フィードバック制御入門第5章...フィードバック制御入門第5章 1 1 第5...
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フィードバック制御入門第5章
1
1
第 5 章 ：周波数応答
学習目標 ：システムの周波数応答特性を理解し，ベクトル
軌跡による表示ができるようにする．
5.1 周波数応答と伝達関数
キーワード ： 周波数伝達関数，ゲイン，位相
5.2 ベクトル軌跡
キーワード ： ベクトル軌跡
2
第 5 章 ：周波数特性
5.3 ボード線図
学習目標 ：
キーワード ： ボード線図，ゲイン曲線，位相曲線
ボード線図を用いて周波数特性を図式的に
表すことができるようにする．最小位相系に
おけるゲインと位相の関係について理解する．
5.4 ボード線図の性質
キーワード ： 最小位相系，ゲイン－位相関係式
3
5.1 周波数応答と伝達関数
線形システム（安定な LTI システム）
（一定周波数の）正弦波を入力として加え
続けると，定常状態ではその出力も入力と
同じ周波数の正弦波になる．
図 5.1 周波数応答
)(sGu y
4
12)( 2 ++
=ss
sG ttu sin)( =［ 例 ］
0 10 20 30t
0
1
2
2−
1− u
y
図 5.2 正弦波入力に対する応答例
)(sGu y
入力と出力は同じ周波数，異なるのは振幅と位相だけ
（静的システム：振幅だけ，動的システム：振幅と位相）
5
周波数特性
入力の周波数を変化させた（ ）とき
振幅と位相がどのように変化するか
∞~0:ω
伝達関数 )(sG
極 は安定 ，すべて異なる．)~1( nipi = )0](Re[ <ip
Im
Re
tje ω
tωO
（仮想的な）複素数の入力 （複素正弦波）
tjtetu tj ωωω sincos)( +==
ase at
+=− 1][L
ωjstu
−= 1)]([L
（p. 192 参照）
6
1)( −=Lty 1−=L
出力
∑=
+=n
i
tpi
tj ieKeK1
0ω
0→tpie )( ∞→tの安定性より
ωjssG
−1)(⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤ ∑= −
+−
n
i i
i
psK
jsK
1
0
ω⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤
)(sG
Im
Re
)( ωjG
φ
)(lim0 ωω
jsKjs
−=→
)( ωjG=
φω jejG |)(|= )( ωφ jG∠=
よって
)()(lim sYsY isii
αα
−=→∑ −
=i i
i
sYsY
α)( （留数）
⎥⎦
⎤ωjs
sG−1)(⎢
⎣
⎡
フィードバック制御入門第5章
2
7
∑=
+=n
i
tpi
tj ieKeKty1
0)( ω
0→tpie)(0 ωjGK =
∑=
+=n
i
tpi
tj ieKeKty1
0)( ω
)( ωjG 0→tpietjejGty ωω)()( =
)(|)(| φωω += tjejG tωcos
tωsin
)cos(|)(| φωω +tjG
)sin(|)(| φωω +tjG
入力 出力
振幅の変化 |)(| ωjG
位相の差 )( ωjG∠
ゲイン
位相（位相差）
)cos(|)(|)( φωω += tjGty
)sin(|)(| φωω ++ tjGj
tjj eejG ωφω ⋅= |)(|
8
［ 例 ］ttu sin)( = )1( =ω
位相
jjG 2)( ∠=∠ o90−=
12−
∠= j j2−∠=jj
j⋅∠= 2
12)( 2 ++
=ss
sG
=|)(| jG
ゲイン
j2
2=112
++− j12
2 ++ jj= =
0 10 20 30t
0
1
2
2−
1− u
yRe
ImO
)( jG2−
複素平面上のベクトル )( jG
9
周波数伝達関数 )( ωjG
)(sG の を で置き換えたものωj
• 実用的な制御系の解析・設計に役立つ．
• 実験的に測定し，求めることができる．
• 不安定系でも（形式的に）定義できる．
s
=)( ωjG
)()()( ωωω jujGjy =
tje ω
tje ωに対する定常応答
t の世界
インパルス応答
)(tg
s の世界
伝達関数
)(sG
ω の世界
周波数伝達関数
)( ωjG
ωjs =
ラプラス変換 周波数応答
10
5.2 ベクトル軌跡
周波数 を一つ定めると，
はある複素平面上の
ベクトルとして表せる．
ω)( ωjG
O
Im
Re
を と変化させると
は軌跡を描く
ω +∞~0)( ωjG
)( ωjG
ベクトル軌跡
)( 1ωjG
1ωω =
)( 2ωjG2ωω =
)( 3ωjG3ωω =
)( 4ωjG4ωω =
Im
ReO
