アナログ電子回路系における...
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アナログ電子回路系における 確率共鳴とカオス共鳴
北海道大学大学院情報科学研究科 浅井 哲也
生体ゆらぎに学ぶ知的人工物と情報システム
平成18-21年度 文部科学省科学技術振興調整費 「先端融合領域イノベーション創出拠点の形成」プログラム
大阪大学（オムロン、日本電子、NTT、ニプロ、松下電器、三菱重工、ATR、NICT、国立循環器病センター）
http://www.yuragi.osaka-u.ac.jp/
雑音利用情報処理（古典的）
u（状態）
H(u
)（コ
スト
）
最急降下法
を満たすu(t)のダイナミクスを 求める。
このダイナミクスに雑音を 加える（＝ゆらぎ方程式）
（アナログコンピュータ／ニューラルネットを用いた最適化問題）
これに平均場（<u(t)>）の概念を導入し、温度（〜状態遷移確率）を高温から低温に徐々に下げていくことでlocal minimumを避ける手法：シミュレーテッドアニーリング
*
生物に学ぶ雑音利用情報処理（トップダウン）
(From ITRS 2011 ERD Chapter, ERA Section Draft)
ゆらぎを積極的に利用するナノ情報処理システムの開拓 科研費 新学術領域研究 「分子ナノシステムの創発化学」（H20-‐24年度）
確率共鳴センサ 雑音の力を借りて微小信号を検出
A/D変換 雑音の力を借りて低周波雑音を抑制
高速信号伝送
雑音の力を借りて超低速・超低消費 電力回路の集団で高速パルス伝送
雑音誘起位相同期 雑音の力を借りて独立した回路群 の位相を強制同期
確率共鳴メモリ 雑音の力を借りて極低電圧・低消費電力メモリを正しく動作させる
脳型学習回路 雑音の力を借りて記憶を行う
領域0 領域1
雑音による振動
外力によるしきいの変化
• 二重井戸系における確率共鳴
€
U(x, t) = −12x 2 +
14x 4 + xAsin(2πft) + ξ(t)
ノイズ
外力
€
ξ(t)ξ(0) = 2Dδ(t)
L. Gammaitoni, et al"Stochastic resonance” Reviews of Modern Physics, Vol. 70, No. 1, January 1998
ノイズ小
ノイズ大
確率的遷移
ローレンツ系、ダブルスクロール系、ダフィン系
• 連続時間系
カオス共鳴?
• 離散時間系(Cubic写像)
• ２つのアトラクタ • 外部信号
€
xn+1 = a(xn − xn3)exp(−xn
2 /b) + AsinπΩn
[2]. 西村治彦, et al.”カオス系における決定論的共鳴の特性評価” IEICE technical report. Circuits and systems 106(273), 25-28, 2006-09-28
A=0.005,b=10,Ω=0.1
€
dxdt
= y
dydt
= −δy + βx −αx 3 + γ cos ωt( )
€
δ = 0.2, β =1, α =1, γ = 0.3, ω =1
ダフィング系
http://www.scholarpedia.org/article/File:Duffing-MagnetelasticBeam.gif
)cos( tωγ
外力
空気抵抗δy
外力
領域0 領域1
β>0
β<0 領域0 領域1
δ>0 δ=0
( )ftxxydtdy
ydtdx
πγαβδ 2cos3 +−+−=
= ダフィング系のパラメータ
非線形項 外力項
€
dxdt
= y
dydt
= −x + tanh k x − y( )( ) + Asin 2πft( )
€
y = 0
y = x −1karctanh(x)
ヌルクライン
回路向け擬似ダフィング方程式
-2-1.5
-1
-0.5 0
0.5
1.5 2
y
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x
y=0.
x=0.
