1. Z ZZExo7 Z Z ZZTous les exercices Z100.01 LogiqueExercice 1Soient R et S des relations. Donner la ngation de R S. [000104]Exercice 2Dmontrer que (1 = 2) (2 = 3).Correction[000105]Exercice 3Soient les quatre assertions suivantes :(a) x R y R x+y0; (b) x R y R x+y0 ;(c) x R y Rx+y0 ;(d) x R y R y2x. 1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur ngation.Indication Correction [000106]Exercice 4Soit f une application de R dans R. Nier, de la manire la plus prcise possible, les noncs qui suivent : 1. Pour tout x R f (x) 1. 2. Lapplication f est croissante. 3. Lapplication f est croissante et positive. 4. Il existe x R+ tel que f (x) 0. 5. Il existe x R tel que quel que soit y R, si xy alors f (x)f (y).On ne demande pas de dmontrer quoi que ce soit, juste dcrire le contraire dun nonc.Correction[000107]Exercice 5Complter les pointills par le connecteur logique qui simpose : , , . 1. x R x2 = 4 . . . . . . x = 2 ; 2. z C z = z . . . . . . z R ; 3. x R x = . . . . . . e2ix = 1.Correction[000108]Exercice 6Dans R2 , on dnit les ensembles F1 = {(x, y) R2 , y 0} et F2 = {(x, y) R2 , xy 1, x 0}. valuer lespropositions suivantes : 1. ]0, +[ M1 F1 M2 F2 / ||M1 M2 || 1

2. 2. M1 F1 M2 F2 / ]0, +[||M1 M2 || 3. ]0, +[ / M1 F1 M2 F2||M1 M2 || 4. M1 F1 M2 F2 ]0, +[ /||M1 M2 ||Quand elles sont fausses, donner leur ngation.Indication Correction[000109]Exercice 7Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendrontleur retraite avant 50 ans.Correction [000110]Exercice 8crire la ngation des assertions suivantes o P, Q, R, S sont des propositions. 1. P Q, 2. P et non Q, 3. P et (Q et R), 4. P ou (Q et R), 5. (P et Q) (R S).Correction [000111]Exercice 9Nier les assertions suivantes : 1. tout triangle rectangle possde un angle droit ; 2. dans toutes les curies, tous les chevaux sont noirs ; 3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation zx implique le relationzx+1; 4. 0 0 / |x 7/5| |5x 7|.Correction [000112]Exercice 10 Le missionnaire et les cannibalesLes cannibales dune tribu se prparent manger un missionnaire. Dsirant lui prouver une dernire fois leurrespect de la dignit et de la libert humaine, les cannibales proposent au missionnaire de dcider lui-mme deson sort en faisant une courte dclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rti, et il sera bouilli dansle cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (daprs Cervants)[000113]Exercice 11La proposition P Q (P) Q est-elle vraie ? [000114]Exercice 12On suppose que la proposition P est vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (Q) P S. 2. S (P) Q. 3. P R S. 4. S Q P. 5. R (S Q) T . 6. R (P) (Q). 2 3. La proposition T est-elle vraie ? [000115]Exercice 13Ecrire la ngation des phrases suivantes : 1. (x)(n)/(x n). 2. (M)/(n)(|un | M). 3. (x)(y)(xy = yx). 4. (x)(y)/(yxy1 = x). 5. (0)(N N)/(n N)(|un |). 6. (x R)(0)(0)/( f F )(y R)(|x y| | f (x) f (y)|).[000116]Exercice 14Comparer les diffrentes phrases (sont-elles quivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent lesautres...) 1. (x)(y)/(x y). 2. (x)(y)(x y). 3. (x)(y)/(x y). 4. (x)/(y)(x y). 5. (x)/(y)(yx). 6. (x)(y)/(yx). 7. (x)(y)/(x = y).[000117]Exercice 15Si P(x) est une proposition dpendant de x X, on note P = {x X/P(x) est vraie}. Exprimer en fonction deP et Q les ensembles P, P Q, P Q, P Q, P Q.[000118]Exercice 16 2n+1Montrer que 0, N N tel que (n N 2 n+2 2 + ).IndicationCorrection[000119]Exercice 17Soit f , g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quanticateurs les expressions suivantes : 1. f est majore ; 2. f est borne ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne sannule jamais ; 6. f est priodique ; 7. f est croissante ; 8. f est strictement dcroissante ; 9. f nest pas la fonction nulle ; 10. f na jamais les mmes valeurs en deux points distcincts ; 11. f atteint toutes les valeurs de N ; 3 4. 12. f est infrieure g ; 13. f nest pas infrieure g.Correction [000120]100.02 EnsembleExercice 18Montrer que 0 X, pour tout ensemble X./[000121]Exercice 19Montrer par contraposition les assertions suivantes, E tant un ensemble : 1. A, B P(E) (A B = A B) A = B, 2. A, B,C P(E) (A B = A C et A B = A C) B = C.Correction [000122]Exercice 20Soit A, B deux ensembles, montrer (A B) = A B et (A B) = A B.Indication Correction[000123]Exercice 21Soient E et F deux ensembles, f : E F. Dmontrer que :A, B P(E) (A B) ( f (A) f (B)),A, B P(E) f (A B) f (A) f (B),A, B P(E) f (A B) = f (A) f (B),A, B P(F) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B),A P(F) f 1 (FA) = Ef 1 (A).Correction [000124]Exercice 22A et B tant des parties dun ensemble E, dmontrer les lois de Morgan : A B = (A B) etA B = (A B). [000125]Exercice 23Dmontrer les relations suivantes : A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). [000126]Exercice 24Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F G F G = G) et (F G F G = E).En dduire que :(F G F G = F) et (F G F G = 0)./ [000127] 4 5. Exercice 25Soit E et F des ensembles. Si A E et B F montrer que A B E F. [000128]Exercice 26Soit A = {a1 , a2 , a3 , a4 } et B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }. crire le produit cartsien A B. Quel est le nombre departies de A B ? [000129]Exercice 27Soit E un ensemble n lments. Quel est le nombre dlments de E p ? Quel est le nombre de parties de E p ?[000130]Exercice 28x, y, z tant des nombres rels, rsoudre le systme : (x 1)(y 2)z = 0(x 2)(y 3) = 0Reprsenter graphiquement lensemble des solutions. [000131]Exercice 29Soit A une partie de E, on appelle fonction caractristique de A lapplication f de E dans lensemble deuxlments {0, 1}, telle que :0 si x A/f (x) =1 si x ASoit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractristiques. Montrer que les fonctions suivantes sontles fonctions caractristiques densembles que lon dterminera :1. 1 f .2. f g.3. f + g f g.[000132]Exercice 30Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On dsigne par A B lensemble (A B)(A B). Dans lesquestions ci-aprs il pourra tre commode dutiliser la notion de fonction caractristique.1. Dmontrer que A B = (AB) (BA).2. Dmontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (AB) C = A (B C).3. Dmontrer quil existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E, A X = X A = A.4. Dmontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A de E et une seule telle que A A = A A = X.[000133]Exercice 31 11. crire lensemble de dnition de chacune des fonctions numriques suivantes : x x, x x1 ,1 x x + x1 .2. Simplier [1, 3] [2, 4] et [1, 3] [2, 4]. 5 6. 3. Pour tout n N, on note nZ lensemble des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p Z}. Simplier 2Z 3Z.[000134]Exercice 32On dnit les cinq ensembles suivants :A1 = (x, y) R2 , x + y1A2 = (x, y) R2 , |x + y|1A3 = (x, y) R2 , |x| + |y|1A4 = (x, y) R2 , x + y1A5 = (x, y) R2 , |x y|11. Reprsenter ces cinq ensembles.2. En dduire une dmonstration gomtrique de(|x + y|1 et |x y|1) |x| + |y|1.[000135]Exercice 33Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ventuellement vide ou rduit un point ++11I1 = 3, 3 +et I2 = 2 , 4 + n2 . n=1n2 n=1 nCorrection[000136]Exercice 34Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ventuellement vide ou rduit un point+ + 111 I1 = ,2+et I2 = 1+ ,n .n=1 nnn=1 nCorrection[000137]Exercice 35Soient E un ensemble et A, B,C trois parties de E telles que A B = A C et A B = A C. Montrer que B = C.[000138]Exercice 36Soient E un ensemble et A, B,C trois parties de E.Montrer que (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A).[000139]Exercice 37Donner les positions relatives de A, B,C E si A B = B C. [000140]Exercice 38Est-il vrai que P(A B) = P(A) P(B) ? Et P(A B) = P(A) P(B) ?[000141]6 7. Exercice 39Montrer que A B = A C A B = A C. [000142]Exercice 40Donner la liste des lments de P(P({1, 2})). [000143]Exercice 41Soient A, B E. Rsoudre les quations linconnue X E 1. A X = B. 2. A X = B.Correction[000144]Exercice 42Soient E, F, G trois ensembles. Montrer que (E G) (F G) = (E F) G.[000145]Exercice 43Soient E, F, G, H quatre ensembles. Comparer les ensembles (E F) (G H) et (E G) (F H).[000146]Exercice 44Soit E lensemble des fonctions de N dans {1, 2, 3}. Pour i = 1, 2, 3 on pose Ai = { f E/ f (0) = i}. Montrerque les Ai forment une partition de E. [000147]100.03 Absurde et contraposeExercice 45Montrer que 2 Q./ [000148]Exercice 46Soit X un ensemble et f une application de X dans lensemble P(X) des parties de X. On note A lensembledes x X vriant x f (x). Dmontrer quil nexiste aucun x X tel que A = f (x). / [000149]Exercice 47Soit ( fn )nN une suite dapplications de lensemble N dans lui-mme. On dnit une application f de N dansN en posant f (n) = fn (n) + 1. Dmontrer quil nexiste aucun p N tel que f = f p .Indication Correction [000150]Exercice 48 1. Soit p1 , p2 , . . . , pr , r nombres premiers. Montrer que lentier N = p1 p2 . . . pr + 1 nest divisible par aucundes entiers pi . 2. Utiliser la question prcdente pour montrer par labsurde quil existe une innit de nombres premiers.Indication Correction [000151]7 8. 100.04 RcurrenceExercice 49Dmontrer, en raisonnant par rcurrence, que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111 quel que soit n N.(Indication : 1000 = 9 111 + 1 ). [000152]Exercice 50Montrer : n n(n + 1) 1. k=n N .k=1 2 n n(n + 1)(2n + 1) 2. k2 = n N .k=1 6Correction [000153]Exercice 51En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?Soit P(n) : n crayons de couleurs sont tous de la mme couleur. P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la mme couleur que lui-mme. Supposons P(n). Soit n + 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la mme couleur parhypothse de rcurrence.Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont nouveau de la mme couleur. Lepremier crayon retir tait donc bien de la mme couleur que les n autres. La proposition est donc vraie aurang n + 1. On a donc dmontr que tous les crayons en nombre inni dnombrable sont de la mme couleur. [000154]Exercice 522 2xn 3Soit la suite (xn )nN dnie par x0 = 4 et xn+1 = .xn + 2 1. Montrer que : n Nxn3. 2. Montrer que : n Nxn+1 33 (xn 3). 2 3 n 3. Montrer que : n Nxn 2 + 3. 4. La suite (xn )nN est-elle convergente ?Indication Correction[000155]Exercice 53 1. Dans le plan, on considre trois droites 1 , 2 , 3 formant un vrai triangle : elles ne sont pas concou-rantes, et il ny en a pas deux parallles. Donner le nombre R3 de rgions (zones blanches) dcoupes parces trois droites. 2. On considre quatre droites 1 , . . . , 4 , telles quil nen existe pas trois concourantes, ni deux parallles.Donner le nombre R4 de rgions dcoupes par ces quatre droites. 3. On considre n droites 1 , . . . , n , telles quil nen existe pas trois concourantes, ni deux parallles. SoitRn le nombre de rgions dlimites par 1 . . . n , et Rn1 le nombre de rgions dlimites par 1 . . . n1 .Montrer que Rn = Rn1 + n. 4. Calculer par rcurrence le nombre de rgions dlimites par n droites en position gnrale, cest--diretelles quil nen existe pas trois concourantes ni deux parallles.Correction [000156] 8 9. Exercice 54Soit X un ensemble. Pour f F (X, X), on dnit f 0 = id et par rcurrence pour n N f n+1 = f n f . 