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Actividades didácticasMATEMÁTICAS

SEXTO GRADO

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El Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Sexto grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativosde la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública.

RedacciónRedacciónRedacciónRedacciónRedacciónMónica Schulmaister Lagos

AsesoríaAsesoríaAsesoríaAsesoríaAsesoríaEsnel Pérez HernándezRenato Sergio Rosas Domínguez

ColaboraciónColaboraciónColaboraciónColaboraciónColaboraciónHugo Espinoza Pérez

Coordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialElena Ortiz Hernán Pupareli

Cuidado de la ediciónCuidado de la ediciónCuidado de la ediciónCuidado de la ediciónCuidado de la ediciónLourdes Escobedo Muñoz

Diseño originalDiseño originalDiseño originalDiseño originalDiseño originalMauro Calanchina Poncini

FormaciónFormaciónFormaciónFormaciónFormaciónMartín Aguilar Gallegos

IlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónRicardo Figueroa Cisneros

Primera edición, 1995Segunda edición, 2001

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1995 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

ISBN 970-18-6202-3

Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

FICHAD/M/6/P-001-008.PM7.0 5/15/03, 10:22 AM3

Tercera reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

Presentación

La Secretaría de Educación Pública ha puesto en marcha un programa de renovación y mejoramiento delos materiales para la educación básica, acorde con los planes y programas de estudio correspondientes,que entraron en vigor en el año escolar 1993-1994.

Los nuevos materiales forman parte de un esfuerzo por mejorar la calidad de nuestra educación primaria.Para que este propósito se cumpla es necesario que las autoridades educativas otorguen al maestro unapoyo eficaz en el desarrollo de sus actividades docentes.

Con esa finalidad, desde el ciclo escolar 1994-1995 se han entregado en propiedad a los maestros, seisficheros de actividades didácticas de Matemáticas elaborados por la Secretaría de Educación Pública.

Este fichero complementa los materiales para el maestro de sexto grado en la asignatura de Matemáticas:el libro de texto gratuito, el libro para el maestro y el avance programático. Las actividades propuestaspermiten al alumno construir conocimientos, desarrollar y ejercitar habilidades que son necesarias paraabordar los contenidos del programa.

El diseño del fichero busca auxiliar al maestro en forma flexible y diversa, pues las actividades quecontiene no se conciben como las únicas que pueden llevarse a cabo. No obstante que en las fichas sesugiere la frecuencia con que pueden realizarse las actividades didácticas, queda a juicio del maestroemplearlas en otros momentos, de acuerdo con las necesidades que observe entre los alumnos. El maes-tro puede hacer transformaciones y ajustes a las actividades con base en su experiencia y las característicasdel grupo, plantel y región donde trabaja.

Este fichero se incorpora por vez primera al trabajo en Matemáticas y deberá mejorarse cuando laexperiencia y la evaluación así lo exijan. Para que esta tarea tenga éxito son indispensables las opinionesde los maestros. La Secretaría necesita sus recomendaciones y críticas. Estas aportaciones serán estudiadascon atención y servirán para que el mejoramiento de los materiales educativos sea una actividadsistemática y permanente.

Secretaría de Educación Pública


Cómo utilizar el Fichero

¿Por qué un fichero de actividades?Este fichero es un auxiliar para la enseñanza de las matemáticas. No sustituye al trabajo con el librode texto gratuito sino, por el contrario, lo complementa al proveer al maestro de una amplia gama deactividades que favorece la construcción de conocimientos de los alumnos y el desarrollo de habilidades.

Es necesario que los alumnos realicen numerosas actividades para avanzar en la adquisición de losconocimientos matemáticos y puedan, más adelante, comprender y resolver las lecciones planteadas enel libro.

¿A quién están dirigidas las fichas?Las fichas están dirigidas al maestro quien, para aplicarlas, deberá analizarlas con cuidado, preparar conanticipación el material y organizar al grupo antes de ponerlas en práctica.

¿Qué material se requiere para aplicarlas?Para desarrollar algunas de las actividades propuestas se utiliza material de bajo costo, como cartulina, ode desecho.

¿Cuándo deben aplicarse?Para que los alumnos obtengan el mayor provecho de los libros de texto es indispensable que realicen lasactividades propuestas antes o después de que resuelvan las lecciones del libro. En el apartado dematemáticas del Avance programático. Sexto grado se hace referencia a las fichas que apoyan loscontenidos de cada eje temático y el momento en el que se sugiere aplicarlas.

¿Cómo enriquecer el fichero de actividades didácticas?Las fichas cuentan con un espacio en blanco en el que el maestro podrá incorporar algunas modificacionesa la actividad, para adecuarla a su grupo. En ese espacio también podrá registrar las observaciones de losresultados obtenidos al aplicarla, además de otras actividades que se diseñen.


Número de ficha

EjesArriba:Los números, sus relacionesy sus operacionesMediciónGeometríaAbajo:Tratamiento de la informaciónProcesos de cambioLa predicción y el azar

Propósitos

Número de bloque

Descripciónde la ficha

Línea de cortepara desprenderla ficha

En negro se destacanlos ejes que se relacionancon la ficha

Título

24

¡Siempre nos to

ca lo mismo!

Se organiza a los alumnos en equipos de tres o

cuatro integrantes y se plantean los siguientes pro-

blemas:

1.1.1.1.1. Se reparten 2 litros de leche entre cinco niños, de

manera que a todos les toca lo mismo y no sobra

leche. ¿Cuánta le tocó a cada niño?

a.a.a.a.a. Si se reparten 4 litros de leche de tal manera que

a cada niño le toque la misma cantidad que en el

problema, ¿para cuántos niños alcanza?

b.b.b.b.b. Si se reparten 4 litros de leche entre cinco niños,

¿cuánto le toca a cada uno? ¿A cada niño le toca lo

mismo que en el problema 1? ¿Qué debería suce-

der para que cada niño reciba la misma cantidad de

leche del problema 1?

c.c.c.c.c. ¿Cuántos litros de leche se necesitan repartir p

ara

que 15 niños reciban la misma cantidad que en el

problema 1?

d.d.d.d.d. Completar la tabla siguiente para que cada niño

reciba la misma cantidad de leche.

LITROS DE LECHE2

6 812

NÚMERO DE NIÑOS5 10

2535

Después de que los niños resuelven cada proble-

ma, el maestro pide que expliquen cómo lo hicie-

ron y comparen los resultados obtenidos.

• Que los alumnos deduzcan

el procedimiento para obtener

fracciones equivalentes

al resolver problemas

de reparto.

e.e.e.e.e. Escribir en forma de fracción la cantidad de leche

que le toca a cada niño.

¿Son iguales las fracciones?

¿Le toca lo mismo a cada niño?

¿Cómo son las fracciones entre sí?

¿Qué significa que las fracciones sean equivalen-

tes?

Explicar cómo se obtendrían las fracciones equi-

valentes a que aparecen en la tabla.

Es importante propiciar entre los alumnos la dis-

cusión para que deduzcan el procedimiento para

obtener fracciones equivalentes.

Además de esta actividad, pueden proponerse

ejercicios similares con reparto de pasteles, cani-

cas, etcétera. En el caso de las canicas, las situacio-

nes tendrán que plantearse de ma-

nera que cada niño reciba un

número entero de ellas.

25


Índice1 Los números que usamos

2 ¿Y si las descomponemos?

3 Dibujos a partir de puntos

4 ¿Qué tan grande es una hectárea?

5 ¿Qué espacio ocupa una tonelada?

6 ¿Quién lo hace más rápido?

7 Sobre ruedas

8 ¡Constrúyela!

9 ¿Quién soy, múltiplo o divisor?

10 A igual volumen, ¿igual área?

11 Los mensajes

12 ¿De cuántas maneras?

13 Popotes y palillos

14 Los rectángulos

15 ¡Tengo menos cifras, pero soy más grande!

16 Midiendo con regletas

17 Mido dos verdes, ¿quién soy?

18 Divisiones exactas y no exactas

19 ¿Qué hace falta para responder?

20 Uso de fracciones

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21 ¡A medir se ha dicho!

22 Suma y resta de fracciones mixtas

23 Iguales pero diferentes

24 ¡Siempre nos toca lo mismo!

25 La perinola

26 Operaciones con la calculadora

27 ¿Cuánto vale la unidad?

28 Los productos cruzados

29 ¿Dónde estamos? ¿Cuántos somos?

30 Fracciones y decimales

31 El tiempo pasa

32 Medidas y vueltas del círculo

33 ¿Cuántos de cada cien?

34 Construyendo figuras

35 Problemas difíciles para la calculadora

36 ¡Con 10 y 1%, basta!

37 Figuras equivalentes

38 Diseños geométricos

39 Suma y resta de fracciones

40 ¡Triángulos y más triángulos!

41 ¡Busca una manera fácil!

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1Los númerosque usamos

• Que los alumnos reflexionensobre las reglas del sistemade numeración decimal.

1.1.1.1.1. Juego “El cajero”.

a.a.a.a.a. Se organiza a los alumnos en equipos de tres acinco niños.b.b.b.b.b. Se entrega a cada equipo dos dados y una caja dezapatos o una bolsa de plástico con 40 corcholatasazules, 40 corcholatas rojas y una amarilla.c.c.c.c.c. La primera vez que juegan se escribe en elpizarrón el valor de las corcholatas. (Pueden jugarsobre una mesa o en el piso.)

La corcholata azul vale uno.La corcholata roja vale cinco corcholatas azules.La corcholata amarilla vale cinco corcholatas rojas.

d.d.d.d.d. En cada equipo se ponen de acuerdo para queuno de los integrantes sea el cajero. Al niño que le

MaterialPor equipo, dos dados y una bolsa de plástico con40 corcholatas azules, 40 corcholatas rojas y unaamarilla.

tocó ser cajero se le entre-gan dos dados y la bolsa o cajacon todas las corcholatas.e.e.e.e.e. En su turno, cada jugador lanza al mismo tiempolos dados y obtienen la suma de los puntos. El cajeroentrega al jugador que lanzó los dados tantascorcholatas azules como puntos haya obtenido.f.f.f.f.f. Cuando los jugadores que lanzan los dadosreúnen cinco corcholatas azules deben pedir alcajero que se las cambie por una roja, y cuandoreúnen cinco rojas deben pedirle que se las cambiepor una amarilla.g.g.g.g.g. Gana el juego el niño que obtenga primero lacorcholata amarilla.

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h.h.h.h.h. Antes de devolver las corcholatas y reanudar eljuego, cada niño escribe con números la cantidadde corcholatas que le quedó, considerando losvalores según su color; por ejemplo, si a un niño lequedaron cuatro corcholatas azules y tres rojasdebe escribir 34 (tres cuatro).i.i.i.i.i. Se analiza el valor de cada cifra, según su posi-ción, enfatizando en el tipo de agrupamiento querealizaron para llegar a esas cifras; es decir, la baseen la que están escritos estos números es 5.

¿Qué símbolos se utilizan en esta base paraescribir los números?¿Hay números en los que aparece el 5, el 6 o el 8?

2.2.2.2.2. En otra sesión los alumnos resuelven la actividad10, páginas 46 y 47 de la Sección II, Tema 2, dellibro Los números y su representación, de la colec-ción Libros del Rincón.

3.3.3.3.3. A continuación se plantean los siguientes ejercicios:

a.a.a.a.a. Escribir un número natural de tres cifras quecontenga la cifra 0 y dos veces una misma cifradiferente de cero. ¿Cuántos números hay?

b.b.b.b.b. Escribir entre los números de cada par los signos<, = o >, según corresponda:

1 999 + 1_____2 000 – 19 099 + 1 _____ 10 000 – 156 _____ 7 × 8

c.c.c.c.c. En cada uno de los siguientes números identifi-car: la cifra de las decenas, la de las centenas y la delas unidades de millar, respectivamente.

7 521 893 6 318 10 401

d.d.d.d.d. Escribir la cantidad de decenas, centenas, unida-des y decenas de millar completas que tiene cadauno de los siguientes números:

36 205 15 739 28 15875 321 472 4 738

¿Cuántas unidades se necesitan para formar unadecena?

¿Cómo se forma una unidad de millar?¿Cuántas decenas la forman?, ¿cuántas cente-nas?, ¿cuántas unidades?¿Qué símbolos se utilizan para escribir los núme-ros que utilizamos?¿En qué se parecen los números que usamoshabitualmente con los que surgieron en el juego“El cajero”?

4.4.4.4.4. Además de las actividades planteadas en estaficha, los alumnos pueden jugar “Guerra de car-tas”, segunda, tercera y cuarta versión, páginas 28y 29 y “¿Quién adivina el número?”, primera,segunda, tercera y cuarta versión, páginas 37 a 41del libro Juega y aprende matemáticas, de la colec-ción Libros del Rincón.

Nota: En esta actividad se presentan ejercicios conbase 5 para comparar el sistema decimal de nume-ración con otro sistema que tiene característicassemejantes, excepto el tipo de agrupamiento.

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2¿Y si las descomponemos?

• Que los alumnos calculen el áreade diferentes figuras a partir dela descomposición en triángulos,cuadrados y rectángulos.

• Utilicen las fórmulas del áreadel triángulo, del cuadradoy del rectángulo en la resoluciónde problemas.

Se organiza a los alumnos en equipos de tresintegrantes y se plantean los problemas que acontinuación se detallan. Los dibujos de algunos delos problemas se copian en el pizarrón y los alum-nos los reproducen en sus cuadernos.

1.1.1.1.1. Los integrantes de cada equipo toman la caja decereal y la observan detenidamente. Con el propó-sito de que los alumnos reconozcan y usen lostérminos geométricos propios de los sólidos, se lesplantean preguntas como las siguientes:

¿Cuál es el espacio que ocupa esta caja?¿Cómo llamamos a lo que limita este espacio?¿Qué limita a esas caras o superficies?¿Cuántas aristas se unen en cada vértice?¿En qué casos se unen más aristas en un vértice?

Luego se les pregunta qué forma tendría la cajauna vez desarmada y se pide que la dibujen. Com-paran los dibujos que realizaron y discuten y expli-can por qué creen que así se vería la caja desarma-da. Luego cortan la caja de cereal, de tal maneraque todas las caras de la caja, incluyendo las tapas,queden unidas al menos por una de sus aristas.Extienden la caja desarmada sobre su mesa ycomparan el patrón de la caja con los dibujos querealizaron anteriormente. Analizan cuáles de losdibujos no corresponden a la caja. Luego calculan:

El área de cada cara.El área total.

¿Cómo se llama este cuerpo en Geometría?

Ilustración 1Ilustración 1Ilustración 1Ilustración 1Ilustración 1


MaterialPor equipo, una caja de cereal con sus tapas.

EF

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�

2.2.2.2.2. Al construir una caja de lámina una de sus carasquedó con la forma comprendida por los puntos C,D, E y F, pero para obtenerla se usó una hoja delámina de las dimensiones señaladas en el rectán-gulo ABCD, que se muestra en la ilustración 1 de lapágina anterior. Utilizando procedimientos pro-pios, calcular:

El área de la hoja de lámina antes de cortarla.El área de la lámina que no se utiliza para armarla caja.El área de la cara de la caja que se está constru-yendo.

3.3.3.3.3. En la plaza de un pueblo hay un jardín cuyocroquis se muestra en la ilustración 2 de la páginaanterior. La parte sombreada es césped. Las distan-cias representadas por las flechas gruesas son igua-les entre sí y las distancias representadas por lasflechas delgadas son iguales entre sí. Calcular:

El área total de la plaza.El área que tiene césped.El área restante.

4.4.4.4.4. En la ilustración 3 se representa la superficie totalde un jardín. Los puntos medios de sus lados seindican con las letras E,F,G, y H. Si se quiere plantarflores en el área sombreada del jardín, ¿cuál es elárea destinada a las flores? Si en la parte restante sesiembra césped, ¿que área ocupa?, ¿cuál es el áreatotal del jardín?

