フーリエ解析とラプラス変換 - osaka kyoiku...

フーリエ解析とラプラス変換

片山良一

教科書として，

技術者のための高等数学３　「フーリエ解析と偏微分方程式」　クライツィグ著　阿部寛治訳　倍風館

を指定して授業をしているが，工学部向けのため，定理等の証明が省かれていて，概念の理解とその計算に重点

が置かれている．そこで，省かれた証明を記述するためと，興味のある学生により学んでほしいと，期待を込め

て準備した資料です．

　電気・電子系の学生には 1，2，3，4章，情報系の学生には 1，2，5章が授業と主に対応しています．

目次

1 Fourier 級数 3

1.1 Fourier級数の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Gibbsギャップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 ディリクレ核とフェイエル核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 フーリエ級数の項別微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Fourier 変換 22

2.1 Fourier変換の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 標本化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 離散フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 偏微分方程式とフーリエ解析 40

3.1 偏微分方程式導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 変数分離と波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 熱方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 超関数と線型システム 57

4.1 線形システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 超関数（緩増加超関数，Tempered distribution） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 線形システムの続き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 ちょこっと，ラプラス変換入門 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

5 ラプラス変換入門 70

5.1 定義と基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 ラプラス変換の収束座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 ラプラス変換の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 ラプラス逆変換の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5 ラプラス変換と微分方程式の初期値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 補足 91

6.1 微分と積分の順序交換, Wierstrassの多項式近似定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

参考図書

[1]フーリエ展開　竹之内脩著　秀潤社（主にこれを参考に作成した）

[2] Functional Analysis　 K. Yoshida著 Springer

[3] Real and Complex Analysis W. Rudin著　McGrow-Hil

[4] フーリエ解析と関数解析　新井仁之著　倍風館

[5] Fourier-Laplace解析（応用数学講座）　木村英紀著　岩波書店

[6] フーリエ解析 (理工系の数学入門コース)　大石進一著　岩波書店

[7] ウエーブレットとサブバンド符号化　ウェルテルリ& コヴァチェヴィク著　

池原雅章訳　科学技術出版

片山良一

Ver 3 2017/12/25

Ver 2 2016/8/25

Ver 1 2015/12/29

　誤字，脱字，誤り等がある可能性があります．気がついたら知らせてください．

2

1 Fourier 級数

1.1 Fourier級数の基礎

　フーリエ級数の理論は，よくわからない関数 f(t)を cosnt, sinntの関数の一次結合で表すことである．なぜ，

関数 cosnt, sinntの一次結合かといえば，それは，波あるいは音などを考んがえるからである．例えば，音 f(t)

はそれらの基音 cosnt, sinntが混じり合った音 f(t)と考えるからです．

　この事柄に対する数学的な枠組みを考え，統一的に扱うことを目指すのがフーリエ解析である．

定義 1.1 実数 a, bは a < bを満たすとする．

　次で定義される関数全体，すなわち，2乗可積分関数全体を L2(a, b)と表す（これをエルツー空間という）．

L2(a, b) =

{f(t) :

∫ b

a

|f(t)|2dt <∞, f(t) : (a, b)上の可測関数

}注意: 可測関数の定義は測度論の分野で習う．ここでは積分が定義できる関数という程度の理解で十分である．

　このとき，内積を次で定める．

< f, g >=

∫ b

a

f(t)g(t) dt (1.1)

f, g, h ∈ L2(a, b)に対して，容易に次の内積の性質が成り立つことが示せる．

(1) < f, f >≥ 0, < f, f >= 0 ⇔ f ≡ 0

(2) < f, g >= < g, f >

(3) < αf + βg, h >= α < f, h > +β < g, h >

(3)′ < f, αg + βh >= α < f, g > +β < f, h >

ただし，f ≡ 0は，ほとんど至るところ 0の意味（ここでは，恒等的に 0と考える）．

注意 1.2 x, y ≥ 0に対して，xy ≤ x2 + y2

2なので，∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(t)g(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(t)||g(t)| dt ≤ 1

2

∫ b

a

|f(t)|2 + |g(t)|2 dt

なので，f, g ∈ L2(a, b)に対して (1.1)の内積 < f, g >は定義できる.

また，(x+ y)2 ≤ 2(x2 + y2)より，∫ b

a

|f(t) + g(t)|2dt ≤ 2

∫ b

a

|f(t)|2 + |g(t)|2dt <∞

f, g ∈ L2(a, b)ならば，f + g ∈ L2(a, b)となる．明らかに，α ∈ C, f ∈ L2(a, b)ならば，αf ∈ L2(a, b)が成立す

ることより，L2(a, b)はベクトル空間の構造を持つ．すなわち，

α, β ∈ C, f, g ∈ L2(a, b) ⇒ αf + βg ∈ L2(a, b)

定義 1.3 f, g ∈ L2(a, b)に対して，

< f, g >= 0

のとき，f, gが直交しているという．これを f ⊥ gと表す

例 1.4 (1) a = −π, b = πとすると，次の関数は直交している．∫ π

−πsinnt cosmt dt = 0,

∫ π

−πsinnt · 1 dt = 0,

∫ π

−πcosnt · 1 dt = 0,

∫ π

−π1 · 1 dt = 2π (1.2)

∫ π

−πsinnt sinmt dt =

0 (m = n)

π (m = n),

∫ π

−πcosnt cosmt dt =

0 (m = n)

π (m = n)(1.3)

3

(2) ∫ π

−πeimteint dt =

0 (m = n)

2π (m = n)(1.4)

(3) a = −1, b = 1として，ルジャンドル多項式 Pn(t)（tに関して n次の多項式）を，次で定義する．

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn(t2 − 1)n (1.5)

このとき，次のように，これらは直交する．

∫ 1

−1

Pm(t)Pn(t) dt =

0 (m = n)2

2n+ 1(m = n)

(1.6)

(4) L2(−∞, ∞)において，関数 ψ(t)を

ψ(t) =

1 0 ≤ t < 1

2

−1 12 ≤ t < 1

0 その他

と定義する．j ∈ N ∪ {0}, k ∈ Zに対して，

ψj,k(t) = 2j2ψ(2jt− k)

と定義すると， ∫ ∞

−∞ψj,k(t)ψℓ,m(t) dt = δ(j,k),(ℓ,m)1

{ψj,k(t)}j,k を（ハール）ウェーブレット基底という．

問題 1.5 例 1.4の (1), (2) (3)を示せ．（hint: (1)は三角関数の積和公式，(3)はグラフを描くと分かる）

　次に，(1.6)式を示してみよう．

　 Pn(t)は定義から n次の多項式であることは容易にわかる．

　 n ≥ mとする．部分積分をすると

I =

∫ 1

−1

dn

dtn{(t2 − 1)n} d

m

dtm{(t2 − 1)m}dt

=

[dn−1

dtn−1{(t2 − 1)n

dm

dtm{(t2 − 1)m}}

]1−1

−∫ 1

−1

dn−1

dtn−1{(t2 − 1)n} d

m+1

dtm+1{(t2 − 1)m}dt

ライプニッツの公式より (0 ≤ k < n)

{(t2 − 1)n}(k) =k∑r=0

kCr{(t− 1)n}(r){(t+ 1)n}(k−r)

これは (t− 1)(t+ 1)の因子を持つので[dn−1

dtn−1{(t2 − 1)n

dm

dtm{(t2 − 1)m}}

]1−1

= 0

ゆえに

I = −∫ 1

−1

dn−1

dtn−1{(t2 − 1)n} d

m+1

dtm+1{(t2 − 1)m+1}dt

この操作をm回繰り返すことができ

I = (−1)m∫ 1

−1

dn−m

dtn−m{(t2 − 1)n} d

2m

dt2m{(t2 − 1)m}dt (1.7)

4

n > mの場合は，もう一回部分積分すると，d2m+1

dt2m+1{(t2 − 1)m} = 0より，

I = (−1)m+1

∫ 1

−1

dn−(m+1)

dtn−(m+1){(t2 − 1)n} d

2m+1

dt2m+1{(t2 − 1)m}dt = 0

m = nの場合は，(1.7)式は

I = (−1)n∫ 1

−1

(t2 − 1)n(2n)!dt

= (−1)n(2n)!

∫ 1

−1

(t− 1)n(t+ 1)ndt

= (−1)n(2n)!

([(t− 1)n

(t+ 1)n+1

n+ 1

]1−1

−∫ 1

−1

n(t− 1)n−1 (t+ 1)n+1

n+ 1dt

)

= −(−1)n(2n)!n

n+ 1

∫ 1

−1

(t− 1)n−1(t+ 1)n+1dt

...

=(2n)!(n!)2

(2n)!

∫ 1

−1

(t+ 1)2ndt =(2n)!(n!)2

(2n)!(2n+ 1)22n+1 =

(n!)2

(2n+ 1)22n+1

∴∫ 1

−1

Pn(t)Pm(t)dt =

0 n = m2

2n+ 1n = m

定義 1.6 f ∈ L2(a, b)に対して，

∥f∥2 =

(∫ b

a

|f(t)|2 dt

) 12

(1.8)

と定義する．これを f の 2乗平均ノルム（エルツーノルム）という．

命題 1.7 f, g ∈ L2(a, b)に対して，次が成り立つ．

(1)

| < f, g > | ≤ ∥f∥2∥g∥2, (Cauchy-Schwarzの不等式) (1.9)

(2)

∥f + g∥2 ≤ ∥f∥2 + ∥g∥2 (1.10)

証明（以後記号の煩雑さを避けるために，∥ · ∥2 を ∥ · ∥とここでは表すことにする）任意の s ∈ Cに対して，内積の性質 (i)より，

0 ≤ ∥sf(t) + g(t)∥2 =< sf(t) + g(t), sf(t) + g(t) >

= |s|2∥f∥2 + 2ℜ(s < f, g >) + ∥g∥2, （内積の性質 (ii)(iii)(iii)′ を利用する）

< f, g >= | < f, g > |eiθ として，s = ξe−iθ, (ξ ∈ R)と置けば，

= ξ2∥f∥2 + 2ξ| < f, g > |+ ∥g∥2

2次関数が ξに関していつも正なので，その判別式Dは負，すなわち，

0 ≥ D

4= | < f, g > |2 − ∥f∥2∥g∥2

∴ | < f, g > | − ∥f∥∥g∥ ≤ 0

5

次に，

∥f + g∥2 = ∥f∥2 + 2ℜ(< f, g >) + ∥g∥2

≤ ∥f∥2 + 2∥f∥∥g∥+ ∥g∥2 (Cauchy-Schwarzの不等式より)

= (∥f∥+ ∥g∥)2

∴ ∥f + g∥ ≤ ∥f∥+ ∥g∥

♡

定義 1.8 fn, f ∈ L2(a, b)に対して，(∫ b

a

|fn(t)− f(t)|2 dt

) 12

= ∥fn − f∥ −→ 0 (n→ ∞)

のとき，fn が f に 2乗平均収束するという．このとき， limn→0

fn = f と表す．

注意 1.9 fn が f に 2乗平均収束するとき，任意の t ∈ (a, b)に関して，各点収束するとは限らない．すなわち，

fn(t)− f(t) −→ 0 (n→ ∞)

しかし，fnk(t)− f(t) −→ 0 (k → ∞)となる部分列 {fnk

}が存在することが知られている．

定義 1.10 関数列 {ϕn(t)}n∈N ⊂ L2(a, b)が直交関数系であるとは，

∫ b

a

ϕm(t)ϕn(t) dt =< ϕm, ϕn >=

0 (m = n)

dn (m = n)(1.11)

を満たすことである．また，dn = 1 (n ∈ N) ならば，関数列 {ϕn(t)}n∈N を正規直交関数系という．そして，

f ∈ L2(a, b)に対して，

cn =< f, ϕn > (1.12)

を f の {ϕn(t)}n∈N に関するフーリエ係数という．

命題 1.11 {ϕn(t)}n∈N を正規直交関数系，f, g ∈ L2(a, b) とする．このとき，次が成立する．

(1)

f ⊥ g ⇒ ∥f + g∥2 = ∥f∥2 + ∥g∥2, (ピタゴラスの定理) (1.13)

(2) ⟨f(t)−

N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t), ϕk

⟩= 0, (k = 1, 2, · · · , N) (1.14)

(3) ∥∥∥∥∥N∑n=1

anϕn(t)

∥∥∥∥∥2

=

N∑n=1

|an|2 (1.15)

(4) ∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

anϕn(t)

∥∥∥∥∥ ≥

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥ (1.16)

(5)∞∑n=1

| < f, ϕn > |2 ≤ ∥f∥2, (Bessel(ベッセル)の不等式) (1.17)

6

証明 (1): < f, g >= 0なので，∥f + g∥2 = ∥f∥2 + 2ℜ < f, g > +∥g∥2 = ∥f∥2 + ∥g∥2

(2): 1 ≤ k ≤ N に対して，⟨f(t)−

N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t), ϕk

⟩

=< f(t), ϕk > −N∑n=1

< f, ϕn >< ϕn(t), ϕk >

=< f(t), ϕk > − < f, ϕk >< ϕk(t), ϕk >= 0, ({ϕn(t)}n∈N を正規直交関数系より)

(3): ∥∥∥∥∥N∑n=1

anϕn(t)

∥∥∥∥∥2

=

⟨N∑n=1

anϕn(t),

N∑n=1

amϕm(t)

⟩

=

N∑m,n=1

anam < ϕn(t), ϕm(t) >

=

N∑n=1

|an|2, ({ϕn(t)}n∈N を正規直交関数系より)

(4): ∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

anϕn(t)

∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t) +

N∑n=1

(< f, ϕn > −an)ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

(2)より，f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)は ϕk (k = 1, 2, ·, N)と直交する．従って，N∑n=1

(< f, ϕn > −an)ϕn(t) と

も直交する．よって (1)を用いて，

=

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

+

∥∥∥∥∥N∑n=1

(< f, ϕn > −an)ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

≥

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

(5): 任意のN ∈ Nに対して，

∥f(t)∥2 =

∥∥∥∥∥(f(t)−

N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

)+

N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

(4)の証明と同様に f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)とN∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)が直交するので，

=

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

+

∥∥∥∥∥N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

≥

∥∥∥∥∥N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥2

=

N∑n=1

| < f, ϕn > |2 ((3)より);

∴N∑n=1

| < f, ϕn > |2 ≤ ∥f(t)∥2

7

ここで，N → ∞とすると，求めたい不等式をえる．∞∑n=1

| < f, ϕn > |2 ≤ ∥f(t)∥2

♡

定義 1.12 (Parseval（パーセバル）の等式) 正規直交関数系 {ϕn(t)}n∈N が，次の等式を満たすとき，完全正規

直交関数系という．

∥f∥2 =

∞∑n=1

| < f, ϕn > |2,

このとき，f ∼∞∑n=1

< f, ϕn > ϕn =

∞∑n=1

cnϕn と表す．ただし，cn は (1.12)とする．

注意 1.13 f =

∞∑n=1

< f, ϕn > ϕn と表しても良いが，2平均収束の意味で等しいことを意味し，関数として等し

いことではない（ほとんど至るところ等しいことである）．

命題 1.14 {ϕn(t)}n∈N を正規直交関数系とするとき，次は同値である．

(1) 正規直交関数系 {ϕn(t)}n∈N は完全である

(2) < f, g >=

∞∑n=1

< f, ϕn > < g, ϕn >

(3) f ∈ L2(a, b)が f ⊥ ϕn ∀n ∈ N ならば，f(t) = 0 （ほとんど至るとこと 0の意味）

(4) limN→∞

∥∥∥∥∥f(t)−N∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

∥∥∥∥∥ = 0

証明証明省略（参考図書 [1]に証明あり） ♡

例 1.15 例 1.4で示した直交関数系に関して，{sinnt√π,cosnt√

π,

1√2π

: n ∈ N

}⊂ L2(−π, π)

{eint√2π

: n ∈ Z}

⊂ L2(−π, π),

Pn(t)√2

2n+1

: n ∈ N

⊂ L(−1, 1)

は，完全正規直交関数系である (証明は少し大変なので省略)

この完全正規直交関数系のフーリエ係数を考えてみる．n ∈ N に対して，

an =1

π

∫ π

−πf(t) cosnt dt, a0 =

1

π

∫ π

−πf(t) dt

bn =1

π

∫ π

−πf(t) sinnt dt

(1.18)

と定義したものを（実）フーリエ係数という．

cn =1

2π

∫ π

−πf(t)e−itndt (1.19)

と定義したものを複素フーリエ係数という．

8

以前に定義したフーリエ係数 (1.12)との関係を調べてみると，

< f(t),cosnt√

π>=

∫ π

−πf(t)

cosnt√π

dt =1√π

∫ π

−πf(t) cosnt dt =

√π1

π

∫ π


√πan;

< f(t),sinnt√π

>=

∫ π

−πf(t)

sinnt√π

dt =1√π

∫ π

−πf(t) sinnt dt =

√π1

π

∫ π


√πbn;

< f(t),1√2π

>=

∫ π

−πf(t)

1√2π

dt =1√2π

∫ π

−πf(t) dt =

√π

2

1

π

∫ π

−πf(t) dt =

√π

2a0

ゆえに，

f(t) ∼∞∑n=1

< f, ϕn > ϕn(t)

=

√π

2a0

1√2π

+

∞∑n=1

√πan

cosnt√π

+

∞∑n=1

√πbn

sinnt√π

=a02

+

∞∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt)

以後

f(t) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt) (1.20)

を (実)フーリエ展開と呼ぶ．また，f(t)が実数値関数のとき，an, bnは実数となる．従って，Parsevalの等式は

∥f∥2 =

∞∑n=1

| < f, ϕn > |2 =

(√π

2a0

)2

+

∞∑n=1

(√πan)

2 + (√πbn)

2

=π

2a20 +

∞∑n=1

πa2n + πb2n;

となる．まとめると，Parsevalの等式は，次のように表される．

1

π

∫ π

−π|f(t)|2dt = a20

2+

∞∑n=1

a2n + b2n (1.21)

同様にすれば，Besselの不等式も，次のように表される．

1

π

∫ π

−π|f(t)|2dt ≥ a20

2+

∞∑n=1

a2n + b2n (1.22)

　同様の作業を完全正規直交関数系{eint√2π

: n ∈ Z}で行うと，複素数値関数に対して，複素フーリエ級数にお

いては，次のようになる．

f(t) ∼∞∑

n=−∞cne

int, < f(t),eint√2π

>=√2πcn

1

2π

∫ π

−π|f(t)|2dt =

∞∑n=−∞

|cn|2(1.23)

問題 1.16 (1.23)を示せ．

問題 1.17 f(t) ∈ L2(−π, π)が実数値関数とのとき，次を示せ．

2cn = an − ibn, 2c−n = an + ibn, (n ∈ N)

9

　 f(t)が偶関数とき，次のようにフーリエ係数が表される．

πan =

∫ π


∫ 0

−πf(t) cosnt dt+

∫ π

0

f(t) cosnt dt = 2

∫ π

0

f(t) cosnt dt

πbn =

∫ π


∫ 0

−πf(t) sinnt dt+

∫ π

0

f(t) sinnt dt

= −∫ π

0

f(t) sinnt dt+

∫ π

0

f(t) sinntdt = 0

an =2

π

∫ π

0

f(t) cosnt dt, bn = 0 (1.24)

　同様にすれば，f(t)が奇関数とき，次のようにフーリエ係数が表される．

an = 0, bn =2

π

∫ π

0

f(t) sinnt dt (1.25)

定義 1.18 閉区間 [−π, π]上の関数 f(t)が t = aで右極限（左極限）があるとは，次の極限

f(a+ 0) = limt→a,x>a

f(t)

(f(a− 0) = lim

t→a,x<af(t)

)(1.26)

が存在するときをいう．また，関数 f が右微分可能（左微分可能）とは，次の極限

limt→a,t>a

f(t)− f(a)

t− a

(lim

t→a,t<a

f(t)− f(a)

t− a

)(1.27)

が存在するときをいう．そして，その極限値を右微分係数（左微分係数）という．

定義 1.19 閉区間 [−π, π]上の関数 f(t)が r回微分可能で，その導関数 f (r)(t)が連続のとき，f(t)を Cr-級の関

数という．ただし，両端の点は，右極限，左極限，あるいは，右かつ左微分可能とする．

　注意として，以後（フーリエ解析を行うときは），−π と π の 2つの点を同一視して考える．例えば，閉区間

[−π, π]で連続関数 f(t)とは，f(t)は f(−π) = f(π)で，しかも閉区間 [−π, π]上で連続を意味する．

定義 1.20 閉区間 [−π, π]上の関数 f(t)が閉区間 [−π, π]の有限この点を除いて連続で，しかも，この有限個のそれぞれの点で右極限，左極限を持つとき，f(t)を区分的に連続という．

定義 1.21 (1) 閉区間 [−π, π]上の関数 f(t)が C1-級のとき，f(t)を滑らかな関数という．

(2) 閉区間 [−π, π]上の関数 f(t)が有限個の点を除いて微分可能で，その導関数 f ′(t)も区分的に連続，しかも，

その有限個の点では右かつ左微分可能のとき，f(t)を区分的に滑らかなな関数という．

補題 1.22 f(x)を [−π, π]上の f(−π) = f(π)を満たす区分的に滑らかな連続関数とすると，an, bn を f のフー

リエ係数，a′n, b′n を f ′ のフーリエ係数とすると

a′n = nbn, b′n = −nan, (n ∈ N)

証明 f を滑らかな連続関数として証明する（区分的に滑らかな関数の場合は，滑らかな区間で，同様の計算をし，

和をとれば f の連続性により，[ ]の箇所はいつも零になり，積分区間は∫ π−π となる）．部分積分を利用して，

bn =1

π

∫ π

−πf(t) sinnt dt

=

[−f(t) 1

ncosnt

]π−π

+1

π

∫ π

−πf ′(t)

1

ncosnt dt

= 0 +1

n

(1

π

∫ π

−πf ′(t) cosnt dt

)=

1

na′n;

10

an =1

π

∫ π

−πf(t) cosnt dt

=

[f(t)

1

nsinnt

]π−π

− 1

π

∫ π

−πf ′(t)

1

nsinnt dt

= 0− 1

n

(1

π

∫ π

−πf ′(t) sinnt dt

)= − 1

nb′n

♡

定理 1.23 f(x)を区分的に滑らかな周期 2πの連続関数とすると，f(x)のフーリエ級数は f(x)に一様収束する．

証明補題と同じ記号を用いる．フーリエ級数の部分和 Sn(x)について，

|Sn(x)| =

∣∣∣∣∣a02 +

n∑k=1

(ak sin kx+ bk cos kx)

∣∣∣∣∣ ≤ |a02|+

n∑k=0

|(ak sin kx+ bk cos kx)|

≤ |a02|+

n∑k=1

(|ak|| sin kx|+ |bk|| cos kx|) ≤ |a02|+

k∑k=0

(|ak|+ |bk|), (∵ | sin kx|, | cos kx| ≤ 1)

= |a02|+

n∑k=0

1

k(|a′k|+ |b′k|), (∵ 補題 1.22)

≤ |a02|+

(n∑k=1

1

k2

) 12(

n∑k=1

(|a′k|+ |b′k|)2) 1

2

(∵ 資料 1 命題 1.10 Cauchy-Schwarzの不等式)

≤ |a02|+

√2

(n∑k=1

1

k2

) 12(

n∑k=1

|a′k|2 + |b′k|2) 1

2

(∵ (a+ b)2 ≤ 2(a2 + b2), a, b ≥ 0)

教科書，82ページ問 18,n∑k=0

1

k2=π2

6,

(1.22)より，|a′0|2

2+

n∑k=0

|a′k|2 + |b′k|2 ≤ 1

π

∫ π

−π|f ′(t)|2dt, (∀n ∈ N)

従って，資料 1の定理 1.20 Weierstrassの優収束判定法より，Sn(x)はある関数 g(x)に一様収束する．この g(x)

が f(x)であることを示せば証明が完了する．

(1.21)の Parsevalの等式より

1

π

∫ π

−π|f(t)− Sn(t)|2dt =

|a0|2

2+

∞∑k=1

(|ak|2 + |bk|2)−

(|a0|2

2+

n∑k=1

(|ak|2 + |bk|2)

)

=

∞∑k=n+1

(|ak|2 + |bk|2)n→∞−→ 0, (∵ 資料 1の命題 1.8(2))

Sn(t)は g(t)に一様収束するので，積分と Limitの順序交換（資料 1の命題 1.14）より∫ π

−π|f(t)− g(t)|2dt = lim

n→∞

∫ π

−π|f(t)− Sn(t)|2dt = 0

資料 1の定理 1.13より，g(t)は連続関数，条件より f(t)は連続関数なので，資料 1の命題 1.14より

f(t) = g(t) (∀t ∈ [−π, π])

♡

11

-3 -2 -1 1 2 3

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

補題 1.24 区分的に滑らかな関数 h(x)

h(x) =

−π − x

2(−π < x < 0)

0 (x = 0)π − x

2(0 < x < π)

のフーリエ級数

h(x) ∼∞∑k=1

1

ksin kx

は，0 を除いた閉区間では h(x) に一様収束

する．　 [h(x)の 10項と 20項までのフーリエ級数]

証明 h(x)は奇関数なので, an = 0である．

bn =2

π

∫ π

0

π − t

2sinntdt

=2

π

[π − t

2

(− cosnt

n

)]π0

− 2

π

∫ π

0

1

2ncosntdt =

1

n;

∴ h(x) ∼∞∑k=1

1

ksin kx

　ここで, g(x) =

h(x)(1− cosx), (x = 0)

0 (x = 0)の関数を考える．

このとき，g(x)は x = 0で微分可能（必要なのは連続性）を示す（g(x)は x = 0では C1-級の関数であることは

明らか）．

g′(0) = lim∆x→0

h(∆x)(1− cos∆x)

∆x

= lim∆x→0

h(∆x)2 sin2(∆x

2

)∆x

(∵ 1− cos θ = 2 sin2

θ

2

)

= lim∆x→0

sin2(∆x

2

)(∆x

2

)2 h(∆x)

(∆x

2

)

= lim∆x→0

sin2(∆x

2

)(∆x

2

)2 lim∆x→0

h(∆x)

(∆x

2

)= 1× 0 = 0

よって，g(x)は勿論，区分的に滑らかな連続関数である（定理 1.23より，g(x)のフーリエ級数は gに一様収束す

ることに注意しておく）．

　 Shn(x)を h(x)のフーリエ級数の部分和とするとき，

(1− cosx)Shn(x) = (1− cosx)

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt sin kx

=

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt(1− cosx) sin kx

=

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt

(sin kx− 1

2(sin(k + 1)x+ sin(k − 1)x)

)(3角関数の積和公式より)

12

=

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt sin kx−n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt1

2sin(k + 1)x

−n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t) sin kt dt1

2sin(k − 1)x

=

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t)

(sin kt− 1

2sin(k − 1)t− 1

2sin(k + 1)t

)dt sin kx

− 1

π

∫ π

0

h(t) sinnt dt sin(n+ 1)x+1

π

∫ π

0

h(t) sin(n+ 1)t dt sinnx

=

n∑k=1

2

π

∫ π

0

h(t)(1− cos t) sin kt dt sin kx ( 三角関数の和積公式より)

− 1

π

∫ π

0


π

∫ π

0


= Sgn(x)−1

π

∫ π

0


π

∫ π

0


たたし，Sgn(x)は gのフーリエ級数の部分和．

フーリエ級数の各項は，Besselの不等式 (1.22) (教科書 91ページ (6)と資料 1の命題 1.8(2))より

limn→∞

2

π

∫ π

0

h(t) sinnt dt = 0

以上により，一様収束の意味で

limn→∞

(1− cosx)Shn(x) = limn→∞

Sgn(x) = g(x)

が成立する．従って，

limn→∞

Shn(x) =g(x)

(1− cosx)= h(x) (|1− cosx| ≥ δ > 0の xの範囲で一様収束する (広義一様収束) )

♡

　次の定理は，Fourier解析の根幹をなすものである．

定理 1.25 (基本定理) [−π, π]上の f(x)を区分的に滑らかな関数とすると，フーリエ級数の部分和は

(1) xが f の連続な点では，f(x)に点収束する．

(2) xが f の不連続な点では，f(x+ 0) + f(x− 0)

2に点収束する．

しかも，I が f の不連続点を含まない閉区間であれば，I では一様収束する．

証明 x1, x2, · · · , xℓ を f(x)の不連続点とする（f(π) = f(−π)のときは，x = πが f(x)の不連続点とする）．

f(x)の不連続点を解消する方法として，次の関数を考える．

g(x) = f(x)−ℓ∑

k=1

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))h(x− xk), (x = xm, m = 1, 2, · · · , n)

x = xm での g(x)の右極限と左極限は，容易に次のようになることがわかる．

g(xm ± 0) = f(xm ± 0)∓ f(xm + 0)− f(xm − 0)

2−

ℓ∑k =xm

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))h(xm − xk)

=f(xm + 0) + f(xm − 0)

2−

ℓ∑k =xm

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))h(xm − xk); (1.1)

13

∴ g(xm+0) = g(xm − 0)

従って，g(xm) = g(xm + 0), (m = 1, 2, · · · , n)と定義すれば，g(x)は [−π, π]で区分的に滑らかな連続関数になる．定理 1.23より，Fourier級数は，一様収束の意味で次のようになる．

g(x) = limn→∞

Sgn(x) = limn→∞

(Sfn(x)−

ℓ∑k=1

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0)Sh(t−xk)

n (x)

)

次に，Sh(t−xm)n (x) = Shn(x− xm) を示す（このことは hが周期関数であれば成立）．

Sh(t−xm)n (x) =

1

2π

∫ π

−πh(t− xm)dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πh(t− xm) sinnt dt sinnx+

1

π

∫ π

−πh(t− xm) cosnt dt cosnx

cosの加法定理より，

=1

2π

∫ π

−πh(t− xm)dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πh(t− xm) cosn(t− x) dt

t− xm を tと変数変換，h(t)は周期 2πより

=1

2π

∫ π

−πh(t)dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πh(t) cosn(t− (x− xm)) dt

cosの加法定理より，

=1

2π

∫ π

−πh(t)dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πh(t) cosnt dt cosn(x− xm) +

1

π

∫ π

−πh(t) sinnt dt sinn(x− xm)

= Shn(x− xm)

従って，

g(x) = limn→∞

(Sfn(x)−

ℓ∑k=1

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))Shn(x− xk)

)

Shn(0) = 0，補題 1.24より，

=

limn→∞

Sfn(x)−ℓ∑

k=1

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0)h(x− xk), x = xm(m = 1, 2, · · · , n)

limn→∞

Sfn(x)−∑

xk =xm

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0)h(x− xk), x = xm (m = 1, 2, · · · , n)

; (1.2)

(1.1)より，

∴ limn→∞

Sfn(x) =

f(x), x = xm(m = 1, 2, · · · , n)f(xm + 0) + f(xm − 0)

2, x = xm (m = 1, 2, · · · , n)

(1.3)

　 Iが f の不連続点を含まない閉区間では，補題 1.3より (1.2)の上の式の limitは Iで一様収束するなので，(1.3)

の上の式は I で一様収束である． ♡

1.2 Gibbsギャップ

　定理 1.23で見たように，区分的に滑らかな連続関数のフーリエ級数は，元の関数に一様収束する．しかし，不

連続な関数のフーリエ級数は，連続点では各点収束するが，不連続点のそばでは，いつも激しく振動して一定の

幅のギャップが起こり，一様近似することができない (補題 1.24のグラフ参照)．このギャップを発見者にちなんで

ギブスギャップ (Gibbs)という．

14

補題 1.26n∑k=1

sin kx =sin (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

,

n∑k=1

cos kx =cos (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

証明 ak = eikx = cos kx+ i sin kxの等比数列の級数和の公式より，．

n∑k=1

eikx =eix(1− einx)

1− eix

=ei

x2 (1− einx)

e−ix2 − ei

x2

(eix2で分母分子を割る)

=ei

x2 − ei

(2n+1)x2

−2i sin x2

=(cos x2 − cos (2n+1)x

2 ) + i(sin x2 − sin (2n+1)x

2 )

−2i sin x2

=(2 sin (n+1)x

2 sin nx2 ) + i(−2 cos (n+1)x

2 sin nx2 )

−2i sin x2

(三角関数の和積公式)

=cos (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

+ isin (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

n∑k=1

cos kx+ i

n∑k=1

sin kx =

n∑k=1

eikx であるので，求める等式が得られる．

補題 1.27 区分的に滑らかな関数 h(x)

h(x) =

−π − x

2(−π < x < 0)

0 (x = 0)π − x

2(0 < x < π)

のフーリエ級数の部分和 Shn(x) =

n∑k=1

1

ksin kxは，xn =

π

n+ 1のとき，Shn(xn)の極限値は，次のようにとなる．

limn→∞

Shn(xn) =

∫ π

0

sin t

tdt

証明補題 1.26より，

Shn(x)′ =

n∑k=1

cos kx =cos (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

= 0

ゆえに，x > 0で 0に近い Shn(x)′ = 0の点は，cos

(n+ 1)x

2= 0, i.e.