1. Montrer que n N f n+1 = f f n . 2. Montrer que si f est bijective alors n N ( f 1 )n = ( f n )1 .Indication Correction[000157]Exercice 55Montrer que nn+1n 2, n! . 2 [000158]Exercice 56Pour tout entier naturel n, on pose Sn = 1 2 + 2 3 + + (n 1) nDmontrer que lon a 1 Sn = n(n 1)(n + 1) 3 [000159]Exercice 57Pour n N on considre la proprit suivante :Pn :2nn2 1. Pour quelles valeurs de n limplication Pn = Pn+1 est-elle vraie ? 2. Pour quelles valeurs de n la proprit Pn est-elle vraie ? [000160]Exercice 58Que pensez-vous de la dmonstration suivante ? 1. Pour tout n 2, on considre la proprit :P(n) :n points distincts du plan sont toujours aligns 2. Initialisation : P(2) est vraie car deux points distincts sont toujours aligns. 3. Hrdit : On suppose que P(n) est vraie et on va dmontrer P(n + 1).Soit donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distincts. Daprs lhypothse de rcurrence, A1 , A2 , . . . , An sontaligns sur une droite d, et A2 , . . . , An , An+1 sont aligns sur une droite d . Les deux droites d et d ayantn 1 points communs A2 , . . . , An sont confondues. Donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont aligns, ce qui montrelhrdit de la proprit. 4. Conclusion : la proprit P(n) est vraie pour tout n 2. [000161]Exercice 59 1. Dmontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n 1. 2. Soit k un entier strictement positif. tudier la proprit suivante : pour tout entier naturel n, k divise(k + 1)n + 2.9 10. [000162]Exercice 60Dmontrer que pour n 1, le produit de n entiers impairs est un entier impair.[000163]Exercice 61On considre une suite (un )nN telle que :u0 = 0 et u1 = 1 et n 1, un+1 = un + 2un1Dmontrer que : 1. n N, un N, 1 2. n N, un = 3 (2n (1)n ). [000164]Exercice 62Soit b 2 un entier x. Dmontrer que pour tout N N , il existe un entier n N et des entiers a0 , a1 , . . . , anappartenant { 0, 1, . . . , b 1 } tels que ;N = a0 + a1 b + + an bn et an = 0Dmontrer que pour chaque N, le systme (n, a0 , a1 , . . . , an ) est dtermin par la proprit ci-dessus.On dit que a0 , a1 , . . . , an sont les chiffres de lcriture du nombre N suivant la base b. [000165]Exercice 63Dmontrer par rcurrence que pour tout k N, k! divise le produit de k entiers conscutifs :n N, k! | n(n + 1) (n k + 1) [000166]Exercice 64Les propritsPn : 3 | 4n 1 , n N,etQn : 3 | 4n + 1 , n N,sont-elles vraies ou fausses ? [000167]Exercice 65 1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1, 4, 42 , 43 par 3. 2. Formuler, pour tout n N, une hypothse P(n) concernant le reste de la division euclidienne de 4n par3. Dmontrer que P(n) est vrie pour tout n N. 3. Pour tout n N, le nombre 16n + 4n + 3 est-il divisible par 3. [000168]Exercice 66Dmontrer, en raisonnant par rcurrence, que 32n+2 2n+1 est divisible par 7 quel que soit n N. [000169]Exercice 6710 11. 1. Dmontrer par rcurrence :n n(n + 1) k=2k=0 2. Calculer de deux manires diffrentes : n+1 n k3 (k + 1)3 . k=1k=0 3. En dduire :n1 k2 = 6 (2n3 + 3n2 + 3n).k=0[000170]Exercice 68Montrer que pour tout entier n 1 :1 11 n++...+=. 1.2 2.3 n.(n + 1) n + 1[000171]Exercice 69Dmontrer, en le dterminant quil existe un entier n0 tel que n n0 , 2n (n + 2)2 .[000172]Exercice 70Dmontrer par rcurrence sur n que pour tout n 2 limplication [x1, x = 0] [(1 + x)n1 + nx]est vraie.[000173]Exercice 71 1. Soit n N ; montrer que pour tout entier k 1 on ank + knk1 (n + 1)k . 2. Soit b un rel positif ou nul. Montrer par rcurrence, que pour tout n 1 on anb (nb)2 (nb)n(1 + b)n 1 + + + ... + .1! 2!n![000174]Exercice 72Montrer par rcurrence que pour tout entier n N,n (a + b)n = Cn ak bnk ,kk=0pour tout rel a et b.[000175]Exercice 73On dnit une suite (Fn ) de la faon suivante : Fn+1 = Fn + Fn1 ;F0 = 1, F1 = 1 .11 12. 1. Calculer Fn pour 1n10. 2. Montrer que lquation x2 = x + 1 admet une unique solution positive a que lon calculera. 3. Montrer que, pour tout n 2, on aan2Fnan1 .[000176]Exercice 74Montrer que : 2 cos=2+ 2 + . . . 2. 2n[000177]Exercice 75Pour n N, n 2, trouver une loi simpliant le produit : 11 (1 )...(1 ). 4n[000178]Exercice 76Pour n N, soient a0 , . . . , an des nombres rels de mme signe tel que ai1, montrer que : (1 + a0 )...(1 + an )1 + a0 + . . . + an .[000179]100.05 Relation dquivalence, relation dordreExercice 77 1. Soit E = N N, on dnit R par : (a, b)R(a , b ) a + b = b + a . Montrer que R est une relationdquivalence. Identier E/R. 2. Mmes questions avec E = Z N et (p, q)R(p , q ) pq = p q.[000207]Exercice 78Dans R2 on dnit la relation R par : (x, y)R(x , y ) y = y . 1. Montrer que R est une relation dquivalence. 2. Dterminer la classe dquivalence de (x, y) R2 .[000208]Exercice 79Dans C on dnit la relation R par : zRz |z| = |z |. 1. Montrer que R est une relation dquivalence. 2. Dterminer la classe dquivalence de z C.12 13. IndicationCorrection [000209]Exercice 80Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symtrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ? xRy yRx car R est symtrique,or (xRy et yRx) xRx car R est transitive, donc R est rexive.IndicationCorrection [000210]Exercice 81tudier la relation Re dnie sur RR (lensemble des applications de R dans R) par :f Re g A0, x R, |x|A f (x) = g(x). [000211]Exercice 82Montrer que la relation R dnie sur R par :xRy xey = yexest une relation dquivalence. Prciser, pour x x dans R, le nombre dlments de la classe de x modulo R.IndicationCorrection [000212]Exercice 83La relation divise est-elle une relation dordre sur N ? sur Z ? Si oui, est-ce une relation dordre total ? [000213]Exercice 84tudier les proprits des relations suivantes. Dans le cas dune relation dquivalence, prciser les classes ;dans le cas dune relation dordre, prciser si elle est totale, si lensemble admet un plus petit ou plus grandlment. 1. Dans P(E) : AR1 B A B ; AR2 B A B = 0./ 2. Dans Z : aR3 b a et b ont la mme parit ;aR4 b n N a b = 3n ; aR5 b a b estdivisible par 3. [000214]Exercice 85Soient (X, ) et (Y, ) deux ensembles ordonns (on note abusivement les deux ordres de la mme faon). Ondnit sur X Y la relation (x, y) (x , y ) ssi (xx ) ou (x = x et y y ). Montrer que cest un ordre et quilest total ssi X et Y sont totalement ordonns. [000215]Exercice 86Un ensemble est dit bien ordonn si toute partie non vide admet un plus petit lment. 1. Donner un exemple densemble bien ordonn et un exemple densemble qui ne lest pas. 2. Montrer que bien ordonn implique totalement ordonn. 3. La rciproque est-elle vraie ? [000216]Exercice 87 13 14. Soit (E, ) un ensemble ordonn. On dnit sur P(E){0} la relation R par XRY ssi (X = Y ou x X y /Y x y). Vrier que cest une relation dordre.Correction [000217]Exercice 88a+bMontrer que a b =est une l.c.i sur ] 1, 1[ et dterminer ses proprits. [000218]1 + abExercice 89 Congruence des carrs modulo 5On dnit la relation sur Z par x y x2 y2 mod 5. 1. Dterminer lensemble quotient. 2. Peut-on dnir une addition quotient ? une multiplication quotient ? [003030]Exercice 90 Produit cartsienSoient deux relations dquivalence : R sur E, et S sur F. On dnit sur E F : (x, y) (x , y ) xRx et yS y . 1. Vrier que est une relation dquivalence. 2. Soit : E F (E/R) (F/S ), (x, y) (x, y) Dmontrer que est compatible avec , et que lapplication quotient associe est une bijection. [003031]Exercice 91 X A = Y ASoit E un ensemble et A E. On dnit la relation sur P(E) : X Y X A = Y A. 1. Montrer que cest une relation dquivalence. 2. Soit : P(E) P(EA), X XA.Montrer que est compatible avec , et que lapplication quotient associe est une bijection. [003032]Exercice 92 quivalences sur E ESoit E un ensemble non vide. On considre les relations sur F = E E : f g n N tq f n = gn , f g m, n N tq f n = gm , f g f (E) = g(E). 1. Montrer que , , sont des relations dquivalence. 2. Pour f F, on note f , f , f les classes dquivalence de f modulo , , . (a) Comparer f , f . (b) Montrer que toute classe dquivalence pour est runion de classes dquivalence pour . (c) Que pouvez-vous dire de f sil existe g f injective ? surjective ? (d) Mme question avec f . 14 15. [003033]Exercice 93 Relation dquivalence quotientSoient R et S deux relations dquivalence sur un ensemble E, telles que : x, y E, xRy xS y.On dnit S sur E/R par : xSy xS y. Vrier que S est une relation dquivalence, puis dnir une bijection entre (E/R)/S et E/S . [003034]Exercice 94 Compltion dune relation rexive et transitiveSoit R une relation binaire sur un ensemble E rexive et transitive. On dnit les deux relations : xS y (xRy et yRx), xT y (xRy ou yRx).Est-ce que S et T sont des relations dquivalence ? [003035]Exercice 95 Parties satures pour une relation dquivalenceSoit une relation dquivalence sur un ensemble E. Pour A E, on dnit s(A) = xA x. 1. Comparer A et s(A). 2. Simplier s(s(A)). 3. Montrer que : x E, on a (x s(A)) (x s(A) = ). En dduire s(Es(A)). 4. Dmontrer que s (iI Ai ) = iI s(Ai ) et s ( iI Ai ) iI s(Ai ). 5. Donner un exemple dinclusion stricte. [003036]Exercice 96 Ordre sur les fonctionsSoit X un ensemble et E = RX . On ordonne E par : f g x X, f (x) g(x). 1. Vrier que cest une relation dordre. 2. Lordre est-il total ? 3. Comparer les noncs : f est majore, et { f } est major. 4. Soit ( fi )iI une famille majore de fonctions de E. Montrer quelle admet une borne suprieure. [003037]Exercice 97 sup inf et inf supSoit f : R2 R une fonction borne. On dnit les fonctions :g : R R,t sup{ f (t, y) tq y R}h : R R,t inf{ f (x,t) tq x R}Montrer que g et h sont bornes, puis comparer sup h et inf g. [003038]Exercice 98 Ordre lexicographiqueOn note E = [1, 1]2 , et on dnit sur E la relation :(x, y) (x , y ) (xx ) ou (x = x et y y ) (ordre lexicographique). 1. Pour (a, b) E, reprsenter graphiquement lensemble des majorants de (a, b). 2. Soit A une partie non vide de E. Montrer que A admet une borne suprieure.15 16. [003039]Exercice 99 Distance entre un point et une partiePour A R non vide et borne, et x R, on note : d(x, A) = inf{|x a| tq a A} (distance de x A).Montrer que d(x, A) d(y, A) |x y|.[003040]Exercice 100 Parties adjacentesSoient A, B R vriant : a A, b B, a b 0, a A, b B tq b a (on dit que A et B sont adjacentes). Montrer que sup(A) = inf(B). [003041]Exercice 101 borne sup borne infSoit E ordonn tel que toute partie non vide et majore admet une borne suprieure. Montrer que toute partienon vide et minore admet une borne infrieure.Correction[003042]Exercice 102 Ordre sur R2On dnit sur R2 : (x, y) (x , y ) |x x| y y. 1. Vrier que cest une relation dordre. 2. Dessiner les ensembles des majorants et des minorants dun couple (a, b). 3. Lordre est-il total ? 4. Soit A = {(x, y) R2 tq x2 + y2 1}. Dterminer sup(A).Correction[003043]Exercice 103 Proprits de sup et infUn treillis est un ensemble ordonn E dans lequel pour tous x, y E, sup(x, y) et inf(x, y) existent. Soit E untreillis. 1. Montrer que sup et inf sont des oprations associatives. 2. A quelle condition ont-elles des lments neutres ? 3. Montrer que : x, y E, sup x, inf(x, y) = inf x, sup(x, y) = x, x, y, z E,x z sup x, inf(y, z) inf sup(x, y), z , x, y, z E,inf x, sup(y, z) sup inf(x, y), inf(x, z) .