11
Re
Im
図 5.3 のベクトル軌跡2/1)( ssG =
ORe
Im
図 5.3 のベクトル軌跡ssG /1)( =
O
積分系 ssG 1)( =
周波数伝達関数ω
ωj
jG 1)( =
||1|)(|ω
ωj
jG =||
1ω
=ゲイン
o90−=j−∠=
位相
ωω
jiG 1)( ∠=∠
j1∠=
1−∠= j
ReIm
1−∞=ω
1=ω1−
0=ω
∞=ω1=ω
1−
0=ω
O
2 重積分系 2
1)(s
sG =
2
1|)(|ω
ω =jGゲイン
周波数伝達関数 2)(1)(ω
ωj
jG =
o180−=1−∠=
2
1)(j
jG ∠=∠ ω位相
11−
∠=
ReIm1− O
12
： 回転
O
s1
3
1s
2
1s
o90−
o90−
s1×
s1×
o90s×
o90s×
s1× o90−
： 回転s× o90
積分系と位相遅れ
微分系と位相進み
o90 位相が遅れる
o90 位相が進む
動的システム
振幅と位相
フィードバック制御入門第5章
3
13
1 次系1
1)(+
=Ts
sG )1( =K
TjjG
ωω
+=
11)(
周波数伝達関数
|1|1|)(|
TjjG
ωω
+=
( )21
1
Tω+=
ゲイン
TjjG
ωω
+∠=∠
11)(
)1( Tjω+−∠=
)(tan 1 Tω−−=
位相
Re
Im
図 5.4 1 次系のベクトル軌跡
0=Tω
1=Tω
∞≈Tω
1|| =G
22|| =G
0|| ≈G
o0=∠G
o45−=∠G
o90−≈∠G
出発点 )0,1(終点 o90−
T/1=ω
∞=ω 0=ω15.0
5.0−
複素数の極形式 14
TjjG
ωω
+=
11)( ( ) ( )
TjTjTj
ωωω
+−++=
115.015.0
tjtj
ωω
+−⋅+=
115.05.0
ReIm
∞=ω 0=ω15.0
5.0−
5.0|1||1|5.0 =
+−⋅
tjtj
ωω ω∀
半径 0.5 の円周
実軸の正方向に 0.5 平行移動
1−
1=K
2
2=K
1+TsK
ゲイン K をかけると
原点を中心として K 倍に
拡大（縮小）される
の場合
中心 )0,5.0(半径 の
（半）円周上を動く
5.0
15
2 次系22
2
2)(
nn
n
sssG
ωζωω
++= )1( =K
( ) 22
2
2)(
nn
n
jjjG
ωωζωωωω
++=
12
12
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
jjnn ω
ωζωω
( ) 121
2 +Ω+Ω=
jj ζ nωω=Ω
周波数伝達関数
ゲイン
( )222 2)1(
1|)(|Ω+Ω−
=ζ
ωjG
位相
])2[]1([)( 22 Ω+Ω−−∠=∠ ζω jjG 21
12tan
Ω−Ω−= − ζ
16
4.0=ζnωω =
)21,0(ζ
−
0=Ω
1=Ω
∞≈Ω
1|| =G
ζ21|| =G
0|| ≈G
oo 0)0( =−=∠G
o90−=∠G
o180−≈∠G7.0=ζ
ReIm
0.1=ζ
図 5.5 2 次系のベクトル軌跡
1∞=ω
0=ω
出発点 )0,1(終点 o180−
振動的
17
5.3 ボード線図
周波数 に対しω|)(| ωjG
)( ωjG∠
の変化を表すゲイン曲線
の変化を表す位相曲線
横軸：周波数 を対数目盛り
縦軸：ゲイン曲線 |)(|log20 10 ωjG デシベル値（dB）
位相曲線 度)(o
ω
絶対値 1.0 1 2 2 10 100
デシベル値 20− dB 0 dB 3 dB 6 dB 20dB 40 dB
12 10ωω = 1 デカード（dec）
18
（a） ゲイン線図
40−
20−
0
40
20
210− 110− 010 210110
ゲイン
［dB
］
ω
（b） 位相線図
位相
［゜］
270−
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210110ω
積分系 ωω
jjG 1)( =
o9011)( −=−∠=∠=∠=∠ jjj
jGω
ω
位相
10=ω
2012010log20 −=×−=− dB
1=ω00201log20 =×−=− dB
1.0=ω20)1(201.0log20 =−×−=− dB
ωω
jjG 1log20|)(|log20 =
ゲイン（デシベル値）
||log20||
1log20 ωω
−==
dB/dec20−
フィードバック制御入門第5章
4
19（b） 位相線図
（a） ゲイン線図
図 5. 6 積分系のボード線図
2 重積分系 2)(1)(ω
ωj
jG =dB/dec40−
22
1log20|)(|
1log20ωω
=j
ゲイン（デシベル値）
||log40 ω−=
11)( 2 −∠=∠=∠j
jG ω
位相
o180−=