(n+ 1)x

2=π

2，この点を xn =

π

n+ 1と

表す．

Shn(xn) =

n∑k=1

1

ksin

kπ

n+ 1=

n∑k=1

1

n+ 1

sin

(k

n+ 1π

)(

k

n+ 1

)積分を定義する区分求積法の考え方により，

limn→∞

Shn(xn) =

∫ 1

0

sinπt

tdt =

∫ π

0

sin t

tdt

♡

15

注意 1.28 関数論の Cauchyの積分定理を用いて，∫ ∞

0

sin t

tdt =

π

2

が示される．また，∫ ∞

0

∣∣∣∣ sin tt∣∣∣∣ dt = ∞

である ([3]p.102 参照)．2 4 6 8 10 12

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

[ sin xx のグラフ]

定理 1.29 (Gibbsギャップ) f(x)を [−π, π]上の区分的に滑らかなで，xm (m = 1, 2, · · · , ℓ) で不連続な関数とする．このとき，f のフーリエ級数の部分和 Sfn(x)は，

limn→∞

Sfn(xm(n))− f(xm(n)) = (f(xm + 0)− f(xm − 0))1

2

(2

π

∫ π

0

sin t

tdt− 1

)となる．ただし，xm(n) = xm +

π

n+ 1( limn→∞

xm(n) = xm)，

証明 (1.2)より，

g(xm(n)) = limn→∞

Sgn(xm(n)) = limn→∞

Sfn(xm(n))−ℓ∑

k=1

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))h(xm(n)− xk) (1.28)

limn→∞

xm(n) = xm と，補題 1.27より，

limn→∞

g(xm(n)) =f(xm + 0) + f(xm − 0)

2−

ℓ∑k =xm

1

π(f(xk + 0)− f(xk − 0))h(xm − xk);

limn→∞

h(xm(n)− xk) =

∫ π

0

sin t

tdt (xm = xk)

h(xm − xk) (xm = xk)

このことと，(1.28)より，

f(xm + 0) + f(xm − 0)

2= limn→∞

Sfn(xm(n))− 1

π(f(xm + 0)− f(xm − 0))

∫ π

0

sin t

tdt

最後に，

limn→∞

Sfn(xm(n))− f(xm(n)) =

(f(xm + 0)− f(xm − 0)

2

)(2

π

∫ π

0

sin t

tdt− 1

)= (f(xm + 0)− f(xm − 0))

1

2

(2

π

∫ π

0

sin t

tdt− 1

)と求める式が得られる． ♡

注意 1.30

∫ π

0

sin t

tdt = 1.8519 · · · をウィルブラハム‐ギブス (Wilbraham-Gibbs)定数，

2

π

∫ π

0

sin t

tdt = 1.1789 · · · をギブス定数という．関数 fの不連続点のジャンプの大きさの

1.1789− 1

2= 0.08949 · · ·

倍がギブスギャップの大きさである．

1.3 ディリクレ核とフェイエル核

定理 1.31 (ディリクレ核) f(x)を [−π, π]上の連続な周期 2π の関数とする．このとき，フーリエ級数の部分和

Sn(x)

Sn(x) =a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

16

は，次の積分形式で表される．

Sn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)Dn(x− t) dt =

1

2π

∫ π

−πf(x− t)Dn(t) dt

ただし，Dn(x)は，

Dn(x) =sin(n+ 1

2

)x

sin(x2

)これをディリクレ核 (Dirichet kernel)という．(f(t)は周期 2πで Rに拡張する)

証明フーリエ級数の部分和 Sn(x)を次のように変形する．

Sn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t) dt+

n∑k=1

(1

π

∫ π

−πf(t) cos kt dt cos kx+

1

π

∫ π

−πf(t) sin kt dt sin kx

)

=1

2π

∫ π

−πf(t) dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πf(t)(cos kt cos kx+ sin kt sin kx) dt

=1

2π

∫ π

−πf(t) dt+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πf(t) cos k(x− t) dt, (三角関数の加法定理)

=1

2π

∫ π

−πf(t)

(1 + 2

n∑k=1

cos k(x− t)

)dt

そこで，補題 1.26と三角関数の積和公式により，

1 + 2

n∑k=1

cos kx = 1 + 2cos (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

=sin x

2 + 2 cos (n+1)x2 sin nx

2

sin x2

=sin(n+ 1

2 )x

sin x2

以上より

Sn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)

sin(n+ 12 )(x− t)

sin x−t2

dt =1

2π

∫ π

−πf(t)Dn(x− t) dt

ここで，x− t = sで変数変換をすると，

1

2π

∫ π

−πf(t)Dn(x− t) dt =

1

2π

∫ x−π

x+π

−f(x− s)Dn(s) ds

=1

2π

∫ x+π

x−πf(x− s)Dn(s) ds

=1

2π

∫ π

−πf(x− s)Dn(s) ds, (∵ f(x), Dn(x)は 2π-周期関数)

♡

定義 1.32 フーリエ級数の部分和 Sn(x)の平均

σn(x) =1

n+ 1

n∑k=0

Sk(x)

をチェサロ平均という．

　チェサロ平均は，次のような積分表示を持つ．

定理 1.33 (フェイエル核) f(x)を [−π, π]上の連続な周期 2πの関数とする．このとき，チェサロ平均は，次のよ

うな積分形式で表される．

σn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)Kn(x− t) dt =

1

2π

∫ π

−πf(x− t)Kn(t) dt

17

ただし，

Kn(x) =1

n+ 1

sin(n+12 x

)sin(x2

)2

(1.29)

これをフェイエル核 (Fejer kernel)という．

証明 Sn(x)うぃディリクレ核を用いて表し，次のように変形していく．

σn(x) =1

n+ 1

n∑k=0

Sk(x)

=1

n+ 1

n∑k=0

1

2π

∫ π

−πf(t)

sin(k + 12 )(x− t)

sin x−t2

dt

=1

2π

∫ π

−πf(t)

1

n+ 1

n∑k=0

sin(k + 12 )(x− t)

sin x−t2

dt

そこで，三角関数の積和公式，そして半角の公式を用いて計算すると，

n∑k=0

sin

(k +

1

2

)x sin

x

2=

n∑k=0

1

2(− cos(k + 1)x+ cos kx)

=1− cos(n+ 1)x

2= sin2

(n+ 1

2x

);

∴n∑k=0

sin(k + 12 )x

sin x2

=sin2

(n+12 x

)sin2 x2

従って，

σn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)

1

n+ 1

(sin n+1

2 (x− t)

sin 12 (x− t)

)2

dt =1

2π

∫ π

−πf(t)Kn(x− t) dt

σn(x) =1

2π

∫ π

−πf(x− s)Kn(s) dsは，定理 1.31と同様にして示せる． ♡

補題 1.34 フェイエル核Kn(x)は，次の性質を持つ．

(1) Kn(x) ≥ 0, (x ∈ [−π, π])

(2)1

2π

∫ π

−πKn(t) dt = 1

(3) 任意の δ > 0について，|x| ≥ δの xの範囲で，Kn(x)は 0に一様収束する．

証明 (1)(1.29)より明らか．

(2)定理 1.31において，f(x) ≡ 1とすると，Sn(x) ≡ 1となり，σn(x) ≡ 1となる．従って，

1

2π

∫ π

−πKn(t) dt = σn(x) ≡ 1

(3)

|Kn(x)| =

∣∣∣∣∣∣∣1

n+ 1

sin(n+12 x

)sin(x2

)2∣∣∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∣∣∣1

n+ 1

1

sin2(δ

2

)∣∣∣∣∣∣∣∣n→∞−→ 0 , (|x| ≥ δ > 0 の範囲)

ゆえに，Kn(x)は |x| ≥ δ > 0の範囲のとき，n→ ∞で 0に一様収束する． ♡

18

注意 1.35 デリクレ核 Dn(x)は，フェイエル核Kn(x)が満たす補題 1.34の (1)(2)(3)の条件の中で，(1)以外を

満たす（下の左の図がDn(x)，右がKn(x)のグラフ）．左の図の x = 0での上からD10(x), D8(x), D5(x)のグラ

フ，右の図は上からK10(x),K8(x),K5(x)のグラフである．

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

10

15

20

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

10

共に x = 0付近で n → ∞に従って，グラフが立ち上がっていて，Kn(x)は x = 0に面積 1が集中してくる．他

方，∫ π

−π|Dn(x)| dt = +∞も知られている．

定理 1.36 f(x)を [−π, π]上の f(π) = f(−π)を満たす連続関数とする．このとき，チェサロ平均 σn(x)は f(x)

に一様収束する．

証明 f(x)は [−π, π]上の連続関数なので，資料 1の定理 1.6より，f(x)は一様連続，すなわち，

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) : |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε (∀x′, x ∈ [−π, π])

また，M = max{|f(x)| : x ∈ [−π, π]}とする（資料 1定理 1.5参照）．定理 1.33と補題 1.34(1),(2)より，

|σn(x)− f(x)| =∣∣∣∣ 12π

∫ π

−πf(x− t)Kn(t) dt− f(x)

1

2π

∫ π

−πKn(t) dt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 12π∫ π

−π(f(x− t)− f(x))Kn(t) dt

∣∣∣∣≤ 1

2π

∫ π

−π|f(x− t)− f(x)|Kn(t) dt

=1

2π

∫|x|≤δ

|f(x− t)− f(x)|Kn(t) dt+1

2π

∫|x|≥δ

|f(x− t)− f(x)|Kn(t) dt

|t| ≤ δのとき，|f(x− t)− f(x)| ≤ ε，また，|f(x− t)− f(x)| ≤ |f(x− t)|+ |f(x)| ≤ 2M より，

≤ 1

2π

∫|x|≤δ

εKn(t) dt+1

2π

∫|x|≥δ

2MKn(t) dt

補題 1.34(3)より，∃N : n > N =⇒ max{Kn(x) : |x| ≥ δ} < εなので，

≤ ε1

2π

∫|x|≥δ

Kn(t) dt+ 2M1

2π

∫|x|≥δ

Kn(t) dt ≤ ε+ 2Mε (∵ 補題 1.34(1)(2))

以上により，σn(x)は f(x)に一様収束する． ♡

注意 1.37 「すべての連続関数のフーリエ級数は，元の関数に収束しない」ことは知られている．定理 1.23では，

関数に微分可能性を課せば，元の関数にフーリエ級数が一様収束するのである．定理 1.36は，フーリエ級数でな

ければ, （an, bn を少し取り替えれば）元の関数にフーリエ級数が一様収束することを主張している．

1.4 フーリエ級数の項別微分

　偏微分方程式の変数分離の解法のとき，必要となるフーリエ級数の項別微分について述べる．ここで用いる基

本となる事実は，補題 1.22である．

19

命題 1.38 f(x)を [−π, π]上の Cr-級の関数のとき，f(x)のフーリエ係数は，

limn→∞

nran = 0, limn→∞

nrbn = 0

証明 a(r)n , b

(r)n を f (r)(x)のフーリエ係数とする．補題 1.22を繰りり返し用いれば，

an =

(−1)k

nra(r)n , (r = 2k)

(−1)k+1

nrb(r)n , (r = 2k + 1)

, bn =

(−1)k

nrb(r)n , (r = 2k)

(−1)k

nra(r)n , (r = 2k + 1)

(1.30)

f (r) に対するベッセルと不等式により， limn→∞

a(r)n = 0, limn→∞

b(r)n = 0．従って，(1.30)より，

limn→∞

nran = 0, limn→∞

nrbn = 0

♡

命題 1.39 関数 f(x)をa02

+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) とするとき，ある r ∈ N, ε > 0で，

limn→∞

nr+1+εan = 0, limn→∞

nr+1+εbn = 0

を満たせば，このとき，a02

+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)は一様収束し，f(x)は Cr-級の関数となり，r回項別微

分可能である．

　また，{an}, {bn}が関数 f(x)のフーリエ級数係数とするとき，f(x)が Cr-級の関数ならば，そのフーリエ級数

展開は r − 1回項別微分できる．

証明資料 1の命題 1.19の条件を満たすことを示せば良い．まず，an, bnに関する条件より，十分大きい n ≥ N

について, 次を満たすM > 0が存在する．

|an| ≤M1

n(r+1+ε), |bn| ≤M

1

n(r+1+ε)

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)を形式的に微分した級数は，次を満たす．

∞∑n=N

| − nan sinnx+ nbn cosnx| ≤∞∑n=N

|nan|+ |nbn| ≤∞∑n=N

2M1

n(r+ε)<∞ (1.31)

(注意：この事実∞∑n=1

1

nr+ε<∞, (r ∈ N)が重要)

資料 1の定理 1.20（Weierstrassの優収束判定法）より，

∞∑n=1

−nan sinnx+ nbn cosnx

は一様収束する．資料 1の定理 1.19より，f(x)は微分可能で，その導関数は∞∑n=1

−nan sinnx+nbn cosnxとなる．

　この操作 (形式的な微分)を r回繰り返すことができる．r回目の (1.31)の最後の式は∞∑n=N

2M1

n1+ε< +∞と

なり，f(x)は項別微分可能である（上の注意より，r + 1回項別微分をすることはできるとは限らない）．

　 2つ目の主張を示す．フーリエ展開を形式的に微分すると，式 (1.31)のようにすれば，f(x)が C2-級の関数な

ら，命題 1.38より，

∞∑n=

| − nan sinnx+ nbn cosnx| ≤∞∑n=1

|nan|+ |nbn|

20

≤∞∑n=1

∣∣∣∣∣na(2)nn2∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣nb(2)nn2

∣∣∣∣∣=

∞∑n=1

∣∣∣∣ 1na(2)n∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1nb(2)n

∣∣∣∣ただし，{a(2)n }, {b(2)n }は f (2)(x)のフーリエ係数とする．定理 1.23の証明と同様にすれば，

∞∑n=1

∣∣∣∣ 1na(2)n∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1nb(2)n

∣∣∣∣ ≤( ∞∑n=1

1

n2

) 12( ∞∑n=1

(|a(2)n |+ |b(2)n |)2) 1

2

≤√2

( ∞∑n=1

1

n2

) 12( ∞∑n=1

|a(2)n |2 + |b(2)n |2) 1

2

< +∞

従って，資料 1の定理 1.20 Weierstrassの優収束判定法と命題 1.19 (項別微分)により，

f(x) =a02

+

∞∑n=1

an cosnx+ bn sinnx

は項別微分可能になる．

f(x)が Cr-級の関数のときも，r − 1回項別微分できることも，同様に示せる． ♡

21

2 Fourier 変換

2.1 Fourier変換の基礎

　フーリエ級数の区間 [−L,L]を L→ ∞としたとき，フーリエ級数の事柄は”フーリエ変換”になる．　 (−∞, ∞)上の関数 f(x)が区分的に滑らかであるとは，任意の閉区間 [−L,L]に制限したとき，区分的に滑らかとする．また，f(x)が絶対可積分であるとは，∫ ∞

−∞|f(x)| dx <∞ (2.1)

を意味する．このことは, 任意の εに対して，λ > 0が存在して次を満たすことである．∫ ∞

λ

|f(x)| dx+

∫ −λ

−∞|f(x)| dx < ε (2.2)

定義 2.1 (−∞, ∞)上の絶対可積分な関数 f(x)に対して，

F(f)(s) = f(s) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−its dt (2.3)

を f のフーリエ変換という. また，

F−1(f)(s) = f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(s)eits ds (2.4)

を f の逆フーリエ変換という.

補題 2.2 ∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2

証明関数論参照 ♡

基本的なフーリエ変換の例を 2つ述べる．

例 2.3

F(sin t

t

)(s) =

0, |s| > 11

2

√π2 , s = ±1√

π2 , |s| < 1

逆に，f(s) =

0, |s| > 11

2

√π2 , s = ±1√

π2 , |s| < 1

とするとき，f(t) =sin t

tとなる．

証明sin t

tは偶関数より，

F(sin t

t

)(s) =

1√2π

∫ ∞

−∞

sin t

te−its dt =

2√2π

∫ ∞

0

sin t cos ts

tdt

=1√2π

∫ ∞

0

sin t(1 + s)

t+

sin t(1− s)

tdt

=1√2π

∫ ∞

0

sin t(1 + s)

tdt+

1√2π

∫ ∞

0

sin t(1− s)

tdt

22

t→ ta = τ と変数変換すれば，補題 2.2より，∫ ∞

0

sin at

tdt =

π

2a > 0

0 a = 0

−π2

a < 0

，従って，

=

0, |s| > 11

2

√π2 , s = ±1√

π2 , |s| < 1

逆に，

f(t) =1√2π

∫ 1

−1

√π

2eitsds =

1

2

∫ 1

−1

cos ts ds =1

2

[sin ts

t

]1−1

=sin t

t

♡

　フーリエ変換しても不変な標準正規分布関数．

例 2.4

F(e

−t2

2

)(s) = e

−s2

2

証明

F(e

−t2

2

)(s) =

1√2π

∫ ∞

−∞e

−t2

2 e−itsdt =1√2π

∫ ∞

−∞e

−t2−2its2 dt

=1√2π

∫ ∞

−∞e

−(t+is)2−s2

2 dt

=1√2π

∫ ∞

−∞e

−(t+is)2

2 dt× e−s2

2

関数論の Cauchyの積分定理より，1√2π

∫ ∞

−∞e

−(t+is)2

2 dt =1√2π

∫ ∞

−∞e

−t2

2 dtなので，

=1√2π

∫ ∞

−∞e

−t2

2 dt× e−s2

2

∫ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2より

∫ ∞

−∞e

−t2

2 dt =√2πとなるので，

= e−s2

2

♡

定理 2.5 f を R上の絶対可積分な関数とする．s ∈ Rに対して，fs(t) = f(t− s)と定義すると，ことのつぎが成

り立つ．

lims→0

∫ ∞

−∞|fs(t)− f(t)| dt = 0

証明まず，任意の ε > 0に対して，∫ ∞

−∞|f(t)− g(t)| dt < ε, ∃λ : g(t) = 0, (|t| > λ) (2.5)

を満たす R上の連続関数 g(t)が存在する．g(t)は有界閉区間 [−λ, λ]上連続関数なので，一様連続である．すなわち，任意の ε > 0に対して，

∃δ > 0 : |s| < δ, ⇒ |g(t− s)− g(t)| < ε, (∀t ∈ R) (2.6)

23

従って，|s| < δならば，∫ ∞

−∞|fs(t)− f(t)| dt ≤

∫ ∞

−∞|fs(t)− gs(t)| dt+

∫ ∞

−∞|gs(t)− g(t)| dt+

∫ ∞

−∞|g(t)− f(t)| dt

第 1項は t− sを tに変数変換すれば，第 3項とも (2.5)より，

< ε+

∫|t|≤λ

|gs(t)− g(t)| dt+ ε

(2.6)より，

< (2 + 2λ)ε

♡

　次のことは，ベッセルの不等式から導かれるフーリエ級数での lim|n|→∞

an = lim|n|→∞

bn = 0に対応している．

定理 2.6 (リーマン・ルベーグ (Riemann-Lebesgue)の定理) f(t)を (−∞,∞)上の絶対可積分な関数とすると

き，フーリエ変換 f(s)は連続関数で，しかも, 次を満たす．

lim|s|→∞

f(s) = 0

証明最初に f(s)が連続関数であることを示す．(2.5)のよう，任意の ε > 0に対して，∫ ∞

−∞|f(t)− g(t)| dt < ε√

2π, ∃λ : g(t) = 0, (|∀t| > λ)

もし，|ω| ≤ ε

λとすると，

|e−itω − 1| ≤ |tω| < |t| ελ≤ ε (|t| ≤ λ)

これを用いて，

|f(s+ ω)− f(s)|

=

∣∣∣∣ 1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−it(s+ω) dt− 1√

2π

∫ ∞

−∞f(t)e−its dt

∣∣∣∣≤ 1√

2π

∫ ∞

−∞|(f(t)− g(t))e−it(s+ω)|dt+ 1√

2π

∫ λ

−λ|g(t)(e−it(s+ω) − eits)| dt+ 1√

2π

∫ ∞

−∞|(g(t)− f(t))e−its|dt

=1√2π

∫ ∞

−∞|f(t)− g(t)|dt+ 1√

2π

∫ λ

−λ|g(t)||(e−itω − 1)| dt+ 1√

2π

∫ ∞

−∞|(g(t)− f(t))|dt

≤

(2 +

1√2π

∫ λ

−λ|g(t)| dt

)ε

以上より f(s)は連続関数である．

次に， lim|s|→∞

f(s) = 0を示す．まず，eiπ = −1より

f(s) = − 1√2π

∫ ∞

−∞f(t)ei(t+

πs )s dt = − 1√

2π

∫ ∞

−∞f(t− π

s

)eits dt

よって，

|2f(s)| =∣∣∣∣ 1√

2π

∫ ∞

−∞

(f(t)− f

(t− π

s

))eits dt

∣∣∣∣ ≤ 1√2π

∫ ∞

−∞

∣∣∣(f(t)− f(t− π

s

))∣∣∣ dt定理 2.5より, ∫ ∞

−∞

∣∣∣(f(t)− f(t− π

s

))∣∣∣ dt |s|→∞−→ 0

よって， lim|s|→∞

|f(s)| = 0 ♡

24

定理 2.7 (ディリクレの積分公式) f(t)が [0, λ]で定義だれた区分的に滑らかな関数とすると，

lims→∞

∫ λ

0

f(t)sin st

tdt =

π

2f(+0)

証明補題 2.2より，関数 f(x)− f(+0)を考えれば，f(+0) = 0を満たす関数に対して，

lims→∞

∫ λ

0

f(t)sin st

tdt = 0 (2.7)

を示せば良い．なぜなら，

lims→∞

∫ λ

0

f(t)sin st

tdt = lim

s→∞

∫ λ

0

(f(t)− f(+0))sin st

tdt+ lim

s→∞

∫ λ

0

f(+0)sin st

tdt

= 0 + f(+0) lims→∞

∫ λ

0

sin st

tdt

= f(+0) lims→∞

∫ λs

0

sin t

tdt

= f(+0)

∫ ∞

0

sin t

tdt = f(+0)

π

2

　ゆえに，(2.7)を示す．平均値の定理より,f(t)− f(+0)

t− 0= f ′(θt)より，任意の δ > 0に対し，∣∣∣∣f(t)t

∣∣∣∣ ≤M, (t ∈ (0, δ))

ただし，M = sup{|f ′(t)| : |t| ≤ δ}

∣∣∣∣∣∫ λ

0

f(t)sin st

tdt

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ δ

0

f(t)sin st

tdt

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫ λ

δ

f(t)sin st

tdt

∣∣∣∣∣≤∫ δ

0

∣∣∣∣f(t)t∣∣∣∣ | sin st| dt+

∣∣∣∣∣∫ λ

δ

f(t)sin st

tdt

∣∣∣∣∣≤Mδ +

∣∣∣∣∣∫ λ

δ

f(t)

t

(eist − e−ist)

2idt

∣∣∣∣∣g(t) =

f(t)

t, t ∈ [δ, λ]

0 その他とすると，リーマン・ルベーグの定理 2.6より，

≤Mδ +

√2π

2|g(−s)− g(s)| −→ 0 (δ → 0, |s| → ∞)

ゆえに， lims→∞

∫ λ

0

f(t)sin st

tdt = 0が示せた． ♡

系 2.8 f(t)が [t− λ, t+ λ]定義された区分的に滑らかな関数とするとき，

lims→∞

∫ λ

−λf(x+ t)

sin st

tdt =

π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

証明定理 (ディリクレの積分公式)2.7より，∫ λ

−λf(x+ t)

sin st

tdt =

∫ λ

0

f(x+ t)sin st

tdt+

∫ 0

−λf(x+ t)

sin st

tdt

=

∫ λ

0

f(x+ t)sin st

tdt+

∫ λ

0

f(x− t)sin st

tdt

s→∞−→ π

2f(x+ 0) +

π

2f(x− 0)

♡

25

定理 2.9 (フーリエの単積分公式) f(t)が (−∞,∞)定義された区分的に滑らかな絶対可積分な関数とするとき，

lims→∞

∫ ∞

−∞f(x+ t)

sin st

tdt =

π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

証明 f(t)な絶対可積分関数なので，任意の s, λについて，∣∣∣∣∣∫ ∞

−∞f(x+ t)

sin st

tdt−

∫ λ

−λf(x+ t)

sin st

tdt

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫|t|>λ

f(x+ t)sin st

tdt

∣∣∣∣∣≤∫|t|>λ

|f(x+ t)|∣∣∣∣ sin stt

∣∣∣∣ dt ≤ ∫|t|>λ

|f(x+ t)| 1λdt <

∫∞−∞ |f(t)|dt

λ

任意の ε > 0に対して，λ0 を

∫∞−∞ |f(t)|dt

ε< λ0 と取る．系 2.8より，∃s0 > 0が存在して，|s| > s0 に対して，∣∣∣∣∣

∫ λ0

−λ0

f(x+ t)sin st

tdt− π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

∣∣∣∣∣ < ε

よって， ∣∣∣∣∫ ∞

−∞f(x+ t)

sin st

tdt− π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

∣∣∣∣ <∫∞−∞ |f(t)|dt

λ0+ ε < 2ε, (|s| > s0)