[003044]Exercice 104 Ordre dduit dune loi idempotenteSoit une opration commutative et associative sur E, telle que : x E, x x = x.On dnit la relation sur E par : x y x y = x 1. Reconnatre quand est sur P(X) (resp ). 2. Montrer que est une relation dordre. 3. Dmontrer que : x, y E, x y = inf(x, y). 16 17. [003045]Exercice 105 Borne suprieure parmi les intervallesSoit E lensemble des intervalles de R (y compris ) ordonn par linclusion.Soient I, J deux intervalles. Quest-ce que inf(I, J) ? sup(I, J) ?[003046]Exercice 106 Prolongement dapplicationsSoit E un ensemble et E = {(A, f ) tq A E, A = , et f E A }. On ordonne E par :AB (A, f ) (B, g) x A, f (x) = g(x)(cest--dire que la fonction g, dnie sur B, prolonge la fonction f , dnie seulement sur A). 1. Montrer que est une relation dordre. Lordre est-il total ? 2. Soient (A, f ) et (B, g) deux lments de E . Trouver une CNS pour que la partie {(A, f ), (B, g)} soit majore. Quelle est alors sa borne suprieure ? 3. Mme question avec minore. [003047]Exercice 107 Point xe dune fonction croissanteSoit f : [0, 1] [0, 1] croissante. On note A = {x [0, 1] tq f (x) x}. 1. Dmontrer que A nest pas vide. 2. Dmontrer que f (A) A. 3. Soit a = inf(A). Montrer que f (a) minore A. 4. En dduire que f (a) = a.Cela prouve que toute application croissante de [0, 1] dans lui-mme admet un point xe. Montrer que cestfaux pour lintervalle [0, 1[.[003048]Exercice 108 Relation dordre sur un ensemble quotientSoit R une relation sur E rexive et transitive. On dnit la relation : x y xRy et yRx. 1. Montrer que est une relation dquivalence sur E.Sur E/ on pose : x y xRy. 2. Montrer que cette dnition est indpendante des reprsentants x et y choisis. 3. Montrer que est une relation dordre sur E/ . [003049]Exercice 109 Pas de borne suprieure dans QDans cet exercice, on admet que : x Q, x2 = 2.1. Soient A = { x Z+ tq x22 } et B = { x Z+ tq x22 }. Dterminer sup(A) et inf(B).2. Soient A = { x Q+ tq x22 } et B = { x Q+ tq x22 }. On veut dmontrer que A nadmet pas de borne suprieure dans Q. Pour cela, on suppose au contraire que = sup(A) existe ( Q), et on2 pose = . (a) Montrer que = inf(B). (b) Montrer que : a A, b B, ona a b. Que pouvez-vous en dduire pour et ?+ (c) Obtenir une contradiction en considrant =2 . [003050] 17 18. 100.99 AutreExercice 110Quels sont les entiers n tels que 4n n! ? [000180]Exercice 111Montrer que :n 1n 2, un = k N. / k=1Indication : montrer que 2pn + 1 n 2, (pn , qn ) (N )2 , un = .2qn[000181]Exercice 112Soit f : N N une application vriant : n N , f (n + 1)f ( f (n)).Montrer que f = IdN . Indications : que dire de k N tel que f (k) = inf{ f (n)|n N} ? En dduire que n 0, f (n)f (0). Montrer ensuite que n N, on a : mn, f (m)f (n) et m n, f (m) m (on pourraintroduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de la forme f (m) avec mn). En dduire que f est strictementcroissante et quil nexiste quune seule solution au problme. Laquelle ? [000182]Exercice 113 nPour p {1, 2, 3} on note S p = k p .k=0 1. A laide du changement dindice i = n k dans S1 , calculer S1 . 2. Faire de mme avec S2 . Que se passe-t-il ? 3. Faire de mme avec S3 pour lexprimer en fonction de n et S2 . 4. En utilisant lexercice 50, calculer S3 .[000183]Exercice 114Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intrt reprsenter la zone du plan couverte par cesindices et sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer : 1. i j.1i jn 2. i( j 1).1i jn 3.(i 1) j.1i jn 4.(n i)(n j).1i jn 5. (p + q)2 (on posera k = p + q).1p,qn[000184]18 19. 101.01 ApplicationExercice 115Soient f : R R et g : R R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 1. A-t-on f g = g f ?Indication Correction [000185]Exercice 116Soit lapplication de R dans R, f : x x2 . 1. Dterminer les ensembles suivants : f ([3, 1]), f ([2, 1]), f ([3, 1][2, 1]) et f ([3, 1][2, 1]).Les comparer. 2. Mmes questions avec les ensembles f 1 (], 2]), f 1 ([1, +[), f 1 (], 2][1, +[) et f 1 (], 2][1, +[).[000186]Exercice 117 Images directes et rciproquesSoit f : E F une application, A, A E et B, B F. 1. Simplier f ( f 1 ( f (A))) et f 1 ( f ( f 1 (B))). 2. Montrer que f (A f 1 (B)) = f (A) B. 3. Comparer f (A A ) et f (A) f (A ). 4. Comparer f 1 (B B ) et f 1 (B) f 1 (B ). 5. A quelle condition sur f a-t-on : A E, f (EA) = Ff (A) ?[002889]Exercice 118 (X A, X B)Soit E un ensemble, et A, B deux parties xes de E. Soit : P(E) P(A) P(B), X (X A, X B). 1. Quest-ce que () ? (E(A B)) ? 2. A quelle condition sur A et B, est-elle injective ? 3. Est-ce que le couple (, B) possde un antcdent par ? 4. A quelle condition sur A et B, est-elle surjective ?[002890]Exercice 119 Partie stable par une applicationSoit f : E E. Pour n N , on note f n = f f f , et f 0 = idE . n foisSoit A E, An = f n (A), et B = nN An . 1. Montrer que f (B) B. 2. Montrer que B est la plus petite partie de E stable par f et contenant A.[002891]Exercice 120 Factorisation dune application 1. Soit f : F E et g : G E deux applications. Montrer quil existe une application h : G F telle queg = f h si et seulement si : g(G) f (F).A quelle condition h est-elle unique ? 2. Soit f : E F et g : E G deux applications. Montrer quil existe une application h : F G telle queg = h f si et seulement si : x, y E, f (x) = f (y) g(x) = g(y) .A quelle condition h est-elle unique ?19 20. [002892]Exercice 121 Proprits des applications A f (A) et B f 1 (B)Soit f : E F. On considre les applications : P(E) P(F), A f (A) et : P(F) P(E), B f 1 (B).Montrer que :1) f est injective est injective est surjective. [002893]2) f est surjective est surjective est injective.Exercice 122 f et fSoit f : E F une application, et G un troisime ensemble ayant au moins deux lments. On construit deuxnouvelles applications :f : E G F G , f et f GF GE , fMontrer que : 1. f est injective f est injective f est surjective. 2. f est surjective f est surjective f est injective. [002894]Exercice 123 f gh[h g f , g f h injectives et f h g surjective] Soient E F G E trois applications telles que h g f et g f h sont injectives et f h g est surjective. Montrer que f , g, h sont bijectives. [002895]Exercice 124 Parties satures pour la relation dquivalence associe fSoit f : E F une application, et S = {X E tq f 1 ( f (X)) = X}. 1. Pour A E, montrer que f 1 ( f (A)) S . 2. Montrer que S est stable par intersection et runion. 3. Soient X S et A E tels que X A = . Montrer que X f 1 ( f (A)) = . 4. Soient X et Y S . Montrer que X et YX appartienent S . 5. Montrer que lapplication S P( f (E)), A f (A) est une bijection. [002896]Exercice 125 ConjugaisonSoit E un ensemble et f : E E bijective.La conjugaison par f est lapplication f : E E E E , f f 1 1. Montrer que f est une bijection de E E . 2. Simplier f g . 3. Simplier f ( ) f (). 4. Soient I , S , les sous-ensembles de E E constitus des injections et des surjections. Montrer que I etS sont invariants par f .1 5. Lorsque est bijective, quest-ce que f ( )?20 21. [002897]Exercice 126 Ensembles quipotents E est moins puissant que Fsil existe une injectionf : E FSoient E, F deux ensembles. On dit que : E est plus puissant que F sil existe une surjection f : E F E et F sont quipotents sil existe une bijectionf : E F. 1. Dmontrer que : (E est moins puissant que F) (F est plus puissant que E). 2. Montrer que N, N , {n N tq n est divisible par 3}, et Z sont deux deux quipotents. 3. Dmontrer que E est moins puissant que P(E). 4. Soit f : E P(E) quelconque et A = {x E tq x f (x)}. Prouver que A f (E)./ / 5. Est-ce que E et P(E) peuvent tre quipotents ? 6. Soit G un troisime ensemble. Si E est moins puissant que F, dmontrer que E G est moins puissantque F G .[002898]Exercice 127 AfrmationsSoit f : E F. Que pensez-vous des afrmations suivantes ? 1. x EyFf (x) = y. 2. x E y F tel quef (x) = y. 3. x E tel que yFf (x) = y. 4. x E tel que y F tel quef (x) = y. 5. y FxEf (x) = y. 6. y F x E tel quef (x) = y. 7. y F tel que xEf (x) = y. 8. y F tel que x E tel quef (x) = y.[002899]101.02 Injection, surjectionExercice 128Donner des exemples dapplications de R dans R (puis de R2 dans R) injective et non surjective, puis surjectiveet non injective.[000187]Exercice 129Soit f : R R dnie par f (x) = x3 x.f est-elle injective ? surjective ? Dterminer f 1 ([1, 1]) et f (R+ ). [000188]Exercice 130Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?f : Z Z, n 2n ;f : Z Z, n n f : R R, x x2;f : R R+ , x x 2 f : C C, z z2 .[000189]21 22. Exercice 131Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1. f : N N, n n + 1 2. g : Z Z, n n + 1 3. h : R2 R2 , (x, y) (x + y, x y)x+1 4. k : R{1} R, x x1IndicationCorrection[000190]Exercice 132Soit f : R R dnie par f (x) = 2x/(1 + x2 ). 1. f est-elle injective ? surjective ? 2. Montrer que f (R) = [1, 1]. 3. Montrer que la restriction g : [1, 1] [1, 1] g(x) = f (x) est une bijection. 4. Retrouver ce rsultat en tudiant les variations de f .IndicationCorrection[000191]Exercice 133Lapplication f : C{0} C, z z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?Donner limage par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.Donner limage rciproque par f de la droite iR.[000192]Exercice 134On considre quatre ensembles A, B,C et D et des applications f : A B, g : B C, h : C D. Montrer que : g f injective f injective,g f surjective g surjective.Montrer que :g f et h g sont bijectives f , g et h sont bijectives .IndicationCorrection[000193]Exercice 135Soit f : X Y . Montrer que 1. B Y f ( f 1 (B)) = B f (X). 2. f est surjective ssi B Y f ( f 1 (B)) = B. 3. f est injective ssi A X f 1 ( f (A)) = A. 4. f est bijective ssi A X f ( A) = f (A).[000194]Exercice 136Soit f : X Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont quivalentes : i. f est injective.ii. A, B X f (A B) = f (A) f (B).22 23. iii. A, B X A B = 0 / f (A) f (B) = 0. /[000195]Exercice 137Soit f : X Y .On note f : P(X) P(Y ), Am apsto f (A) et f : P(Y ) P(X), B f 1 (B). Montrer que : 1. f est injective ssi f est injective.2. f est surjective ssi f est injective.[000196]Exercice 138 Exponentielle complexeSi z = x + iy, (x, y) R2 , on pose ez = ex eiy .1. Dterminer le module et largument de ez .2. Calculer ez+z , ez , ez , (ez )n pour n Z.3. Lapplication exp : C C, z ez , est-elle injective ?, surjective ?Correction[000197] 101.03 BijectionExercice 139Soient a, b R avec a = 0, et fa,b : R R telle que fa,b (x) = ax + b. Dmontrer que fa,b est une permutationet dterminer sa rciproque.Correction[000198]Exercice 140Soit f : [0, 1] [0, 1] telle quexsi x [0, 1] Q, f (x) =1xsinon.Dmontrer que f f = id.Indication Correction [000199]Exercice 141Soit f : R C, t eit . Changer les ensembles de dpart et darrive an que (la restriction de) f deviennebijective.Indication Correction [000200]Exercice 142On appelle demi-plan de Poincar lensemble P des nombres complexes z tels que Im z0, et disque unitlensemble D des nombres complexes z tels que |z|1. Dmontrer que z zi est une bijection de P sur D. z+i[000201]Exercice 143Soit f : [1, +[ [0, +[ telle que f (x) = x2 1. f est-elle bijective ?Indication Correction [000202]Exercice 144 f g hSoient A B C D. Montrer que si g f et h g sont bijectives alors f , g et h le sont galement. [000203]23 24. Exercice 145f g hSoient A B C A. Montrer que si h g f et g f h sont injectives et f h g surjective alors f , g et h sont bijectives. [000204]Exercice 146Soit X un ensemble. Si A X on note A la fonction caractristique associe. Montrer que : P(X) F (X, {0, 1}), A A est bijective.