40−
20−
0
40
20
210− 110− 010 210110
ゲイン
［dB
］
ω
位相
［゜］
270−
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210110ω
20（b） 位相線図
位相
［゜］
図 5. 7 1 次系のボード線図
1 次系 TjjG
ωω
+=
11)(
2)(11log20|)(|log20
TjG
ωω
+=
ゲイン（デシベル値）
1<<Tω 1)( ≈ωjG
TjjG
ωω 1)( ≈1>>Tω
)(tan)1()( 1 TTjjG ωωω −−=+−∠=∠位相
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
40−
20−
20
0
210− 110− 010 210110Tω
dB3−
o45−1<<Tω 01log20||log20 =≈G
o0=∠GdB
1=Tω 32
1log20||log20 −==Go45−=∠G
dB
dB1>>Tω ||log20||log20 TG ω−≈o90−≈∠G
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210110Tω
dB/dec20−
o90−
21
折れ線近似
（ゲイン） 0 dB と –20 dB/dec の 2 本の直線
（位相）
T2.0≤ω o0
T5≥ω o90−
で
で
（b） 位相線図
位相
［゜］
図 5. 7 1 次系のボード線図
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
40−
20−
20
0
210− 110− 010 210110Tω
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210110Tω
折点周波数
T1=ω
22
T が変化しても（形を変えず）
横軸方向に平行移動
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］40−
20−
20
0
210− 110− 010 210ω110
（b） 位相線図
位相
［゜］
100=T10=T
1=T1.0=T
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210ω110
100=T10=T
1=T1.0=T
図 5.8 種々の時定数に対する 1 次系のボード線図
23
ゲイン K 倍しても（形を変えず）
縦軸方向に平行移動（ゲインのみ）
TjKjG
ωω
+=
1)( )1( =T
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
（b） 位相線図
位相
［゜］
1.0=K
10=K
1=K
100=K
,1.0=K ,1 ,10 100
40−
20−
20
0
210− 110− 010 210ω110
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210ω110
24
2 次系22
2
2)(
nn
n
sssG
ωζωω
++= )1( =K
( ) 22
2
2)(
nn
n
jjjG
ωωζωωωω
++=
12
12
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
jjnn ω
ωζωω
( ) 121
2 +Ω+Ω=
jj ζ nωω=Ω
周波数伝達関数
ゲイン
( )222 2)1(
1|)(|Ω+Ω−
=ζ
ωjG
位相
])2[]1([)( 22 Ω+Ω−−∠=∠ ζω jjG 21
12tan
Ω−Ω−= − ζ
フィードバック制御入門第5章
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25
01.0=ζ
01.0=ζ
1.0=ζ
1.0=ζ
3.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
5.0=ζ
nωω=Ω
))2()1(()( 2 Ω+Ω−−∠=∠ ζω jjG位相
2 次系 22
2
)(2)()(
nn
n
jjjG
ωωζωωωω
++=
jΩ+Ω−=
ζ2)1(1
2
1<<Ω 1)( ≈ωjG
21)(Ω−
≈ωjG1>>Ω
|)(|log20 ωjGゲイン（デシベル値）
222 )2()1(1log20
Ω+Ω−=
ζ40−
20−
20
0
60−
40
180−
90−
90
0
位相
［゜］
270−
ゲイン
［dB
］
210− 110− 010 210nωω /
110
（a） ゲイン線図
（b） 位相線図
7.0=ζ
7.0=ζ
9.0=ζ
9.0=ζ210− 110− 010 210
