Παρουσίαση 4 : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης...

Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Παρουσίαση 4η: Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης εκτιμήσεων

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής

Γεώργιος Χλούπης

Επίκουρος Καθηγητής

Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

Περιεχόμενα παρουσίασης

• Σύγκριση και ενοποίηση μεθόδων συνόρθωσης

• Ποιότητα της τελικής εκτίμησης

• Κριτήρια μέτρησης ακρίβειας εκτίμησης

• Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας εκτίμησης

• Παραδείγματα

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Στα προβλήματα της Γεωπληροφορικής αντιμετωπίζεται το σύνολο των

μεθόδων συνόρθωσης λόγω του πλήθους των διαφορετικών προβλημάτων

που παρουσιάζονται

• Το προνόμιο αυτό δεν παρουσιάζεται σε άλλες επιστήμες αποκλειστικά το

μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

• Σε ειδικές εφαρμογές (ανάλυση μεταβλητότητας) χρησιμοποιούνται

μοντέλα συνθηκών και μικτών (μοντέλο τυχαίων επιδράσεων και μοντέλο

μικτών επιδράσεων) πίνακες Α και Β αποκλειστικά με στοιχεία 0 και 1

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Μπορούν όλες να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή του ίδιου

προβλήματος

• Εξισώσεις συνθηκών και μικτές μπορούν να προκύψουν από τις εξισώσεις

παρατηρήσεων με ολική ή μερική απαλοιφή των αγνώστων παραμέτρων

• Οι εξισώσεις παρατήρησης και οι εξισώσεις συνθηκών αποτελούν ειδικές

περιπτώσεις των μικτών εξισώσεων για Β = Ι και για Α = 0, αντιστοίχως

0BvAxw =−+

wBv =

vAxb +=

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Η επιλογή της μεθόδου εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και την ευκολία

στην κατάστρωση εξισώσεων της μίας ή της άλλης μορφής

• Συνόρθωση μελέτη ενός φυσικού συστήματος

• Σκοπός προσδιορισμός εκτιμήσεων για οποιοδήποτε μέγεθος του

συστήματος με τη βοήθεια παρατηρούμενων μεγεθών

• Αναλλοίωτο χαρακτηριστικό φυσικού συστήματος παραμετρικός βαθμός

• Αναλλοίωτο χαρακτηριστικό προβλήματος συνόρθωσης αριθμός n και

είδος παρατηρήσεων

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Αν τα παρατηρούμενα μεγέθη ήταν απολύτως γνωστά η τιμή κάθε

άλλου μεγέθους μπορεί να υπολογιστεί μέσω μαθηματικών εξισώσεων

• Λόγω του πλήθους των παρατηρήσεων (n > r), οι δυνατές τιμές που

μπορεί να πάρει το μέγεθός είναι περισσότερες από μία

• Αντικείμενο συνόρθωσης προσδιορισμός μέσω κατάλληλων κριτηρίων

ελαχιστοποίησης σφαλμάτων των παρατηρήσεων

• Πάντοτε η ίδια τιμή των μεγεθών του φυσικού συστήματος ανεξάρτητα των

μαθηματικών εξισώσεων

ayaq

aq

aybyv

( )aaa qq yˆ =

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Εκτός από τις παρατηρούμενες αναλόγως του προβλήματος είναι δυνατό

να χρησιμοποιηθούν και m άγνωστες παράμετροι

• Μαθηματικό μοντέλο σύνδεση παρατηρούμενων παραμέτρων ή

παρατηρούμενων με άγνωστες παραμέτρους

• Γενική μορφή

• Ανεξάρτητες εξισώσεις κάθε μία μοναδική πληροφορία σχετικά με τα

παρατηρούμενα και τους αγνώστους

ax

( ) 0yx =ψ aa ,

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Ένα ακόμη αναλλοίωτο χαρακτηριστικό του εκάστοτε προβλήματος είναι και