[000205]Exercice 147Soit E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on dnit lapplication f :(E) (E),X (A X) (B X c ). Discuter et rsoudre lquation f (X) = 0. En dduire une condition ncessaire pour /que f soit bijective.On suppose maintenant B = Ac . Exprimer f laide de la diffrence symtrique . Montrer que f est bijective,prciser f 1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle proprit en dduit-on ? [000206]101.99 Autre102.01 Binme de Newton et combinaisonExercice 148Dmontrer que si p est un nombre premier, p divise Ck pour 1 k p 1.p [000219]Exercice 149En utilisant la fonction x (1 + x)n , calculer :nnnk k1k Cn ; kCn; k + 1 Cn . k=0k=1k=1IndicationCorrection[000220]Exercice 150 k pk pDmontrer que CnCnk = Ck Cn (pour 0 k p n). En dduire quepn k pk CnCnk = 2 pCnp .k=0[000221]Exercice 151En utilisant la formule du binme, dmontrer que : 1. 2n + 1 est divisible par 3 si et seulement si n est impair ; 2. 32n+1 + 24n+2 est divisible par 7.IndicationCorrection[000222]Exercice 152 pp p1Dmontrer que Cn = Cn1 +Cn1 pour 1 p n 1. [000223]24 25. Exercice 153Montrer que, pour p et n entiers naturels non nuls tels que 1 p n, on a :p p1pCn = nCn1 . [000224]Exercice 154 1. Montrer que :p k pk CnCnk = 2 pCnp ,k=0o p et n sont des entiers naturels avec 0 p n. 2. Avec les mmes notations, montrer quep k pk (1)kCnCnk = 0. k=0 [000225]Exercice 155 1. Soient n, p et q des entiers naturels tels que 0 p, q n.pq 2. Montrer que lon a Cn = Cn si et seulement si p = q ou p + q = n. 3. Rsoudre lquation3n12n 2n+3 C2n+4 = C2n+4 . [000226]Exercice 156Soient m, n N et p N. En utilisant la formule du binme, dmontrer que m2p+1 + n2p+1 est divisible parm + n. [000227]Exercice 157En utilisant la formule du binme montrer : n n(a) (1)kCn = 0k (b) k2Cn = n(n 1)2n2 + n2n1 . kk=0 k=0Correction [000228]Exercice 158Calculer le module et largument de (1 + i)n . En dduire les valeurs de2 4 6 S1 = 1 Cn +Cn Cn + 1 3 5 S2 = Cn Cn +Cn Indication Correction[000229]Exercice 159Dmontrer les formules suivantes : 1. Cn = Cm (on pourra utiliser le fait que P(E) P(E)A Ac est une bijection.) mnm25 26. mm m1 2. Cn = Cn1 +Cn1 , mm m1 m2 3. Cn = Cn2 + 2Cn2 +Cn2 .Correction [000230]Exercice 160Soient E un ensemble non vide et X,Y une partition de E. 1. Montrer que lapplication suivante est une bijection : P(E) P(X) P(Y ) A (A X, A Y ) 2. Montrer que pour p, q, r N tel que r p + q on a : CipCq = Cr . jp+qi+ j=r 3. En dduire que : n (Cn )2 = C2n .k n k=0 [000231]Exercice 161P(E) P(E)Soit E un ensemble, a E et f : X X {a} si a X/ X X {a} si a X 1. Montrer que f est une bijection. 2. On suppose dsormais que E est ni et Card(E) = n. On pose P0 (E) lensemble des parties de E decardinal pair et P1 (E) lensemble des parties de E de cardinal impair. Montrer que Card(P0 (E)) =Card(P1 (E)).n 3. Calculer ces cardinaux et en dduire la valeur de (1)kCn .kk=0 [000232]Exercice 162 nEn utilisant la formule du binme de Newton, montrer que (1)kCn = 0. En dduire la valeur de k2k Cn .k=002kn [000233]Exercice 163Soient 0 p n.npp+1 1. Montrer par rcurrence sur n que Ck = Cn+1 . k=p 2. crire ces galits pour p = 2 et p = 3. 3. En dduire les sommes S2 = 1.2 + 2.3 + . . . + (n 1).n S2 = 12 + 22 + . . . + n2 S3 = 12 .2 + 22 .3 + . . . + (n 1)2 .nS3 = 13 + 23 + . . . + n3 26 27. [000234]Exercice 164 Calcul de sommesCn kCalculer n kCn et n k+1 .k=0kk=0Correction[002900]Exercice 165 Calcul de sommesSoient n, p N avec n p. k pp kp 1. Vrier que CnCk = Cn Cnp pour p k n.k p 2. Calculer n (1)kCnCk .k=0 3. En dduire n (1)kCn k p = 0 si pn.k=0kCorrection[002901]Exercice 166 Calcul de sommespSoient n, p N . Simplier k=0 (1)kCn .kCorrection[002902]Exercice 167 Sommes de cardinauxSoit E un ensemble ni de cardinal n. Calculer AE Card (A), A,BE Card (A B), A,BE Card (A B).Correction[002903]Exercice 168 Sommes dentiersSoit n N. Calculer i j et i jk.i+ j=n i+ j+k=nCorrection[002904]Exercice 169 Combinaisons avec rptitionspSoient n, p N. On note n le nombre de n-uplets (x1 , . . . , xn ) Nn tels que x1 + + xn = p. 1. Dterminer 0 , 1 , 2 , n .nnn2p+1 pp+1 2. Dmontrer que n+1 = n+1 + n (on classera les (n + 1)-uplets tels que x1 + + xn+1 = p + 1 suivantque x1 = 0 ou non).pp 3. En dduire que n = Cn+p1 .Correction[002905]Exercice 170 Sommes de coefcients du binmep p+1Soient n, p N. Montrer que n Cp+k = Cp+n+1 .k=0 [002906]pExercice 171 Cn maximalpp p+1Soit n N x. Dterminer pour quelle valeur de p le nombre Cn est maximal (on tudiera le rapport Cn /Cn ).Correction[002907] pExercice 172 Parit de CnSoit p N , et n = 2 p . k k1 1. Soit k {1, . . . , n 1}. Vrier que kCn = nCn1 .k 2. En dduire que : k {1, . . . , n 1}, Cn est pair.k 3. En dduire que : k {0, . . . , n 1}, Cn1 est impair. 27 28. [002908]Exercice 173 Formule de Vandermonde k ckSoient a, b, c N. Dmontrer que c CaCb = Ca+b . . . c k=0 1. En calculant de deux manires (1 + x)a (1 + x)b . 2. En cherchant le nombre de parties de cardinal c dans E F, o E et F sont des ensembles disjoints decardinaux a et b. k=0 k p+k p+q 3. Application : Soient n, p, q N. Montrer que q CqCn = Cn+q . [002909]Exercice 174 Formule dinversionSoit (xn ) une suite de rels. On pose yn = n Cn xk . Montrer que (1)n xn = n (1)kCn yk . k=0 k k=0 k [002910]Exercice 175 Suite de Fibonacci pSoit un = n Cnp . Montrer que u0 = u1 = 1 et : n N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci). p=0 [002911]102.02 CardinalExercice 176Montrer que Z est dnombrable en utilisant lapplication :n 2n 1 si n0 ; :NZn 2nsinon. [000235]Exercice 177Pour A, B deux ensembles de E on note AB = (A B)(A B). Pour E un ensemble ni, montrer : Card AB = Card A + Card B 2Card A B.Indication Correction[000236]Exercice 178Soit E un ensemble n lments, et A E un sous-ensemble p lments. Quel est le nombre de parties de Equi contiennent un et un seul lment de A ?Indication Correction[000237]Exercice 179Dterminer le nombre de mots distincts que lon peut former avec 6 voyelles et 20 consonnes, chaque mot tantcompos de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes conscutives. [000238]Exercice 180On considre les mains de 5 cartes que lon peut extraire dun jeu de 32 cartes. 1. Combien y a-t-il de mains diffrentes ? 2. Combien y a-t-il de mains comprenant un as ? 3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?28 29. 4. Combien y a-t-il de mains comprenant ( la fois) au moins un roi et au moins une dame ?[000239]Exercice 181Soient A, A , B, B quatre ensembles tels que : Card(A) = Card(A ) = a et Card(B) = Card(B ) = b. 1. Dterminer le nombre de bijections de A B sur A B . 2. Supposons maintenant que {A, B}, {A , B } forment deux partitions de E, un ensemble. Dterminer lenombre de bijections f : E E telles que f (A) = A et f (B) = B .[000240]Exercice 182Soient A et B deux sous ensembles nis dun ensemble E. 1. Montrer que : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B). 2. Montrer par rcurrence que si (Fi )1in est une famille de sous-ensembles nis de E alors :nnCard( Fi ) Card(Fi )i=1 i=1avec galit si les Fi sont deux deux disjoints.[000241]Exercice 183Soient 1 k n. Dterminer le nombre de k-uplets (i1 , . . . , ik ) tels que 1 i1. . .ik n. [000242]Exercice 184 PermutationsCombien y a-t-il de bijections f de {1, . . . , 12} dans lui-mme possdant : 1. la proprit : n est pair f (n) est pair ? 2. la proprit : n est divisible par 3 f (n) est divisible par 3 ? 3. ces deux proprits la fois ? 4. Reprendre les questions prcdentes en remplaant bijection par application.Correction[002912]Exercice 185 Permutations de couplesOn doit placer autour dune table ronde un groupe de 2n personnes, n hommes et n femmes, qui constituent ncouples. Combien existe-t-il de dispositions . . . 1. au total ? 2. en respectant lalternance des sexes ? 3. sans sparer les couples ? 4. en remplissant les deux conditions prcdentes ?Correction[002913]Exercice 186 Nombre doprations 1. Combien existe-t-il doprations internes sur un ensemble n lments ? 2. Combien sont commutatives ?29 30. 3. Combien ont un lment neutre ? 4. Combien sont commutatives et ont un lment neutre ?Correction [002914]Exercice 187 Formule du cribleSoient A1 , . . . , An n ensembles nis. 1. (a) Calculer Card (A1 A2 A3 ) et Card (A1 A2 A3 A4 ). (b) Suggrer une formule pour Card (A1 An ). n 1 si x Ai 2. Dmonstration de la formule : On note E =i=1 Ai , et pour x E on pose fi (x) = 0sinon. (a) Soient x1 , . . . , xn R. Dvelopper compltement p = (1 x1 ) (1 xn ). (b) En considrant la somme xE (1 f1 (x)) . . . (1 fn (x)), dmontrer la formule 1b. 3. Applications : (a) Dterminer le nombre dapplications f : {1, . . . , p} {1, . . . , n} non surjectives. (b) Dterminer le nombre de permutations dun ensemble n lments ayant au moins un point xe.Correction [002915]Exercice 188 Ingalits pour la formule du cribleSoient A1 , . . . , An n ensembles nis, et E = n Ai .i=1 n 1. Montrer que Card (E) i=1 Card (Ai ). Cas dgalit ? 2. Montrer que Card (E) n Card (Ai ) 1i jn Card (Ai A j ). Cas dgalit ? i=1Correction [002916]Exercice 189 Couples (A, B) tels que A B = ESoit E un ensemble ni n lments, et E = {(A, B) (P(E))2 tq A B = E}. Chercher card(E ).Correction [002917]Exercice 190 Parties ne contenant pas dlments conscutifs 1. Quel est le nombre de parties p lments de {1, . . . , n} ne contenant pas dlments conscutifs ? 2. Soit tn le nombre de parties de {1, . . . , n} de cardinal quelconque sans lments conscutifs. 222 2 (a) Montrer que tn+2 = tn+1 + tn , t2n+1 = tn + tn1 , et t2n = tn tn2 . (b) Calculer t50 .Indication Correction[002918]Exercice 191 Nombre de relations dquivalenceSoit Rn le nombre de relations dquivalence sur un ensemble n lments. 1. Trouver une relation de rcurrence entre Rn et les Rk , kn(xer un lment, et raisonner sur la classe dquivalence de cet lment). 2. Calculer Rn pour n 6.Correction [002919]Exercice 192 Equivalence entre fonctionsSoient E, F, deux ensembles non vides. On dnit deux relations sur X = F E par : f g : F F bijective tq g = f , f g x, y E, f (x) = f (y) g(x) = g(y) . 30 31. 1. Montrer que ce sont des relations dquivalence.2. Montrer que f g f g.3. On suppose f g. Montrer que f g dans les cas suivants : (a) F est ni et f est surjective. (b) F est ni et f est quelconque. (c) E est ni.4. Chercher un contrexemple pour E = F = N.[002920]Exercice 193 Trs bon ordreSoit E un ensemble ordonn dans lequel toute partie non vide possde un plus grand et un plus petit lment.Montrer que E est totalement ordonn et ni.[002921]Exercice 194 lment maximalSoit E un ensemble ordonn. Un lment a E est dit maximal sil nexiste pas de b E tq ba.1. Si E est totalement ordonn, montrer que : maximal maximum.2. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ordonn par la divisibilit. Chercher les lments maximaux.3. Si E est ni, montrer quil existe un lment maximal.4. Si E est ni et na quun seul lment maximal, montrer que cet lment est maximum.