5.5.5.5.5. Calcular el área, en centímetros cuadrados, de laspartes sombreadas de las figuras de la ilustración 4.

Cada vez que los alumnos terminan de resolver unproblema exponen al grupo los resultados y losprocedimientos que utilizaron. Para ello, uno o másintegrantes de cada equipo pasan al frente a expli-car cómo resolvieron el problema.

E



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3

• Que los alumnos adquieranhabilidad en el uso de los ejesde coordenadas cartesianaspara resolver problemas.

b.b.b.b.b. Reproducir en una hoja de block cuadriculadalos ejes de coordenadas y la figura ABCDE.c.c.c.c.c. En el mismo par de ejes de coordenadas trazar lafigura A’B’C’D’E’, desplazando ocho cuadritos a laderecha y cinco hacia arriba, las coordenadas de lospuntos A, B, C, D y E. Por ejemplo, el punto C’tendrá como coordenadas al par ordenado (14,8).

MaterialPara todo el grupo, elaborar en papel bond cuadri-culado o en el pizarrón los planos cartesianos quese muestran en la ilustración. Para cada alumnohojas de block, tamaño carta, de cuadro grande.

1. 1. 1. 1. 1. Se presenta en el pizarrón la ilustración 1 y sepide a los alumnos que, reunidos en equipos,desarrollen las actividades que a continuación sedetallan:

a. a. a. a. a. Escribir en la siguiente tabla las coordenadas delos puntos A, B, C, D y E de la ilustración 1.

1

3

1

O

NK

JH

GF

E

D

BC

P

A ML

I


Dibujos a partirde puntos

1

3

1


Ilustración 2

Ilustración 2

Ilustración 2

Ilustración 2Ilustración 2

PUNTO A B C D E

Coordenadas (9,11)

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b.b.b.b.b. Una vez que hayan obtenido la imagen delsegundo auto le aplican el mismo procedimiento,es decir, calculan la mitad del valor de las abscisasy ordenadas de cada punto. Luego se pide quecalculen cuántos cuadritos mide un lado en el autooriginal y el mismo lado en el tercer auto. ¿Quéparte ocupa un lado del tercer auto con respectodel mismo lado del auto original?

4.4.4.4.4. Se sugiere repetir las actividades 2 y 3 tomandocomo modelo el barco que se muestra en la ilustra-ción 3. En este caso, utilizan la regla para averiguarcuánto aumentó cada lado.

Al terminar cada actividad se realiza una exposi-ción general para que los alumnos comparen losprocedimientos utilizados y las figuras que obtuvie-ron en cada una.

c.c.c.c.c. Por último, se propicia una exposición generalpara que comparen los autos obtenidos y discutanqué le ocurrió al auto original. Para ello se les pidecalcular cuántos cuadritos mide el lado AB y el otrolado A’B’ del auto, y vean cuánto aumentó. Luegorepiten el procedimiento con el tercer auto. ¿Porcuánto hay que multiplicar cada lado del autooriginal para obtener el tercer auto? ¿Cambiaron deforma los diferentes autos?

3.3.3.3.3. En otra ocasión, se pide a los alumnos quereproduzcan en otro par de ejes de coordenadas elmismo auto del ejercicio 2.

a.a.a.a.a. A continuación se solicita que en otro par de ejesde coordenadas reproduzcan el auto original, perocalculando la mitad del valor de las abscisas y de lasordenadas. Por ejemplo, el punto A resultaría en elpar ordenado (2,1).

d.d.d.d.d. Escribir en la siguiente tabla las coordenadas delos puntos A’, B’, C’, D’ y E’.

PUNTO A’ B’ C’ D’ E’

Coordenadas (14,8)

2.2.2.2.2. Se presenta en el pizarrón el auto que se muestraen la ilustración 2 de la página anterior y se pide alos alumnos que en una hoja de block cuadriculadatracen un par de ejes de coordenadas cartesianas ylo reproduzcan.

a.a.a.a.a. A continuación se les solicita que en otro par deejes reproduzcan el auto que acaban de hacer,pero multiplicando por 2 el valor de las abscisas yde las ordenadas. Por ejemplo, el punto A (cuyaabscisa es 4 y su ordenada 2) resultaría en el parordenado (8,4).b.b.b.b.b. Cuando terminen, reproducen un tercer auto,multiplicando por 2 el valor de las abscisas y de lasordenadas del último auto que reprodujeron.

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4¿Qué tan grandees una hectárea?

Se sugiere plantear a los alumnos, reunidos enequipos, algunas actividades como las siguientes:

1.1.1.1.1. Calcar el mapa de la división política de Méxicodel Atlas de geografía universal (p. 83), ycuadricularlo, con cuadrados de un centímetro delado.

a.a.a.a.a. Luego, los alumnos escogen un estado del mapay estiman su área en hectáreas. Para ello se lesproporciona la siguiente información: Cada cuadritorepresenta 1 960 000 hectáreas. Por ejemplo, elestado de Michoacán tiene casi 3 cuadritos, portanto tendrá aproximadamente 3 × 1 960 000 hec-táreas, es decir, 5 880 000 hectáreas.b.b.b.b.b. Para verificar el resultado de su aproximación losalumnos investigan en el Atlas de México elabora-do por la SEP, el área del estado que eligieron ycomparan qué tanto se acercaron a la medidaseñalada en el libro.

De igual manera estiman y calculan, en hectáreas,el área de los estados de Sonora, Chihuahua,Coahuila y Oaxaca. Luego ordenan los estados demayor a menor área.

2.2.2.2.2. En cada sesión, el maestro plantea uno o dosproblemas como los que se presentan a continua-ción. Pide a los alumnos que sin hacer cuentasescritas estimen el resultado de cada problema.

timaciones y por último verifican con la calculadorael resultado que obtuvieron mentalmente y venquién se aproximó más.

a.a.a.a.a. En una huerta de 6 hectáreas y media se hanplanteado naranjos a razón de 76 por hectárea.Estimar el total de naranjos plantados. ¿Cuántosmetros cuadrados de superficie tiene la huerta?b.b.b.b.b. Juan quiere comprar un terreno de pastoreo, porlo que ha visto terrenos de diferentes tamaños: elterreno A mide 200 × 250 m, el B 400 × 500 m,el C 250 × 400 m, el D 400 × 200 m y el terreno E400 × 350 m. Si quiere un terreno de menos de 10hectáreas, sin hacer cuentas escritas, ¿cuál es el quemás le conviene?

• Que los alumnos desarrollenla habilidad para estimar medicionescon diferentes magnitudes.

• Utilicen la nociónde hectárea al resolverproblemas.

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Cuando terminen, explican cómo hicieron sus es-

�c.c.c.c.c. La familia de Javier hará un viaje de 400 kilóme-tros. Su papá piensa ir a una velocidad promedio de80 kilómetros por hora y no realizará ningunaescala. ¿Cuánto tiempo tardarán en recorrer esadistancia?

d.d.d.d.d. Pedro trabaja en una tienda donde venden cajasde cartón. El dueño del negocio le pidió que ar-mara 100 cajas del mismo tamaño en 4 horas. SiPedro calcula armar 10 cajas en media hora, ¿lealcanzará el tiempo para armar las que le pidieron?Estimar la cantidad de cajas que Pedro tendría quearmar en una hora para cumplir con lo que le pidióel dueño.

e.e.e.e.e. José y María tienen que vaciar un tanque con 125litros de agua; para ello José tiene una cubeta de 6litros y María una de 4 litros. Si los dos hacen elmismo número de viajes, ¿qué cantidad de litrosacarreó cada uno en total?

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5¿Qué espacio ocupauna tonelada?• Que los alumnos imaginen

las dimensiones que ocupa unatonelada de maíz.

• Representen en gráficasde barras los datos presentadosen una tabla.

• Analicen la información representadaen una gráfica de barras.

dentro de la caja. Si no saben, el maestro les indicacómo hacerlo. Una vez que los equipos hayancalculado el volumen, comparan sus resultados. Sientre todos los equipos aparecen diferentes volú-menes se analizan cuáles están dentro de un rangode error aceptable y cuáles son incorrectos. Con losvolúmenes que tienen un margen de error acepta-ble, se calcula el promedio para obtener el volu-men más aproximado.b.b.b.b.b. Se resuelven los siguientes problemas:

Si se colocara una tonelada de maíz en una cajade un metro cuadrado de superficie en su base,¿a qué altura, en metros, llegaría el maíz?

Si se colocara la producción de maíz del año 1993,(18 millones 309* mil toneladas), en una cajaimaginaria con una base cuadrada de 100 × 100metros y una altura también de 100 metros,¿cabría?, ¿sobraría o faltaría maíz?

Se organiza a los alumnos en equipos de tresintegrantes y se plantean los siguientes problemas:

1.1.1.1.1. Con el propósito de que los alumnos se den ideadel espacio que ocupa una tonelada de maíz sepide que desarrollen las siguientes actividades.

a.a.a.a.a. En una caja de zapatos los alumnos vacian unkilogramo de maíz. El maestro propicia una discu-sión con los alumnos sobre cómo puede calcularseel volumen del maíz, es decir, el espacio que ocupa

MaterialPor equipo, una caja de zapatos o un bote en formade prisma.

* Fuente: Secretaría de Agricultura y Recursos Hidráulicos.

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�

Al terminar comentan con los demás compañeroscómo calcularon la altura en cada caso.

2.2.2.2.2. En otra sesión se presenta a los alumnos la tablaque se muestra a la derecha. Se pide que resuelvanlas siguientes actividades. Cuando terminen deresolver cada problema, se realiza una puesta encomún de los procedimientos utilizados y de losresultados obtenidos.

a.a.a.a.a. Con la calculadora, obtener las cantidades fal-tantes y completar la tabla. Las cantidades de to-neladas y de familias deben aproximarse a núme-ros enteros.b.b.b.b.b. Calcular la diferencia de toneladas distribuidasdiariamente entre 1988 y 1993, y expresar dichoresultado en kilogramos.c.c.c.c.c. Representar en una gráfica de barras la cantidadde toneladas distribuidas diariamente, desde 1988hasta 1993, y comprobar el resultado obtenido enel punto anterior en la gráfica.d.d.d.d.d. Representar en una gráfica de barras los miles defamilias beneficiadas desde 1988 hasta 1993.

¿En qué año hubo la mayor cantidad de familiasbeneficiadas?

¿Cuál es el promedio de familias beneficiadasdesde 1988 hasta 1993?

DISTRIBUCIÓN DE TORTILLA Y FAMILIAS BENEFICIADAS*

AÑOS

1988 2 021 1 011 2.00

1989 1 033 2.00

1990 1 596 840

1991 1 406 0.68

1992 1 639 2 111

1993 2 426 0.97

Kg APROXIMADOS POR FAMILIA

DISTRIBUIDOS DIARIAMENTE

TONELADAS DISTRIBUIDAS

DIARIAMENTE

MILES DE FAMILIAS

BENEFICIADAS

*Las cantidades de toneladas, de familias y de kilogramos de tortillas están redondeadas confines didácticos.Fuente: Presidencia de la República, Quinto Informe de Gobierno, 1994.

3.3.3.3.3. Un camión debe transportar 40.5 toneladas decarbón. El camión sólo tiene cupo para 3 500 kg,¿cuántos viajes debe hacer?

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6¿Quién lo hacemás rápido?

Es recomendable que diariamente se destine untiempo para plantear a los alumnos ejercicios decálculo mental. Al resolver mentalmente una ope-ración los alumnos pueden aplicar procedimientosdiferentes a los convencionales. Por ejemplo, pararesolver mentalmente 84 + 9 pueden surgir proce-dimientos como los siguientes:

“Quito 1 al 84 y lo sumo al 9. Después sumo83 + 10 y me da 93.”

“Quito 6 al 9 y lo sumo al 84 y obtengo 90, más3 que quedaban del 9 me da 93.”

“Al 84 le sumo 10, me da 94, le resto 1 y me da93.”

Es importante que al terminar cada ejercicio elgrupo exponga los procedimientos que utilizó pararesolverlo. Si no hay variedad en los procedimien-tos de los alumnos se pueden sugerir otros. Acontinuación se presentan como ejemplo algunosejercicios de cálculo mental.

• Que los alumnos desarrollenhabilidades en el cálculo mentalde operaciones con númerosnaturales.

1.1.1.1.1. Calcular mentalmente y lo más rápido posible,las siguientes operaciones:

a.a.a.a.a. 68 + 7 84 + 9 40 + 90 70 + 60

53 + 70 90 + 68 25 + 85 79 + 68

b.b.b.b.b. 128 + 6 9 + 395 480 + 70 520 + 90

75 + 450 370 + 95 285 + 25 35 + 465

c.c.c.c.c. 25 + 17 + 3 48 + 26 + 22

270 + 190 + 130 26 + 33 + 77

d.d.d.d.d. 14 × 10 32 × 100 30 × 1 000

8 × 20 9 × 60 12 × 30

8 × 400 12 × 200 6 × 5 × 4

7 × 3 × 20 4 × 5 × 7 30 × 2 × 8

9

9 12

3

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�

2.2.2.2.2. De los siguientes seis números elegir cuatro cuyasuma sea igual a 1000.

124 326 238 619 125 312

a.a.a.a.a. Elegir dos de los siguientes números cuya suma seaproxime a 1000.

399 295 301 513 597 703

b. b. b. b. b. Encontrar los números terminados en cero quemás se aproximen al resultado de los siguientesproductos:

29 × 31 48 × 5298 × 102 11 × 101 × 1 001

3.3.3.3.3. Completar el triángulo mágico multiplicativoque se muestra en la página anterior. Los productosde los tres números de cada lado son iguales.

4.4.4.4.4. Se escriben en el pizarrón los siguientes ejercicios,uno a la vez. Se pide a los alumnos que mental-mente, es decir, sin utilizar lápiz ni papel, encuen-tren todos los pares de números que al multiplicarseden los resultados señalados. Por ejemplo, el 42 seobtiene al multiplicar 2 × 21, 6 × 7 y 14 × 3.

___ × ___ = 15 ___ × ___ = 36___ × ___ = 42 ___ × ___ = 81___ × ___ = 72 ___ × ___ = 63___ × ___ = 56 ___ × ___ = 1___ × ___ = 64 ___ × ___ = 0

Cuando terminen de resolver cada ejercicio expli-can cómo hicieron para encontrar los números

buscados. Después se plantean preguntas como lassiguientes: ¿qué sucede con la multiplicación queda cero como resultado? ¿Cuántos pares de núme-ros dan cero? ¿Cómo caracterizarías a estos paresde números?

5.5.5.5.5. Calcular mentalmente el resultado de las siguien-tes divisiones:

a.a.a.a.a. 24 ÷ 8 32 ÷ 4 49 ÷ 7 0 ÷ 3

b.b.b.b.b. 30 ÷ 10 1 400 ÷ 109 000 ÷ 100 42 000 ÷ 1 000

c.c.c.c.c. 80 ÷ 20 120 ÷ 40 240 ÷ 60720 ÷ 90 810 ÷ 90

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12

NÚMERO

DE NARANJAS

COSTO ($) PUESTO A PUESTO B PUESTO C

127.50

1819.20

45.0036

7Sobre ruedas

• Que los alumnos resuelvan problemasde variación proporcional directacompletando tablas.

El maestro copia en el pizarrón los dibujos y la tabla,organiza al grupo en equipos y les plantea lassiguientes actividades, cuando los alumnos termi-nen se discute cada una y se comparan los resulta-dos y los procedimientos.

1. 1. 1. 1. 1. En el mercado hay varios puestos de naranjas,¿en cuál puesto conviene comprar?

4.4.4.4.4. En otra sesión se presenta el siguiente problema:

Mientras la rueda roja da dos vueltas, la ruedaverde aproximadamente da tres vueltas. Com-pletar la siguiente tabla:

NÚMERO DE VUELTAS

DE LA RUEDA ROJA

3 4 6

1 2 6

Después de que los alumnos hayan terminado decompletar las tablas de cada punto, se realiza unapuesta en común para que expliquen y comparenlos procedimientos utilizados.

