figuras de tres dimensiones -...
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Figuras de tres dimensiones
• Poliedros: cuerpos geométricos limitados por 4
o más superficies planas que son polígonos.
– Poliedros regulares: todas las caras de igual forma y
tamaño. Solo existen 5.
– Prismas
– Pirámides
• Cuerpos de revolución: Se obtienen al girar
una figura plana alrededor de un eje. Sus caras
son curvas.
Poliedros
• Elementos básicos:– Caras– Aristas– Vértices
Poliedros regulares
Tienen todas sus caras, aristas y ángulos iguales.
TETRAEDRO4 triángulos equiláteros
CUBO6
hexaedros
OCTAEDRO8 triángulos equiláteros
DODECAEDRO12 pentágonos
ICOSAEDRO20 triángulos equiláteros
TETRAEDRO4 triángulos equiláteros
CUBO6
hexaedros
OCTAEDRO8 triángulos equiláteros
DODECAEDRO12 pentágonos
ICOSAEDRO20 triángulos equiláteros
Teorema de Euler(Poliedro Convexo)
Fórmula de Euler (Poliedros Convexos)
Hexaedro = Cubo
• Poliedro convexo: Se puede apoyar en el plano sobre todas sus caras.
• Poliedro cóncavo: Si existe alguna cara en la que no se puede apoyar.
Prismas • Tienen dos caras iguales y paralelas.
Bases.• Sus caras laterales son paralelogramos.
2 hexágonos (superior e inferior)
6 rectángulos (laterales)
Prismas
Otros elementos importantes de un prisma.
ARISTA BÁSICA
ARISTA LATERAL
ALTURA
APOTEMA BASE
Prismas CLASIFICACIÓN:
PRISMAS
OBLICUOS
RECTOS
IRREGULARESREGULARES
Prisma Recto: Si sus caras laterales son rectángulos. En caso contrario es oblicuo
Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.
Prismas en el entorno:
Prismas en el entorno:
Pirámides
Elementos importantes de una pirámide.
a´
APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA
ARISTA LATERAL
ALTURA DE LA PIRÁMIDE
APOTEMA BASE
ARISTA BÁSICA
BASE
• Tienen sólo una cara por base.• Sus caras laterales son triángulos y
concurren en un vértice.
Pirámides PIRÁMIDES
OBLICUAS
RECTAS
IRREGULARESREGULARES
Una pirámide es recta si sus caras laterales son triángulos isósceles. En caso contrario es oblicuaUna pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular
Pirámides en el entorno:
Pirámides en el entorno:
Cuerpos de revolución
CILINDRO: se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
altu
ra
GENERATRIZ
radio
gene
ratr
izEJE GIRO
RADIO
BASE
Cilindros en el entorno:
Cuerpos de revoluciónCONO: se obtiene al girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos.
radio
eje
giro
altu
ra
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
Conos en el entorno:
Conos en el entorno:
Cuerpos de revoluciónESFERA: se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro .
diám
etro
eje
giro
RADIO
CENTRO
GENERATRIZ
EJE DE GIRO
Esfera en el entorno:
Esfera en el entorno:
Esfera en el entorno:
Volúmenes y
Áreas
El Volumen y la Capacidad de un cuerpo
1dm3 = 1 Litro 1cm3 = 1 mL 1m3 = 1 KL
Volumen de Ortoedro y Cubo
Cubo Ortoedro
Volumen de Prisma
VPrisma = área de la base · altura
Volumen de Pirámide
VPirámide = 1/3 · (área de la base · altura)
Volumen del cilindro
Vcilindro = área de la base · altura
Volumen del Cono
Vcilindro = π· r2 · h
Hallar el área de estas figuras
El área de la pirámide es la suma de las áreas de un cuadrado y 4 triángulos.
El área del prisma es la suma de las áreas las bases (2 pentágonos) y 5 rectángulos.
EJERCICIOS1
Hallar el área de estas figuras
Para calcular el área de cada
triángulo del icosaedro,
necesito saber la base del
triángulo para aplicar la
fórmula de su área
El área del dodecaedro es la suma
de las áreas de 12 pentágonos.
¡Cuidado con las unidades!
b)
2
El área del octoedro es la suma
de las áreas de 8 triángulos.
Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular con aristas laterales de 13 centímetros y aristas de la base de 10 centímetros.
3
Hallar el área de un tetraedro regular de 10 centímetros de arista
El área es la suma de las áreas de 4 triángulos (base + 3 laterales)
4
La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm. de lado. Su altura es de 4 dm. Hallar su área total
El área de la pirámide es la suma de las áreas de 4 triángulos y de un cuadrado.