οι βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom) υπέρμετρες

παρατηρούμενες παράμετροι σε σχέση με τον παραμετρικό βαθμό (f = n – r)

• Επειδή υπάρχουν και m άγνωστες στο πρόβλημα το μαθηματικό μοντέλο θα

πρέπει να αποτελείται τουλάχιστον από s = m + f ανεξάρτητες εξισώσεις

• Ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων και τη μορφή των εξισώσεων

διακρίνουμε τις διαφορετικές μεθόδους συνόρθωσης

Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης • Σχηματική σύγκριση μεθόδων

Φυσικό σύστημα ya xa

Άγνωστες παράμετροι μέρος του φυσικού συστήματος προσδιορίσιμες

Μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων ( )aa xfy =

Μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων με προσδιορίσιμες παραμέτρους m = r s = n + m – r = n + r – r = n αριθμός ανεξάρτητων εξισώσεων


Φυσικό σύστημα ya

Άγνωστες παράμετροι μέρος ενός διευρυμένου φυσικού συστήματος μη προσδιορίσιμες

Μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων

( ) ( )( ) 0

00

xhxfy

yx =

=

−=ψ

a

aaaa ,

Μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων με δεσμεύσεις για τις μη προσδιορίσιμες παραμέτρους r < m < n, m – k = r s = n + m – r = n + r – (m – k) = n + k αριθμός ανεξάρτητων εξισώσεων

Διευρυμένο φυσικό σύστημα

xa



Μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων ( ) 0yg =a

Μοντέλο εξισώσεων συνθηκών με προσδιορίσιμες παραμέτρους m = 0 s = n + m – r = n – r = f αριθμός ανεξάρτητων εξισώσεων



Άγνωστες παράμετροι μέρος του φυσικού συστήματος προσδιορίσιμες

Μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων ( ) 0yxu =aa ,

Μοντέλο μικτών εξισώσεων με προσδιορίσιμες παραμέτρους 0 < m < r s = n + m – r = f + m αριθμός ανεξάρτητων εξισώσεων


Φυσικό σύστημα ya

Άγνωστες παράμετροι μέρος ενός νέου φυσικού συστήματος μη προσδιορίσιμες

Μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων

( ) ( )( ) 0

00

xhyxu

yx =

=

=ψ

a

aaaa ,

,

Μοντέλο μικτών εξισώσεων με δεσμεύσεις για τις μη προσδιορίσιμες παραμέτρους

0 < m – k < r s = n + m – r = n + k αριθμός ανεξάρτητων εξισώσεων

Νέο Φυσικό σύστημα

xa

Δεσμεύσεις

Ποιότητα της τελικής εκτίμησης

• Ακρίβεια Η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων στις εκτιμήσεις των

παρατηρούμενων και των αγνώστων παραμέτρων (όπου υπάρχουν)

• Αξιοπιστία Η επίδραση των χονδροειδών και συστηματικών

σφαλμάτων και η ικανότητα περιορισμού τους

ΠΟΙΟΤΗΤΑ = ΑΚΡΙΒΕΙΑ + ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ

• Ακρίβεια = εσωτερική ακρίβεια πόσο κοντά βρίσκονται οι

επαναλαμβανόμενες μετρήσεις

• Αξιοπιστία = εξωτερική ακρίβεια πόσο κοντά στην πραγματική τιμή

βρίσκονται οι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις


• Φυσικό σύστημα περισσότερες παρατηρούμενες παράμετροι από τις

απαραίτητες:

1. Μέτρηση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων

2. Έλεγχος του μαθηματικού και του στοχαστικού μοντέλου

3. Εντοπισμός χονδροειδών σφαλμάτων

4. Έλεγχος των οργάνων των μετρήσεων

• Οι πιο σημαντικοί λόγοι του πλήθους των παρατηρούμενων

παραμέτρων είναι


• Ο έλεγχος της ποιότητας εφαρμόζεται πάνω σε αναλλοίωτες

ποσότητες του φυσικού συστήματος σχετικές με τις

παρατηρούμενες παραμέτρους και ανεξάρτητες των αγνώστων

παραμέτρων

• Αναλλοίωτες ποσότητες φυσικού συστήματος:

• Εκτιμήσεις

• Κριτήριο βελτιστοποίησης και εκτίμηση

• Πίνακες

yv ˆ,ˆ

vPvT ˆˆˆ =ϕ 2σ

yv CC ˆˆˆ,ˆ


• Εκτός από τους πίνακες (συμ)μεταβλητοτήτων σημαντικός παράγοντας

στη συνόρθωση συσχετίσεις μεταξύ παραμέτρων

• Χαμηλή συσχέτιση (≈ 0) υψηλός βαθμός διαχωρισμού η μία

εκτίμηση δεν επηρεάζεται από την άλλη

• Υψηλή συσχέτιση (≈ ±1) άπειρα ζεύγη εκτιμήσεων που να είναι

εξίσου αποδεκτά

• Υψηλή συσχέτιση ανεπηρέαστα αποτελέσματα για πολλά ζεύγη

εκτιμήσεων | Ν | ≈ 0 «ασθενής κατάσταση – ill conditioned»

αδυναμία ή προβληματική αντιστροφή πίνακα

21

21

21

xx

xxxx σσ

σρ =


• Μικρές (συμ)μεταβλητότητες και συσχετίσεις ικανοποιητικές

εκτιμήσεις παραμέτρων ΑΚΡΙΒΕΙΑ

• Η υψηλή ακρίβεια δεν εγγυάται και ρεαλιστικά αποτελέσματα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ

• Αξιοπιστία στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων σχετικά με την

καταλληλότητα του μαθηματικού μοντέλου ντετερμινιστικό μέρος

• Αξιοπιστία στατιστικοί έλεγχοι σχετικά με τις υποθέσεις για τις

ακρίβειες των παρατηρήσεων στοχαστικό μέρος


• Έλεγχος της ποιότητας εξέταση του μεγέθους των εκτιμήσεων των

σφαλμάτων των παρατηρήσεων πρώτη ένδειξη

• Η ύπαρξη μεγάλων σφαλμάτων οφείλεται:

1. Λάθος στο στοχαστικό μοντέλο παρατηρήσεις μικρότερης

ακρίβειας από αυτή που θεωρήθηκε

2. Λάθος στο ντετερμινιστικό μοντέλο σφάλματα των

παρατηρήσεων χωρίς μηδενικές προσδοκίες

• Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων έλεγχος στο πλαίσιο της

μαθηματικής στατιστικής

Κριτήρια μέτρησης ακρίβειας εκτίμησης

• Η ακρίβεια των εκτιμήσεων της συνόρθωσης προκύπτει από τους

πίνακες (συμ)μεταβλητοτήτων των εκτιμήσεων

• Ορίζονται κατάλληλες περιοχές εμπιστοσύνης, οι οποίες εκφράζουν

την αβεβαιότητα στην τελική εκτίμηση επίδραση τυχαίων σφαλμάτων

• 1Δ προβλήματα διαστήματα εμπιστοσύνης

• 2Δ προβλήματα ελλείψεις εμπιστοσύνης

• 3Δ προβλήματα ελλειψοειδή εμπιστοσύνης

• mΔ προβλήματα υπερελλειψοειδή διαστάσεων m


• Αναπαράσταση περιοχών εμπιστοσύνης εκτιμήσεων


• 1Δ Διάστημα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της παραμέτρου

• Ο συντελεστής 1 – α ονομάζεται συντελεστής ή επίπεδο

εμπιστοσύνης (confidence coefficient or level) και εκφράζει την

πιθανότητα να βρίσκεται η πραγματική τιμή στο αντίστοιχο διάστημα

• Ο συντελεστής α ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου

(level of significance) και εκφράζει την πιθανότητα να βρίσκεται έξω

από το διάστημα η πραγματική τιμή

• Τυπικές τιμές 1 – α = 0.99, 0.95, 0.999, 0.995

ix

( ) ( )( ) atxxxtxxP afiii

afii −=σ+≤<σ− 1ˆˆˆˆˆˆ 2/2/ Εκατοστιαίο σημείο της κατανομής t για f βαθμούς

ελευθερίας και α επίπεδο σημαντικότητας ελέγχου


• 2Δ Έλλειψη εμπιστοσύνης για την εκτίμηση μίας παραμέτρου σε

χώρο δύο διαστάσεων για f βαθμούς ελευθερίας και α επίπεδο

σημαντικότητας του ελέγχου

• α μεγάλος ημιάξονας, b μικρός ημιάξονας, ψ προσανατολισμός

=

2

1

ˆˆ

ˆxx

x

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }221

2

22

12

22

12 ˆ,ˆˆˆˆˆˆ

41ˆˆˆˆ

21 xxxxxxka a σ+σ−σ+σ+σ=

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }221

2

22

12

22

12 ˆ,ˆˆˆˆˆˆ

41ˆˆˆˆ

21 xxxxxxkb a σ+σ−σ−σ+σ=

( )( ) ( )1

22

221

ˆˆˆˆˆ,ˆˆ2arctan

21

xxxxσ−σ

σ=ψ

( ) ( )( ) ( )

σσσσ

=2

221

2112

ˆ ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ

xxxxxx

xC

afa Fk ,22=

Αριθμός διαστάσεων

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας

• Η αξιοπιστία της συνόρθωσης για την περιγραφή ενός φυσικού

προβλήματος σχετίζεται με λανθασμένες επιλογές της μηδενικής

υπόθεσης (null hypothesis) Ηο λάθη στο μαθηματικό ή/και στο

στοχαστικό μοντέλο

• Στατιστικά κατά τους ελέγχους ελέγχεται κάποια μηδενική υπόθεση Ηο σε

σχέση με κάποια εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis) Ηa

• Οι δυνατές στατιστικές υποθέσεις μετά τον έλεγχο μπορεί να οδηγήσουν

σε ορθές ή λάθος αποφάσεις (λάθη τύπου Ι και ΙΙ)


• Πίνακας στατιστικών αποφάσεων


• Σφάλμα τύπου Ι απόρριψη ορθής υπόθεσης πιθανότητα α

• Σφάλμα τύπου ΙΙ αποδοχή λανθασμένης υπόθεσης πιθανότητα β


• Επίπεδο σημαντικότητας α η πιθανότητα που εκφράζει το λάθος

τύπου Ι (πιθανότητα να απορρίψουμε μία ορθή υπόθεση Ηο)

• Επίπεδο εμπιστοσύνης 1 – α η πιθανότητα να δεχθούμε μία ορθή

υπόθεση Ηο

• Συντελεστής β η πιθανότητα να δεχθούμε μία λανθασμένη υπόθεση Ηο

• Ισχύς του ελέγχου (statistical power) 1 – β η πιθανότητα να

απορρίψουμε μία λανθασμένη υπόθεση Ηο

• Τυπικές τιμές για το β είναι 0.10, 0.20, 0.30

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας

• Ολικός έλεγχος εντοπίζει ύπαρξη προβλημάτων στο μοντέλο, χωρίς να

μπορεί να προσδιορίσει την ακριβή αιτία των προβλημάτων

• Ο ακριβής εντοπισμός των σφαλμάτων μπορεί να γίνει με την εφαρμογή

του ελέγχου της λεγόμενης γενικής υπόθεσης (general hypothesis)

• Ο ολικός έλεγχος αξιοπιστίας βασίζεται στη στατιστική σύγκριση της

εκτίμησης της μεταβλητότητας μετά τη συνόρθωση με τη «γνωστή» ή

αρχική εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς

2σ2ˆ οσ

Εκ των υστέρων (a posteriori) μεταβλητότητα

Εκ των προτέρων (a priori) μεταβλητότητα

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας

• Ελέγχεται η μηδενική υπόθεση Ηο :