3.3.3.3.3. Resuelvan los siguientes problemas:a) Un señor llega a comprar una naranja al puesto

C, ¿cuánto tiene que pagar por ella?b) La señora Paquita da el mismo precio que en el

puesto A, pero hizo bolsas de 4, 6, 8 y 10naranjas. ¿Cuál es el precio de cada bolsa?

c) Don Enrique quiere vender naranjas y deseadar más caro que el puesto B, pero más baratoque en el C, ¿a cómo debe vender las naranjas?

2.2.2.2.2. Completen la tabla con base en los datos delpunto 1 y después elaboren la gráfica correspon-diente para cada puesto.

NÚMERO DE VUELTAS

DE LA RUEDA VERDE

Puesto A

$ 4

Puesto B

$ 5

Puesto C

$ 3

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�5.5.5.5.5. Por último, se retoma la tabla ya completa delpunto 4, y se plantean problemas como los siguien-tes:

Si se conoce la distancia recorrida de la rueda rojapara dos y tres vueltas, ¿cómo se puede calcular,a partir de estos datos, la distancia de esa ruedacuando da cinco vueltas?Si se elige una columna de la tabla y se calcula elcociente entre el número de vueltas de la ruedaverde y el número de vueltas de la rueda roja,¿qué resultado se obtiene? ¿Qué significa dichoresultado? Si se obtiene el cociente con los datosde otra columna de la misma tabla, ¿qué resulta-do se obtendrá?

Al terminar cada actividad se realiza una exposi-ción general para comparar los resultados y los pro-cedimientos utilizados.

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8¡Constrúyela!

• Que los alumnos desarrollenla habilidad para trazar figurasmediante instrucciones escritas.

Se plantean a los alumnos las siguientes actividadespara que las resuelvan en equipos de dos o tresintegrantes.

1.1.1.1.1. Dibuje en el pizarrón la figura 1, es decir, uncírculo C de centro O con un punto exterior A. Pidaa sus alumnos que lo copien y a partir de ese dibujorealicen las siguientes instrucciones.

a.a.a.a.a. Trazar la recta OA.b.b.b.b.b. Trazar el círculo de centro A que pase por O.

c.c.c.c.c. Prolongar la recta OA, de tal manera que corte alcírculo de centro A.d.d.d.d.d. Marcar el punto M donde el círculo trazado, concentro A, corta a la recta OA.e.e.e.e.e. Marcar los puntos P y Q en los que el círculotrazado se intersecta con el círculo C.f.f.f.f.f. Trazar las rectas MP, PQ y QM.

¿Qué figura se obtuvo?

2.2.2.2.2. A partir del ejercicio anterior se pide a losalumnos que reunidos en equipos elaboren unasecuencia de instrucciones para trazar un triánguloequilátero. Después de que terminan se lasintercambian y siguen las instrucciones que lestocó. Si no llegan a construir el triángulo equiláterorevisan en dónde estuvo el error: si en las instruc-ciones o en los trazos.

3.3.3.3.3. Se entrega a los alumnos una copia de la figura2 y se pide que la reproduzcan más grande. Paraello se debe comenzar por el trazo de un círculo de8 cm de radio. Luego comentan a los demás com-pañeros los pasos que siguieron.

O A

Figura 3Figura 3Figura 3Figura 3Figura 3



C

A

B

M R

N S

T UQP

C1 C2

fich mat 6/bueno 25-40 5/29/01, 4:39 PM25

�4.4.4.4.4. En otra sesión se presenta la siguiente lista deinstrucciones para que los alumnos obtengan lafigura 3 (los alumnos no deben ver la figura antes dedibujarla):

a.a.a.a.a. Trazar un segmento PQ de 4 cm.b.b.b.b.b. Trazar el círculo C1 de centro P y 4 cm de radio.c.c.c.c.c. Trazar el círculo C2 de centro Q y 4 cm de radio.d.d.d.d.d. Llamar A y B a los puntos de intersección de losdos círculos.e.e.e.e.e. Trazar la recta PA, de tal manera que corte alcírculo C1 en dos puntos.f.f.f.f.f. Llamar N al segundo punto de intersección de larecta PA con el círculo C1.g.g.g.g.g. Trazar la recta QA, de tal manera que corte alcírculo C2 en dos puntos.h.h.h.h.h. Llamar S al segundo punto de intersección de larecta QA con el círculo C2.i.i.i.i.i. Trazar la recta PB, de tal manera que corte alcírculo C1 en dos puntos.j.j.j.j.j. Llamar M al segundo punto de intersección de larecta PB con el círculo C1.k.k.k.k.k. Trazar la recta QB, de tal manera que corte alcírculo C2 en dos puntos.

l.l.l.l.l. Llamar R al segundo punto de intersección de larecta QB con el círculo C2.m.m.m.m.m. Prolongar el segmento PQ, de manera que cortea los dos círculos.n.n.n.n.n. Llamar T al punto en que la recta PQ corta alcírculo C1.ñ.ñ.ñ.ñ.ñ. Llamar U al punto en que la recta PQ corta alcírculo C2.o.o.o.o.o. Con centro en U y una abertura igual al radio deC2, trazar un arco que vaya de S a R.p.p.p.p.p. Con centro en T y una abertura igual al radio deC2, trazar un arco que vaya de M a N.q.q.q.q.q. Con centro en B y una abertura igual al diámetrode C1, trazar un arco que vaya de M a R.r.r.r.r.r. Con centro en A y una abertura igual al diámetrode C1, trazar un arco que vaya de N a S.s.s.s.s.s. Colorear la figura con dos colores.

Una vez que los alumnos terminaron la figura, lacomparan con la que el maestro trazó; si no coin-cide, buscan en dónde estuvo el error.

Cada vez que los alumnos terminan una actividadse realiza la comparación de las figuras y de losprocedimientos utilizados para obtenerlas.

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Organizados en equipos de tres integrantes seplantean a los alumnos las siguientes situaciones:

1.1.1.1.1. Dibujar en una hoja de papel cuadriculado todoslos rectángulos que tengan 64 cuadritos y cuyoslados midan un número entero de los mismos.¿Cuál es el de menor perímetro? Expresar en formade producto el área de cada uno de los rectángulos.

2.2.2.2.2. ¿Cuántos terrenos de forma rectangular, cuyoslados midan cantidades enteras de metros, tienenuna superficie de 120 m2? ¿Qué dimensiones tienecada uno de ellos? Organiza los datos en un tablacomo la que se muestra:

¿Quién soy,múltiplo o divisor?

BASE EN m ALTURA EN m ÁREA EN m2

1 120 120

2 60 120

Después de que los alumnos hayan terminadopasan al pizarrón a escribir las dimensiones de losterrenos encontrados.

3.3.3.3.3. A continuación se retoman las expresionesmultiplicativas de los ejercicios 1 y 2 para introducirlas nociones de múltiplo y divisor de un número.

• Que los alumnos comprendanlas nociones de múltiplosy divisores de un número,a partir de la resoluciónde problemas.

• Deduzcan la nociónde mínimo común múltiplo.

9

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En el problema del punto 1, por ejemplo, 64 esmúltiplo de 1 y 64, porque multiplicados dan 64.Lo mismo sucede con los números de los otrosproductos. En el segundo problema 120 es múltiplode 2 y de 60, porque el producto de esos númeroses igual a 120. A su vez, cada uno de estos nú-meros, por ejemplo, el 1 y el 64, son divisores de64, así como 2 y 60 de 120, porque al multiplicarlosdan 64 y 120, respectivamente.

1 × 64 = 64 64 es múltiplo de 1 y de 64.1 y 64 son divisores de 64.

2 × 60 = 120 120 es múltiplo de 2 y de 60.2 y 60 son divisores de 120.

4.4.4.4.4. La noción de múltiplo es útil para resolverdeterminados tipos de problemas. Se sugiere plan-tear a los alumnos los siguientes problemas paraque comprendan la noción de mínimo comúnmúltiplo.

a. a. a. a. a. Dos agentes de medicinas visitan periódicamen-te una farmacia; el primero cada 6 días, el segundocada 9 días. Si la última vez que ambos se vieron fueel 7 de enero, ¿cuándo volverán a encontrarse?b.b.b.b.b. Una persona muy enferma debe tomar una píl-dora roja cada 3 horas, una amarilla cada 4 y unablanca cada 8. ¿Cada cuántas horas le toca tomarlas tres píldoras juntas?

Los alumnos pueden utilizar diferentes procedi-mientos para resolver dichos problemas: dibujos,cálculos, la calculadora, etcétera. Lo importante esque, por ejemplo, en el primer problema, en el quelos agentes se encuentran a los 18 días, los alumnos

se den cuenta de que 18 es el mínimo comúnmúltiplo entre 6 y 9; es decir, el primer agentevisitará la farmacia a los 6, 12, 18, 24, 36 días,etcétera, desde que se encontró con el otro agentey el segundo agente visitará la farmacia a los 9, 18,27, 36, 45 días, desde que se encontraron. Portanto, los dos agentes se encontrarán a los 18, 36días, etcétera, que son los múltiplos comunes a 6 ya 9. Pero la próxima vez de encuentro, después del7 de enero, será a los 18 días; es decir, el 25 deenero. Entonces, el 18 es el menor de los múltiploscomunes. La reflexión de que el número 18 es elmúltiplo común menor debe hacerse después deque los alumnos hayan resuelto el problema.

�

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10 A igual volumen,¿igual área?

• Que los alumnos, mediantela resolución de problemas,deduzcan la fórmula del volumeny del área total de prismas.

1.1.1.1.1. Reunidos en equipos de cinco integrantes cadaalumno realiza, en una hoja blanca, un patrón deun cubo de 4 centímetros de arista. Luego escogenuno de los desarrollos planos de cubos que realiza-ron y utilizando una hoja de cartulina cada alumnoarma 11 cubos. Si no terminan de armarlos en laclase los hacen en su casa.

a.a.a.a.a. Observan los dibujos que se presentan en lalección, estiman el total de cubos de cada cuerpoy lo anotan debajo de cada dibujo. Para comprobarsi su estimación es correcta arman cada cuerpo,cuentan el total de cubitos usados y contestan laspreguntas que se formulan en la lección.

b.b.b.b.b. Cada alumno realiza en una hoja cua-driculada un dibujo de cada cuerpo

armado, visto de frente. Des-pués de que terminan com-paran los dibujos obtenidos.

2.2.2.2.2. Los alumnos, reunidos enequipos de cinco integran-

tes, arman los prismas que sedescriben en la tabla de la pá-gina 44 del libro de texto y la

completan.

a.a.a.a.a. Cuando terminan de completar la tabla analizancómo varían las cantidades que aparecen. Paraello, el maestro plantea problemas como lossiguientes:

En un nivel hay seis cubos. Si el número de nivelesse duplica, ¿cuántas veces aumenta el número decubos? ¿Cuántos cubos hay?Si con 12 cubos se arma un prisma de dos niveles,con 12 cubos más, ¿cuántos niveles se puedenagregar?¿Cuántas veces aumentó el número de niveles?¿Cuántas veces aumentó el número de cubos?

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�

3.3.3.3.3. En otra sesión se pide a los alumnos que reunidosen equipos armen un prisma utilizando 36 cubos.Una vez que terminaron se les pregunta:

¿Cuántos cubitos tiene el prisma?¿Cuál es su volumen?¿Cómo expresarían el número total de cubitospor medio de una multiplicación?¿Cuántas caras tiene?¿Cuántos cuadritos tiene cada cara?¿Cuál es el área total del prisma en cuadritos?

a.a.a.a.a. En el pizarrón se completa una tabla como la quese muestra, a partir de los diferentes prismas obte-nidos.

Se analizan los datos de la tabla y se conducen losejemplos, de manera que se vea que varios cuerpospueden tener el mismo volumen, aun cuando suforma es distinta.b.b.b.b.b. Se pide a los alumnos que armen un prisma con24 cubos, cuya área total en cuadritos sea la máxi-ma. Cuando los equipos hayan terminado compa-ran los prismas obtenidos.

PRISMA LARGO ANCHO ALTURA ÁREA VOLUMEN

DE LA BASE DE LA BASE TOTAL

Equipo 1 3 cuadritos 2 cuadritos 6 cuadritos 72 cuadritos 36 cubitos

c.c.c.c.c. Se pide a los alumnos que con los cubos constru-yan un prisma cuya área total sea de 50 cuadritos ysu volumen en cubitos sea el máximo. Cuando losequipos hayan terminado comparan los prismasobtenidos.

Al terminar cada actividad los alumnos explicancómo la resolvieron y a qué resultado llegaron.

d.d.d.d.d. Por último, se formulan las siguientes preguntas:

¿Qué forma tiene la unidad que se utilizó paramedir el volumen de los cuerpos?

¿Qué forma tiene la unidad que se utilizó paracalcular el área total de cada cuerpo?

A partir de estas preguntas se pueden analizar, demanera intuitiva y con los alumnos, el nombre de lasunidades de volumen y el de las unidades de su-perficie, por ejemplo, metros cúbicos o metroscuadrados.

Nota: m3 proviene de una multiplicación depotencias de igual base: m1 × m1 × m1 = m3.

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11Los mensajes

1.1.1.1.1. Reunidos en equipos reproducir en una hoja depapel los patrones 1, 2, 3 y 4 y armar cada unode los cuerpos. Si no es posible que cada equipotenga una copia de estos patrones, se puedenmostrar los cuerpos armados y que los alumnostomen las medidas que necesitan y realicen elpatrón para luego armarlo.

Una variante de esta actividad puede consistir enque los alumnos los reproduzcan con sus dimensio-nes duplicadas.

2.2.2.2.2. En otra sesión cada equipo escoge uno de loscuerpos que construyó y escribe un mensaje a otroequipo para que éste elija el cuerpo que correspon-de al mensaje. El mensaje escrito debe describir alcuerpo sin dar su nombre.

• Que los alumnos realicenlos patrones de diferentescuerpos.

• Analicen las característicasde algunos cuerpos.

Patrón 1Patrón 1Patrón 1Patrón 1Patrón 1




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3.3.3.3.3. Para cada cuerpo que han construido deberánescribir una carta descriptiva sobre:

Número de vérticesNúmero de aristasNúmero de carasForma de las caras

Luego pasan a otro equipo la descripción para queellos escriban el nombre del cuerpo de que se trata.


4.4.4.4.4. Reproducir dos veces el patrón 5 y armar loscuerpos. Ensamblarlos de diferentes formas (unien-do dos caras idénticas) y preguntar:

¿Alguno de los cuerpos que obtuvieron recibe unnombre especial? ¿Cuál? ¿Por qué?

Para cada cuerpo diferente que armen al unir losdos cuerpos, realizar una carta descriptiva como ladel ejercicio 3.

�

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¿De cuántasmaneras?

12

Si además tiene posibilidades de elegir entre aguade papaya o de tamarindo, ¿cuántas comidas dife-rentes puede escoger el cliente?

2.2.2.2.2. Para pintar el techo, los muros y la puerta de unacasa se dispone de tres colores: blanco, verde y azul,pero no se quiere utilizar el mismo color para pintardos partes distintas de la casa; por ejemplo, el techoy los muros no se deben pintar del mismo color. ¿Decuántas maneras diferentes se puede pintar la casa?

3.3.3.3.3. Se va a organizar un torneo de futbol en el queparticiparán cuatro equipos: Deportivo Bella Vista,Club Villa María, Club Tepic y Seguro Social. Cadaequipo debe jugar con todos los demás, una vez ensu cancha y otra en la del equipo contrario. ¿Cuán-tos partidos se realizarán en total?

Si el torneo empieza el tercer domingo de febrerodel año en curso y se lleva a cabo un partido cadadomingo y uno cada miércoles, ¿en qué fecha serála final? Si los alumnos necesitan un calendariopara resolver el problema, pueden utilizarlo.