[002922]Exercice 195 Nombres de CatalanSoient x1 , . . . , xn n rels. Pour calculer la somme x1 + + xn , on place des parenthses de faon navoir quedes additions de deux nombres effectuer. Soit tn le nombre de manires de placer les parenthses (on poset1 = 1).1. Dterminer t2 ,t3 ,t4 .2. Trouver une relation de rcurrence entre tn et t1 , . . . ,tn1 .Correction[002923] 102.99 AutreExercice 1961. (principe des bergers) Soient E, F deux ensembles avec F ensemble ni, et f une surjection de E sur F vriant : y F, Card( f 1 (y)) = p Montrer que E est alors un ensemble ni et Card(E) = pCard(F).2. (principe des tiroirs) Soient 1 , 2 , . . . , p , p lements distincts dun ensemble E, rpartis entre une famille de n sous-ensembles de E. Si np montrer quil existe au moins un ensemble de la famille contenant au moins deux lments parmi les i .(on pourra raisonner par labsurde)[000243]Exercice 197nMontrer par rcurrence sur n que si A1 , . . . , An E alors Card(A1 . . .An ) = (1)k+1 Card(Ai1 k=11i1 ...ik n. . . Aik ).[000244] 31 32. Exercice 198Soit pn (k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k points xes, montrer alors que : n kpn (k) = n!.k=0Interprter. [000245]Exercice 199Soit E un ensemble de cardinal nm N , o (n, m) (N )2 , et Pn,m lensemble des partitions de E en n parties m lments chacune. Montrer que : (nm)!Nn,m = card(Pn,m ) =.n!(m!)n(Indication : on peut procder par rcurrence.)[000246]Exercice 200Lhistoire : n personnes apportent chacune un cadeau une fte, et chacun tire au sort un cadeau dans letas form par tous les prsents apports. Quelle est la probabilit quau moins une personne reparte avec soncadeau ? Que devient cette probabilit quand le nombre de personnes devient trs grand, i.e. : n ? (Onremarquera que lintuition met en vidence deux effets contradictoires : plus de personnes cest plus de probaquune personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais cest aussi plus de cadeaux, donc uneproportion plus leve de cadeaux acceptables).Soit Sn = ({1, . . . , n}). On dit que Sn est un drangement si i {1, . . . , n} (i) = i. On note Ai ={ Sn / (i) = i} et Dn lensemble des drangements. 1. Calculer Card(Ai ). 2. Exprimer Sn Dn en fonction des Ai . 3. En dduire Card(Dn ) (on pourra utiliser lexercice 197).CardDnn 4. Dterminer la limite de. (on rappelle que lim (1 + x + . . . + x ) = ex ). n!CardSn n+ [000247]Exercice 201Soit E un ensemble de cardinal n, Re une relation dquivalence sur E, avec k classes dquivalences et r couples(x, y) E 2 tels que x Re y. Montrer que n2 kr.[000248]Exercice 202 Dnombrement de N2Soitf : N2 N, 1(p, q) (p + q)(p + q + 1) + p. 2 1. Montrer pour q0 : f (p + 1, q 1) = f (p, q) + 1 et f (0, p + 1) = f (p, 0) + 1. 2. Montrer que : f (0, p + q) f (p, q)f (0, p + q + 1). 3. Montrer que g : n f (0, n) est strictement croissante. 4. Montrer que f est injective (on supposera f (p, q) = f (p , q ) et on montrera dans un premier temps quep + q = p + q ). 5. Montrer que f est surjective.32 33. [003051]Exercice 203 Parties dnombrablesSoit (nk ) une suite dentiers naturels. On dit que la suite est :- presque nulle sil existe p N tq k p, nk = 0- stationnaire sil existe p N tq k p, nk = n p .Montrer que les ensembles des suites presque nulles et des suites stationnaires sont dnombrables. [003052]Exercice 204 Proprits du pgcd et du ppcmSoient a, b N. On pose m = ppcm(a, b) et d = pgcd(a, b). 1. Soit x un multiple commun a et b. En crivant la division euclidienne de x par m, montrer que m | x. 2. Soit x un diviseur commun a et b. Montrer que ppcm(x, d) est aussi un diviseur commun a et b. Endduire x | d. 3. Comment qualier m et d pour la relation dordre de divisibilit ? [003053]Exercice 205 Bases de numrationSoit b N{0, 1} et p N. Montrer que pour tout entier n {0, . . . , b p 1}, il existe un unique p-uplet(n0 , . . . , n p1 ) dentiers naturels tel que : p1 kp, nk {0, . . . , b 1}, et n = nk bk . k=0 [003054]Exercice 206 Bases de numration pSoit n N . Montrer quil existe p N et n0 , n1 , . . . , n p {1, 2} uniques tels que n = k=0 nk 2k . [003055]Exercice 207 Bases de numrationSoient n, p N avec np!. Montrer quil existe un unique p-uplet (n1 , . . . , n p ) dentiers naturels tel quep k p, nk k,et n = nk k!. k=1 [003056]Exercice 208 Rcurrence dordre 2On note an = 25n + 23n+4 . 1. Trouver a, b Z tels que : n N, an+2 = a.an+1 + b.an . 2. En dduire que : n N, an est divisible par 17.Correction [003057]Exercice 209 Ordre sur NNSoit E = NN . Pour f , g E avec f = g, on note n f ,g = min{k tq f (k) = g(k)}.On ordonne E par : f , g E, fg ( f = g) ou f (n f ,g )g(n f ,g ) . 1. Montrer que cest une relation dordre total. 2. Montrer que toute partie de E non vide admet une borne infrieure et toute partie de E non vide et majoreadmet une borne suprieure.33 34. [003058]Exercice 210 f f (n) = n + kOn veut montrer quil nexiste pas dapplication f : N N vriant : n N, f ( f (n)) = n + 1987.(Olympiades 1987)Soit f une telle application. On pose :E = {0, . . . , 1986}, F = NE,G = f (N) E, H = EG.Dmontrer successivement : 1. f est injective, 2. f (F) F, 3. f 1 (F) = F G, 4. f 1 (G) = H,puis obtenir une contradiction.[003059]Exercice 211 f ( f (n))f (n + 1)Soit f : N N telle que : n N, f ( f (n))f (n + 1). On veut montrer que f = idN .(Olympiades 1977) 1. Montrer que n N, x n, f (x) n. 2. Soit n N et a n tel que f (a) = min{ f (x) tq x n}. Montrer que a = n. 3. En dduire que f est strictement croissante, puis conclure.Correction [003060]103.01 Divisibilit, division euclidienneExercice 212Combien 15! admet-il de diviseurs ?Indication Correction[000249]Exercice 213Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000 .Indication Correction[000250]Exercice 214Sachant que lon a 96842 = 256 375 + 842, dterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre96842 par chacun des nombres 256 et 375.Indication Correction[000251]Exercice 215Soient m 1 et n 2 des entiers ; montrer que : 1. n 1|nm 1 ; 2. (n 1)2 |nm 1 si et seulement si n 1|m. [000252]Exercice 216 34 35. Soit a un entier relatif quelconque, dmontrer que le nombre a(a2 1) et, plus gnralement, a(a2n 1) estdivisible par 6.[000253]Exercice 217Dmontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sadivision par 8.Indication Correction[000254]Exercice 218Quel est le plus petit entier naturel qui, divis par 8, 15, 18 et 24, donne respectivement pour reste 7, 14, 17 et23 ?[000255]Exercice 219Montrer que si et y sont des entiers naturels tels que x2 divise y2 , alors x divise y. Application : dmontrer, par xlabsurde, que 2 nest pas rationnel. [000256]Exercice 220Montrer que n N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24,n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.Correction [000257]Exercice 221Trouver tous les entiers relatifs n tels que n2 + n + 7 soit divisible par 13. [000258]Exercice 222On considre le nombre m = 2n p, dans lequel n dsigne un entier naturel quelconque et p un nombre premier.Dresser la liste des diviseurs de m, y compris 1 et m lui-mme, et calculer, en fonction de m et p, la somme Sde tous ces diviseurs.[000259]Exercice 223Le diviseur dune division est gal 45 ; le reste est le carr du quotient. Calculer le dividende entier naturel.[000260]Exercice 224Trouver le plus petit entier naturel n telle que le dveloppement dcimal de 1/n admette une plus petite priodede longueur 5, cest--dire 1/n = 0, abcde abcde ab . . . avec a, b, . . . , e {0, 1, 2, . . . , 9}.[000261]Exercice 225Les nombres a, b, c, d tant des lments non nuls de Z, dire si les proprits suivantes sont vraies ou fausses,en justiant la rponse.1. Si a divise b et c, alors c2 2b est multiple de a.2. Sil existe u et v entiers tels que au + bv = d alors pgcd(a, b) = |d|.3. Si a est premier avec b, alors a est premier avec b3 .4. Si a divise b + c et b c, alors a divise b et a divise c.5. Si 19 divise ab, alors 19 divise a ou 19 divise b.6. Si a est multiple de b et si c est multiple de d, alors a + c est multiple de b + d. 35 36. 7. Si 4 ne divise pas bc, alors b ou c est impair. 8. Si a divise b et b ne divise pas c, alors a ne divise pas c. 9. Si 5 divise b2 , alors 25 divise b2 .10. Si 12 divise b2 , alors 4 divise b.11. Si 12 divise b2 , alors 36 divise b2 .12. Si 91 divise ab, alors 91 divise a ou 91 divise b. [000262]Exercice 226On dnit les trois ensembles suivants :E1 = {7n , n N}E2 = {n N tel que n est multiple de 4}E3 = {28n , n N} 1. Pour 1 i, j 3, dterminer si on a linclusion Ei E j . 2. Ecrire E1 E2 sous la forme E = {n N , P(n)}. Montrer que E1 E2 = E3 . [000263]Exercice 227Montrer que si r et s sont deux nombres entiers naturels somme de deux carrs dentiers alors il en est de mmepour le produit rs.[000264]Exercice 228Soit n un entier relatif. Montrer que soit 8 divise n2 , soit 8 divise n2 1, soit 8 divise n2 4. [000265]Exercice 229tant donns deux nombres relatifs n et p montrer que soit np est pair, soit n2 p2 est divisible par 8.[000266]Exercice 230Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrs dentiers alors le reste de la division euclidiennede n par 4 nest jamais gal 3.Correction [000267]Exercice 231 1. Soit n un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut 2 ou 3, montrer que n2 + 1 estdivisible par 5. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, lentier n5 n est divisible par 5. [000268]Exercice 232Soit n N . Montrer que parmi les trois entiers n.(n + 1), n.(n + 2) et (n + 1).(n + 2), il y en a exactement deuxqui sont divisibles par 3.[000269]Exercice 23336 37. 1. Pour tout couple de nombres rels (x, y) montrer, par rcurrence, que pour tout n N on a la relationn1() xn yn = (x y). xk yn1k .k=0 Indication : on pourra crire de deux manires diffrentes la quantit y(xn yn ) + (x y)xn .2. Soit (a, b, p) des entiers lments de N. En utilisant la formule (), montrer que sil existe un entier l N tel que b = a + pl, alors pour tout n N , il existe un entier m N tel que bn = an + pm.3. Soient a, b, p des entiers lments de N, en utilisant la question 2, montrer que si a b est divisible par p, p1 ak b pk1 k=0 est aussi divisible par p. En dduire, laide de la question 2 et de la formule (), que si a b est divisible par pn i.e. il existe un entier l N tel que a b = l.pn , alors a p b p est divisible par pn+1 .Correction [000270]Exercice 234Calculer 20002000 modulo 7 et 2500 modulo 3. [000271]Exercice 235Soit a, b Z2 dont les restes modulo 11 sont 7 et 2 respectivement. Donner le reste modulo 11 de a2 b2 .[000272]Exercice 2361. Montrer que 7 divise 22225555 + 55552222 ;2. montrer que que 11 divise10 5105 510105 510 5 + 10;3. trouver un critre de divisibilit par 8 puis par 6. [000273]Exercice 237Montrer que pour tout n0 :1. 7 divise 32n+1 + 2n+22. 11 divise 26n+3 + 32n+13. 6 divise 5n3 + n4. 8 divise 5n + 2.3n1 + 1 . [000274]Exercice 2381. Dterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 3500 .2. On se donne 51 nombres compris entre 1 et 100. Montrer que parmi ces nombres il y en a ncessairement au moins deux tels que lun divise lautre. Montrer que lon peut toujours trouver un ensemble de 50 nombres compris entre entre 1 et 100 ne vriant pas la proprit de divisibilit ci-dessus.37 38. [000275]Exercice 239Trouver les entiers positifs n tels que n 1 divise n2 + 1.