rappresentato da un oscillatore

semplice elastico, di periodo pari a quello del relativo modo, cui

compete una certa percentuale della massa totale. necessario

considerare un numero di oscillatori che attivi una percentuale minima

di massa sismica della struttura. Al singolo oscillatore corrisponde

quindi una forza, provocata da unaccelerazione agente sulla relativa

massa, dedotta dallo spettro di risposta elastico opportunamente ridotto

per il fattore di riduzione. Determinati gli effetti dinteresse su ciascun

oscillatore (sollecitazioni, spostamenti, ecc.) necessario combinarli

attraverso metodi di natura statistica come il CQC (Complete Quadratic

Combination) o lSRSS (Square Root of the Sum of the Squares).

La filosofia progettuale basata sulle forze affetta da varie

problematiche e limitazione fra le quali:

- il Force-Based Design si basa sulla stima della rigidezza iniziale della

struttura per determinarne il periodo e la distribuzione delle forze di

progetto nonostante essa possa essere determinata solo al termine

dellintero processo progettuale (cio una volta definiti gli elementi

strutturali che la costituiscono);

- il Force-Based Design consente di utilizzare per una determinata

tipologia di struttura realizzata con un certo materiale un unico fattore

di riduzione delle forze (cio di indicarne la capacit duttile);

- il sistema resistente progettato per sostenere i carichi verticali viene

concepito anche per sostenere i carichi orizzontali derivanti dallazione

sismica.

Inoltre, occorre sottolineare che la progettazione in zona sismica un

problema molto complesso, anche perch l'azione sismica influenzata dalla

risposta dinamica del sistema strutturale, quindi in funzione del comportamento


12

del sistema varia lazione che lo stesso sistema pu subire. In conclusione,

quindi, possibile notare che la progettazione sismica delle strutture si basa sul

fatto che la risposta dinamica del sistema strutturale valutata, in un certo

senso, passivamente ed anzi non governata in modo tale da ottimizzarla;

infatti, il sistema strutturale che inizialmente viene concepito per portare solo i

carichi verticali, viene successivamente predisposto anche per portare i carichi

orizzontali sulla base del suo comportamento dinamico.

Proprio a causa delle diverse problematiche insite nellattuale

metodologia di progettazione sismica delle strutture, recentemente, si

assistito allo sviluppo di nuovi metodi di progettazione sismica. I recenti

contributi innovativi che si sono sviluppati nellambito della progettazione

sismica mirano (al contrario dellapproccio tradizionale), ad un controllo della

risposta dinamica del sistema strutturale, basato su differenti livelli di

performance.


13

1.3 Performance-based seismic design

Il Performance Based Seismic Design, (PBSD), stato introdotto dal

PEER attraverso il documento Vision 2000 del 1995. Lintento del

Performance Based Seismic Design quello di fornire ai progettisti un metodo

che consenta loro di progettare, costruire e conservare gli edifici in modo tale

che questi siano in grado di esplicare determinate prestazioni se sottoposti a

determinati livelli di intensit sismica, ovvero siano in grado di soddisfare

prefissati obiettivi prestazionali.

Figura 1.2 Obiettivi prestazionali performance based design.

Come rappresentato in Figura 1.2, gli obiettivi prestazionali

(Performance Objectives) nascono dunque dallunione dei cosiddetti livelli

prestazionali e i cosiddetti livelli di intensit sismica previsti e descritti nel

documento Vision2000, e possono essere pi o meno stringenti in base

allimportanza della struttura stessa. Il Performance Based Design si pone

dunque come approccio nuovo alla progettazione sismica, ma anche come un

approccio di tipo diretto, in quanto consente al progettista di dare delle

informazioni al cliente sul prodotto e sulle prestazioni che tale prodotto in

grado di garantire. Si pu in un certo senso affermare che con il Performance

Based Seismic Design la figura dellingegnere diventa una figura attiva e

abbandona il ruolo di mero esecutore di calcoli.