Se organiza a los alumnos en equipos y se planteanlos siguientes problemas:

1.1.1.1.1. En un restaurante un cliente puede escoger unasopa, un guisado y un postre del menú que semuestra. Por ejemplo, puede escoger arroz, bistecy nieve o arroz, pollo y gelatina. ¿De cuántasmaneras pueden combinar sus alimentos las perso-nas que comen ahí? Para verificar las respuestas sepresenta el siguiente diagrama de árbol para quelo completen.

• Que los alumnos resuelvanproblemas de combinatoriamediante el conteo.

• Utilicen el diagrama de árbolcomo estrategia para resolverproblemas de combinatoria.

Menú

Pollo

Arroz

Espagueti

BistecNieve

Gelatina

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�4.4.4.4.4. En la escuela de Pedro además de las materias desexto grado los alumnos pueden elegir dos talleres.Los talleres que se proponen este año son lossiguientes:

Música (M) Electricidad (E)Deportes (D) Repostería (R)Artesanía (A) Pintura (P)

¿Cuáles son las posibles elecciones que puederealizar Pedro? Para simplificar la tarea se sugiereque los alumnos sólo escriban la letra inicial deltaller.

Cada vez que los alumnos terminen de resolverun problema se les motiva para que expliquen a losdemás la forma en que lo resolvieron, con el pro-pósito de que comparen los resultados y los proce-dimientos utilizados. Si al resolver los problemas losalumnos no utilizan el diagrama de árbol, se sugierepresentárselos como otra forma de resolución.

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13Popotes ypalillos

a.a.a.a.a. Dibujar uno de los palillos utilizados.

3.3.3.3.3. Se utilizaron varios popotes del mismo tamañopara hacer una figura de lados iguales y no sobrónada. Los popotes que se utilizaron y el tamaño decada lado de la figura son como los que se mues-tran:

• Que los alumnos establezcancomparaciones entre las partesresultantes de un reparto.

Se organiza el grupo en equipos y se plantean lassiguientes actividades:

1.1.1.1.1. Con tres popotes del mismo tamaño se formó uncuadrado y no sobró nada. El lado del cuadrado esdel tamaño que se muestra:

a.a.a.a.a. Dibujar uno de los popotes enteros.b.b.b.b.b. Para verificar la respuesta anterior se sugiere quelos alumnos modelen el problema, para lo cualdeben recortar tres tiras de cartoncillo que repre-senten a los popotes, unirlas (sin encimarlas) ypartirlas en cuatro partes iguales. Luego comprue-ban si tres de las partes obtenidas son del mismotamaño de la que se muestra.

2.2.2.2.2. Con cuatro palillos de madera del mismo tamañose formó un triángulo equilátero y no sobró nada.El lado del triángulo equilátero es del tamaño quese muestra:

Longitud del popote

Lado

¿Qué figura con lados iguales se logró formar?¿Cuántos popotes enteros se utilizaron?

4.4.4.4.4. Para hacer un triángulo equilátero se utilizaroncinco popotes sin que sobrara nada.

a.a.a.a.a. Representar en la recta AB el tamaño de cadalado del triángulo (no se vale dibujar más popotes).

Longitud del popote

A B

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�Al terminar de resolver cada problema, un inte-grante de cada equipo explica a los demás cómo lohicieron y a qué resultado llegaron. Es importanteque los demás compañeros hagan todas las pregun-tas que consideren necesarias para despejar susdudas.

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14Los rectángulos

• Que los alumnos tracen una figura aldoble de su tamaño original, con reglay escuadra.

• Identifiquen si hay o noproporcionalidad entre la figuraoriginal y la ampliada.

1.1.1.1.1. Se entrega una copia del dibujo que se muestraa cada equipo, formado por cuatro integrantes, y sepide que lo reproduzcan en una hoja de papel aldoble de sus dimensiones.

a. a. a. a. a. ¿Qué relación tienen el largo y el ancho de losdiferentes rectángulos?b. b. b. b. b. Completar la tabla que aparece al reverso colo-cando la medida del largo y del ancho de cada unode los rectángulos.c.c.c.c.c. Si el largo y el ancho del rectángulo inicial miden24 y 20 cm, respectivamente, ¿cuánto miden ellargo y el ancho del rectángulo 2? ¿En qué rectán-gulo el largo y el ancho miden la mitad del largo ydel ancho, respectivamente, del rectángulo 2?

d.d.d.d.d. Enumerar los rectángulos cuyos largo y anchoaumentan o disminuyen de manera proporcional alrectángulo inicial.e.e.e.e.e. Enumerar los rectángulos cuyos largo y ancho sonproporcionales al rectángulo 1.f.f.f.f.f. Calcular para cada uno de los rectángulos elcociente entre el largo y el ancho. ¿Cuántos resul-tados diferentes hay?

1

2

36

4

5

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�

g.g.g.g.g. Trazar en una hoja blanca un par de ejes decoordenadas y representar la medida del largo en eleje vertical y en el eje horizontal la medida del anchode los rectángulos del punto d. En otro par de ejeshacer lo mismo para los rectángulos del punto e.h.h.h.h.h. ¿En qué se parecen los rectángulos cuyo largo yancho son proporcionales al rectángulo inicial? ¿Ylos que son proporcionales al rectángulo 1?

Al terminar de resolver la actividad se realiza unapuesta en común con el propósito de revisar losprocedimientos utilizados y los resultados.

RECTÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO

INICIAL 1 2 3 4 5 6

LARGO

EN cm

ANCHO

EN cm

24 20

20 12

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¡Tengo menos cifras,pero soy más grande!

15

Se plantea a los alumnos, reunidos en equipos detres a cinco integrantes, los siguientes problemas:

1.1.1.1.1. Completar la tabla que se muestra en el reverso.Indicar el número, la parte entera y la parte deci-mal, según sea el caso.

a.a.a.a.a. Ordenar de mayor a menor los números decima-les de la tabla.

2.2.2.2.2. El número 7.42 se puede escribir de tres formasdiferentes:

7.42 = 7 + 0.42

7.42 = 7 +

7.42 = 7 + +

Escribir de estas tres formas los siguientes números:

12.4 12.04 12.0040.91 9.1 91.053.406 3.040 30.400

3.3.3.3.3. Escribir los siguientes números en forma de nú-meros con punto decimal:

• Que los alumnos desarrollenla habilidad para compararnúmeros decimales.

5 + + +

4 +

+

¡Yo soy un entero con veinticinco centésimos!

¡Yo también!

¡Tengo menos cifras quetú, pero soy más grande!

421004

102

100

310

2100

41000

3100

410

51000

410000

fich mat 6/bueno 25-40 5/29/01, 4:40 PM39

�

4.4.4.4.4. Dibujar un segmento de 5 cm como el que semuestra, ubicar el 4 y el 9 en sus extremos ygraduarlo en mm:

4 9

Marcar:El punto A, que corresponde al 7.5El punto B, que corresponde al 8.2El punto C, que corresponde al 5.3

a.a.a.a.a. Trazar nuevamente el segmento, ubicar el 4 y el4.5 en sus extremos y graduarlo de 5 en 5 mm.

Marcar:El punto D, que corresponde al 4.15El punto E, que corresponde al 4.37El punto F, que corresponde al 4.44

b.b.b.b.b. Trazar nuevamente el segmento, ubicar el 4 y el4.05 en sus extremos y graduarlo de 5 en 5 mm.

Marcar:El punto G, que corresponde al 4.01El punto H, que corresponde al 4.035El punto I, que corresponde al 4.021

c.c.c.c.c. Juntar los números de los tres puntos y ordenarlosde menor a mayor.

Al terminar la actividad se muestran los resultadoscon el propósito de revisar los diferentes procedi-mientos y los resultados obtenidos.

NÚMERO 1.452 27.012 193 0.0521

PARTE ENTERA 48 1 986

PARTE DECIMAL 0.0135 0.5

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16Midiendocon regletas

• Que los alumnos expresencomo fracción impropiay como fracción mixta la medidade diferentes segmentos.

• Comparen longitudesexpresadas en fracciones mixtas.

• Resuelvan problemas de sumay resta de fracciones mixtas.

LONGITUD DEL SEGMENTO

Fracción Fracciónimpropia mixta

AB Azul 143

BC Negra 3

27

CD Morada 314

DE Café 2

58

SEGMENTO REGLETA

Se sugiere que cada equipo elabore sus regletas conanticipación.

1.1.1.1.1. Con las regletas que construyeron los alumnosforman y dibujan los segmentos que se detallan enla tabla. Luego completan la tabla con la medida decada segmento como fracción mixta o impropia,según corresponda.

Y o mido de la

regla verde, ¿y tú?

73

16

Y o mido 1 regleta morada

y más

MaterialPara cada equipo un juego de regletas de 1 cm deancho y del largo y color que se indica a continua-ción:

10 anaranjadas de 10 cm11 azules de 9 cm12 cafés de 8 cm14 negras de 7 cm16 moradas de 6 cm20 amarillas de 5 cm25 rosas de 4 cm33 verdes de 3 cm50 rojas de 2 cm100 blancas de 1 cm

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:27 PM41

a.a.a.a.a. Con la regleta roja miden cada uno de lossegmentos dibujados en el inciso anterior y com-pletan la tabla con la medida de cada segmentoexpresada como fracción mixta.b.b.b.b.b. Por último, se propicia una discusión sobrecuándo es posible comparar las medidas de lossegmentos, ¿en el primer ejercicio o en el segundo?

SEGMENTO AB BC CD DE

Medidaen regletas rojas

2.2.2.2.2. En otra sesión se pide a los alumnos que resuel-van los siguientes problemas con las regletas:

a.a.a.a.a. El segmento MN mide 4 56 de regletas moradas y

el segmento PQ mide 3

10 de regletas moradas. Sin

utilizar las regletas, ¿cuál segmento es más largo?Comprobar la respuesta con las regletas. ¿Por cuán-to es más grande?b.b.b.b.b. Se construye una banda AAAAA que mide

25 de regleta

anaranjada, otra BBBBB que mide 12 de regleta anaran-

jada y la CCCCC que mide 62 de las mismas regletas. Si se

juntan las tres bandas (sin encimarlas) y se hace unasola, ¿cuánto mide esta banda? Comprobar la res-puesta con el material.c.c.c.c.c. Se pide a los alumnos que dibujen un triánguloque tenga las siguientes medidas 13, 9 y 5 cm y, quecalculen su perímetro en regletas moradas y negras.Finalmente, se les pide el nombre de ese triángulo.

�

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:27 PM42

23

17

• Que los alumnos analicenla relación entre tablasde variación proporcionaly las gráficas.

• Analicen algunaspropiedades de la variaciónproporcional directa.

Mido dos verdes,¿quién soy?

Se organiza el grupo en equipos y realizan lassiguientes actividades.

1.1.1.1.1. Se dibujan las tablas 1 y 2 en el pizarrón y se pidea los alumnos que las copien en su cuaderno y lascompleten, utilizando fracciones para representarlos resultados que no son enteros. Pueden realizarcálculos o utilizar gráficas como la que se muestra.

MaterialLas regletas de cartoncillo utilizadas en la ficha 16.

3

6

9

3 6 9 12 15 18 210 24 27

12

NÚMERO

DE REGLETAS VERDES

Número deNúmero deNúmero deNúmero deNúmero deregletas negrasregletas negrasregletas negrasregletas negrasregletas negras

Tabla 1

7 3

4

14 6

7

21 9

25

NÚMERO

DE REGLETAS NEGRAS

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM43

Tabla 2Tabla 2Tabla 2Tabla 2Tabla 2

¿Qué cálculos hicieron para completar las tablas?

Un integrante de cada equipo pasa al frente yexplica los procedimientos utilizados.

Se aprovecha esta situación para analizar las pro-piedades de dobles, triples, mitades, etcétera, quese verifican en tablas de variación proporcionaldirecta.

Pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesia-nas para encontrar los valores faltantes; por ejem-plo, para completar la tabla 1 buscan el 4 en el ejeen que está representado el número de regletasnegras y el punto de la recta que le corresponde yluego identifican en el otro eje el número de re-gletas verdes que le corresponde.

2.2.2.2.2. En otra sesión se pueden presentar otras tablas,como las siguientes, para que los alumnos lascompleten:

NÚMERO

DE REGLETAS CAFÉS

NÚMERO

DE REGLETAS VERDES

5 13

8

1 3 5 8

NÚMERO

DE REGLETAS NEGRAS

NÚMERO

DE REGLETAS ROJAS

1 2 3 5

7 24 12

a.a.a.a.a. Los alumnos pueden verificar si los valores quecolocaron en las tablas son correctos, representan-do cada tabla en un par de ejes de coordenadascartesianas. Si los puntos no quedan alineados esporque el valor obtenido es incorrecto y en ese casoserá necesario revisar el procedimiento.

Es importante que cuando los alumnos terminencada actividad expliquen a los demás compañeroslos procedimientos que utilizaron en cada caso,para obtener los valores faltantes.

�NÚMERO NÚMERO

DE REGLETAS AZULES DE REGLETAS ROSAS

1

2

3

4 9

5

6

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM44

Yo soy

igua

l

al pr

oduc

to de

l coc

iente

por e

l divi

sor m

ás

el re

siduo

Divisiones exactasy no exactas

1.1.1.1.1. Se presenta la siguiente tabla en el pizarrón, sepide a los alumnos que la copien y la completenescribiendo todas las multiplicaciones que dancomo resultado los números del 2 al 36 y la lista delos divisores de cada uno de ellos:

a.a.a.a.a. Se pide a los alumnos que marquen con uncírculo rojo los números que sólo tienen comodivisores al 1 y al mismo número. Por ejemplo, el 2

18

NÚMERO MULTIPLICACIONES DIVISORES

2

3

4

5

6 1 × 6, 2 × 3 1, 2, 3 y 6......

36

tiene como únicos divisores al 1 y al 2. A esosnúmeros se les llama números primos.b.b.b.b.b. Con ayuda de la tabla que completaron en elejercicio anterior, se pide a los alumnos que elabo-ren una lista de los divisores comunes a cada parejade números y encuentren el máximo de los diviso-res comunes.

24, 32 36, 27 23, 2917, 25 28, 35 25, 2732, 30 18, 36

• Que los alumnos resuelvanproblemas con el máximocomún divisor entre doso más números.

• Desarrollen la habilidadpara resolver rápidamenteuna división exacta entre dosnúmeros naturales.

• Encuentren la relaciónentre el dividendo y el divisor,el cociente y el residuo.

Yo soy igualal producto del cociente

por el divisor más el residuo

Yo soy igualal producto del cociente

por el divisor más el residuo

Yo soy igual

al producto del cociente

por el divisor más

el residuo

Yo soy igual

al producto del cociente

por el divisor más

el residuo

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM45

�2.2.2.2.2. Completar las siguientes divisiones:

30 ÷ 3= 12 ÷ 3=

a.a.a.a.a. Utilizando los resultados anteriores calcular42 ÷ 3.b.b.b.b.b. Discutir con los compañeros del equipo la mane-ra más rápida para calcular las siguientes divisiones:

51 ÷ 3 65 ÷ 5 84 ÷ 7

A continuación se pide que inventen otros ejerci-cios de división para que apliquen el procedimien-to anterior.

3.3.3.3.3. En otra sesión se plantean los siguientes proble-mas:

a.a.a.a.a. Si alguien quiere dividir dos tramos de cuerdaque miden 32 y 36 metros, respectivamente, entrozos del mismo tamaño sin que el material sedesperdicie, ¿cuál es la longitud más grande quepuede tener cada trozo?

b.b.b.b.b. Si partimos un bloque de piedra que mide 12 dmde ancho, 18 dm de largo y 30 dm de fondo enbloques cúbicos del mayor tamaño posible, igualesentre sí y sin que sobre piedra, ¿de qué tamaño sonlos bloques más grandes que pueden utilizarse?¿Cuántos cubos se obtuvieron?c.c.c.c.c. ¿Cuáles son los números que al dividirse entre 5y entre 7 dejan un residuo igual a 3?