σε σχέση με την εναλλακτική Ηa :

• Η υπόθεση γίνεται αποδεκτή όταν:

22ˆ οσ=σ22ˆ οσ≠σ

( ) ( )2/22

22/12 ˆ a

fo

af

fχ≤

σσ

≤χ − ( ) af

af fF ∞=χ ,2

2/,2

22/1

,

ˆ af

o

af FF ∞−∞ ≤

σσ

≤ anm

amn F

F−

= 1,

,

1

ή ισοδύναμα:

Σχέση σύνδεσης κατανομών χ2 και F

Σύνδεση συμπληρωματικών πιθανοτήτων κατανομής F


• Κατά τον έλεγχο αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μίας συνόρθωσης

πιστοποιείται η ορθότητα μηδενικών υποθέσεων που σχετίζονται:

• Με το αν τα σφάλματα έχουν μόνο τυχαίο χαρακτήρα

• Με το αν ο πίνακας των βαρών των παρατηρήσεων έχει επιλεγεί

σωστά

• Γενικότερα ο έλεγχος αξιοπιστίας στηρίζεται στατιστικά στους ελέγχους

της γενικής υπόθεσης (general hypothesis tests)

zHxq ==

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Η γενική υπόθεση

• q διάνυσμα k μεγεθών του φυσικού συστήματος

• x διάνυσμα των m αγνώστων παραμέτρων

• z διάνυσμα k συγκεκριμένων τιμών (δεσμεύσεων) για τα μεγέθη του

φυσικού συστήματος

• Δύο βασικές υποθέσεις

• Ο έλεγχος της γενικής υπόθεσης σχετίζεται με τον έλεγχο δύο μοντέλων,

ενός αρχικού και ενός περιορισμένου θεωρώντας κάποιες παραμέτρους

του νέου μοντέλου ως γνωστές σταθερές τιμές σύγκριση μοντέλων με

τον περιορισμό qa = za

zHxq ==

zHxq ==:oH zHxq ≠=:aHΜηδενική υπόθεση Εναλλακτική υπόθεση


• Βασικά μεγέθη που μπορούν να εξεταστούν στατιστικά

1. Αποκλίσεις «σφάλματα κλεισίματος»

2. Νέα λύση με δεσμεύσεις τις τιμές των z Ηx = z

zqzxHe −=−= ˆˆˆ

eCe eT ˆˆ 1

ˆ1−=F

εξαρτάται από το είδος των μονάδων που χρησιμοποιούνται

αδιάστατο

ϕϕ−ϕ

=ˆ

ˆˆ2

HF

HHHH vPvT ˆˆˆ =ϕ vPvT ˆˆˆ =ϕ

Λύση με δεσμεύσεις Λύση δίχως δεσμεύσεις

Txe HHCC ˆˆ =


• Και τα δύο μεγέθη που μπορούν να ελεγχθούν είναι ισοδύναμα μεταξύ

τους. Αποδεικνύεται:

• Η υπόθεση Ηο: Hx = z σε σχέση με την εναλλακτική Ηa: Hx ≠ z, ελέγχεται

σύμφωνα με:

• Με τη γενική υπόθεση ελέγχονται όχι μόνο οι συναρτήσεις των αγνώστων

με κάποιες τιμές αλλά και άγνωστοι μεταξύ τους. Π.χ.