14

Gi con la definizione degli stati limite, presenti nelle nuove Norme

Tecniche per le Costruzioni (NTC 08), si fissano di fatto, delle performance

che una struttura deve possedere. Con il performance-based design sono stati

introdotti chiaramente i seguenti livelli prestazionali che possono essere

verificati oltre allo stato limite di salvaguardia della vita umana:

- Stato Limite di Operativit (SLO);

- Stato Limite di Danno (SLD);

- Stato Limite di Salvaguardia della vita umana (SLV);

- Stato Limite di Collasso.

Figura 1.3 Curva di capacit con i diversi livelli di performance.

In Figura 1.3 raffigurata una generica curva di capacit lungo la quale

si possono individuare i differenti stati limite raggiunti. A ciascun stato limite

assegnato un determinato spettro di risposta secondo il livello di performance

considerato, caratterizzato da una determinata probabilit di essere superato

nella vita utile della struttura (Figura 1.4).

Figura 1.4 Spettro elastico in accelerazione per i differenti stati limite


15

1.4 Metodi di analisi strutturale e Modellazione non lineare

Parlando di approccio alle forze sono stati presentati due tipi di analisi

lineare: statica e dinamica. Sono stati poi introdotti altri strumenti per valutare

in maniera pi raffinata il comportamento non lineare di una struttura e quindi

procedere alla verifica della capacit che essa possiede. Di seguito sono

elencati i tipi di analisi a disposizione consentiti anche dalla normativa italiana:

- analisi statica lineare;

- analisi dinamica lineare;

- analisi statica non lineare;

- analisi dinamica non lineare.

Le prime due sono state descritte al 1.2, mentre di seguito si illustrano le

rimanenti due tipologie di analisi.

1.4.1 Analisi statica non lineare

1.4.1.1 Caratteristiche generali

Lanalisi statica non lineare consiste nellapplicare alla struttura i

carichi gravitazionali e, per la direzione considerata dellazione sismica, un

sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione,

proporzionalmente alle forze dinerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb.

Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in

direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle condizioni di

collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo

coincidente con il centro di massa dellultimo livello della costruzione (sono

esclusi eventuali torrini). Il diagramma Fb - dc rappresenta la curva di capacit

della struttura (D.M. 14-01-08). Questo metodo consente tra laltro di valutare i

rapporti di sovraresistenza !u /!1 , verificare leffettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di struttura q, e di

essere utilizzato come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione


16

sostitutivo dei metodi di analisi lineari e come metodo per la valutazione della

capacit di edifici esistenti.

Figura 1.5 Sistema e diagramma bilineare equivalente

La Circolare n.617 02-02-2009, al paragrafo C7.3.4.1, illustra pi nel

dettaglio questo metodo di analisi. In particolare specifica che utilizzabile

solo per costruzioni il cui comportamento, sotto la componente del terremoto

considerata, governato da un modo di vibrare naturale principale,

caratterizzato da una significativa partecipazione di massa. Inoltre lanalisi

richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale

equivalente ad un grado di libert. La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale dalle relazioni:

F* = Fb /!d* = db /!

(1.2)

dove ! il fattore di partecipazione modale definito dalla relazione:

! = !TM"

!TM! (1.3)

in cui ! il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del

sisma considerata, ! il vettore del modo fondamentale di vibrare del sistema

reale normalizzato ponendo dc =1 e M la matrice di massa del sistema reale.


17

Alla curva di capacit del sistema equivalente occorre sostituire una

curva bilineare avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto

perfettamente plastico (vedi Figura 1.5). Detta Fbu la resistenza massima del

sistema strutturale reale ed Fbu* = Fbu /! la resistenza massima del sistema equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il punto

0,6Fbu* della curva di capacit del sistema equivalente; la forza di

plasticizzazione Fy* si individua imponendo luguaglianza delle aree sottese

dalla curva bilineare e dalla curva di capacit per lo spostamento massimo du*

corrispondente ad una riduzione di resistenza ! 0,15Fbu* . Il periodo elastico del sistema bilineare dato dallespressione:

T * = 2! m*

k* (1.4)

dove m* = !TM" e k* la rigidezza del tratto elastico della bilineare.