Después de que los alumnos encuentren el pri-mer número se sugiere reflexionar sobre la relaciónentre los elementos de una división. Por ejemplo, siel número encontrado fue 38, se verificó que:

7

5 38

3

5

7 38

3

Además, 38 = 7 × 5 + 3, en ambos casos.

¿Qué número se obtiene si la expresión 7 × 5 lamultiplicamos por 2, y sumamos 3 al resultado?

Luego se pide que el número obtenido, en estecaso 73, lo dividan entre 7 y entre 5.

¿Cuál es el resto en cada caso?¿Cómo se encontrarían otros números tales queal dividirlos entre 7 y entre 5 tuvieran un residuoigual a 3?

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM46

19¿Qué hace faltapara responder?

• Que los alumnos identifiquenlos datos faltantes o sobrantesen un problema.

Los alumnos, organizados en equipos resuelven lossiguientes problemas.

1.1.1.1.1. Responder las preguntas que se puedan contes-tar a partir de la información incluida en la ilustra-ción 1.

¿Cuánto mide el diámetro de la Tierra?¿Cuál es la superficie terrestre?, ¿y la marítima?¿Cuál es la capa más gruesa de la Tierra?, ¿cuál essu espesor?¿Cuál es la capa más consistente?

2.2.2.2.2. Discutir con los compañeros si es posible resolverel siguiente problema; si no, indicar por qué.

Un fotógrafo solicita un crédito para comprarmaterial fotográfico para completar su equipo. Loscuatro artículos que desea comprar aparecen alreverso en la ilustración 2.

a.a.a.a.a. Realizar un cálculo para ver si le alcanza el di-nero.b.b.b.b.b. Si el dinero sólo le alcanza para tres artículos,¿cuáles de ellos puede comprar? Exponer todas lasposibles soluciones.

Como ha podido observarse, el problema nose puede resolver porque no se sabe de cuánto essu crédito. Ahora deben resolverlo sabiendo que elcrédito es de $ 10 000.


100 km

2 390 km5 100 km 6 370 km

Corteza

terrestre

Parte

superior

del manto

Núcleo

externo

Manto

de magma

fluido

Núcleo

interno

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM47

�


3.3.3.3.3. En un anuncio de un periódico aparece la si-guiente información:

Si un señor gana $ 959.63 por quincena y dispo-ne de $ 150 por semana para comprar el refrigera-dor, ¿en qué plan puede incorporarse? ¿Cuál leconviene más?

¿En cuál de los tres planes de financiamiento esmás barato el refrigerador?¿Es suficiente la información que se proporcionapara responder a las preguntas anteriores?¿Qué información falta?

Cuando los alumnos llegan a la conclusión de quepara saber en qué plan es más barato el refrigeradores necesario saber cuántas mensualidades, quince-nas o semanas se deben pagar, se les proporcionanlos siguientes datos: 12 mensualidades, 24 quince-nas y 48 semanas.

Cuando los alumnos terminan de resolver cadaproblema, se propone que piensen otras preguntasa partir de los datos que se presentan en cada caso.

Se vende refrigerador, 14 pies,gran capacidad.

300 pesos por mes,200 pesos por quincenao 150 pesos por semana.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM48

20Usode fracciones

2. 2. 2. 2. 2. Se solicita a los alumnos que midan cada lado delas figuras que se muestran en la ilustración 3,utilizando como unidad de medida una tira U,como la que se muestra en la ilustración 2.

a.a.a.a.a. Se pregunta a los alumnos si el perímetro de cadafigura es más grande o más chico que la unidad demedida usada. Luego calculan el perímetro de cadafigura expresando el resultado en la unidad U demedida, y verifican si el perímetro es más grande omás chico que la unidad U.b.b.b.b.b. Para verificar si el resultado que obtuvieron decada perímetro es correcto, los alumnos puedenconstruir cada figura con tiras de papel.c.c.c.c.c. En otra sesión puede repetirse la actividad ante-rior, pero utilizando la unidad P de medida.d.d.d.d.d. Una vez que los alumnos hayan terminado laactividad anterior se comparan los perímetros queobtuvieron de cada figura, utilizando las unidadesU y P y se pregunta ¿por qué se obtienen resultadosdiferentes en cada caso?

Se organiza a los alumnos en equipos de tresintegrantes y se plantean los siguientes problemas:

1.1.1.1.1. Los alumnos de cada equipo dibujan en suscuadernos seis segmentos de diferente tamaño,como los que se muestran en la ilustración 1, y sepide que los midan utilizando la unidad U demedida. Por ejemplo, la medida del segmento PQes de

34 de U.

a.a.a.a.a. Luego ordenan de mayor a menor las medidasobtenidas.

Material

Para cada equipo dos tiras de papel P y U (U mide 23

de P), como las que se muestran en la ilustración 2.

• Que los alumnos resuelvanproblemas de fraccionescomo resultado de medicionesy de repartos.

P

G

I

A

C

E

R

Q

H

J

B

D

F

S

U

P

A B

C

R

T

M

S

JI

KL

E H

GF




fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM49

Tira de papel

Tira de papel

�

3.3.3.3.3. Si no se quiere desperdiciar papel para construirun papalote con forma de hexágono regular conseis triángulos y con tiras de papel, como las que semuestran en la ilustración 4, ¿cuántas tiras se nece-sitan?

4.4.4.4.4. Pedro y su papá hicieron un papalote en formade octágono regular con triángulos, como el que semuestra en la ilustración 5. Si cada triángulo ocupa

16 de una tira de papel, ¿cuánto papel usaron?

Dibujan el tamaño de la tira de papel utilizada.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM50

21¡A medirse ha dicho!

Los alumnos, reunidos en equipos de tres integran-tes, realizan las siguientes actividades:

1.1.1.1.1. Con el metro de madera medir el ancho del salónde clases y expresar la medida en metros, decíme-tros y centímetros.

a.a.a.a.a. Medir, con la regla, el ancho del libro de Mate-máticas y expresar la medida en decímetros, centí-metros y milímetros.b.b.b.b.b. Después de que realizan las mediciones, unintegrante de cada equipo pasa al pizarrón a escri-bir las medidas que obtuvieron. Si existen diferen-tes medidas, comentan las posibles causas.

Esta situación se aprovecha para hacer ver a losalumnos que cuando medimos no podemos decirque nuestra medida sea exacta, muchas vecesexisten pequeñas diferencias debido a que inter-vienen varios elementos, como son el objeto amedir, el instrumento de medición, la unidad conla que se mide y la persona que mide.

• Que los alumnos profundicensus conocimientos sobre los múltiplosy submúltiplos del metroal resolver problemas.

2.2.2.2.2. Se entrega a cada equipo un papelito con losdatos para que dibujen un segmento cuya longitudse encuentre entre las medidas que se detallan enla tabla, sin que los demás equipos se enteren.

EQUIPO SEGMENTO LONGITUD

1 AB Entre 36 y 37 mm

2 CD Entre 51 y 52 mm

3 EF Entre 43 y 44 mm

4 GH Entre 75 y 76 mm

5 PQ Entre 69 y 70 mm

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM51

�

1617

1819

2021


a. Los equipos se intercambian los cuadernos,miden el segmento dibujado y determinan, enmilimetros, la medida del segmento que han dibu-jado los compañeros del otro equipo.

b.b.b.b.b. Por último, se comparan las medidas obtenidaspor cada equipo con los datos de cada papelito.

3.3.3.3.3. Se dibuja en el pizarrón una regla como la queaparece en la ilustración 1 y se pregunta: ¿Cómomedirían con ella?

4.4.4.4.4. Supongamos que tienen varias reglas de 30 cma las cuales se les han borrado las divisiones, y quetienen varios lápices, todos del mismo tamaño.¿Cuánto mide cada lápiz si seis lápices miden lomismo que cuatro reglas?

5.5.5.5.5. Considerando que nuestro sistema de mediciónes decimal, contestar las siguientes preguntas:

¿Cuántos milímetros hay en 521 cm?

¿Cuántos hectómetros hay en 521 dm?¿Cuántos decímetros hay en 521 dam?

Al terminar cada ejercicio los alumnos comen-tan los resultados y los procedimientos utilizados

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:28 PM52

¿Cuántos metros hay en 521 cm?

Suma y restade fraccionesmixtas

1.1.1.1.1. Organizados en equipos los alumnos resuelvenlos siguientes problemas, utilizando sus propiosprocedimientos, se sugiere que, previo a ello, in-vestiguen qué es un año luz.a.a.a.a.a. La estrella Alfa Centauro está a 4

13 años luz de

distancia de la Tierra. Sirio se encuentra a 8 35 años

luz de distancia.

¿Cuál está más retirada de la Tierra? ¿Cuánto?¿Qué distancia hay entre ambas?

b.b.b.b.b. Una hormiga caminó por el borde de un jardínde forma rectangular, pasando por todos los

vértices. Si las dimensiones del rectánguloson 4

78 m por 6

56 m, ¿cuánto ha recorrido

la hormiga?c.c.c.c.c. Un pasajero sólo puede llevar 20 kilo-gramos de equipaje en un viaje poravión. Si Alfonso lleva 31 kilogramos

610 ,

¿cuál es su exceso de equipaje?d.d.d.d.d. Un corredor recorre 9

13 metros por

segundo, mientras que una serpienterecorre 1

45 metros por segundo. ¿Cuánto

corre más rápido el corredor que la ser-piente?

e.e.e.e.e. El auto de Juan tenía 6 12 litros de gasolina en el

tanque, le agregó 8 710 litros, ¿cuánta gasolina hay

ahora en el tanque? Si en el tanque caben 16 14

litros, ¿cuánto más se puede agregar?f.f.f.f.f. El rectángulo que se muestra a la dere-

cha representa el terreno de Francisco.¿Cuánto mide el perímetro del terreno?

• Que los alumnos resuelvanproblemas de suma y restade fracciones mixtas.

El terreno de Consuelo mide 76 30

100 metros deperímetro. ¿Cuál terreno necesita más alambrepara cercarlo con tres vueltas?

Después de que los alumnos terminan de resolvercada problema, un integrante de cada equipoexplica a los demás cómo lo resolvieron.

11

15 m

30

12 m

22

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:29 PM53

�

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:29 PM54

23Igualespero diferentes

Se presentan los siguientes problemas y se solicitaa los alumnos que reunidos en equipos los resuel-van con sus propios procedimientos.

1.1.1.1.1. En una tlapalería hay 52 metros de soga. ¿Hay

más o menos de un metro? ¿Cuántos metros com-pletos hay? ¿Cuánto sobra?

Después de que los equipos terminan, un inte-grante de cada uno pasa al pizarrón a explicar cómolo resolvieron.

A continuación el maestro les presenta el siguien-te procedimiento para resolver el problema. Lailustración 1 representa los

52 metros de soga. Como

se observa, hay 2 metros completos y sobra 12

metro; por tanto, hay 2 12 metros de soga. Ilustración 2Ilustración 2Ilustración 2Ilustración 2Ilustración 2


• Que los alumnos se familiaricencon el algoritmo que permiteconvertir una fracción impropiaen una fracción mixta y viceversa.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:29 PM55

�

2.2.2.2.2. El papá de Juan tiene una balanza muy antiguaque sólo utiliza pesas de

14 de kilogramo.

a.a.a.a.a. Expresar las medidas que se indican en lasbalanzas de la ilustración 2, como fracción mixta,utilizando pesas de 1 kilogramo, de

14 y de

12

kilogramo.b.b.b.b.b. Ordenar de mayor a menor las medidas obte-nidas.

3.3.3.3.3. Don Pedro, el lechero de la colonia Buenavista,utiliza un jarro de

14 de litro para despachar la leche.

Para tener control sobre las ventas y saber quécantidad de leche entrega, diariamente lleva unregistro de sus ventas. Éste es el registro semanal delas ventas de don Pedro:

a.a.a.a.a. Calcular la cantidad de litros que consume cadafamilia por semana y completar la tabla.b.b.b.b.b. Calcular la cantidad de litros que vendió donPedro cada día de la semana. ¿Qué día vendió másleche? ¿Cuántos litros vendió en la semana?

Cada vez que los alumnos terminan un proble-ma se realiza una exposición general para compa-rar los resultados y los procedimientos utilizados.

54

54

54

54

54

54

54

54

54

74

44

64

84

74

44

44

74

74

24

14

24

24

24

14

84

84

84

64

34

34

34

34

34

34

34

34

84

84

84

94

104

104

FAMILIA L M M J V S D TOTAL

Ruiz

Castro

Vega

Núñez

Pasos

González

Total

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:30 PM56

24¡Siempre nos toca lo mismo!

Se organiza a los alumnos en equipos de tres ocuatro integrantes y se plantean los siguientes pro-blemas:

1.1.1.1.1. Se reparten 2 litros de leche entre cinco niños, demanera que a todos les toque lo mismo y no sobreleche. ¿Cuánta le tocó a cada niño?

a.a.a.a.a. Si se reparten 4 litros de leche de tal manera quea cada niño le toque la misma cantidad que en elproblema 1, ¿para cuántos niños alcanza?b.b.b.b.b. Si se reparten 4 litros de leche entre cinco niños,¿cuánto le toca a cada uno? ¿A cada niño le toca lomismo que en el problema 1? ¿Qué debería suce-der para que cada niño reciba la misma cantidad deleche del problema 1?

c.c.c.c.c. ¿Cuántos litros de leche se necesitan repartir paraque 15 niños reciban la misma cantidad que en elproblema 1?d.d.d.d.d. Completar la tabla siguiente para que cada niñoreciba la misma cantidad de leche.

LITROS DE LECHE 2 6 8 12

NÚMERO DE NIÑOS 5 10 25 35

Después de que los niños resuelven cada proble-ma, el maestro pide que expliquen cómo lo hicie-ron y comparen los resultados obtenidos.

• Que los alumnos deduzcanel procedimiento para obtenerfracciones equivalentesal resolver problemasde reparto.

e.e.e.e.e. Escribir en forma de fracción la cantidad de lecheque le toca a cada niño.

¿Son iguales las fracciones?¿Le toca lo mismo a cada niño?¿Cómo son las fracciones entre sí?¿Qué significa que las fracciones sean equivalen-tes?

Explicar cómo se obtendrían las fracciones equi-valentes a que aparecen en la tabla.

Es importante propiciar entre los alumnos la dis-cusión para que deduzcan el procedimiento paraobtener fracciones equivalentes.

Además de esta actividad, pueden proponerseejercicios similares con reparto de pasteles, cani-cas, etcétera. En el caso de las canicas, las situacio-nes tendrán que plantearse de ma-nera que cada niño reciba unnúmero entero de ellas.

25

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:30 PM57

�

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:30 PM58

1

4

3

1 2 3

1

4

2

3

3 + 1

2 4

25La perinola

• Que los alumnos realicenjuegos de azar y representenlos resultados en una tabla.

MaterialDos cuadrados de cartoncillo de 5 centímetros delado y un lápiz, por pareja.

Para construir cada perinola se divide el cuadrado,se le escriben los números y se atraviesa con unlápiz, como se muestra en la ilustración 1.

1.1.1.1.1. Para jugar se reúnen en parejas y cada uno eligedos de los cuatro números. Por ejemplo, si eljugador A A A A A eligió el 2 y el 4, obtiene un punto cadavez que salga alguno de esos números; lo mismo siel jugador BBBBB escogió el 1 y el 3. Los jugadores,



alternadamente, hacen girar la perinola 40 veces.Cada quien, en su turno, registra en una tabla comola de abajo, el número que le salió en cada tirada.El número que sale es el que se apoya sobre la mesa,como se muestra en la ilustración 2. Gana quiénobtenga mayor cantidad de puntos. El registro lorealizan en una tabla como la 1.

¿Qué número salió más veces?