21

2

2

ˆF

kmn

kFF −==

σσ

( ) ( ) amnk

HH Fk

mnkmnk

mnk

F −

−

≤−−+−

=−−

== ,2

22

2

1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

σσσ

ϕϕϕ

σeSeT

0xxHx =−= baoH : baoH xx =: Εφαρμογή: μελέτη διαχρονικών μεταβολών των συντεταγμένων

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Εφαρμογή στον έλεγχο ύπαρξης χονδροειδών σφαλμάτων

• Έλεγχος της γενικής υπόθεσης μοντέλο με χονδροειδή σφάλματα

συγκρινόμενο με μοντέλο χωρίς χονδροειδή

• Πραγματοποιείται επέκταση του μοντέλου σύνθετο μοντέλο που

περιλαμβάνονται και τα υποτιθέμενα χονδροειδή σφάλματα

• Η υπόθεση Ηο: ψ = 0 (απουσία χονδροειδών σφαλμάτων) γίνεται

αποδεκτή όταν

vZψAxbvAxb ++= →+= κτασηεπέ Επέκταση με την ύπαρξη χονδροειδών σφαλμάτων

akfkF

rfr

kkfF −≤

−−

= ,2

2 2ˆ2

ˆˆˆ

σ=

− ψCψ 1ψ

T

r

vPZCψ Tψ ˆˆ ˆ=

( ) 1

vT

ψ PZPCZC −= ˆˆ

Εσωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα

Εκτίμηση χονδροειδούς σφάλματος

Ακρίβεια εκτίμησης χονδροειδούς σφάλματος

Πίνακας n×k με στοιχεία 1 στην παρατήρηση που αντιστοιχεί στο χονδροειδές σφάλμα


• Επέκταση μοντέλου εντοπισμός χονδροειδών σφαλμάτων

• Στην πράξη ελέγχεται κάθε φορά μία παρατήρηση έλεγχος παρατήρηση

– παρατήρηση σάρωση δεδομένων (data snooping)

• Για κάθε παρατήρηση ξεχωριστά ελέγχεται η Ηο: ψi = 0

( ) af

i

ii F

rfrfF 1,12

21−≤

−−

= ( )i

ii u

urˆˆ

ˆ2

22

σ=

: i στοιχείο του vPu ˆˆ =iu

( ) { } { }iiiiiu uu CC ˆˆ22 ˆˆˆˆ =σ=σ

Διαγώνιο στοιχείο του πίνακα

PPCC vu ˆˆ =


• Συνήθως χρησιμοποιείται η ρίζα του F που ακολουθεί την κατανομή t του

Student με f – 1 βαθμούς ελευθερίας

• Η εκτίμηση του χονδροειδούς σφάλματος και η μεταβλητότητά του

( )af

af

iiii Ft

rffrFt 1,1

2/12

1−− =≤

−−

==

{ } ( ) { }iii

ii

iii

uruu CC ˆ

22

ˆ

ˆˆˆ,ˆˆˆ σ=ψσ=σ=ψ

Εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα


• Στην ειδική περίπτωση που ο πίνακας των βαρών P είναι διαγώνιος

(παρατηρήσεις ασυσχέτιστες) το εσωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα

• Όταν εντοπιστούν σφάλματα όχι χρησιμοποίηση διευρυμένου μοντέλου

απομάκρυνση ύποπτων παρατηρήσεων

• Πρόβλημα οι χαμηλοί βαθμοί ελευθερίας περίσσεια παρατηρήσεων

όχι τόσο για αύξηση ακρίβειας, αλλά για έλεγχο χονδροειδών σφαλμάτων

( )i

ii v

vrˆˆ

ˆ2

22

σ=

=−=

n

i

v

v

v

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

xAbv

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

σσσ

σσσ

σσσ

=

ninn

niii

ni

vvvvv

vvvvv

vvvvv

ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ

ˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆ

ˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ

ˆ

221

21

1112

ˆ

vC

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Περίπτωση εξισώσεων συνθηκών