Nel caso in cui il periodo elastico della costruzione T * risulti T * ! TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico assunta uguale a quella di

un sistema elastico di pari periodo (Figura 1.6, a sinistra):

dmax* = de,max* = SDe(T *) (1.5)

Nel caso in cui T * < TC , ovvero per sistemi pi rigidi, la domanda in

spostamento per il sistema anelastico maggiore di quella di un sistema

elastico di pari periodo (vedi Figura 1.6, a destra) e si ottiene da questultima

mediante lespressione riportata nella Circolare (C7.3.7).

Figura 1.6 Spostamento di riferimento per la struttura anelastica


18

1.4.1.2 Metodo dello Spettro di Capacit

Una altro metodo per valutare la risposta inelastica della struttura una

volta nota la curva di pushover il Metodo dello Spettro di Capacit (Capacity

Spectrum Method, CSM), che pu essere applicato nellottica del PBSD. un

metodo introdotto negli anni 70 (Freeman et al., 1975) che consente di

confrontare la capacit della struttura (nella forma di una curva di pushover)

con la domanda sismica sulla struttura (nella forma di uno spettro di capacit).

Lintersezione grafica delle due curve approssima la risposta della struttura.

Per tenere conto del comportamento inelastico non lineare della struttura, si

applicano valori di smorzamento effettivo allo spettro di risposta elastico

lineare.

Figura 1.7 Capacity spectrum Method

Convertendo il taglio alla base e lo spostamento in sommit di una

pushover non lineare, in accelerazioni e spostamenti spettrali equivalenti e

sovrapponendo una curva di domanda sismica, la pushover non lineare diventa

una curva di capacit spettrale e si ottiene una rappresentazione grafica nel

formato accelerazione-spostamento spettrali. La curva di domanda spettrale

rappresentata da differenti spettri di risposta corrispondenti a differenti livelli

di smorzamento viscoso equivalente. Tramite la determinazione del punto,

dove questa capacit spettrale incrocia la domanda sismica, lingegnere pu

sviluppare una stima dellaccelerazione spettrale, spostamento e danno che pu

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

Domanda spettrale elastica

Domanda spettrale di progetto

Capacit spettrale

SLO

SLV

SLC


19

occorrere per una specifica struttura sottoposta ad un dato sisma (Figura 1.7). Il

passaggio dal legame tra taglio alla base e spostamento in sommit al formato

ADRS avviene secondo le seguenti relazioni:

SD = !! =

!"1;

Sa =F

"1m!=F!m! .

(1.6)

1.4.2 Analisi dinamica non lineare

lanalisi pi realistica e onerosa fra quelle disponibili e richiede

limpiego di accelerogrammi reali e artificiali; tali accelerogrammi devono

essere spettro-compatibili. La normativa italiana prescrive ad esempio, che per

un set di accelerogrammi artificiali il loro spettro medio non sottostimi per pi

del 10% quello definito dalla normativa stessa, per uno smorzamento pari al

5%. Questo in un range di periodi che pu variare da 0,15 a 2 secondi o da 0,15

a 2T1, dove T1 il periodo fondamentale della struttura. Luso di un set di

accelerogrammi artificiali consente di avere una forte coincidenza tra il loro

spettro medio e quello introdotto dai codici ma non in grado di fornire una

rappresentazione realistica dellevento sismico.

Per quel che riguarda gli accelerogrammi reali, la normativa italiana

riporta solo il fatto che questi debbano essere spettro-compatibili oltre che

rappresentativi delle caratteristiche sismogenetiche al sito di costruzione.

LEurocodice 8 riporta, sia per accelerogrammi reali che artificiali, ai punti

3.2.3.1.2 e 3.2.3.1.3 i seguenti requisiti che necessario rispettare:

- Devono essere impiegati set con almeno tre accelerogrammi;

- La media delle PGA degli accelerogrammi reali non deve essere

inferiore alla PGA dello spettro fornito dalla normativa in questione;

- Lo spettro medio degli accelerogrammi valutati per uno smorzamento

elastico del 5%, non deve sottostimare per pi del 10% lo spettro


20

fornito convenzionalmente per lo stesso livello di smorzamento. Tutto

ci deve valere in un range di periodi che varia da 0,2T1 2T1 .