3
0xxy
y−=
=
€
dxdt
= y
dydt
= −δy + βx −αx 3 + γ cos ωt( )
ダフィング方程式 擬似ダフィング方程式
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
€
k →∞( )
x
y
Fukuda E.S., Tovar G.M., Asai T., Hirose T., and Amemiya Y., "Neuromorphic CMOS circuits implementing a novel neural segmentation model based on symmetric STDP learning,” Journal of Signal Processing, vol. 11, no. 6, pp. 439-444 (2007).
€
dxdt
= y
dydt
= −x + tanh k x − y( )( )
€
∂H∂x
=12x 2 +
1klncosh k x − y( ){ }
∂H∂y
=12y 2
k→∞のとき
|x-y|で近似
擬似ダフィン系のハミルトニアン
€
∂H∂x
=12x 2 + x − y +
12y 2 + y
$
% &
'
( )
∂H∂y
=12y 2 +
12x 2 + x
$
% &
'
( )
€
x − y < 0
€
∂H∂x
=12x 2 − x + y +
12y 2 − y
$
% &
'
( )
∂H∂y
=12y 2 +
12x 2 − x
$
% &
'
( )
€
x − y > 0
€
H(x,y) =12x 2 + y 2( ) − asgn(x − y)
領域0 領域1 領域0
領域1
擬似ダフィング方程式 ダフィング方程式
x
y
x
y
x y
z
x y
z
€
H(x,y) =12y 2 −
12x 2 +
14x 4
€
H(x,y) =12x 2 + y 2( ) − asgn(x − y)
位相平面上の振舞い（１）
f=0.016Hz
f=5Hz
x x
y y
領域0または1にトラップ
€
dxdt
= y
dydt
= −δy + βx −αx 3 + γ cos 2πft( )
€
δ = 0.2, β =1, α =1, γ = 0.3
€
dxdt
= y
dydt
= −x + sgn x − y( ) + Asin 2πft( )
5.0=A
擬似ダフィング方程式 ダフィング方程式
領域0 領域1 領域0
領域1
0.14
f=0.16Hz
位相平面上の振舞い（２）
x
y
x y
擬似ダフィング方程式 ダフィング方程式
€
dxdt
= y
dydt
= −δy + βx −αx 3 + γ cos 2πft( )
€
dxdt
= y
dydt
= −x + sgn x − y( ) + Asin 2πft( )
２つの領域を遷移
€
δ = 0.2, β =1, α =1, γ = 0.3 5.0=A
領域0 領域1 f=0.14Hz
領域0
領域1
擬似ダフィング方程式 ダフィング方程式
周波数をパラメータとした分岐図
Frequency[Hz] Frequency[Hz]
x x
( )ftxxydtdy
ydtdx
πγαβδ 2cos3 +−+−=
=
( ) ( )ftAyxxdtdy
ydtdx
π2sinsgn +−+−=
=
€
δ = 0.2, β =1, α =1, γ = 0.3 5.0=A
C
yx
C
A sin(2!ft)
R
R
R
r
R-y
~R
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vddsgn(y-x)
€
τdxdt
= y
τdydt
= −x + a⋅ sgn x − y( ) + Asin 2πft( )
Vdd =5V, r = 5MΩ, R = 1MΩ, C = 0.0047µF, オペアンプ:LMC6482IN，入力振幅A: 0.5Vpp
x, y, a, Aは電圧, τ =CR, a =R・Vdd/r
個別部品回路による実装とパラメータ設定
減衰が支配的にならないよう時定数を調整
擬似ダフィング方程式のアナログ電子回路 C
yx
C
A sin(2!ft)
R
R
R
r
R-y
~R
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vddsgn(y-x)
y
反転増幅回路
積分回路
€
τdxdt
= y
Ryi −
=
€
−Cdxdt
= −yR
€
τdydt
= −x + a⋅ sgn x − y( ) + Asin 2πft( )
Rxix =
)2sin(1sin ftA
Ri π=
€
−Cdydt
=1R(x +
1rVdd sgn(y − x) + Asin(2πft)
-y
€
isgn =Vdd
rsgn(y − x)
試作回路の応答(f=15Hz)