Tabla 1Tabla 1Tabla 1Tabla 1Tabla 1

NÚMERO RECUENTO NÚMERO DE VECES FRACCIÓN DEL TOTAL

QUE SALIÓ EL NÚMERO DE TIRADAS

1 9

2

3

4

TOTAL DE TIRADAS 40

940

40

40

40

4040

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:30 PM59

�

2.2.2.2.2. En otra sesión los alumnos pueden jugar enparejas otra versión del mismo juego.

a.a.a.a.a. Se reúnen en parejas y cada uno elige cinconúmeros comprendidos entre el 1 y el 10. Porejemplo, el jugador AAAAA puede elegir 1, 3, 5, 7 y9 y el BBBBB los restantes.

El juego consiste en que cada participantelance las dos perinolas en cada tirada, como semuestra en la ilustración 3. Si con la suma delos números que salieron se obtiene cualquierade los elegidos (1, 3, 5, 7 y 9), el jugador AAAAA gana1 punto; si la suma corresponde a alguno de losotros números (2, 4, 6, 8 y 10) lo gana eljugador BBBBB. Realizan en total 16 tiradas con lasdos perinolas, una vez cada participante. Antesde comenzar a jugar cada alumno dice quénúmero cree que saldrá más.

Registran los resultados en una tabla comola 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

SUMA RECUENTO NÚMERO DE VECES FRACCIÓN DEL TOTAL

QUE SALIÓ LA SUMA DE TIRADAS

Tabla 2Tabla 2Tabla 2Tabla 2Tabla 2Después de que todas las parejas terminan dejugar se analizan los resultados registrados en latabla, a partir de preguntas como las siguientes:

¿Qué número salió más?¿Coincidió con su estimación?¿Qué número salió menos?¿Qué números no salieron nunca?¿Por qué?¿Por qué algunos números salen más queotros?

Después de que los alumnos se dan cuenta deque no tiene sentido elegir el 1, el 9 y el 10,porque nunca saldrán debido a que las sumasde los números de las dos perinolas compren-den números entre el 2 y el 8, pueden volver ajugar y elegir números entre el 2 y el 8.

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:31 PM60

26Operacionescon la calculadora

• Que los alumnos conozcanlas funciones de algunas teclasde la calculadora.

• Desarrollen procedimientospara resolver problemasen la calculadora.

La calculadora es un recurso que, bien usado,permite desarrollar diferentes razonamientos anteun cálculo. A continuación se presentan algunasactividades que pueden plantearse a los alumnosen diferentes momentos del año escolar.

1.1.1.1.1. Se organiza a los alumnos en equipos de tres ocuatro integrantes y se pide que en su calculadorahagan la siguiente suma:

236 + 28 + 48 + 539 + 387

Primero se pide que sumen utilizando la tecla +,como se muestra abajo, y observen qué sucedecada vez que aprietan esta tecla.

236 + 28 + 48 + 539 + 387 =

Cada vez que se aprieta la tecla + la calculadorarealiza la suma del número anterior con el siguien-te. En cambio, la tecla M+ efectúa la suma en lamemoria de la calculadora. Para saber qué resulta-do obtuvo se aprieta la tecla MR.

Luego que hagan la misma operación con la teclaM+ y MR, como se muestra, y observen quésucede cada vez que aprietan la tecla M+ y la teclaMR.

236 M+ 28 M+ 48 M+ 539 M+ 387 M+ MR

A continuación se hacen varios ejercicios comoéste, y por último se pregunta cómo creen quefuncionan las teclas +, M+ y MR.

ON/C

7

4

1

0

%

8

5

2

.

9

6

3

=

OFF

MC

MR

M-

M+

2 8 + 1 8 4 + 9 7 =¿Quieren ver el resultado de la suma al final o cada

vez que introducen un número?

+/-

x

-

+

.—.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:31 PM61

�

2. 2. 2. 2. 2. Se pide a cada equipo que con su calculadoraresuelva la siguiente operación:

27 + 35 × 12 =

Luego se comparan los resultados obtenidos y sepide que, según sea el resultado, escriban la se-cuencia de las operaciones realizadas en la calcu-ladora. Es probable que surjan dos resultados: 447y 744; el primero corresponde a las calculadorasque primero resuelven las multiplicaciones o divi-siones y luego las sumas o restas; en cambio, elsegundo corresponde a las calculadoras que resuel-

ven las operaciones según el orden en que seintroduzcan, es decir, en este caso primero hacela suma de 27 + 35 y el resultado lo multiplicapor 12. Esta forma de resolver operaciones es in-correcta, porque cuando se combinan multiplica-ciones o divisiones con sumas o restas se ha esta-blecido un orden jerárquico, para que no haya másde un resultado. Dicho orden consiste en resolverprimero las multiplicaciones o divisiones y luego lassumas o restas. Este orden está determinado paracualquier tipo de ejercicios que combine dichasoperaciones.

A continuación se pide que conforme el ordenestablecido para resolver operaciones, calculen elresultado de las siguientes y escriban la secuenciade las operaciones que permitieron obtener elresultado:

25 + 85 × 42 38 × 25 – 21 × 1112 × 25 + 64 324 ÷ 12 – 2547 × 8 + 16 × 35 15 – 36 ÷ 335 × 28 – 30 780 ÷ 12 – 1612 ÷ 3191 – 35 × 2 28 × 54 + 12 × 20

Por último, los alumnos comparan sus resultadosy los procedimientos utilizados.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:31 PM62

27¿Cuánto valela unidad?• Que los alumnos calculen el valor

unitario para resolver problemasde proporcionalidad directa.

Número Preciode bicicletas en pesos5

6007

TABLA 1

Número Precio

de plumas en pesos

109

11

TABLA 2

Número Preciode paquetes en pesosde galletas

312

5

TABLA 3

Para calcular el precio de 3 kg de papas, sabiendolo que cuestan dos, se puede averiguar primero elprecio de 1 kg; es decir, calcular el valor unitario ovalor de una unidad. Para ello se dividen los $ 7entre los 2 kg, obteniéndose $ 3.50 por kilogramo.A partir de este dato se pueden hacer diferentesrazonamientos, como:

KILOGRAMOS DE PAPAS 2 3

PRECIO EN PESOS 7 ?El cálculo del valor unitario es un procedimientoútil para resolver algunos problemas de variaciónproporcional directa cuando el cálculo del doble,triple y mitades no permite obtener directamente lasolución.

1.1.1.1.1. Veamos el siguiente problema: En un mercadoofrecen 2 kg de papas a $ 7. Si se desea comprar3 kg, ¿cuánto se deberá pagar? Si por 2 kg se paga$ 7, ¿cuánto se pagará por 4 kg? Por 3 kg se pagarámás de $ 7, ¿pero menos de cuánto?

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:31 PM63

�Multiplicar por 3 el precio de un kilogramo.Sumarle el precio de un kilogramo al precio dedos kilogramos de papa.

2.2.2.2.2. En las tablas 1, 2 y 3 se presentan algunassituaciones de variación proporcional directa pararesolverlas mediante el cálculo del valor unitario.

Se sugiere presentar a los alumnos tablas como lasque se muestran en la página anterior junto conotras que se puedan resolver aplicando dobles,triples, mitades, etcétera. Es conveniente que estastablas sean situaciones de compra-venta.

fich mat 6/bueno 41-64 5/29/01, 4:31 PM64

28Los productoscruzados

¿Qué diferencias existen entre los cuadrados quese proyectan? ¿Son todos cuadrados?¿Qué diferencias existen entre el cuadrado de10 cm de lado y su sombra? ¿La sombra siguesiendo un cuadrado?¿Cuánto aumenta en la sombra la medida dellado de cada cuadrado?

Para comprobar si sus resultados son correctos, sepide a los niños que efectúen los productos cru-zados, como se muestra en la lección “Sombras”.

2.2.2.2.2. Para comprobar si el aumento de la medida decada lado de la sombra del cuadrado es proporcio-nal con respecto a cada lado del cuadrado que seproyecta, se pide a los alumnos que dibujen cadacuadrado y al lado su sombra, con escala de 1:10.La escala 1:10 quiere decir que 10 centímetrosrepresentan un centímetro. Por ejemplo, para elcuadrado de 10 cm por lado y su sombra de 30 cmpor lado, hay que dibujar un cuadrado de 1 cm porlado y la sombra de este cuadrado deberá medir 3cm por lado.

LADO DEL CUADRADOLADO DE LA SOMBRA

EN cmDEL CUADRADO EN cm

10

30

20

60

30

40

50

• Que los alumnos utilicenlos productos cruzadosen la resolución de problemasde proporcionalidad directa.

Organizados en equipos se plantea a los alumnoslos siguientes problemas:

1.1.1.1.1. En la casa de María hicieron, el fin de semana, elsiguiente experimento: Oscurecieron una habita-ción y colocaron un cuadrado de 10 cm de ladoentre una linterna encendida y la pared, como semuestra. Luego midieron los lados de la sombra delcuadrado y obtuvieron 30 cm por lado. A continua-ción remplazaron el cuadrado por otros más gran-des. Con base en estos datos, calcular la medida dellado de la sombra de los siguientes cuadrados ycompletar la tabla:

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM65

a. a. a. a. a. A continuación se plantea a los alumnos la si-guiente interrogante: Si los lados de la sombra delcuadrado aumentaron el triple del cuadrado origi-nal, ¿qué sucederá con el perímetro? Después deque den su opinión, se pide que calculen los perí-metros de los cuadrados originales y de las sombras.

En otras sesiones puede presentarse la mismaactividad con otras figuras, por ejemplo triángulosequiláteros o polígonos regulares (hexágonos,pentágonos, etcétera).

�

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM66

CONTINENTEEXTENSIÓN TERRITORIAL

POBLACIÓN

EN km2

África

América

743 000 000

Antártida3 331 500 000

Asia

Europa

Oceanía

29¿Dónde estamos?¿Cuántos somos?• Que los alumnos calculen

la densidad de poblaciónde algunos continentes.

• Apliquen la variaciónproporcional para resolverproblemas de densidad.

Se pide a los alumnos que resuelvan las siguientesactividades:

1.1.1.1.1. En el libro Geografía. Sexto grado, en la lección12, “Continentes y países” (p. 65), se presentainformación acerca del número de habitantes y laextensión en kilómetros cuadrados de los seiscontinentes: África, América, Antártida, Asia, Eu-ropa y Oceanía.

a.a.a.a.a. Se pide a los alumnos que busquen dichainformación y la organicen en una tabla como laque se muestra:

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM67

�

CONTINENTE AMERICANO

km2 Número de habitantes.Entre

1

10 175 176

100 1 760

1 000

10 000 175 916

100 000

1 000 000 1 759 163

10 000 000 17 591 627

42 236 000

A continuación ordenan los continentes de mayora menor extensión territorial y después de menor amayor cantidad de población. Con esta informa-ción se pregunta en qué continente creen que haymayor concentración de población y en cuál me-nos.b. b. b. b. b. Con el propósito de calcular la densidad depoblación, es decir, la cantidad de habitantes porkilómetro cuadrado, los alumnos completan lasiguiente tabla (pueden utilizar la calculadora):

En el continente americano, ¿aproximadamentecuántos habitantes viven en un kilómetro cua-drado?

c.c.c.c.c. Con el mismo procedimento, calculan la densi-dad de población de los restantes continentes,excepto de la Antártida.

¿Cuál de los continentes tiene menor densidadde población?¿Cuál tiene mayor densidad de población?¿Coincide la estimación que se llevó a cabo en elpunto 1?

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM68

30

• Que los alumnos desarrollen habilidadpara escribir números decimales enforma de fracción y viceversa.

Fraccionesy decimales Se sugiere plantear a los alumnos, reunidos en

equipos, las siguientes actividades:

1.1.1.1.1. Escribir con cifras los números decimales enlista-dos a continuación:

Tres unidades, cinco décimosCuatro unidades, cinco centésimosOcho unidades, treinta milésimosCinco milésimos

2.2.2.2.2. Escribir con letra los siguientes números decima-les:

4.6 23.75 12.08 45.263 1.002

a.a.a.a.a. Ordenar de mayor a menor los números decima-les anteriores.

3.3.3.3.3. Escribir con letra las siguientes fracciones:

a.a.a.a.a. Subrayar con rojo las fracciones anteriores queson mayores que uno, y con azul las que sonmenores que uno.b.b.b.b.b. Estimar el resultado de sumas o restas conlas fracciones anteriores. ¿Está comprendido en-tre 0 y o entre y 1, o es mayor que 1? Porejemplo, + es mayor que 1, porque esmayor que 1.c.c.c.c.c. Convertir las fracciones anteriores mayores que1 de la siguiente manera:

= + = 1 + = 1.2PUNTOS

D E M N P I J

110

810

1610

15

35

12

75

12

12

1610

328100

328100

1210

1010

210

210

123451000

6501000

51000

574100

110

1610

328100

35100

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM69

a.a.a.a.a. Ubicar en el segmento los puntos que aparecenen la tabla de la página anterior.b.b.b.b.b. Marcar con color verde los puntos correspon-dientes a las siguientes fracciones:

¿Coinciden algunas de estas fracciones con las delinciso anterior? Se pide al grupo que discuta a quése debe esta coincidencia.

Al terminar cada ejercicio, el grupo analiza losprocedimientos y los resultados obtenidos.

�d.d.d.d.d. Escribir las fracciones restantes utilizando elpunto decimal.

4.4.4.4.4. Reproducir en sus cuadernos el siguiente seg-mento de recta.

1 20

1410

610

45

85

02

22

210

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM70

31El tiempo pasa

• Que los alumnos resuelvanproblemas de medicióndel tiempo.

ETAPAS

CORREDOR A

CORREDOR B

Primera402 min

6 hrs 38 min 21 seg

Segunda5 hrs 39 min 40 seg

2 600 seg

Tercera7 hrs 6 min 25 seg

6 hrs 58 min 45 seg

Se sugiere que los alumnos resuelvan las siguientesactividades:

1.1.1.1.1. Observar la tabla que indica el tiempo que hicie-ron dos ciclistas durante las tres primeras etapas delGran Premio de México.

¿Cuál de los dos corredores hizo menos tiempoen cubrir las tres etapas?

2.2.2.2.2. Juan enfermó de sarampión y el médico le dio uncertificado médico que dice así:

Dr. Rodolfo Peña 18/02/01

El niño Juan Martínez deberá guardar reposo 12 díascompletos a partir de esta fecha.

¿Qué día de la semana volverá Juan a la escuela?¿Qué fecha será?

3.3.3.3.3. En 2000 el 7 de marzo fue martes. ¿Cuáles sonlas fechas de los otros martes de marzo, así como losmartes de abril y mayo? Este problema se puedeactualizar con el año en que se plantee la actividad.

4.4.4.4.4. Una nave espacial pasa 6 días, 18 horas y 30minutos en el espacio antes de encender losretromotores que le permitirán retirarse de su ór-bita para regresar a la Tierra. Entra en las capasdensas de la atmósfera terrestre 11 minutos des-pués y tarda en total 39 minutos y 12 segundosantes de aterrizar. ¿Cuál es la duración total de suviaje?

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM71

VUELTAS DE LA AGUJA VUELTAS DEL MINUTERO

HORARIA

1

6

3

4

5.5.5.5.5. Completar la siguiente tabla:

40 un 8 2 50 un 1 300minutos trimestre horas años centavos día segundo gramos

1 1 1 1 1 una 1 1hora año día siglo peso semana hora kilogramo

¿QUÉ

FRACCIÓN

ES A DE B?

6.6.6.6.6. ¿Cuántas vueltas da el minutero mientras la agujahoraria da una vuelta? Completar la tabla:

Después de resolver cada problema los alumnoscomparan sus resultados y procedimientos.

B

A

�

1X4

3X4

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM72

Medidas y vueltasdel círculo

• Que los alumnos verifiquenque el número π es el cocientedel perímetro del círculo entrela medida del diámetro.