In letteratura si trovano precisazioni riguardo allanalisi dei risultati

ottenuti con diversi set di accelerogrammi: qualora siano impiegati tre

accelerogrammi sar necessario prendere leffetto massimo dalle tre analisi

come risultato finale. Usando invece un numero di accelerogrammi pari a 7, o

superiore, si pu prendere come risultato dellanalisi la media degli effetti

valutati con ciascun accelerogramma.

Figura 1.8 Scelta di un set di sette accelerogrammi spettro-compatibili con lo spettro di risposta

elastico in termini di accelerazione fornito dalle NTC 08.

In questapprofondimento saranno impiegati 7 diversi accelerogrammi

spettro-compatibili in un range di periodi variabile da 0,15 a 2 secondi (vedi

Figura 1.8). La scelta degli accelerogrammi stata effettuata attraverso il

software Rexel fornito dallUniversit degli Studi di Napoli II. I database

inclusi nel software sono:


21

- European Strong-motion Database (ESD);

- Italian Accelerometric Archive (ITACA);

- Selected Input Motions for displacement-Based Assessment and Design

(SIMBAD v.2.0).

Lanalisi dinamica non lineare risolve direttamente le equazioni del

moto che caratterizzano il comportamento dinamico della struttura ad ogni

fissato passo temporale. Con questo tipo di analisi si riescono a tenere conto le

non linearit geometriche e meccaniche presenti nella struttura. Il software di

calcolo impiegato (SAP2000) consente diversi metodi dintegrazione diretta

delle equazioni del moto. Il metodo utilizzato nel presente studio di tesi

lalgoritmo di Newmark, che si dimostra di essere il pi accurato dal punto di

vista computazionale.

I risultati forniti da questanalisi saranno presi come soluzione di

riferimento, fornendo cos un affidabile strumento di controllo dei metodi

semplificati utilizzati nello studio.

1.4.3 Comportamento non lineare dei telai

Per definire la curva di capacit (o di pushover) di una struttura,

necessario modellare il comportamento della stessa oltre il limite elastico.

Infatti nelle analisi non lineari si considera la capacit delle sezioni di

plasticizzarsi e di fornire resistenza anche dopo aver superato il limite elastico.

In sostanza si valutano le variazioni delle capacit meccaniche degli elementi

dopo lo snervamento e in particolare le deformazioni di tipo plastico non

reversibili allo scarico.

Si genera quindi un modello pi realistico della struttura che varia il

proprio comportamento con il variare dellentit della sollecitazione. Si

assegnano valori ultimi in termini di sollecitazioni e movimenti per ogni

sezione, dopodich si applicano gli incrementi di carico per step successivi.

Progressivamente gli elementi si plasticizzano, dando la possibilit di


22

riconoscere gli elementi di debolezza e di valutare il margine di sicurezza della

struttura e il livello prestazionale raggiunto.

necessario quindi modellare il comportamento plastico di travi e

pilastri allinterno del software di calcolo. Le possibili alternative sono due: da

un lato vi sono i modelli a plasticit concentrata sulle estremit dellelemento

(modelli a cerniere plastiche), dallaltro quelli a plasticit distribuita sullintero

elemento (modelli a fibre). In questa tesi si utilizza il modello a plasticit

concentrata, inserendo cerniere plastiche in corrispondenza dei punti di

maggiore sollecitazione di ogni elemento. Per ogni asta si definiscono due

punti di plasticizzazione concentrata, collocati alle due estremit in prossimit

dei nodi, dove ci si aspettano le maggiori sollecitazioni per un evento sismico

in una struttura intelaiata in cemento armato.