nωω /110
dB/dec40−
o180−
1>>Ω
1<<Ω
1=Ω
02
1log20||log20 ≈=G
ζ21log20||log20 =G
Ω−≈ log40||log20 G
o0≈∠G
o90−=∠G
o180−≈∠G
dB
dB
dB26
4.0=ζnωω =
)21,0(ζ
−
0=Ω
1=Ω
∞≈Ω
1|| =G
ζ21|| =G
0|| ≈G
oo 0)0( =−=∠Go90−=∠Go180−≈∠G
7.0=ζ
ReIm
0.1=ζ
図 5.5 2 次系のベクトル軌跡
)0,1(終点
∞=ω 0=ω
出発点o180−
振動的
1
01.0=ζ
01.0=ζ
1.0=ζ
1.0=ζ
3.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
5.0=ζ
40−
20−
20
0
60−
40
180−
90−
90
0
位相
［゜］
270−
ゲイン
［dB
］
210− 110− 010 210nωω /
110
（a） ゲイン線図
（b） 位相線図
7.0=ζ
7.0=ζ
9.0=ζ
9.0=ζ210− 110− 010 210
nωω /110
dB/dec40−
o180−
27
高次系
011
1
011
1)(asasas
bsbsbsbsG nn
n
mm
mm
++++++++= −
−
−−
L
L )( mn >
原点 に極をもたないとき)0( =s)0( ≠a
0
0)0(abG =
出発点
＝（ の符号）× ×（ ）
0→ω のとき ∞→|)(| ωjG
lll
bjj
bjGωω
ω 00 1)(
)( ⋅∠=∠→∠
0b l o90−
この方向の無限遠方から出発する
原点に 位の極をもつときl
＝（ の符号）×（ ）
×（ ）
∞→ω終点 のとき
0)( =ωjG
mnm
jbjG −∠≈∠
)()(
ωω
mb mn −o90−
この方向から原点に向う
)( mn >
終点
28
1
原点 に極をもたないとき)0( =s
0
0=l,1=− mn
0
1=l,2=− mn
0
2=l,3=− mn
11)(+
=s
sG
原点に1位の極をもつとき
)1(1)(+
=ss
sG
原点に2位の極をもつとき
)1(1)( 2 +
=ss
sG
むだ時間を含む系
LseTs
KsG −
+=
1)(
K0
29
)(1 sG−（逆システム）のボード線図
|)(|log20)(
1log20 ωω
jGjG
−=
)()(
1 ωω
jGjG
−∠=∠
逆システムでは，ゲインと位相の符号を反転
ゲイン
位相
30
表 5.1 基本要素のボード線図
)(sG ゲイン曲線
K
s
s1
ω0
||log20 KdBo0
o0
o90
dec/dB20− o90−
o0
dec/dB20
1
位相曲線
dec/dB20
T/1
o90o0
T/2.0 T/5
o0o90−
T/2.0 T/5
nω o180−
o0 nω
1+Ts
11+Ts
22 2 nn
n
ss ωζωω
++
0dB
0dB
0dB
0dB
0dB
ω
ω
ω
ω
ω
1
T/1
dec/dB20−
ω
ωω
ω
ω
ω
フィードバック制御入門第5章
6
31
ボード線図の利点
［アイデア］ ゲイン：対数スケール
位相：線形スケール
)()()()( 321 sGsGsGsG = （直列結合）
極形式で表示θω jrejG =)(
ijii erjG θω =)( )3~1( =i
))()(( 321321
θθθθ jjjj erererre =
)(321
321 θθθ ++= jerrr
321 rrrr =
321 θθθθ ++=
32
)log(20log20|)(|log20 321 rrrrjG ==ω
∑∑==
==3
1
3
1
|)(|log20log20ii
i jGr ω
321)( θθθθω ++==∠ jG
直列結合のとき，ゲインと位相を単純に加えあわせればよい
)(321
321 θθθ ++= jerrrθω jrejG =)(
321 log20log20log20 rrr ++=
∑∑==
∠==3
1
3
1)(
iii jG ωθ
33
K が変化しても（形を変えず）
縦軸方向に平行移動（ゲインのみ）
TjKjG
ωω
+=
1)( )1( =T
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
（b） 位相線図
位相
［゜］
1.0=K
10=K
1=K
100=K
,1.0=K ,1 ,10 100
40−
20−
20
0
210− 110− 010 210ω110
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210ω110
20+ ]dB[
40+ ]dB[
1.0=K
1=K
10=K
)100(×