[000276]Exercice 240Montrer que pour chaque n N, 4 ne divise pas n2 + 1.[000277]Exercice 241Montrer que pour chaque entier positif n, 49 divise 23n+3 7n 8. [000278]Exercice 242Trouver tous les entiers positifs a tels que a10 + 1 est divisible par 10.[000279]Exercice 243Quel est le chiffre des units de 1997199710 ?[000280]Exercice 244Montrer que : 1. Si un entier est de la forme 6k + 5, alors il est ncessairement de la forme 3k 1, alors que la rciproqueest fausse. 2. Le carr dun entier de la forme 5k + 1 est aussi de cette forme. 3. Le carr dun entier est de la forme 3k ou 3k + 1, mais jamais de la forme 3k + 2. 4. Le carr dun entier est de la forme 4k ou 4k + 1, mais jamais de la forme 4k + 2 ni de la forme 4k + 3. 5. Le cube de tout entier est de la forme 9k, 9k + 1 ou 9k + 8. 6. Si un entier est la fois un carr et un cube, alors cest une puissance sixime, et il est de la forme 7k ou7k + 1.[000281]Exercice 245Dterminer les entiers n N tels que : 1. n|n + 8. 2. n 1|n + 11. 3. n 3|n3 3.[000282]Exercice 246Soit k Z. Dterminer les entiers n N tels que (n|2k + 1 et n|9k + 4).[000283]Exercice 247Montrer que (a, b) N N il existe un unique r(a) {0, . . . , b 1} tel quil existe q N avec a = bq + r(a). 1. En utilisant ceci pour b = 13, dterminer les entiers n N tels que 13|n2 + n + 7. 2. Si a N et b = 7, dterminer les valeurs possibles de r(a2 ) (on rappelle que r(a2 ) doit appartenir {0, . . . , b 1}).Montrer alors que (x, y) N2 (7|x2 + y2 ) ssi (7|x et 7|y). 3. Montrer quun entier positif de la forme 8k + 7 ne peut pas tre la somme de trois carrs dentiers. 38 39. [000284]Exercice 2481. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carr de tout nombre impair est 1.2. Montrer de mme que tout nombre pair vrie x2 = 0[8] ou x2 = 4[8].3. Soient a, b, c trois entiers impairs. Dterminer le reste modulo 8 de a2 +b2 +c2 et celui de 2(ab+bc+ca).4. En dduire que ces deux nombres ne sont pas des carrs puis que ab + bc + ca non plus.IndicationCorrection[000285]Exercice 249 Sommes de nombres impairsSoit n N, n 2. Montrer que si N est la somme de n nombres impairs conscutifs, alors N nest pas premier.[003090]Exercice 250 Petit thorme de FermatSoit p N premier. Montrer que pour 1 k p 1, p divise Ck .pEn dduire que n Z, n p n(mod p). [003091]Exercice 251 (p 1)(p 2)...(p n)/n!(p1)(p2)...(pn)Soit p N premier et n N , np. Montrer que n! (1)n est un entier divisible par p. [003092]Exercice 252 n7 n(mod 42)Montrer que : n Z, n7 n(mod 42).[003093]Exercice 253 Puissances de 10 modulo 71. Vrier 106 1(mod 7). k2. Montrer que 10 1010 5(mod 7).k=1[003094]Exercice 254 Puissances de 77 7 7 77Quel est le dernier chiffre de 77 ?Correction[003095]Exercice 255 3x = 2y + 11. Soient x, y N, y 3. Montrer par rcurrence sur y que : 3x 1(mod 2y ) 2y2 | x.2. Trouver tous les couples dentiers x, y N tels que 3x = 2y + 1.Correction[003096]Exercice 256 Suites rcurrentes linairesMontrer que pour tout n N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.[003097]Exercice 257 Suites rcurrentes linairesDterminer le reste de la division euclidienne de 210n7 + 35n2 par 11.Correction[003098] 39 40. Exercice 258 a b(mod n) an bn (mod n2 )Soient a, b Z et n N . Montrer que : a b(mod n) an bn (mod n2 ).[003099]Exercice 259 a2 + b2 + c2 + 1 0(mod 8)Montrer que : a, b, c Z, a2 + b2 + c2 + 1 0mod 8.[003100]Exercice 260 Cubes conscutifsMontrer que la somme de trois cubes conscutifs est toujours divisible par 9.[003101]Exercice 261 n2 + 3n + 5 mod 121Montrer que : n Z, n2 + 3n + 5 nest pas divisible par 121.Correction [003102]Exercice 262 n Z, n(n + 1)(7n + 1) est divisible par 6Montrer que pour tout entier n Z, n(n + 1)(7n + 1) est divisible par 6.[003103]Exercice 263 232 + 1 est divisible par 641Montrer sans calculatrice que 232 + 1 est divisible par 641. [003104]Exercice 264 3x .7y mod 10Trouver tous les couples (x, y) N2 tels que 3x 7y se termine par 1 en base 10.Correction [003105]Exercice 265 a3 = . . . 123456789Soit a N premier 10. 1. Montrer que a4 1(mod 10). k 2. Montrer que pour tout entier k N, a410 1(mod 10k+1 ). 3. En dduire quil existe un nombre x N tel que x3 se termine par 123456789 en base 10.Correction [003106]Exercice 266 mn(m60 n60 ) est divisible par 56786730Montrer que pour tous entiers m et n, le nombre mn(m60 n60 ) est divisible par 56786730.Correction [003107]Exercice 267 q | 2 p 1Soient p, q premiers impairs tels que q | 2 p 1. Montrer que q 1(mod 2p).Correction [003108]Exercice 268 Divisibilit par 7Inrmer ou justier le critre de divisibilit par 7 suivant retrouv dans un vieux grimoire : Spare en unitset dizaines puis cherche la diffrence entre le double des units et les dizaines. Agis ainsi tant que tu as desdizaines et obtiens zro ou sept. Ainsi 364 devient 28 puis 14 puis enn 7. [003109] 40 41. 103.02 Sous-groupes de ZExercice 269Montrer quil est quivalent dans Z de dire m divise n, ou nZ mZ. [000286]Exercice 270 1. Montrer que lintersection de deux sous-groupes de Z est un sous-groupe de Z. Caractriser le sous-groupe aZ bZ. Caractriser les sous-groupes suivants : 2Z 3Z ; 5Z 13Z ; 5Z 25Z. 2. Montrer que toute intersection de sous-groupes de Z est un sous-groupe de Z. Caractriser lintersectiondune famille nie de sous-groupes. Caractriser les sous-groupes suivants :17 2n Z ; 4Z 6Z 8Z 19Z 35Z. n=1[000287]Exercice 271 1. Dterminer 2Z 3Z. Est-ce un sous-groupe de Z ?28 n 2. Dterminer : 7Z 49Z ; 5Z 45Z ;n=1 2 Z. Ces ensembles sont-ils des sous-groupes de Z ? 3. Trouver une condition ncessaire et sufsante pour quune runion de deux sous-groupes de Z soit unsous-groupe de Z.[000288]Exercice 272 1. Soit A une partie non vide de Z ; montrer que la famille des sous-groupes contenant A nest pas vide. SoitH une partie contenant A. Montrer lquivalence des conditions suivantes :i) H est lintersection des sous-groupes de Z qui contiennent A,ii) H est le plus petit sous-groupe de Z qui contient A, iii) H est lensemble des sommes nies dlments de A ou dlments dont loppos est dans A.Si ces conditions sont vries on dit que H est le sous-groupe engendr par A. 2. Soient mZ et nZ deux sous-groupes de Z. Montrer que mZ + nZ = {mu + nv | u, v Z}a) est un sous-groupe de Z,b) contient mZ et nZ,c) est contenu dans tout sous-groupe de Z qui contient mZ et nZ.d) Si mZ + nZ = dZ, que peut-on dire de d ? 3. Dterminer les sous-groupes engendrs par : 14Z 35Z ; 4Z 8Z 6Z 64Z ; 2Z 3Z ; 4Z 21Z ;5Z 25Z 7Z ; {70, 4}.[000289]41 42. 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme dEuclideExercice 273Calculer le pgcd des nombres suivants : 1. 126, 230. 2. 390, 720, 450. 3. 180, 606, 750.Correction[000290]Exercice 274 1. Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50. 2. Montrer que si a 1 et b 1 sont des entiers de pgcd d et, si on pose a = da ; b = db , le ppcm de a et best da b . 3. Montrer que si a, b, c sont des entiers suprieurs 1, on a : ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c).[000291]Exercice 275Dterminer les couples dentiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De mme avec pgcd 18 et produit 6480.Correction[000292]Exercice 276Si a, b, c, d sont des entiers suprieurs 1, montrer que lon a : (a, b, c, d) = ((a, b), (c, d))o ( , ) dsigne le pgcd .[000293]Exercice 277 1. Soient a, b, c des entiers relatifs tels que (a, b) = (0, 0), montrer que pour que lquation ax + by = cait une solution (x, y) en entiers relatifs x et y, il faut et il suft que le pgcd de a et b divise c. 2. Rsoudre en entiers relatifs les quations suivantes : 7x 9y = 1, 7x 9y = 6, 11x + 17y = 5.[000294]Exercice 278Soient a et b deux entiers tels que a b 1 et pgcd(a, b) = 1. 1. Montrer que pgcd(a + b, a b) = 1 ou 2, 2. Si pgcd(a, b) = 1, montrer que pgcd(a + b, ab) = 1, 3. Si pgcd(a, b) = 1, montrer que pgcd(a + b, a2 + b2 ) = 1 ou 2. 42 43. [000295]Exercice 279Calculer par lalgorithme dEuclide : 18480 9828. En dduire une criture de 84 comme combinaison linairede 18480 et 9828.Correction[000296]Exercice 280Dterminer le pgcd de 99 099 et 43 928. Dterminer le pgcd de 153 527 et 245 479. [000297]Exercice 281Dterminer lensemble de tous les couples (m, n) tels que 955m + 183n = 1.Correction[000298]Exercice 282Calculer, en prcisant la mthode suivie,a = pgcd(720, 252) b = ppcm(720, 252)ainsi que deux entiers u et v tels que 720u + 252v = a. [000299]Exercice 283Dmontrer :a (b1 b2 ) = 1 (a b1 = 1 et a b2 = 1),puis par rcurence : a (b1 . . . bn ) = 1 i = 1, . . . , n a bi = 1.[000300]Exercice 284Dmontrer pour m, n N : am bn = 1 a b = 1.[000301]Exercice 285Dteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, 1008, et leur pgcd, 24. [000302]Exercice 286Notons a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789. 1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 2. Calculer p = pgcd(a, b). 3. Dterminer deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = p.Correction[000303]Exercice 287Soient m et n deux entiers (mn0) et a 2 un entier. Montrer que le reste de la division euclidienne deam 1 par an 1 est ar 1 o r est le reste de la division euclidienne de m par n, et que le pgcd de am 1 etan 1 est ad 1, o d est le pgcd de m et n. [000304]43 44. Exercice 288Rsoudre dans Z : 1665x + 1035y = 45.Correction [000305]Exercice 289Montrer quil nexiste pas dentiers m et n tels que m + n = 101 etpgcd(m, n) = 3 [000306]Exercice 290Soit m et n deux entiers positifs. 1. Si pgcd(m, 4) = 2 et pgcd(n, 4) = 2, montrer que pgcd(m + n, 4) = 4. 2. Montrer que pour chaque entier n, 6 divise n3 n. 3. Montrer que pour chaque entier n, 30 divise n5 n. 4. Montrer que si m et n sont des entiers impairs, m2 + n2 est pair mais non divisible par 4. 5. Montrer que le produit de quatre entiers conscutifs est divisible par 24. 6. Montrer que si pgcd(a, b) = 1, alors pgcd(a + b, a b) {1, 2}, pgcd(2a + b, a + 2b) {1, 3}, pgcd(a2 + b2 , a + b) {1, 2}, pgcd(a + b, a2 3ab + b2 ) {1, 5}. [000307]Exercice 291Trouver une CNS pour que ax + b 0 mod n ait une solution.[000308]Exercice 292 1. Calculer pgcd(18, 385) par lalgorithme dEuclide, en dduire un couple (u0 , v0 ) Z2 solution de lqua-tion 18u + 385v = 1, avec (u, v) Z2 . 2. Fournir enn lensemble des solutions entires de 18u + 385v = 1; 18u + 385v = 3;54u + 1155v = 3; 54u + 1155v = 5. [000309]Exercice 293Trouver a et b entiers naturels tels que 1. a + b = 2070 et ppcm(a, b) = 9180 ; 2. a2 +b2 = 5409 et ppcm(a, b) = 360 (on pourra commencer par montrer que pgcd(a, b) divise pgcd(5409, 360)et considrer ensuite diffrents cas). [000310]Exercice 294Rsoudre dans Z les quations : 35x 7 mod 4; 22x 33 mod 5[000311]44 45. Exercice 295Rsoudre dans Z le systme suivant : x 4 mod 6 S: x 7 mod 9On recherchera dabord une solution particulire. [000312]Exercice 296 1. Rsoudre dans Z les quations : x2 2 mod 6;x3 3 mod 9. 2. Rsoudre dans Z2 les quations suivantes : 5x2 + 2xy 3 = 0 ; y2 + 4xy 2 = 0.[000313]Exercice 297Rsoudre dans Z2 les quations suivantes : a) 17x + 6y = 1b) 27x + 25y = 1 c) 118x + 35y = 1d) 39x + 26y = 1[000314]Exercice 298Montrer que si a divise 42n + 37 et 7n + 4, pour une valeur de n donne, alors a divise 13. Quelles sont lesvaleurs possibles pour n ?