1.4.3.1 Definizione delle cerniere plastiche

Volendo cogliere il comportamento strutturale reale necessario

innanzitutto impiegare, come parametri meccanici dei materiali, i valori

caratteristici e non quelli di progetto. Per edifici esistenti necessario dedurre,

da prove di cantiere o dalle normative in vigore nel periodo di costruzione, la

media della resistenza dei materiali. Tale valore deve essere poi diviso per il

fattore di confidenza (FC), fattore che quantifica numericamente il livello di

conoscenza che si possiede nei riguardi di una determinata struttura.

Figura 1.9 Valutazione della rotazione di corda e della luce di taglio


23

Nel caso di analisi statica non lineare la valutazione della capacit degli

elementi duttili da intendersi in termini di deformazioni (limiti di

deformabilit ovvero capacit deformativa) (Manfredi et al., 2007). La capacit

deformativa definita in riferimento alla rotazione (rotazione rispetto alla

corda)

!

" della sezione destremit dellelemento valutata rispetto alla

congiungente di tale sezione con la sezione di momento nullo a distanza pari

alla luce di taglio

!

Lv = M /V . Tale rotazione anche pari allo spostamento relativo delle due sezioni diviso per la luce di taglio, vedi Figura 1.9.

Il legame momento rotazione andrebbe definito per ogni sezione di

interesse, tuttavia per semplificare lanalisi, si stabilito un andamento comune

a tutte le sezioni descritto in Figura 1.10. Le coordinate principali di tale

spezzata sono state ottenute dagli studi di Panagiotakos e Fardis (2001), e

recepite dalle istruzioni per lapplicazione delle NTC 08, che le introduce al

paragrafo C8.7.2.5 e al C8A.6.1.

Figura 1.10 Legame Momento-Rotazione alla corda, cerniere plastiche

Nel legame di Figura 1.10 possibile individuare tre differenti livelli di

rotazione descritti in normativa:

- Stato limite di esercizio (SLD)


24

!

"ySLD = #y

Lv3 + 0,0013 1+1,5

hLv

$

% &

'

( ) + 0,13#y

db fyfc

(1.7)

dove:

-

!

"y la curvatura della sezione allo snervamento;

- h laltezza della sezione;

-

!

db il diametro medio delle barre di armature longitudinali; -

!

Lv la luce di taglio; -

!

fc, fy sono le tensioni medie a snervamento rispettivamente del calcestruzzo e delle barre darmatura longitudinali.

I tre addendi presenti nellEquazione (1.7) che descrivono la rotazione

di snervamento, rappresentano, rispettivamente, i contributi deformativi

flessionali, tagliante e di aderenza acciaio-calcestruzzo.

- Stato limite di collasso (SLC)

!

"uSLC =

1# el0,016 $ 0,3v( ) max(0,01; % & )max(0,01;&) fc

'

( ) *

+ ,

0,225 Lvh

- . /

0 1 2

0,3525

34 sxfywfc

-

. /

0

1 2 1,25( )1004 d (1.8)

dove i parametri che non compaiono gi nellEquazione (1.2) sono:

-

!

" el un fattore pari a 1,5 per elementi primari e a 1,0 per i secondari;

-

!

v lo sforzo assiale normalizzato agente sullintera sezione di cls;

-

!

" =As # fy(bh # fc )

e

!

" # =" A s $ fy

(bh $ fc ) le percentuali meccaniche di armatura

rispettivamente in trazione e in compressione;

-

!

"sx =Asxbwsh

la percentuale geometrica di armatura trasversale;

-

!

"d la percentuale di eventuali armature diagonali;

-

!

fyw tensione media a snervamento dellacciaio trasversale; -

!

" fattore di efficienza del confinamento dovuto alle staffe.

Negli elementi non dotati di adeguati dettagli di tipo antisismico il

valore fornito dallEquazione (1.8) deve essere moltiplicato per 0,85.


25

- Stato limite di salvaguardia della vita (SLV)

!

"uSLV = 0,75"uSLC (1.9)

La capacit di rotazione rispetto alla corda in condizioni salvaguardia

della vita, assunto quindi come aliquota della rotazione ultima di collasso. Il

totale collasso dellelemento si assume al verificarsi di una rotazione pari a:

!