)10(×
34
［ 例 5. 1 ］
)10()1(100)(
++=
ssssG )()()()( 4321 sGsGsGsG=
)1(11.0
1110 +⋅+
⋅⋅= sss
210− 110− 010 210ω
11040−
20−
40
0
20
20−
40
0
20
60
ゲイン
［dB
］
ゲイン
［dB
］
)(1 sG
)(2 sG
)(3 sG
)(4 sG
図 5. 12 各要素のゲイン線図 図 5. 13 G(s)のゲイン線図
210− 110− 010 210ω
110
（折れ線近似） （折れ線近似）
35
5.4 ボード線図の性質
ゲインと位相の関係
［ 例 ］
11)( 21 ++
+=ssssG
11)( 22 ++
−=ssssG
|1)(||1||)(| 21 ++
+=ωω
ωωjj
jjG|1|
|1|2 ωω
ωj
j+−
+=
|)(| 2 ωjG=|1|
|1|2 ωω
ωj
j+−
−=
ゲイン
|1|1
2
2
ωωω
j+−+=
同じ
)1()1()( 21 ωωωω jjjG +−∠−+∠=∠
)1()1()( 22 ωωωω jjjG +−∠−−∠=∠
位相
異なる 36
|| 1G
1G∠
2G∠
|| 2G=
0=ωo0)0()0( 21 =∠=∠ GG
位相が遅れる
∞→ω
)()( 21 ωωω −∠−∠≈∠ jjG
)()()( 22 ωωω −∠−−∠≈∠ jjG
ooo 9018090 −=−+=
ooo 27018090 −=−−=
40−
20−
20
0
210− 110− 010 210
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
ω110
180−
90−
0
（b） 位相線図
位相
［゜］
270−
90
60−
210− 110− 010 210110ω11)( 22 ++
−=ssssG
0 1+Re
Im
不安定零点
フィードバック制御入門第5章
7
37
最小位相系 安定なシステムでかつ不安定零点をもたない
ゲインから位相が一意に定まる．（ボードのゲイン ｰ 位相関係式）
∫∞
∞−=∠ Wdu
dudMjG 21
180)(π
ω)(o 度
)/ln( 1ωω=u|)(|ln ωjGM = 対数ゲイン
))2/|ln(coth(| uW = 重み関数
正規化角周波数
0
2
4
6
8
10
210− 110− 010 2101/ωω
110
W
dudM
横軸，縦軸を自然対数目盛りとしたときのゲイン曲線の傾き
（ でピーク）1ωω =∫∞
∞−=
2
2πWdu38
（ 一定のとき）dudM /
∫∞
∞−⋅≈∠ Wdu
dudMjG 21
180)(π
ω
o902
180 2
2 ×=⋅⋅=dudM
dudM π
πo90×= n
o90)( 1 −≈∠ ωjGdec/dB20− ⇒
1−=n
11 101.0 ωωω << 1−=dudM
で
のとき
とすると
積分系
1 次系（高周波域）
40−
20−
0
40
20
210− 110− 010 210110
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
ω
270−
180−
90−
90
0
（b） 位相線図
位相
［゜］
dB/dec20−
210− 110− 010 210110ω
39
o90)( 1 ×≈∠ njG ω
o180)( 1 −≈∠ ωjGdec/dB40−⇒
2−=n
11 101.0 ωωω << 2−=dudM
で
のとき
とすると
2 重積分系
2 次系（高周波域）
（b） 位相線図
位相
［゜］
（a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］ dB/dec40−
40−
20−
0
40
20
210− 110− 010 210110ω
270−
180−
90−
90
0
210− 110− 010 210110ω
40
ボード線図の利点
• システムを直列結合したもののボード線図は各システムの
ボード線図を単に加え合わせるだけで得られる.
• 実験データからボード線図を描くことも容易である．
• 広い周波数帯域を１枚の図面で扱える．
• 最小位相系では，ゲイン曲線から位相曲線の概略がわかる．
• 折れ線近似が容易で，システムの概略特性を簡単に
精度よく把握できる．
41
むだ時間要素
sLesG −=)(
パデー近似
,2/12/1
LsLse sL
+−≅−
12/)(2/112/)(2/1
2
2
LsLsLsLse sL
+++−≅− （a） ゲイン線図
ゲイン
［dB
］
60−
20−
0
（b） 位相線図
位相
［゜］
210− 110− 010ω
0
10
10−
40−
210− 110− 010ω
LωRe
Im
0
Lje ω−
不安定零点
1