• Realicen mediciones delongitudes con ruedasde diferentes tamaños.

1.1.1.1.1. Se pide a los alumnos que consigan ruedas devarios tamaños (de bicicleta, de triciclo, de autode juguete, etcétera) o botes con forma de cilindropara realizar mediciones de longitudes.

a.a.a.a.a. Antes de realizar las mediciones los alumnospueden comprobar cuántas veces cabe el diámetrode cada rueda en su perímetro. Para ello hacen unamarca en cada rueda y después hacen que coincidacon una marca en el piso. Luego hacen rodar cadarueda hasta que su marca haga contacto con el piso.Realizan otra marca en el piso y trazan una líneaentre las dos marcas.b. b. b. b. b. Miden la distancia marcada y reflexionan sobrelo que representa en cada caso.

c. c. c. c. c. Luego miden el diámetro de cada rueda ytrasladan esa longitud en el perímetro respectivo.¿Cuántas veces cabe el diámetro en el perímetro decada rueda?

PERÍMETRO

DE LA RUEDA (P)

DIÁMETRO

DE LA RUEDA (D)

P ÷ D

32

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM73

�d. d. d. d. d. Para encontrar un valor más aproximado, con lacalculadora dividen el perímetro de cada ruedaentre su diámetro. Luego pasan al pizarrón a com-pletar una tabla como la que se muestra en elanverso de esta ficha.e. e. e. e. e. Después se reúnen las ruedas que trajeron losalumnos y se ponen de acuerdo en medir unalongitud; por ejemplo, un lado del edificio de laescuela. Se organizan los equipos de tal maneraque cada uno tenga una rueda. Colocan la rueda enuno de los extremos del lado que se quiere medir,haciendo coincidir la marca de la rueda con elinicio de la longitud a medir, y se hace rodar larueda contando el número de vueltas. Por último,calculan la longitud de lo que midieron multipli-cando el número de vueltas por el perímetro de larueda. Se comparan los resultados obtenidos y siexisten diferencias, se analiza a qué se deben.

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM74

¿Cuántosde cada cien? Se organiza a los alumnos en equipos y se presen-

tan los siguientes problemas:

1. 1. 1. 1. 1. En la escuela primaria “Julio S. Hernández” sepidió la colaboración a 3 grupos de alumnos decuarto a sexto grados para organizar un torneodeportivo; de cuarto fueron tres niños de un totalde 30; de quinto siete de 35 niños y de sexto 16 de32 niños. En cada grado, ¿participó más o menos lamitad del grupo o justo la mitad?

a.a.a.a.a. ¿Qué parte de los alumnos de cada grado parti-cipó en la organización del torneo?¿Qué tanto por ciento de los alumnos de cadagrado colaboró en la organización del torneo? Losalumnos deben encontrar estas respuestas sin ha-cer cuentas escritas. Por ejemplo, en cuarto gradoparticiparon tres de los 30 alumnos, éstos represen-tan la décima parte del grupo, es decir, 10%.b. b. b. b. b. Para continuar trazan en diagramas circulares laparte de cada grado que colaboró en la organiza-ción del torneo. El círculo completo representatodo el grupo.c.c.c.c.c. Ahora completan las siguientes tablas, suponien-do que en cada grado hay 100 alumnos y colaborala misma proporción:

• Que los alumnos resuelvanproblemas de porcentaje.

• Desarrollen habilidad para convertirun porcentaje a fracción y viceversa.

CUARTO GRADO

COLABORARON CON RESPECTO A

3 30

10

100

QUINTO GRADO


7 35

5

100SEXTO GRADO


16 32

2

100

33

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM75

�

¿Cuántos colaboraron en cada grado con respec-to a 100 alumnos? Esta cantidad expresa el porcen-taje de alumnos de cada grado que colaboró en laorganización del torneo. Por ejemplo, de sextogrado colaboraron 50 de cada 100 o , es decir,50%.

Este ejercicio también puede plantearse propor-cionando la parte del grupo que participó. Porejemplo, la cuarta parte de los alumnos de quintogrado colaboró en el torneo, ¿qué porcentaje re-presenta?

2.2.2.2.2. Se proporciona el tanto por ciento de la pobla-ción en edad escolar en 10 comunidades.

A: 15% B: 70%C: 75% D: 50%E: 10% F: 25%G: 60% H: 30%I: 5% J: 20%

a.a.a.a.a. Los alumnos discuten entre ellos y escriben encada caso las comunidades en que:

Más de la mitad de la población está en edadescolar.La mitad de la población está en edad escolar.Menos de la mitad de la población son hombres.La cuarta parte de la población son hombres.Las tres cuartas partes de la población está enedad escolar.Cerca de la tercera parte de la población está enedad escolar.La quinta parte de la población está en edadescolar.

La décima parte de la población está en edadescolar.

b.b.b.b.b. Cuando terminan, los alumnos pasan al frente aexplicar los procedimientos que utilizaron pararesolver la actividad.

Se pueden utilizar diferentes procedimientos;algunos pueden ser, por ejemplo, si la poblacióncompleta representa 100%; 25% es la cuarta partede 100%. O bien, si 70% de la población está enedad escolar, esto quiere decir que 70 de cada 100personas están en edad escolar. Esta expresión seescribe , que es equivalente a .

100

70X100

7X10

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM76

50X

0 12

34 5 6 7 8

910

1112

1314

1516

1718

1920

B

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

54

3

2

1

0

C

A

Construyendofiguras

• Que los alumnos sigan instruccionespara realizar una figura geométrica.

• Determinen los pasos a seguirpara reproducir un dibujo.

4.4.4.4.4. Dividir el lado BC en 20 partes iguales y dibujarlas marcas sobre el lado.

5.5.5.5.5. Unir con una línea los puntos marcados con elvértice A.

6. 6. 6. 6. 6. Con dos colores, iluminar la figura obtenida demanera que sólo las figuras que se tocan en unpunto tengan el mismo color.

7.7.7.7.7. Por último, los alumnos comentan cómo imagi-nan la figura trazada.

Se organiza a los alumnos en equipos de tres a cincointegrantes y se distribuyen las actividades 1, 2 y 3para que las resuelvan, de manera que cada equipotenga una.

Actividad 1Actividad 1Actividad 1Actividad 1Actividad 1Se copian en el pizarrón las siguientes instruccionespara que los alumnos realicen una figura.

1. 1. 1. 1. 1. Construir un triángulo isósceles (ABC) de maneraque el lado AC mida 13 cm, y AB y BC midan 16 cmcada uno.

2.2.2.2.2. Dividir el lado AB en 10 partes iguales y dibujarlas marcas sobre el lado.

3.3.3.3.3. Unir con una línea los puntos marcados con elvértice C.

34

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM77

�

Actividad 2Actividad 2Actividad 2Actividad 2Actividad 2

1.1.1.1.1. Construir un triángulo equilátero (ABC) de 10 cmpor lado.

2. 2. 2. 2. 2. Marcar los puntos del lado AB que se encuentrana medio centímetro.

3.3.3.3.3. Enumerar los puntos marcados sobre el lado AB,del 0 al 20. Al punto A le corresponde el 0.

4.4.4.4.4. Marcar los puntos del lado BC que se encuentrana medio centímetro.

5.5.5.5.5. Enumerar los puntos del lado BC, del 0 al 20. Alpunto B le corresponde el 0.

6.6.6.6.6. Unir con una línea los puntos de igual número.

7.7.7.7.7. Entre todos comentan cómo imaginan la figuratrazada.

Actividad 3Actividad 3Actividad 3Actividad 3Actividad 3

1. 1. 1. 1. 1. Construir un cuadrado (ABCD) de 10 cm de lado.

2.2.2.2.2. Dividir cada lado del cuadrado en 10 partesiguales.

3. 3. 3. 3. 3. Enumerar los puntos marcados del 1 al 40. Alpunto A le corresponde el 1.

4. 4. 4. 4. 4. Unir con una línea los puntos de los lados con-secutivos que terminan con la misma cifra; es decir,los puntos que tengan igual terminación del ladoAB con los del BC, los de BC con los de CD y los deCD con los de DA.

5. 5. 5. 5. 5. Igualmente, todo el grupo comenta cómo imagi-nan la figura trazada.

Cuando los equipos terminan de resolver la acti-vidad, se borran las instrucciones del pizarrón y seintercambian los dibujos obtenidos para que seanreproducidos por los equipos y escriban el procedi-miento que siguieron. El propósito de esta actividades que los alumnos determinen una secuencia depasos que les permita reproducir el dibujo.

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM78

35Problemas difícilespara la calculadora

• Que los alumnos resuelvanproblemas de multiplicacióny división de números naturalescon la calculadora.

A continuación se presentan algunas actividadesque se pueden plantear a los alumnos en diferentesmomentos del año escolar.

1.1.1.1.1. Los alumnos se organizan en equipos de tres ocuatro integrantes para que resuelvan los siguientesproblemas:

a.a.a.a.a. Calcular mentalmente el resultado de la siguientemultiplicación: 23 × 12, sin realizar el algoritmoconvencional.b.b.b.b.b. Luego se comparan los procedimientos utiliza-dos entre los diferentes equipos. Probablemente sehaga de la siguiente manera:

DIVIDENDO DIVISOR RESULTADO RESIDUO

23 5

Completar la siguiente igualdad.

23 = 5 × ___ + ___

No quepo en la calculadora

¿Cómo pueden usarla para

encontrar mi resultado?

C/AC

7

4

1

0

%

8

5

2

.

9

6

3

=

+/-

X

-

+

ON

÷

MR

M-

M+

23 × 10 = 230 y 23 × 2 = 46 entonces23 × 12 = 23 × 10 + 23 × 2 =230 + 46 = 276

Si a ningún alumno se le ocurre este procedimien-to, se les incentiva para que lo hagan.c.c.c.c.c. Posteriormente se pide que en su calculadoraresuelvan la operación: 897 365 × 7 214. Cuandotodos hayan terminado se comparan los resultadosobtenidos. Si los alumnos tienen una calculadoraque sólo permite la entrada de números hasta deocho cifras, les aparecerá un resultado acompaña-do de la letra E o solamente la letra E, que significaerror. Esto quiere decir que el resultado es incorrec-to. Por tanto, para encontrar el resultado correctose pide que con ayuda de la calculadora resuelvanpor partes dicha operación.

d.d.d.d.d. A continuación se presentan ejercicios similares.Por ejemplo, calcular las siguientes operacionescon la calculadora y, si es necesario, descomponercada una en varias operaciones para obtener elresultado final.

89 457 612 + 72 846 598 =45 673 287 × 67 241 389 =

2.2.2.2.2. En otra sesión los alumnos resuelven los siguien-tes problemas:

a.a.a.a.a. Realizar con lápiz y papel la división:

23 ÷ 5 =

b.b.b.b.b. Completar la tabla:

fich mat 6/bueno 65-96 5/29/01, 4:03 PM79

�

c.c.c.c.c. A continuación se plantea que con la calcula-dora encuentren el resultado entero de la división23 entre 5 y el residuo. Se da tiempo suficiente paraque en cada equipo encuentren algún procedi-miento que les permita resolver el problema.

Algunos de los procedimientos pueden ser: Quelos niños se den cuenta de que si al resolver en lacalculadora la división 23 entre 5 obtienen comoresultado 4.6, 4 es el resultado entero. Por tanto,para obtener el residuo basta con multiplicar 4(resultado) por 5 (divisor) y el resultado restárselo a23, para encontrar el residuo. Otro procedimientosería multiplicar, además del 4, 0.6 por 5, y obte-ner así el residuo: 4 × 5 + 0.6 × 5 = 20 + 3 = 23.

d.d.d.d.d. Se hacen varias divisiones para que los alumnosreflexionen sobre la relación entre los diferenteselementos de una división. Primero se resuelvencon lápiz y papel, y luego con la calculadora.e. e. e. e. e. A continuación se pide a los alumnos que re-suelvan la siguiente división en la calculadora:3 119 ÷ 15, y comparen los resultados obtenidos.

Luego se pide que, teniendo en cuenta que entoda división el dividendo es igual al producto deldivisor por el resultado entero más el residuo, conla calculadora obtengan el resultado entero y elresiduo de la división anterior.

f.f.f.f.f. Por último, se indica que con la calculadoraresuelvan las siguientes divisiones, encuentren elresultado entero y el residuo, y expresen al dividen-do como el producto del divisor por el resultado dela división, más el residuo.

39 ÷ 6 =26 ÷ 8 =81 ÷ 12 =63 ÷ 15 =

Al terminar de resolver cada ejercicio, diferentesalumnos explican los procedimientos utilizados ysus resultados.

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36¡Con 10 y 1%,basta!

• Que los alumnos desarrollenprocedimientos para calcularrápidamente algunos porcentajes.

ARTÍCULO PRECIO DESCUENTO CANTIDAD A PAGAR

Camisa $ 60.00

Corbata $ 9.00

Pantalón $ 100.00

Chamarra $ 162.00

Suéter $ 120.00

Par de zapatos $ 15.20

En diferentes sesiones se plantea a los alumnos,organizados en equipos, los siguientes problemas:

1.1.1.1.1. En una tienda de ropa y calzado están vendiendoalgunos artículos con 10% de descuento. Con lascantidades que en ella se muestran, completar lasiguiente tabla.

¿Cómo averiguaron el precio, sin descuento, dela corbata y del par de zapatos?¿Cómo averiguaron el precio de la chamarra y sudescuento?

2. 2. 2. 2. 2. El 10% del precio de un artículo es igual a 16pesos. Calcular los siguientes porcentajes del mis-mo objeto:

20% 50%5% 25%

75% 1%12%

¿Cuál es suprecio?

Para propiciar la comparación de resultados y delos procedimientos utilizados por el grupo, en unaexposición colectiva se pregunta:

¿Cómo calcularon 10%?¿De qué manera calcularían mentalmente 10%del precio de los artículos?

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�

Para resolver esta actividad se sugiere que losalumnos utilicen una tabla como la que se muestra:

Después de que los alumnos terminan de resolverla actividad, se comparan los resultados y los proce-dimientos que utilizaron. Se solicita que intentenexplicar cómo pueden calcularse mentalmente al-gunos porcentajes sencillos.

3.3.3.3.3. En otra sesión se sugiere plantear a los alumnoslos siguientes problemas:

a.a.a.a.a. En el país, el número de viviendas particulareshabitadas, registradas en el Censo de 1990, es de16 183 310, con un promedio de cinco ocupantespor vivienda. El porcentaje de las viviendas integra-das por un cuarto es de 10%, en tanto que las de doscuartos constituyen 25% y las de tres o más cuartos65%. Calcular el número de viviendas con uncuarto, con dos y con tres o más cuartos.b.b.b.b.b. En México se ha observado un incremento enla proporción de viviendas que disponen de ser-vicios. Así, el agua entubada elevó su coberturade 61% en 1970 a 80% en 1990; el suministro deenergía eléctrica pasó de 59% en 1970 a 88%en 1990 y, por último, el drenaje, que en 1970registró 42% ascendió a 64% en 1990.

En 1990, ¿cuántas viviendas tenían agua entubada,cuántas tenían energía eléctrica y cuántas teníandrenaje? ¿Qué servicio tuvo mayor aumento?

En una gráfica, como la que se muestra, represen-tar el suministro de energía eléctrica y el drenaje.

TANTO EQUIVALENTE

POR CIENTO EN PESOS

10 % 16

5 % 8

Servicio de agua entubada en MéxicoServicio de agua entubada en MéxicoServicio de agua entubada en MéxicoServicio de agua entubada en MéxicoServicio de agua entubada en México1970 y 19901970 y 19901970 y 19901970 y 19901970 y 1990

4.4.4.4.4. Se sugiere que en otra sesión se presenten a losalumnos algunos tantos por ciento, por ejemplo,25, 10, 12, 50 y 75%, para que elijan algunos y apartir de ellos inventen problemas.