以上より

lims→∞

∫ ∞

−∞f(x+ t)

sin st

tdt =

π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

が示せた． ♡

　ここで，次の定理の証明に使うフビニ (Fubini)の定理 (積分順序の交換) について解説します．一般に，f(x, y)

が長方形領域 [a, b]× [c, d]上の連続関数であるとき，フビニの定理とは，∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫∫[a,b]×[c,d]

f(x, y)dxdy (2.8)

が成立することである．

この閉区間 [a, b], [c, d]が無限区間になった場合は，フビニの定理は一般には成立しません．成立する十分条件は，

いずれかの a, cが −∞，b, dが∞の場合∫ d

c

(∫ b

a

|f(x, y)|dx

)dy <∞, あるいは，

∫ b

a

(∫ d

c

|f(x, y)|dy

)dx <∞

を満たせば，同様に (2.8)は成立する．

定理 2.10 (フーリエの重積分公式) f(t)が (−∞,∞)定義された区分的に滑らかな絶対可積分な関数とするとき，∫ ∞

0

(∫ ∞

−∞f(t) cos s(x− t) dt

)ds =

π

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

証明フーリエの単積分公式を変形して示していこう．

π

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) = lim

s→∞

∫ ∞

−∞f(x+ t)

sin st

tdt

= lims→∞

∫ ∞

−∞

(f(x+ t)

∫ s

0

cosut du

)dt

f が絶対可積分なので，無限区間に関するフビニの定理の条件を満たすので，

= lims→∞

∫ s

0

(∫ ∞

−∞f(x+ t) cosut dt

)du

= lims→∞

∫ s

0

(∫ ∞

−∞f(t) cosu(t− x) dt

)du =

∫ ∞

0

(∫ ∞

−∞f(t) cosu(t− x) dt

)du

上の積分∫ ∞

0

· duは変格積分である． ♡

26

注意 2.11 フーリエの重積分公式は，教科書 96ページの (5)式のフーリエ積分（実フーリエ変換）であることを

示す．

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) =

1

π

∫ ∞

0

(∫ ∞

−∞f(t) cos s(x− t) dt

)ds

=1

π

∫ ∞

0

(∫ ∞

−∞f(t)(cos sx cos st+ sin sx sin st) dt

)ds

=

∫ ∞

0

(1

π

∫ ∞

−∞f(t) cos st dt cos sx+

1

π

∫ ∞

−∞f(t) sin st dt sin sx

)ds

=

∫ ∞

0

A(s) cos sx+B(s) sin sx ds

ただし，A(s), B(s)は教科書で定義された記号とする．すなわち，

A(s) =1

π

∫ ∞

−∞f(t) cos st dt, B(s) =

1

π

∫ ∞

−∞f(t) sin st dt

　次に，複素フーリエ変換の反転公式 (Inversion Formula)を示す．

定理 2.12 (反転公式) f(t)が (−∞,∞)定義された区分的に滑らかな絶対可積分な関数とするとき，

f(x+ 0) + f(x− 0)

2=

1√2π

∫ ∞

−∞eixs

(1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−itsdt

)ds

ただし，sに関する積分∫ ∞

−∞は， lim

N→∞

∫ N

−Nの意味である．

（このことは，f がさらに連続関数で，f が絶対可積分ならば， ˇf(t) = f(t)を表している）

証明

1√2π

∫ ∞

−∞eixs

(1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−itsdt

)ds =

1√2π

∫ ∞

−∞eixs

(1√2π

∫ ∞

−∞f(t)(cos ts− i sin ts) dt

)ds

=1

2

∫ ∞

−∞(cosxs+ i sinxs)(A(s)− iB(s))ds

=1

2

∫ ∞

−∞(A(s) cosxs+B(s) sinxs) + i(A(s) sinxs−B(s) cosxs)ds

A(s)は偶関数，B(s)は奇関数なので，被積分関数で iが付いた項の積分は 0となる．従って，

=

∫ ∞

0

A(s) cosxs+B(s) sinxs ds

注意 2.11より，

=f(x+ 0) + f(x− 0)

2

♡

定理 2.13 (Fourier変換の性質) R上の関数 f, g, hが絶対可積分な関数とする．このとき，複素フーリエ変換は

次のような性質を満たす．

(1) F(af + bg)(s) = aF(f)(s) + bF(g)(s)

(2) 関数 f が微分可能で，しかも，その導関数 f ′ が絶対可積分であるとき，

F(f ′)(s) = isF(f)(s) (2.9)

また，f が n回微分可能で,その k次導関数 f (k) が絶対可積分 (0 ≤ k ≤ n)であるとき，

F(f (n))(s) = (is)nF(f)(s) (2.10)

27

(3) tf(t)が絶対可積分であるとき，d

ds(F(f)(s)) = F(−itf(t))(s) (2.11)

また，tnf(t)が絶対可積分であるとき，

dn

dsn(F(f)(s)) = F((−it)nf(t))(s) (2.12)

(4) 関数 f と gの畳み込み関数 f ∗ gを

f ∗ g(t) =∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ)dτ (2.13)

と定義するとき，次の結合法則と可換性

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h), f ∗ g = g ∗ f (2.14)

を満たす．また，そのフーリエ変換 F(f ∗ g)は，次のようになる．

F(f ∗ g)(s) =√2πF(f)(s)F(g)(s) (2.15)

(5) f, gが区分的に滑らかな連続関数で，f ′, g′ が絶対可積分なら，

f ∗ g(t) =∫ ∞

−∞f(s)g(s)eistds (2.16)

(注意　絶対可積分な関数 f, gでは，この等式は一般に成立しない)

(6) 関数 f の convolution（対合）を

f#(t) = f(−t) (2.17)

と定義すると，

(f ∗ g)# = g# ∗ f# (2.18)

を満たし，しかも，そのフーリエ変換は，次のようになる．

F(f#)(s) = F(f)(s) (2.19)

(7) f, gが区分的に滑らかな連続関数で，f ′, g′ が絶対可積分とすると，次が成り立つ．∫ ∞

−∞f(t)g(t)dt =

∫ ∞

−∞f(s)g(s)ds (2.20)

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|f(s)|2ds, (Plancherel(プランシエル)公式) (2.21)

(注意　絶対可積分な関数 f, gでは，この等式は一般に成立しない)

(注意　 (2.21)はフーリエ級数の Parsevalの等式に対応している)

証明 (1) ほぼ自明だが，次のように示す．

F(af + bg)(s) =1√2π

∫ ∞

−∞(af + bg)(t)e−istdt

=1√2π

∫ ∞

−∞(af(t) + bg(t))e−istdt

= a1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−istdt+ b

1√2π

∫ ∞

−∞g(t)e−istdt

= aF(f)(s) + bF(g)(s)

28

(2) まず， lim|t|→∞

f(t) = 0を示す．f(t)− f(0) =

∫ t

0

f ′(τ)dτ と f ′(t)が絶対可積分なので，

α = limt→∞

f(t) = f(0) +

∫ ∞

0

f ′(τ)dτ

の極限値 αが存在する．α = 0と仮定すると，十分大きいN に対して

|f(t)| > |α|2, (∀t > N)

となり，∫ M

N

|f(t)|dt > |α|2(M −N)

M→∞−→ ∞，これは f の絶対可積分に矛盾．従って，α = 0

次に，式 (2.9)を示す

F(f ′)(s) =1√2π

∫ ∞

−∞f ′(t)e−istdt

=1√2π

[f(t)e−ist

]∞−∞ +

1√2π

∫ ∞

−∞f(t)ise−istdt, (∵ 部分積分)

= is1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−istdt

(∵ lim

|t|→∞f(t) = 0

)= isF(f)(s)

　これを繰り返せば，式 (2.10)はえられる．

(3) tf(t)は絶対可積分より，資料 2の定理 9.1を満たすので，積分と微分の順序交換ができる．よって，

d

ds(F(f)(s)) =

d

ds

(1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−istdt

)=

1√2π

∫ ∞

−∞

d

ds

(f(t)e−ist

)dt (∵ 積分と微分の順序交換)

=1√2π

∫ ∞

−∞−itf(t)e−istdt

= F(−itf(t))(s)

n回微分の場合：0 ≤ ∀k ≤ nに対して，∫ ∞

−∞|tkf(t)|dt =

∫|t|≥1

|tkf(t)|dt+∫ 1

−t|tkf(t)|dt

≤∫|t|≥1

|tnf(t)|dt+∫ 1

−1

|f(t)|dt, (∵ |tk| ≤ |tn| (|∀t| > 1), |tk| ≤ 1(∀t ∈ [−1, 1]))

≤∫ ∞

−∞|tnf(t)|dt+

∫ ∞

−∞|f(t)|dt <∞

従って，1回の微分の場合の証明を繰り返すことができ，次が示せる．

dn

dsn(F(f)(s)) = F((−it)nf(t))(s)

(4)

Fubbini(フビニ）の定理（認める）φ(x, y)を R× R上の連続関数（あるいは，可測関数）とする．∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞|φ(x, y)|dxdy =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞|φ(x, y)|dy

)dx <∞

を満たすとき，積分の順序を，次のように交換できる．∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞φ(x, y)dx

)dy =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞φ(x, y)dy

)dx

注意 φ(x, y) ≥ 0ならばいつでも上の式は成立する．

29

∫ ∞

−∞|f ∗ g(t)|dt =

∫ ∞

−∞

∣∣∣∣∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ)dτ

∣∣∣∣ dt≤∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞|f(τ)g(t− τ)|dτdt

=

∫ ∞

−∞|f(τ)|

(∫ ∞

−∞|g(t− τ)|dt

)dτ

=

∫ ∞

−∞|f(τ)|

(∫ ∞

−∞|g(t)|dt

)dτ (∵ t− τ → tに変数変換)

=

∫ ∞

−∞|f(τ)|dτ

∫ ∞

−∞|g(t)|dt <∞

従って，f, gが絶対可積分ならば，f ∗ gも絶対可積分である．つぎに結合法則が成り立つことを示す．

((f ∗ g) ∗ h)(t) =∫ ∞

−∞(f ∗ g)(τ)h(t− τ)dτ

=

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(s)g(τ − s)ds

)h(t− τ)dτ

=

∫ ∞

−∞f(s)

(∫ ∞

−∞g(τ − s)h(t− τ)dτ

)ds (∵ Fubbiniの定理より積分順序の交換＊)

=

∫ ∞

−∞f(s)

(∫ ∞

−∞g(τ)h((t− s)− τ)dτ

)ds (∵ τ − s→ τに変数変換)

=

∫ ∞

−∞f(s)(g ∗ h)(t− s)ds

= f ∗ (g ∗ h)(t);

∴ (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

次に，可換性を示す．

(f ∗ g)(t) =∫ ∞


=

∫ ∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ (∵ t− τ → τに変数変換)

= (g ∗ f)(t);

∴ f ∗ g = g ∗ f

次は，F(f ∗ g)(s) =√2πF(f)(s)F(g)(s)を示す．

F(f ∗ g)(s) = 1√2π

∫ ∞

−∞f ∗ g(t)e−itsdt

=1√2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞


)e−itsdt

=1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ)e−itsdτdt

=1√2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(τ)e−iτsg(t− τ)e−i(t−τ)sdt

)dτ (∵ Fubbiniの定理)

=1√2π

∫ ∞

−∞f(τ)e−iτs

(∫ ∞

−∞g(t)e−itsdt

)dτ (t− τ → tに変数変換)

=

∫ ∞

−∞f(τ)e−iτsg(s)dτ

=√2πf(s)g(s)

30

(5) f, gが区分的に滑らかな連続関数で，かつ f ′, g′が絶対可積分なら，f ∗ gも区分的に滑らかな1 連続関数にな

るので，反転公式と (4)により，

f ∗ g(t) = 1√2π

∫ ∞

−∞F(f ∗ g)(s)eistds = 1√

2π

∫ ∞

−∞

√2πf(s)g(s)eistds =

∫ ∞

−∞f(s)g(s)eistds

(6)

F(f#)(s) =1√2π

∫ ∞

−∞f#(t)e−istdt =

1√2π

∫ ∞

−∞f(−t)e−istdt

=1√2π

∫ ∞

−∞f(t)eistdt (t→ −tに変数変換)

=1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−istdt = f(s)

また，

(f ∗ g)#(t) = f ∗ g(−t) =∫ ∞

−∞f(τ)g(−t− τ)dτ =

∫ ∞

−∞f(τ) g(−t− τ)dτ

=

∫ ∞

−∞f(−t+ τ) g(−τ)dτ (t+ τ → τに変数変換)

=

∫ ∞

−∞g#(τ)f#(t− τ)dτ = (g# ∗ f#)(t)

(7) (2.16)において，t = 0とすると∫ ∞

−∞f(t)g(−t)dt =

∫ ∞

−∞f(t)g(0− t)dt = f ∗ g(0) (2.16)

=

∫ ∞

−∞f(s)g(s)ds

ここで,上の式の関数 gを g# に取り替えると，(2.19)より，∫ ∞

−∞f(t)g(t)dt =

∫ ∞

−∞f(s)g(s)ds

上の式の関数 gを関数 f に取り替えると，∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|f(s)|2ds

の Plancherel公式が得られる． ♡

　フーリエ変換にとって都合の良い関数族を次に考える．

定義 2.14 f(t)が急減少関数であるとは，f(t)が無限回微分可能で，

lim|t|→∞

|tnf (m)(t)| = 0, (∀n,m ∈ N ∪ {0})

を満たことである．

　急減少関数 f(t)は，条件 (n = 2と取る)より，

∃t0,∃M > 0; |t| > t0 > 0 ⇒ |f (m)(t)| < M |t|2

従って， ∫|t|>t0

|f (m)(t)|dt <∫|t|>t0

M |t|2dt <∞

1g(t) が滑らかな関数とすると，f, g′ が絶対積分可能より積分と微分の順序交換可能，

d

dt(f ∗ g(t)) =

d

dt

(∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ) dτ

)=

∫ ∞

−∞f(τ)

d

dt(g(t− τ)) dτ =

∫ ∞

−∞f(τ)g′(t− τ) dτ = f ∗ g′(t)

31

このことより，∫ ∞

−∞|f (m)(t)|dt <∞となり，f (m)(t)は必ず絶対可積分関数になることを注意しておく．

　特徴的な急減少関数の例として， lim|t|→∞

tne−t2

= 0, (∀n ∈ N)なので，e−t2

2 は急減少関数，また，無限回微分

可能な関数 f で，f(t) = 0, (|t| > λ)を満たす急減少関数などがある．

命題 2.15 f(t)が急減少関数とすると，f も急減少関数になる．

証明 f が急減少関数であれば，tnf(t)は急減少関数である．従って，tnf(t)は絶対可積分である．ゆえに，定理

2.13(3)より，F(f)は無限微分可能である．定理 2.13(2),(3)を複数回使うと，

smdn

dsnf(s) = (−i)n+mF

(dm

dtm(tnf(t)

))(s)

となる．dm

dtm(tnf(t)

)も急減少関数なので，絶対可積分である．最後に，リーマン・ルべーグの定理 2.6より，

lim|s|→∞

∣∣∣∣sm dn

dsnf(s)

∣∣∣∣ = lim|s|→∞

∣∣∣∣F ( dm

dtm(tnf(t)

))(s)

∣∣∣∣ = 0

♡

　関数 f(t)を急減少関数に制限をすると，反転公式は比較的容易に示せる．

命題 2.16 f(t)が急減少関数のとき，次の反転公式が成立する．

ˇf(t) = f(t)

証明 f, gを急減少関数とすると，∫ ∞

−∞g(s)f(s)eixsds =

∫ ∞

−∞g(s)

(1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−istdt

)eixsds

急減少関数 f, gは絶対可積分なので，無限区間のフビニの定理の条件を満たす．積分順序の交換すれば，

=

∫ ∞

−∞f(t)

(1√2π

∫ ∞

−∞g(s)e−is(t−x)ds

)dt

=

∫ ∞

−∞g(t− x)f(t)dt

=

∫ ∞

−∞g(t)f(x+ t)dt;

∴∫ ∞

−∞g(s)f(s)eixsds =

∫ ∞

−∞g(t)f(x+ t)dt

δ > 0に対して，δs→ sに変数変換すると，

1√2π

∫ ∞

−∞g(δs)e−itsds =

1√2π

∫ ∞

−∞g(s)e−i

tδ s

1

δds =

1

δg

(t

δ

)

なので，t

δ→ tと変数変換すると，

∫ ∞

−∞g(δs)f(s)eixsds =

∫ ∞

−∞

1

δg

(t

δ

)f(x+ t)dt =

∫ ∞

−∞g(t)f(x+ δt)dt (2.22)

となる．ここで,急減少関数を g(s) = e−s2

2 を取ると，例 2.4より式 (2.22)は次のようになる．∫ ∞

−∞e−

(δs)2

2 f(s)eixsds =

∫ ∞

−∞e−

t2

2 f(x+ δt)dt

32

すると， limδ→0

e−(δs)2

2 = 1, limδ→0

f(x + δt) = f(x)と有界区間で一様収束する．f が急減少関数なので，命題 2.15

より f も急減少関数になる．急減少関数は絶対可積分なので，無限区間の limitと積分の順序交換により，∫ ∞

−∞f(s)eixsds =

∫ ∞

−∞e−

t2

2 f(x)dt

最後に，∫ ∞

−∞e−

t2

2 dt =√2πなので，

1√2π

∫ ∞

−∞f(s)eixsds = f(x)

♡

物理の例 1 抵抗 Rの両端の電圧 v(t)の降下は v(t) = Ri(t)，ただし i(t)は電流．従って,この抵抗を流れたエネ

ルギーは

v(t)i(t) = Ri(t)2

ゆえに，時刻 tが −∞から∞の間の全エネルギーは∫ ∞

−∞Ri(t)2dt

となる．(2.21)より， ∫ ∞

−∞Ri(t)2dt = R

∫ ∞

−∞i(s)2ds

よって，周波数領域 [s s+∆s]の区間に i(s)2∆sのエネルギーが分布していると解釈する．

定義 2.17 f ∗ g#(t) を相互相関関数,f ∗ f# を自己相関関数という．また，E(s) = F(f ∗ f#)(s) = |f(s)|2 をエネルギースペクトルという. ∫ ∞

−∞E(s)ds =

∫ ∞

−∞|f(s)|2ds

を全エネルギーという．

物理の例 2

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(s)eistds =

1√2π

lim|∆|→0

n∑k=1

f(sk)eiskt(sk − sk−1)

この式は，波動関数 f(t)は区間 [sk−1 sk]に正弦波 eiskt の波が f(sk)の量を含んでいることを表している．

2.2 標本化定理

　フーリエ級数とフーリエ変換に関係した話題として，工学で良く使われる標本化定理を解説する．

これは，連続な情報（関数)を離散的にサンプリングすることにより，元の情報が復元できるかを考えるて見よう．

　関数 hT (x)を次で定義する．

hT (x) =sin π

T xπT x

閉区間 [−L,L]上の関数 f(x)に対して，∫ L

−L|f(x)|2dt < ∞ となる関数を 2乗可積分関数という．そして，2乗

ノルム ∥ · ∥2 を

∥f∥2 =

(∫ L

−L|f(x)|2dt

) 12

(2.23)

と定義する．そして，閉区間 [−L,L]上の関数 f(x), g(x)に対して,

< f, g >=

∫ L

−Lf(x)g(x)dx

33

と定める．これを関数空間における内積という．このとき，Cauchy-Schwarzの不等式

| < f, g > | ≤ ∥f∥2∥g∥2 (2.24)

が成り立つ．

定理 2.18 (標本化定理 (シャノン-染谷のサンプリング定理)) 定数T > 0とし，滑らかな絶対可積分関数 fのフー

リエ変換が

f(s) = 0, ∀s ∈[− π

T,π

T

](f を帯域制限関数という)を満すとき，

f(x) =

∞∑n=−∞

f(nT )hT (x− nT ), (x ∈ R)

が成り立つ（一様収束）．すなわち，任意の ε > 0に対して，

∃N0 ∈ N : N > N0 ⇒

∣∣∣∣∣f(x)−N∑

n=−Nf(nT )hT (x− nT )

∣∣∣∣∣ < ε, (∀x ∈ R)

証明 (2.23)の Lをπ

Tとする．f を

[− π

T,π

T

]上の関数と見なすと，教科書 92ページ (6)と (8)より，cnを f の

フーリエ係数とすると， ∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−Ncne

inTs

∥∥∥∥∥2

N→∞−→ 0 (2.25)

帯域制限関数 f に関する反転公式の定理 2.12用いて cn を求めると，

cn =T

2π

∫ πT

− πT

f(s)e−inTsds =T

2π

∫ ∞

−∞f(s)e−inTsds =

T√2πf(−nT ) (2.26)

これを代入すると，∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−N

T√2πf(−nT )einTs

∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−N

T√2πf(nT )e−inTs

∥∥∥∥∥2

N→∞−→ 0

ここで次のように計算する．∣∣∣∣∣f(t)− 1√2π

∫ πT

− πT

(N∑

n=−N


)eitsds

∣∣∣∣∣反転公式を用いれば，

=

∣∣∣∣∣ 1√2π

∫ ∞

−∞f(s)eitsds− 1√

2π

∫ πT

− πT

(N∑

n=−N


)eitsds

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ 1√2π

∫ πT

− πT

f(s)eitsds− 1√2π

∫ πT

− πT

(N∑

n=−N


)eitsds

∣∣∣∣∣ (∵ f が帯域制限関数)

=

∣∣∣∣∣ 1√2π

∫ πT

− πT

(f(s)−

N∑n=−N


)eitsds

∣∣∣∣∣Cauchy-Schwarzの不等式より，

≤ 1√2π

∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−N


∥∥∥∥∥2

∥eits∥2

34

=1√2π

∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−N


∥∥∥∥∥2

·√

2π

T

他方，下の積分を計算する．

1√2π

∫ πT

− πT

(N∑

n=−N


)eitsds

=

N∑n=−N

T

2πf(nT )

∫ πT

− πT

ei(t−nT )sds =

N∑n=−N

T

2πf(nT )

[ei(t−nT )s

i(t− nT )

] πT

− πT

=

N∑n=−N

T

2πf(nT )

(2 sin(t− nT ) πT

(t− nT )

)=

N∑n=−N

f(nT )

(sin(t− nT ) πT(t− nT ) πT

)

=

N∑n=−N

f(nT )hT (t− nT )

以上を組み合わせると求まる．∣∣∣∣∣f(t)−N∑

n=−Nf(nT )hT (t− nT )

∣∣∣∣∣ ≤ 1√T

∥∥∥∥∥f(s)−N∑

n=−N


∥∥∥∥∥2

N→∞−→ 0 (∀t ∈ R)

♡

注意 2.19sin π

T t

πtが定理 2.18に現れるのは，例 2.3より，それが，特性関数 χ[− π

T ,πT ](s) =

1 s ∈ [− πT ,

πT ]

0 s ∈ [− πT ,

πT ]の

フーリエ逆変換であるからである．

1√2πχ[− π

T ,πT ](s) = F

(sin π

T t

πt

)(s)

注意 2.20 定理 2.18は，連続信号 f(t)の周波数が (−L,L)の範囲であるならば，T <π

Lとなる T > 0の間隔で

{f(nT ) : ∈ Z}とサンプリングすれば，元の連続信号 f(t)が復元できることを示している．

定理 2.21 (ポアソン和 (Poisson summation fourmula)) φを急減少関数とする（定義は 4.1 参照）．このと

き，次が成立する． ∑n∈Z

φ(2πn) =1√2π

∑n∈Z

φ(n)

証明定義 4.12の (1)の証明に置いて，φも急減少関数になるので，∑n∈Z

φ(t+ 2πn),∑n∈Z

φ(s+ n) とも一様収

束する．ゆえに，f(t) :=∑n∈Z

φ(t+ 2πn)と定義すると，f(t)は周期 2πの滑らかな関数になる．この関数の複素

フーリエ係数 ck を求めると，

ck =1

2π

∫ π

−πf(t)e−iktdt =

1

2π

∫ π

−π

∑n∈Z

φ(t+ 2πn)e−iktdt

=∑n∈Z

1

2π

∫ π

−πφ(t+ 2πn)e−iktdt (∵ 一様収束より)

=∑n∈Z

1

2π

∫ (2n+1)π

(2n−1)π

φ(t+ 2πn)e−iktdt =1

2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iktdt =

1√2πφ(k)

従って，定理 1.25により，f(t) =∑k∈Z

ckeint なので，

∑n∈Z

φ(t+ 2πn) =∑k∈Z

1√2πφ(k)eint

35

上の式で t = 0とすれば，次の式が求まる．∑n∈Z

φ(2πn) =1√2π

∑k∈Z

φ(k)

♡

注意 2.22 フーリエ変換の定義 2.1において，積分の前に1√2πを掛けて定義したので，ポアソン和は定理 2.21

のような式になる．この項がないフーリエ変換 F ′(f)(s) :=

∫ ∞

−∞f(t)e−ist dtの定義を用いれば，次のような式に

なる． ∑n∈Z

φ(2πn) =1

2π

∑k∈Z

F ′(φ(k))

この式に，φ = (F ′)−1(ψ)を代入し，反転公式 (F ′ ◦ F ′−1)(ψ) = 2πψを用いると，∑k∈Z

ψ(k) =∑n∈Z

(F ′)−1(ψ)(2πn) =∑n∈Z

(F ′)(ψ)(2πn)

従って， ∑k∈Z

ψ(k) =∑n∈Z

(F ′)(ψ)(2πn)

と表され，定数倍の項がない現れないこの式を，ポアソン和という場合が多い．

2.3 離散フーリエ変換

　関数 f(s), s ∈ (−∞,∞)を f(t), t ∈ (−∞,∞)のフーリエ変換とする．f(t)を間隔 T でN 個のサンプリング

f(0), f(T ), f(2T ), · · · , f(kT ), · · · , f((N − 1)T )

をとる．この情報をもとに，f(s)を求める問題を考える．しかし，フーリエ変換の定義から考えて，サンプリン

グ間の f(t)の値の情報が欠落しているため，サンプリングの情報だけでは不十分である．

　そので，標本化定理 2.18のような条件があれば，サンプリングしても情報が失われないことがわかっている．

　そこで離散フーリエ変換の導入のため，f(t), f(s)に次のような条件を同時に満たすとする．

f(t) = 0, t < 0, あるいは，t ≥ NT (2.27)

f(s) = 0, s ≤ − π

Tあるいは，s >

π

T(2.28)

（実際，この様な関数は存在しないことがわかっている）．この条件 ”f(t) = 0, f(s) = 0”を，無視できるぐらい

0に近い関数と解釈する．これは，f(s)が定義 2.14の急減少関数ということである．

条件 (2.28)のもと標本化定理 2.18において，(2.26)を用いれば，条件 (2.27)より，

cn =

T√2πf(−nT ) (n = 0,−1, · · · ,−(N − 1))

0 otherwise

従って，(2.25)より，

f(s) =

N−1∑n=0

T√2πf(nT )e−inTs (2.29)

　他方，f(t)を (0, NT )上の関数とみて，標本化定理の証明と同様にフーリエ級数展開を行えば，

f(t) =

∞∑n=−∞

cnei 2πnNT t (2.30)

36

cn =1

NT

∫ NT

0

f(t)e−i2πnNT tdt

条件 (2.27)，(2.28)より，

cn =1

NT

∫ NT

0

f(t)e−i2πnNT tdt =

√2π

NT√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−i

2πnNT tdt =

√2π

NTf

(2πn

NT

)

=

√2π

NTf(2πnNT

)(−N

2 < n ≤ N2 )

0 otherwise

(2.30)より，

f(t) =

N2∑

n=−N2 +1

√2π

NTf

(2πn

NT

)ei

2πnNT t (2.31)

と表すことができる．

　まとめると，(2.29)より，f(s)を知るには，{f(nT )}N−1n=0 がわかれば良い，逆に，(2.31)より，f(t)を知るには，{

f(2πnNT

)}N2

n=−N2 +1がわかれば良いことになる．

　この 2つの量の関係をより見やすくするために，次のように変換する．　

X(n) =

√2πT f

(2πnNT

), (n = 0, 1, 2, · · · , N2 )

√2πT f

(2π(n−N)NT

)(n = N

2 + 1, · · · , N − 1)

と置くと，(2.29)において，s = 2πkNT を代入し，e

−i 2πnkN = e−i

2πn(k−N)N , (k > N

2 )に注意すれば，

X(k) =

√2π

Tf

(2πk

NT

)=

N−1∑n=0

f(nT )e−i2πnk

N (2.32)

　 (2.31)において，t = kT を代入すると（また，e−i2πnk

N = e−i2πn(k−N)

N , (k > N2 )に注意），

f(kT ) =1

N

N−1∑n=0

X(n)ei2πnk

N (2.33)

(2.32)を逆離散フーリエ変換，(2.33)を離散フーリエ変換という．

定義 2.23 (離散フーリエ変換 (DFT)，逆離散フーリエ変換 (IDFT))X(k) =

N−1∑n=0

f(nT )e−i2πnk

N

f(nT ) =1

N

N−1∑k=0

X(k)ei2πnk

N

注意 2.24 {f(nT )}N−1n=0 から {X(n)}N−1

n=0 を求めるには，(2.32)式からわかるように，O(N2)回のかけ算等を実

行する必要がある．1967年にクーリー (Cooley)とテュキー (Turkey)により，この計算の計算量がO(N logN)回

ですむアルゴリズムを発見した．これを高速フーリエ変換（FFT）という．

注意 2.25 MRIや医学等に用いられる計算機断層撮影はある種のフーリエ変換の理論である．

注意 2.26 ここでは述べなかったが，2(n)次元フーリエ変換は画像の圧縮等に用いられている．

　 n次元フーリエ級数:n変数の関数 f(t) = f(t1, t2, · · · , tn)とする．

37

m = (m1,m2, · · · ,mn), t = (t1, t2, · · · , tn), <m, t >=

n∑k=1

mktk と定義すると，

cm =

∫ π

−π· · ·∫ π

−πf(t)e−i<m, t>dt1dt2 · · · dtn

f(t) =

∞∑m1=−∞,···mn=−∞

cmei<m, t>

　 n次元フーリエ変換とフーリエ逆変換:< s, t >=

n∑k=1

sktk と定義すると，

f(s) =

1

(2π)n2

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(t)e−i<s, t>dt1dt2 · · · dtn

f(t) =1

(2π)n2

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(s)ei<s, t>ds1ds2 · · · dsn

　 1次元のフーリエ級数，フーリエ変換で成立した基本的な定理は同様に成り立つ．

注意 2.27 ψ(t) ∈ L2(−∞, +∞)をマザーウェーブレット関数として，f(t) ∈ L2(−∞, +∞), a, b ∈ Rに対して，

CWTf (a, b) =1√|a|

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)ψ

(t− b

a

)dt

を f(t)の連続ウェーブレット変換という．そして，f(t)の適当な条件の下で，次の等式が成立する．

f(t) =1

Cψ

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞CWTf (a, b)ψ

(t− b

a

)1

a2dadb

ただし，Cψ =

∫ ∞

−∞

|ψ(s)|2

|s|ds <∞

上の式の左辺を連続ウェーブレット逆変換という．そして，等式はウェーブレットにおける反転公式である．

また，f(t)の適当な条件の下で，次のプランシェレル公式が成り立つ．これをエネルギー保存則ともいう．∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt = 1

Cψ

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞|CWTf (a, b)|2

1

a2dadb

　これらは，今まで学習したフーリエ変換の反転公式，プランシェレル公式を利用して，証明することができる．

注意 2.28 (離散 (時間)フーリエ変換) 考える空間 ℓ1(Z)を

ℓ1(Z) =

{{f(n)}n∈Z :

∑n∈Z

|f(n)| <∞

}

とする．ℓ1(Z)はリトルエルワン空間という．この要素 {f(n)}n∈Z に対するフーリエ変換を，次で定義する．

f(ω) =∑n∈Z

f(n)e−iωn ω ∈ (−π, π]

そして，適当な条件のもとで，反転公式

f(n) =1

2π

∫ π

−πf(ω)e−iωn dω

が成立する．また，２つの数列 {f(n)}n∈Z, {g(n)}n∈Z ∈ ℓ1(Z)に対する畳み込み関数を

f ∗ g(n) =∑k∈Z

f(k)g(n− k)

38

と定める．フーリエ変換と同様にすれば，次がえられる．

f ∗ g(ω) = f(ω)g(ω)

その他，フーリエ変換で示したプランシェレル変換 (2.21)も, 適当な条件のもと，∑n∈Z

|f(n)|2 =1

2π

∫ π

−π|f(ω)|2 dω

は成り立つ．これは，逆から見れば，フーリエ級数のパーセバルの等式でもある．

　離散フーリエ変換は，信号処理のサンプリング理論や分析合成フィルタバンドなどを学ぶときに用いられる．

注意 2.29 (群上の調和解析) 学んできた，フーリエ級数，フーリエ変換，離散フーリエ変換の内容はほとんど同

じような性質を持っていることに，気づいたと思う．

((−π, π], +), (Z, +), (R, +)は情報数学 IIで習った演算を和とする可換群構造を持っている．一般にGを（局

所コンパクトな）可換群とすると，

φ : G 7−→ T, φ(gh) = φ(g)φ(h) (2.34)

を満たす連続写像 φを群 Gの指標という．ただし，T = {z ∈ C : |z| = 1}　そして，群 Gの指標全体を Gと

表す．

2つの指標 φ, ψの積 ·を(φ · ψ)(g) = φ(g)ψ(g)

と定義すれば，φ · ψは指標の条件 (2.34)を満たす．この積で Gも群構造を持つことになる，よって，Gを Gの

双対群という．

　例として，(T, ×) ≃ ({t : −π < t ≤ π}, +)の同一視のもと，次のようになる．

(1) [複素フーリエ級数]群 Gが ((−π, π], +)とのとき，指標 φ(t)に対して，

∃n ∈ Z : φ(t) = eitn

逆に，m ∈ Zに対して，eitm は Tの指標になる．従って，双対群は T ≃ Z

(2) [離散フーリエ変換] 群 Gが Zのときは，指標 φ(n)に対して，

∃ω ∈ (−π, π] : φ(n) = eiωn

逆に，θ ∈ (−π, π]に対して，eiθm は Zの指標になる．従って，双対群は Z ≃ T

(3) [フーリエ変換] 群 Gが Rのときは，指標 φ(t)に対して，

∃s ∈ R : φ(t) = eist

逆に，s ∈ Rに対して，eist は Rの指標になる．従って，双対群は R ≃ Rと自分自身と同型になる．

以上により，すべてのフーリエ変換（級数）は

f(φ) =

∫G

f(g)φ(g) dg

(∫が∑

の場合もあり)

で定義されていることになる．双対を 2回とると，一般に (G) ≃ Gが成立する．これをポントリャーギン（Pon-

tryagin）の双対定理といい，適当な条件のもと

f(g) =

∫G

f(φ)φ(g) dφ

の反転公式が成り立つ．また，畳み込み関数を f ∗ h(g) =∫G

f(k)(g − k) dk とすれば，

(f ∗ h)(φ) = f(φ)h(φ)

やプランシェレル変換 (2.21)も成り立つ．

39

3 偏微分方程式とフーリエ解析

3.1 偏微分方程式導出

基本的な（重要な）偏微分方程式として，下記の 3種類ががある．

∂u

∂t= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)3次元熱方程式 (3.1)

∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)3次元波動程式 (3.2)

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0 3次元ラプラス方程式 (3.3)

ただし，c > 0, u = u(t, (x, y, z))．

u(t, (x, y, z))は，波動方程式では，時刻 tでの点 (x, y, z)での波の変位を表す，また，熱方程式では，時刻 tでの

点 (x, y, z)の物体の温度を表す．波動方程式では，c2 =T

ρ，ただし，T は張力，ρは単位長さ当たりの弦の質量，

熱方程式では，c2 =K

σρ，ただし，K は熱伝導率，σは比熱，ρは密度を表す．

　 u(t, (x, y, z)) = u(x, y, z)が時刻 tに無関係な定常状態を考えると，

∂u

∂t=∂2u

∂t2= 0

となり，ラプラス方程式が導出される．

　同様に，2次元，1次元の波動方程式，熱方程式，ラプラス方程式が考えられる．

∂u

∂t= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2


∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2


∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 2次元ラプラス方程式 (3.6)

∂u

∂t= c2

(∂2u

∂x2


∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2


　これ以外に，次のような 2次元ポアソン方程式を考えるともある．

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= f(x, y) (3.9)

　以後，基本的な，一次元の (3.7),(3.8)と (3.6)の場合に限定して主に解説する．

　 t = 0での u(0, x) = f(x), ut(0, x) = g(x)と値が与えられているとき，これを初期条件という．一方，区間

[a, b]の境界の点 a, bでの値 u(t, a), u(t, b) が与えられているとき，境界条件という．

　波動方程式の導出は，教科書の

「フーリエ解析と偏微分方程式」　クライツィグ著

に記述されているので，それを参照せよ．従って，ここでは，物理的な仮定のもと，1次元, 2次元熱方程式の導

出する．

物理的な仮定

• 細長い針金を考え，針金の質量・比熱は一定である

• その針金以外は断熱されている（熱量は保存される）

• 熱は，微少区間の両側の温度差に比例して，高い方から低い方に流れる

40

u = u(t, x)を針金の点 x，時刻 tでの温度とする．時刻 tから t+∆tの時間の間で，区間 [x, x+∆x]へ，熱量が

点 x を通って流れ込み，点 x+∆xから流れ出ると考える．

単位時間∆t当たり「点 x，時刻 tで，左から右に流れた熱量は点 xでの温度差−∂u∂x

(t, x)に比例（比例定数K(熱

伝導率2））すると考える」

従って，点 xから∆t時間に [x, x+∆x]に流れ込んだ熱量は

−K∂u

∂x(t, x)∆t

点 x+∆xから∆t時間に [x, x+∆x]から流れ出た熱量は

−K∂u

∂x(t, x+∆x)∆t

[x, x+∆x]で増加した熱量は

−K∂u

∂x(t, x)∆t−

(−K∂u

∂x(t, x+∆x)∆t

)= K

(∂u

∂x(t, x+∆x)− ∂u

∂x(t, x)

)∆t ≑ K

∂2u

∂x2(t, x)∆x∆t (3.10)

である（最後の近似は，2変数の関数∂u

∂x(t, x)の Taylor展開を用いる）．

x x+∆x

熱の流れ

温度 u(t, x) 温度 u(t, x+∆x)

−K∂u

∂x(t, x)∆t −K∂u

∂x(t, x+∆x)∆t

増加熱量K∂2u

∂x2(t, x)∆x∆t

針金

増加熱量 ρσ∂u

∂t(t, x)∆x∆t

一方，この熱量は区間 [x, x+∆x]の温度上昇をもたらすので，針金の比熱を σとすると，その熱量は，tから t+∆t

時間の間に，（その間の温度差）×質量×比熱 3となる，すなわち，

(u(t+∆t, x)− u(t, x)) (∆xρ)σ ≑ ρσ∂u

∂t(t, x)∆x∆t (3.11)

ここで熱量保存法則により (3.10)と (3.11)は等しいので，

K∂2u

∂x2(t, x)∆x∆t = ρσ

∂u

∂t(t, x)∆x∆t

従って，

c2∂2u

∂x2(t, x) =

∂u

∂t(t, x)

(c2 =

K

σρ

)(3.12)

2次元の熱方程式の導入

　平板な板を考え，板以外は断熱されている状況を考える．そして熱量の移動を x方向と y方向と分けて考慮する．x方向 K

(∂u

∂x(t, x+∆x, y)− ∂u

∂x(t, x, y)

)∆t∆y ≑ K

∂2u

∂x2(t, x)∆x∆y∆t

y方向 K

(∂u

∂y(t, x, y +∆y)− ∂u

∂y(t, x, y)

)∆t∆x ≑ K

∂2u

∂y2(t, x)∆y∆x∆t

(3.13)

2熱伝導率とは　温度差 1 度に対して 1 秒間に流れる熱量3その 1g の物質を 1 度温度を上げるのに必要な熱量

41

(x, y) (x+∆x, y)

(x, y +∆y) (x+∆x, y +∆y)

K

(∂u

∂x(t, x+∆x, y)− ∂u

∂x(t, x, y))

)∆t∆y

x方向の熱の流れ

y方向の熱の流れ

K

(∂u

∂y(t, x, y +∆y)− ∂u

∂y(t, x, y))

)∆t∆x

ρσ∂u

∂t(t, x)∆x∆y∆t

[x, x+∆x]× [y, y +∆y]の増加熱量

従って，微少な長方形領域 [x, x+∆x]× [y, y +∆y]の増加した熱量は

K

(∂2u

∂x2(t, x) +

∂2u

∂y2(t, x)

)∆x∆y∆t (3.14)

となる

一方，時刻 tから t+∆t間における長方形領域 [x, x+∆x]× [y, y +∆y]の熱量の増加は,

（その間の温度差）×質量×比熱より，

(u(t+∆t, x, y)− u(t, x, y)) (∆x∆yρ)σ ≑ ρσ∂u

∂t(t, x)∆x∆y∆t (3.15)

　熱量の保存法則により，(3.14)と (3.15)が等しいので，

ρσ∂u

∂t(t, x)∆x∆y∆t = K

(∂2u

∂x2(t, x) +

∂2u

∂y2(t, x)

)∆x∆y∆t

ゆえに，2次元熱方程式が導ける．

∂u

∂t(t, x) = c2

(∂2u

∂x2(t, x) +

∂2u

∂y2(t, x)

), (ただし，c2 =

K

σρ) (3.16)

3.2 変数分離と波動方程式

　偏微分方程式の解法の 1つが変数分離の方法がある．そのことを，1次元波動方程式の場合に解説しよう．

　まず，1次元波動方程式で両端が固定されている弦の振動を見てみる．

∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2

), (3.17)

u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0 （境界条件） (3.18)

初期変位 u(0, x) = f(x), 初速∂u

∂t(0, x) = g(x) （初期条件） (3.19)

ただし，f(x), g(x)は適当な滑らかさを仮定する（後で滑らかさを決める）

　 Step1 (変数分離)　 u(t, x) = G(t)F (x)と求める関数 uの変数が分離している場合を考える．

この場合∂2u

∂t2= G′′(t)F (x),

∂2u

∂x2= G(t)F ′′(x)

従って，1次元のは波動方程式より，

G′′(t)F (x) = c2G(t)F ′′(x), i.e.G′′(t)

c2G(t)=F ′′(x)

F (x)

42

G′′(t)

c2G(t)=F ′′(x)

F (x)の左辺は，tの関数，右辺は xの関数なので，定数 kが存在して，

G′′(t)

c2G(t)=F ′′(x)

F (x)= k

となり，関数 G(t), F (x)は，次の常微分方程式を満たす．

G′′(t) = kc2G(t), F ′′(x) = kF (x) (3.20)

　 Step2 (境界条件)　境界条件を用いて，定数 kの取りえる値を決める．

　 F (x)の常微分方程式を解き，境界条件 F (0) = 0, F (L) = 0を満たし，しかも F (x) ≡ 0である場合を探す．

(1) k > 0の場合

F (x) = Ae√kx +Be−

√kx 　これは境界条件 F (0) = 0, F (L) = 0を満たさない．

なぜなら，x = 0, Lを代入すると，

A+B = 0, Ae√kL +Be−

√kL = 0

これは A = 0, B = 0の場合しか満たさないので，F (x) ≡ 0となる．

(2) k = 0の場合

F (x) = Ax+B 　これは境界条件 F (0) = 0, F (L) = 0を満たせば，F (x) ≡ 0となる．

(3) k < 0の場合

F (x) = A cos√−kx+B sin

√−kx　この場合は F (0) = A = 0となる．従って，

F (L) = B sin√−kL = 0

よって，√−kL = πn, (n ∈ Z)，すなわち，k = − (πn)2

L2

Fn(x) = sinnπ

Lx (n ∈ N) (3.21)

注　 sinnπ

Lxは奇関数なので nと −nは同じ関数となる．

このとき，G(t)に関する (3.20)の常微分方程式は

G′′(t) = −(cnπL

)2G(t)

となる．簡略化のため, λn =cnπ

Lと表し，この常微分方程式を解くと，

Gn(t) = Cn cosλnt+Dn sinλnt (3.22)

以上により，

un(t, x) = Gn(t)Fn(x) = (Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx (3.23)

は (3.17)の波動方程式と (3.18)の境界条件を満たす．

　この関数 un(t, x)を固有関数（特性関数），そして，λn =cnπ

Lを固有値という．そして，{λn : n ∈ N}をス

ペクトルという．

注意 3.1 固有関数は，点 xを固定すると振動数λn2π

=cn

2Lである調和振動である．

振動数は，λn2π

=cn

2L=

√T

ρ

n

2Lなので，張力 T → ∞(弦を強く張る)とすると，振動数が大きくなる（音が高く

なる）．従って，ピアノやバイオリンは，弦の長さ Lや質量密度 ρは容易に変更できないので，張力 T を利用し

て音を調律する．バイオリンの音階は弦の長さ Lを指で押さえて変更する．一般に，弦楽器は純正律で調律され，

ピアノは変調を容易にするため，平均律で調律されている．

43

　 Step3 (重ね合わせの原理) 関数 u1(t, x), u2(t, x)が，波動方程式 (3.17)と境界条件 (3.18)を満たすとき，その

線型結合

αu1 + βu2 (α, β ∈ R)

もまた (3.17)と (3.18)を満たすことは容易にわかる．

　そこで，一般解 u(t, x)として，次のような無限和で表された解を考える（このように考えることを重ね合わせ

の原理という）．

u(t, x) =

∞∑n=1

(Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx (3.24)

（これは形式的な無限和で，後に，その収束性や，項別微分可能性を吟味する必要がある）．

　この解が初期条件 (3.19)を満たすように，定数 Cn, Dn を，次のようにして決める（注意：第 2式は形式的に

項別微分をしている）．

f(x) = u(0, x) =

∞∑n=1

(Cn cosλn0 +Dn sinλn0) sinnπ

Lx =

∞∑n=1

Cn sinnπ

Lx

g(x) = ut(0, x) =

∞∑n=1

(−λnCn sinλn0 + λnDn cosλn0) sinnπ

Lx =

∞∑n=1

λnDn sinnπ

Lx (3.25)

従って，Fourier級数の理論より（以後 f(x), g(x)を奇関数に [−L,L]に拡大，同じ記号 f, g (周期関数)で表す），Cn =

2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx

λnDn =2

L

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lx dx, i.e. Dn =

2

cnπ

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lx dx

(3.26)

この Cn, Dn の値を (3.24)の式に代入すると，関数 u(t, x)は形式的に求まる．

　 Cn, Dnの値を代入した u(t, x)が，(3.17)の関数列の無限和が収束して，しかも，波動方程式 (3.17)，境界条件

(3.18)と初期条件 (3.19)を満たす解になっているかを示す必要がある（妥当性）．

　（注：以下の部分が教科書では省略されているのて，丁寧に記述する）

　このことを示す道具としては，参考資料の命題 1.19（項別微分），定理 1.20（Wierstrassの優収束判定法）で

ある．

まず，

u(t, x) =

∞∑n=1


Lx (3.27)

の右辺が収束するかどうかを見てみよう．収束するには，資料の定理 1.20（Wierstrassの優収束判定法）の条件

を満たすことを示せばよい．そこで，

∞∑n=1

∣∣∣(Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx∣∣∣

≤∞∑n=1

(|Cn|| cosλnt|+ |Dn|| sinλnt|)∣∣∣sin nπ

Lx∣∣∣

≤∞∑n=1

|Cn|+ |Dn| (∵ | sinx| ≤ 1, | cosx| ≤ 1)

最後の式の級数和が収束することを示せばよい．その前に，境界条件と初期条件を x = 0, x = Lで考えると，

f(0) = f(L) = 0, g(0) = g(L) = 0であることを注意しておく．

　ここで，f(x)は C1-級の関数，g(x)は連続関数であると仮定すると，補題 1.22の証明と同様にすれば，

Cn =2

nπ

∫ L

0

f ′(x) cosnπ

Ldx (3.28)

44

なので，

|Cn| =L

nπ|af

′

n |, |Dn| =L

cnπ|bgn|

ただし，af′

n は f ′ のフーリエ級数，agn は gのフーリエ級数．従って，

∞∑n=1

|Cn|+ |Dn| =∞∑n=1

L

nπ|af

′

n |+ L

cnπ|bgn|

=

∞∑n=1

1

n

L

π|af

′

n |+ 1

n

L

cπ|bgn|

≤

( ∞∑n=1

1

n2

)(L

π

∞∑n=1

|af′

n |2 + L

cπ

∞∑n=1

|bgn|2)

(Cauchy-Schwarzの不等式より)

Parsevalの等式 1.21より，∞∑n=1

|af′

n |2 <∞,

∞∑n=1

|bgn|2 <∞

と∞∑n=1

1

n2=π2

6<∞により，

∞∑n=1

|Cn|+ |Dn| <∞となり，資料の定理 1.20（Wierstrassの優収束判定法）の条

件を満たす．従って，(3.27)の右辺は絶対かつ一様収束する．従って，関数 u(t, x)が定義できる．

　 (3.27)の右辺のそれぞれの固有関数 un(t, x)は，波動方程式 (3.17)を満たしているので，u(t, x)は波動方程式

(3.17)を満たすためには，(3.27)が変数 t, xに関して 2回項別微分できればよい．2回形式的に項別微分すると，∂u

∂x(t, x) =

∞∑n=1

nπ

L(Cn cosλnt+Dn sinλnt) cos

nπ

Lx

∂2u

∂x2(t, x) =

∞∑n=1

−(nπL

)2(Cn cosλnt+Dn sinλnt) sin

nπ

Lx

(3.29)

∂u

∂t(t, x) =

∞∑n=1

λn(−Cn sinλnt+Dn cosλnt) sinnπ

Lx

∂2u

∂t2(t, x) =

∞∑n=1

−λ2n(Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx

(3.30)

それぞれの項の絶対値の和をとると，

∞∑n=1

∣∣∣nπL

(Cn cosλnt+Dn sinλnt) cosnπ

Lx∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

nπ

L(|Cn|+ |Dn|)

∞∑n=1

∣∣∣∣−(nπL )2 (Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx

∣∣∣∣ ≤ ∞∑n=1

(nπL

)2(|Cn|+ |Dn|)

(3.31)

∞∑n=1

∣∣∣λn(−Cn sinλnt+Dn cosλnt) sinnπ

Lx∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

λn(|Cn|+ |Dn|)

∞∑n=1

∣∣∣−λ2n(Cn cosλnt+Dn sinλnt) sinnπ

Lx∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

λ2n(|Cn|+ |Dn|)(3.32)

(3.31),(3.32)式の右辺が収束することを示せば，参考資料の命題 1.19（項別微分）により項別微分してもよいこと

になる．このことは，(3.31),(3.32)式の右辺の第 2式が収束すれば，右辺の第 1式が収束することより，

∞∑n=1

n2|Cn|,∞∑n=1

n2|Dn| (3.33)

が収束すればよい．f(x)が C3-級の関数であるとき，命題 1.39と同様にようにすれば，

Cn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx =

2

nπ

∫ L

0

f ′(x) cosnπ

Lx dx

45

=2L

(nπ)2

([f ′(x) sin

nπ

L

]L0−∫ L

0

f ′′(x) sinnπ

Lx dx

)= − 2L

(nπ)2

∫ L

0

f ′′(x) sinnπ

Lx dx

=2L2

(nπ)3

([f ′′(x) cos

nπ

Lx]L0−∫ L

0

f (3)(x) cosnπ

Lx dx

)

f ′′(0) =∂2u

∂x2(0, 0) = c−2 ∂

2u

∂t2(0, 0) = 0, f ′′(L) =

∂2u

∂x2(0, L) = c−2 ∂

2u

∂t2(0, L) = 0より

= − 2L2

(nπ)3

∫ L

0

f (3)(x) cosnπ

Lx dx;

∴ Cn =− 2L2

(nπ)3

∫ L

0

f (3)(x) cosnπ

Lx dx = − L3

(nπ)3af

(3)

n (3.34)

関数 g(x)が C2-級の関数であるとすると，Dn について同様の計算ができる．

Dn =2

cnπ

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lx dx

=2L

c(nπ)2

([−g(x) cos nπ

Lx]L0+

∫ L

0

g′(x) cosnπ

Lx dx

)=

2L

c(nπ)2

∫ L

0

g′(x) cosnπ

Lx dx

=2L2

c(nπ)3

([g′(x) sin

nπ

Lx]L0−∫ L

0

g′′(x) sinnπ

Lx dx

)=

2L2

c(nπ)3

∫ L

0

g′′(x) sinnπ

Lx dx;

∴ Dn =2L2

c(nπ)3

∫ L

0

g′′(x) sinnπ

Lx dx =

L3

c(nπ)3bg

(2)

n (3.35)

(3.33)の級数は，(3.34)，(3.35)，Cauchy-Schwarzの不等式と f (3), g(2) に対する Parsevalの等式より

∞∑n=1

n2|Cn| ≤L3

π3

∞∑n=1

1

n

∣∣∣af(3)

n

∣∣∣ ≤ L3

π3

( ∞∑n=1

1

n2

)( ∞∑n=1

∣∣∣af(3)

n

∣∣∣2) <∞

∞∑n=1

n2|Dn| ≤L3

cπ3

∞∑n=1

1

n

∣∣∣bg′′n ∣∣∣ ≤ L3

cπ3

( ∞∑n=1

1

n2

)( ∞∑n=1

∣∣∣bg(2)n

∣∣∣2) <∞

以上により, 関数 u(t, x)は t, xについて 2回項別微分することができる．

従って，f(x)が C3-級，g(x)が C2-級の関数の場合，Cn, Dn を (3.26)で定めた (3.27)の関数 u(t, x)は波動方程

式 (3.17)を満たす．

　最後に，u(0, x) = f(x), ut(0, x) = g(x)が成り立っているかを見てみる．

u(0, x) = f(x)は，f(x)が C1-級の関数ならば，定理 1.23より成り立つ．ut(0, x) = g(x)については，(3.25)，

(3.26)より，g(x)が C1-級の関数ならば，定理 1.23より ut(0, x) = g(x)は成り立つ．

　以上のことをまとめると，

定理 3.2 f(x)が C3-級，g(x)が C2-級の関数であととき，u(t, x)を

u(t, x) =

∞∑n=1


Lx

Cn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx, Dn =

2

cnπ

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lx dx

と定めれば，波動方程式

∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2

),

u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0 u(0, x) = f(x),∂u

∂t(0, x) = g(x)

を満たす解となる．

46

　次に定理 3.2から D’lambert（ダランベール)の公式を導いてみよう．

定理 3.3 定理 3.2の条件の下，定理 3.2の解 u(t, x)は，

u(t, x) =1

2{f(x+ ct) + f(x− ct)}+ 1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ

と表される．ただし，u(0, x) = f(x), ut(0, x) = g(x)，また，f(x), g(x)は，奇関数に [−L,L]に拡張（周期関数2Lの関数）としてする（同じ記号で表す）．

　逆に f が C2-級，gが C1-級の関数ならば，u(t, x) =1

2{f(x+ ct) + f(x− ct)}+ 1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξは，波動方

程式の解になる．

証明 (3.27)より，

u(t, x) =

∞∑n=1


Lx

=

∞∑n=1

Cn cosλnt sinnπ

Lx+Dn sinλnt sin

nπ

Lx

三角関数の積和公式と λn = cnπ

Lより

=

∞∑n=1

1

2Cn

(sin(

nπ

Lx+ λnt) + sin(

nπ

Lx− λnt)

)+

1

2Dn

(− cos(

nπ

Lx+ λnt) + cos(

nπ

Lx− λnt)

)=

∞∑n=1

1

2Cn

(sin

nπ

L(x+ ct) + sin

nπ

L(x− ct)

)+

1

2Dn

(− cos

nπ

L(x+ ct) + cos

nπ

L(x− ct)

)(3.26)の Cn, Dn の値を代入すると，

=

∞∑n=1

1

2

2

L

∫ L

0

f(η) sinnπ

Lη dη

(sin

nπ

L(x+ ct) + sin

nπ

L(x− ct)

)+

∞∑n=1

1

2

2

cnπ

∫ L

0

g(η) sinnπ

Lη dη

(− cos

nπ

L(x+ ct) + cos

nπ

L(x− ct)

)定理 1.23より

=1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2

∞∑n=1

2

cL

∫ L

0

g(η) sinnπ

Lη dη

(∫ x+ct

x−ctsin

nπ

Lξ dξ

)

項別積分（資料命題 1.18）より

=1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2

∫ x+ct

x−ct

( ∞∑n=1

2

cL

∫ L

0

g(η) sinnπ

Lη dη sin

nπ

Lξ

)dξ

定理 1.23より

=1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ;

∴ u(t, x) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ

　次に，f が C2-級，gが C1-級の関数と仮定するとき，

u(t, x) =1

2{f(x+ ct) + f(x− ct)}+ 1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ

47

は解になることを示す．h(x)が連続関数のとき，積分の基本定理d

dx

∫ x

a

h(ξ) dξ = h(x)より，

∂2u

∂t2=c2

2{f ′′(x+ ct) + f ′′(x− ct)}+ c

2(g′(x+ ct)− g′(x− ct));

∂2u

∂x2=

1

2{f ′′(x+ ct) + f ′′(x− ct)}+ 1

2c(g′(x+ ct)− g′(x− ct));

∴ ∂2u

∂t2=c

∂2u

∂x2

また，初期条件は，

u(0, x) =1

2{f(x) + f(x)} = f(x);

ut(0, x) =

(cf ′(x+ ct)− f ′(x− ct)

2+

1

2cc{g(x+ ct) + g(x− ct}

) ∣∣∣t=0

= g(x)

で満たす．境界条件は，f, gを区間 [−L,L]の奇関数で，しかも周期関数として拡張しているので，

u(t, 0) =1

2(f(ct) + f(−ct)) + 1

2c

∫ ct

−ctg(ξ) dξ = 0;

u(t, L) =1

2(f(L+ ct) + f(L− ct)) +

1

2c

∫ L+ct

L−ctg(ξ) dξ = 0

♡

　つぎに，D’Alembert（ダランベール)の公式の物理的な意味づけを考えると，波 u(0, x) = f(x)は右に移動する

波 f(x− ct)と，左に移動する波 f(x+ ct)の合成波が u(t, x)であることを意味している．また，定数 cは波の進

む速さを表す．

f(x+ ct)

f(x− ct)

0 L

f(x− ct)と f(x+ ct)の合成波 u(t, x)

合成波

　D’Alembertの公式を直接導いてみよう．考え方は，座標軸を波の速度に変更すると，進行する波は止まって見

える．すなわち，

y = x+ ct, s = x− ct, (t, x) 7−→ (s, y) (3.36)

と変数変換する．このとき，偏微分の連鎖律より,

∂u

∂x=∂u

∂y

∂y

∂x+∂u

∂s

∂s

∂x=∂u

∂y+∂u

∂s,

(∵ ∂y

∂x= 1,

∂s

∂x= 1

);

∂u

∂t=∂u

∂y

∂y

∂t+∂u

∂s

∂s

∂t= c

(∂u

∂y− ∂u

∂s

),

(∵ ∂y

∂t= c,

∂s

∂t= −c

)もう一度偏微分すると，

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u

∂y+∂u

∂s

)=

(∂2u

∂y2∂y

∂x+

∂2u

∂s∂y

∂s

∂x

)+

(∂2u

∂y∂s

∂y

∂x+∂2u

∂s2∂s

∂x

)=∂2u

∂y2+ 2

∂2u

∂s∂y+∂2u

∂s2;

48

∂2u

∂t2= c

∂

∂t

(∂u

∂y− ∂u

∂s

)= c

(∂2u

∂y2∂y

∂t+

∂2u

∂s∂y

∂s

∂t

)− c

(∂2u

∂y∂s

∂y

∂t+∂2u

∂s2∂s

∂t

)= c2

∂2u

∂y2− 2c2

∂2u

∂s∂y+ c2

∂2u

∂s2

∴ ∂2u

∂t2− c2

∂2u

∂x2= −4c2

∂2u

∂y∂s= 0 i.e.

∂2u

∂y∂s= 0

ここで，∂

∂s

(∂u

∂y

)= 0なので，

∂u

∂y= φ(y)

となる関数 φ(y)がある．従って，

u(s, y) =

∫ y

0

φ(ξ) dξ + ψ(s)

となる関数 ψ(s)が存在する．(3.36)を代入すると，

u(t, x) =

∫ x+ct

0

φ(ξ) dξ + ψ(x− ct) (3.37)

ここで，連立方程式 f(x) =u(0, x) =

∫ x

0

φ(ξ) dξ + ψ(x)

g(x) =ut(0, x) = cφ(x)− cψ′(x)

を解くと (第 1式を微分して解く)， φ(x) =

1

2{f ′(x) + 1

cg(x)}

ψ′(x) =1

2{f ′(x)− 1

cg(x)}

となる．これを (3.37)に代入すると，

u(t, x) =

∫ x+ct

0

1

2{f ′(ξ) + 1

cg(ξ)} dξ +

∫ x−ct

0

1

2{f ′(ξ)− 1

cg(ξ)} dξ

=

∫ x+ct

0

1

2f ′(ξ) dξ +

∫ x−ct

0

1

2f ′(ξ) dξ +

∫ x+ct

0

1

cg(ξ) dξ −

∫ x−ct

0

1

cg(ξ) dξ

=1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ (∵ f(0) = 0);

∴ u(t, x) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(ξ) dξ

を得る．f が C2-級，gが C1-級の関数ならば，これが波動方程式の解を満たすことは，定理 3.3で示している．

3.3 熱方程式

　最初に，有限区間 [0, L]で両端を 0度に冷却した熱方程式について考えてみよう．

∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2(3.38)

u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0, 境界条件（両端を氷で 0度に冷やす） (3.39)

u(0, x) = f(x), 初期条件（針金の時刻 t = 0で点 xの温度） (3.40)

波動方程式のときの Step1,2,3と同様に導く．変数分離 u(t, x) = G(t)F (x)とすると，熱方程式 (3.38)より

G′(t)

c2G(t)=F ′′(x)

F (x)= k (k 定数) (3.41)

49

となる．それぞれ G(t), F (x)が満たす常微分方程式は

G′(t) = kc2G(t), F ′′(x) = kF (x) (3.42)

となる，波動方程式の Step2と同様にすれば，境界条件 F (0) = F (L) = 0より，

Fn(x) = sinnπ

Lx, (n ∈ N), k = −

(nπL

)2一方，G(t)の微分方程式は，G′(t) = −

(cnπL

)2G(t)となるので，これを解くと，

Gn(t) = Cne−(cnπL

)2

t

従って，

un(t, x) = Cn sinnπ

Lxe−λ

2nt (3.43)

ただし，λn =cnπ

Lとする．重ね合わせの原理より，求める解 u(t, x)を

u(t, x) =

∞∑n=1

Cn sinnπ

Lxe−λ

2nt

とする．初期条件より，

f(x) = u(0, x) =

∞∑n=1

Cn sinnπ

Lx

Cn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx

ここでまとめると

u(t, x) =

∞∑n=1

Cn sinnπ

Lx e−λ

2nt

Cn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx, λn =

cnπ

L

(3.44)

　次に妥当性を検証しよう．(3.43)は境界条件を満たしているので，(3.44)の第 1式が t, xについて項別微分が可

能であれば良い．(波動方程式で見たように，u(t, x)が収束，u(t, x)が t, xについて項別微分できることは，下の

2式がWierstrassの優収束判定法の条件を満たせば良い)．u(t, x)を形式的項別微分をすると，∂u

∂t=

∞∑n=1

Cn(−λ2n) sinnπ

Lx e−λ

2nt;

∂2u

∂x2=

∞∑n=1

−Cn(nπL

)2sin

nπ

Lx e−λ

2nt

右辺の各項の絶対値を取ると，

∞∑n=1

∣∣∣Cn(−λ2n) sin nπL x e−λ2nt∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

|Cn||λ2n| e−λ2nt;

∞∑n=1

∣∣∣∣−Cn (nπL )2 sin nπL x e−λ2nt

∣∣∣∣ ≤ ∞∑n=1

|Cn|∣∣∣nπL

∣∣∣2 e−λ2nt

ここで，計算に必要な不等式を求める．ex のマクローリン展開 ex =

∞∑n=0

xn

n!を用いれば，

e−x =1

ex≤ k!

xk, (x > 0, k ∈ N) (3.45)

50

この k = 2での不等式を用い，Cn = bfn, λn =cnπ

Lを代入すれば，Parsevalの等式より，次が成り立つ．

∞∑n=1

|Cn||λ2n| e−λ2nt ≤

∞∑n=1

|Cn||λ−2n | 2

|t|2≤ 2

(L

cπ|t|

)2 ∞∑n=1

|bfn|1

n2

≤ 2

(L

cπ|t|

)2( ∞∑n=1

|bfn|2)( ∞∑

n=1

1

n4

)<∞;

∞∑n=1

|Cn|∣∣∣nπL

∣∣∣2 e−λ2nt ≤

∞∑n=1

|Cn|∣∣∣nπL

∣∣∣2 2

λ4n|t|2≤ 2

(L

c2π|t|

)2 ∞∑n=1

|bfn|1

n2

≤ 2

(L

c2π|t|

)2( ∞∑n=1

|bfn|2)( ∞∑

n=1

1

n4

)<∞

以上により，t(t = 0)については 1回項別微分，xについては 2回項別微分が可能となる．従って，熱方程式 (3.38)

と (3.39)を満たす．t = 0での初期条件を満たしているかは，f(x)が C1-級の関数であれば，フーリエ解析での定

理 1.23そのものである．

　次に，区間が R = (−∞,∞)の場合の熱方程式の解を考えてみることにする．変数分離の方法でも導けるが，こ

こではフーリエ変換を使って導いてみよう．

定理 3.4 区間 R = (−∞,∞)の熱方程式

∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2

u(0, x) = f(x), 有界な連続関数

で与えられたとき，求める解 u(t, x)は，

u(t, x) =1

2c√πt

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ (3.46)

で与えられる．また，次を満たす．

limt→+0

u(t, x) = f(x)

注意:1

2c√πt

exp− (x− ξ)2

4c2t, (t > 0)を熱核 (heat kernel)という．(3.46)の右辺は t > 0のときしか積分は収

束しない．

証明∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2の両辺を xについて，uをフーリエ変換 F(u)(t, ω) =

1√2π

∫ ∞

−∞u(t, x)e−ixω dxする．

注意として，u(t, x)は適用する公式の条件を満たしているものとする．定理 6.1の積分と微分の順序交換より，

F(∂u

∂t

)=

∂

∂t(F(u));

定理 2.13の (2)より，

F(∂2u

∂x2

)= (−iω)2F(u) = −ω2F(u)

ゆえに，熱方程式は，次のようになる．∂

∂t(F(u)) = −(cω)2F(u)

この微分方程式を解くと

F(u)(t, ω) = Aωe−(cω)2t (Aω 定数)

ここで，t = 0とすると，

Aω = F(u)(0, ω) =1√2π

∫ ∞

−∞u(0, x) e−ixω dx =

1√2π

∫ ∞

−∞f(x) e−ixω dx = F(f)(ω)

51

以上により，

F(u)(t, ω) = F(f)(ω)e−(c2t)ω2

例 2.4より，

F−1(e−(c2t)ω2

) =1

c√2te−x2

4c2t

逆フーリエ変換の反転公式 2.12と定理 2.13の (5)より，

u(t, x) = F−1(F(u)(t, ω)

)= F−1(F(f)(ω)e−(c2t)ω2

)

=1√2πf ∗ F−1(e−(c2t)ω2

) =1√2πf ∗

1

c√2te−x2

4c2t

ゆえに，

u(t, x) =1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ (3.47)

(3.47)の左辺で定義された関数 u(t, x)が熱方程式を満たすことを確かめる．まず最初に，次を示す．

∂

∂t

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)= c2

∂2

∂x2

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)(3.48)

左辺と右辺をそれぞれ，次のように計算すると，一致することが容易に分かる．

∂

∂t

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)= −1

2t−

32

1

2c√πexp− (x− ξ)2

4c2t+

1

2c√tπ

(exp− (x− ξ)2

4c2t

)(x− ξ)2

4c2t2

=

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)((x− ξ)2

4c2t2− 1

2t

);

c2∂2

∂x2

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)= c2

∂

∂x

{(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)(− (x− ξ)

2c2t

)}= c2

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

){(− (x− ξ)

2c2t

)2

− 1

2c2t

}

=

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

){(x− ξ)2

4c2t2− 1

2t

}　次に，下記のように，微分と積分の順序交換が可能であることを示す．

∂

∂t

(1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

)=

∫ ∞

−∞f(ξ)

∂

∂t

(1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)dξ;

∂2

∂x2

(1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

)=

1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ)

∂2

∂x2

(exp− (x− ξ)2

4c2t

)dξ

(3.49)

t > 0の有界閉区間について，(3.45)を用いて次のように計算すれば，定理 6.1の (2)の条件を満たし，微分と積

分の順序交換はできる．∫|x−ξ|≥λ

∣∣∣∣f(ξ) ∂∂t(

1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)∣∣∣∣ dξ=

∫|x−ξ|≥λ

|f(ξ)|∣∣∣∣( 1

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

)((x− ξ)2

4c2t2− 1

2t

)∣∣∣∣ dξ≤M

∫|x−ξ|≥λ

(1

2c√tπ

(4c2t)2

(x− ξ)4

)((x− ξ)2

4c2t2+

1

2t

)dξ

≤Mc

2√tπ

∫|x−ξ|≥λ

4

(x− ξ)2+

8c2t

(x− ξ)4dξ

λ→∞−→ 0, (tの有界閉区間で一様に);∫|x−ξ|≥λ

∣∣∣∣f(ξ) ∂2∂x2(exp− (x− ξ)2

4c2t

)∣∣∣∣ dξ52

=

∫|x−ξ|≥λ

|f(ξ)|∣∣∣∣(exp− (x− ξ)2

4c2t

){(x− ξ)2

4c4t2− 1

2c2t

}∣∣∣∣ dξ≤M

∫|x−ξ|≥λ

(4c2t)2

(x− ξ)4

{(x− ξ)2

4c4t2+

1

2c2t

}dξ

≤M

∫|x−ξ|≥λ

4

(x− ξ)2+

8c2t

(x− ξ)4dξ

λ→∞−→ 0, (tの有界閉区間で一様に)

ただし，f は有界関数なので，|f(ξ)| ≤M

　注意：関数 exp− (x−ξ)24c2t は，t = 0のときは，急減少関数（定義 4.1）である．急減少関数については，いつで

も積分と微分の順序交換ができることの証明と上の証明はほぼ同じである．

(3.48)と (3.49)を合わせれば，u(t, x)が熱方程式を満たす．

　最後に，初期条件 limt→+0

u(t, x) = f(x)を示す．

その前に，平均 µ，分散 σ2 の正規分布は，1√2πσ

∫ ∞

−∞exp

(x− µ)2

2σ2dx = 1であることに注意しする．

正規分布で µ = x, σ =√2tcとすると，

1

2c√tπ

∫ ∞

−∞exp− (x− ξ)2

4c2tdξ = 1

となる．ここで，

|u(t, x)− f(x)| =∣∣∣∣ 1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ − f(x)

1

2c√tπ

∫ ∞

−∞exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

2c√tπ

∫ ∞

−∞(f(ξ)− f(x)) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

∣∣∣∣≤ 1

2c√tπ

∫ ∞

−∞|(f(ξ)− f(x))| exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

=1√2π

∫ ∞

−∞|f(x+

√2tcη)− f(x)| exp−η

2

2dξ

(η =

ξ − x√2tc変数変換

)=

1√2π

∫|η|≤λ

|f(x+√2tcη)− f(x)| exp−η

2

2dξ

+1√2π

∫|η|>λ

|f(x+√2tcη)− f(x)| exp−η

2

2dξ

第一式は，f は有界区間で連続関数なので，十分小さい tをとれば， |f(x+√2tcη)− f(x)| ≤ ϵとできることよ

り，第 2式には |f(x+√2tcη)− f(x)| ≤ 2M を適用すると，

≤ 1√2π

∫|η|≤λ

ϵ exp−η2

2dξ +

2M√2π

∫|η|>λ

exp−η2

2dξ

≤ ϵ+2M√2π

∫|η|>λ

exp−η2

2dξ

2M√2π

∫|η|>λ

exp−η2

2dξ

λ→∞−→ 0なので， limt→+0

u(t, x) = f(x)となる． ♡

注意 3.51

2c√tπ

exp− (x− ξ)2

4c2t

は，(3.48)より熱方程式を満たしているので，この関数の初期条件は何かと考えると，f(ξ)を，ディラックのデ

ルタ‐関数 δ(ξ − y) （例 4.7参照）とすると，

u(t, x) =1

2c√πt

∫ ∞

−∞δ(ξ − y) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

53

=1

2c√πt

exp− (x− y)2

4c2t

このことを物理的に解釈すると，点 yに温度 1，瞬間的に上げるときの，t秒後の点 xの針金の温度が，

1

2c√πt

exp− (x− y)2

4c2t

になるときを意味する．そして，

u(t, x) =1

2c√tπ

∫ ∞

−∞f(ξ) exp− (x− ξ)2

4c2tdξ

の等式は，点 ξに温度 f(ξ)を瞬間的に上げたときの解を寄せ集めたものが，求める解であることを表している．

3.4 ラプラス方程式

ラプラス方程式

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (3.50)

を満たす関数 u(x, y)を調和関数という．このとき，境界値問題とは，考える領域 Rの境界 C で与えられる条件

（境界条件）として，次のものがある．

• ディリクレ題問: u(x, y)|(x,y)∈C = f(x, y)

• ノイマン問題： un(x, y) =∂u

∂n

∣∣∣(x,y)∈C

= g(x, y)

• 混合問題：ディリクレ問題とノイマン問題が境界 C の一部で成り立つことを要求する

ただし，∂u

∂nは C の法線方向 nの方向微分

n = (n1, n2)

n = (n1, n2)

方向微分∂u

∂n= n1

∂u

∂x+ n2

∂u

∂y

R

C

∂u

∂nは単位長さ，単位時間当たり境界 C を通って流れ出る（入る）量

簡単のために，Rが長方形領域での次のようなディリクレ問題を考えてみよう．

0

u = 0u = 0

u = f(x)

u = 0

R

a

b

それぞれの境界での値

(f(0) = 0, f(a) = 0)

u(x, y) = F (x)G(y)と変数分離しているときを考える．ラプラス方程式に代入して整理すると，

F ′′

F= −G

′′

G= −k, (k 定数)

54

となる．u(0, y) = F (0)G(y) ≡ 0, u(a, y) = F (a)G(y) ≡ 0より，F (0) = 0, F (a) = 0，従って，F の常微分方

程式は，

F ′′ = −kF F (0) = 0, F (a) = 0

となる．波動方程式の証明と同様にすれば，

Fn(x) = sinnπ

ax, k =

(nπa

)2ゆえに，Gの常微分方程式は，

G′′ =(nπa

)2G

これを解くと，

G(y) = Cne

nπ

ay+Dne

−nπ

ay

境界条件 0 = u(x, 0) = F (x)G(0)より，G(0) = 0となる．従って，Cn +Dn = 0. 　これを代入すると，

G(y) = Cn(e

nπ

ay− e

−nπ

ay) = Cn sinh

nπ

ay = Cn sinhλny

ただし，λn =nπ

a

以上をまとめると，

un(x, y) = Cn sinλnx sinhλny

重ね合わせの原理により

u(x, y) =

∞∑n=1

Cn sinλnx sinhλny (3.51)

ここで，境界条件 u(x, b) = f(x)より，

f(x) =

∞∑n=1

Cn sinλnx sinhλnb

従って，フーリエ級数の理論より，

Cn sinhλnb =2

a

∫ a

0

f(x) sinλnx dx, i.e. Cn =2

a sinhλnb

∫ a

0

f(x) sinλnx dx

まとめると，

u(x, y) =

∞∑n=1

Cn sinλnx sinhλny

Cn =2

a sinhλnb

∫ a

0

f(x) sinλnx dx

いつも起こる問題だが un(x, y)はラプラス方程式を満たすのであるが，無限和で定義された u(x, y)がラプラス方

程式を満たすためには，項別微分が 2回できなければならない．このことを確認しましょう．

そのために，f(x)が C3-級の関数と仮定する．境界条件 u(0, y) ≡ 0, u(a, y) ≡ 0, u(x, b) = f(x)より，f(0) = f(a) = 0;

f ′′(0) =∂2u

∂x2(0, 0) = −∂

2u

∂y2(0, 0) = 0, f ′′(a) =

∂2u

∂x2(a, 0) = −∂

2u

∂y2(a, 0) = 0

(3.52)

(3.52)を用いて，部分積分を 3回繰り返えと，

Cn =2

a sinhλnb

∫ a

0

f(x) sinλnx dx

55

=2

aλn sinhλnb

∫ a

0

f ′(x) cosλnx dx

= − 2

aλ2n sinhλnb

∫ a

0

f ′′(x) sinλnx dx

= − 2

aλ3n sinhλnb

∫ a

0

f (3)(x) cosλnx dx;

∴ Cn = − 1

λ3n sinhλnbaf

(3)

n (3.53)

u(x, y)を形式的に，xについて 2回項別微分すると，

∂2u

∂x2= −

∞∑n=1

λ2nCn sinλnx sinhλny;

右辺の各項の絶対値の和を取ると，

∞∑n=1

|λ2nCn sinλnx sinhλny| ≤∞∑n=1

|λ2n||Cn|| sinhλny|

≤∞∑n=1

|λ2n||Cn|| sinhλnb| (∵ sinhx, (x > 0)は単調増加 | sinhλny| ≤ | sinhλnb|)

≤∞∑n=1

1

λn|af

(3)

n | (∵ (3.53)より，)

≤

( ∞∑n=1

1

λ2n

)( ∞∑n=1

|af(3)

n |2)<∞ (∵ Cauchy-Schwarzの不等式と Parsevalの等式より，)

u(x, y)を形式的に，yについて 2回項別微分すると，

∂2u

∂y2= −

∞∑n=1

λ2nCn sinλnx sinhλny

なので，右辺は同じなので，各項の絶対値の和は同様に収束する．以上により，f(x)がC3-級の関数ならば，u(x, y)

は項別微分できる．

　定理としてまとめておく．

定理 3.6 51ページ図の境界条件を満たすラプラス方程式の解 u(x, y)は，f(x)が C3-級の関数のとき，

u(x, y) =

∞∑n=1

Cn sinλnx sinhλny

Cn =2

a sinhλnb

∫ a

0

f(x) sinλnx dx

で与えられる．

　コメント: 授業の範囲を超えているのは，161ページ以後の内容です．各自で自習をすることを願う．

(1)∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)の 2次元の波動方程式はの長方形領域の場合は，今までと同様にするれば導ける．

(2)∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)の 2次元の波動方程式の円形膜の場合は同様にすれば導けるが，ラプラシアン▽2

の極座標表示とベッセル関数に関する知識が必要

(3) ▽2u = 0のラプラス方程式は球の場合，3次元のラプラシアン▽2の極座標表示とルジャンドル多項式に関

する知識が必要．

56

4 超関数と線型システム

4.1 線形システム

RLC直列回路　

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = v(t) (4.1)

の常微分方程式を満たす．ただし，i(t)を時刻 tでの回路の電

流，i(t) =dq(t)

dt，q(t)はコンデンサーの電荷，v(t)は回路の電

圧，R 抵抗（オーム），L コイルのインダクタンス (ヘンリー），

C コンデンサーの電気容量（ファラット）．

R抵抗

Lコイル

Cv(t)ボルトコンデンサー

　電圧 vk(t)のときの電流を ik(t), (k = 1, 2)とすると，電圧 v(t) = av1(t) + bv2(t)のときの電流 i(t)は

i(t) = ai1(t) + bi2(t) (4.2)

となる．

これを一般化すると，写像 Φ : C(R) −→ C2(R)の写像を

Φ(v(t)) = i(t), i.e. v(t) 7−→ i(t) (4.3)

と考える．ただし，C(R)は R上の連続関数全体，C2(R)は R上の C2-級の関数全体とする．そこで，(4.2)の事

柄は次のように言い換えられる．

Φ(av1(t) + bv2(t)) = ai1(t) + bi2(t), （線形性） (4.4)

この写像 Φを線形システムという．

システム

Φv(t) i(t)

議論を進めるには線形システム Φに，何らかの連続性を仮定する．例えば，（どういう意味での収束かは別にして）

vk(t)k→∞−→ v(t) =⇒ Φ(vk)

k→∞−→ Φ(v) (4.5)

4.2 超関数（緩増加超関数，Tempered distribution）

緩増加超関数を定義するには，急減少関数に関するセミノルム系の議論が必要になるので再度定義を記述する．

定義 4.1 (急減少関数)

S(R) ={φ(x) : lim

|x|→∞|xαφ(β)(x)| = 0, ∀α, β ∈ N ∪ {0}

}(4.6)

pα,β(φ) = supx∈R

|(1 + |x|)αφ(β)(x)| (4.7)

S(R)に属す関数を急減少関数，{pα,β : ∀α, β ∈ N ∪ {0}}を S(R)の定義セミノルム系という．

定義 4.2 (超関数) 写像 T : S(R) −→ Cが

T (aφ+ bψ) = aT (φ) + bT (ψ), (∀φ,ψ ∈ S(R), ∀a, b ∈ C) (4.8)

{φm} ⊂ S(R) : limm→0

pα,β(φm) = 0, (∀α, β ∈ N ∪ {0}) =⇒ limm→0

T (φm) = 0 (4.9)

を満たすとき，T を (緩増加) 超関数 (Tempered distribution) という．このとき，S(R) をテスト関数空間(Test function space) という．また，超関数全体を S(R)′ で表す．

57

　 (4.8)は T の線形性，(4.9)は T の連続性を意味している．以後，T (φ)を < T,φ >と表すこともある．

定義 4.3 R上の関数 f(x) ∈ C∞(R)が緩増加関数であるとは，任意の α ∈ N ∪ {0}に対して，

∃Cα, Nα : |f (α)(x)| ≤ Cα(1 + |x|)Nα (4.10)

を満たすことである．

また，連続関数 f が，∃C,N : |f(x)| ≤ C(1 + |x|)N (4.11)

を満たすとき，緩増加連続関数という．

　このことは，関数 f(x)の増大度が高々多項式オーダー |x|N であるをこと表している.

例 4.4 f を (4.11)を満たす緩増加連続関数のとき，

Tf (φ) =

∫ ∞

−∞f(x)φ(x)dx (4.12)

と写像 Tf : S(R) −→ Cを定義すると，

|Tf (φ)| ≤∫ ∞

−∞|f(x)||φ(x)|dx ≤

∫ ∞

−∞C(1 + |x|)N |φ(x)|dx

≤∫ ∞

−∞C(1 + |x|)N pN+2,0(φ)

(1 + |x|)N+2dx

≤ CpN+2,0(φ)

∫ ∞

−∞

1

(1 + |x|)2dx

≤ CpN+2,0(φ)

∫ ∞

−∞

1

(1 + |x|2)dx ≤ πCpN+2,0(φ)

従って，

limm→0

pα,β(φm) = 0 (∀α, β) =⇒ limm→0

T (φm) = 0

を満たし，Tf は超関数になる．

注意 4.5 f, gが緩増加連続関数とする．

Tf (φ) = Tg(φ) (∀φ ∈ S(R))

ならば，∫ ∞

−∞f(x)φ(x)dx =

∫ ∞

−∞g(x)φ(x)dx =⇒

∫ ∞

−∞(f(x)− g(x))φ(x)dx = 0 =⇒ f(x) = g(x)

∴ f(x) = g(x)となるので，関数 f とこの超関数 Tf を同一視することができる．

　この同一視により，関数全体は超関数 S(R)′に含まれる．従って，S(R)′の要素は ”関数を超えた” という意味

で，”超関数” と名付けられた．

定義 4.6 (超関数の収束) Ti, T ∈ S(R)に対して，超関数 Ti −→ T に収束するとは，

Ti(φ) −→ T (φ) (∀φ ∈ S(R)) (4.13)

このとき limi→∞

Ti = T と表す．

例 4.7 (デルタ関数) T (φ) = φ(0)の線形写像は

|T (φ)| = |φ(0)| ≤ p0,0(φ)

58

なので，T は連続（超関数）となる．これを Dirac(ディラック)のデルタ関数と呼ぶ．そして，T = δ(x)と表し，

次のように関数もどきに記述する．

T (φ) =

∫ ∞

−∞δ(x)φ(x)dx = φ(0)

注　この関数 δ(x)は δ(x) ≥ 0であり，x = 0では δ(x) = 0，しかも，面積が x = 0で 1になった関数と理解する．

　そして，fn(x) =

0, |x| > 1

n

n2( 1n − x), 0 < x ≤ 1n

n2(x+ 1n ), − 1

n ≤ x < 0

とすると，

limn→∞

Tfn(φ) = limn→∞

∫ ∞

−∞fn(x)φ(x) = φ(0)

なので， limn→∞

fn(x) = δ(x)に収束 (超関数の意味で収束)する．

例 4.8 (軟化子) ϕ(x) =

1C exp 1

x2−1 , |x| < 1

0, |x| ≥ 1ただし，C =

∫|x|≤1

exp1

x2 − 1とする．

このとき，

ϕ(x) ∈ C∞(R), ϕ(x) ≥ 0,

∫Rϕ(x)dx = 1

である．ϕh(x) = h−1ϕ(xh )と定義すると，次を満たす．

(1) ϕh(x) = 0, (|x| ≥ h)

(2) ϕh(x) ≥ 0

(3)

∫Rϕh(x)dx = 1

この ϕh(x)を軟化子という．φ(x) ∈ S(R)に対して，∣∣∣∣∫Rϕh(x)φ(x)dx− φ(0)

∣∣∣∣ (3)= ∣∣∣∣∫Rϕh(x) (φ(x)− φ(0)) dx

∣∣∣∣ (1)≤ ∫|x|≤h

ϕh(x) |(φ(x)− φ(0))| dx

φは x = 0で連続より， ∀ε, ∃δ : |x| ≤ δ =⇒ |φ(x)− φ(0)| < ε，従って，|h| ≤ δと取れば，

≤∫|x|≤h

ε ϕh(x)dx(1),(3)

＝ ε

以上より， limh→0

ϕh(x) = δ(x)

　この軟化子は，例 4.7の {Tfn}の場合と異なって，無限回微分可能な関数でデルタ‐関

数に収束していることが特徴である．

-0.2 -0.1 0.1 0.2

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

ϕh(x), h = 15 ,

110 ,

115

120

　部分積分を考えれば，次ぎように超関数の微分を定義すれば良い．

定義 4.9 (超関数の微分) T を超関数とするとき，微分 dnTdx を⟨

dnT

dxn, φ

⟩= (−1)n < T,φ(n) >, ∀φ ∈ S(R)

で定義する．ただし，< T,φ >= T (φ)と表している．

59

　dnT

dxnが超関数になることは，次のようにして示せる．

pα,β(φ(n)) = pα,β+n(φ)

なので，

limk→∞

pα,β(φk) = 0 =⇒ limk→∞

pα,β(φ(n)k ) = 0

従って，

limk→∞

⟨dnT

dxn, φk

⟩= limk→∞

(−1)n⟨T, φ

(n)k

⟩= 0

となる．dnT

dxnの線形性は明らかであるので，上の定義の

dnT

dxnは超関数．

注意 4.10 超関数の微分と通常の微分との整合性を見てみよう．f(x)が微分可能な緩増加関数とすると，⟨dTfdx

, φ

⟩= −

∫ ∞

−∞f(x)φ′(x)dx

= −[f(x)φ′(x)]∞−∞ +

∫ ∞

−∞f ′(x)φ(x)dx

=

∫ ∞

−∞f ′(x)φ(x)dx = ⟨Tf ′ , φ⟩ ;

(∵ [f(x)φ′(x)]∞−∞ = 0

)∴ dTf

dx= Tf ′

　以上より，関数の超関数としての微分と関数の微分とは一致している．

例 4.11 (Heaviside（ヘビサイド）関数の微分) ヘビサイド関数を，次で定義する．

U(x) =

1 (x > 0)

12 (x = 0)

0 (x < 0)

　ヘビサイド関数の微分は，次のようになる．⟨dTUdx

, φ

⟩= −

∫ ∞

−∞U(x)φ′(x)dx = −

∫ ∞

∞φ′(x)dx = −[φ(x)]∞0 = φ(0)

∴ dTUdx

= δ(x)

定義 4.12 (超関数のフーリエ変換，超関数と関数の積，超関数と関数の畳み込み) T を超関数，f を緩増加関数

とする．任意の φ ∈ S(R)に対して，

(1) フーリエ変換 T，逆フーリエ変換 T を次で定義する．⟨T , φ

⟩= ⟨T, φ⟩ (4.14)⟨

T , φ⟩= ⟨T, φ⟩ (4.15)

(2) 関数との積 f · T を次で定義する．

⟨f · T, φ⟩ = ⟨T, f · φ⟩ (4.16)

(3) 関数との畳み込み T ∗ f を次で定義する．

⟨T ∗ f, φ⟩ = ⟨T, f∨ ∗ φ⟩ (4.17)

ただし，f∨(x) = f(−x)とする．

60

証明上のどの定義も線形性は明らかであるが，連続性は示す必要がある．

(1) まず，(2.10),(2.12)より，∣∣∣(is)αφ(β)(s)∣∣∣ = ∣∣∣ (−ix)βφ(α)(x)

∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1√2π

∫ ∞

−∞(−ix)βφ(α)(x)e−ixsdx

∣∣∣∣≤ 1√

2π

∫ ∞

−∞

∣∣∣(−ix)βφ(α)(x)e−ixs∣∣∣ dx ≤ 1√

2π

∫ ∞

−∞|x|β

∣∣∣φ(α)(x)∣∣∣ dx

≤ 1√2π

∫ ∞

−∞(1 + |x|)β+2

∣∣∣φ(α)(x)∣∣∣ 1

(1 + |x|)2dx

≤ pβ+2,α(φ)1√2π

∫ ∞

−∞(1 + |x|)−2dx ≤ 1√

2ππ · pβ+2,α(φ);

∴ sup{|s|α

∣∣∣φ(β)(s)∣∣∣ : s ∈ R

}≤√π

2· pβ+2,α(φ)

2項定理より，(1 + |x|)α∣∣∣φ(β)(s)

∣∣∣ = α∑r=0

αCr|x|r∣∣∣φ(β)(s)

∣∣∣，pα,β(φ) ≤

α∑r=0

αCr

√π

2· pβ+2,r(φ) ≤

√π

2

α∑r=0

αCr · pβ+2,r(φ)

以上により，任意の α, β ∈ N ∪ {0}に対して，

limk→∞


pα,β(φk) = 0, ∴⟨T , φk

⟩= ⟨T, φk⟩

k→∞−→ 0

　逆ルーリエ変換も同様に示せる．

(2) 緩増加関数 f は (4.10)を満たしているとする．このとき，ライプニッツの公式より，

∣∣∣xα(f · φ)(β)(x)∣∣∣ = ∣∣∣∣∣xα

β∑k=0

βCkf(k)(x)φ(β−k)(x)

∣∣∣∣∣ ≤ |x|αβ∑k=0

βCk|f (k)(x)||φ(β−k)(x)|

≤ |x|αβ∑k=0

βCk · Ck(1 + |x|)Nk |φ(β−k)(x)|(∵ |f (k)(x)| ≤ Ck(1 + |x|)Nk

)

≤β∑k=0

βCk · Ck(1 + |x|)Nk+α|φ(β−k)(x)| ≤β∑k=0

βCk · CkpNk+α,β−k(φ)

(1)と同様の議論をすれば，

pα,β(f · φ) ≤α∑r=0

αCr

(β∑k=0

βCk · CkpNk+r,β−k(φ)

)

pNk+r,β−k(φ) ≤ pNk+α,β−k(φ), (∀r ≤ α)より，

≤α∑r=0

αCr

β∑k=0


= 2αβ∑k=0


(∵

α∑r=0

αCr = 2α

)

以上により，任意の α, β ∈ N ∪ {0}に対して，

limk→∞


pα,β(f · φk) = 0, ∴ ⟨f · T, φk⟩ = ⟨T, f · φk⟩k→∞−→ 0

注意 f, gが緩増加関数のとき，f · Tg = Tf ·g と関数の積と一致している．

(3) T ∗ f の連続性を示すためには，

limk→∞


pα,β(f∨ ∗ φk) = 0

61

の証明が必要だが，少し複雑なのでここでは省略する．その代わりに，この定義が関数のとき整合性しているこ

とを示しておく．f, gを緩増加関数とすると

< Tg∗f , ψ > =

∫ ∞

−∞(g ∗ f)(x)φ(x)dx

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞g(y)f(x− y)dyφ(x)dx

=

∫ ∞

−∞g(y)

∫ ∞

−∞f(x− y)φ(x)dxdy (∵ フビニの定理)

=

∫ ∞

−∞g(y)

∫ ∞

−∞f∨(y − x)φ(x)dxdy

=

∫ ∞

−∞g(y)(f∨ ∗ φ)(y)dy =< Tg ∗ f, φ >;

∴ Tg∗f = Tg ∗ f

定理 4.13 (畳み込みの超関数のフーリエ変換) T を超関数，f を緩増加関数とするとき，次が成り立つ

T ∗ f =√2πT · f (4.18)

証明最初に，次を示す．

F−1(f∨)(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(−x)eitxdx =

1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−itxdx = f(t)

これと反転公式より，任意の φ ∈ S(R)に対して，

f∨ ∗ φ = F(F−1(f∨ ∗ φ))

= F(√2πF−1(f∨) · φ)

=√2πF(f · φ)

ゆえに，定義に従えば，

< T ∗ f, φ > =< T ∗ f, φ >=< T, f∨ ∗ φ >=< T,√2πF(f · φ) >

=<√2πT , f · φ >=<

√2πT · f , φ >;

∴ T ∗ f =√2πT · f

♡

命題 4.14 超関数 T, S ∈ S(R)′, a, b ∈ Cに対して，次な成り立つ．

F(aT + bS) = aF(T ) + bF(T ) (4.19)

F(T (n)) = (is)nF(T ) (4.20)

dn

dsn(F(T )) = F((−ix)nT ) (4.21)

F−1(F(T )) = T (超関数の反転公式) (4.22)

証明テスト関数空間で同様の定理 2.13が成立するので，それから直ちに導ける ♡

例 4.15 a ∈ Rとする．δ(x)(t) ≡ 1√

2π, δ(x− a)(t) ≡ 1√

2πe−iat (4.23)

このことは次のようにして示す．

< δ(x), φ > =

∫ ∞

−∞δ(x)φ(x)dx = φ(0) =

1√2π

∫ ∞

−∞1 · φ(x)dx =< T 1√

2π, φ >;

62

∴ δ(x) = T 1√2π

=1√2π

< δ(x− a), φ > =

∫ ∞

−∞δ(x− a)φ(x)dx = φ(a) =

1√2π

∫ ∞

−∞e−iax · φ(x)dx =< T 1√

2πe−ias , φ >;

∴ δ(x− a) = T 1√2πe−ias =

1√2πe−ias

例 4.16

F(1) =√2πδ, F(e−iax) =

√2πδ(x− a) (4.24)

証明

F(1) =

∫ ∞

−∞1 · φ(x)dx =

∫ ∞

−∞φ(x)eix0dx

=√2π · 1√

2π

∫ ∞

−∞φ(x)eix0dx =

√2πφ(0) =<

√2πδ, φ >;

∴ F(1) =√2πδ

また，反転公式を用いれば，

< F(e−iax), φ > =

∫ ∞

−∞e−iaxφ(x)dx

=√2π · φ(a) =<

√2πδ(x− a), φ >;

∴ F(e−iax) =√2πδ(x− a)

♡

例 4.17 T ∋ x −→< T (x), φ >が連続となる超関数の族 {T (x) x ∈ R}とすると，超関数の積分∫ ∞

−∞T (x)dxを，

次で定義する．

<

∫ ∞

−∞T (x)dx, φ >=

∫ ∞

−∞< T (x), φ > dx

実際は，∫ ∞

−∞T (x)dxが超関数になるための，さらなる条件を課す必要がある（省略）．

例 4.18

Tf =

∫ ∞

−∞δx · f(x)dx (4.25)

証明 φ ∈ S(R)に対して，⟨∫ ∞

−∞δx · f(x)dx, φ

⟩=

∫ ∞

−∞⟨δx · f(x), φ⟩ dx

∫ ∞

−∞⟨δx, φ⟩ f(x)dx

=

∫ ∞

−∞f(x)φ(x)dx =< Tf , φ >;

∴∫ ∞

−∞δx · f(x)dx = Tf

注　これを f(t) =

∫ ∞

−∞δx(t)f(x)dxと表すこともある． ♡

4.3 線形システムの続き

4.1節の線形システム Φ : C(R) −→ C2(R) を Φ : S(R)′ −→ S(R)′ の写像の線形システムと解釈する．　例えば，RLC回路の微分方程式

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = v(t) (4.26)

63

の i(t), v(t), q(t)を S(R)′ の要素と考え，超関数の微分方程式（微分は超関数としての微分）と考えるとである．そこで，

h(t) := Φ(δ(t)) (4.27)

　物理的には，電気回路において時刻 t = 0で瞬間的にパルス電圧 1を回路にかけたとき，回路に流れる電流を

h(t)と表している．この関数 h(t)をインパルス応答，δ(t)を単位インパルスという．

S(R) ∋ φ(t) =

∫ ∞

−∞δx(t)φ(x)dxに対して (ただし，δx(t) = δ(t− x))，

Φ(φ) = Φ

(∫ ∞

−∞δx(t)φ(x)dx

)= Φ

(limn→∞

n∑k=0

δxk(t)φ(xk)(xk − xk−1)

)

= limn→∞

Φ

(n∑k=0

δxk(t)φ(xk)(xk − xk−1)

)(Φの中の limが外に出る連続性を仮定)

= limn→∞

n∑k=0

Φ(δxk(t))φ(xk)(xk − xk−1) (∵ Φの線形性)

=

∫ ∞

−∞Φ(δx(t))φ(x)dx (Φ (δx(t)) = h(t− x)の時間に不変（時不変）を仮定)

=

∫ ∞

−∞h(t− x)φ(x)dx = φ ∗ h(t);

∴ Φ(φ) = φ ∗ h(t) (4.28)

　次に外力 v(t)が正弦波 eiωt のとき，

Φ(eiωt

)= H(iω)eiωt (4.29)

を満たすH(iω)を周波数伝達関数という．

　物理的な電気回路では，正弦波 eiωt(周波数 ω)の電圧をかけたときの回路に流れる電流は，eiωtの |H(iω)|倍の正弦波が増幅 (ゲイン)され，argH(iω)だけ位相がずれた正弦波が流れることを意味している．

命題 4.19 周波数伝達関数H(iω)とインパルス応答 h(t)の関係は，次のようになる．

H(iω) =√2πh(ω) (4.30)

証明 (4.28)より，

Φ(φ(t)) =

∫ ∞

−∞φ(s)h(t− s)ds

ここで φ(t) = eiωt とすると，

Φ(eiωt) =

∫ ∞

−∞eiωth(t− s)ds =

∫ ∞

−∞eiω(t−s)h(s)ds =

∫ ∞

−∞e−iωsh(s)ds eiωt =

√2πh(ω)eiωt

周波数伝達関数の定義より，H(iω) =√2πh(ω) ♡

4.4 ちょこっと，ラプラス変換入門

f(t), (t ≥ 0)で定義された関数とする．このとき，

L(f)(s) = F (s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt (4.31)

を f のラプラス変換という．すべての s ∈ Cに対して，L(f)(s)の右辺の式が収束するとは限らない．関数 f に

よって，ℜs > s0 となるすべての s ∈ Cに対して，これが収束するような s0 が存在することが知られている．こ

64

の s0 を収束座標 pといい，領域 {s ∈ C : ℜs > s0}を収束域という．簡単のため，L(f)(s)を F (s)と表すことも

ある．

　一般に

L(f)(s) = L(f)(s), (ℜs ≥ ∃α) =⇒ f(t) = g(t)

が成り立つことが知られているので，像関数 F (s)に対して f(t) を対応さす写像をラプラス逆変換といい，

L−1(F (s)) = f(t)

と表す．また，次の Bromwichの定理からでも，ラプラス逆変換が定義できることがわかる．

定理 4.20 (Bromwich（ブロムウィッチ）の定理) x ≥ 0 で定義された区分的に滑らかな関数 f(x) に対して，

L(f)(z)の絶対収束座標を s0 とする．このとき，

f(x+ 0) + f(x− 0)

2=

1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞F (z)ezxdz (4.32)

が成り立つ．ただし，s > s0

証明 f(x)を x ≤ 0の範囲では 0と定義しておく．z = s+ ixとすると，

L(f)(s+ ix) =

∫ ∞

0

f(t)e−(s+ix)tdt =

∫ ∞

−∞(f(t)e−st)e−ixtdt =

√2π f(t)e−st(x)

そこで，L(f)(s+ ix)をフーリエ逆変換を考える．フーリエ変換の反転公式より，

1√2π

∫ ∞

−∞L(f)(s+ ix)eixtdx =

1√2π

∫ ∞

−∞

√2π f(t)e−st(x)eixtdx =

√2πf(t)e−st;

∴ 1

2π

∫ ∞

−∞L(f)(s+ ix)eixtdx = f(t)e−st

この式の e−st を左辺に移項すると，

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞L(f)(s+ ix)e(s+ix)tdx

x −→ z = s+ ixに変数変換すると，次の求める式が得られる

f(t) =1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞L(f)(z)eztdz

♡

例 4.21 λ ∈ Rとする．具体的な関数のラプラス変換を求めてみよう．

(1) 単項式のラプラス変換部分積分を繰り返し，

L(tn)(s) =∫ ∞

0

tne−stdt =

[tne−st

−s

]∞0

+

∫ ∞

0

n

stn−1e−stdt

=n

s

∫ ∞

0

tn−1e−stdt = · · · =∫ ∞

0

n!

sne−stdt =

n!

sn+1;

∴ L(tn)(s) = n!

sn+1

(2) 指数関数のラプラス変換

L(eλt)(s) =∫ ∞

0

eλte−stdt =

∫ ∞

0

e(λ−s)tdt =

[e(λ−s)t

λ− s

]∞0

=1

s− λ, (ℜs− λ > 0);

∴ L(eλt)(s) = 1

s− λ, (ℜs > λ 収束座標)

65

(3) 　三角関数のラプラス変換

L(cosλt)(s) = L(eiλt + e−iλt

2

)=

1

2

{L(eiλt)(s) + L

(eiλt)(s)}

=1

2

{1

s− iλ+

1

s+ iλ

}=

s

s2 + λ2;

∴ L(cosλt)(s) = s

s2 + λ2

同様にすれば， L(sinλt)(s) = λ

s2 + λ2

(4) 超関数 (デルタ関数)のラプラス変換

L(δ(t))(s) =∫ ∞

0

δ(t)e−stdt = 1, ∴ L(δ(t))(s) ≡ 1

命題 4.22 (ラプラス変換の性質) f, g は共通の収束域を持つとする．また，f, g は必要に応じて適当な滑らかさ

を仮定し，λ, µ ≥ 0, F (s) = L(f)(s)とする．

(1) 線形性　 L(af + bg)(s) = aL(f)(s) + bL(g)(s)

(2) 相似　 L(f(λt)) = 1

λF( sλ

)(3) 第一移動　 L(f(t− λ)) = eλsF (s)

(4) 第二移動　 L(f(t+ λ)) = eλs

(F (s)−

∫ λ

0

e−stf(t)dt

)(5) 像の移動　 L(eµtf(t)) = F (s− µ)

(6) 微分　 L(f ′(t)) = sF (s)− f(0), L(f (n)(t)) = snF (s)−n−1∑r=0

f (r)(0)s(n−1)−r

(7) 像の微分　 L(−tf(t)) = F ′(s), L((−t)nf(t)) = F (n)(s)

(8) 積分　 L(∫ t

0

f(τ)dτ

)=

1

sF (s)

(9) 像の積分　 L(f(t)

t

)=

∫ ∞

s

F (σ)dσ

(10) 畳み込み関数ラプラス変換の畳み込み関数を

f ∗ g(t) =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

と定義する．関数 f ∗ gのラプラス変換は，次のようになる．

L(f ∗ g)(s) = L(f)(s)L(g)(s) (4.33)

証明この後の議論で必要になる (5)(6)(8)(10)だけを証明する. 他もそれほど難しくないので各自で示せ．

(5)

L(eµtf(t)) =∫ ∞

0

eµtf(t)e−stdt =

∫ ∞

0

eµtf(t)e−(s−µ)tdt = F (s− µ)

(6)部分積分を用いて，

L(f ′(t))(s) =∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt =[f(t)e−st

]∞0

+

∫ ∞

0

sf(t)e−stdt

66

= −f(0) + sF (s), (∵ limt→∞

f(t)e−st = 0を仮定);

∴ L(f ′(t))(s) = sF (s)− f(0)

これを繰り返せば導ける．例えば

L(f ′′(t))(s) = sL(f ′(t))(s)− f ′(0) = s(sL(f)(s)− f(0))− f ′(0) = s2L(f)(s)− sf(0)− f ′(0)

(8)部分積分を用いよ． limt→∞

∫ t

0

f(τ)dτ · e−st = 0を仮定すると，

L(∫ t

0

f(τ)dτ

)(s) =

∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)dτ · e−stdt =[∫ t

0

f(τ)dτ · e−st

−s

]∞0

+1

s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt =1

sF (s)

(10)

L(f ∗ g)(s) =∫ ∞

0

f ∗ g(t)e−stdt =∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ · e−stdt =∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)e−stdτdt

ω + σ = t, σ = τ と変数変換すると (すなわ

ち，ω = t− τ, σ = τ)

∂(ω, σ)

∂(t, τ)=

∣∣∣∣∣1 −1

0 1

∣∣∣∣∣ = 1

なので，重積分の変数変換公式より，

0 0t

τ σ

ω

τ = tの直線

=⇒

積分範囲の変更

∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)e−stdτdt =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

f(σ)g(ω)e−(ω+σ)s

∣∣∣∣∂(ω, σ)∂(t, τ)

∣∣∣∣ dσdω=

∫ ∞

0

∫ ∞

0

f(σ)g(ω)e−(ω+σ)sdσdω

=

∫ ∞

0

f(σ)e−σsdσ ·∫ ∞

0

g(ω)e−ωsdω = L(f)(s)L(g)(s);

∴ L(f ∗ g)(s) = L(f)(s)L(g)(s)

♡

　 RLC回路の微分方程式

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = v(t)

をラプラス変換を用いて解いてみよう．ただし，i(t), q(t), v(t)は t ≥ 0で定義されている（t < 0では i(t) = q(t) =

v(t) = 0と考える）．

　この式を一斉にラプラス変換すると，(1)の線形性より，

LL(di(t)

dt

)+RL(i(t)) + 1

CL(q(t)) = L(v(t))

q′(t) = i(t)より，q(t) =∫ t

0

i(τ)dτ, (q(0) = 0と仮定する)，上の (6)(8)より

L(sF (s)− i(0)) +RF (s) +1

C

F (s)

s= L(v(t))(s)

F (s)(Ls+R+1

Cs)− Li(0) = L(v(t))(s)

67

ただし，F (s) = L(i(t))(s)．ここで，F (s)で上の方程式を解くと

F (s) =1

Ls+R+1

Cs

L(v(t))(s) + 1

Ls+R+1

Cs

Li(0)

ここでさらに時刻 t = 0での電流を i(0) = 0と仮定すると

F (s) =s

Ls2 +Rs+ C−1L(v(t))(s)

ここで，Ls+R+1

Csを特性関数，又は，インピーダンス，H(s) =

1

Ls+R+1

Cs

=s

Ls2 +Rs+ C−1を伝達関

数という．この伝達関数のラプラス逆変換を L−1

(s

Ls2 +Rs+ C−1

)= w(t)とすると，(10)より，

L(i(t))(s) = F (s) = L(w ∗ v)(s)

ラプラス逆変換すれば，次を得る．

i(t) = (w ∗ v)(t) =∫ t

0

w(τ)v(t− τ)dτ

結論として，まとめれば，次の定理になる．

定理 4.23 (Duhamel(デュアメル)の合成定理) (4.26)の解の電流 i(t)は

i(t) =

∫ t

0

w(τ)v(t− τ)dτ (4.34)

で与えられる．ただし w(t)は伝達関数H(s) =s

Ls2 +Rs+ C−1のラプラス逆変換である．

注意 4.24 定理 4.23で述べたことは，(4.26)をより一般した定係数線形微分方程式に対しても成立する．

　具体的に，L−1

(s

Ls2 +Rs+ C−1

)= w(t)を求めてみよう．Ls2 +Rs+C−1 = 0が異なる解 α, βを持つ場合

と重解を持つ場合に分けて議論する．

(1) 異なる場合 Ls2 +Rs+ C−1 = L(s− α)(s− β), (α = β)

部分分数展開により，

1

L(s− α)(s− β)=

1

α− β=

1

L(α− β)

(α

s− α− β

s− β

);

逆ラプラス変換をすると，命題 4.22の (5)，例 4.21の (1)より，

w(t) = L−1

(1

L(s− α)(s− β)

)=

1

L(α− β)

(L−1

(α

s− α

)− L−1

(β

s− β

))=

1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)(i) α, β が実数の場合 (CR2 > 4L)，L,R,C ≥ 0なので，α, β ≤ 0となる．

w(t) =1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)(ii) α, β が実数でない場合 (CR2 < 4L)，ℜα = − R

2L< 0, β = αなので

w(t) =1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)=

1

L(α− α)

(αeαt − αeαt

)=

1

Lℑ(α)ℑ(αeαt)

ただし，ℜ(α), ℑ(α)は複素数 αのそれぞれ実部，虚部を表す．

68

(2) 重解の場合 Ls2 +Rs+ C−1 = L(s− α)2 すなわち，α = − R

2L< 0, CR2 = 4L

部分分数展開より，

1

L(s− α)2=

1

L

(1

s− α+

α

(s− α)2

);


w(t) = L−1

(1

L(s− α)2

)=

1

L

(L−1

(1

s− α

)+ L−1

(α

(s− α)2

))=

1

L

(eαt + teαt

)　いずれの場合も， lim

t→∞w(t) = 0のなり，伝達関数H(s)の解が実数でない場合，振動しながら減衰する．

注意 4.25 ここで w(t)をラプラス逆変換を用いて求めた方法は，一般の定係数線形微分方程式でも同様に解が求

められる．この求め方の特徴は，下の図のように，微分方程式を代数的に解けることである．

微分方程式ラプラス変換

代数方程式

解を求める

ラプラス逆変換代数方程式の解微分方程式の解

　次に，伝達関数H(s)と周波数伝達関数H(iω)の関係，インパルス応答 h(t)と w(t)の関係を見てみよう．線形

システム Φの定義とデュアメルの定理 4.23，及び，t− τ < 0のとき v(t− τ) ≡ 0により，

Φ(v(t)) = i(t) =

∫ t

0

w(τ)v(t− τ)dτ =

∫ ∞

0

w(τ)v(t− τ)dτ

ここで，v(t) = δ(t)を代入すれば，

h(t) = Φ(δ(t)) =

∫ ∞

0

w(τ)δ(t− τ)dτ = w(t); ∴ h(t) = w(t) (4.35)

また，周波数伝達関数H(iω)は

Φ(eiωt) =

∫ ∞

0

w(τ)eiω(t−τ)dτ =

∫ ∞

0

w(τ)e−iωτdτ · eiωt

= L(w(τ))(iω)eiωt = H(s)|s=iωeiωt;

∴ H(iω) = H(s)|s=iω

まとめると，次のようになる．

命題 4.26 周波数伝達関数H(iω)は，伝達関数H(s)の sに iωを代入したものである．すなわち，

H(iω) = H(s)|s=iω (4.36)

また，伝達関数H(s)のラプラス逆変換 w(t)は，インパルス応答 h(t)である．すなわち，

L−1(H(s))(t) = h(t) (4.37)

69

5 ラプラス変換入門

　 4章 4節の「ちょこっと，ラプラス変換」の内容を正確に記述する．そのため内容が重複している箇所が多く

ある．

5.1 定義と基本性質

　 f(t), (t > 0)で定義された関数とする．このとき，s ∈ Cに対して，

L(f)(s) = F (s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt (5.1)

を f のラプラス (Laplace)変換という．F (s)を f(t)の像（関数）という．すべての s ∈ Cに対して，L(f)(s)の右辺の式が収束するとは限らない．後のラプラス変換の収束座標 5.2節で，sの収束範囲は詳しく見ることにする．

　像 F (s)に対して，f(t)を対応さす写像 L−1 を，すなわち

L−1(F )(t) = f(t)

をラプラス逆変換という．この写像 L−1 が well-defined であることは定理 5.18で述べる．

例 5.1 関数 f(t) ≡ 1, (t > 0)とすると，

L(1)(s) =∫ ∞

0

e−st dt =

[e−st

−s

]∞0

= limt→∞

e−st − 1

−s=

1

s;

∴ L(1)(s) = 1

s(5.2)

ただし，ℜs > 0．　（もし，ℜs < 0ならば limt→∞

e−st = +∞のなり，L(f)(s)は存在しない）

例 5.2 a ∈ Cに対して，

L(eat)(s) =∫ ∞

0

eate−st dt =

∫ ∞

0

e(a−s)te−st dt

= limt→∞

[e(a−s)t

a− s

]t0

= limt→∞

e(a−s)t − 1

a− s

ℜ(a− s) < 0のとき， limt→∞

e(a−s)t = 0より，

=1

s− a; (ℜ(a− s) < 0, i.e. ℜa < ℜs)

∴ L(eat)(s) = 1

s− a, (ℜa < ℜs) (5.3)

　ラプラス変換は下記のような線形性があることは，積分の線型性より直ちに導ける．

命題 5.3 (線形性) f, g, (t > 0)で定義された関数，a, b ∈ Cとするとき，

L(af + bg)(s) = aL(f)(s) + bL(g)(s),

ただし，L(f)(s)と L(g)(s)が共に収束する sの範囲

例 5.4 a ∈ Rに対して，

L(cosh at)(s) = L(eat + e−at

2

)=

1

2

(1

s− a+

1

s+ a

)=

s

s2 − a2;

∴ L(cosh at)(s) = s

s2 − a2(|a| < ℜs) (5.4)

L(sinh at)(s) = L(eat − e−at

2

)=

1

2

(1

s− a− 1

s+ a

)=

a

s2 − a2;

∴ L(sinh at)(s) = a

s2 − a2(|a| < ℜs) (5.5)

収束する範囲は a < ℜsかつ −a < ℜsなので，|a| < ℜsである．

70

例 5.5 a ∈ Rに対して，

L(eiat)(s) = 1

s− ia=

s+ ia

s2 + a2, (0 = ℜia < ℜs);

∴ L(cos at)(s) = s

s2 + a2, (0 < ℜs), L(sin at)(s) = a

s2 + a2, (0 < ℜs) (5.6)

　 a ∈ Rに対して，

L(eatf(t))(s) =∫ ∞

0

eatf(t)e−st dt =

∫ ∞

0

f(t)e−(s−a)t dt = F (s− a)

なので，次が成り立つ．

命題 5.6 (像の第一移動) a ∈ Rに対して，

L(eatf(t))(s) = L(f(t))(s− a) = F (s− a)

　像の移動を用いれば次は自明

例 5.7 a, b ∈ Rに対して，

L(eat cos bt)(s) = s− a

(s− a)2 + b2, L(eat sin bt)(s) = b

(s− a)2 + b2, (ℜs > a) (5.7)

L(eat cosh bt)(s) = s− a

(s− a)2 − b2, L(eat sinh bt)(s) = b

(s− a)2 − b2, (ℜs > a+ |b|) (5.8)

ガンマー関数：次で定義される関数をガンマー関数 Γ-関数という．

Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−t dt (5.9)

右辺の積分が収束するためには，x > 0である必要がある（x ∈ Cのときも，ℜx > 0とすれば，以下の議論は有

効である）．

x > 1のとき，　部分積分と limt→∞

tne−t = 0, (∀n ∈ N)より，

Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−t dt =[tx−1(−e−t)

]∞0

+ (x− 1)

∫ ∞

0

tx−2e−t dt

= limt→∞

tx−1e−t + (x− 1)Γ(x− 1) = (x− 1)Γ(x− 1);

∴ Γ(x) = (x− 1)Γ(x− 1) (5.10)

これを繰り返すと，n ∈ Nのとき Γ(1) = 1なので，

Γ(n) = (n− 1)Γ(n− 1) = (n− 1)(n− 2) · · ·Γ(1) = (n− 1)(n− 2) · · · 1 = (n− 1)!

∴ Γ(n) = (n− 1)! (5.11)

また，半整数 n+1

2のときの Γ

(n+

1

2

)の値は，(5.10)を用いれば，Γ

(1

2

)の値が分かればよい

Γ

(1

2

)=

∫ ∞

0

t−12 e−t dt

=

∫ ∞

0

1

xe−x

2

· 2x dx = 2

∫ ∞

0

e−x2

dx =√π; (tを x2 と変数変換)

∴ Γ

(1

2

)=

√π (5.12)

例 5.8 a ∈ Rに対して，st→ τ に変数変換すると，

L(ta) =∫ ∞

0

tae−st dt =

∫ ∞

0

(τs

)ae−τ · 1

sdτ =

1

sa+1

∫ ∞

0

τae−τ dτ =Γ(a+ 1)

sa+1;

71

∴ L(ta) = Γ(a+ 1)

sa+1(5.13)

特に，(5.11)を用いれば，

L(tn) = n!

sn+1(5.14)

「像の第一移動」を用いると，次がえられる．

例 5.9 a > 0とする．n ∈ Nに対して，

L(tneat)(s) = n!

(s− a)n+1

　ここで，ヘビサイド関数とディラックのデルタ関数について定義しておく．

例 5.10 ヘビサイド関数 U(t)と U(t)を右に移動した関数 U(t− a)を，次で定義する．

U(t) =

1 (t > 0)

12 (t = 0)

0 (t < 0)

, U(t− a) =

1 (t > a)

12 (t = a)

0 (t < a)

ヘビサイド関数のラプラス変換は

L(U(t− a))(s) =

∫ ∞

0

U(t− a)e−st dt =

∫ ∞

0

U(t)e−s(t−a) dt =

∫ ∞

0

e−s(t−a) dt =e−as

s;

∴ L(U(t− a))(s) =e−as

s

Dirac(ディラック)のデルタ関数 δ(x)を，次のような関数もどき（超関数）で定義する．∫ ∞

−∞δ(x)φ(x)dx = φ(0)

ただし，φ(t)は急減少関数とする（定義 4.1参照）．

注　この関数 δ(x)は δ(x) ≥ 0であり，x = 0では δ(x) = 0，しかも，面積が x = 0で 1になった”関数”と理解

する．また別の見方をすると，

fn(x) =

0, |x| > 1

n

n2( 1n − x), 0 < x ≤ 1n

n2(x+ 1n ), − 1

n ≤ x < 0

とすると，

limn→∞

∫ ∞

−∞fn(x)φ(x) = φ(0)

なので， limn→∞

fn(x) = δ(x)に収束 (超関数の意味で収束)する．（詳しい数学的な定義は，4.2章を参照）

δ(t− a)は∫ ∞

−∞δ(x− a)φ(x)dx = φ(a)を満たす超関数とする．そして，デルタ関数のラプラス変換は

L(δ(t− a))(s) =

∫ ∞

0

δ(t− a)e−st dt = e−as

となる．d

dt(U(t− a)) = δ(t− a)に注意しておく（例 4.11参照）．

72

5.2 ラプラス変換の収束座標

　 L(f)(s)が収束する sの範囲は，どのようになっているかを見てみよう．

定理 5.11 f(t), (t > 0)は連続関数で，しかも，L(f)(s0)が存在するとき（積分値が収束すること），ℜs > ℜs0となる sに対して，L(f)(s) は必ず存在する．

証明 G(t) =

∫ t

0

e−s0τf(τ) dτ と置く． limt→∞

G(t) = L(f)(s0)と収束するので，

∀ε > 0, ∃N : t > N =⇒ |G(t)− L(s0)| < ε

すると，∣∣|G(t)| − |L(s0)|

∣∣ ≤ |G(t)− L(s0)| < εより，

|G(t)| < ε+ |L(s0)|, ∀t > N

一方，G(t)は，閉区間 [0, N ]上連続関数であるので，最大値 Lを持つ．従って，G(t)は有界である．すなわち，

∃M = L+ ε+ |L(f)(s0)| > 0 : |G(t)| ≤M (∀t > 0) (5.15)

L(f)(s) =∫ ∞

0

e−stf(t) dt =

∫ ∞

0

e−(s−s0)te−s0tf(t) dt

=

∫ ∞

0

e−(s−s0)t(∫ t

0

e−s0τf(τ) dτ

)′

dt

部分積分より，

=[e−(s−s0)tG(t)

]∞0

+ (s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt

= limt→∞

e−(s−s0)tG(t)−G(0) + (s− s0)

∫ ∞

0


= 0× L(f)(s0) + 0 + (s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt (ℜs > ℜs0)

= (s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt; (5.16)

∴ L(f)(s) = (s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt (5.17)

(5.17)の積分値は，(5.15)を用いれば，次のようにして収束することがわかる．∣∣∣∣∫ ∞

0


∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

0

|e−(s−s0)t||G(t)| dt

≤∫ ∞

0

e−(ℜs−ℜs0)tM dt =M

ℜs−ℜs0

以上により，ℜs > ℜs0 のとき，L(f)(s) =∫ ∞

0

e−stf(t) dtは収束する． ♡

定義 5.12

α = inf{ℜs; L(f)(s) 収束する }

（すべての sについて，L(f)(s) が収束しないときは，α = ∞とする）この αを f の（ラプラス変換の）収束座標という．

　定理 5.11より，ℜs > αとなる sについては，L(f)(s)が存在する．

73

右の図のようにな ℜs > αを満たす sの範囲を収束域という．

　同様の議論をすれば，次が導ける．∫ ∞

0

|f(t)es0t| dt <∞ =⇒∫ ∞

0

|f(t)est| dt <∞, (ℜs > ℜs0)

定義 5.13

β = inf{ℜs; L(|f |)(s) 収束する }

β を f の絶対収束座標という．その定義より，α ≤ β となることは明ら

かである．

収束域

α x

y

β

絶対収束域

例 5.14 関数 f(t) = et2

, (t > 0)はラプラス変換の収束域を持たない．

証明 et2

のラプラス変換を求めてみると，∫ ∞

0

et2

e−st dt =

∫ ∞

0

e(t−s2 )

2

e−s2

4 dt = e−s2

4

∫ ∞

0

e(t−s2 )

2

dt = e−s2

4

∫ ∞

− s2

et2

dt

et2

> et, (t > 1)より

≥ e−s2

4

∫ ∞

max{ |s|2 ,1}

et dt = +∞

ゆえに，任意の sでラプラス変換は存在しない．すなわち, 収束域は空集合，α = ∞ ♡

定理 5.15 区分的に連続な関数 f(t), (t > 0)が

|f(t)| ≤Mekt, (t > 0)

を満たすM > 0, k ∈ Rが存在するとき，ℜs > kを満たす s ∈ Cに対して，L(f)(s)は絶対収束する．

証明 |f(t)| ≤Mekt, (t > 0)を用いれば，∫ ∞

0

|f(t)e−st| dt ≤∫ ∞

0

|f(t)|e−tℜs dt ≤∫ ∞

0

Mekte−tℜs dt

≤M

∫ ∞

0

e−t(ℜs−k) dt =M1

ℜs− k; (ℜs > k)

従って, f(t)に絶対収束座標 β は k ≥ β となる． ♡

注意 5.16 定理 5.11の条件を少し緩めた

∃ℓ, M > 0 : |f(t)| ≤Mekt, (t > ℓ)

を満たす [0, ∞]上の連続関数 f(t)のとき，f(t)を指数型という．定理 5.11の証明と同様，ℜs > kで L(f)(s)が絶対収束することが容易に示せる．

例 5.17 n ∈ Nに対して， limt→∞

tne−t = 0なので，もし，f(t)が [0, ∞)で有界な連続関数ならば，

tnf(t)

は，k > 0に対する指数型である．従って，L(tnf(t))(s)の絶対収束座標 β は β ≤ 0

74

定理 5.18 (Lerch（レルヒ）の定理，ラプラス変換の一意性) [0,∞]上の実数値連続関数 f, gについて，ℜs > s0

となる任意の s ∈ Cに対して，L(f)(s) = L(g)(s)

となる s0 ∈ Rが存在するならば，f(t) = g(t), (t ≥ 0)

証明　証明の中では s0 < s ∈ R．実数値関数 f(t)の場合に示せば十分である

L(f − g)(s) = L(f)(s)− L(g)(s) = 0, (∀s > s0)

なので，L(f)(s) = 0ならば，f(t) ≡ 0を示せば良い．

G(t) =

∫ t

0

e−sτf(τ) dτ と置けば，定理 5.11の証明 (5.17)の (5.17)で，次を示した.

G(0) = 0, G(∞) = L(f)(s)

L(f)(s) = (s− s0)

∫ ∞

0


従って，

(s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt ≡ 0, (ℜs > s0)

s = s0 + n, (n ∈ N)とすると，

0 = n

∫ ∞

0

e−ntG(t) dt, (n ∈ N) (5.18)

x = e−t と変数変換すると，t = − log x, e−nt = xn,dt

dx= − 1

xより，

= n

∫ 0

1

xnG(− log x)−1

xdx;

∴∫ 1

0

x(n−1)G(− log x) dx = 0, (n ∈ N) (5.19)

G(− log x)は [0, 1]上の連続関数である，ただし，x = 0のときの値は G(∞) = L(f)(s)とする．Wierstrassの多項式近似定理 6.2により，任意の ε > 0に対して，

max{|G(− log x)− p(x)| : x ∈ [0, 1]} < ε (5.20)

となる多項式 p(x)が存在する．ここで，p(x) =n∑k=0

akxk と表すと，(5.19)より

∫ 1

0

p(x)G(− log x) dx =

∫ 1

0

n∑k=0

akxkG(− log x) dx =

n∑k=0

ak

∫ 1

0

xkG(− log x) dx = 0;

∫ 1

0

G(− log x)G(− log x) dx =

∣∣∣∣∫ 1

0

(G(− log x)− p(x))G(− log x) dx+

∫ 1

0

p(x)G(− log x) dx

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫ 1

0

(G(− log x)− p(x))G(− log x) dx

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ 1

0

p(x)G(− log x) dx

∣∣∣∣≤∫ 1

0

|(G(− log x)− p(x))||G(− log x)| dx+ 0

(5.20) により，

≤ ε

∫ 1

0

|G(− log x)| dx

75

εは任意なので， ∫ 1

0

G(− log x)G(− log x) dx = 0

となる．しかも，G(− log x)は連続関数なので，G(− log x) = 0, (x ∈ [0, 1])，従って，G(t) ≡ 0

G(t) =

∫ t

0

e−sτf(τ) dτ ≡ 0を微分すれば，e−stf(t) ≡ 0，すなわち，f(t) ≡ 0 ♡

　この定理 5.18より，ラプラス変換 f(s) 7−→ F (s) = L(f)(s)が一対一であることがわかり，ラプラス逆変換L−1(F (s)) = f(t)が定義 (well defined)できる．

　絶対収束座標 β <∞を持つ関数 f(t)に対しては，直接 L(f)(s)の値から，f(t)の値が導けることを示す．

定理 5.19 (Bromwich(ブロムウィッチ)の反転公式) f(t), t ≥ 0を，区分的に滑らかな連続関数で，絶対収束座

標 β <∞を持つとき，σ > β に対して，次が成立する．

f(t) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞L(f)(s)est ds = 1

2πilimT→∞

∫ σ+iT

σ−iTL(f)(s)est ds

証明絶対収束座標の定義より，σ > β に対して，∫ ∞

0

|e−σtf(t)| dt <∞

に注意しておく，

L(f)(σ + iω) =

∫ ∞

0

e−(σ+iω)tf(t) dt =

∫ ∞

0

e−iωte−σtf(t) dt

f(t)は [0,∞)上の連続関数であるが，(−∞, 0)では，f(t) = 0 と拡張しておく．すると，∫ ∞

−∞|e−σtf(t)| dt =

∫ ∞

0

|e−σtf(t)| dt <∞

となりので，e−σtf(t)は (−∞,∞)で絶対可積分である．

L(f)(σ + iω) =

∫ ∞

−∞e−iωte−σtf(t) dt =

√2π · F(e−σtf(t))(ω)

e−σtf(t)は区分的に滑らかな連続関数なので，フーリエ変換の反転公式 2.12より，

e−σtf(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F(e−σtf(t))(ω)eiωt dω

=1√2π

∫ ∞

−∞

1√2π

L(f)(σ + iω)eiωt dω;

∴ f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞L(f)(σ + iω)e(σ+iω)t dω

ここで，σ + iω → sと変数変換すると，

f(t) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞L(f)(s)est ds = 1

2πilimT→∞

∫ σ+iT

σ−iTL(f)(s)est ds

♡

例 5.20 a, b ∈ Rに対して，L(eat cos bt) = s− a

(s− a)2 + b2であった．ブロムウィッチの反転公式は

eat cos bt =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞

s− a

(s− a)2 + b2est ds, (σ > a)

である．上の右辺から左辺を直接導くには，留数定理を用いる（定理 5.27参照）．

76

5.3 ラプラス変換の性質

　ラプラス変換の基本的な性質を解説する．この基本性質を用いて，ラプラス変換を求めることができる．

命題 5.21 (ラプラス変換の性質) f, g は共通の収束域を持つとする．また，f, g, (t > 0)は必要に応じて適当な

滑らかさを仮定し，λ, µ ≥ 0, F (s) = L(f)(s)とする．αは f の収束座標とする．

(1) 線形性　 L(af + bg)(s) = aL(f)(s) + bL(g)(s)

(2) 相似　 L(f(λt))(s) = 1

λF( sλ

)(3) 第一移動　 L(f(t− λ))(s) = eλsF (s)　ただし，f(t− λ) = 0, (0 ≤ t < λ)とする．

(4) 第二移動　 L(f(t+ λ))(s) = eλs

(F (s)−

∫ λ

0

e−stf(t)dt

)(5) 像の移動　 L(eµtf(t))(s) = F (s− µ)

(6) 微分　 ℜs > max{α, α(1), 0}，のとき，

L(f ′(t))(s) = sF (s)− f(0)

ℜs > max{α, α(1), · · · , α(n), 0} のとき，

L(f (n)(t))(s) = snF (s)−n−1∑r=0

f (r)(0)s(n−1)−r

ただし，α, α(1), · · · , α(n) は f, f ′, · · · , f (n) の収束座標

(7) 像の微分　 ℜs > max{α, 0}ならば，

L(−tf(t))(s) = F ′(s), L((−t)nf(t))(s) = F (n)(s)

これにより，F (s), (ℜs > max{α, 0})で正則関数である．

(8) 積分　 ℜs > max{α, 0}ならば，L(∫ t

0

f(τ)dτ

)(s) =

1

sF (s)

(9) 像の積分　 limt→0

f(t)

tが存在して，しかも，

f(t)

tの絶対座標 β が β <∞のとき，s > β に対して，

L(f(t)

t

)(s) =

∫ ∞

s

F (σ)dσ

(10) 畳み込み関数ラプラス変換の畳み込み関数を

f ∗ g(t) =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

と定義する．関数 f ∗ gのラプラス変換は，ℜs > max{β, β′}のとき，次のようになる．

L(f ∗ g)(s) = L(f)(s)L(g)(s) (5.21)

ただし，β, β′ は f, gの絶対収束座標とする．

証明 (1) 命題 5.1で済み．

(2) λt → τ に変数変換すれば導ける．

(3) 第一移動は関数 f を右に平行移動することに注意しておく（関数 f(t− λ)は 0 ≤ t < λは 0と定める）．　　

　　 t− λ → τ に変数変換すれば導ける．

77

(4) 第二移動は関数 f を左に平行移動することに注意．

L(f(t+ λ))(s) =

∫ ∞

0

f(t+ λ)e−st dt =

∫ ∞

λ

f(t)e−s(t−λ) dt

=

∫ ∞

λ

f(t)e−st dt · esλ = eλs

(F (s)−

∫ λ

0

e−stf(t)dt

)

(5) 命題 5.6で証明済み

(6) まず， limt→∞

f(t)e−st = 0を示す．f(t) = f(0) +

∫ t

0

f ′(τ) dτ より，

f(t)e−st = f(0)e−st +

∫ t

0

f ′(τ) dτ · e−st t→∞−→ f(0) · 0 + L(f ′)(s) · 0 = 0, (∀s > max{α(1), 0})

部分積分を用いて，

L(f ′(t))(s) =∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt =[f(t)e−st

]∞0

+

∫ ∞

0

sf(t)e−stdt

= limt→∞

f(t)e−st − f(0) + sF (s) = −f(0) + sF (s);

L(f ′(t))(s) = sF (s)− f(0)

これを繰り返せば

L(f (n)(t))(s) = snF (s)−n−1∑r=0

f (r)(0)s(n−1)−r

が導ける．例えば

L(f ′′(t))(s) = sL(f ′(t))(s)− f ′(0) = s(sL(f)(s)− f(0))− f ′(0) = s2L(f)(s)− sf(0)− f ′(0)

(8)直ぐ後に示す補題 Aより， limt→∞

∫ t

0

f(τ)dτ · e−st = 0を満たすので，部分積分を用いて，

L(∫ t

0

f(τ)dτ

)(s) =

∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)dτ · e−stdt

=

[∫ t

0

f(τ)dτ · e−st

−s

]∞0

+1

s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=−1

slimt→∞

∫ t

0

f(τ)dτ · e−st + 1

sF (s) =

1

sF (s)

補題A 　 limt→∞

∫ t

0

f(τ)dτ · e−st = 0, (s > max{α, 0})

証明 s > b > max{α, 0}を満たす bをとる．∫ t

0

f(τ) dτ · e−st =∫ t

0

ebτ (e−bτf(τ)) dτ · e−st

部分積分を用いて，

=

{[ebτ∫ τ

0

e−bxf(x) dx

]t0

− b

∫ t

0

ebτ(∫ τ

0

e−bxf(x) dx

)dτ

}e−st

= e−(s−b)t∫ t

0

e−bxf(x) dx− b

∫ t

0

ebτ(∫ τ

0

e−bxf(x) dx

)dτ · e−st (5.22)

∫ τ

0

e−bxf(x) dxτ→∞−→ L(f)(b)なので，定理 5.11の (5.15)と同様にして，

∃M > 0 :

∣∣∣∣∫ τ

0

e−bxf(x) dx

∣∣∣∣ < M, (∀τ > 0) (5.23)

78

従って，(5.22)の第一項は，s > bより 0に収束する，また，第 2項も，s > b > max{α, 0}より，∣∣∣∣∫ t

0

ebτ(∫ τ

0

e−bxf(x) dx

)dτ · e−st

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

ebτ∣∣∣∣∫ τ

0

e−bxf(x) dx

∣∣∣∣ dτ · e−st≤∫ t

0

ebτM dτ · e−st = M

b(ebt − 1) · e−st = M

b(e−(s−b)t − e−st)

t→∞−→ 0

♡(7) まず最初にf(t)が有界関数である場合，例 5.2より f(t)e−st, tf(t)e−stはℜs > 0で指数型である．従って，積

分と微分の順序交換ができる．

d

dsF (s) =

d

ds

(∫ ∞

0

f(t)e−st dt

)=

∫ ∞

0

f(t)d

ds(e−st) dt

=

∫ ∞

0

f(t)(−te−st) dt = L(−tf(t))(s)

また，tf(t)は ℜs > 0でラプラス変換は収束する．

　 f(t)が有界関数でない場合の証明の準備として補題 Bを示す．

補題B　 αを f の収束座標とするとき， ∫ ∞

0

tf(t)e−st dt (5.24)

も ℜs > αで収束する．

証明 ℜs > b > αを満たす bを取る．∫ ∞

0

tf(t)e−st dt =

∫ ∞

0

e−(s−b)tt · e−btf(t) dt

部分積分より

=

[e−(s−b)tt

∫ t

0

e−bτf(τ) dτ

]∞0

+

∫ ∞

0

[((s− b)e−(s−b)tt− e−(s−b)t)

∫ t

0

e−bτf(τ) dτ

]dt

(5.23)より G(t) =

∫ t

0

e−bτf(τ) dτ は有界関数なので，例 5.2より，L(tG(t))(s − b), L(G)(s − b)の絶対収束座

標 β ≤ 0となる．ゆえに，

= limt→∞

e−(s−b)ttG(t) + (s− b)L(tG(t))(s− b)− L(G)(s− b)

limt→∞

tne−ct = 0, (∀c > 0)より，

= (s− b)L(tG(t))(s− b)− L(G)(s− b)

以上より，∫ ∞

0

tf(t)e−st dtは ℜs > αで収束する ♡

　f(t)が有界関数でない場合の証明 (5.17)より，

L(f)(s) = (s− s0)

∫ ∞

0


ただし，G(t) =∫ t

0

e−s0τf(τ) dτ, (s0 > α)．G(t)は有界関数なので，先に示したことより，

d

ds(L(f)(s)) =

∫ ∞

0

e−(s−s0)tG(t) dt+ (s− s0)

∫ ∞

0

e−(s−s0)t(−tG(t)) dt

79

= L(G)(s− s0)− (s− s0)L(tG(t))(s− s0)

(8)より，

= (s− s0)L(∫ t

0

G(τ) dτ

)(s− s0)− (s− s0)L(tG(t))(s− s0)

= (s− s0)L(∫ t

0

G(τ) dτ − tG(t)

)(s− s0)

G(0) = 0と部分積分より

= (s− s0)L(−∫ t

0

τG(τ)′ dτ

)(s− s0)

= (s− s0)L(−∫ t

0

τe−s0τf(τ) dτ

)(s− s0)

= L(−e−s0ttf(t))(s− s0) (補題 Bと (8)積分を用いて)

= L(−tf(t))(s) ((5)像の移動を用いて)

　最後に，このことを n回繰り返せば，L((−t)nf(t)) = F (n)(s)をえる．

(9)f(t)

tの絶対座標 β に対して，β < sのとき，∫ ∞

s

∫ ∞

0

|f(t)e−σt| dt dσ =

∫ ∞

0

∫ ∞

s

|f(t)|e−σt dσ dt

=

∫ ∞

0

|f(t)|∫ ∞

s

e−σt dσ dt =

∫ ∞

0

|f(t)|t

e−st dt <∞

ゆえに，Fubiniの定理により積分の順序交換可能なので，∫ ∞

s

F (σ) dσ =

∫ ∞

s

∫ ∞

0

f(t)e−σt dt dσ =

∫ ∞

0

∫ ∞

s

f(t)e−σt dσ dt

=

∫ ∞

0

f(t)

te−st dt = L

(f(t)

t

)(s)

(10)

L(f ∗ g)(s) =∫ ∞

0

f ∗ g(t)e−stdt =∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ · e−stdt =∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)e−stdτdt

ω + σ = t, σ = τ と変数変換すると (すなわ

ち，ω = t− τ, σ = τ)

∂(ω, σ)

∂(t, τ)=

∣∣∣∣∣1 −1

0 1

∣∣∣∣∣ = 1

なので，重積分の変数変換公式より，

0 0t

τ σ

ω

τ = tの直線

=⇒

積分範囲の変更

∫ ∞

0

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)e−stdτdt =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

f(σ)g(ω)e−(ω+σ)s

∣∣∣∣∂(ω, σ)∂(t, τ)

∣∣∣∣ dσdω=

∫ ∞

0

∫ ∞

0

f(σ)g(ω)e−(ω+σ)sdσdω

ℜs > max{β, β′}より，

=

∫ ∞

0

f(σ)e−σsdσ ·∫ ∞

0

g(ω)e−ωsdω = L(f)(s)L(g)(s);

80

∴ L(f ∗ g)(s) = L(f)(s)L(g)(s)

♡

　次に，(7)，(8)，(9)，(10)を適用して，ラプラス変換の像 F (s)を求め方を示す．

例 5.22 λ ∈ Rとする，

(7) （像の微分）

L(teλt)(s) = − d

ds(L(eλt))(s) = − d

ds

(−1

s− λ

)=

1

(s− λ)2

L(t2 cosλt) = d2

ds2(L(cosλt)) = d2

ds2

(s

s2 + λ2

)=

2s(s2 − 3λ2)

(s2 + λ2)2

(8) （積分）

L(∫ t

0

cosλτ dτ

)=

1

sL(cosλt) = 1

s

s

s2 + λ2=

1

s2 + λ2

注：∫ t

0

cosλτ dτ =1

λsin tより，L

(∫ t

0

cosλτ dτ

)= L

(1

λsin t

)=

1

s2 + λ2

(9) （像の積分）limt→0

sin t

t= 1，かつ，

∣∣∣∣ sin tt∣∣∣∣ < 1, (t > 1)より，絶対収束座標 β ≤ 0なので，像の積分が適

用できる．

L(sin t

t

)(s) =

∫ ∞

s

L(sin t)(σ) dσ =

[1

σ2 + 1

]∞s

=π

2− Tan−1s

(10) （畳み込み関数）1

(s− µ)(s2 + λ2)= L(f(t))となる f(t)を求める (λ, µ ∈ R)．

L(eµt) = 1

(s− µ), L

(1

λsinλt

)=

1

(s2 + λ2)なので，

1

(s− µ)(s2 + λ2)= L

(eµt ∗ 1

λsinλt

)

∴ f(t) =

∫ t

0

eµx1

λsinλ(t− x) dx =

1

λℑ(∫ t

0

eµxeiλ(t−x) dx

)=

1

λℑ(eiλt

∫ t

0

e(µ−iλ)x dx

)=

1

λℑ(eiλt

e(µ−iλ)t − 1

µ− iλ

)=

1

λℑ(eµt − eiλt

µ− iλ

)= −

eµt − cosλt− µλ sinλt

µ2 + λ2

5.4 ラプラス逆変換の求め方

　 L(f(t))(s) = F (s)のとき，ラプラス逆変換 L−1(F (s)) = f(t)であった．このとき，F (s)が与えられたとき，

f(t)をどのようにして求めるかを述べる．

　有理関数 F (s) =q(s)

p(s)の場合は，部分分数展開すると，

1

(s− α)n, (α ∈ C)の一次結合で表される．ただし，

αは p(s)の解である．このとき，L(tn) = n!

sn+1と「像の移動」を用いると，次がえられる．

eαttn−1

(n− 1)!= L−1

(1

(s− α)n

)例 5.23 (1)

L−1

(1

2s− 1

)=

1

2L−1

(1

s− 12

)=

1

2e

12 t

81

(2) L−1

(s− 3

s2 − 2s+ 5

)の解法

s2 − 2s+ 5の解は s = 1± 2iなので，部分分数展開は，

A

s− (1 + 2i)+

B

s− (1− 2i)=

s− 3

s2 − 2s+ 5

係数比較をすると，

A+B = 1, A(1− 2i) +B(1 + 2i) = −3

この連立方程式を解くと，

A =1 + i

2, B =

1− i

2

∴ L−1

(s− 3

s2 − 2s+ 5

)= L

(1+i2

s− (1 + 2i)+

1−i2

s− (1− 2i)

)

=1 + i

2e(1+2i)t +

1− i

2e(1−2i)t = et(cos 2t− sin 2t)

この問の標準的な解法は次のように行う．

s− 3

s2 − 2s+ 5=

(s− 1)− 2

(s− 1)2 + 22

L−1

(s− 3

s2 − 2s+ 5

)= L−1

((s− 1)

(s− 1)2 + 22

)− 2L−1

(1

(s− 1)2 + 22

)= et cos 2t− 2 · 1

2et sin 2t = et(cos 2t− sin 2t)

(3)1

(s− 1)(s2 + 2s+ 2)のラプラス逆変換

A

s− 1+

Bs+ C

s2 + 2s+ 2=A(s2 + 2s+ 2) + (s− 1)(Bs+ C)

(s− 1)(s2 + 2s+ 2)

=(A+B)s2 + (2A−B + C)s+ 2A− C

(s− 1)(s2 + 2s+ 2)=

1

(s− 1)(s2 + 2s+ 2)

係数比較をすると，下の連立方程式がえられる

A+B = 0, 2A−B + C = 0, 2A− C = 1

これを求めると，A =1

5, B =

−3

5, C =

−1

5

L−1

(1

(s− 1)(s2 + 2s+ 2)

)=

1

5L−1

(1

s− 1

)− 1

5L−1

(s+ 3

(s+ 1)2 + 1

)=

1

5e−t − 1

5

(L−1

(s+ 1

(s+ 1)2 + 1

)+ L−1

(2

(s+ 1)2 + 1

))=

1

5e−t − 1

5

(e−t cos t+ 2e−t sin t

)例 5.24 L−1

(log

(1 +

ω2

s2

))の求め方

logを微分すると有理関数になることを利用して，

d

dslog

(1 +

ω2

s2

)=

1

1 + ω2

s2

−2ω2

s3=

−2ω2

(s2 + ω2)s

82


= 2

(s

s2 + ω2− 1

s

)

従って，L(f(t)) = log

(1 +

ω2

s2

)とすると，

−tf(t) = L−1

(d

dslog(1 +

ω

s2

))= L−1

(2

(s

s2 + ω2− 1

s

))= 2(−1 + cosωt);

∴ f(t) =2(1− cosωt)

t

例 5.25 (1)1

(s2 + a2)2のラプラス逆変換 (a > 0)

L(sin at) = a

s2 + a2と畳み込み関数を利用して，

L−1

(1

(s2 + a2)2

)=

1

a2

∫ t

0

sin aτ sin a(t− τ) dτ =1

2a2

∫ t

0

− cos at+ cos a(2τ − t) dτ

=1

2a2

(−t cos at+

[sin a(2τ − t)

2a

]t0

)=

1

2a2

(−t cos at+ sin at

a

)

(2)s

(s2 + a2)2のラプラス逆変換 (a > 0)

L(sin at) = a

s2 + a2, L(cos at) = s

s2 + a2と畳み込み関数を利用して，

L−1

(s

(s2 + a2)2

)=

1

a

∫ t

0

sin aτ cos a(t− τ) dτ =1

2a

∫ t

0

sin at+ sin a(2τ − t) dτ

=1

2a

(t sin at−

[cos a(2τ − t)

2a

]t0

)=

1

2at sin at

注意 5.26 例 5.25の (1),(2)と同様にすれば，次のラプラス逆変換が帰納的に求めることができる．

1

(s2 + a2)n,

s

(s2 + a2)n

　次に，ブロムウィッチの反転公式 5.19と関数論の留数定理を用いて，ラプラス逆変換を求める方法を述べる．

　 βは f(t)の絶対収束座標とし，σ > βならば，像

関数 F (s)は絶対収束域 {s ∈ C : ℜs > β}で正則関数であり，また，ブロムウィッチの反転公式が成

立する．右の図のような半円 ABC = CR を考える．

もし，

limR→∞

∫CR

estF (s) ds = 0 (5.25)

とすると，閉曲線 CABCに対する留数定理により，

1

2πi

∫CABC

estF (s) ds =

k∑i=1

Res[estF (s), si]

ただし，{si : i = 1, · · · , k}は閉曲線 CABC内に

ある特異点，Res[estF (s), si]は s = siでの estF (s)

の留数とする．

θ

絶対収束域

β

R

A

B

C

σO

s1

s2

si

sk

∫ σ+i∞

σ−i∞estF (s)ds

1

2πi

∫CABC

estF (s) ds =1

2πi

∫CR

estF (s) ds+1

2πi

∫CA

estF (s) ds

83

=1

2πi

∫CR

estF (s) ds+1

2πi

∫ σ+iR

σ−iRL(f)(s)est ds

条件 (5.25)を満たし，R→ ∞とすれば，

f(t) =1

2πilimT→∞

∫ σ+iT

σ−iTL(f)(s)est ds =

n∑i=1

Res[estF (s), si]

ただし，{si : i = 1, · · · , n}は {s ∈ C : ℜs < σ}にある特異点全体．　このことをまとめると，次のようになる．

定理 5.27 β は f(t)の絶対収束座標とし，σ > β，f(t)の像関数 F (s)とする．もし

limR→∞

∫CR

estF (s) ds = 0

ならば，

f(t) = L−1(F (s))(t) =

n∑i=1

Res[estF (s), si]

ただし，{si : i = 1, · · · , n}は {s ∈ C : ℜs < σ}にある特異点全体，CR は上で定義した半円とする．

　次に，定理の条件を満たすための F (s)に対する条件を見てみよう．

定理 5.28 　もし，

　 limR→∞

max{|F (s)| : |s| ≥ R} = 0 (5.26)

ならば，

limR→∞

∫CR

estF (s) ds = 0

特に，有理関数 F (s) =q(s)

p(s)のとき，p(s), q(s)の次数が

deg p > deg q

ならば，

limR→∞

max{|F (s)| : |s| ≥ R} = 0

ただし，q(s), p(s)は sの多項式，CR は上で定義した半円とする．

証明半円 CRを s = σ+Reiθ,(π2 ≤ θ ≤ 3π

2

)と表すと，|σ+Reiθ| ≥ |Reiθ| − |σ| = R− σと条件 (5.26)より，

∃R0 : R > R0 : max{|F (s)| : |s| ≥ R− σ} < ε

ゆえに，R > R0 とすると，|F (σ +Reiθ)| < εより，∣∣∣∣∫CR

estF (s) ds

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫ 3π

2

π2

e(σ+Reiθ)tF (σ +Reiθ) · iReiθ dθ

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣iReσt

∫ 3π2

π2

eReiθtF (σ +Reiθ) · eiθ dθ

∣∣∣∣∣≤ Reσt

∫ 3π2

π2

∣∣∣eReiθtF (σ +Reiθ) · eiθ∣∣∣ dθ = Reσt

∫ 3π2

π2

eRt cos θ∣∣F (σ +Reiθ)

∣∣ dθ≤ Reσtε

∫ 3π2

π2

eRt cos θ dθ

θ − π2 = ρと変換すると，

= Reσtε

∫ π

0

e−Rt sin ρ dρ = 2Reσtε

∫ π2

0

e−Rt sin ρ dρ

84

sin ρ > 2πρ, (0 ≤ ρ ≤ π

2 )より，

≤ 2Reσtε

∫ π2

0

e−2Rtπ ρ dρ = 2Reσtε

[− π

2Rte−

2Rπ ρ]π

2

0=eσt

tπ(1− e−R)ε <

eσt

tπε

以上により，t = 0ならば， limR→∞

∫CR

estF (s) ds = 0が示せた．

　有理関数 F (s) =q(s)

p(s), (deg p > deg q)のとき，

lim|s|→∞

q(s)

p(s)= 0, （一様収束）

なので， limR→∞

max{|F (s)| : |s| ≥ R} = 0である． ♡

例 5.291

(s2 + a2)3, (a > 0)のラプラス逆変換の留数を使った解法

est

(s2 + a2)3は s = ±iaで位数 3の極である．また，分母と分子の次数の差が 3なので，定理 5.28より，定理 5.27

の条件を満たす．極に対する留数は，次のように計算する．

　一般に，正則関数 g(z)が z = z0 で位数 nの極であるとき，その留数を求める公式は，

Res[g, z0] = limz→z0

1

(n− 1)!

(dn

dzng(z)(z − z0)

n

)この公式を用いて，

1

2

d2

ds2

(est(s− ia)3

(s2 + a2)3

)=

1

2

d2

ds2

(est

(s+ ia)3

)

ライプニッツの公式 (uv)(n) =

n∑r=0

nCru(r)v(n−r) より，

=1

2

(t2est(s+ ia)−3 − 6test(s+ ia)−4 + 12est(s+ ia)−5

);

∴ 1

2

d2

ds2

(est(s− ia)3

(s2 + a2)3

) ∣∣∣∣∣s=ia

=1

2

(t2eiat(2ia)−3 − 6teiat(2ia)−4 + 12eiat(2ia)−5

)=1

2

(it2eiat(2a)−3 − 6teiat(2a)−4 − i12eiat(2a)−5

);

aに −aを代入すると，

1

2

d2

ds2

(est(s+ ia)3

(s2 + a2)3

) ∣∣∣∣∣s=−ia

=1

2

(−it2e−iat(2a)−3 − 6te−iat(2a)−4 + i12e−iat(2a)−5

);

従って，

Res

[est(s− ia)3

(s2 + a2)3, ia

]+Res

[est(s− ia)3

(s2 + a2)3,−ia

]= −t2(2a)−3 sin at− 6t(2a)−4 cos at+ 12(2a)−5 sin at

ゆえに，定理 5.27より，

L−1

(1

(s2 + a2)3

)= −t2(2a)−3 sin at− 6t(2a)−4 cos at+ 12(2a)−5 sin at

85

5.5 ラプラス変換と微分方程式の初期値問題

x′′ + ax′ + bx = r(t), (x(0) = α, x′(0) = β)

の非斉次定係数線形微分方程式の初期値問題の解法を解説する．この微分方程式を一斉にラプラス変換を行う．

L(x′′) + aL(x′) + bL(x) = L(r(t)) = R(s)

とする．X(s) = L(x)(s)とすると，

L(x′) = sL(x)− x(0) = sX(s)− α, L(x′′) = s2L(x)− sx(0)− x′(0) = s2X(s)− sα− β

従って，

(s2X(s)− sα− β) + a(sX(s)− α) + bX(s) = R(s)

この式をX(s)で解くと，

X(s) =R(s)

s2 + as+ b+α(s+ a) + β

s2 + as+ b

上の式にラプラス逆変換をほどこすと，

x(t) = L−1(X(s)) = L−1

(R(s)

s2 + as+ b

)+ L−1

(α(s+ a) + β

s2 + as+ b

)

　ここで言葉を定義しておこう．H(s) = s2+as+bを特性方程式あるいは特性関数, x(t)を応答関数，W (t) =1

H(s)を伝達関数，r(t)を外力という．x′′ + ax′ + bxは実験装置（回路）と考え，r(t)を外力（電圧）と考えている．

注意 5.30 ここで x(t)をラプラス逆変換を用いて求めた方法は，一般の定係数線形微分方程式でも同様に解が求

められる．この求め方の特徴は，下の図のように，微分方程式を代数的に解くことである．

微分方程式ラプラス変換

代数方程式

解を求める

ラプラス逆変換代数方程式の解微分方程式の解

　つぎに，例として回路の場合を見てみよう．

　 (4.1)の RLC回路の微分方程式

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = v(t)

をラプラス変換を用いて解いてみよう．ただし，i(t), q(t), v(t)は t ≥ 0で定義されている（t < 0では i(t) = q(t) =

v(t) = 0と考える）．

　この式を一斉にラプラス変換すると，(1)の線形性より，

LL(di(t)

dt

)+RL(i(t)) + 1

CL(q(t)) = L(v(t))

q′(t) = i(t)より，q(t) =∫ t

0

i(τ)dτ, (q(0) = 0と仮定する)，上の (6)(8)より

L(sF (s)− i(0)) +RF (s) +1

C

F (s)

s= L(v(t))(s)

F (s)(Ls+R+1

Cs)− Li(0) = L(v(t))(s)

86

ただし，F (s) = L(i(t))(s)．ここで，F (s)で上の方程式を解くと

F (s) =1

Ls+R+1

Cs

L(v(t))(s) + 1

Ls+R+1

Cs

Li(0)

ここで，さらに時刻 t = 0での電流を i(0) = 0と仮定すると

F (s) =s

Ls2 +Rs+ C−1L(v(t))(s)

この伝達関数のラプラス逆変換を L−1

(s

Ls2 +Rs+ C−1

)= w(t)とすると，合成積の (10)より，

L(i(t))(s) = F (s) = L(w ∗ v)(s)

ラプラス逆変換すれば，次を得る．

i(t) = (w ∗ v)(t) =∫ t

0

w(τ)v(t− τ)dτ

結論として，まとめれば，次の定理になる．

定理 5.31 (Duhamel(デュアメル)の合成定理) (4.26)の電流 i(t)は

i(t) =

∫ t

0

w(τ)v(t− τ)dτ (5.27)

で与えられる．ただし w(t)は伝達関数H(s) =s

Ls2 +Rs+ C−1のラプラス逆変換である．

注意 5.32 定理 5.31で述べたことは，(4.1)の RLC回路の微分方程式を，より一般した定係数線形微分方程式に

対しても成立する．

　具体的に，L−1

(s

Ls2 +Rs+ C−1

)= w(t)を求めてみよう．Ls2 +Rs+C−1 = 0が異なる解 α, βを持つ場合

と重解を持つ場合に分けて議論する．

(1) 異なる場合 Ls2 +Rs+ C−1 = L(s− α)(s− β), (α = β)

部分分数展開により，

1

L(s− α)(s− β)=

1

α− β=

1

L(α− β)

(α

s− α− β

s− β

);


w(t) = L−1

(1

L(s− α)(s− β)

)=

1

L(α− β)

(L−1

(α

s− α

)− L−1

(β

s− β

))=

1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)(i) α, β が実数の場合 (CR2 > 4L)，L,R,C ≥ 0なので，α, β ≤ 0となる．

w(t) =1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)(ii) α, β が実数でない場合 (CR2 < 4L)，ℜα = − R

2L< 0, β = αなので

w(t) =1

L(α− β)

(αeαt − βeβt

)=

1

L(α− α)

(αeαt − αeαt

)=

1

Lℑ(α)ℑ(αeαt)

ただし，ℜ(α), ℑ(α)は複素数 αのそれぞれ実部，虚部を表す．

87

(2) 重解の場合 Ls2 +Rs+ C−1 = L(s− α)2 すなわち，α = − R

2L< 0, CR2 = 4L


1

L(s− α)2=

1

L

(1

s− α+

α

(s− α)2

);


w(t) = L−1

(1

L(s− α)2

)=

1

L

(L−1

(1

s− α

)+ L−1

(α

(s− α)2

))=

1

L

(eαt + teαt

)　いずれの場合も， lim

t→∞w(t) = 0のなり，伝達関数H(s)の解が実数でない場合，振動しながら減衰する．

例 5.33

x′′ + x = 2 cos t, x(0) = 3, x′(0) = 4

この式をラプラス変換すると (X(s) = L(x(t))(s)で表す)，

L(x′′) + L(x) = 2L(cos t)

s2X(s)− s · 3− 4 +X(s) = 2s

s2 + 1

(s2 + 1)X(s) =2s

s2 + 1+ 3s+ 4

∴ X(s) =2s

(s2 + 1)2+

3s+ 4

s2 + 1

=d

ds

(− 1

s2 + 1

)+ 3

s

s2 + 1+ 4

1

s2 + 1

∴ x(t) = L−1

(d

ds

(− 1

s2 + 1

))+ 3L−1

(s

s2 + 1

)+ 4L−1

(1

s2 + 1

)= t sin t+ 3 cos t+ 4 sin t

例 5.34 (積分方程式)

x(t) = t+

∫ t

0

x(τ) sin(t− τ) dτ

式全体をラプラス変換して，畳み込み関数 (10)を用いると，

X(s) = L(x(t)) = L(t) + L(∫ t

0

x(τ) sin(t− τ) dτ

)=

1

s2+ L(x(s))L(sin t)(s)

=1

s2+X(s)

1

s2 + 1;

X(s)を解くと，

X(s) =s2 + 1

s4=

1

s2+

1

s4

∴ L−1(X(s)) = t+t3

6

例 5.35 (超関数を含む微分方程式 1)

x′′ + 4x′ + 5x = δ(t− 1), x(0) = 0, x′(0) = 3

88

式全体をラプラス変換すると，

s2X(s)− 0 · s− 3 + 4(sX(s)− 0) + 5X(s) = L(δ(t− 1)) = e−s

X(s)で解くと，

(s2 + 4s+ 5)X(s) = 3 + e−s

X(s) =3

(s+ 2)2 + 1+

e−s

(s+ 2)2 + 1

第一移動 (3)を用いると，

∴ x(t) = 3e−2t sin t+ e−2t sin(t− 1) · U(t− 1)

例 5.36 (超関数を含む微分方程式 2)

x′′ + 4x′ + 8x = δ(t), x(0) = 1, x′(0) = 2

この式をラプラス変換すると，

s2X − sx(0)− x′(0) + 4(sX − x(0)) + 8X = 1

s2X − s− 2 + 4sX − 4 + 8X = 1

(s2 + 4s+ 8)X = s+ 7

∴ X =s+ 7

s2 + 4s+ 8=

s+ 2

(s+ 2)2 + 22+

5

(s+ 2)2 + 22

ラプラス逆変換をすると，

x(t) =L−1

(s+ 2

(s+ 2)2 + 22

)+

5

2L−1

(2

(s+ 2)2 + 22

)=e−2t

(cos 2t+

5

2sin 2t

)求める解は，次で与えられる．

x(t) = e−2t

(cos 2t+

5

2sin 2t

)(5.28)

注: ここで，この解が与えられた微分方程式の条件を満たすかを見てみよう．

x(t) = e−2t

(cos 2t+

5

2sin 2t

);

x′(t) = −2e−2t

(cos 2t+

5

2sin 2t

)+ e−2t (−2 sin 2t+ 5 cos 2t) = e−2t (3 cos 2t− 7 sin 2t) ;

x′′(t) = −2e−2t (3 cos 2t− 7 sin 2t) + e−2t (−6 sin 2t− 14 cos 2t) = e−2t (−20 cos 2t+ 8 sin 2t)

x′′ + 4x′ + 8xに代入すると

x′′(t) + 4x′(t) + 8x(t) = 0

となり，外力 δ(t)に右辺はならない．また，t = 0を解に代入すると，

x(0) = 1, x′(0) = 3

初期条件 x(0) = 1, x′(0) = 2と違ってくる．

　実は解 (5.28)は，微分方程式が超関数を含むとき，ラプラス変換して求めた解は超関数としての解であって，普

通の意味での解にはなっていないこのがその理由である．

89

例 5.37 連立微分方程式 {x′(t) + y(t) = 2 cos t, (x(0) = 0, y(0) = 1)

x(t) + y′(t) = 0

それぞれ式全体をラプラス変換すると，次の連立方程式をえる．

sX(s)− 0 + Y (s) = 2s

s2 + 1, X(s) + sY (s)− 1 = 0

ただし，X(s) = L(x)(s), Y (s) = L(y)(s)　この連立方程式を解くと，

X(s) =1

s2 + 1, Y (s) =

s

s2 + 1

ラプラス逆変換すると，

x(t) = L−1

(1

s2 + 1

)= sin t, y(t) = L−1

(s

s2 + 1

)= cos t

90

6 補足

6.1 微分と積分の順序交換, Wierstrassの多項式近似定理

定理 6.1 (微分と積分の順序交換) (1) 閉区間 [a, b]× [c, d]上の f(x, y)は C1-級の関数とするとき，

d

dy

(∫ b

a

f(x, y)dx

)=

∫ b

a

∂f

∂y(x, y)dx (6.1)

(2) aが −∞，あるいは，bが∞の場合，a < λ′, λ < bについて，∫ λ′

a

∣∣∣∣∂f∂y (x, y)∣∣∣∣ dx+

∫ b

λ

∣∣∣∣∂f∂y (x, y)∣∣∣∣ dx λ→b, λ′→a−→ 0, (変数 y ∈ [c, d]について一様収束) (6.2)

ならば，この場合も，(6.1)は成立する．

証明 (1) フビニと積分順序の交換により，∫ t

c

(

∫ b

a

∂f

∂y(x, y)dx)dy =

∫ b

a

(

∫ t

c

∂f

∂y(x, y)dy)dx =

∫ b

a

f(x, t)− f(x, c)dx =

∫ b

a

f(x, t)dx−∫ b

a

f(x, c)dx

右辺の最後の項は定数なので，両端を tで微分すると，求める式が得られる．∫ b

a

∂f

∂y(x, t)dx =

d

dt(

∫ b

a

f(x, t)dx)

(2) a = −∞, b = ∞の場合を示す (他も同様)．∣∣∣∣∣∫∞−∞f(x, y +∆y) dx−

∫∞−∞f(x, y) dx

∆y−∫ ∞

−∞

∂f

∂y(x, y)dx

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ ∞

−∞

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y− ∂f

∂y(x, y)dx

∣∣∣∣平均値の定理より，

=

∣∣∣∣∫ ∞

−∞

∂f

∂y(x, y + θ∆y)− ∂f

∂y(x, y)dx

∣∣∣∣ (∃0 < θ < 1)

≤∫ ∞

−∞

∣∣∣∣∂f∂y (x, y + θ∆y)− ∂f

∂y(x, y)

∣∣∣∣ dx条件 (6.2)より，十分大きい λ >∃ λ0 :

∫|x|>λ

∣∣∣∣∂f∂y (x, y)∣∣∣∣ dx < ε, ∀y ∈ [c, d]より，

≤ 2ε+

∫ λ

−λ

∣∣∣∣∂f∂y (x, y + θ∆y)− ∂f

∂y(x, y)

∣∣∣∣ dx∂f

∂y(x, y)は [−λ, λ]で一様連続なので，∃δ > 0 : |y − y′| < δ ⇒

∣∣∣∣∂f∂y (x, y′)− ∂f

∂y(x, y)

∣∣∣∣ < ε．従って，

≤ 2ε+ 2λε, (|∆y| < δ )

以上により，

d

dy

(∫ ∞

−∞f(x, y)dx

)= lim

∆y→0

∫∞−∞f(x, y +∆y) dx−

∫∞−∞f(x, y) dx

∆y=

∫ ∞

−∞

∂f

∂y(x, y)dx

(注: (2)の証明方法は，(1)の別証明にもなっている) ♡

91

定理 6.2 (Wierstrassの多項式近似定理) [0, 1]上の連続関数 f(x)とする．任意の ε > 0に対して，

max{|f(x))− p(x)| : x ∈ [0, 1]} < ε (6.3)

となる多項式 p(x)が存在する．

証明 P [0, 1]を [0, 1]上の多項式全体，C[0, 1]を [0, 1]上の連続関数全体とする．このとき，一様ノルムで P [0, 1]

は C[0, 1]で稠密であることを，次の方法で示す（この事柄は大事で，証明方法は 2項分布を用いたベルンシュタ

インの方法が一般的である）．

　 Tn(x) = cos(nCos−1x)が n次の多項式であることを示す．この多項式をチェビシェフ (Cebysev)の多項式と

いう．

cosnθ + i sinnθ = (cos θ + i sin θ)n の右辺を 2項定理で展開して，その実部を見ると，

cosnθ = ℜ

(n∑k=0

nCkik sink θ cosn−k θ

)

=

[n2 ]∑m=0

nC2m(−1)m sin2m θ cosn−2m θ

=

[n2 ]∑m=0

nC2m(−1)m(1− cos2 θ)mθ cosn−2m θ

ここで，x = cos θとすると，

Tn(x) = cos(nCos−1x) =

[n2 ]∑m=0

nC2mxn−2m(x2 − 1)m

右辺は n次の多項式であるので，Tn(x)は n次の多項式である．

　任意の連続関数 f ∈ C[0, 1]に対して，[−π, π]で偶関数になるよう f(x)を拡張しておく．そして，

g(θ) = f(cos θ), (−π < θ ≤ π)

と定義すると，cos θ も偶関数なので g(θ)は連続な偶関数になる．すると，g の実フーリエ係数 bn = 0となり，

フーリエ級数展開は cosnθ, (n ∈ N ∪ {0})の一次結合で表される．従って，チェサロ平均

σn(θ) =

n∑k=0

dn cosnθ

と表す．ただし，dn ∈ C．定理 1.36よりチェサロ平均 σn(θ)は g(θ)に一様収束する．すなわち，任意の ε > 0に

対して， ∣∣∣∣∣g(θ)−n∑k=0

dk cos kθ

∣∣∣∣∣ < ε (∀θ ∈ [−π, π])

となる nが存在する，ここで，θ = Cos−1xを代入すると，∣∣∣∣∣f(x)−n∑k=0

dk cos(kCos−1x

)∣∣∣∣∣ < ε (∀x ∈ [0, 1])

∣∣∣∣∣f(x)−n∑k=0

dkTk(x)

∣∣∣∣∣ < ε (∀x ∈ [0, 1])

求める n次の多項式 p(x)は p(x) =

n∑k=0

dkTk(x)である． ♡

92

索引記号

∥ · ∥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A(s), B(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

an, bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

CWTf (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 72

Dn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17dnTdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

f(a− 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

f(a+ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

f ∗ g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 66, 77F(f)(s), f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

F−1(f)(s), f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

f#(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

H(iω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

h(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Kn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

L2(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

L(f)(s), F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64, 70L−1(F (s)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 70

S(R)′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57pα,β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Pn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ψj,k(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57σn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Sn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Tf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

U(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

< s, t > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B

Bessel(ベッセル)の不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bromwich(ブロムウィッチ)の反転公式 . . . . . . . . . . 76

Bromwich（ブロムウィッチ）の定理 . . . . . . . . . . . . .65

C

Cauchy-Schwarzの不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 34

convolution（対合） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Cr-級の関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

D

D’lambert（ダランベール)の公式 . . . . . . . . . . . . . . . 47

Duhamel(デュアメル)の合成定理 . . . . . . . . . . . 68, 87

F

Fubbini(フビニ）の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

L

Lerch（レルヒ）の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

P

Parseval（パーセバル）の等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Plancherel(プランシエル)公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

R

RLC直列回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

W

Weierstrassの優収束判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Wierstrassの多項式近似定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Wilbraham-Gibbs定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

あ

位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

インパルス応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

インピーダンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ウェーブレット基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

n次元フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

n次元フーリエ変換とフーリエ逆変換 . . . . . . . . . . . 38

エネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

応答関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

か

外力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

重ね合わせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

緩増加関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

(緩増加)超関数 (Tempered distribution) . . . . . . . . 57

Γ-関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

ギブスギャップ (Gibbs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14, 16

ギブス定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

逆フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

逆離散フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

急減少関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31, 57

境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

区分的に滑らか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 22

区分的に連続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

93

群上の調和解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

計算機断層撮影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ゲイン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

高速フーリエ変換（FFT） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

項別微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

固有関数（特性関数） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

混合問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

さ

3次元熱方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3次元波動程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3次元ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

自己相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

指数型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

実フーリエ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

シャノン-染谷のサンプリング定理 . . . . . . . . . . . . . . .34

収束域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 74

収束座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 73

周波数伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

初期条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

スペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

積分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

絶対可積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

絶対収束座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

全エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

線形システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

線形性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

像（関数） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

相互相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

相似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

双対群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

像の移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

像の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

像の第一移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

像の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

た

帯域制限関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第一移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

第二移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

畳み込み関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 66, 77

妥当性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

単位インパルス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

チェサロ平均 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

チェビシェフ (Cebysev)の多項式 . . . . . . . . . . . . . . . 92

超関数と関数の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

超関数の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

超関数と関数の畳み込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

超関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

超関数のフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

直交 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

直交関数系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

定義セミノルム系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ディリクレの積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ディリクレ題問 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

テスト関数空間 (Test function space) . . . . . . . . . . . 57

ディリクレ核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59, 72

伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 86

時不変 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

特性関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 86

特性方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

な

内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 34

内積の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

滑らかな関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

軟化子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

2次元ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2乗可積分関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2乗平均ノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2乗平均収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

熱核 (heat kernel). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

ノイマン問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

は

反転公式 (Inversion Formula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ピタゴラスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

左極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

左微分可能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

左微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 77

微分と積分の順序交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

標本化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

フーリエ解析の基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

フーリエ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

フーリエ積分（実フーリエ変換） . . . . . . . . . . . . . . . 27

フーリエ展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

フーリエの重積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

フーリエの単積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

フェイエル核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

94

複素フーリエ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

フビニ (Fubini)の定理 (積分順序の交換) . . . . . . . . 26

ヘビサイド関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 72

変数分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ポアソン和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

法線方向 nの方向微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ほとんど至るところ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ポントリャーギン（Pontryagin）の双対定理 . . . . .39

ま

マザーウェーブレット関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

右極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

右微分可能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

右微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

ら

ラプラス逆変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 70

ラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 70

ラプラス変換の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

リーマン・ルベーグ (Riemann-Lebesgue)の定理 24

離散 (時間)フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

リトルエルワン空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

ルジャンドル多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

離散フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

連続ウェーブレット変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

連続ウェーブレット逆変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

連立微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

95

フーリエ解析とラプラス変換 - osaka kyoiku...

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