• Η γενική διαδικασία είναι η ίδια 1) ολικός έλεγχος 2) έλεγχος

γενικής υπόθεσης και απομάκρυνση χονδροειδών σφαλμάτων

• Ολικός έλεγχος

• Έλεγχος γενικής υπόθεσης

( ) ( )2/22

22/12 ˆ a

fo

af

fχ≤

σσ

≤χ − 2/,2

22/1

,

ˆ af

o

af FF ∞−∞ ≤

σσ

≤ή ισοδύναμα

( ) aaa zyhq ==Οι k παράμετροι εκφράζονται ως συναρτήσεις των παρατηρούμενων και όχι των αγνώστων

zHv = Γραμμικοποιημένες εξισώσεις γενικής υπόθεσης μορφή k δεσμεύσεων ( )ba

ba yhzz

yhH −=

∂∂

=

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Περίπτωση εξισώσεων συνθηκών


• Για το σΗ απαιτείται επανάληψη της συνόρθωσης με την εισαγωγή των k

δεσμεύσεων

• Στην πράξη ελέγχεται:

zHvzHv ≠= :: ao HH

( ) afk

H Fk

fkfF ,2

22

ˆˆˆ

≤σ

σ−σ+=

Βαθμοί ελευθερίας αρχικής συνόρθωσης

Εκτίμηση μεταβλητότητας αρχικού μοντέλου Εκτίμηση μεταβλητότητας περιορισμένου μοντέλου

k παράμετροι με σταθερές γνωστές τιμές

2ˆ

ˆˆˆ

σ=

−

kF eCe 1

eT

zvHe −= ˆˆ

T

ye HHCC aˆˆ =

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων

• Έλεγχος (δεν υπάρχει χονδροειδές σφάλμα σε καμία των παρατηρήσεων):

• Συνήθως πραγματοποιείται ο έλεγχος παρατήρηση προς παρατήρηση

(σάρωση δεδομένων):

• Ενώ όταν ο Ρ είναι διαγώνιος ο έλεγχος απλοποιείται σε:

akfkF

rfr

kkfF −≤

−−

= ,2

2

2ˆ2

ˆˆˆ

σ=

− uCu 1u

T

r vPZu T ˆˆ = PZPCZC vT

u ˆˆ =

( )( )

2/12

ˆ

1ˆ

ˆ af

iii

ii

ii t

rffrtr −≤−−

=σ

=PPC

vPv

Εσωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα

Εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα

( )af

af

iiii Ft

rffrFt 1,1

2/12

1−− =≤

−−

==( )i

ii v

vrˆˆ

ˆ2

22

σ=

Κριτήρια ελέγχου αξιοπιστίας Περίπτωση μικτών εξισώσεων

• Η γενική διαδικασία είναι η ίδια 1) ολικός έλεγχος 2) έλεγχος γενικής

υπόθεσης και απομάκρυνση χονδροειδών σφαλμάτων

• Ολικός έλεγχος


( ) ( )2/22

22/12 ˆ a

fo

af

fχ≤

σσ

≤χ − 2/,2

22/1

,

ˆ af

o

af FF ∞−∞ ≤

σσ

≤ή ισοδύναμα

( ) aaaaa zy,xqq ==Οι k παράμετροι εκφράζονται ως συναρτήσεις των παρατηρούμενων και των αγνώστων

zGvHx =−Γραμμικοποιημένες εξισώσεις γενικής υπόθεσης μορφή k δεσμεύσεων

( )boaa

ba

a

oa

a

y,xqzzyqG

xqH −=

∂∂

=∂∂

=



• Για το σΗ απαιτείται επανάληψη της συνόρθωσης με την εισαγωγή των k

δεσμεύσεων

• Στην πράξη ελέγχεται:

zGvHxzGvHx ≠−=− :: ao HH

( ) afk

H Fk

fkfF ,2

22

ˆˆˆ

≤σ

σ−σ+=

Βαθμοί ελευθερίας αρχικής συνόρθωσης

Εκτίμηση μεταβλητότητας αρχικού μοντέλου Εκτίμηση μεταβλητότητας περιορισμένου μοντέλου

k παράμετροι με σταθερές γνωστές τιμές

2ˆ

ˆˆˆ

σ=

−

kF eCe 1

eT

zvGHxe −−= ˆˆ

T

y

TT

yx

T

yx

T

xe GGCHGCGHCHHCC aaaaaa ˆˆˆˆˆˆˆ +++=


• Έλεγχος (δεν υπάρχει χονδροειδές σφάλμα σε καμία των παρατηρήσεων):