-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x,y(v)
TIME(s)
x y
x (500mV/div)
y (5
00m
V/d
iv)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x,y(V)
time(s)
xy
y (5
00m
V/d
iv)
領域1
領域0
領域0または1にトラップ
C
yx
C
A sin(2!ft)
R
R
R
r
R-y
~R
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vdd
-Vdd
Vddsgn(y-x)
領域0 領域1
領域1
領域0
ゆらぎにより2つの領域を確率的に遷移
試作回路の応答(f=31Hz)
-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x,y
(v)
TIME (s)
x
y
x (500mV/div)
y (5
00m
V/d
iv)
領域1
領域0
-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2
10 15 20 25 30 35 40 45 50
x(V)
frequency(Hz)
周波数fでスイープ
試作した擬似ダフィング回路の分岐図
多周期領域
1周期 1周期
-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x,y(v
)
TIME (s)
x
y
-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x,y(v)
TIME(s)
x y
多周期領域でのSNRの算出
-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x,y(v
)
TIME (s)
x
y
x (500mV/div)
y (5
00m
V/d
iv)
出力信号xを二値化
領域間遷移のみ評価
領域1
領域0
領域1
領域0 入力信号
Time(s)
Inpu
t,x
(f=31Hz)
-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2
10 15 20 25 30 35 40 45 50
x(V)
frequency(Hz)
多周期領域
1周期 1周期
0
5
10
15
20
28 30 32 34 36 38SN
R(dB
)frequency (Hz)
多周期領域でのSNR
x (500mV/div)
y (5
00m
V/d
iv)
カオス共鳴？
二領域間遷移について
Time(s)
Inpu
t,x
状態がゆらぐ
外力で軌道が逸れる
入力信号の最大、最小値での遷移が少ない
Time(s)
Inpu
t,Out
put
外力に十分なゆらぎが付加されていない
入力信号
出力信号
入力信号
出力信号
入力信号
出力信号
十分なゆらぎが必要
カオス共鳴を起こす為に
入力信号周波数<ゆらぎ
ダブルスクロール・アトラクタ ローレンツ・アトラクタ
bzxydtdz
yxxzdtdy
yxdtdx
−=
−+−=
+−=
γ
σσ
2
21
2
112
1
)(
)()(
2
1
CL
LCCC
CCCC
vdtdiL
ivvGdtdv
C
vgvvGdtdv
C
−=
+−=
−−=
PCPCCC BvmmBvmmvmvg −−++−+=1111
)(21)(
21)( 10010
Chuaのダブルスクロール系に外力を加えてみる
€
C1 =15.6,C2 =1,C3 = 33,m0 = −8 /7,m1 = −5 /7,A = 2.3
x =C1(y− x − g(x))y =C2 (x − y+ z)z = −C3y+ Asin(2π ft)
€
g(vC1 ) = m1x +(m1 −m0)
2x +1 − x −1( )
外力
相平面（x-y）
分岐図 （左の図の0-2 Hzを拡大したもの）
外力(点線)
領域”-1”にトラップ
領域”+1”にトラップ
応答（x: 実線） 外力(点線)
応答（x: 実線）
外力（点線）
出力（実線）
外力の周波数→
Pow
er (d
B)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4frequency[Hz]
SNR[dB]
トラップ領域
遷移領域 遷移領域
領域”-1”, “+1”間を遷移
2 kHz
3 kHz 3 kHz 回路試作＆実験結果
まとめ
• 二重井戸型の擬似ダフィング系を提案
• 個別部品による回路実装
2. ダブルスクロール系におけるカオス共鳴
1. 連続時間力学系でのカオス共鳴の観測
ゆらぎによる二領域間の確率的な遷移
SNRは12〜18dB。ただし「弱い共鳴」
力学系自らが生み出すゆらぎ（カオス）による確率共鳴
＝カオス共鳴（と呼びたい）
Chua回路にて「強い共鳴」を観測