[000315]Exercice 299Trouver pgcd(357, 629) et trouver des entiers x et y tels que pgcd(357, 629) = 357x + 629y[000316]Exercice 300Trouver pgcd(2183, 6313) = d et trouver des entiers x et y tels qued = 2183x + 6313y[000317]Exercice 301Supposons pgcd(a, b) = d et soit x0 et y0 des entiers tels que d = ax0 + by0 . Montrer que : 1. pgcd(x0 , y0 ) = 1, 2. x0 et y0 ne sont pas uniques.[000318]Exercice 302Soit a, b, c des entiers. 1. Montrer que pgcd(ca, cb) = |c| pgcd(a, b). 2. Montrer que pgcd(a2 , b2 ) = (pgcd(a, b))2 . 3. Montrer que si pgcd(a, b) = 1 et si c divise a, alors pgcd(c, b) = 1.45 46. 4. Montrer que pgcd(a, bc) = 1 pgcd(a, b) = pgcd(a, c) = 1.5. Montrer que si pgcd(b, c) = 1 alors pgcd(a, bc) = pgcd(a, b)pgcd(a, c).6. Montrer que pgcd(a, b) = pgcd(a + b, ppcm(a, b)). [000319]Exercice 303En divisant un nombre par 8, un lve a obtenu 4 pour reste ; en divisant ce mme nombre par 12, il a obtenu 3pour reste. Quen pensez-vous ?Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais derreur, a divis le millsime de lanne par 29, il a trouv 25pour reste ; il a divis le mme millsime par 69, il a trouv 7 pour reste. En quelle anne cela se passait-il ?[000320]Exercice 304Trouver deux nombres sachant que leur somme est 581 et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est 240.[000321]Exercice 305Trouver les solutions entires de lquation : 102x 18018y = 18.Combien y a-t-il de solutions telles que x et y soient compris entre entre 0 et 4000 ? [000322]Exercice 306Le pgcd de deux nombres est 12 ; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par lalgorithmedEuclide sont 8, 2 et 7. Trouver ces deux nombres.[000323]Exercice 307Trouver les couples de nombres a et b, divisibles par 3, vriant les proprits suivantes : leur ppcm est 7560, etsi on augmente chacun de ces nombres dun tiers de sa valeur, le pgcd des deux nombres obtenus est 84. [000324]Exercice 308Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mtres a et b sont des nombres entiers, a pour aire 3024 m2 .Calculer son primtre sachant que le pgcd de a et b est 6. Combien y a-t-il de solutions possibles ?[000325]Exercice 3091. Dans Z/nZ, crire lensemble des multiples de x, classe de x, pour x variant de 0 n 1 dans chacun des cas suivants : Z/5Z, Z/6Z, Z/8Z.2. Dans Z/nZ, montrer lquivalence des trois propositions : i) x est inversible ; ii) x et n sont premiers entre eux ; iii) x engendre Z/nZ, cest dire que lensemble des multiples de x est Z/nZ. 3. La classe de 18 est-elle inversible dans Z/49Z ? Si oui, quel est son inverse ? (On pourra utiliser le thorme de Bzout). [000326]Exercice 310Rsoudre dans Z les quations suivantes :1. 91x 65y = 156. 46 47. 2. 135x 54y = 63. 3. 72x + 35y = 13.[000327]Exercice 311Rsoudre dans N les quations suivantes : 1. 31x 13y = 1. 2. 31x 13y = 1.Application : Au bord dune piscine pleine deau, on dispose dune cuve xe de 31 litres munie sa base dunrobinet de vidange, et dun seau de 13 litres. Expliquer comment oprer pour obtenir exactement 1 litre dans leseau.[000328]Exercice 312Rsoudre dans N lquation 77x + 105y = 2401. [000329]Exercice 313Dans un pays nomm ASU, dont lunit montaire est le rallod, la banque nationale met seulement des billetsde 95 rallods et des pices de 14 rallods. 1. Montrer quil est possible de payer nimporte quelle somme entire ( condition bien sr que les deuxparties disposent chacune dassez de pices et de billets). 2. On suppose que vous devez payer une somme S, que vous avez une quantit illimite de pices et debillets, mais que votre crancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est possible de payer si S = 14,mais pas si S = 13 ou si S = 15. . . Montrer quil est toujours possible de payer si S est assez grande.Quelle est la plus grande valeur de S telle quil soit impossible de payer S ?[000330]Exercice 314Trouver tous les points coordonnes entires du plan dquation 6x + 10y + 15z = 1997. Combien y a-t-il desolutions dans N3 ?[000331]Exercice 315 4x 2y z 5 = 0 1. Trouver tous les points coordonnes entires de la droite de lespace dquations. x + 3y 4z 7 = 0 x + 3y 5z 5 = 0 2. Mme question avec la droite .4x 2y + z + 13 = 0[000332]Exercice 316Rsoudre dans N et dans Z lquation 1 11+ = x y 15[000333]Exercice 317Un coq cote 5 pices dargent, une poule 3 pices, et un lot de quatre poussins 1 pice. Quelquun a achet100 volailles pour 100 pices ; combien en a-t-il achet de chaque sorte ? [000334]Exercice 31847 48. Soient a et b deux nombres entiers relatifs. On note d leur pgcd. Construisons les suites an et bn n N, valeursdans Zde la manire suivante :a0 = ab0 = bet pour tout n N, on pose an+1 = bn et bn+1 = r o r est le reste de la division euclidienne de an par bn . 1. Montrer que si dn est le pgcd de an et bn alors dn est galement le pgcd de an+1 et bn+1 . 2. Dduire de la questionh prcdente que d est le pgcd des nombres an et bn pour tout n N. 3. Montrer que la suite bn est strictement dcroissante. Que peut-on en dduire ? 4. Dduire de ce qui prcde que pour tout couple dentiers relatifs (a, b) il existe un couple dentier relatifs(u, v) tel que : d = au + bv. [000335]Exercice 319Soient a, b, c Z tels que a b = 1. Montrer que a (bc) = a c. [003110]Exercice 320 pgcd(a + b, ppcm(a, b))Soient a, b entiers, d = a b, m = a b. Chercher (a + b) m.Correction [003111]Exercice 321 pgcd((a b)3 , a3 b3 )Soient a, b Z. Chercher (a b)3 (a3 b3 ).Correction [003112]Exercice 322 pgcd(n3 + n, 2n + 1)Soit n N. Chercher (n3 + n) (2n + 1).Correction [003113]Exercice 323 pgcd(15n2 + 8n + 6, 30n2 + 21n + 13)Soit n N. Chercher (15n2 + 8n + 6) (30n2 + 21n + 13).Correction [003114]Exercice 324 pgcd et ppcm impossSoient d, m N . Donner une condition ncssaire et sufsante sur d et m pour quil existe a, b Z tels quea b = d et a b = m.Rsoudre ce problme pour d = 50 et m = 600.Correction [003115]Exercice 325 ppcm(x, y) + 11pgcd(x, y) = 203Trouver les couples dentiers (x, y) Z2 tels que : x y + 11(x y) = 203.Correction [003116]Exercice 326 x2 + y2 = 85113, ppcm(x, y) = 176448 49. Rsoudre : x2 + y2 = 85113 x y = 1764.Correction [003117]Exercice 327 ppcm(x, y) = 210 pgcd(x, y), y x = pgcd(x, y) x y = 210(x y)Rsoudre : y x = x y.Correction [003118]Exercice 328 pgcd(x, y) = x + y 1Rsoudre dans Z : x y = x + y 1.Correction [003119]Exercice 329 ppcm(x, y) = x + y 1Rsoudre dans Z : x y = x + y 1.Correction [003120]Exercice 330 pgcd(x, y) = x y, ppcm(x, y) = 300 xy = xyRsoudre dans N : x y = 300.Correction [003121]Exercice 331 pgcd(an 1, am 1)Soient a, m, n N , a 2, et d = (an 1) (am 1). 1. Soit n = qm + r la division euclidienne de n par m. Dmontrer que an ar (mod am 1). 2. En dduire que d = (ar 1) (am 1), puis d = a(nm) 1. 3. A quelle condition am 1 divise-t-il an 1 ?Correction [003122]Exercice 332 pgcd multipleSoient a1 , . . . , an N et bi = j=i a j . Montrer que a1 , . . . , an sont deux deux premiers entre eux si et seulementsi b1 , . . . , bn sont premiers entre eux dans leur ensemble.[003123]Exercice 333 quations coefcients entiersSoient a, b, c trois entiers relatifs. On considre lquation : ax + by = c, dont on recherche les solutions dansZ2 . 1. Donner une condition ncssaire et sufsante pour que cette quation admette une solution. 2. Soit (x0 , y0 ) une solution du problme de Bzout : ax0 + by0 = d. Dterminer toutes les solutions deax + by = c en fonction de a, b, c, d, x0 et y0 . 3. Rsoudre dans Z2 : 2520x 3960y = 6480.Correction [003124]Exercice 334 quations coefcients entiersRsoudre dans Z : 49 50. 1. 95x + 71y = 46. 2. 20x 53y = 3. 3. 12x + 15y + 20z = 7.Correction [003125]Exercice 335 Congruences simultanesx a(mod b) 1. Soient a, b, a , b Z avec b b = 1. Montrer que le systme : possde des solutionsx a (mod b )et quelles sont congrues entre elles modulo bb . 2. Gnraliser. [003126]Exercice 336 Congruences simultanesRsoudre : x 2 (mod 140)1. x 3(mod 99). x 3 (mod 4) 2. x 2(mod 3) x 7 (mod 5). Correction [003127]Exercice 337 Congruences simultanesUne bande de 17 pirates dispose dun butin compos de N pices dor dgale valeur. Ils dcident de se lepartager galement et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reoit 3 pices.Mais une rixe clate et 6 pirates sont tus. Tout le butin est reconstitu et partag entre les survivants commeprcdemment ; le cuisinier reoit alors 4 pices.Dans un naufrage ultrieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvs. Le butin est nouveau partagde la mme manire et le cuisinier reoit 5 pices.Quelle est alors la fortune minimale que peut esprer le cuisinier lorsquil dcide dempoisonner le reste despirates ?Correction [003128]Exercice 338 Dcomposition coefcients positifsSoient a, b N premiers entre eux. Montrer que : x ab, u, v N tels que au + bv = x.[003129]103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre euxExercice 339Soient a, b des entiers suprieurs ou gaux 1. Montrer : 1. (2a 1)|(2ab 1) ; 2. (2a 1) (2b 1) = (2ab 1) ; 3. (2a 1 premier ) (a premier ).Indication Correction[000336]Exercice 340 50 51. Dmontrer que, si a et b sont des entiers premiers entre eux, il en est de mme des entiers a + b et ab.Indication Correction[000337]Exercice 341Rsoudre lquation 29x 11y = 1 dans Z.On considre maintenant lquation 29x 11y = 5. Dduire de ce qui prcde une solution particulire de cettequation, puis en donner la solution gnrale.[000338]Exercice 342Soit p un nombre premier. 1. Montrer que i N, 0ip on a : Cip est divisible par p. 2. Montrer par rcurence que :p premier, a N , on a a p a est divisible par p.Indication Correction[000339]Exercice 343 1. Soit (x, y, z) N3 . Montrer que : x2 + y2 = z2 (x , y , z ) N3 , n N tqpgcd(x , y , z ) = 122 2x +y = z x = nx et y = ny et z = nz . 2. Soit(x, y, z) N3 tels que x2 + y2 = z2 . On suppose que pgcd(x, y, z) = 1 (a) Montrer que x et y ne sont pas de mmes parit. (b) On suppose x pair et y impair. On pose :x = 2u, z y = 2v, z + y = 2w avec (u, v) N . Montrer que v et w sont premiers entre eux. (c) Montrer que x = 2mn, y = m2 n2 , z = m2 + n2 avec m et n entiers naturels de parit diffrentes. (d) Montrer que si x = 2mn, y = m2 n2 , z = m2 + n2 alors x2 + y2 = z2 . [000340]Exercice 344 1. Montrer par rcurrence que n N, k 1 on a :k1 n+kn n+i22 1 = 22 1 (22 + 1).i=051 52. n 2. On pose Fn = 22 + 1. Montrer que pour m = n, Fn et Fm sont premiers entre eux. 3. En dduire quil y a une innit de nombres premiers.IndicationCorrection[000341]Exercice 345Les nombres a, b, c, d tant des lments non nuls de Z, dire si les proprits suivantes sont vraies ou fausses,en justiant la rponse. 1. Si a divise b et b divise c, alors a divise c. 2. Si a divise b et c, alors a divise 2b + 3c. 3. Sil existe u et v entiers tels que au + bv = 4 alors pgcd(a, b) = 4. 4. Si 7a 9b = 1 alors a et b sont premiers entre eux. 5. Si a divise b et b divise c et c divise a, alors |a| = |b|. 6. a et b premiers entre eux quivaut ppcm(a, b) = |ab| . 7. Si a divise c et b divise d, alors ab divise cd. 8. Si 9 divise ab et si 9 ne divise pas a, alors 9 divise b. 9. Si a divise b ou a divise c, alors a divise bc. 10. a divise b quivaut ppcm(a, b) = |b| . 11. Si a divise b, alors a nest pas premier avec b. 12. Si a nest pas premier avec b, alors a divise b ou b divise a.