• Συνήθως πραγματοποιείται ο έλεγχος παρατήρηση προς παρατήρηση

(σάρωση δεδομένων):

• Ενώ όταν ο Ρ είναι διαγώνιος ο έλεγχος απλοποιείται σε:

akfkF

rfr

kkfF −≤

−−

= ,2

2

2ˆ2

ˆˆˆ

σ=

− cCc 1c

T

reMZc 1T ˆˆ −=

ZMCMZC 1e

1Tc

−−= ˆˆ

( )( ) ( )

2/12

ˆˆ

1ˆ

ˆˆ

ˆ af

iii

ii

i

ii

ii t

rffrtcr −−−

−

≤−−

=σ

=σ

=c

1e

1

1

CMCMeMΕσωτερικά

ομαλοποιημένο σφάλμα Εξωτερικά

ομαλοποιημένο σφάλμα

( )af

af

iiii Ft

rffrFt 1,1

2/12

1−− =≤

−−

==( )i

ii v

vrˆˆ

ˆ2

22

σ=

vBe ˆˆ = Tve BBCC ˆˆ =

Παράδειγμα Κατά την προεπεξεργασία παρατηρήσεων διευθύνσεων σε συνόρθωση σταθμού εκτιμήθηκε η μεταβλητότητα της κάθε μη συνορθωμένης παρατήρησης ίση με = 8.552 cc2. Να πραγματοποιηθεί ο ολικός έλεγχος αξιοπιστίας στις παρατηρήσεις για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, όταν οι βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος είναι f = 70. Όλες οι μετρήσεις των διευθύνσεων πραγματοποιήθηκαν με γεωδαιτικό σταθμό ακρίβειας 2 cc.

2/,2

22/1

,

ˆ af

o

af FF ∞−∞ ≤

σσ

≤

025.0,70

975.0,70 4

552.8∞∞ ≤≤ FF

37.1601012.039.1025.0

,70 =

⋅−+=∞F

025.070,

975.0,70

1∞

∞ =F

F

452.1601017.048.1025.0

70, =

⋅−+=∞F

689.0452.11975.0

,70 ==∞F

37.1138.2689.0 ≤≤

Δεν ισχύει!!

Παράδειγμα

2/12

1 af

iii t

rffrt −≤−−

=( )i

ii v

vrˆˆ

ˆ2

22

σ=

Μετά τη συνόρθωση ενός κατακόρυφου δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις προέκυψε το διάνυσμα των εκτιμήσεων των σφαλμάτων των παρατηρήσεων και ο πίνακας (συμ)μεταβλητοτήτων των σφαλμάτων των παρατηρήσεων σύμφωνα με τα παρακάτω. Εάν οι βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος είναι 4 να βρεθούν, εάν υπάρχουν, οι προβληματικές παρατηρήσεις στο δίκτυο για επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου α = 0.05.

)(

008.0007.0005.0

001.0002.0

ˆ m

−−=v )(

11.1643.15

23.1021.13

32.12

ˆ 2ˆ mm

=vC

182.3025.03 =t

Υπάρχουν;;;

Ανακεφαλαίωση

• Σύγκριση και ενοποίηση μεθόδων συνόρθωση

• Εισαγωγή στην αξιολόγηση της ποιότητας της συνόρθωσης

• Ακρίβεια και περιοχές εμπιστοσύνης

• Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας

• Έλεγχος γενικής υπόθεσης εφαρμογή στην αντιμετώπιση των

χονδροειδών σφαλμάτων

• Παραδείγματα

Παρουσίαση 4 : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης...

Documents