5
6
cm 668510 22,a =−=
3
BASE
BASE
cm 4956258,259
cm 82592
66,8602
=⋅=
=⋅
=⋅
=
⋅=
V
,aP
A
hAV
Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:
Primero calculo el área de la base, que es un hexágono. Para ello necesito la apotema y aplico Pitágoras:
Como la fórmula del volumen es V= A base · altura
BASE
⋅
⋅= hAV
7
Halla el volumen de esta pirámide:
Si analizo la fórmula, y los datos que tengo, veo que necesito calcular la altura de la pirámide. Para ello acudo a Pitágoras:
Una vez calculada la altura de la pirámide, ya puedo aplicar la fórmula
cm 9,3295,1637
cm 95,162
cm 9,332424
22
22
=−=
=
=+=
h
a
a
23BASE 24 32,9
6316 8 cm3 3
A hV ,
⋅ ⋅= = =
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
8
Primero necesito calcular la altura del cono. Para ello aplico Teorema de Pitágoras:
Una vez calculada la altura del cono, ya puedo aplicar la fórmula
cm 9211225 22,h =−=
23BASE 3,14 12 21,9
3300 8 cm3 3
A hV ,
⋅ ⋅ ⋅= = =
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de 12 cm.
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
9
El área de la base:
884,1826,232
litros 826,2cm 8262
cm 826225614,33
32BC
=⋅
=
=⋅⋅=⋅= hAV
Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm.Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?
Necesitamos 1,884 litros de agua.
BC ⋅= hAV
10
litros
Hay que aplicar la fórmula adecuada a cada figura ¿las recuerdas?...
. 3
2BASE
3
2
BASE
3
BASE
cm 6695,115614,3
cm 8,4443
17514,33
cm 26012079
=
=⋅⋅=
=⋅=
=
=⋅⋅
=
=
⋅
=
=
=⋅⋅=
=⋅= hAVhAVhAV
Calcula el volumen de estas figuras:11
Finalmente aplicamos la fórmula:
.
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado
y su arista lateral es de 29 cm.
2 229 20 21 cmh = − =
BASE
2BASE
3
3120 17,3
1038 cm2 2
1038 217266 cm
3
A hV
P aA
V
⋅=
⋅ ⋅= = =
⋅= =
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
El área de la base se calcula con la fórmula del área de un hexágono. Necesito la apotema, y aplico Pitágoras:
2 220 10 17,3 cma = − =
Y también necesito la altura de la pirámide. Y por tanto tendré que volver a utilizar a Pitágoras:
12
10 cm
Finalmente aplicamos la fórmula:
.
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 20 cm y el radio de su base es de 10 cm.
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
Necesito la altura de la pirámide. Pitágoras:
cm 3171020 22,h =−=
23BASE 3,14 10 17,3
1810 7 cm3 3
A hV ,
⋅ ⋅ ⋅= = =
El área de la base :
13
Ab = π · r2 = 3,14 · 102 = 314 cm2
Se suma el volumen de la semiesfera y del cono:
VT = V Semiesfera + VCono
= 261,67 cm3
.
El volumen del cono:
El volumen de la semiesfera es la mitad de la que corresponde a una esfera completa. Y sé el radio:
3BC cm 314
3=
⋅=
hAV
FIGURA =V
Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:14
3cm 3,366
.
Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos:
BASE
60 8,66259,8 cm
2A
⋅= =
BASE 3BASE
2
3 3
3 2
43 33,14 4 11
259,8 25 4552,64 cm 3,14 11
3 32165 cm 506,6 cm
A hV A hV V rπ
⋅= ⋅ == = = =
= ⋅ ⋅ =
⋅= == = ⋅ ⋅ =
= =
.
cm 615918 22,a =−=
3
2BASE
BASE
cm 232113
404,842
cm 4,8422
3
=⋅
=
=⋅
=
⋅=
V
aPA
hAV
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 18 cm de lado y su altura es de 40 cm.
2BASE cm 4,842
2=
⋅=
aPA
Para calcular el área de la base necesito la apotema, y aplico Pitágoras:
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
Como la altura de la Pirámide la tengo, ya puedo aplicar la fórmula:
BASE 2⋅
=aP
A
.
Para calcular el área de la base:
BASE
3 3
A hV ,
⋅= = =
Ya puedo aplicar la fórmula:
cm 795210 22,,h =−=
23BASE 3,14 2,5 9,7
63 4 cm3 3
A hV ,
⋅ ⋅ ⋅= = =
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es de 2,5 cm.
2πr
23,14 2,5 9,7V ,
⋅ ⋅= = =
Como la altura del Cono no la tengo, Pitágoras: