ベクトル解析 - yamagata...
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ここでは，R3内のベクトルのみを考える． : x方向の単位ベクトル : y方向の単位ベクトル : z方向の単位ベクトルこのとき，∀a ∈ R3は
a = axex + ayey + azez
= a1e1 + a2e2 + a3e3
=3
i=1
aiei
e1 ≡ ex
e2 ≡ ey
e3 ≡ ez
ベクトル解析
exeyez x
yz
a, b ∈ R3に対して，
内積：(a · b) = axbx + ayby + azbz =3
i=1
aibi
外積：
(a × b) =
ex ey ez
ax ay az
bx by bz
= ex(aybz − azby) + ey(azbx − axbz) + ez(axby − aybx)
∴ a × b =
e1 e2 e3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= e1(a2b3 − a3b2) + e2(a3b1 − a1b3) + e3(a1b2 − a2b1)
内積と外積
a−bb
aθ
a×b
b
aθ
[補足 ] Edinton's epsilon : (i, j, k)が (1, 2, 3)の偶順列 : (i, j, k)が (1, 2, 3)の奇順列 : otherwise
∴ a × b =3
i=1
ei
3
j=1
3
k=1
εijkajbk
（問題） ε231 = , ε321 = , ε331 =
εijk
1−1
0
３次元空間 R3 内の各点 x でベクトル A(x) が与えられているとき， A(x) をベクトル場と呼ぶ．一方，スカラー φ(x) が与えられるとき， φ(x) をスカラー場と呼ぶ．（例）ベクトル場：速度場 v(x)，磁界 H(x)
スカラー場：温度場 T (x)，密度場 ρ(x)
ベクトル場とスカラー場
x
y
z
O
P
vx(x)
vz(x)vy(x)
v(x)
スカラー場の勾配（gradient）
∇φ ≡ ∂φ
∂xex +
∂φ
∂yey +
∂φ
∂zez
π上の任意曲線 C: x = x(t) を考えると， φ(x(t)) = const.
両辺を tで微分すると，
∂φ
∂x
dx
dt+
∂φ
∂y
dy
dt+
∂φ
∂z
dz
dt= 0
∇φ の成分，d
dtx(t) の成分
ベクトル場とスカラー場の微分法
d
dtx(t)
∇φ
C
π
(∇φ)x(t) ·d
dtx(t) = 0
i.e. (∇φ)x(t)⊥d
dtx(t)
しかも，d
dtx(t) は曲線 Cの接線ベクトルである．
∴ ∇φ は曲面 φ(x) = const. の法線ベクトルである．
（注）∇φ は演算子
∇ ≡ ∂
∂xex +
∂
∂yey +
∂
∂zez
が ∇φ という関数に作用したものと考えられる．
ベクトル場の発散（divergence）
∇ · A =∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂z
（問題）A(x) =xyz
6(xex + yey + zez) の発散 ∇ · A =
∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂zを求めよ．
スカラー場の勾配の発散
∇ · (∇φ) =∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2+
∂2φ
∂z2= ∇2φ = ∆φ
但し，∆ = ∇2 =∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2+
∂2φ
∂z2
※ ラプラス（Laplace）方程式：∆φ = 0
ポアソン（Poisson）方程式：−∆φ = ρ(x)
ベクトル場の回転（rotation）
∇× A =
ex ey ez∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ax Ay Az
=
∂Az
∂y− ∂Ay
∂z
ex +
∂Ax
∂z− ∂Az
∂x
ey +
∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
ez
∇× A =
ex ey ez∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ax Ay Az
=
∂Az
∂y− ∂Ay
∂z
ex +
∂Ax
∂z− ∂Az
∂x
ey +
∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
ez
勾配，発散，回転の式に総和記号を用いると，∇φ =3
i=1
ei∂φ
∂xi,
∇ · A =3
i=1
∂Ai
∂xi, ∇× A =
3
i=1
ei
3
j=1
3
k=1
εijk∂Ak
∂xj.
（問題）A(x) =xyz
6(xex + yey + zez) の回転 ∇× Aを求めよ．
(i) ∇(fg) = (∇f)g + f(∇g)
∇(fg) = ∇f (fg) + ∇g(fg)
= f∇g + g∇f
(ii) ∇ · (fA) = (∇f) · A + f(∇ · A)
∇ · (fA) =3
i=1
∂
∂xi(fAi)
=3
i=1
∂f
∂xiAi + f
3
i=1
∂Ai
∂xi
= (∇f) · A + f(∇ · A)
∇を使った恒等式
[補足 ]スカラー３重積 a · (b × c) = (a × b) · c = det
a b c
∵) b × c =by bz
cy cz
ex −bx bz
cx cz
ey −bx by
cx cy
ez
∴
a · (b × c) = ax
by bz
cy cz
− ay
bx bz
cx cz
− az
bx by
cx cy
=
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
∴ a · (b × c) = deta b c
（∵ det[AT ] = det[A]）
上式より，c · (a × b) = detc a b
スカラー３重積では，【 × ↔ · 】としても値が変わらない！
(iii) ∇× (fA) = (∇f) × A + f(∇× A)
∇× (fA) = ∇f × (fA) + ∇A × (fA)= ∇ff × A + f∇A × A
= ∇f × A + f∇× A
(iv) ∇ · (A × B) = B · (∇× A) − A · (∇× B)
∇ · (A × B) = ∇A · (A × B) + ∇B · (A × B)= B(∇A × A) − A(∇B × B)
= B · (∇A × A) − A · (∇B × B)
(∇A × A) · B −∇B · (B × A)= −(∇B × B) · A
(vii) ∇×∇f = 0
∵)(∇× A)i =
j,k
εijk∂jAk
(∇×∇f)i =
j,k
εijk∂j(∇f)k
=12
j,k
εijk∂j∂kf +
j,k
εijk∂j∂kf
=12
j,k
εijk∂j∂kf +
k,j
εikj∂k∂jf
= 0
∂kf
−εijk ∂j∂k
添字 j, kを交換
(viii) ∇ · (∇× A) = 0
∵)∇ · A =3
i=1
∂iAi
∇ · (∇× A) =3
i=1
∂i(∇× A)i
=
i,j,k
εijk∂i∂jAk
=12
k
i,j
εijk∂i∂jAk +
j,i
εjik∂j∂iAk
= 0
j,k
εijk∂jAk
−εijk ∂i∂j
Ω
∇ · A dxdy =
∂Ω
A · n dl
但し，∂Ω : xy平面上の単一閉曲線， Ω : ∂Ω に囲まれる領域， A(x, y) : 2次元ベクトル場（i.e. Az = 0 ← zに依存しない）， n : ∂Ω上で定義された外向きの単位法線ベクトル， l : ∂Ωに沿った弧長．
Greenの定理
O x
y Ω
∂Ω
n
Ω
(u∆v − v∆u) dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂n− v
∂u
∂n
dl
∇ · (u∇v) = ∇u ·∇v + u∆v,∇ · (v∇u) = ∇v ·∇u + v∆u
u∆v − v∆u = ∇ · (u∇v − v∇u)
上式の両辺を Ω で領域積分すると，
Ω
(u∆v − v∆u) dxdy =
Ω
∇ · (u∇v − v∇u) dxdy
ここで，
∂Ω
∇ · (u∇v − v∇u) dxdy =
∂Ω
n · (u∇v − v∇u) dl
=
∂Ω
u
∂v
∂n− v
∂u
∂n
dl
Greenの第 2定理
∵)
V
∇ · A dV =
S
A · n dS
但し， S : xyz空間上の単一閉曲面， V : Sで囲まれた領域 （Vの外側を向く向きを Sの正の向き），A(x, y, z) : 3次元ベクトル場， n : Sの正の向きを向く単位法線ベクトル．
Gaussの発散定理
OS
V
n
y
z
x