1,5"uSLC

Si analizza ora il grafico in Figura 1.10. Il primo tratto caratterizzato

da un comportamento elastico della sezione. La pendenza del segmento si

ricava dalla rigidezza dellelemento ed calcolata automaticamente dal

programma attraverso la geometria dellelemento e le propriet del materiale.

Questo tratto non viene quindi descritto nel programma in fase di inserimento

dati.

Con My sintende il momento di snervamento della sezione, al cui

raggiungimento corrisponde linizio del tratto plastico. Questo dato pu essere

calcolato automaticamente dal programma nel caso in cui si lasci a

questultimo il compito di calcolare la curva, ma ci implica laver fornito

lindicazione delle armature presenti in ogni sezione critica. Si quindi

preferito generare le cerniere manualmente calcolando in autonomia le

coordinate dei punti significativi della curva, al fine di avere un maggior

controllo del comportamento della struttura e una maggiore rispondenza ai

dettami della normativa italiana. Il valore di My viene calcolato per i pilastri a

partire dal diagramma di interazione M-N, in funzione dello sforzo normale

dovuto ai carichi verticali e in base alle caratteristiche geometriche della

sezione. Per le travi il momento di snervamento viene ricavato con buona

approssimazione secondo:

!

My = As fyk0,9d (1.10) dove As indica larmatura tesa della sezione, fyk la resistenza

caratteristica dellacciaio e il prodotto 0,9d approssima il braccio della coppia

interna nellipotesi di rottura bilanciata. Inoltre !yel il valore della rotazione di


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snervamento valutata in base ai soli effetti flessionali. Si consideri infatti la

deformata tipo di unasta del telaio come rappresentata in Figura 1.9. Visto il

corrispondente diagramma del momento flettente si pu pensare di isolare una

porzione di asta della lunghezza approssimativa di L/2, la quale si comporter

come una mensola sollecitata da una forza trasversale in sommit. Per la

mensola in questione, in condizioni di snervamento possibile ricavare lo

spostamento orizzontale !y ottenuto da:

!y =Fy (L / 2)33EJ (1.11)

dove Fy la generica forza orizzontale applicata in sommit in

condizioni di snervamento. Poich la reazione si considera dincastro, il

momento alla base per la mensola pu essere descritto come:

My = Fy (L / 2) (1.12) Sostituendo lEquazione (1.12) nellEquazione (1.11) si ottiene:

!y =MyL212EJ (1.13)

Da semplici considerazioni geometriche, per la mensola di lunghezza

L/2 si ricava quindi:

!yel =

"yL / 2 =

MyL6EJ (1.14)

Il tratto successivo a quello elastico, descrive il comportamento plastico

della cerniera, dallo snervamento al raggiungimento del momento ultimo, posto

convenzionalmente pari a 1,2My che si raggiunge in corrispondenza della

rotazione ultima !u . Questo stadio fatto corrispondere anche al

raggiungimento dello Stato Limite di Collasso (SLC) e la rotazione descritta

dallEquazione (1.8). Gli altri punti significativi di questo ramo sono le

rotazioni allo Stato Limite di Esercizio e allo Stato Limite di Salvaguardia della

Vita. Il primo descritto dallEquazione (1.7) mentre il secondo

dallEquazione (1.9).

Per determinare la curvatura al limite elastico si proceduto secondo i

seguenti procedimenti, a seconda che si calcoli per una trave o un pilastro.


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Per le travi sipotizza un comportamento elastico lineare e si calcola il

momento di snervamento per la sezione. Questo si ottiene implicitamente

ipotizzando la deformazione !y dellacciaio al valore di snervamento. Sulla

base della teoria statica del cemento armato e considerando il comportamento

lineare dei materiali, dallequazione di equilibrio orizzontale si ricava la

posizione dellasse neutro:

xy =n2b2 As

2 + !As2 + 2As !As( )+ 2nb Asd + !As !d( ) "nb As +

!As( ) (1.15)

dove As e !As sono le aree dellarmatura tesa e compressa, b la larghezza della sezione ed n il coefficiente di omogeneizzazione tra il modulo elastico dellacciaio e del calcestruzzo. Determinato lasse neutro si

ricava la curvatura al limite elastico con:

!y =fy

Es d ! x( ) (1.16)

Per i pilastri bisogna invece considerare anche lo sforzo assiale agente

sulla sezione. Riscrivendo quindi lequazione di equilibrio alla traslazione ed

ipotizzando che le armature tese abbiano raggiunto la deformazione di

snervamento si ottiene:

!As fyd + "AsEs "!s +bx2 !cEC = N (1.17)

dove Es e Ec sono il modulo elastico dellacciaio e del calcestruzzo mentre !!s e !c sono le deformazioni dellarmatura compressa e del

calcestruzzo. Risolvendo lEquazione (1.17) in funzione del rapporto x/d,

ovvero per la profondit della zona compressa, si ricava una formula

semplificata che pu essere scritta come:

!y = n2A2 + 2nB( ) ! nA (1.18)

dove i termini A e B sono definiti da:

A = ! + !! + !v +Nbdfy

B = ! + !! !" + 0,5!v (1+ !" )+Nbdfy

(1.19)


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dove ! , !! e !v sono i rapporti geometrici di armatura rispettivamente

in zona tesa, compressa e nellanima (se si considerano pilastri o pareti, sono

generalmente presenti ferri longitudinali anche nella zona centrale e non solo ai

lembi estremi della sezione). Pu porsi ! = As / bd , !! = !As / bd e!v = Av / bd , dove As , !As e Av sono rispettivamente le armature al lembo teso, al lembo compresso e nellanima. Il termine !! il rapporto tra il copri ferro e laltezza

utile della sezione !d / d . Infine N rappresenta lo sforzo normale, positivo se di compressione. Risolta lEquazione (1.18) possibile determinare la curvatura a

snervamento con:

!y =fy

Es 1!"y( )d (1.20)

Una volta raggiunta la rotazione di collasso, si ha il cedimento della

cerniera, perdendo resistenza e aumentando la rotazione. Questo processo non

avviene drasticamente per cui si convenzionalmente posto un limite alla

rotazione pari a 1,5!u e ad un momento resistente residuo pari a 0,2My . Oltre

tale rotazione la resistenza crolla a zero quindi lasta perde ogni capacit

resistente e gli sforzi che le competono si ripartiscono sulle aste adiacenti.

1.4.3.2 Implementazione delle cerniere plastiche

Sulla base degli aspetti evidenziati, necessario, per generare una

cerniera plastica, conoscere una serie di dati costituiti dalle caratteristiche del

materiale, dalle caratteristiche geometriche della sezione, dalla quantit e

disposizione delle armature nonch dalla presenza o meno di armatura danima

e dal rapporto di questultima con larmatura ai lembi. Infine, il dato che esula

dalla geometria della struttura e che richiede di aver svolto una prima analisi

per carichi gravitazionali, in combinazione sismica, lo sforzo normale

presente nei pilastri che occorre per il calcolo del momento resistente e che

interviene significativamente nella determinazione delle rotazioni critiche. Il

momento resistente per i pilastri per, varia a seconda del valore dello sforzo

normale presente, il quale a sua volta variabile nel processo di carico.


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La creazione di un modello rigoroso imporrebbe quindi lintroduzione

di apposite cerniere per i pilastri in cui inserire anche un diagramma di

interazione sforzo normale-momento flettente. Tuttavia, si cercato di snellire

lanalisi per il programma utilizzando soltanto cerniere tipo trave; si

inserito cio per ogni sezione di estremit dei pilastri un solo momento

resistente, ricavato dal diagramma dinterazione M-N della sezione in

corrispondenza dello sforzo normale ottenuto con lapplicazione dei carichi

verticali, valutati in combinazione sismica. Questo costituisce

unapprossimazione, ma se si considera un telaio con unestensione orizzontale

significativa, la variazione dello sforzo normale sensibile soltanto nei pilastri

di bordo, mentre nelle campate intermedie il fenomeno risulta trascurabile. Nel

complesso quindi lapprossimazione introdotta risulta accettabile.

filosofia di progettazione sismica e metodi di analisi

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