[000342]Exercice 346 1. Soit p Z un nombre premier. Montrer que si a Z nest pas congru 0 modulo p alors p ne divise pasa et donc pgcd(a, p) = 1. 2. Soit a Z non congru 0 modulo p avec p premier. Montrer en utilisant le a) quil existe u Z noncongru 0 modulo p vriant au 1[p]. (Remarquer que cela donne un inverse de a modulo p). 3. Montrer que si p nest pas premier, il existe des lments a, u Z non nuls modulo p tels que au 0[p].[000343]Exercice 347 1. Montrer que deux entiers non nuls conscutifs sont toujours premiers entre eux. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, pgcd((n + 1)2 , n + 2) = 1.[000344]Exercice 348Prouver que pour vrier quun entier p est premier, il suft de vrier quil na pas de diviseurs infrieurs ougaux p. [000345]Exercice 349 Thorme de WilsonDmontrer que tout nombre premier p divise (p 1)! + 1.[000346]Exercice 350Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers : 1. n4 20n2 + 4 pour n N.52 53. 1 3 32. 4 (n + (n + 2) ) pour n 2.3. a4 + 4b4 pour a, b 2.[000347]Exercice 351Soit X lensemble des nombres premiers de la forme 4k + 3 avec k N.1. Montrer que X est non vide.2. Montrer que le produit de nombres de la forme 4k + 1 est encore de cette forme.3. On suppose que X est ni et on lcrit alors X = {p1 , . . . , pn }. Soit a = 4p1 p2 . . . pn 1. Montrer par labsurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k + 3.4. Montrer que ceci est impossible et donc que X est inni.Correction[000348]Exercice 352 nSoit a N tel que an + 1 soit premier, montrer que k N, n = 2k . Que penser de la conjecture : n N, 22 + 1est premier ?IndicationCorrection[000349]Exercice 353pSoit n un nombre premier et p {1, ..., n 1}, montrer que ndivise Cn . [000350]Exercice 354Soient a et b deux entiers suprieurs 2 premiers entre eux, montrer que : N0 N, n N0 , n ax + by|(x, y) N2 .[000351]Exercice 355 pgcd ppcmSoient a, b, c N . Quand a-t-on pgcd(a, b, c) ppcm(a, b, c) = abc ?Correction[003130]Exercice 356 pgcd ppcmSoient a1 , . . . , an N et bi = j=i a j .Montrer que :pgcd(a1 , . . . , an ) ppcm(b1 , . . . , bn ) = ppcm(a1 , . . . , an ) pgcd(b1 , . . . , bn ) = ai .Correction[003131]Exercice 357 ab est un carr parfaitSoient a, b N premiers entre eux tels que ab est un carr parfait. Montrer que a et b sont des carrs parfaits.[003132]Exercice 358 an = bmSoient a, b N et m, n premiers entre eux tels que an = bm . Montrer quil existe c N tel que a = cm et b = cn .[003133]nExercice 359 Valuation 2-adique de 52 1 nMontrer que la plus grande puissance de 2 divisant 5(2 ) 1 est 2n+2 . 53 54. Correction [003134]Exercice 360 ar 1 premier ?On suppose que ar 1 est un nombre premier. Montrez que r est premier, puis que a vaut 2. Rciproque ?Correction [003135]Exercice 361 Nombres de MersenneOn note Mn = 2n 1 (n-ime nombre de Mersenne). 1. Montrer que : Mn est premier n est premier. 2. Vrier que M11 nest pas premier.Correction [003136]Exercice 362 an + 1 est premierSoient a, n N tels que a 2, n 1, et an + 1 est premier. Montrer que n est une puissance de 2.[003137]Exercice 363 Nombre de diviseurs dun nombre entierPour n N , on note dn le nombre de diviseurs positifs de n. 1. Montrer que si n = ab avec a b = 1, alors dn = da db . 2. Montrer que n est un carr parfait si et seulement si dn est impair. d 3. Montrer que : d|n d = n n . [003138]Exercice 364 Nombres premiers congrus 3 modulo 4Montrer quil y a une innit de nombres premiers p tels que p 1(mod 4).[003139]Exercice 365 Nombres premiers congrus 1 modulo 4On rappelle que si p est premier et n p = 1, alors n p1 1(mod p). 1. Soit n N et p 3 un diviseur premier de n2 + 1. Montrer que p 1(mod 4). 2. En dduire quil y a une innit de nombres premiers de la forme 4k + 1.Correction [003140]Exercice 366 Intervalle sans nombres premiersTrouver 1000 entiers conscutifs non premiers. [003141]Exercice 367 Factorisation de 1000!Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant 1000 ! ?Correction [003142]Exercice 368 1/2 + 1/3 + + 1/n nest pas entier pnSoit n N, n 2. Montrer que xn = 1 + 2 + 3 + + 1 est de la forme :1 1n 2qn avec pn , qn N et pn impair.Correction [003143]54 55. 103.99 AutreExercice 369Rsoudre en nombres entiers naturels lquation : (x + 1)(y + 2) = 2xy. [000352]Exercice 370Montrer que (0, 0, 0) est le seul triplet (x, y, z) dentiers naturels tels que lon ait :x2 + y2 = 3z2 . [000353]Exercice 371Dterminer les solutions des quations : x2 5x 11 0 mod 17; cos((n2 8n + 2)/7) = 1 [000354]Exercice 372Un groupe de N 2 personnes se runit. Montrer quau moins deux personnes ont serr le meme nombre demains. On pourra sparer les deux cas suivants : soit tout le monde a serr au moins une main, soit il existequelquun qui na serr aucune main. [000355]104.01 Forme cartsienne, forme polaireExercice 373Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres :23 + 6i1+i 3 + 6i 2 + 5i 2 5i ;+; + .3 4i2i 3 4i1i1+iCorrection [000001]Exercice 374crire les nombres complexes suivants sous la forme a + ib (a, b R) : 3 5 + 2i13(1 + i)9 ; +i ;. 1 2i2 2 (1 i)7 [000002]Exercice 375crire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : 1. Nombre de module 2 et dargument /3. 2. Nombre de module 3 et dargument /8.55 56. Correction[000003]Exercice 376Placer dans le plan cartsien, les points dafxes suivantes : z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = 2 + 2i, z4 = ei 3 .[000004]Exercice 377Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme a + ib, a R et b R. 2 1 1 + 2i 2 + 5i 2 5i , , ,+ . 1 i 3 (1 + 2i)(3 i) 1 2i 1 i1+i[000005]Exercice 3781. Mettre sous forme trigonomtrique les nombres complexes suivants : z1 = 3 + 3i, z2 = 1 3i, z3 =4 i, z4 = 2, z5 = ei + e2i .3 2. Calculer ( 1+i 3 )2000 .2[000006]Exercice 379Effectuer les calculs suivants :1. (3 + 2i)(1 3i).2. Produit du nombre complexe de module 2 et dargument /3 par le nombre complexe de module 3 et dargument 5/6. 3+2i3. 13i .4. Quotient du nombre complexe de module 2 et dargument /3 par le nombre complexe de module 3 et dargument 5/6.Correction[000007]Exercice 380Calculer le module et largument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugus : 1. 1 + i(1 + 2).2.10 + 2 5 + i(1 5). tan i3. tan +i o est un angle donn.Correction[000008]Exercice 381Reprsenter sous forme trigonomtrique les nombres : 1+i 3 1+i; 1+i 3 ; 3+i ; . 3i[000009]Exercice 382tablir les galits suivantes : 1. (cos(/7) + i sin(/7))( 1i 3 )(1 + i) =2 2(cos(5/84) + i sin(5/84)),56 57. 2. (1 i)(cos(/5) + i sin(/5))( 3 i) = 2 2(cos(13/60) i sin(13/60)), 2(cos(/12)+i sin(/12))3i 3. 1+i = 2 .Correction[000010]Exercice 383 6i 2Calculer le module et largument de u =2et v = 1 i. En dduire le module et largument de w = u .vCorrection[000011]Exercice 384crire sous la forme partie relle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : 2 1 + i 3(1 i) .1+i[000012]Exercice 385Dterminer le module et largument des nombres complexes : ieeetei + e2i .Correction[000013]Exercice 3861+i1+iDterminer le module et largument de 1i . Calculer ( 1i )32 .Correction[000014]Exercice 387 Calculer Z = (1 + i 3)2000 .[000015]Exercice 388 Calculer (1 + i 3)5 + (1 i 3)5 et (1 + i 3)5 (1 i 3)5 . [000016]Exercice 3891Calculer le module et largument de z =1+i tan .[000017]Exercice 390Calculer les puissances n-imes des nombres complexes :1+i 31 + i tan z1 = ; z2 = 1 + j; z3 = .1+i1 i tan [000018]Exercice 391 Comment choisir lentier naturel n pour que ( 3 + i)n soit un rel ? un imaginaire ?[000019]Exercice 392Soit z un nombre complexe de module , dargument , et soit z son conjugu. Calculer (z + z)(z2 + z2 ) . . . (zn +zn ) en fonction de et . 57 58. Correction[000020]Exercice 393 partiel novembre 88Soient et deux nombres rels. Mettre le nombre complexe z = ei +ei sous forme trigonomtrique z = ei(indication : poser u = + , v = ). 2 2En dduire la valeur den Cnp cos[p + (n p) ].p=0Correction[000021]Exercice 394crire lexpression (1 + cos + i sin ) sous forme trigonomtrique. En dduire lexpression de (1 + cos +i sin )n .[000022]Exercice 395Mettre sous forme trigonomtrique 1 + ei o ] , [. Donner une interprtation gomtrique.Correction[000023]Exercice 396Montrer que si |z| k1 alors 1 k |1 + z| 1 + k. Faire un dessin et montrer quil peut y avoir galit.[000024]Exercice 397Montrer algbriquement et gomtriquement que si |z| = 1 alors |1 + z| 1 ou 1 + z2 1.[000025]Exercice 398Rsoudre lquation exp(z) = 3 + 3i.[000026]Exercice 399 zi + z j1. Soient u, v C. Montrer que |u + v| + |u v| |u| + |v|, et dterminer les cas dgalit.2. Soient z1 , z2 , z3 , z4 C. Montrer que 4 |zk | 3 4=k+1 |zk + z |.k=1k=1Correction[002924]Exercice 400z+abzabSoient a, b U distincts et z C. On note u =ab. Montrer que u2 R.Correction[002927] 104.02 Racine carre, quation du second degrExercice 401Calculer les racines carres de 1, i, 3 + 4i, 8 6i, et 7 + 24i.Correction[000027]Exercice 402Trouver les racines carres de 3 4i et de 24 10i. 58 59. Correction[000028]Exercice 4031+i . 1. Calculer les racines carres de 2En dduire les valeurs de cos(/8) et sin(/8). 2. Calculer les valeurs de cos(/12) et sin(/12).Correction[000029]Exercice 404Montrer que les solutions de az2 + bz + c = 0 avec a, b, c rels, sont relles ou conjugues.Correction[000030]Exercice 405Rsoudre dans C les quations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; z2 (1 + 2i)z + i 1 = 0 ; z2 3z i = 0 ;z2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 ; z2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0 ; 4z2 2z + 1 = 0 ;z4 + 10z2 + 169 = 0 ; z4 + 2z2 + 4 = 0.Correction[000031]Exercice 406Trouver les racines complexes de lquation suivante :x4 30x2 + 289 = 0.[000032]Exercice 407Pour z C{2i}, on pose2z if (z) =.z 2i 1. Rsoudre lquation z2 = i, z C. 2. Rsoudre lquation f (z) = z, z C{2i}.[000033]Exercice 408 2On note j = e 3 . 1. Mettre j et j2 sous forme algbrique. 2. Vrier que 1 + j + j2 = 0. 3. Factoriser le polynme z3 8i.[000034]Exercice 409 1+i 3 1. Calculer les racines carres de 1 + i, 7 + 24i, i, 5 + 12i, 3+i . 2. Rsoudre les quations suivantes : (a) z2 + z + 1 = 059 60. (b) z2 + z 2 = 0 (c) z2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 (d) z2 + 4z + 5 = 0 (e) z2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0(f) z4 (1 i)z2 i = 0 (g) z4 + 4z3 + 6z2 + 4z 15 = 0[000035]Exercice 410Rsoudre dans C les quations suivantes : 1. z2 (11 5i)z + 24 27i = 0. 2. z3 + 3z 2i = 0.Correction[000036]Exercice 411On considre dans C lquation (E) suivante :z2 (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,o a est un paramtre rel. 1. Calculer en fonction de a R les solutions z1 et z2 de (E) (indication : on pourra dterminer les racinescares complexes de 2i(1 a)2 ). 2. On dsigne par Z1 (resp. Z2 ) les points du plan complexe dafxe z1 (resp. z2 ) et par M le milieu de[Z1 , Z2 ]. Tracer la courbe du plan complexe dcrite par M lorsque a varie dans R.[000037]Exercice 412 1. Pour R, rsoudre dans C lquation z2 2 cos()z + 1 = 0. En dduire la forme trigonomtrique dessolutions de lquation :z2n 2 cos()zn + 1 = 0, o n est un entier naturel non nul. P (z) = z2n 2 cos()zn + 1. (a) Justier la factorisation suivante de P : 2 2(n 1) P (z) = z2 2 cos +1z2 2 cos+ + 1 . . . z2 2 cos ++1 . n n nn n (b) Prouver, laide des nombres complexes par exemple, la formule suiv