1970 19900

20

40

60

80

Tanto por ciento

÷ 2 ÷ 2

Años

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37Figurasequivalentes Los alumnos se organizan en equipos de tres inte-

grantes y se plantean las siguientes actividades.

1.1.1.1.1. Se dibujan en el pizarrón un trapecio isósceles , un trapecio rectángulo , un romboidey un papalote con las medidas de los lados y delos ángulos necesarios para que los alumnos losreproduzcan en cartulina o cartoncillo.

a.a.a.a.a. A continuación se pide que con la menor can-tidad de cortes transformen cada figura en otraconocida (cuadrado o rectángulo). No debe sobrarcartulina.

Para que los alumnos comprendan la indicaciónse plantea el ejemplo que se muestra en la ilustra-

ción 1, en la que un triángulo es transformado enrectángulo.

Se deja trabajar libremente a los niños y se datiempo suficiente para que prueben varias veceshasta que encuentren la transformación más senci-lla en cada caso, es decir, aquélla en la que haganla menor cantidad de cortes.b.b.b.b.b. Cuando los alumnos terminan pasan al frente yexplican las transformaciones que hicieron, ya seadibujando los cortes en el pizarrón o utilizando lafigura recortada.c.c.c.c.c. A continuación se pide a los alumnos que dibujenlas nuevas figuras y calculen el área de cada una. Seles hace reflexionar sobre si el área de la figuratransformada, cuadrado o rectángulo, coincide conel área de la figura inicial.

Dos figuras son equivalentes si tienen igual área.




• Que los alumnos transformenuna figura en su equivalente.

• Calculen el área de una figuraa partir de su equivalente.

ZONAVERDE

10 cm

5 cm

10 cm

8 cm

5 cm

4 cm

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�

2.2.2.2.2. En otra sesión, se presentan los siguientes proble-mas a partir de las ilustraciones que se muestran encada uno.

3.3.3.3.3. En la colonia donde vive Juanito las manzanas notienen forma cuadrada. La ilustración 2 muestra unplano de la colonia a escala 1:2 000, es decir, cadacentímetro del plano representa 2 000 cm o 20 mdel tamaño real. Calcular el área de la superficiedestinada a la construcción y el área para la zonaverde.

4. 4. 4. 4. 4. Se dibuja en el pizarrón el patrón que se muestraen la ilustración 3 y se pide a los alumnos que loreproduzcan en una hoja de papel y luego lo ar-

men. ¿Qué cantidad de papel se utilizó para reali-zar el cuerpo? Si este cuerpo es la reproducción deuna construcción hecha a escala 1:25, es decir, 1cm de la reproducción representa 25 cm de laconstrucción real, y se quiere recubrir las caraslaterales con losetas cuadradas de 20 cm de lado,¿cuántas losetas se necesitan?

Cada vez que terminan de resolver un problema,se realiza una discusión general para comparar losprocedimientos y los resultados.

a.a.a.a.a. Los puntos H, E, F y G marcan las mitades delos lados AB, BC, CD y DA. Calcular el área, en m2,de la superficie coloreada EFGH.

b.b.b.b.b. Calcular el área, en m2, de la superficie DEFC.

ABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectángulo

ABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectánguloABCD es un rectángulo

24 m

C

F

GD

H

20 m 25 m

25 m

A E F B

D C

80 m

BA E

58 m

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38Diseñosgeométricos

• Que los alumnos reproduzcanfiguras circulares.

• Reproduzcan figuras a partirde uno o más ejes de simetría.

b.b.b.b.b. Se pide a los alumnos que, con la menor cantidadde cortes, transformen la figura sombreada en uncuadrado o en un rectángulo y calculen su área.

2.2.2.2.2. En otra sesión se dibujan en el pizarrón las figurasde la ilustración 2 y se pide a los alumnos que lasreproduzcan en sus cuadernos.

a.a.a.a.a. A continuación trazan los ejes de simetría decada figura. ¿Cuántos ejes de simetría tiene cadauna?





A

B

A

BMaterialUn geoplano, un espejo y 10 bandas por equipo.

Se sugieren las siguientes actividades para que losalumnos comparen y discutan los procedimientosque pueden utilizar, que las realicen en equipos detres a cinco integrantes:

1.1.1.1.1. Se dibujan en el pizarrón las figuras que semuestran en la ilustración 1 y se pide a los alumnosque las reproduzcan en sus cuadernos. Los cuadra-dos deben medir 10 cm de lado.

a.a.a.a.a. Con el procedimiento que elijan calculan el pe-rímetro de la figura sombreada y expresan el resul-tado hasta en centésimos.

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�

a.a.a.a.a. Dibujan una figura que posea dos ejes de sime-tría.b.b.b.b.b. Corrigen lo que sea necesario para que las cuatrofiguras que se muestran en la ilustración 5 seansimétricas, dos a dos, con respecto a L1 y L2.c.c.c.c.c. A partir de la ilustración 6 dibujan varias figurasque tengan a L1, L2, L3 y L4 como ejes de simetría.¿Qué tipo de cuadriláteros tienen a L1, L2, L3 y L4como ejes de simetría?

Al terminar cada actividad los alumnos comparanlas reproducciones realizadas y explican cómo lashicieron.

Nota: Los subíndices de L1, L2, L3 y L4 para nom-brar los ejes de simetría se utilizan sólo para diferen-ciarlos. Si considera difícil esta nomenclatura pue-de sustituirla por otra; por ejemplo, los alumnospueden marcarlos con diferentes colores o hacerdiferentes tipos de líneas para referirse a algún ejede simetría.

3.3.3.3.3. Esta actividad consiste en construir en el geoplanola figura que se muestra en la ilustración 3 y poneruna liga AB; en seguida se coloca un espejo deforma rectangular sobre la liga AB. En el espejo severá la figura construida. Después se reproduce“detrás” del espejo la figura tal como se ve en elespejo. La figura que se ve en éste y la construida“detrás” deben coincidir. Se quita el espejo y secomparan las dos figuras construidas (número delados, vértices, longitud de los lados, etcétera).Cuando los alumnos terminan la construcción, seles indica que escriban sus observaciones.

4.4.4.4.4. Se solicita a los alumnos que construyan en elgeoplano la figura que se muestra en la ilustración4 y pongan la liga AB. Ahora colocan un espejosobre la liga y reproducen con otra liga, detrás delespejo, la figura que aparece reflejada. Dibujan enel cuaderno la figura que resulta.

5.5.5.5.5. Con los instrumentos de geometría dibujan untriángulo que no tenga ejes de simetría y otro quetenga un eje.

L1

L2

L3

L4



L2

L1

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39Suma y restade fracciones

• Que los alumnos resuelvanproblemas de suma y restade fracciones.

¿QUÉ PARTE ES? A B C D

A 1

B 9 1

C

D

3.3.3.3.3. Se pide a los alumnos que dibujen en una hojacuadriculada las siguientes figuras:

Figura A = 1 cuadritoFigura B = 3 × 3 cuadritosFigura C = 3 × 5 cuadritosFigura D = 3 × 4 cuadritos

a.a.a.a.a. A partir de las figuras anteriores, completar lasiguiente tabla de equivalencias.

Band

a U

Band

a U

Band

a U

Band

a U

Band

a U

19

115

Se organiza a los alumnos en equipos y se les datiempo suficiente para que discutan y resuelvan losproblemas.

1.1.1.1.1. El fin de semana Carlos y su papá subieron a lamontaña que está a un costado del pueblo endonde viven. Tardaron 2 horas para llegar a lacima de la montaña; descansaron media hora ydescendieron en 1 horas. Calcular la duración dela excursión.

2.2.2.2.2. Se pide a los alumnos que dibujen en su cuader-no una banda como la que se muestra. Luegoconstruyen una banda en la que la medida es iguala de la banda U y otra igual a de la banda U.Unen con cinta adhesiva ambas bandas e indicansu medida con respecto a la banda U.

34

34

53

65

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�b.b.b.b.b. El área total de las cuatro figuras, tomando comounidad de medida la figura A, es igual a 37 A.Calcular el área total de las cuatro figuras tomandocomo unidad de medida a las figuras B, C y D.Después de que los alumnos obtengan los resulta-dos, los comprueban con los dibujos de las figuras.c.c.c.c.c. En una hoja cuadriculada dibujar las figuras P, Q,R, S, T y X.

P = B Q = CR = D S = BT = S + P X = S – B

Al terminar cada actividad se realiza la compara-ción de resultados y se analizan los procedimientosutilizados.

1X33X2

2X37X3

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40¡Triángulosy más triángulos!

• Que los alumnos desarrollendiferentes procedimientos paracalcular el área de un triángulo.

El propósito es que los alumnos se den cuenta deque el área de un triángulo inscrito en el rectánguloes igual a la mitad del área del rectángulo.

a. a. a. a. a. Con el procedimiento anterior, calcular el áreade los triángulos 1, 2 y 3.

2.2.2.2.2. Otro procedimiento para calcular el área de lostriángulos es inscribirlos en un rectángulo y dividira cada triángulo en dos triángulos rectángulos. Elárea de cada triángulo rectángulo es igual a la mitaddel área de cada cuadrado o rectángulo que seforma, como se muestra en la ilustración 2.

1.1.1.1.1. Se dibuja en el pizarrón el rectángulo con eltriángulo inscrito que se muestra en la ilustración 1.Los alumnos lo reproducen dos veces en una hojablanca, con las medidas que se indican, y calculanel área del rectángulo. Luego recortan el triánguloinscrito en uno de los rectángulos, y con los dospedazos sobrantes arman otro triángulo. Compa-ran el triángulo que armaron con el inscrito en elrectángulo, ¿cómo son los dos triángulos?, ¿cuántomide la superficie de uno de los triángulos?, ¿cómohicieron para calcularla?

Por último, se pide a los alumnos que escriban elprocedimiento que utilizaron para calcular el áreadel triángulo inscrito en el rectángulo.

12

3

3 cm

5 cm



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�

a.a.a.a.a. Con este mismo procedimiento, calcular el áreade los triángulos 1, 2 y 3 y comparar los resultadosobtenidos en ambos procedimientos.

3.3.3.3.3. Se pide a los alumnos que dibujen en suscuadernos uno de los triángulos de la ilustración 3y calculen su área.

a.a.a.a.a. Desplazar el vértice A a la izquierda o a laderecha, sobre la línea L, y sin mover los vértices By C dibujar otros cuatro triángulos y calcular susáreas. Luego se comparan los resultados y losprocedimientos utilizados, con el propósito de quelos alumnos se den cuenta de que todos los triángu-los dibujados tienen igual área. Se les pregunta porqué creen que sucede esto. Además del área, ¿quétienen en común los cinco triángulos?

4.4.4.4.4. Se pide a los alumnos que en una hoja blancadibujen un hexágono de acuerdo con el procedi-miento que se detalla a continuación:

a.a.a.a.a. Dibujar una circunferencia cuyo radio mida3 cm y marcar con lápiz una cruz o un punto en sucentro.b.b.b.b.b. Utilizando el compás con la misma abertura delradio, dividir la circunferencia en partes iguales.

c.c.c.c.c. Unir con una línea los puntos consecutivos.d.d.d.d.d. Unir con una línea el centro con los vértices.

En seguida deben recortar uno de los triángulos ycalcular su área. ¿Cuánto mide la superficie delhexágono?

A

BC 4

L

ó

A

BC 4

L


cmcmcmcmcm cmcmcmcmcm

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41¡Busca unamanera fácil!• Que los alumnos desarrollen la

habilidad de efectuar mentalmenteoperaciones con númerosdecimales.

• Desarrollen procedimientos propios alresolver mentalmente operacionescon decimales.

c.c.c.c.c. 15.324 + 5.324 18.275 + 18.7

d.d.d.d.d. 2.3 + 4.7 3.9 + 5.112.3 + 5.7 25.6 +25.417.1 + 17.9

e.e.e.e.e. 6.30 + 3.70 14.80 + 14.2025.92 + 25.08 37.78 + 13.22

f.f.f.f.f. 2.400 + 4.600 12.450 + 12.55019.880 + 19.120 75.980 + 5.020

3.3.3.3.3. Calcular mentalmente las siguientes restas ycomprobar los resultados:

a.a.a.a.a. 12 – 5.3 16 – 2.2 20 – 0.817 – 6.2 32 – 7.5

b.b.b.b.b. 15 – 3.20 24 – 5.60 67 – 66.8018 – 5.30 60 – 49.70

c.c.c.c.c. 13 – 2.75 40 – 7.85 83 – 3.9675 – 5.23 13 – 3.05Se sugiere que al comenzar las clases de Matemá-

ticas se destine un tiempo breve para plantear a losalumnos actividades de cálculo mental, como lasque aquí se exponen.

1.1.1.1.1. ¿Entre qué números naturales está cada suma ycada resta? Por ejemplo, 2.3 + 4.6 está entre 6 y 7.¿Qué sumas o restas dan exactamente un númeronatural?

2.2.2.2.2. Calcular mentalmente las siguientes sumas ycomprobar que las estimaciones sean acertadas:

a.a.a.a.a. 2.3 + 4.6 6.2 + 5.37.30 + 4.40 2.43 + 2.165.400 + 6.200 3.500 + 2.30027.4 + 3.4 15.4 + 15.4

b.b.b.b.b. 10.42 + 2.32 7.06 + 6.02

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�

Cada vez que terminan de realizar un cálculomental se pide a diferentes niños que expliquencómo obtuvieron el resultado, con el objetivo desocializar las diferentes estrategias aplicadas. Pue-de suceder que un determinado procedimientoutilizado por algún niño sea adoptado por losdemás, porque les facilita el cálculo.

La secuencia de ejercicios del punto 2 tiene encuenta lo siguiente:

Los ejercicios de los puntos a, b y c se puedenresolver sin considerar el punto decimal, es decir, se

pueden sumar como enteros y al resultado colocar-le el punto decimal, según la parte decimal lleguea décimos, centésimos o milésimos.

Los ejercicios de los puntos d, e y f dan comoresultado números enteros. La diferencia está enque en el d sólo se suman décimos, en el ecentésimos y en el f milésimos.

Los ejercicios del punto 3 pueden resolversemediante diversos procedimientos; por ejemplo, acontinuación se muestran algunas formas de calcu-lar 12 – 5.3:

A 5.3 le faltan 0.7 para llegar a 6; por tanto,para llegar a 12 le falta 6 enteros con 7décimos.12 menos 5 es igual a 7. Y a 0.3 le faltan 6.7 parallegar a 7.Aproximo 5.3 al entero próximo, es decir, a 6. Leresto 6 a 12 y me da 6. Luego a 6 le agrego los 0.7que faltan.Si no surge ninguno de estos procedimientos, se

motiva a los alumnos para que escojan el que lesparezca más fácil.

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Bibliografía consultadaAlarcón, Jesús, Silvestre Cárdenas, Blanca Parra, Juan José Rivaud, Ma. Guadalupe Lucio y Alba Rojo,

Matemáticas 1, México, SEP-FCE, 1991.

Alarcón, Jesús, Guillermina Waldegg, Blanca Parra, Juan José Rivaud, Ma. Guadalupe Lucio y Alba Rojo,Matemáticas 2, México, SEP-FCE, 1991.

Block, David, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y Patricia Martínez, Los números y su representación,México, SEP, 1991 (Libros del Rincón).

Eiller, Robert, Roger Ravenel y Simone Ravenel, Math et Calcul CM1, París, Hachette Écoles, 1987.

, Math et Calcul CM2, París, Hachette Écoles, 1988.

F., Mollet-Petit, Mathématiques 6e., IREM-STRASBOURG, París, Éditions Casteilla, 1986.

Johnson, Donovan, Viggo Hansen, Wayne Peterson, Jesse Rudnick, Ray Cleveland y Carey Bolster,Activities in mathematics. First Course, Illinois, Teacher’s Edition, 1971.

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Fichero. Actividades didácticas.Matemáticas. Sexto grado

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

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fichero mat 6to

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