federico bizzarri dipartimento di elettronica e informazione, politecnico di milano

XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti

Federico Bizzarri

Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di MilanoP.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy

e-mail: [email protected]

XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011 2


“A chi serve?“ – A chi ha a che fare con l’analisi o la sintesi (con la progettazione) di circuiti elettrici/elettronici (autonomi e non autonomi) che, a regime, presentano un comportamento periodico.

“A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria di regime nello spazio di stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o matrice di transizione).

“Quando serve?” – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità del campo vettoriale o delle “variabili di stato”.



“A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria nello spazio di stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o matrice di transizione).

• Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet)• Metodi di “shooting” per il calcolo veloce della soluzione di regime• Analisi del rumore in oscillatori• Funzioni di trasferimento tempo varianti• …

“Quando serve?” – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità del campo vettoriale o delle “variabili di stato”.

• Un circuito analogico con “interruttori”• Un circuito misto analogico-digitale• Un circuito in parte descritto con un linguaggio “behavioural”• Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo simula non è in

grado di “seguirne” variazioni molto rapide• …


Sistemi dinamici ibridi

“I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da processi di evoluzione dinamica continui/discreti che interagiscono con processi logici o decisionali”

Sistemi dinamici “a impatto”Lo “stato” presenta discontinuità nel tempo

Sistemi dinamici “switching”Campo vettoriale discontinuo ma stato

continuo (sistemi di Filippov)

(Sistemi con campo vettorialecontinuo ma non differenziabile)

Estensione per i sistemi ibridi della matrice di transizione

• Piecewise smooth Ordinary Differential EquationsM. Di Bernardo, C. Budd, A. Champneys, and P. Kowalczyk, Piecewise-smooth Dynamical Systems,

Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008.

• Piecewise smooth Differential Algebraic EquationsF. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Steady State Computation and Noise Analysis ofAnalog Mixed Signal Circuits”, submitted to IEEE TCAS-I, feb. 2011.


Sistemi dinamici ibridi


Matrice di transizione nel caso smooth - Definizione -

Se xs (t) è soluzione per t [t0,t0+T] allora per ogni t in questo intervallo è possibile calcolare

l’effettoxs(t) sulla soluzione di una perturbazione x0 delle condizioni iniziali come

x1(t1) = (t1,t0)x0(t0)


Matrice di transizione - Proprietà -

Proprietà di composizione Proprietà di mapping


Matrice di transizione - Proprietà -

Data una soluzione periodica (ciclo limite) di periodo T, La teoria di Floquet permette di utilizzare (t,t0) per altro ancora …

• Dati gli autovalori k di (T+t0,t0) (matrice di monodromia)

• Se |k | 1 il ciclo limite è stabile• Se esiste un solo |k|> 1 il ciclo limite è instabile

• Un sistema autonomo che presenta un ciclo limite stabile presenta almeno un autovalore k = 1

• Lo studio delle autofunzioni destre (uk(t)) e sinistre (vk(t)) di (t,t0) permette di individuare le direzioni nello spazio di stato lungo le quali le perturbazioni si smorzano, si amplificano o perdurano invariate …

… la base del calcolo del rumore di fase negli oscillatori (teoria di Demir, 2001)


Rumore di ampiezza nei sistemi autonomi stabili (oscillatori)

… gli effetti sull’ampiezza del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) si attenuano quindi il rumore di ampiezza non è di grande interesse.


Rumore di fase nei sistemi autonomi (oscillatori)… gli effetti delle perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) proiettate lungo l’autofunzione

v1(t) che corrisponde all’autovalore 1 = 1 non si attenuano e si traducono in rumore di fase …

… il calcolo di v1(t) risulta essenziale e non può prescindere dalla corretta valutazione di

(t,t0) …

… il rumore di fase è presente anche negli oscillatori “ibridi” ma non sappiamo calcolarlo se non

possiamo calcolare (t,t0).

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Matrice di salto (Saltation Matrix)



Saltation Matrix S


Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico switching


Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico a impatto

Jacobiano del mapping


Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico ibrido


Un oscillatore switching misto analogico digitaleF. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Analog Mixed Signal Noise Simulation and Experimental Validation”, submitted to Electronics Letters, june 2011.


Un oscillatore switching misto analogico digitaleSimulazioni numeriche

L’oscillatore è stato simulato numericamente con un metodo di shootingper determinarne l’orbita di regime.

Traiettoria di regimeStato continuo ma non derivabile



E’ stato determinato andamento temporale dell’autofunzione sinistra v1(t) di (t,t0)

Autofunzione v1(t)


Un oscillatore switching misto analogico digitaleMisure sperimentali

L’oscillatore è stato realizzato su breadboard ed è stato iniettato rumore bianco mediante un generatore di funzioni connesso come un generatore di tensione in serie ad R4.

Total noise simulato (PNOISE)Total noise misurato

Phase noise “Demir”

Total noise misurato

Total noise “Spectre”

Calcolo del Rumore Totale (Ampiezza + Fase)SPECTRE

fornisce risultati numerici non accuratiELDO

non converge (o almeno non ci siamo riusciti!)


Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMSF. Bizzarri, X. Wei, “Phase Noise Analysis of a Mechanical Autonomous Impact Oscillator with a MEMS Resonator”, submitted to ECCTD 2011.

Ciclo limite (proiezione sui piani (y,v) e (y,VC)


Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS

Rumore Termico elettrico (R)

Rumore 1/f -> elettrico (R)

Ciclostazionarietà

Rumore Termico meccanico ()


Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMSLo spettro del rumore di fase è stato valutato con la formulazione di Demir calcolando individualmente i contributi termici e 1/f. Sono in corso misure sperimentali.

f0= 3.312kHz

1/f

Termico

Meccanico – Elettrico – Totale X. Wei, C. Anthony, D. Lowe, and M.CL.Ward, “Design and fabrication of a nonlinear micro impact oscillator,” Procedia Chemistry, vol. 1, pp. 855–858, 2009.


Conclusioni e “omissis”

Estensione al caso DAE della formulazione per ODE della matrice di transizione per sistemi ibridi.

Estensione a circuiti AMS (Analog – Mixed – Signal) di metodi basati sulla matrice di transizione.

Risultati non direttamente confrontabili con quelli (non) forniti da altri toolbox commerciali o “simulatori accademici” ma verificati sperimentalmente.

Applicazione all’ottimizzazione di oscillatori impulsatiF. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Phase Noise Simulation in Analog Mixed Signal Circuits: An Application to Pulse Energy Oscillators”, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, vol. 58, n.3, 2011.F. Bizzarri, A. Brambilla, S. Perticaroli, G. Storti Gajani, “Noise in a Phase-Quadrature Pulsed Energy Restore Oscillator”, submitted to ECCTD 2011.

Sviluppo di algoritmi per la localizzazione automatica dei manifold di switch o di impatto (anche tempo varianti).

federico bizzarri dipartimento di elettronica e informazione, politecnico di milano

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